Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB"

Transkript

1 Rörelse Hur kan en acceleraion ara negai? Vad innebär de a en rörelse är likformig? Kan å händelser ara samidiga, men ändå ine? Vilken acceleraion får en fri fallande kropp? Vad menas med likformig accelererad rörelse? Finns de någon skillnad mellan far och hasighe?

2 Rörelse Mekanik är läran om kroppars rörelse och de krafer som kropparna påerkar arandra med. Man skiljer ofa mellan kinemaik och dynamik. Inom kinemaiken suderar man kroppars rörelser och försöker göra en maemaisk beskrining. Inom dynamiken suderas ilken erkan en kraf har på kroppar i rörelse. I försa kapile, Vad är fysik?, ga i en kor inrodukion ill några cenrala begrepp inom kinemaiken. De flesa a oss rör sig dagligen i går eller cyklar, springer ill bussen os. Om i själa sår silla, ser i massor a rörelse run oss en sudsande boll, e gungande barn, en accelererande bil eller en snowboardåkare på äg nerför backen. Vi börjar med a ia på några enkla rälinjiga rörelser. Hasighe E exempel på en rälinjig rörelse är när en bil kör längs en plan, rak äg. Längs ägen finns solpar som markerar ar hundrade meer. Om i ill sudera rörelsen, kan i anända e soppur. Klockan saras id en solpe, och sedan aläses iden ar hundrade meer. 66 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

3 När i beskrier en rälinjig rörelse anänder i ofa en graderad axel så som bilden isar. Bilens läge id olika idpunker markeras på axeln s /m D Ds /s s()-grafen isar en bils läge som funkion a iden. Efersom bilens far är konsan blir grafen linjär. Grafen går genom origo och är allså en proporionalie, efersom idmäningen saras id lägesmarkeringen 0 m m 00 m 300 m 400 m 500 m 0 s 5,0 s 0,0 s 5,0 s 0,0 s 5,0 s Vid den försa markeringen, nolläge för år graderade axel, är iden 0 s i sarade ju idmäningen här. Efer 00 m isar soppure 5,0 s, efer 00 m isar soppure 0,0 s os. Om i anar a föraren håller hel jämn hasighe, är denna konsan. En sådan rörelse kallas likformig. Vi kan beskria den med sambande hasighe = sräcka id eller s = D D där D anger idsineralle och Ds den illryggalagda sräcka under dea idsinerall. Varje hundrameerssräcka ar 5,0 s a köra. Bilen har med andra ord samma far hela iden: s = D = 00 m D = 0 m/s 5 s I en erklig mäning skulle dea ara en medelhasighe, efersom i ine kan ara säkra på a bilen kör med samma hasighe hela iden. Vi kan anända e koordinasysem för a beskria rörelsen. I dea riar i den illryggalagda sräckan, s, som funkion a iden,. Vi får då en s()-graf. s S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 6

4 Medelhasighe Om i suderar en rörelse där hasigheen ine är konsan, kan i isälle ange medelhasigheen för rörelsen. Om föremåle rör sig sräckan Δs under iden Δ är medelhasigheen: s m = D D En moorcykel kör längs en plan, rak äg. Längs ägen finns markeringar uppsaa på 0 m asånd från arandra s /m De finns flera markeringar ill änser och ill höger om de som rias u i bilden. = 0 Om i sarar idmäningen från den försa markeringen, och sedan aläser hur lång id som gå arje gång moorcykeln passerar en ny markering, kan i ria e s()-diagram som isar moorcykelns läge som funkion a iden. 50 s /m Ds D /s 68 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

5 Efersom grafen ine är en rä linje, har moorcykeln uppenbarligen ine haf samma far hela iden. Men de finns issa idsinerall där faren ari konsan. Ur grafen kan i se a de agi moorcykeln någo mer än ol sekunder a köra 40 m från sarpunken. Sedan sår den silla under ca åa sekunder, fram ill iden 0 s. Därefer minskar moorcykelns lägeskoordina från 40 m illbaka ill 0 m. A lägeskoordinaen minskar, isar a moorcykeln har än och kör illbaka mo ugångspunken. Mellan 6 s och 0 s är grafen linjär. Desamma gäller mellan 4 s och 0 s och mellan 0 s och 48 s. I alla dessa idsinerall har moorcykeln konsan far. Mellan iderna = 4,0 s och = 0,0 s, förflyar sig moorcykeln från markeringen 0 m ill markeringen 0 m. Moorcykeln förflyas då Ds = (0 0) m = 00 m på iden D = (0,0 4,0) s = 6,0 s. Medelhasigheen i idsineralle mellan 4,0 s och 0,0 s är allså: s = Δ 00 m m = m/s Δ 6,0s I idsineralle mellan 3 = 4,0 s och 4 = 0,0 s, ändras ine läge. Moorcykeln sår silla och medelfaren är naurligis 0 m/s. Mellan idpunkerna 4 =0,0 s och 5 = 48,0 s blir medelhasigheen: m Ds 0 m 40 m m = = = 40 = 50, m/s D 48 s 0 s 8 s De negaia ärde isar a moorcykeln rör sig i negai rikning. Vi kan då aningen säga a hasigheen är -5,0 m/s eller a faren är 5,0 m/s i negai rikning. Äen om i ill ardags anänder orden far och hasighe synonym, så beyder de olika saker för fysikern. Med hasighe menar fysikern hur snabb föremåle rör sig och ar då äen med i ilken rikning. Med far menas enbar sorleken. E flygplan som rör sig med 800 km/h i sydäslig rikning har allså samma far som e som rör sig med 800 km/h i öslig rikning, men hasigheen är olika, efersom de rör sig å olika håll S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 69

