3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN Åbo, Finland

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo."

Transkript

1 3D vaenanimering Joakim Julin Deparmen of Compuer Science Åbo Akademi Universiy, FIN Åbo, Finland Absrak Denna arikel kommer a presenera e anal olika algorimer för a åsadkomma real-ime animering av vaen på dagens grafikprocessorer. Den beskriver olika meoder a animera vaenyor, hur man räknar u olika ypers reflekioner för vaenyor och hur man kan flya över delar av beräkningarna ill grafikprocessorn. Klassificering ACM Compuing Classificaion Sysem: I.3.2 Picure/Image Generaion I.3.3 Graphics Uiliies I.3.7 Three-Dimensional Graphics and Realism ACM Special Ineres Groups: Compuer Graphics and Ineracive Techniques SIGGRAPH Innehåll

2 1. Inledning 2. Ljuses opiska egenskaper 2.1 Snell's lag 2.2 Fresnel ekvaioner 3. Olika ypers reflekioner 3.1 Globala reflekioner 3.2 Lokala reflekioner 4. Simulering av yan 4.1 Navier-Sokes basera sysem 4.2 Perlin brus 5 Animering av yan med perlin brus 5.1 Algorim 5.2 Heighmap generering 5.3 Generering av reflekionen 5.4 Rendering med hjälp av verex- och pixelprogram 5.5 Uvidgning av algorimen Appendix A - Bilder Referenser 1. Inledning Tackvare a dagens grafikprocessorers kraf har öka mycke och a man kan programmera

3 dessa kan man göra mera och mera invecklade operaioner på dessa. Man kan flya delar av beräkningarana för olika algorimer bor från daorns processor och göra dessa på grafikprocessorn i sälle. Förr har man ofa beraka vane som en plan ya med en färdig genererad exur, där man ej kan represenera reflekioner av den dynamiska världen. Med dagens hårdvara kan man göra vaenyorna mera realisiska, genom a.ex. räkna u ljuses bryning och inensie per pixel. Genom a flya operaioner bor från daorns processor kan man använde denna a räkna u mera realisiska simulaioner av vågor på vaenyan. 2. Ljuses opiska egenskaper 2.1 Snell's lag Om man vill a vaenyan har realisiska egenskaper måse man a i beakan hur ljuse beer sig då den går från e medium ill e anna, från e unnare ill e äare då de är fråga om luf och vaen. När ljus räffar vaenyan kommer en del av denna a reflekeras och en del a bryas. Snell's lag [1], n 1 sin(θ 1 ) = n 2 sin(θ 2 ), ger oss relaionen mellan vinklarna θ 1 och θ 2. Vinkel mellan ljussrålen P och ynormalen N är θ 1, som kallas infallsvinkeln och vinkeln mellan Q och ynormalen N är θ 2, och kallas bryningsvinkeln. Då ljussrålen P går från e unnare medium n 1 ill e äare medium n 2 kommer Q a vara närmare ynormalen än P. Vid beräkning av hur ljussrålen brys då den räffar vaenyan kan man anse a n 1 = 1.0 (bryningsindex för luf)och n 2 = 1.33 (bryningsindex för vaen). För exaka beräkningar borde man räkna u bryningsvinkeln för ljussrålen med hänsyn ill ljuses olika våglängder, dvs. för rö ljus borde n 2 = 1.331, för grön ljus n 2 = och för blå ljus n 2 = Men efersom vid daorgrafik represenerar man färger ofas med 24 biars precision, dvs. 8 biar per färgkanal (röd, grön och blå), blir skillnaderna mellan bryningsvinklarna mycke små och man kan därför approximera n 2 ill 1.33, eller någo anna lämplig värde. [J04] Då man använder Snell's lag vid beräkningar i daorgrafik ve man infallsvinkeln och ynormalen, och är för de mesa inresserad av θ Frensel evkaioner När ljussrålen går från e medium med bryningsindex n 1 ill e anna medium med bryningsindex n 2, kommer en del av ljuse a reflekera och en del a bryas. Då man ve

4 vinkeln mellan ljussrålen och ynormalen och har med hjälp Snell's lag räkna u bryningsvinkeln θ 2 kan man använde dea resula för a räkna u inensieen för dom delarna av ljusrålen som kommer a reflekeras respekive bryas. För a räkna u dea använder man Fresnel ekvaionerna [2], där θ 1 och θ 2 är infallsvinkeln respekive bryningsvinkeln. R 0.5 sin 1 2 sin an 1 2 an Resulae R ur Frensel ekvaionen säger hur sor del av ljussrålen, i procen, kommer a reflekeras. Hur sor del av ljuse som kommer a bryas fås ur T = 1 - R. Reflekions vinkeln är den samma som ljussrålens infallsvinkel. För daorgrafikens endamål kan man beräkna Fresnel ermerna i förväg, efersom dessa är endas beroende på vinkeln mellan ljusvekorn och ynormalen, och spara dessa i en i en räka som man sedan läser värdena från vid behov. Om man har illgång ill pixelprogram kan man spara Fresnel ermerna i en en-dimensionell exur, som man sedan kan indexera med hjälp av a räkna u skaläraproduken mellan ljusvekorn och ynormalen. [J04] 3. Olika ypers reflekioner 3.1 Globala reflekioner Reflekioner kan klassificeras i vå olika yper, globala och lokala [J04]. Globala ypens reflekioner är från objek som kan anses vara oändlig lång bora från öga. E bra exempel på globala reflekion är himmelen. Cube maps, som preseneras i [3], är e populär sä a åsadkomma globala reflekioner med dagens hårdvara. En cube map är en kub som besår en exur för varje sida (fig. 3.1), som sedan bildar en 360 graders bild se från kub mipunkens synvinkel. För a läsa e värde ur en cube map använder man en vekor med x, y och z komponener som index ill denna. Denna vekor kan räknas u med hjälp av ynormalen och synvekorn för denna pixel. De värde som man får ur denna operaion är ljuse som reflekeras ill denna punk. Cube maps används ofa för a få in reflekioner från saiska objek, som.ex. berg som är synliga lång bora vid horisonen men kan anses vara silla oavse hur kameran rör på sig. Man kan även använda cube maps för icke-saiska omgivningar genom a genererar cube map exurerna dynamisk. Dea innebär a man genererar en bild av världen se från sex sycken olika håll från reflekionspunken, så a dom resulerade sex bilderna bildar kubens sidor. Denna operaion kräver själv klar mycke mera beräkningar än saiska cube maps, som kan genereras en gång och är sedan konsana under resen av program exekveringen. [3]

