Kvalitativ analys av differentialekvationer

Transkript

1 Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Kvaliaiv analys av differenialekvaioner Anders Källén MaemaikCenrum LTH

2 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 1 (10) Inrodukion De funkioner man är inresserad av i illämpningar kommer ine allid färdiga. Ibland gäller de a de isälle finns någon form av naurlag som leder ill en ekvaion som förbinder olika derivaor av den funkion man söker. Sådana ekvaioner kallas differenialekvaioner. Den yp av differenialekvaioner vi ska diskuera i de här kapile är av försa ordningen, d.v.s. definierar derivaan som en funkion av funkionens värde, och har formen y () = f(y()), där f(x) är en funkion som är deriverbar och har en koninuerlig derivaa överall. De vi söker är funkionen y() och vi kommer a a för give a om vi lägger på e villkor y( 0 ) = y 0 så finns de precis en funkion y() som löser ekvaion plus sarvillkor. De är lä a ro på a så är falle: om vi befinner oss i en punk på grafen ill en lösning så definierar ekvaionen hur for och i vilken rikning vi ska röra oss, så grafen borde bli enydig besämd. Dock är de ine rikig så enkel, men om vi kräver a funkionen är deriverbar överall är de san. Så de är san om högerlede är.ex. e polynom, vilke är de fall vi ska sudera. Och då har vi a graferna ill vå olika lösningar ill differenialekvaionen ine kan skära över varandra. I de här kapile ska vi både se hur differenialekvaioner dyker upp några sammanhang, mes av icke-fysikalisk naur, och hur man kan få en hel del informaion om hur lösningen ser u ifrån ekvaionen enbar, uan a lösa den. Exponeniell och logisisk illväx I en bakerikulur kan man ofa ana a anale bakerier illväxer med en hasighe som är proporionell mo anale bakerier. De beyder a de finns en konsan k, kallad proporionalieskonsanen, som är sådan a om vi låer så gäller a y() = anale bakerier vid iden, y () = ky(). Dea är e (oerhör vikig) exempel på en försa ordningens differenialekvaion. För a få en enydig lösning lägger vi på e sarvillkor y(0) = y 0. Definiion 1 Den funkion y() som löser probleme y () = y(), y(0) = 1 kallas exponenialfunkionen och beecknas med exp().

3 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 2 (10) Vi ska nu se vilka sluasaser vi kan dra om grafen för exponenialfunkionen uifrån observaionerna ovan. Dea är en försa illusraion på hur man kan dra slusaser om hur lösningen ill en differenialekvaion ser u uifrån endas ekvaionen, uan a lösa den. Den försa observaionen vi gör är då a om y() är sådan a y () = y(), y( 0 ) = 0 för någo 0, så måse y() = 0 för alla. Dea därför a funkionen som är idenisk noll uppfyller probleme, och probleme har en enydig lösning. De beyder a en lösning ill ekvaionen y () = y() som ine är idenisk noll, aldrig kan bli noll och därför är aningen posiiv överall, eller negaiv överall. Lå nu y() = exp(), allså lösning ill y () = y(), y(0) = 1. Efersom y(0) > 0 har vi y() > 0 överall enlig ovan. Men enlig ekvaionen är då också y () > 0 överall, och funkionen är därför sräng växande. Den växer också forare och forare, efersom högerlede blir sörre och sörre, och måse därför gå mo oändligheen då. Om vi isälle går mo minus oändligheen så kommer grafen a ava långsammare och långsammare, och efersom grafen aldrig kan passera -axeln, måse den plana u. Lösningen måse därför ha en horisonell y y = exp( ) y = exp() asympo, och när y() närmar sig denna (kom ihåg a vi går från origo mo ), måse angenen blir mer och mer horisonell, dvs y () 0 då. Men de beyder a asympoen är jus linjen y = 0, efersom y = y. Anmärkning Alernaiv, noera a funkionen y() = exp( ) uppfyller ekvaionen y () = y(), y(0) = 1. För den gäller a y () < 0, och allså är y() sräng avagande. Efersom värdena på y() blir mindre och mindre hela iden, och efersom dess graf aldrig kan passera -axeln, måse den plana u. Lösningen måse därför ha en horisonell asympo, och när y() närmar sig denna, måse angenen blir mer och mer horisonell, dvs y () 0 då. Men de beyder a asympoen är -axeln, dvs linjen y = 0. Allmän har vi följande (oerhör) vikiga observaion: y () = ky(), y(0) = y 0 y() = y 0 exp(k), en formel som måse sia i ryggmärgen. Den följer av diskussionen ovan, efersom lösningen ill differenialekvaonen är enydig besämd.

