Informationsteknologi

Transkript

1 Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik om modelleringen faser och modellförenkling Insiionen för informaionseknologi

2 Modellyper Informaionseknologi Deerminisisk - Sokasisk Dynamisk - Saisk Tidskoninerlig - Tidsdiskre Aggregerad ordinära diffar - Fördelad pariella diffar Förändringsorienerad - Händelsesyrd Röas pp i krsen Insiionen för informaionseknologi

3 Informaionseknologi Deerminisisk Sokasisk En modell är sokasisk om den berakar sannolikhesbegrepp. Annars är modellen deerminisisk. Händelse A förorsakar deerminisisk Händelse B Händelse A förorsakar med sannolikhe sokasisk Händelse B Insiionen för informaionseknologi

4 Några vikiga yper av maemaiska modeller Informaionseknologi Tidsdiskrea modeller 0,1,2, Variabeln k anv i kompendie för diskre id Tidskoninerliga modeller [ 0, ;, Modeller kan vara diskrea av sysemes nar eller vara en approimaion av en koninerlig modell. Kasala icke-kasala Kasal: Usignalen vid en idpnk beror endas på insignalen vid samma idpnk och insignalens idigare värden. I icke-kasala sysem beror signalen på insignalens framida värden. Insiionen för informaionseknologi

5 Blockschemamodeller Informaionseknologi E blockschema visar: ppdelning av fnkioner delsysemen, blocken påverkan mellan blocken Blockscheman är: användbara för a srkrera pp kvaliaiv knskap gångspnk för maemaisk modellbygge Simlink i Malab är e blockschemaorienera simleringsverkyg. Insiionen för informaionseknologi

6 Blockschema: ekologisk sysem Informaionseknologi En maemaisk modell beskriver befolkningsmängden i en sad m h a följande variabler: befolkningsmängden P levnadssandard M inflyning ill saden C hälsovård S sjkdomar D bakerier B avfall G Möjliga kasala samband: 1. PaGaBaDaP 2. PaMaCaP 3. PaMaSaDaP 4. PaMaSaBaDaP Insiionen för informaionseknologi

7 Konsaner, variabler, paramerar Informaionseknologi Konsaner: sorheer i modellen som ine ändras med iden Sysemparamerar: konsaner som är givna av syseme Designparamerar: konsaner som kan väljas för a ge modellen önskade egenskaper Variabler signaler: sorheer i modellen som varierar i iden Insiionen för informaionseknologi

8 Inerna och eerna variabler Informaionseknologi Eern variabel: en variabel som påverkar modellen an a själv påverkas av modellens övriga variabler Inern variabel: en variabel i modellen som ine är signal eller eern signal Sörsignal: en eern variabel i modellen som vi ine kan påverka kan vara mäbar eller icke-mäbar Typisk modell insignal Sysem sörsignal v signal y Insiionen för informaionseknologi

9 Modeller för idskon. dynamiska sysem Informaionseknologi Maemaiska modeller för dynamiska sysem kan beskrivas av differenial- och differensekvaioner vilkas lösningar är fnkioner av id. g y n, y n 1,..., y, m, m 1,..., 0 där g. är en godycklig olinjär fnkion och y k k d d d d k k k k y [ 0,,, eern beskrivning Insiionen för informaionseknologi

10 Informaionseknologi Tidskoninerliga LTI sysem LTIlinjär och idsinvarian.,...,,..., b b b y a y a y m m m o n n n Informaionseknologi Insiionen för informaionseknologi

11 Informaionseknologi Inern beskrivning, illsåndsvariabler mera info på föreläsning 6 och 7 Inern beskrivning: försa ordningens kopplade differenialekvaioner Informaionseknologi Insiionen för informaionseknologi 1 n M inerna variabler illsånd; n i i,..., 1, illsåndsvekor;,. f 1 m M insignalsvekor; vekorfnkion;,,, 1 f f f n M inern modellbeskrivning;

12 Informaionseknologi Tillsåndsmodeller Koninerlig id,,. h y f 1 n M 1 m M 1 y y y p M Informaionseknologi Insiionen för informaionseknologi Linjära modeller illsånd, n-dimensionell vekor y signal, p-dimensionell vekor insignal, m -dimensionell vekor D C h B A f,, + + m p n p m n n n R D R C R B R A,,, Om A,B,C,D är konsana mariser så är modellen LTI