5 3.2 Lokala reflekioner Lokala reflekioner är reflekioner där objeken kan ej olkas vara oändlig lång bora, så som.ex. en bå som kör förbi på 10 meers avsånd. Dessa reflekioner går a åsadkomma med hjälp av cube maps som uppdaeras dynamisk, men dea är mycke resurs krävande efersom alla sex sidor av cube mapen måse uppdaeras då e objek rör på sig. E alernaiv för a åsadkomma lokala reflekioner är olka vaenyan som e plan och spegla världen run denna med hjälp av en reflekionsmaris.[l04] Om man anar a a X och Z axlarna är parallella med mark yan, Y-axeln är uppå och a vaenyans ynormal är [0, 1, 0] och den är på en höjd h ovanför världens XZ-plane, är reflekionmarisen (Mr) så som nedan. Mr h Den sluliga marisen för operaionen är Mrv = Mk * Ms (*Mo), där Mk är kamera marisen och Mo är marisen som används a ransformera verexerna från objec rymden ill världs rymden. Genom a nu renderera världen normal, se från original synpunken, genom denna reflekionsmarix Ms, är den resulerande bilden så som om hela världen skulle ha speglas run vaenplane. Denna meod anar a vaenyan är en slä plan och är därför ej hel fysikalisk korrek men är en bra approximaion, där resurs kravena är direk sammanbundna med världens komplexie se via kameran i jus denna punk. [L04] Denna meod kräver mindre resurser än a använda dynamiska cube maps efersom den kräver endas en exra rendering pass per frame för a få reflekionerna. Den bilden som man får u genom denna reflekions operaion sparas sedan i en exur som

6 senare kan projiseras på vaenplane, med en så kallad projecive exuring meod. Projecive exuring är en meod för a projisera en vå dimensionell bild på e re dimensionell objek, man kan änka sig a de är fråga om en diaprojekor som projiserar en bild på en vägg.[5] Projecive exure mapping använder verex koordinaerna som index ill en exur, i sälle för vanliga exurkoordinaer. Meoden ransformera förs verex punke ill clip space med hjälp av view (kamera marisen) och projekions marisen. En clip space koordina c har e värde -1 < c < 1, i x och y rikningen. Men efersom denna koordina kommer a användas som en exurkoordina, som har e värde mellan 0 och 1, måse man ransformera clip space koordinaen genom en så kallad remapping marix (Mre), som kan ses nedan Mre Då man muliplicerar en homogen punk (x,y,z,h) med Mre, är effeken den samma som a dividera varje koordina med 2 och addera 0.5, som leder ill a värde som idigare vari mellan -1 och 1 nu är mellan 0 och 1. Den reflekion man åsadkommer via denna meod (exempel på dea kan ses i A.1, under Appendix A) ar ine i beakan vågor på vaenyan. Dessa effeker kan göras senare, ackvare a man spara den speglade bilden i en exur, genom a flya på exurkoordinaerna aningen på verex eller pixel nivå. I följande kapile kommer de a preseneras några olika sä a åsadkomma vågeffeker på vaenyan. 4. Simulering av yan Dom reflekioner i vaenyan man åsadkommer med hjälp av dom idigare beskrivna meoderna resulerar endas i en slä vaenya. För a få denna ya nu a se mera verklighesrogen u måse man skapa vågor på denna på någo sä. För a få vågor på yan måse vane ha en volym. En sjö eller e hav kan represeneras av en så kallad heigh field. Heigh fields används ofa inom daorgrafiken erräng renderering och kan användas för a represenera vaen. En heigh field är en vå dimensionell daasrukur där varje index (x,y) represenerar höjden för denna punk [J04]. Då man använder en heigh field i kombinaion med vaenyor represenerar e index (x,y) i heigh field daasrukuren höjden på vaen pelaren i punken (x,y), man anser a havs- eller sjöbone är en slä ya. Till följande kommer de a preseneras vå olika algorimer för a generera dessa heigh fields. En är mera realisisk meod som använder e Navier-Sokes basera sysem och e anna som använder perlin brus. 4.1 Navier-Sokes basera sysem Navier-Sokes ekvaioner kan användas för a beskriva flöde i e väske sysem. [HO95] beskriver e sä a simulera en kropp av vaen som baserar sig på Navier-Sokes ekvaioner. Denna meod bygger på a dela upp väskekroppen i e anal lika sora kolumner. Väske flöde mellan kolumnerna sker via e sysem av viruella rör, där varje kolumn är ihop kopplad ill alla sina åa grannar via dessa viruella rör. Varje kolumn har e viss saisk

7 ryck H = h*p*g + p0, dår h är volymen för kolumnen dividera med kolumnens area, p är väskans densie, g graviaionskonsanen och p0 amosfärs rycke som påverkar denna kolumn. Flödes acceleraionen i e rör räknas u på basen av ryck skillnaderna mellan dom ihop kopplade kolumnerna. Flödes acceleraionen från kolumn [i,j] ill [k,l] fås ur: a ij kl pg h ij h kl E ij E kl pl där h i j är höjden på kolumn [i,j], h kl är höjden på kolumn [k,l], E ij är e exern ryck på kolumn [i,j], E kl är e exern ryck på kolumn [k,l], p är väskans densie och l längden på röre. Om man anar a denna acceleraion är konsa under en id, blir flöde i röre mellan kolumn [i,j] och [k,l] följande: Q ij kl Q ij kl ca ij kl och volym förändringen i kolumnen [i,j] V ij kl ij Q ij kl 2 Q ij kl För a bibehålla volymen i hela syseme måse man se ill a ingen kolumn får en negaiv volym, om dea händer vid en kolumn måse man minska på flöde u ur denna kolumn ills dessvolymen hålls posiiv. Man anar också a dom rör som leder u ur syseme, dvs. har bara en kolumn kopplad ill sig, har inge flöde. Genom a nu ändra öka eller minska på rycke E i kolumnen [i,j] kommer väskan a flöda genom dom viruella rörena från kolumn ill kolumn. Med denna meod kan man simulera.ex. hur yan beer sig då en sen kasas i vane. Exempel på dom resulerande heigh fields genererade ur simuleringar gjorda med denna meod kan hias i A.2 och A.3 under Appendix A. Denna meod som preseneras i [HO95] fungerar väl för små kroppar av väska. När kropparna blir sörre ar simuleringen längre efersom för varje idsinervall måse varje kolumn uppdaeras. Man kan dock använda denna meod a simulera mindredelar yan, kombinera med en annan model för resen av yan. [J04] 4.2 Perlin brus E snabbare sä a generera en heigh field är a använda Perlin brus [4]. Perlin brus funkionen är e populär sä a generera procedurella exurer, så ex. som marmor och moln. Perlin brus funkionen kombinerar flera okaver av brus, med olika ampliuder och frekvenser, ill mjuk brus. För a generera Perlin brus behöver man en brus funkion och en inerpolaions funkion. Brus funkionen är i sorsä en slumpals generaor, men den har e viss krav, den måse generera samma resula varje gång för samma inpu. Denna brus funkion ar som inpu e helal och som resula ger den u e reelal, ofas mellan 0 och 1.