4 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 3 (10) Exempel 1 (Radioakiv sönderfall) Vissa aomer är medfö insabila, så a de efer en viss id sponan genomgår en omvandling ill en ny sors aom under de a de usänder srålning (radioakiv sönderfall). Ruherford formulerade en enkel modell för hur en radioakiv mängd om N 0 aomer sönderfaller. Lå Då gäller a [1] N() = anale aomer som ine sönderfalli vid idpunken. N () = anale sönderfall per idsenhe. Ruherfords modell, södd av daa, är a dea anal sönderfall per idsenhe är proporionell mo anale aomer som ännu ine sönderfalli: N = λn. Här är λ en posiiv konsan, sönderfallshasigheen och den har enheen per idsenhe. Om N(0) = N 0 ges lösningen, enlig ovan, av N() = N 0 exp( λ). Vi kan urycka differenialekvaionen y () = ky() som a den relaiva illväxhasigheen y () y() är konsan, allså oberoende av iden. Om vi anar a en bakeriekulur följer denna illväxlag, så har vi se a den leder ill a bakerierna växer över alla gränser, vilke är orimlig, efersom födan någon gång måse a slu. Isälle finns de roligen någon maximal anal som bakerierna kan uppnå i denna kulur. När vi närmar oss den nivå bör illväxshasigheen (som är skillnad mellan anale födda och döda per idsenhe) a ava, för a bli noll när vi når den nivån. För a a hänsyn ill de behöver vi modifiera modellen lie. Vi inför e al K som represenerar de maximala anale bakerier som kan leva i den miljön och kallar de miljöns bärighe. En rimlig modell är då a när anale bakerier är lie är den relaiva illväxen näsan konsan (p.g.a. riklig illgång på föda), medan ju mer vi närmar oss K, deso mindre blir den relaiva illväxhasigheen. En enkel modell som beskriva dea är y () y() = r(1 y() K ). Den kallas den logisiska illväxlagen, och karakeriseras allså av a den börjar som exponeniell illväx, men a den relaiva illväxhasigheen avar mo noll då populaionen når sin bärighe. Noera a om y() > K, så är illväxhasigheen negaiv, d.v.s fler dör än föds per idsenhe. Den logisiska illväxlagen används ofa när man vill sälla upp enkla ekologiska modeller. Följande exempel är en illusraion av idén.

5 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 4 (10) Exempel 2 En lien söderhavsö har koloniseras för länge id sedan av en populaion fåglar som numera sabil håller sig kring 6000 fåglar år efer år. När de försa fåglarna kom di för länge sedan hade de en relaiv illväx på 0.3 per år. Hur kan vi beskriva dynamiken för dea? En enkel modell vore a använda den logisiska illväxlagen. När fåglarna var få, har vi allså a y /y 0.3, vilke beyder a vi ska a r = 0.3. När populaionen har kommi upp i 6000 ändras populaionssorleken ine, vilke beyder a derivaan y = 0 då y = De i sin ur beyder a bärigheen är K = Mäer vi fåglarnas anal i usenal isälle, får vi a anale fåglar y() vid iden kan beskrivas av ekvaionen y () = 0.3y()(1 y() 6 ). Vi kommer a åervända ill dea exempel flera gånger i dea kapiel. Massbalans och massverkans lag Vi ska nu diskuera en siuaion som naurlig leder ill differenialekvaioner. För dea börjar vi med e exempel. Exempel 3 Till en behållare som innehåller 100 lier ren vaen illförs salvaen med en koncenraion av 2 g/l med e flöde av 3 L/h. Dea blandas fullsändig med vane i behållaren och sedan appas blandningen u med samma flöde 3 L/h. Vi ska besämma en differenialekvaion för M() = mängden sal i behållaren vid iden. Den bygger på a M () mäer hur mycke mängden sal ändras i behållaren per idsenhe, och den ändringen är skillnaden mellan inflöde och uflöde sal vid den idpunken. 6 g/l 100 L 3c() g/l I de här falle är flöde u lika sor som flöde in hela iden, så volymen väska ändrar sig ine uan är konsan lika med 100 lier.