6 Till ardags anger i faren för bilar, åg, flygplan os. i enheen km/h, medan fysikern ofa anänder enheen m/s. Enheen m/s är nämligen enklare a anända id beräkningar, efersom m/s är en SI-enhe. Enhesbye mellan de båda enheerna sker så här: km/h km 000 m m = = = = h s 3,6 s 36, m/s Omän gäller a m/s = 3,6 km/h. EXEMPEL Hur sor är moorcykelns medelhasighe mellan iderna 0 s och 4 s? Anänd diagramme på sidan 6. Vid iden 0 s befinner sig moorcykeln id läge 0 m och id iden 4 s id läge 40 m. Medelfaren är: s = D m = 40 m D = 0 m/s 4 s Sar: Medelfaren mellan 0 s och 4 s är 0 m/s. EXEMPEL Hur lång rör sig e flygplan med faren 800 km/h på en sekund? Faren omandlas från km/h ill m/s: km/h = m/s m/s 3,6 Sar: På en sekund flyar sig plane ungefär 00 m. Lös uppgiferna 0-06 på sidan 96 Momenanhasighe När i suderade moorcykelns rörelse, iade i på medelhasigheen i olika idsinerall. Vi ska nu ia momenanfaren hasighesmäaren anger ju ine medelfaren, uan moorcykelns far id en iss besämd idpunk. På samma sä som i föregående asni kan i anända begreppe momenanhasighe om i äen ill beskria rikningen. Vi ska nu sudera rörelsen hos en agn som rullar nerför en backe med jämn luning e luande plan. 0 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

7 s/cm (,; 4,) /s a) Markörens placering isar a agnen befinner sig 4, cm från sarpunken efer, s. s/cm (,; 4,0) b) Vid iden, s ger funkionen lägeskoordinaen 4,0 cm. s/cm (,3; 0,9) c) Vid iden,3 s ger funkionen lägeskoordinaen 0,9 cm. D Ds /s /s d) Rikningskoefficienen hos angenen ill kuran i x=, är desamma som momenanfaren. Den röda sreckade linjen anger medelhasigheen. En ulraljudsdeekor som är kopplad ill en daor eller grafräknare regisrerar agnens läge. De sammanhörande ärdena på läge och id sammansälls som en s()-graf på räknaren (a). Ju längre iden går, deso sörre blir luningen agnens far ökar. Om i anpassar en andragradsfunkion ill määrdena (b) blir funkionen: s() = 55,8 + 5,9 om iden,, mäs i sekunder och sräckan, s, i cenimeer. Andragradskuran går ine exak genom mäpunken. Alla mäningar, hur noga i än mäer, ger e iss mäfel. När i besämmer en andragradsfunkion, går den ine exak genom alla (om ens någon) a punkerna. Vi ska nu beräkna momenanhasigheen id iden, s. Vi börjar med a göra en uppskaning a medelhasigheen i idsineralle, s ill,3 s (å punker som ligger på lika sora asånd a punken x =,). I bild (c) ser du lägeskoordinaen id iden,3 s. Vi får medelfaren som: m = Ds 4,0) cm = ( 0, 9 cm D (,,) s =, , s = 39, 8 cm/s Denna medelfar ger en gro uppskaning a agnens momenanhasighe id iden, s. Luningen på den räa linjen genom randpunkerna i ineralle känner i från igen som linjens rikningskoefficien: s k = D D Om i änker oss a i forsäer a minska idsineralle, kommer de båda punkerna all närmare arandra (d). I gränsfalle sammanfaller punkerna och den räa linjen blir kurans angen. Momenanhasigheen är allså desamma som angenens luning i punken x =,. I senare maemaikkurser kommer du a lära a beräkna luningen id idpunken som deriaan a funkionen s(). Tills dess får du besämma luningen grafisk eller med hjälp a din miniräknare eller daor. Momenanfaren kan då besämmas ill 40 cm/s S Förfaarna och Zeni AB Rörelse

