FÖRELÄSNING 13: Tidsdiskreta system. Kausalitet. Stabilitet. Egenskaper hos ett linjärt, tidsinvariant system (LTI)

Transkript

1 p. FÖRELÄSNING 3: Tidsdiskrea sysem. Kausalie. Sabilie. Linjära idsinvariana sysem (LTI-sysem) Differenial- och differens-ekvaioner Räkna på idskoninuerlig LTI-sysem med Fourierr. (kursiv) Räkna på idsdiskre LTI-sysem med z-ransform Analoga filer Ideala filer Buerworhfiler (kursiv) Konvergensområden. Kausalie. Sabilie. Digiala filer IIR och FIR-filer Konsrukion och realisering av idsdiskrea filer Fönsermeoden Teori: bara här Maria Magnusson, Daorseende, Ins. för Sysemeknik, Linköpings Tekniska Högskola Egenskaper hos e linjär, idsinvarian sysem (LTI) Linjärie: x LTI-sysem y Anag a insignalerna x() och x() ger usignalerna y() och y(). Om då insignalen A x() + B x() ger usignalen A y() + B y() är syseme linjär. Tidsinvarians: Ganska självklara krav, eller hur? Anag a insignalen x() ger usignalen y(). Om då insignalen x(+t) ger usignalen y(+t) är syseme idsinvarian. p. Repeiion! Man kan visa a e LTI-sysem gör falning i med impulssvare h() 0 δ oändlig hög, area 0 δ n n E koninuerlig sysem: x δ x n LTI-sysem: h E diskre sysem: δ n LTI-sysem: h n y = x h h y n = x n h n h n p. 3 E LTI-sysem gör falning i signaldomänen, muliplikaion i fourierdomänen, muliplikaion i laplacedomänen, muliplikaion i z-ransformdomänen, muliplikaion i TDFT-domänen x X ω X s x n X Ω X z h H ω, H s h n H Ω, H z Exra vikig! y = x h Y ω = X ω H ω Y s = X s H s y n = x n h n Y Ω = X Ω H Ω Y z = X z H z p. 4

2 Differenialekvaioner (kursiv) och Differensekvaioner E idskoninuerlig LTI-sysem kan beskrivas med en differenialekvaion: a n d n y d n b m d m x d m d n y dy + a n d n + + a + a d 0 y = + b d m x dx m d m + + b + b d 0 x E idsdiskre LTI-sysem kan beskrivas med en differensekvaion: a 0 y n + a y n + + a N y n N = b 0 x n + b x n + + b M x n M p. 5 Räkna på idskoninuerlig LTIsysem med fourierransform (kursiv) Ex) y = x h. Besäm h! x R Srömmen är lika genom R och C: Fourierransformera: Y ω X ω = ΤRC jω + ΤRC C y Laplaceransform i sälle för Fourierransform går också bra här! dy C d = X ω Y ω C jωy ω = R h = e ΤRC u x y R p. 6 Räkna på idsdiskre LTIsysem med z-ransform Ex) y n = x n h n. Besäm h n! x n Schema ger: y n = x n x n + y n z ransformera: Y z = X z z X z + z Y z H z = D x n X y n X Y z X z = z z h n = 0. 5n u n 0. 5 n u n S D Exra vikig! y n p. 7 Ex) på användning av analoga filer = idskoninuerliga filer Ex) Inspelning av CD mikrofon CDskiva LP anivikningsfiler 0 khz Ex) Uppspelning av CD Uppsamling 4 ggr med ex runkerad sinc Sampling 44 khz A/D-omv. D/A Lagring på CD-skiva. LP gläningsfiler Högalare p. 8

3 Olika ideala fileryper (repeiion) Lågpass-filer (LP) släpper igenom låga frekvenser Högpass-filer (HP) släpper igenom höga frekvenser Bandpass-filer (BP) släpper igenom mellan-frekvenser Bandspärr-filer (BS) soppar mellan-frekvenser Bandpass p. 9 Ideala filer går ine a implemenera perfek E ideal lågpass-filer är en rekangelfunkion vars inversfourierransform är en sinc. Sincen har oändlig längd och ar därmed för lång id a fala med. Om falningen ska ske on-line (ine off-line) måse också filre vara kausal (h()=0, <0). De är ine sincen. p. 0 Illusraion på p. 9 Lie filererminologi Gränsfrekvens: Där försärkningen har sjunki med / = 3dB OBS! db p. Konsrukion av icke-ideala, analoga filer De vanligase fileryperna är: Buerworh (ger jämnas passband) Tjebysjov (ger smalas övergångsband) Dessa kan fås i fyra varianer: LP-filer HP-filer BP-filer BS-filer Vi ska bara ia (kursiv) på Buerworh, LP-filer p. 3

4 Buerworh-filer (kursiv) Ger maximal jämn passband. Finns i olika varianer som kallas n:e ordningens filer där n=,, 3,... p. 3 Fourierransformen H(w) för e Buerworh-filer med n= (kursiv) ω c ω c ω + j ω c ω p. 4 ω c ω c 4 + ω 4 ω c ω + ω c ω = + ω/ω c 4 Ampliudspekrum H(w) för olika Buerworh-filer (kursiv) För e n:e ordningens Buerworh-filer gäller: + ω/ω c n p. 5 Två olika realiseringar av e Buerworh-filer med n= (kursiv) X ω /jωc jωl + R + /jωc = /LC ω + R/L jω + /LC jωl jωc Y ω p. 6 A/R C ω + 3 A /RC jω + /R C 4