8 Figur nedanför visar e exempel på oupu från en brus funkion ill vänser och inerpolaion av dea ill högre. För a inerpolera mellan dessa värden som slumpals generaorn genererar för helal kan man använda flera olika inerpolaions funkioner. Den enklase och snabbase algorimen är linjär inerpolaion, men denna funkion ger ine så mjuka kurvor som resula. Den kan vara e bra alernaiv om man genererar sora yor av brus i realid. En bäre inerpolaions funkion är cosinus inerpolaion, den ger mjukare resula men kräver mera beräkningar. Man kan även använda kubisk inerpolaion, men skillnaderna mellan denna och cosinus inerpolaionen är ej sora. Skillnaderna mellan linjär och cosinus inerpolaions funkioner kan ses i bilden nedan. Genom a nu skapa flera okaver med en dimensionell brus och kombinera dessa får man frakal brus. De vanligase säe är a fördubbla frekvensen och minskar ampliuden ill hälfen för följande okaver. Sörre värden för ampliuden ger grovare brus, medan mindre värden ger mjukare brus. Om man nu uvidga Perlin brus funkionen ill vå dimensioner kan man skapa brus mönser, som kan ses i figur 4.2.3, som kan sedan användas som en heigh field. Denna heigh field kan sedan användas för a represenera vaenyan för en sjö eller e hav. Nackdelen med Perlin

9 brus är a man ej har sor konroll över hur sluliga bruse kommer a se u. Den enda konroll man egenligen har är a ändra på frekvensen och ampliuden. Man kan ej.ex. enkel simulera e senkas i vane, som man kunde göra med de Navier-Sokes baserade syseme som presenerades i Animering av yan med hjälp av Perlin brus 5.1 Algorimen Den ill följande presenerade meoden beskriven i [L04] (dels samma som [J04]) för a simulera en vaenya med hjälp av Perlin brus [4]. Algorimen resulerar i en reflekion på vaenyan där effeken av vågor har agis med. Denna algorim kan grov delas i re seg: 1. generering av en heigh field (även kallad heigh map) med hjälp av Perlin brus 2. generering av en reflekionsexuren 3. generering av den sluliga vaenyan med hjälp av reflekionsexuren Vaenyan i denna meod är e plan dela i e rumönser, där varje hörn punk för en rua har e mosvarande värde i heigh mapen. Denna algorim åsadkommer vågeffekerna på verex nivå genom a ändra på exurkoordinaerna för denna verex på basen av verex normalen. Vid beräkningarna anar vi a Y-axeln pekar uppå i koordinasyseme, dvs. upp i vekor form är [0, 1, 0]. 5.2 Generering av heighmap Heighmapen genereras med hjälp av vå dimensionell Perlin brus. Denna sparas som en vå dimensionell räka besående av 8 bis elemen, man kan även använda sörre precision för elemenerna om de krävs. Man kan åsadkomma rörelse för vågorna genom a generera flera heighmaps, där för varje eferföljande heighmap ändras inpuen ill Perlin brus funkionen med e seg,.ex om map1 besår av kolumnerna 0, 1 och 2 då kommer map2 a beså av kolumnerna 1, 2 och en ny kolumn 3, map3 av kolumn 2, 3 och 4 osv. Dea fungerar ackvare a Perlin brus funkionen allid ger samma resula för samma inpu värden. För a kunna åsadkomma vågeffeker på yan måse man ha illgång ill normalerna för varje verex på vaenplane. Normalerna kan räknas u med hjälp flera olika algorimer och daa ur heighmapen. 5.3 Generering av reflekionen Reflekionen genereras enlig meoden för lokala reflekioner beskriven i 3.2 och sedan sparas dea resula i en exur. Dea kräver en exra "rendering pass" för hela världen för a generera reflekionsexuren. När man genererar reflekionen genom a spegla världen run vaenplane kommer den del av geomerin för världen som är egenligen under vaenyan, då man ser på världen ej spegla, a vara ovanför denna. Dessa delar måse kapas bor, som kan göras med hjälp av en så kallad clip plane, om dea ine görs kommer dom a leda ill reflekioner på yan av objek som egenligen ligger under yan.

10 5.4 Rendering med hjälp av verex- och pixelprogram E verexprogram är e program som körs på grafikprocessorn och som arbear på verex nivå, dvs. den uför maemaiska operaioner på punkerna som beskriver världens geomeri. Pixelprogrammerna arbear på pixel nivå, dvs. varje pixel som finns i den sluliga bilden körs genom denna före den rias u. Efer a man nu har generera reflekionsexuren och har illgång ill verex normalerna kan man med hjälp av denna informaion skapa den sluliga vaenyan. För a få reflekionsexuren på vaenyan använder man en så kallad projecive exuring eknik. Denna meod använder verex punken själv som exurkoordina. Texurkoordinaen T räknas u på följande sä: T.x = V.x + d*n.x T.z = V.z + d*n.z där V är verex punkens posiion, N är normalen för V och d är en konsan som säger hur sark normalen påverkar. Genom a ändra på konsanen d kan man påverka hur sarka vågorna är. T kommer efer denna operaion a vara verex punken flyad en bi i normalens rikning. Efersom projecive exuring meoden använder denna som en exurkoordina leder dea ill a själva exuren som kommer på vaenyan flyas en bi i normalens rikning. När normalerna för varje verex pekar rak upp, dvs. har en vekor form [0, 1, 0], leder de ill a verex punken och exurkoordinaen för denna verex är lika, som mosvarar en vaenyan som är hel silla. 5.5 Uvidgning av algorimen Denna algorim räknar ej med bryningen av vaenyan. En möjlig uvidgning av denna algorim är a a med bryningen som händer på grund av vane och Fresnel effeken. Bryningen kunde hel enkel använda samma meod som reflekion med den skillnaden a i sälle för a skapa en reflekionsexur för objek ovanför yan skapar man en refrkaionsexur för objek som ligger under yan [J04]. En annan uvidgning på denna kunde vara a i sälle för a göra operaionerna på verex nivå kunde man göra dessa på pixel nivå. 6. Sammanfaning Den försa meoden för a generera vågor på vaenyan ger mycke goda resula om man vill simulera.ex. senkas i vane. Den fungerar bra för mindre kroppar av vaen, men då de är frågan om sörre vaen kroppar blir resurkraverna ganska höga efersom hela syseme måse uppdaeras vid varje idsinervall. Den senare meoden ger ej fysikalisk korreka resula men är relaiv enkel och snabb, och ger ändå mycke goda resula. De som är bra med denna meod är a man kan flya över delar av beräkningarna ill grafikprocessorn, och på dea sä har man mera processor kraf för a göra andra saker på själva daorns processor. Denna senare meod fungerar också bra för sörre vaenyor efersom man kan använda många av samma LOD (Level of Deail) ekniker som används för a renderera erränger, som går u på