8 s I bilden isas s()-grafen för en annan rörelse som ine är likformig hasigheen arierar all efersom luningen på grafen arierar. När angeringspunken flyas längs grafen ändras luningen hos angenen momenanhasigheen arierar allså. EXEMPEL 3 Hur sor är momenanfaren id iden 4,0 s för moorcykeln på sidan 6? 50 s /m (0;,9) 0 0 /s Momenanfaren id en iss idpunk är desamma som angenens rikningskoefficien. Vi åeränder ill diagramme och riar en angen ill kuran id iden 4,0 s. Sedan äljer i å läaläsa punker på angenen. Med hjälp a koordinaerna för de å markerade punkerna på angenen (,9 s ; 0 m) och (0 s ; m) kan i beräkna angenens luning ill: m 0m 3,98 m/s 0 s,9s Dea ärde anger momenanfaren id iden 4,0 s, efersom angenens luning är desamma som momenanfaren. Sar: Momenanfaren id iden 4,0 s är 4,0 m/s. EXEMPEL 4 Hur sor far har jorden i sin bana run solen? Solen r Jorden I abellen på sidan ser i a jorden rör sig i en (näsan) cirkelformig bana med radien 49,6 miljoner km run solen. E ar run solen är allså: p r = p 49,6 0 6 km 9, km Efersom de ar e år för jorden a röra sig e ar run solen, ar are: år = 365,5 dagar = 365, s 3,56 0 s Banfaren är allså: m 8 s 9,40 0 km = Δ 9,8 km/s Δ = 3,56 0 s Sar: Banfaren är 9,8 km/s. Lös uppgiferna 0-0 på sidan 96 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

9 s/cm 0,5 k = 40,0 cm/s k = 55,8 cm/s, /s Momenanfaren för idpunkerna =0,5 s och =, s beskärs a angenens luning. Tid / s Far / m/s 0,0 0,0 9,8,0 9,6 3,0 9,4 4,0 39, Acceleraion När hasigheen ändras sägs rörelsen ara accelererad. Vi definierar acceleraionen hos en rörelse med sambande: acceleraion = hasighesändring id SI-enheen för acceleraion är m/s. eller a = D D Tidigare suderade i en agn som rullade nerför e luande plan. Vi besämde momenanhasigheen id idpunken, s ill 40 cm/s genom a besämma angenens luning. Vi riar nu in en ny angen id idpunken 0,5 s i samma diagram. Vi ser ydlig a angenens luning, ds. momenanhasigheen, ökar mellan iden 0,5 s och, s. Luningen hos den nya angenen kan i besämma på samma sä som idigare. Vi får då ärde 55,8 cm/s. Om acceleraionen ine är lika sor i alla punker i ineralle alar i isälle om medelacceleraion. Medelacceleraionen för agnens rörelse i idsineralle mellan 0,5 s och, s är: a m 40,0 cm/s 55,8cm/s 84, cm/s 0,84 m/s = Δ, m/s Δ =, s 0,5 s = 0, s = 0, s Oase ilke idsinerall i äljer för denna rörelse, får i allid samma resula:, m/s. Rörelsen har allså en konsan acceleraion. Vi säger a den är likformig accelererad. Tyngdacceleraion Tänk dig a någon råkar söa ill en kruka hög upp i e höghus så a den faller u genom fönsre. Efer en sund blir lufmosånde på krukan märkbar, men de försa sekunderna kan i borse från dea. Krukans far isas i abellen ill änser. Hasigheen ökar allså med 9,8 m/s arje sekund. Denna acceleraion kallas yngdacceleraionen och beecknas anligen med g (se äen kapiel ). Tyngdacceleraionen arierar någo, beroende på ar du befinner dig på jorden. Den är sörs id polerna och mins id ekaorn. I Sydserige är g 9,8 m/s. Längre norröer ökar ärde ill g 9,8 m/s S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 3

10 Exempel på acceleraion Sarande bil eller flygplan 3 m/s Sarande moorcykel 4 m/s Fri fall 9,8 m/s Kula i lufgeär 0 km/s Om i beskrier rörelsen i abellen som hasigheen som funkion a iden, får i sambande: () = g där faren anges i m/s och iden i sekunder. Dea samband gäller för alla fri fallande föremål, om i borser från lufmosånde. EXEMPEL 5 I reklamen för en bil sår angie a bilen accelererar från sillasående ill 00 km/h på 9,3 s. Hur sor är bilens medelacceleraion? Efersom bilens acceleraion förändras, kan i bara beräkna dess medelacceleraion. Förs måse faren omandlas ill m/s: km/h = m/s,8 m/s 3,6 Medelacceleraionen är då: a m,8m/s = Δ,99 m/s Δ = 9,3 s Sar: Bilens medelacceleraion är 3,0 m/s. Lös uppgiferna -5 på sidan 55 Momenanacceleraion I bilden ser du e gäng skydiers som har hoppa u från en flygplan, och är på äg mo marken. De har ännu ine eckla u sina fallskärmar. Om i suderar sambande mellan hasigheen och iden för en a hopparna, får i en graf som isar den erikala faren,, som funkion a iden,. Grafen isar a faren ökar snabbas i början. Mellan iderna 0,0 s och,0 s ökar faren med ca 0 m/s. Acceleraionen är allså i genomsni 0 m/s. Sedan aar luningen acceleraionen blir allså mindre. Faren id 6,0 s är ca 43 m/s och id,0 s ca 46 m/s. Faren ökar endas med 3 m/s medelacceleraionen är allså 3 m/s. Medelacceleraionen i e idsinerall beräknas generell som: a = D m D 4 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

