Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016

Transkript

1 Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola TENTAMEN I HÅFASTHETSÄA F MHA 08 6 AI 06 ösningar Tid och plas: i M huse. ärare besöker salen 9.30 sam.00 Hjälpmedel:. ärobok i hållfasheslära: Hans undh, Grundläggande hållfasheslära, Sockholm, Handbok och formelsamling i hållfasheslära, KTH, eller udrag ur denna; vid Ins. for illämpad mekanik uarbead formelsamling. 3. ublicerade maemaiska, fysiska och ekniska formelsamlingar. Medagna böcker får innehålla normala marginalaneckningar, men inga lösningar ill problemuppgifer. ösa aneckningar i övrig är ine illåna. Vid veksamma fall: konaka skrivningsvaken innan hjälpmedle används. 4. Typgodkänd miniräknare. ärare: eer Möller, el (77) 505 ösningar: Anslås vid ingången ill insiuionens lokaler 7/4. Se även kurshemsidan. oängbedömning: Varje uppgif kan ge maximal 5 poäng. Maxpoäng på enan är 5. eygsgränser: 0 4p ger beyg 3; 5 9p ger beyg 4; för beyg 5 krävs mins 0p. Yerligare poäng ges för varje korrek lös inlämningsuppgif under kursens gång (lp 4 05) dock krävs ovillkorligen mins 7 poäng på enamen. För a få poäng på en uppgif måse lösningen vara läslig och uppsällda ekvaioner/samband moiveras (de ska vara möjlig a följa ankegången). Använd enydiga beeckningar och ria ydliga figurer. Konrollera dimensioner och (där så är möjlig) rimligheen i svaren. esulalisa: Anslås senas /4 på samma sälle som lösningarna sam på kurshemsidan. esulaen sänds ill beygsexpediionen senas vecka 6. Granskning: Tisdag / sam orsdag 4/ på ins. (plan 3 i nya M huse) Uppgiferna är ine ordnade i svårighesgrad /WM

2 . Axelkonsrukionen i figuren besår av en cenral massiv axel med radien r och e omgivande unnväggig rör med medelradie och godjocklek T r T Delarna är illverkade av e lineär elasisk 0 maerial med skjuvmodul G, och de är förenade med gavlar som kan berakas som sela. a: esäm radieförhållande r så a snimomenen i rör och axel blir lika sora, då konsrukionen belasas med e vridande momen T. (3p) 3r b: Vilken del kommer förs a plasicera då vridmomene T successiv ökar, om ----? (p). p En packning besår av vå delar med olika maerial enlig figuren. Vid monering uppsår e konakryck p på övre yan av pack- a y ningsdel delen pressas då mo x anliggande sålyor så a äning uppsår. a b Såle är mycke syvare än packningen och sel kan berakas som oändlig syv. ackningsmaerial är lineär elasiska och fria a uvidga sig i z led; frikionen mellan de olika konakyorna kan försummas. esäm normalspänningarna i de båda packningsdelarna ( σ x, σ y, σ x, σ y ). (5p) Daa: a b 0 mm, p 00 Ma, E E 3 0 Ga, ν ν 0,4 3. Den lineär elasiska balken AC är fas inspänd vid A och rullagrad vid och C, så a vå spann med längden vardera bildas. Delen A har dubbel så sor böjsyvhe som delen C. Mi på delen C verkar en nedå rikad kraf, medan AC belasas med en fördelad las med lineär varierande inensie (kraf/längd); sörsa inensieen är (se figur). a: ia momendiagramme för delen C (3p) A C /WM

3 9 b: För en viss belasning blir M max i delen C. alken har här 0 e enkelsymmerisk I värsni med flänsbredder H och H, sam H z livhöjd H (se figur); godjockleken är och anas mycke mindre än övriga värsnisdimmensioner ( «H ). esäm så a säkerheen mo plasicering blir Daa: 50 kn, 30 Ma, σ max H y m och H 00 mm. (p) H 4. En halvcirkelbåge med krökningsradien och konsan böjsyvhe är fas inspänd vid A och ska rullagras vid. De visar sig a öppnings vinkeln bara är π ϕ (rad) så A ϕ ϕ e passningsfel ϕ «uppkommer vid rullsöde. Hur sor blir inspänningsmomene efer moneringen? (5p) 5. Axialkrafen är rikad längs balkens medellinje och angriper balken vid misöde. a: esäm övre och undre gräns för kriisk las med avseende på elasisk sabilie. (p) b: Den kriiska lasen kan beräknas genom a lösa differenialekvaionen 4 d w d w + n, där. Ange och moivera de randvillkor som då behövs för a d dx 0, x ( 0, ) n x 4 besämma. andvillkoren ska ges i ermer av villkor på funkionen w och dess derivaor. (p) kr c: Härled knäckekvaionen, dvs en ekvaion vars lägsa posiiva ro n, n -----, ger kriiska las- en med avseende på elasisk sabilie. (p) kr z, w( x) x A C Observera a bara delen A är ryck! /WM