11 a minska på dealjnivån ju längre bor från kameran man kommer. Appendix A - Bilder A.1: Exempel på resulae ur meoden för a åsadkomma lokala reflekioner A.2 & A.3: Exempel på heigh fields ur simuleringar gjorda med meoden i 4.1

12 A.4: Exempel på resula ur meoden i kap. Referenser [HO95] Dynamic simulaion of splashing fluids hp://www.cc.gaech.edu/gvu/animaion/papers/waer.pdf

13 [J04] Real-ime waer rendering graphics.cs.lh.se/heses/projecs/projgrid/projgrid-lq.pdf [L04] Realisic Naural Effec Rendering: Waer I hp://www.gamedev.ne/columns/hardcore/rnerwaer1/ [1] Snells lag hp://sv.wikipedia.org/wiki/snells_lag [2] Fresnel equaions hp://en.wikipedia.org/wiki/fresnel_equaions [3] OpenGL Cube Map Texuring hp://developer.nvidia.com/objec/cube_map_ogl_uorial.hml [4] Perlin noise hp://freespace.virgin.ne/hugo.elias/models/m_perlin.hm [5] Projecive exure mapping hp://developer.nvidia.com/objec/projecive_texure_mapping.hml

3 Rörelse och krafter 1

3 Rörelse och krafter 1 3 Rörelse och krafer 1 Hasighe och acceleraion 1 Hur lång id ar de dig a cykla 5 m om din medelhasighe är 5, km/h? 2 En moorcykel accelererar från sillasående ill 28 m/s på 5, s. Vilken är moorcykelns

Läs mer

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation 1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara

Läs mer

3. Matematisk modellering

3. Matematisk modellering 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modellyper För design oc analys av reglersysem beöver man en maemaisk modell, som beskriver sysemes

Läs mer

2 Laboration 2. Positionsmätning

2 Laboration 2. Positionsmätning 2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni

Läs mer

Föreläsning 8. Kap 7,1 7,2

Föreläsning 8. Kap 7,1 7,2 Föreläsning 8 Kap 7,1 7,2 1 Kap 7: Klassisk komponenuppdelning: Denna meod fungerar bra om idsserien uppvisar e saisk mönser. De är fyra komponener i modellen: Muliplikaiv modell: Addiiv modell: där y

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av

Läs mer

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller!

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller! Whiepaper 24.9.2010 1 / 5 Jobba mindre, men smarare, och uppnå bäre säljprognoser med hjälp av maemaiska prognosmodeller! Förfaare: Johanna Småros Direkör, Skandinavien, D.Sc. (Tech.) johanna.smaros@relexsoluions.com

Läs mer

Realtidsuppdaterad fristation

Realtidsuppdaterad fristation Realidsuppdaerad frisaion Korrelaionsanalys Juni Milan Horemuz Kungliga Tekniska högskolan, Insiuion för Samhällsplanering och miljö Avdelningen för Geodesi och geoinformaik Teknikringen 7, SE 44 Sockholm

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A

Läs mer

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll? Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-

Läs mer

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30 Tekniska högskolan vid LiU Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam TENTAMEN I TPPE13 PRODUKTIONSEKONOMI för I,Ii FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18 Sal: Provkod:

Läs mer

Strategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet

Strategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet 1 File = SweTrans_RuMarch09Lohmander_090316 ETT ORD KORRIGERAT 090316_2035 (7 sidor inklusive figur) Sraegiska möjligheer för skogssekorn i Ryssland med fokus på ekonomisk opimering, energi och uhållighe

Läs mer

Teknisk dokumentation

Teknisk dokumentation Teknisk dokumenaion Oscar Carlsson Version 1.0 Saus Granskad Godkänd Reglereknisk projekkurs WalkCAM LIPs Andreas Fälskog walkcam@bredband.ne 1 PROJEKTIDENTITET Reglereknisk projekkurs WalkCAM 2007/VT

Läs mer

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera

Läs mer

n Ekonomiska kommentarer

n Ekonomiska kommentarer n Ekonomiska kommenarer Riksbanken gör löpande prognoser för löneuvecklingen i den svenska ekonomin. Den lönesaisik som används som bas för Riksbankens olika löneprognoser är den månaliga konjunkurlönesaisiken.

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k) TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns

Läs mer

FAQ. frequently asked questions

FAQ. frequently asked questions FAQ frequenly asked quesions På de följande sidorna har jag samla ihop några av de frågor jag under årens lopp få av sudener när diverse olika problem uppså i arbee med SPSS. De saisiska problemen har

Läs mer

Elektroniska skydd Micrologic 2.0 och 5.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual

Elektroniska skydd Micrologic 2.0 och 5.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual Elekoniska skydd Lågspänningsuusning Användarmanual Building a Newavancer Elecicl'élecicié World Qui fai auan? Elekoniska skydd Inodukion ill de elekoniska skydde Lära känna de elekoniska skydde Funkionsöversik

Läs mer

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996 Jobbflöden i svensk induri 1972-1996 av Fredrik Andersson 1999-10-12 Bilaga ill Projeke arbeslöshesförsäkring vid Näringsdeparemene Sammanfaning Denna udie dokumenerar heerogenieen i induriella arbesällens

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Saisiska cenralbyrån 2010 Balance of Paymens. Third quarer 2010 Saisics Sweden 2010 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning Hans Andersson (FP), ordförande i Tiohundra nämnden varanna år och Karin Thalén, förvalningschef TioHundra bakom solarna som symboliserar a ingen ska falla mellan solar inom TioHundra. Ingen åervändo TioHundra

Läs mer

Informationsteknologi

Informationsteknologi Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik

Läs mer

Skillnaden mellan KPI och KPIX

Skillnaden mellan KPI och KPIX Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas

Läs mer

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2 Lekion 3 Projekplanering (PP) as posiion Projekplanering Rev. 834 MR Nivå 1 Uppgif PP1.1 Lieraur: Olhager () del II, kap. 5. Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. e är indelade i fyra nivåer

Läs mer

Glada barnröster kan bli för höga

Glada barnröster kan bli för höga Glada barnröser kan bli för höga På Silverbäckens förskola är ambiionerna höga. Här vill man mycke, och kanske är de jus därför de blir sressig ibland. De säger Therese Wesin, barnsköare och skyddsombud.