11 / m s /s Momenanacceleraionen i en iss punk får du som rikningskoefficienen i ()-grafen, med hasigheen,, som funkion a iden,. För a a reda på rikningskoefficienen riar du en angen ill kuran id den idpunk du är inresserad a. Sedan äljer du å läaläsa punker på angenen. Med hjälp a koordinaerna för de å markerade punkerna på angenen kan du sedan beräkna angenens luning. Tangenens luning är i sin ur densamma som momenanacceleraionen. Principen är allså densamma som när du besämde momenanhasigheen ur en s()-graf (se exempel 3). 3 Lös uppgif 6 på sidan Rörelse med konsan hasighe 6 En rälinjig rörelse med konsan far kallas en likformig rörelse. Vi kan beskria rörelsen med hjälp a en s()-graf eller en ()-graf. s s()-grafen Efersom faren är konsan blir luningen i en s()-graf lika sor i arje punk (föremåle kommer lika lång under lika sora idsinerall). Grafen måse allså ara en rä linje. Om iden börjar mäas då föremåle befinner sig i punken med lägeskoordinaen 0, går linjen genom origo. Sarar rörelsen id en annan lägeskoordina,.ex. s 0, går linjen genom punken s 0 på den erikala axeln (a). Vi kan ange e maemaisk samband som beskrier den likformiga rörelsen. Efersom funkionen är en rä linje, kan i skria ekaionen: s() = 0 + s 0 s 0 a) s()-graf id konsan far. Om i låer föremåle sara id lägeskoordinaen 0, kan i förenkla sambande ill s() = 0. S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 5

12 ()-grafen Efersom faren är konsan, blir ()-grafen en horisonell, rä linje (b). Acceleraionen är 0 m/s. Vi har skugga den area som begränsas a grafen och den horisonella axeln i figuren (c). Om faren är, och den id i undersöker rörelsen är, ser i a arean blir den sräcka föremåle rör sig (efersom s = ). Du kan allid beräkna den sräcka som e föremåle flya sig under e iss idsinerall som arean under ()-grafen. Denna meod gäller allså ine enbar för likformiga rörelser. hasighe 0 b) ()-graf id konsan far. id c) Arean mellan grafen och den horisonella axeln är s =. EXEMPEL 6 En kula rullar längs med en meerlinjal med faren 4 cm/s. Vi börjar mäa iden när kulan passerar skalsrecke 5 cm. Kulan rullar å de håll som graderingen ökar. a) Ange funkionen som beskrier kulans läge. b) Vilke är kulans läge efer s? a) Kulans läge (med enheerna cm och s) beskris a funkionen: s() = 0 + s 0 = b) Kulans läge id iden s är: s() = (4 + 5) cm = 63 cm Sar: a) Funkionen är s() = Läge anges i cm och iden i sekunder. b) Kulan befinner sig 63cm från sarpunken. EXEMPEL En person går med konsan far,,5 m/s, i rikning mo en brelåda 60 m bor. Hur lång id ar de innan personen kommer fram ill brelådan? Vi säer origo (lägeskoordinaen 0 m) ill den punk där personen befinner sig id iden 0 s. Personens läge beskris då a funkionen: s() = 0 =,5 De ar allså: s 60 m = = = 40 s,5 m/s Sar: De ar 40 sekunder a komma fram ill brelådan. Lös uppgiferna -8 på sidan 9 6 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

13 0 a 0 0 s 0 a) ()-graf id konsan acceleraion. a b) a()-graf id konsan acceleraion. far c) Faren som funkion a iden. Arean mellan grafen och den horisonella axeln är lika med sräckan. s a id d) s()-graf id konsan acceleraion. Rörelse med konsan acceleraion Om e föremål rör sig med konsan acceleraion kallas rörelsen likformig accelererad. ()-grafen Efersom rörelsen sker med konsan acceleraion, ökar faren lika mycke under lika långa idsinerall genom hela rörelsen. De innebär a om i riar faren som funkion a iden i en ()-graf, får i en rä linje. Om faren id iden 0 s är 0, går linjen genom punken (0, 0 ) (a). Efersom funkionen är en rä linje, kan i skria ekaionen som: () = a + 0 a()-grafen Efersom acceleraionen är konsan, blir a()-grafen en horisonell, rä linje (b) acceleraionen förändras ju ine. s()-grafen Men hur ser då s()-grafen u? Vi börjar med a beraka arean (c) under grafen a funkionen (). Arean mosarar, som i idigare isa, den sräcka som föremåle rör sig i idsineralle. De enklase säe a besämma arean är a dela upp den i en rekangel och en riangel: s() = Area oal = Area rekangel + Area riangel = 0 + a = 0 + a Vi har allså funni e samband, s() = 0 + (a )/ med ars hjälp lägeskoordinaen för e föremål som rör sig med konsan acceleraion kan beräknas. Dea förusäer a lägeskoordinaen s = 0 då iden = 0. Om idagningen isälle sarar då kroppen befinner sig id lägeskoordinaen s 0, blir sambande: s ()= 0 + a + s 0 Om i riar s()-grafen för en likformig accelererad rörelse, får i allså en andragradskura (d). A s()-grafen luar all mer är ine underlig efersom faren hela iden ökar, passeras en all längre sräcka per idsenhe S Förfaarna och Zeni AB Rörelse