6 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 5 (10) Mängd sal som illförs per idsenhe ges av medan mängd borförs sal ges av Q in () = 3 L/h 2 g/l = 6 g/h, Q u () = 3 L/h c() g/l = 3 M() 100 g/l. Här beecknar c() = M()/100 koncenraionen sal id idpunken. Ur dea får vi differenialekvaionen M () = Q in () Q u () = M(). Anmärkning Vi har skrivi u enheer i lösningen ovan för a påpeka a man bör konrollera a de sämmer. Egenligen är varje uryck endas al - de ingår i definiionen av olika sorheer i modellen vilken enhe vi mäer dem i. Anmärkning I exemple används orde flöde för vå sorers flöde: dels volymsflöde, allså volym väska som rinner per idsenhe, dels massflöde, vilke är mängd subsans som rör sig per idsenhe. Enheerna får förklara vilke som är vilke. Basen för diskussionen kallas massbalans: mängden av någo i e begränsa område måse balanseras genom { ändring i mängd per idsenhe } = { inflöde } { uflöde }, d.v.s., om M beecknar mängd och Q flöden: M () = Q in () Q u (). Q in () M() Q u () När man säller upp en sådan differenialekvaion är de vikig a man konrollerar a enheerna blir rä, som vi gjorde i exemple ovan. Exempel 4 Vad gäller fåglarna på den lilla söderhavsön i Exempel 2, så uppäckes ön en dag av sjömän som färdades på de sora haven. Sjömännen uppäcke också a fåglarna var goda a äa, så de fångade in några som de og med sig som provian. På dea sä infångades 250 fåglar per år, vilke leder ill a anale fåglar på ön (mä i usenal) nu följer differenialekvaionen y () = 0.3y()(1 y() 6 ) Vilka konsekvenser får de för fågelbesånde på ön? De ska diskueras i näsa avsni.

7 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 6 (10) Anmärkning Vi kan se den logisiska illväxlagen som e exempel på massbalans också. Vi skriver då om ekvaionen som y () = ry() ay() 2, a = r/k. Vi har då en inflödeserm som svarar mo a födelsealen växer exponeniell. Men samidig dör dessa individer med en hasighe som är proporionell mo anale individer i populaionen, d.v.s. uflöde är (ay)y. Inom reakionskineiken i kemin finns en annan lag som leder ill differenialekvaioner. Vi illusrerar den genom a beraka en irreversibel reakion A + B C mellan re kemiska föreningar A, B, C. Beeckna koncenraionen [2] av A med [A]. Reakionens hasighe v() vid iden definieras då som v() = [A] (), allså som den hasighe med vilken koncenraionen av A avar vid iden. Noera a reakionsformeln visar a [A] () = [B] () = [C] (), så vi kan också uppfaa v() som den hasighe med vilken koncenraionen av C ökar med iden. Reakionshasigheen för en kemisk reakion måse allid besämmas experimenell. Under vissa beingelser anar den emellerid en form som eoreisk kan moiveras av Massverkans lag: Reakionshasigheen är proporionell mo koncenraionerna av de reagerande ämnena. För reakionen ovan innebär massverkans lag a [A] = r[a][b] för någon konsan r som kallas hasigheskonsanen för reakionen och allid är posiiv. Dess enhe varierar från reakion ill reakion; i vår exempelreakion är den (om koncenraionen mäs i M (molar) och iden i sekunder) M 1 s 1. För a besämma en differenialekvaion som beskriver reakionen låer vi a och b vara sarkoncenraionerna för A, respekive B, och definierar funkionen u() genom a [A]() = a u(). De beyder a u() mäer hur mycke som omsas av A (per volymsenhe) vid iden. Efersom en molekyl A reagerar med en molekyl B omsäs båda ämnena lika for och vi har även a [B]() = b u().