Läs mer

Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning

Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svesning Examensarbee uför i Reglereknik av Andreas Pilkvis LiTH-ISY-EX-- Linköping Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen

Läs mer

Tunga lyft och lite skäll för den som fixar felen

Tunga lyft och lite skäll för den som fixar felen Tunga lyf och lie skäll för den som fixar felen De fixar soppe i avloppe, de rasiga gångjärne, den läckande vämaskinen. De blir uskällda, igenkända, välkomnade. A jobba hemma hos människor har sina särskilda

Läs mer

Objects First With Java A Practical Introduction Using BlueJ. 4. Grouping objects. Collections och iterators

Objects First With Java A Practical Introduction Using BlueJ. 4. Grouping objects. Collections och iterators Objecs Firs Wih Java A Pracical Inroducion Using BlueJ 4. Grouping objecs Collecions och ieraors Innehåll Collecions Loopar Ieraorer Arrays Objecs Firs wih Java - A Pracical Inroducion using BlueJ, David

Läs mer

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Om exponentialfunktioner och logaritmer Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Egenvärden och egenvekorer Definiion Lå F vara en linjär avbildning. Om ale λ och vekorn x uppfyller F (x) =λx, x 6= kallar vi x egenvekor och λ egenvärde ill F. Obs. Likheen är möjlig endas när F är en

Läs mer

Upphandlingar inom Sundsvalls kommun

Upphandlingar inom Sundsvalls kommun Upphandlingar inom Sundsvalls kommun 1 Innehåll Upphandlingar inom Sundsvalls kommun 3 Kommunala upphandlingar - vad är de? 4 Kommunkoncernens upphandlingspolicy 5 Vad är e ramaval? 6 Vad gäller när du

Läs mer

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Second quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

Tjänsteprisindex för detektiv- och bevakningstjänster; säkerhetstjänster

Tjänsteprisindex för detektiv- och bevakningstjänster; säkerhetstjänster Tjänseprisindex för deekiv- och bevakningsjänser; säkerhesjänser Branschbeskrivning för SNI-grupp 74.60 TPI- rappor nr 17 Camilla Andersson/Kamala Krishnan Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik,

Läs mer

Laboration 3: Växelström och komponenter

Laboration 3: Växelström och komponenter TSTE20 Elekronik Laboraion 3: Växelsröm och komponener v0.2 Ken Palmkvis, ISY, LiU Laboraner Namn Personnummer Godkänd 1 Översik I denna labb kommer ni undersöka beeende när växelspänningar av olika frekvens

Läs mer

Ha kul på jobbet är också arbetsmiljö

Ha kul på jobbet är också arbetsmiljö Tväeri, kök, recepion, konor, hoellrum Här finns många olika arbesuppgifer och risker. Och på jus de här hoelle finns e sälle där de allid är minus fem grader en isbar. Ha kul på jobbe är också arbesmiljö

Läs mer

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET?

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? En undersökning av hur väl kolpulver framkallar åldrade fingeravryck avsaa på en ickeporös ya. E specialarbee uför under kriminaleknisk grundubildning vid

Läs mer

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti.

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti. Tenamen: Miljö och Maemaisk Modellering MVE345) för TM Åk 3, VÖ3 klockan 4.00 den 27:e augusi. För uppgifer som kräver en numerisk lösning så skriv ned di svar och hur ni gick ill väga för a lösa uppgifen

Läs mer

1. Geometriskt om grafer

1. Geometriskt om grafer Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den

Läs mer

Konsumtion, försiktighetssparande och arbetslöshetsrisker

Konsumtion, försiktighetssparande och arbetslöshetsrisker Fördjupning i Konjunkurläge juni 12 (Konjunkurinsiue) Konjunkurläge juni 12 75 FÖRDJUPNING Konsumion, försikighessparande och arbeslöshesrisker De förvänade inkomsborfalle på grund av risk för arbeslöshe

Läs mer

Diverse 2(26) Laborationer 4(26)

Diverse 2(26) Laborationer 4(26) Diverse 2(26) (Reglereknik) Marin Enqvis Reglereknik Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie Föreläsare och examinaorer: Marin Enqvis (ISY) Simin Nadjm-Tehrani (IDA) Lekionsassisener: Jonas Callmer

Läs mer

Pensionsåldern och individens konsumtion och sparande

Pensionsåldern och individens konsumtion och sparande Pensionsåldern och individens konsumion och sparande Om hur en höjning av pensionsåldern kan ändra konsumionen och sparande. Maria Nilsson Magiseruppsas Naionalekonomiska insiuionen Handledare: Ponus Hansson

Läs mer

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL!

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL! Exempelena 3 Anvisningar 1. Du måse lämna in skrivningsomslage innan du går (även om de ine innehåller några lösningsförslag). 2. Ange på skrivningsomslage hur många sidor du lämnar in. Om skrivningen

Läs mer

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210. Tenamensskrivning i Maemaik IV, 5B Tisdagen den 4 november 6, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges

Läs mer

Truckar och trafik farligt för förare

Truckar och trafik farligt för förare De händer en del i rafiken. För några år sedan körde en av Peer Swärdhs arbeskamraer av vägen. Pressade ider, ruckar och unga fordon. På åkerie finns många risker. Arbesgivaren är ansvarig för arbesmiljön,

Läs mer

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet Modeller och projekioner för dödlighesinensie en anpassning ill svensk populaionsdaa 1970- Jörgen Olsén juli 005 Presenerad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen den 1 sepember 005 Modeller

Läs mer

Miljörapport 2014. Marma Avloppsreningsverk. Söderhamns Kommun

Miljörapport 2014. Marma Avloppsreningsverk. Söderhamns Kommun Miljörappor 2014 Marma Avloppsreningsverk Söderhamns Kommun Miljörappor 2014 Marma Avloppsreningsverk 2 (19) Innehållsföreckning Grunddel... 3 Texdel... 4 1. Verksamhesbeskrivning... 4 2. Tillsånd... 4

Läs mer

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator Tryckoberoende elekronisk flödesregulaor Beskrivning är en komple produk som besår av e ryckoberoende A-spjäll med mäenhe som är ansluen ill en elekronisk flödesregulaor innehållande en dynamisk differensryckgivare.