14 För a sudera rörelsen anänder i en asåndsmäare, en CBR, och en grafriande räknare eller määrdesinsamlare. s a) Vagnens lägeskoordina markeras längs den längs erikala axeln och iden längs den horisonella. En andragradskura har anpassas ill määrdena. s dy/dx = 0,84 dy/dx = 0,348 b) Luningen id å idpunker:,0 s och,8 s. Luande plan Vi ska nu ia på e experimen med en agn på e luande plan. Vagnen knuffas snabb ill, rör sig en bi upp för plane och rullar sedan illbaka. I början sår agnen silla. När agnen knuffas ill, rör den sig uppför plane. Vi ser a grafen a den alägsnar sig från deekorn. Efer en sund änder agnen och asånde ill deekorn minskar. Vi kan anpassa en andragradskura ill den del a rörelsen där agnen rör sig uan annan påerkan än planes luning (bild a). Med hjälp a e erkyg, angen eller dy/dx, kan i besämma luningen id olika idpunker. I bild b isas ärdena på luningen id å idpunker:,0 s och,8 s. Vi e sedan idigare a kurans luning i en s()-graf är föremåles hasighe. Om i beecknar hasigheen som funkion a iden med () gäller allså a: (,0) = 0,84 m/s och (,8) = 0,348 m/s Med hjälp a de aläsa ärdena kan i nu beräkna acceleraionen: a m 0,348 m/s 0,84 m/s 0,466 = Δ m/s Δ =,8s,0s 0,8 0,58m/s Men ad innebär de a acceleraionen är negai? Då agnen rullar uppför plane minskar ju agnens hasighe hela iden. Om agnens hasighe minskar, har i en negai acceleraion rörelsen är rearderad. Isälle för a ange a agnen har acceleraionen -0,58 m/s säger man ibland a den har reardaionen 0,58 m/s. Men ad händer med acceleraionen efer a agnen har än? I bild c på näsa sida isas ärdena på luningen id å idpunker:,5 s och 3,5 s. Om i beecknar hasigheen med () gäller allså a: (,5) = -0,055 m/s och (3,5) = -0,63 m/s Med hjälp a de aläsa ärdena kan i nu beräkna acceleraionen: a m ( 0,63 m/s) ( 0,055 m/s) 0,58 = Δ m/s Δ = 3,5 s,5s 0,58m/s 8 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

15 s dy/dx = 0,055 dy/dx = 0,63 c) Luningen id idpunkerna,5 s och 3,5 s. y = 0,58x +,40 d) Grafen isar agnens hasighe under hela rörelsen. Hur kan de komma sig a acceleraionen forfarande är negai? Viss ökar äl hasigheen när agnen är på äg nerför plane, eller? Nej, de gör den fakisk ine. När i ill ardags alar om hasighe menar i egenligen faren. Vagnens far ökar ju när den rullar nerför plane. Dea är lika naurlig som a faren minskar när den rullar uppför. A hasigheen forsäer a minska då agnen än och börjar röra sig nerför känns mindre naurlig. Hur kan dea komma sig? Referensrikning A hasigheen minskar då agnen rör sig längs plane beror på a i har al en referensrikning då i räkna u acceleraionen. Vi har al en posii rörelserikning uppför plane. De innebär a lägeskoordinaen ökar då agnen rör sig uppför plane (alägsnar sig från deekorn). Efersom hasigheen är e må på hur snabb agnen rör sig uppför plane, kommer den a ara negai när agnen rör sig nedå. Hasigheen minskar allså under hela rörelsen. Hasigheen är noll då agnen befinner sig i den högsa punken och blir sedan negai då agnen än och är på äg nerför plane. Dea framgår också a s()-grafen. Hasigheen anges a luningen i en godycklig punk på kuran. Efersom luningen ill höger om maxpunken är negai, är också hasigheen negai, och efersom hasigheen blir allmer negai är allså acceleraionen negai. Vi kan bekräfa dea genom a isälle ia på hasigheen som funkion a iden i en ()-graf (bild d). Under den id agnen rullar på plane, blir grafen en rä linje (den försa sekunden sår agnen silla). A linjen luar nerå, innebär a rikningskoefficienen är negai, ilke i sin ur innebär a acceleraionen är negai. Vi har anpassa en rä linje ill mäpunkerna med hjälp a räknaren. I grafräknarens fönser kan du aläsa rikningskoefficienen ill -0,58, ilke sämmer bra med de ärde i idigare räknade fram. En posii rörelserikning uppför plane (här definieras posii rörelserikning som e äxande asånd ill asåndsmäaren) innebär a agnens hasighe är posii då agnen rör sig uppå, men negai då den rör sig nerå. Vidare är acceleraionen negai efersom agnen accelereras nerå under hela rörelsen, hasigheen minskar hela iden S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 9