5 Vid falning glider h(-l) fram över s(). Filre överlappar då bara gamla kända värden, och ine framida. Repeiion av konvergensområden inför idsdiskrea sysem, dvs filer (se också formelsamlingen eller fö) En högersekvens (x[n]=0 för n<n 0 ) har e konvergensområde z >R +, där R + är radien ill sörsa polen. (En vänsersekvens (x[n]=0 för n>n 0 ) har e konvergensområde z <R -, där R - är radien ill minsa polen.) ((En dubbelsidig sekvens har e ring-forma konvergensområde R + < z < R -, där R + och R - är radier ill vå poler. Ingen pol får ligga i ringen.)) p. 7 Kausalie I e kausal sysem orsakas usignalen av insignalen, d v s för impulssvare gäller a h()=0 för <0 (eller h[n]=0 för n<0). Usignalen beror allså ine på kommande (framida) värden i insignalen. Alla fysikaliska sysem måse vara kausala. Observera a i en illämpning där man jobbar med lagrade daa (off-line) kan syseme vara icke-kausal. För e kausal sysem gäller a M<=N där: H z = a + bz + cz +... Bevis på avlan = K z n... z n M = K zm +... z p... z p N z N +... p. 8 Illusraion av kausalie p. 9 Sabilie p. 0 x n h n y n = x n h n Vi begränsar oss ill kausala sysem. Definiion: E sysem h[n] är sabil om en begränsad insignal x[n] medför en begränsad usignal y[n]. Man kan visa a sabilie uppnås i följande fall:. h n < Bevis på avlan. Alla poler innanför enhescirkeln Illusraion på avlan På enhescirkeln hiar vi TDFT:n. Den måse ligga i konvergensområde som ju är uanför sörsa polen. 5

6 Tidsdiskrea filer finns i vå varianer: ) FIR-filer FIR = finie impulse response (ändlig längd på impulssvare, icke-rekursiv) Ex) y n = a x n + b x n + c x n Y z = a X z + b z X z + c z X z H z = Y z X z = a + bz + cz = az + bz + c z h n = a δ n + b δ n + c δ n Allså inga poler (föruom i origo) => + allid sabil p. Tidsdiskrea filer finns i vå varianer: ) IIR-filer IIR = infinie impulse response (oändlig längd på impulssvare, rekursiv, åerkoppla) Ex) y n = B y n + a x n + b x n + c x n H z = Y z X z = a + bz + cz Bz = az + bz + c z Bz Allså både poler och nollsällen => - kan vara insabil + färre koefficiener än FIR p. Meoder för konsrukion av digiala filer p. 3 Konsrukion i z-plane Ex ) BS-filer dubbelpol Im z p. 4 Placering av poler och nollsällen i de komplexa z-plane. TDFT:n finns på enhescirkeln. Fönsermeoden. TDFT: H Ω Ω = H e jω = H z H z = z j z z + j H Ω Ω Re z De finns fler meoder beskrivna i läroböcker, men de hoppar vi över i denna kursen. Om vi kan jobba med lagrade daa (off-line) kan vi också välja FFT sam muliplikaion i Fourierdomänen med önska filer. 6

7 p. 5 p. 6 Ex ) BS-filer, fors Ex ) BS-filer, fors Konsrukion i z-plane Ex ) nochfiler (smal BS-filer) Im z p. 7 Ex ) noch-filer, fors p. 8 TDFT: H Ω Ω = H e jω = H z Re z H z = k z j z 0.7j z + j z + 0.7j H Ω Ω 7

8 Konsrukion i z-plane. Ex) LP-filer H f f, H Ω Ω p. 9 Konsrukion i z-plane. Ex) HP-filer H f f, H Ω Ω p. 30 Ω = π f/t = ω/t T p W Ω = π f/t = ω/t T p W Konsrukion i z-plane. Ex) BP-filer H f f, H Ω Ω p. 3 Konsrukion i z-plane. Ex) BS-filer H f f, H Ω Ω p. 3 Noch-filer Ω = π f/t = ω/t T p W Ω = π f/t = ω/t T p W 8

9 Fönsermeoden för konsrukion av FIR-filer (här e LP-filer) Ugå från TDFT:n H(W) för e ideal LP-filer. Invers TDFT ger e oändlig impulssvar h[n]. Trunkera h[n] genom a muliplicera sekvensen med e fönser w[n]. Högerskifa de symmeriska impulssvare så a filre blir kausal. p. 33 Fönsermeoden, ex) med LP-filer Ugå från TDFT:n H id (W) för e ideal LP-filer. Invers TDFT ger e oändlig impulssvar h[n]. h id n p. 34 Högerskif ger ine någon konsig effek de ger bara en fördröjning av usignalen. π h id n = π න H id Ω e jωn dω H id Ω = h id n π n e jωn Fönsermeoden, ex) med LP-filer Trunkera h id [n] genom a muliplicera sekvensen med e fönser w[n]. h id n p. 35 Fönsermeoden, ex) med LP-filer Resulae av runkeringen h id [n]w[n] högerskifas så a filre blir kausal. h id n w n p. 36 w n W Ω h n 9