Läs mer

Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB

Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB Rörelse Hur kan en acceleraion ara negai? Vad innebär de a en rörelse är likformig? Kan å händelser ara samidiga, men ändå ine? Vilken acceleraion får en fri fallande kropp? Vad menas med likformig accelererad

Läs mer

Mät upp- och urladdning av kondensatorer

Mät upp- och urladdning av kondensatorer elab011a Namn Daum Handledarens sign. Laboraion Mä upp- och urladdning av kondensaorer Varför denna laboraion? Oscilloskope är e vikig insrumen för a sudera kurvformer. Avsiken med den här laboraionen

Läs mer

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Saisiska cenralbyrån 213 Balance of Paymens. Fourh quarer 212 Saisics Sweden 213 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

Introduktion till Reglertekniken. Styr och Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde

Introduktion till Reglertekniken. Styr och Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde Syr och Reglereknik FR: Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Vad är Reglereknik? Behov av syrning Vad är Reglereknik? Läran om Åerkopplade Sysem Blockschema Syr-

Läs mer

Jämställdhet och ekonomisk tillväxt En studie av kvinnlig sysselsättning och tillväxt i EU-15

Jämställdhet och ekonomisk tillväxt En studie av kvinnlig sysselsättning och tillväxt i EU-15 Examensarbee kandidanivå NEKK01 15 hp Sepember 2008 Naionalekonomiska insiuionen Jämsälldhe och ekonomisk illväx En sudie av kvinnlig sysselsäning och illväx i EU-15 Förfaare: Sofia Bill Handledare: Ponus

Läs mer

Timmar, kapital och teknologi vad betyder mest? Bilaga till Långtidsutredningen SOU 2008:14

Timmar, kapital och teknologi vad betyder mest? Bilaga till Långtidsutredningen SOU 2008:14 Timmar, kapial och eknologi vad beyder mes? Bilaga ill Långidsuredningen SOU 2008:14 Förord Långidsuredningen 2008 uarbeas inom Finansdeparemene under ledning av Srukurenheen. I samband med uredningen

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B86 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 LÖRDAGEN DEN 5 AUGUSTI KL 8. 3. Examinaor : Lars Hols, el.

Läs mer

BETONGRÖR - EN PRISVÄRD OCH LÅNGSIKTIG LÖSNING

BETONGRÖR - EN PRISVÄRD OCH LÅNGSIKTIG LÖSNING LAGT RÖR LIGGER S: Eriks rörsysem är en både prisvärd och ångsikig ösning och rörsysem i beong är dessuom överägse bäs ur mijösynpunk. Beong besår nämigen huvudsakigen av väkända naurmaeria som kaksen,

Läs mer

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan

Läs mer

Damm och buller när avfall blir el

Damm och buller när avfall blir el Damm och buller när avfall blir el Här blir avfall värme och el, rä och flis eldas i sora pannor. De är rör med ånga, hjullasare och långradare, damm och buller. En miljö som både kan ge skador och sjukdomar

Läs mer

ByggeboNytt. Kenth. i hyresgästernas tjänst. Getingplåga Arbetsförmedlingen på plats i Alvarsberg. Nr 3 2012 Byggebo AB, Box 34, 572 21 Oskarshamn

ByggeboNytt. Kenth. i hyresgästernas tjänst. Getingplåga Arbetsförmedlingen på plats i Alvarsberg. Nr 3 2012 Byggebo AB, Box 34, 572 21 Oskarshamn ByggeboNy Nr 3 2012 Byggebo AB, Box 34, 572 21 Oskarshamn Geingplåga Arbesförmedlingen på plas i Alvarsberg Kenh i hyresgäsernas jäns Sark posiiv rend Den posiiva renden håller i sig. Under sommaren har

Läs mer

Utveckling av portföljstrategier baserade på svagt kointegrerade finansiella instrument med AdaBoosting. Helena Nilsson

Utveckling av portföljstrategier baserade på svagt kointegrerade finansiella instrument med AdaBoosting. Helena Nilsson Uveckling av porföljsraegier baserade på svag koinegrerade finansiella insrumen med AdaBoosing Helena Nilsson Februari 15, 2009 Absrac Financial analyss are consanly rying o find new rading sraegies in

Läs mer

Personlig assistans en billig och effektiv form av valfrihet, egenmakt och integritet

Personlig assistans en billig och effektiv form av valfrihet, egenmakt och integritet Personlig assisans en billig och effekiv form av valfrihe, egenmak och inegrie En jämförelse mellan kosnaderna för personlig assisans och kommunal hemjäns 1 Denna rappor är en försa del av e projek vars

Läs mer

Perfusionsmätning med MR för Strokediagnostik

Perfusionsmätning med MR för Strokediagnostik Rappor: 85 Examensarbee Perfusionsmäning med MR för Srokediagnosik Diagnosis of Sroke by means of Perfusionweighed MRI Examensarbee uför av i samarbee med MR-sekionen, Avd. För Sjukhusfysik Och Neuroradiologiska

Läs mer

4.2 Sant: Utfört arbete är lika stort som den energi som omvandlas p.g.a. arbetet. Svar: Sant

4.2 Sant: Utfört arbete är lika stort som den energi som omvandlas p.g.a. arbetet. Svar: Sant LÖSNINGSFÖRSLAG Fysik: Fysik och Kapiel 4 4 nergi nergiprincipen 4. nergin bearas. Allså är före efer,9,, ilke ger,9,,j, 6 J Sar:,6 J 3 3 Arbee, effek och erkningsgrad 4. San: Uför arbee är lika sor so

Läs mer

Text: Mikael Simovits & Tomas Forsberg Illustration: Jonas Englund. Stort test: Watchguard Halon Cronlab Symantec Microsoft Cleanmail

Text: Mikael Simovits & Tomas Forsberg Illustration: Jonas Englund. Stort test: Watchguard Halon Cronlab Symantec Microsoft Cleanmail Tex: Mikael Simovis & Tomas Forsberg Illusraion: Jonas Englund Sor es: Wachguard Halon Cronlab Symanec Microsof Cleanmail Ren e-pos med 26 Skräppos är e sor problem för både i-avdelning och användare.