16 En god regel då du behandlar rörelser maemaisk, är a allid börja med a älja posii rörelserikning. Vi skulle ha kunna älja posii rörelserikning nerå. I de här falle känns de mindre logisk, men de är full möjlig. Fundera själ öer ilka konsekenser de skulle få. Hur skulle graferna se u? Hur skulle de maemaiska samband som beskrier hasigheen se u? Samband för likformig accelererad rörelse Vi kan sammanfaa de samband i funni för likformig accelererad rörelse: s () = 0 + a och () = 0 + a Vi förusäer då a idmäningen sarar då s 0 = 0. De båda sambanden kan säas samman ill e ny, som anger förhållande mellan sräcka, hasighe och acceleraion: = 0 + a s Efersom dea egenligen är en ren algebraisk öning, öerlåer i härledningen ill dig som är inresserad. Gör den gärna den är nyig! EXEMPEL 8 E päron faller 0,95 s innan de räffar marken. a) Hur lång har pärone falli? b) Med ilken far slår de i marken? Vi äljer origo så a läge är 0 m när pärone börjar falla. Den posiia rörelserikningen anges nerå, ilke innebär a pärone accelereras med acceleraionen g = + 9,8 m/s. Efersom begynnelsehasigheen är 0 m/s är 0 = 0. a) Vi beräknar sräckan med hjälp a sambande: s () = 0 + a = g = 9,8 0,95 4,6 m b) Faren blir då: () = 0 + a = g = 9,8 0,95 m/s 9,3 m/s Sar: Pärone faller 4, m och slår i marken med faren 9,3 m/s. 80 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

17 EXEMPEL 9 En lien boll kasas rak nerå från e hög orn. Bollen har begynnelsefaren,0 m/s nerå, och kasas från en usiksbalkong som befinner sig 3,0 m från oppen på de 00,0 m höga orne. Borse från lufmosånde. a) Hur lång har bollen rör sig under den försa sekunden? b) Vilken far har den då? c) Hur lång id ar de för bollen a nå marken? d) Med ilken far slår den i marken? 0 m 9 m,0 m/s Vi äljer posii rikning nedå och äljer origo så a läge är 0 m när bollen kasas. Efersom balkongen befinner sig 9 m upp, kommer bollen a röra sig 9 meer innan den ar mark. Efersom begynnelsehasigheen är,0 m/s är 0 =,0. a) Bollens lägeskoordina id iden är: s () = 0 + a = 0, + g = 0, + 49, Efer en sekund har bollen allså falli: s() =,0 + 4,9 m 6,9 m b) Bollens hasighe id iden är: () = 0 + a =,0 + g =,0 + 9,8 Efer en sekund har bollen allså hasigheen: () = (,0 + 9,8 ) m/s,8 m/s c) Bollen slår i marken efer 9 m. Efersom s() =,0 + 4,9 kan i säa in s() = 9 i sambande: 9 =,0 + 4,9 Vi kan lösa denna andragradsekaion genom a samla alla ermer i ena lede och diidera med 4,9: + 0,40-9,6 = 0 Andragradsekaionen har lösningarna 4,5 eller -4,65. De negaia ärde kan förkasas efersom i börjar sudera rörelsen id iden = 0. Bollen slår allså i marken efer 4,5 sekunder. d) När bollen slår i marken kan i beräkna faren genom a säa in iden 4,5 s i sambande: () =,0 + 9,8 Vi får då a: (4,5) = (,0 + 9,8 4,5) m/s 4, m/s Sar: Efer en sekund har bollen rör sig 6,9 m och har faren m/s. De ar 4, s för bollen a nå marken. Faren är då 4 m/s S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 8

18 EXEMPEL 0 En handbollsspelare kasar bollen erikal uppå med hasigheen 5,0 m/s. Han släpper bollen, m öer gole. a) Hur hög upp änder bollen? b) Hur lång id ar de innan bollen slår i gole? c) Hur sor far har bollen då? Vi äljer posii rörelserikning uppå och origo i kaspunken. De innebär a gole får lägeskoordinaen -, m och a acceleraionen för rörelsen är -9,8 m/s. Begynnelsehasigheen är posii, 0 = 5,0 m/s. Vi kan beskria rörelsen med sambanden (konrollera själ): s() = 5,0-4,9 och () = 5,0-9,8 a) När bollen änder i oppunken är hasigheen () = 0. Vi får då a: 0 = 5,0-9,8 5,0 = 9,8 s 0,509 s Toppunken nås allså efer 0,509 s. Om i e iden, kan i beräkna hur hög bollen befinner sig: s(0,509) = 5,0 0,509-4,9 0,509 m, m Bollen änder allså,3 m öer kaspunken, ds. 3,0 m öer gole. b) Då bollen slår i gole är s = -,. De innebär a:, = 5,0-4,9 Vi löser andragradsekaionen genom a samla alla ermer i ena lede och diidera med 4,9: -,0-0,346 = 0 Andragradsekaionen har lösningarna,9 eller -0,. De negaia ärde kan förkasas efersom i börjar sudera rörelsen id iden = 0. Bollen slår allså i marken efer,3 sekunder. c) Vi kan beräkna hasigheen som (,9) = (5,0-9,8,9) m/s -,64 m/s Minuseckne innebär a bollen rör sig i negai rörelserikning, ds. nerå. Bollens far id gole är,6 m/s. Sar: Bollen änder 3,0 m öer gole och räffar gole med faren,6 m/s efer,3 s. Lös uppgiferna 9-3 på sidan 98 8 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