8 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 7 (10) Vidare gäller a [A] () = (a u()) = u (), så massverkans lag ovan innebär a u() är en lösning ill probleme u = r(a u)(b u), u(0) = 0. Dea är den differenialekvaion som beskriver den irreversibla reakionen A + B C. A skissera lösningar ill differenialekvaioner Efer a nu ha se någo på hur differenialekvaioner kan dyka upp i verkliga live, ska vi se om vi kan få en uppfaning av hur deras lösningar ser u genom a endas sudera ekvaionen, som vi anagi har formen y () = f(y()). En speciell yp av lösningar ill denna ekvaion är s.k. jämvikslösningar. Med dea menas a y() är konsan, y() = y 0. För en sådan lösning gäller a y () = 0 och de följer a y 0 måse vara e nollsälle ill f: f(y 0 ) = 0. Omvän ger varje sådan nollsälle en jämvikslösning ill ekvaionen. Vi har se idigare a ingen annan lösning kan skära en jämvikslösning (dvs lösningarnas graferna kan ine skära varandra). Mellan vå jämvikslösningar har derivaan e fix ecken, och är allså aningen sräng växande eller sräng avagande. Om.ex. f(y) > 0 så länge som y 1 < y < y 2, så måse y(), om de ligger i inervalle, vara sräng växande men aldrig skära nivån y = y 2. Däremo skär den varje annan nivå, så vad som måse gälla är a y() y 2 då. Om isälle f(y) < 0 för dessa y, måse y() y 1 då. Men dessa observaioner gör a vi kan skissera lösningarna ill sådana differenialekvaioner, vilke vi ska illusrera i exempelform. De försa exemple är en linjär differenialekvaion. Exempel 5 För a skissera lösningarna ill ekvaionen y = y, noerar vi förs a f(y) = y = 0 precis då y = 200. Dea är därför de enda jämviksläge. Sambande y = f(y) ger oss nu följande eckenabell: y : 200 y () + 0 y() Från den ser vi a om y(0) < 200 så växer lösningen mo 200 medan om y(0) > 200 så avar lösningen mo 200. Dea är illusrera i figuren, där jämvikslösningen svarar mo den horisonella linjen, den blå kurvan mo siuaionen då y(0) < 200 och den röda mo siuaionen då y(0) > 200. y

9 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 8 (10) De andra exemple är icke-linjär. Exempel 6 För a skissera lösningarna ill den logisiska ekvaionen y = ry(1 y K ), där r, K > 0, noerar vi a f(y) = ry(1 y/k) = 0 är ekvivalen med a y = 0 eller y = K. En eckenabell ger a y : 0 K y () y() Från dea kan vi skissera yplösningar som i figuren ill höger. Om y(0) < 0 gäller a y() då växer, medan om y(0) > 0 gäller a vi asympoisk närmar oss jämviksläge y = K. Om 0 < y(0) < K växer y() mo K, om y(0) > K kommer y() a ava mo K. y K Dea exempel föranleder oss a göra följande definiion. Definiion 2 E jämviksläge y 0 ill en differenialekvaion y = f(y) som är sådan a y() y 0 om bara y(0) är illräcklig nära y 0 sägs vara e sabil jämviksläge. E jämviksläge y 0 som är sådan a y() försvinner iväg från y() oavse hur nära y(0) ligger y 0 (dock ine sådana a y(0) = y 0!), sägs vara e insabil jämviksläge. I de senase exemple är allså y = 0 e insabil jämviksläge medan y = K är e sabil jämviksläge. Exempel 7 Efer a sjömännen hade uppäck fåglarna på söderhavsön gäller a fågeldynamiken (mä i usenal) är y = 0.3y(1 y 6 ) För a förså på vilken nivå fåglarna nu sabiliserar sig fakoriserar vi andragradspolynome i högerlede ill y = 0.05(y 1)(y 5),

