TSBB31 Medicinska bilder Föreläsning 1

Transkript

1 TSBB3 Medicinska bilder Föreläsnin Inormaion hp:// Repeiion (och lie ny?) av D Fourierransorm Vikia sinaler (unkioner) Tolknin Teorem Eenskaper Linjär sysem Teori: Kompendie, Kap., Maria Manusson, Daorseende, Ins. ör Sysemeknik, Linköpins Universie p. Nåra vikia unkioner/sinaler Se ormelsamlinen och avlan ) rekanelpuls ) sinc-unkion 3) dirac-puls p. 3) Dirac-pulsen (impulsen) p. 3 Nåra vikia operaioner: Spelin,Translaion, Skalnin p. 4 0 ör 0 d kan ses som ränsvärde av denna rekanelpuls när 0 lim 0 Translaion Spelin Skalnin

2 Fourierransorm, deiniion Fourierransorm j G e d. p. 5 Fourierransorm, alernaiv deiniion (Marias val) Fourierransorm Sä : j G e d.3 p. 6 Inverse Fourierransorm j G G e d. Inverse Fourierransorm j G G e d.4 A åskådliöra ourierransormen p. 7 Fourierransorm, olknin p. 8 Fourierransorm Fourierransormen beskriver rekvensinnehålle i en sinal. G j ReG j ImG A e Ampliud- och asspekrum A åskådliöra ourierransormen A G, arg sinal reell Fi..

3 A åskådliöra ourierransormen Fourierransorm p. 9 Fourierransormen av en reell unkion är hermiisk p. 0 G G * Hermiisk unkion jämn udda G G Jämn unkion ReG ReG Jämn unkion ImG ImG Udda unkion jämn udda arg arg Udda unkion Fi.. Eenskaper ör en reell sinals Fourierransorm p. Eenskaper ör en reell sinals Fourierransorm p. Se näsa slide rån Fi... i kompendie: En reell sinal har en ourierransorm med jämn realdel och udda imainärdel (hermiisk). En jämn, reell sinal har en jämn, reell ourierransorm. En udda, reell sinal har en udda, imainär ourierransorm. Se idiare slide rån Fi.. i kompendie: En reell sinal har en ourierransorm med jämn realdel och udda imainärdel (hermiisk). En reell sinal har e jämn ampliudspekrum och e udda asspekrum. Fi..

4 Fourierransormens eenskaper Linjärie Skieoreme, id (ranslaionseoreme) Skieoreme, rekvens Skalninseoreme Falninseoreme (convoluion) Muliplikaionseoreme Derivaaeoreme Parsevals eorem p. 3 Linjärieseoreme och G är ourierpar kan vi skriva G De äller a a G a G... a... där a, a,... är konsaner. p. 4 Translaionseoreme, id så äller så äller e G ja a e G Translaionseoreme, rekvens G j b G b p. 5 Skalninseoreme så äller G a a a G p. 6

5 p. 8 Skalninseoreme, illusraion Falninseoreme G G och så äller G G Vad är en sinal och e sysem? p. 9 Sysemes impulssvar p. 0 En sinal: En inormaionsbärande sorhe som oa kan beskrivas med en unkion x() (eller y()) E Sysem: Gör omvandlin rån insinal ill usinal Lå en dirac-unkion vara insinal ill syseme. Usinal blir då sysemes impulssvar, h(). Syseme beecknas oa h(). h h Insinal: x Sysem Usinal: y x h y Fi..6 Fi..7

6 E linjär, idsinvarian sysem ör alnin i sinaldomänen och muliplikaion i ourierdomänen Linjär sysem: x () er usinalen y () och x () er usinalen y () så er ax ()+bx () usinalen ay ()+by () Tidsinvarian sysem: x () er usinalen y () så er x (+T) usinalen y (+T) p. x h y x h X H Y X H Falnin med dirac-puls Falnin med örskjuen dirac-puls lyar unkionen ill dirac-pulsens läe a x x a.8 p. Fi..9 Muliplikaionseoreme så äller G G G G och Modulaionseoreme cos G G G p. 3 Derivaaeoreme så äller d d eller hel enkel G j G d d j p. 4

7 Fourierransormen beskriver rekvens-innehålle i en icke-periodisk sinal. Den är deinierad ör både posiiva o neaiva rekvenser p. 5 Vad innebär en neaiv rekvens? p. 6 Sinal : Sinal Ampliud : G A Ampliud : G Fourierr. Fas : ar G Fas : ar G Ae j e Ae e j j j (.5) Ae j e Ae e j j j.5 Vad innebär en neaiv rekvens? p. 7 Kombinera en neaiv och en posiiv rekvens: Ae j A e e Acos j.5 j j.5 Ae e.5 j j.5 j e j.5 De blir en asörskjuen cosinus! med rekvensen.5hz, ampliuden A och asen. exponenialermer med rekvenserna och - mosvarar allså en cosinus med rekvensen och asen. Komihå: en posiiv och en neaiv rekvenskomponen kombineras erhålles hel enkel en cosinus med rekvensen och asen.