19 Ljuse från en bils srålkasare har exak samma far, oase om den anges i förhållande ill bilen eller ill marken. Dea gäller oberoende a hur snabb bilen kör och är allså ine e fenomen som bygger på a bilens far är försumbar. Enlig relaiieseorin är ljuses far oberoende a referenssysemes, i dea falle bilens rörelse. Relaiieseori Relai rörelse Så for du ska beskria e föremåls rörelse, måse du göra de i förhållande ill någo. Vi börjar med a ia på e exempel. Tå åg kör å samma håll, men med olika farer. Tåg A har faren 0 m/s och åg B faren 6 m/s. Båda hasigheerna mäs relai marken. = 0 m/s = 0 m/s = 6 m/s = 6 m/s Om du skulle så på åg A och mäa hasigheen, skulle du säga a åg B alägsnar sig med faren 6 m/s. Hasigheen hos åg B, relai åg A, är allså 6 m/s. Om du isälle skulle så på åg B och jämföra hasigheen, skulle du säga a åg A rör sig med en bakårikad hasighe relai åg B. Hasigheen hos åg A, relai åg B, är allså -6 m/s. Relai marken rör sig åg B med hasigheen 6 m/s medan de relai åg A har hasigheen 6 m/s. Dea er sig så själklar a i knappas behöer förklara de. När de gäller ljus är de ine så enkel = 6 m/s 9 0 S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 83

20 För a förenkla resonemange säer i ljusfaren ill 30 m/s och låer en person på åg A ända en lampa så a ljussrålen rör sig mo åg B. Personen på åg A mäer faren ill 30 m/s relai sig själ. När ljussrålen når åg B mäer personen där också faren 30 m/s liksom en person på marken gör. Alla uppfaar ju samma far på ljuse oberoende a sin egen rörelse. Hur kan dea ara möjlig? Denna synbara paradox leder ill en del slusaser som alla srider mo åra föresällningar, men som sämmer med alla obseraioner som hiills gjors. Men innan i kommer ill dea skall i ia på e mycke beröm experimen som lade grunden ill relaiieseorin. Michaelson Morleys experimen Efer Youngs försök 80 ar forskarna öerygade om a ljus ar en ågrörelse och a de då behödes e medium för denna ågrörelse a ubreda sig i. Dea medium kallades eern och eern fyllde all omrum mellan himlakropparna i solsyseme. Dea innebar a jorden rör sig genom eern och 88 genomfördes e beröm experimen för a ia denna rörelse. I Ohio byggde Alber Michaelson och Edard Morley e mycke känslig insrumen, en inerferomeer, som skulle kunna mäa skillnaden i ljuses hasighe när de kommer mo jordens rörelserikning jämför med inkelrä mo densamma. Hur noga man än mäe lyckades man ine obserera någon skillnad ros a insrumenes noggrannhe ar sor nog a uppäcka en eenuell sådan skillnad. Olika förklaringar gas ill dea, bl.a. a insrumenes ena arm drog ihop sig i rörelserikningen på grund a rörelsen mo eern. Men ine förrän 905, med Einseins speciella relaiieseori, fick man en förklaring. Den speciella relaiieseorin Fysikern Alber Einsein berakas, illsammans med Isaac Newon, som en a de sörsa fysikerna genom iderna. Einsein uförde flera banbryande insaser som reoluionerade fysiken. E a dessa arbeen, den speciella relaiieseorin, publicerades år 905. De bör här påpekas a Einsein aldrig uförde några experimen uan bara sysslade med ankeexperimen. 84 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

21 Alber Einsein. De sägs a Einsein fick idén ill sin eori när han sa på en bänk nere id floden och iade på sallågorna från en bå. Han började då fundera öer hur ärlden skulle se u om man kunde åka med sallågen från en ljuskälla, ds. hur skulle man uppfaa ärlden omkring sig om man red på en ljusåg? I sälle för a försöka förklara arför man allid mäe upp samma ljushasighe oase sin egen eller ljuskällans rörelse konsaerade han a så är falle och med dea som ugångspunk förändrade han synen på saker som i normal se berakar som oföränderliga. Som i skall se senare i kapile blir några a konsekenserna a Einseins posula a iden förändras om man rör sig. Äen längdmäningar skiljer sig beroende på om man är i rörelse eller ine. All dea ugår från de å posula som Einsein sae upp som grund för sin eori. Ljuses hasighe är oberoende a referenssysemes rörelse. Fysikens lagar är lika i alla referenssysem som rör sig med konsan hasighe i förhållande ill arandra. Konsekensen a de försa posulae är a ljuses hasighe allid är densamma oberoende a ljuskällans eller a moagarens rörelse. De exiserar allså ine någon eer. Tros dea hör man ibland i radion frasen nu när i sänder u i eern. Ur fysikalisk synpunk är dea e felakig påsående. Ljuses hasighe är också speciell i e anna aseende inge föremål kan röra sig med denna eller sörre far. Orde speciell ska olkas så a den speciella relaiieseorin ar begränsad, i mosas ill den allmänna relaiieseorin. Einsein lade fram den allmänna relaiieseorin år 95. Den innefaar den speciella relaiieseorin, men är i hög grad en eori som behandlar graiaionen och som bl. a. beskrier hur ljussrålar kröks i närheen a kroppar med sor massa som. ex. solen. Den allmänna relaiieseorin är mycke komplicerad. I forsäningen a kapile ska i därför begränsa oss ill a sudera några a de konsekenser den speciella relaiieseorin får för år uppfaning a id och rum S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 85