13 Saionära lösningar Informaionseknologi För 0 0 och en given fnkion eiserar de en enydig lösning ; 0, 0,. som också kallas en rajekoria för syseme modellen. 0 konsan f 0, 0 0. f 0, Ana a och 0 är en lösning ill Usignalen blir 0 0 y y0 h 0, 0 då gäller 0, 0 är en saionär singlär, jämvikspnk pnk ill syseme Insiionen för informaionseknologi

14 Sabilie allmän Informaionseknologi Beroende på egenskaper hos f, 0 kan lösningen för iniialvärde 1 0 ppföra sig på olika sä. 0 om är asympoisk sabil gäller 0 0,, 0 om global asympoisk sabil, så gäller de för alla 1 1 för 1 som är nära 0 Insiionen för informaionseknologi

15 Sabilie för LTI-sysem Informaionseknologi Asympoisk sabilie kan användas men ofa vanligare med insignal-signal sabilie lä a kolla, se Kap 3: E sysem är insignal-signalsabil b o om en begränsad insignal ger en begränsad signal. sid 25 i kompendie Insiionen för informaionseknologi

16 Tidsdiskrea LTI sysem Informaionseknologi Linjär differensekvaion y 1 k + a1 y k 1 +,..., + an y k n bo k + b k 1 +,..., + bm k m Usignalen vid en viss idsdiskre idpnk beror av signalens värde vid andra äldre idsdiskrea idpnker sam på insignalens värde vid e anal idsdiskrea idpnker. Insignal-signalsabilie defineras pss som för idskoninerliga sysem och är lä a konrollera, Kap 4 Insiionen för informaionseknologi

17 Informaionseknologi Tillsåndsmodeller för idsdiskrea LTI modeller Kap 5 Pss som för koninerliga LTI men derivaan av illsånden ersäs med näsa värde på illsånden: k + 1 F k + G k y k H k + D k Insiionen för informaionseknologi

18 Modellbyggandes faser ej i kompendie Informaionseknologi Hr gå från e sysem fysisk, eknisk, biologisk.. ill en modell av formen. f, y h, Tre faser kan rskiljas: 1. Srkrering av probleme. 2. Basekvaioner as fram. 3. Tillsåndmodell formas. För seriös modellering använd daorsöd, e Modelica se Insiionen för informaionseknologi

19 Fas 1- srkrering Informaionseknologi Sysemavgränsningar Uppdelning av delsysem, ria blockscheman Specificera syfe: Modellnoggrannhe Usignaler av inresse Orsakssamband: Vilka variabler påverkar andra variabler? Vad finns för eerna signaler? Vilka sorheer är i sor konsana? Insiionen för informaionseknologi

20 Fas 2 forma basekvaioner för delsysemen Informaionseknologi Balansekvaioner. E Massflöde in - massflöde pplagrad massa/idsenhe. Konsiiva relaioner - samband mellan variabler av olika yp. E: Ohms lag, gaslagen men även eperimenell besämda relaioner. Insiionen för informaionseknologi

21 Fas 3 forma illsåndsmodell Informaionseknologi Välj ppsäning av illsåndsvariabler Uryck idsderivaan av varje illsånd som fnkion av illsåndsvariabler och insignaler. Uryck signalerna som fnkion av illsåndsvariabler och insignaler. Typiska val av illsåndsvariabler: Variabler som svarar mo pplagring av olika sorheer. E: Läge lägesenergi, Hasighe kineisk energi, Temperar ermisk energi, Nivåer volym. Insiionen för informaionseknologi

22 Modellförenkling ej i kompendie Informaionseknologi Försmma små effeker och nyja approimaiva samband. Linjärisering eori senare kring inressan arbespnk. Förenkla snabb och långsam dynamik syfe avgör inressan idsskala: Snabb dynamik ersäs med algebraisk samband: Långsam dynamik approimeras med en konsan. Insiionen för informaionseknologi

23 Modellförenkling ej i kompendie Informaionseknologi Aggregering; slå ihop "liknande" illsånd. Analyiska meoder för modellredkion finns. Hvdide : Tillsånd som näsan ine påverkar signalen kan vara veiga a eliminera, se minreal och modred i Malab. Insiionen för informaionseknologi

24 Sammanfaning Informaionseknologi Differenial- eller differensekvaioner används ofa för modellering av dynamiska sysem. För enkla sysem är de narlig a man härleder en differenialekvaion differensekvaion. Tillsåndsmodeller är dock behändiga vid modellering och analys av dynamiska sysem, särskil för sysem av högre ordning Insiionen för informaionseknologi