10 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 9 (10) och ser a vi har vå jämvikslägen: y = 1 och y = 5. För a ureda deras sabilie gör vi en eckenabell: y : 1 5 y () y() Dea visar a y = 5 är e sabil jämviksläge medan y = 1 är insabil. Några ypiska lösningar ser u som i figuren nedan. Vad vi ser här är a om y(0) > 1 så kommer y() 5 då, men om y(0) < 1 så kommer y(). I verkligheen kan anale fåglar ine bli färre än 0, så de beyder a om y(0) < 1 så kommer fåglarna a dö u inom en snar framid. De som kan orsaka a y(0) blir < 1 är.ex. någon naurkaasrof som ligger uanför modellen. Vi kan.ex. änka oss a de sker e vulkanubro som minska populaionen drasisk från 5 usen. Hur sor anale är som överlever vulkanubroe är då hel avgörande för om de finns kvar några fåglar alls på ön några år senare. y Vi avsluar de här kapile med e anal obervaioner. Den försa observaionen är a vi kan gå baklänges i iden också, dvs låa. De är desamma som a följa u() = y( ) då, och u() uppfyller differenialekvaionen u () = f(u()). Denna ekvaion har samma jämvikslägen som y = f(y) med den skillnaden a sabila jämvikslägen blir insabila och värom. Med hjälp av dea kan vi kompleera grafen i Exempel 6 så a vi får lösningskurvorna även för negaiva. Dea är gjor i figuren ill höger. Den andra observaionen är a vi får den lösningskurva som går genom ( 0, y 0 ) genom a lösa probleme y () = f(y()), y( 0 ) = y 0. Lå y 1 () vara sådan a y 1() = f(y 1 ()), y 1 (0) = y 0. Då gäller a funkionen y 2 () = y( + 0 ) också löser denna ekvaion och, efersom probleme har en enydig lösning, följer de då a vi måse ha a y 2 () = y 1 (). Uskrive blir de a y() = y 1 ( 0 ). För a få lösningen y() kan vi allså besämma y 1 () och sedan parallellförflya den i sidled såsom illusreras i figuren. y K y K y = y() y = y( 0 ) 0

11 Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 10 (10) Den redje och sisa observaionen är a om vi deriverar differenialekvaionen y = f(y) får vi enlig kedjeregeln a y () = f (y())y () = f (y())f(y()). Men f (y)f(y) = 0 är noll dels då f(y) = 0, allså i jämvikslägena, dels för sådana y som uppfyller a f (y) = 0. Om därför y() i en punk 0 anar e värde y sådan a f (y ) = 0, så kommer y ( 0 ) = 0. Om dessuom f växlar ecken i punken y beyder de a 0 är en inflexionspunk ill y. Vi kan använda dea ill a förfina våra funkionsgrafer. Exempel 8 För den logisiska illväxen har vi f(y) = ry(1 y/k). Vi har därför a f (y) = r(1 2y/K) = 0 precis då y = K/2. På höjden y = K/2 övergår därför en lösning från a ha en ökande derivaa ill a ha en avagande derivaa. Noeringar 1. Kom ihåg a derivaan mäer ökningsak, så för a få minskningsak måse vi a minus derivaan. 2. Egenligen akiv koncenraion, allså de molekyler som är fria a dela i reakionen.