4 ösning a: Vi har rivial a M v T, där M v är snimomene i respekive del. Vridningsvinkeln för axeln är v M 0M (undh 6,); vinkeln för röre är v ϕ axel (undh 6 6). πgr 4 ϕ rör πg 4 Dessa vridningsvinklar måse vara lika sora efersom gavlarna är sela: ϕ axel ϕ rör -- r ,5 r ösning b: Skjuvspänningen i röre (konsan pga unnväggighe) fås enlig undh 6 4 som τ rör M v,rör 0M v,rör π π 3 --r 3 80M v,rör πr 3 undh 6 4 ger maximal skjuvspänning i axeln: τ axel M v,axel πr 3 3r Efersom ---- ve vi från deluppgif a a M, så skjuvspänningen i röre är sörre än v,axel M v,rör sörsa skjuvspänningen i axeln röre plasicerar förs ösning : Jämvik vid den belasade yan ger a σ y p 00 Ma. Jämvik i gränsskike mellan de vå maerialen visar a σ x σ x () Axialöjningarna beräknas enlig undh 0 5,6 (al. Formelsamling sid 4, med σ z 0 i båda maerialen: ε x ( σ x νσ y ) ( σ,, sam E x + νp) ε x ( σ x νσ y ) ( σ 3E x νσ y ) E ε y ( σ. Villkore ger då E y νσ x ) ( σ 3E y νσ x ) aε y 0 E σ y νσ x () medan villkore aε x + 0 bε x ger b ( σ E x + νp) + -- ( σ 3 x νσ y ) 0 (3) 6νp där vi unyja a a b. Ekvaionerna (), () och (3) ger σ x σ x och 7 ν 35 Ma σ y 6ν p ν 4 Ma /WM

5 ösning 3a: Konsrukionen är saisk obesämd efersom vi har 5 södreakioner, men bara illgång ill 3 jämviksekvaioner. Vi använder här krafmeod och elemenarfall för lösa uppgifen. Snia omedelbar ill vänser och höger om söde vid. Momenjämvik för de usniade söde ger a M A M C ; forsäningsvis beecknar vi snimomene med M. Från formelsamlingen sid 9 och får vi a vinklarna på ömse sidor söde blir H A M A M C A M θ A M θ C θ A M M θ C C 7 Kompaibiliesvillkore θ A + θ C 0 ger nu M eraka nu momenjämvik vid för delen C: C M. Med fås C 0 M C M C å M mi beeckna snimomene mi på spanne C; snia omedelbar ill höger om krafen och beraka momenjämvik för den högra delen: M mi + C -- 0 M mi Vid den fria änden C är snimomene 0 efersom inge yre momen verkar här. Mellan C och mipunken måse momene d M variera lineär, efersom dx q( x) 0 ; av samma anledning är variaionen lineär mellan och mipunken. Vi kan nu ria momendiagrame. ösning 3b: Vi har a sam beräkna arearöghesmomene σ max M max z max För a hia z 3 max, måse vi förs hia värsnies y yngdpunk. Med beeckningar enlig figuren får vi de saiska momene m.a.p η axeln S η Az p H H + H H + H 0, där 4 A 5H är värsnisyan; vi finner då z p --H, så 5 z max 6H H + z p I y I y M: 7 M mi 9 z H H H C C z p η y /WM

6 Med Seiners sas får vi nu arearöghesmomene I y ( H) H( H z p ) H( H z p ) Hz p 5H (vi har här försumma ermer som är kubiska 9 6H 5 i, efersom «H ). Insäning ger nu ur vilke 0 5 5H ösning 4: Inför södreakionen vid ( De böjande momene M( ϕ) V i bågen kan då skrivas ) som saisk överalig H 7,8 mm M( ϕ) M( ϕ) V ( cosϕ). Casiglianos a sas ger nu π M ϕ M d ϕ V, varur V 3 ( cosϕ) dϕ 0 0 π ϕ V V ϕ ϕ π 3π ( cosϕ) dϕ 0 ϕ π De söka momene är då 4 ϕ M( π) V ( cosπ) V π ösning 5a: Om spanne C as bor så har vi Eulers a knäckfall, medan om i spanne C så fås 3e knäckfalle. De vå yerligheerna ger en vekare respekive vekare sukur, så π,05π knäcklasen måse ligga däremellan: < kr < ösning 5b: Vi har rivial a ransversalförskjuningen är noll vid de båda söden A och : w( 0) 0 w( ) 0 Vid x 0 är snimomene noll; efersom M w'' har vi då w'' ( 0) 0 Vid x kan vi hia e samband mellan roaionen θ w' ( ) och snimomene M w'' ( ) 3 M( ) w' ( ) ; formelsamling sid 9 ger θ , så w' ( ) eller w'' ( ) + --w' ( ) ösning 5c: Differenialekvaionens lösning är w( x) A + x + Ccos( nx) + Dsin( nx) (undh ekv 8 66). andvillkoren vid x 0 ger då A + C 0 och Cn 0, så A C 0. Villkore w( ) 0 ger sin( n) därefer + Dsin( n) 0, varur D Vi har då sin( n) w D sin( nx) x sin( n) w' D n cos( nx) w'' D( n sin( nx ))) Sisa randvillkore ger nu D n 3n 3 sin( n) cos( n) sin( n) 0. Icke riviala lösningar ( D 0 ) kräver a urycke inom parenes är noll: 3n ( 3 + ( n) ) an( n) /WM