Läs mer

Allmänt om korttidsplanering. Systemplanering 2011. Allmänt om korttidsplanering. Allmänt om vattenkraft. Det blir ett optimeringsproblem!

Allmänt om korttidsplanering. Systemplanering 2011. Allmänt om korttidsplanering. Allmänt om vattenkraft. Det blir ett optimeringsproblem! Sysemplanerng 2011 Allmän om kordsplanerng Föreläsnng 8, F8: Kordsplanerng av vaenkrafsysem Kapel 5.1-5.2.4 Innehåll: Allmän om kordsplanerng Allmän om vaenkraf Elprodukon Hydrologsk kopplng Planerngsprobleme

Läs mer

D-UPPSATS. Prisutvecklingen av järnmalm 1970-2000

D-UPPSATS. Prisutvecklingen av järnmalm 1970-2000 D-UPPSATS 2006:126 Prisuvecklingen av järnmalm 1970-2000 En jämförelse av Hoellingmodellen och den fakiska uvecklingen Timo Ryhänen Luleå ekniska universie D-uppsas Naionalekonomi Insiuionen för Indusriell

Läs mer

Funktionen som inte är en funktion

Funktionen som inte är en funktion Funkionen som ine är en funkion Impuls En kraf f som under e viss idsinervall T verkar på en s.k. punkmassa, säer punkmassan i rörelse om den var i vila innan. Och om punkmassan är i rörelse när krafen

Läs mer

Livförsäkringsmatematik II

Livförsäkringsmatematik II Livförsäkringsmaemaik II iskrea kommuaionsfunkioner Erik Alm, Hannover Re Sockholm 2013 iskre eknik Premier och annuieer bealas diskre ödligheen definieras ofas i en diskre abell (Undanag: de Nordiska

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2012 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Third quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Monetära modellers prognosförmåga för den svenska kronans utveckling

Monetära modellers prognosförmåga för den svenska kronans utveckling NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universie Examensarbee D Förfaare: Per Jonsson Handledare: Annika Alexius HT 2005 Moneära modellers prognosförmåga för den svenska kronans uveckling Sammanfaning

Läs mer

Programvara. Dimmer KNX: 1, 3 och 4 utgångar Elektriska/mekaniska egenskaper: se produktens användarhandbok. TP-anordning Radioanordning

Programvara. Dimmer KNX: 1, 3 och 4 utgångar Elektriska/mekaniska egenskaper: se produktens användarhandbok. TP-anordning Radioanordning Programvara Dimmer KNX: 1, 3 och 4 ugångar Elekriska/mekaniska egenskaper: se produkens användarhandbok Produkreferens Produkbeskrivning Programvarans ref TP-anordning Radioanordning TXA661A TXA661B Dimakor

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Saisiska cenralbyrån 2008 Balance of Paymens. Third quarer 2008 Saisics Sweden 2008 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Penningpolitik och finansiell stabilitet några utmaningar framöver

Penningpolitik och finansiell stabilitet några utmaningar framöver NATIONAL- EKONOMISKA FÖRENINGENS FÖRHANDLINGAR 21-5-17 Sammanfaade av Birgi Filppa, Karin Siredo och Elisabeh Gusafsson Ordförande: Anders Björklund Inledare: Sefan Ingves, Riksbankschef Kommenaor: Pehr

Läs mer

TISDAGEN DEN 20 AUGUSTI 2013, KL 8-12. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9

TISDAGEN DEN 20 AUGUSTI 2013, KL 8-12. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9 ekniska högskolan vid Li Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam EAME I PPE08 PROKIOSEKOOMI för M ISAGE E 20 AGSI 203, KL 8-2 Sal: ER Provkod: E2 Anal uppgifer:

Läs mer

2009-11-20. Prognoser

2009-11-20. Prognoser 29--2 Progoser Progoser i idsserier: Gissa e framida värde i idsserie killad geemo progoser i regressio: De framida värde illhör ie daaområde. fe med e progosmodell är a göra progos, ie a förklara de hisoriska

Läs mer

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H6 MATEMATIK Chalmers Repeiionsuppgifer Inegraler och illämpningar av inegraler. (a) Beräkna Avgör om den generaliserade inegralen arcan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergen eller divergen. Beräkna den

Läs mer

Skuldkrisen. Världsbanken och IMF. Världsbanken IMF. Ställ alltid krav! Föreläsning KAU Bo Sjö. En ekonomisk grund för skuldanalys

Skuldkrisen. Världsbanken och IMF. Världsbanken IMF. Ställ alltid krav! Föreläsning KAU Bo Sjö. En ekonomisk grund för skuldanalys Skuldkrisen Föreläsning KAU Bo Sjö Världsbanken och IMF Grund i planeringen efer 2:a världskrige Världsbanken Ger (hårda) lån ill sora infrasrukurprojek i uvecklingsländer. Hisorisk se, lyckas bra, lånen

Läs mer

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion)

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion) Insiuionen för maemaik KTH För Kursen 5B09/5B5: Lien formelsamling Speciella funkioner Språngfunkionen (Heavisides funkion) u() =, om > 0, 0, om < 0. Signumfunkionen sign =, om > 0,, om < 0. Rekangelfunkionen

Läs mer

Kan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar

Kan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar Kan arbesmarknadens parer minska jämviksarbeslösheen? Teori och modellsimuleringar Göran Hjelm * Working aper No.99, Dec 2006 Ugiven av Konjunkurinsiue Sockholm 2006 * Analysen i denna rappor bygger på

Läs mer

Välkommen till. och. hedersvåld försvara ungdomarnas rättigheter. agera mot. Illustration: www.istockphoto.com. juno blom

Välkommen till. och. hedersvåld försvara ungdomarnas rättigheter. agera mot. Illustration: www.istockphoto.com. juno blom Välkommen ill och Illusraion: www.isockphoo.com # 6 OKTOBER 2009 årg 3 SkandinaviSk SjukvårdSinformaion agera mo juno blom hedersvåld försvara ungdomarnas räigheer Själavårdarna inom Kriminalvården samalar

Läs mer

System, Insignal & Utsignal

System, Insignal & Utsignal Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 1 Sysem, Insignal & Usignal Insignal x() x[n] SYSTEM H! H = sysemoperaorn Usignal y() = H{y()} y[n] = H{x[n]} w E SYSTEM = en maemaisk modell av e fysikalisk sysem,

Läs mer

Håkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14

Håkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14 1 Drifsredovisning inom skadeförsäkring - föreläsningsaneckningar ill kursavsnie Drifsredovisning i kursen Försäkringsredovi s- ning, hösen 2004 (Preliminär version) Håkan Pramsen, Länsförsäkringar 2003-09-14

Läs mer

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer: Blanchard kapiel 9 Penninmänd, Inflaion och Ssselsänin Daens förelf reläsnin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Kap 9: sid. 2 Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och

Läs mer

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016 Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola TENTAMEN I HÅFASTHETSÄA F MHA 08 6 AI 06 ösningar Tid och plas: 8.30.30 i M huse. ärare besöker salen 9.30 sam.00 Hjälpmedel:. ärobok i hållfasheslära:

Läs mer

Generell dimensionering av ett grundelement i Sandwich

Generell dimensionering av ett grundelement i Sandwich Projeknummer Kund Rappornummer D4.089.00 Läa karossmoduler TR08-006 Daum Referens Revision 008-0-7 Regisrerad Ufärdad av Granskad av Godkänd av Klassificering Open Generell dimensionering av e grundelemen

Läs mer

ES, ISY Andra kurser under ht 2014! Räkna inte med att ha en massa tid då! Och ni har nog glömt en del så dags...

ES, ISY Andra kurser under ht 2014! Räkna inte med att ha en massa tid då! Och ni har nog glömt en del så dags... Prakisk info, fors. ös uppgif Fyll i e konvolu (åeranvänds ills uppgifen godkänd TST0 lekronik Konvolu hias ovanpå den svara brevlåda som svar lämnas i Svar brevlåda placerad i samma korridor som Kens

Läs mer

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller

Läs mer

Ansökan till den svenskspråkiga ämneslärarutbildningen för studerande vid Helsingfors universitet. Våren 2015

Ansökan till den svenskspråkiga ämneslärarutbildningen för studerande vid Helsingfors universitet. Våren 2015 Ansökan ill den svenskspråkiga ämneslärarubildningen för suderande vid Helsingfors universie Våren 2015 Enheen för svenskspråkig ämneslärarubildning info-amneslarare@helsinki.fi fn 02-941 20606, 050-448

Läs mer

Kylvätska, tappa ur och fylla på

Kylvätska, tappa ur och fylla på Kyväska, appa ur och fya på Nödvändiga speciaverkyg, konro- och mäinsrumen sam hjäpmede Adaper för ryckprovare för kysysem -V.A.G 1274/8- Rör för ryckprovare för kysysem -V.A.G 1274/10- Uppsamingskär för

Läs mer

Förord: Sammanfattning:

Förord: Sammanfattning: Förord: Denna uppsas har illkommi sedan uppsasförfaarna blivi konakade av Elecrolux med en förfrågan om a undersöka saisikmodulen i deras nyimplemenerade affärssysem. Vi vill därför acka vår handledare

Läs mer

Elektroniska skydd Micrologic A 2.0, 5.0, 6.0, 7.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual

Elektroniska skydd Micrologic A 2.0, 5.0, 6.0, 7.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual Elekroniska skydd Micrologic.0, 5.0, 6.0, 7.0 Lågspänningsurusning nvändarmanual Building a Newavancer Elecricl'élecricié World Qui fai auan? Elekroniska skydd Micrologic.0, 5.0, 6.0 och 7.0 Inrodukion

Läs mer

Tjänsteprisindex (TPI) 2010 PR0801

Tjänsteprisindex (TPI) 2010 PR0801 Ekonomisk saisik/ Enheen för prissaisik 2010-06-22 1(12) Tjänseprisindex (TP) 2010 PR0801 denna beskrivning redovisas förs allmänna uppgifer om undersökningen sam dess syfe, regelverk och hisorik. Därefer

Läs mer

Infrastruktur och tillväxt

Infrastruktur och tillväxt Infrasrukur och illväx En meaanalyisk sudie av infrasrukurinveseringars påverkan på ekonomisk illväx Infrasrucure and growh A mea-analyical sudy of he effecs of invesmens in infrasrucure on economic growh

Läs mer

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen IF1330 Ellära F/Ö1 F/Ö4 F/Ö F/Ö5 F/Ö3 Srömkreslära Mäinsrumen Baerier Liksrömsnä Tvåpolsasen KK1 LAB1 Mäning av U och I F/Ö6 F/Ö7 Magnekres Kondensaor Transiener KK LAB Tvåpol mä och sim F/Ö8 F/Ö9 KK3

Läs mer

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering Tjänseprisindex för varulagring och magasinering Branschbeskrivning för SNI-grupp 63.12 TPI-rappor nr 14 Kaarina Båh Chrisian Schoulz Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik, SCB November 2005

Läs mer

Inflation och penningmängd

Inflation och penningmängd EKONOMSK DEBAT BO AXELL nflaion och penningmängd Vilka är inflaionens besämningsfakorer? Dea är själva ugångspunken for flerale ariklar i dea emanummer.. Somliga hävdar a inflaionen speciell i e lie land

Läs mer

IE1206 Inbyggd Elektronik

IE1206 Inbyggd Elektronik E06 nbyggd Elekronik F F3 F4 F Ö Ö P-block Dokumenaion, Seriecom Pulsgivare,, R, P, serie och parallell KK LAB Pulsgivare, Menyprogram Sar för programmeringsgruppuppgif Kirchoffs lagar Nodanalys Tvåpolsasen

Läs mer

Dags för stambyte i KPI? - Nuvarande metod för egnahem i KPI

Dags för stambyte i KPI? - Nuvarande metod för egnahem i KPI SAISISKA CENRALBYRÅN Pm ill Nämnden för KPI 1(21) Dags för sambye i KPI? - Nuvarande meod för egnahem i KPI För beslu Absrac I denna pm preseneras hur nuvarande meod för egnahem i KPI beräknas, moiveras

Läs mer

Introduktion till Reglertekniken. Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde

Introduktion till Reglertekniken. Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde Reglereknik F: Reglereknik V Adam Lagerberg Reglereknik V Adam Lagerberg Vad är Reglereknik? Behov av syrning Vad är Reglereknik? Läran om Åerkopplade Sysem Blockschema Reglereknik V Adam Lagerberg Reglereknik

Läs mer