22 Samidighe Följande ankeexperimen, Einseins ågexperimen, isar på en konsekens de försa posulae : a ljuses far är desamma, oberoende a i ilke referenssysem den mäs. Föresäll dig a e åg kör med hög hasighe i förhållande ill marken. Plöslig slår å blixar ned en på arje ände om åge och säer märken både på åge och på rälsen. Vi ska nu se hur Elin, som befinner sig ombord på åge, och Joakim, som sår på marken beskrier händelsen. Elin Elin Joakim Joakim Joakims beskrining från marken. Ljuses ubredning Joakims beskrining Joakim ser å blixar slå ned samidig, den ena i framändan och den andra i bakändan a åge ( bild A ). Från där Joakim sår, är asånden ill de båda nedslagspunkerna lika sora. De innebär a den id ljuse behöer för a gå från nedslagspunken ill honom är lika sora ( bild B ). Joakim bedömer a blixarna slog ned samidig. Elins beskrining När Joakim ser blixarna ser han och Elin också arandras ansiken. Elin ser då också de båda blixarna samidig. Under den id som ljuse agi a förflya sig från nedslagspunken ill Elin ( och Joakim ) har åge flya sig en iss säcka. Därför sier ine Elin mi i åge uan e lie sycke mo bakänden a åge. Elin resonerar : Efersom jag ser de båda blixarna samidig och ljuses far är oberoende a referenssyseme, måse ljuse från åges framända (bild A) ha haf längre id på sig än ljuse från åges bakända (bild B). Blixen från framändan har ju färdas en längre sräcka (bild C). 86 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

23 Elin Elin Elin Joakim Joakim Joakim Elins beskrining från åge. Ljuses ubredning 3 Elins slusas är a de båda blixnedslagen ine sker samidig blixnedslage i framändan sker förs. Tå händelser som är samidiga för en iakagare behöer allså ine ara samidiga för en annan iden är allså relai. Joakim och Elin är oeniga om samidigheen hos händelserna. Men ingen a dem har mer rä än den andre. Ine heller har den ena mer fel än den andra. En konsekens a den speciella relaiieseorin är allså a å händelser som är samidiga för en person, kan ske id olika illfällen ur en annan persons syninkel Längd Men ine nog med a Joakim och Elin är oeniga om samidigheen de är också oeniga om åges längd! Joakim, som sår på marken, mäer asånde mellan nedslagspunkerna och menar a de är åges längd. 8 9 Elin är a en annan uppfaning. Elin resonerar : Markeringen i framändan a agnen skedde när den försa blixen slog ned. Efersom åge hann flya sig en lien sräcka innan den andra blixen slog ned, måse åge ara längre än asånde mellan de båda markeringarna. Äen längd är allså en relai sorhe. Den speciella relaiieseorin ogiligförklarar ine den klassiska fysiken, ska snarare ses som en uidgning a den. När föremål rör sig med farer som är mycke mindre än ljuses far ger den klassiska mekaniken bra resula, men när hasigheerna närmar sig ljuses far är relaiisiska beräkningar nödändiga. 0 S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 8

24 Tidsdilaaion Einseins posula om a alla obseraörer mäer samma ljushasighe oase sin egen rörelse gör a i måse änka om ad gäller en del andra sorheer som i gärna ill uppfaa som absolua,.ex. id och längd. Lå oss forsäa med Einseins ågexperimen: änk dig a Elin suderar en ljuspuls som reflekeras mellan å speglar en id gole och en id ake. Ljuspulsen färdas fram och illbaka mellan de båda speglarna. Hon kan mäa den id de ar för ljuse a färdas från gole ill ake. Denna id kallar hon 0. Denna id kallas egeniden för händelsen efersom den mäs i de referenssysem där händelsen uspelas. Joakim suderar samma skeende när åge passerar och anser a åge förflyas en lien sräcka medan srålen färdas från gole ill ake. Ljuse kommer allså a följa en sick-sack-formad bana enlig hans iakagelse. Denna bana isas krafig öerdrien i bilden. c När Joakim iar på Elins ljussråle ser den u a följa en diagonal, medan Elin uppfaar a hennes egen ljussråle bara går upp och ner. c 0 Efersom Joakim anser a ljuspulsen färdas en längre äg och a ljushasigheen de mäer är densamma måse den a honom uppmäa iden ara längre. Joakim kallar sin id för. Under iden har åge rör sig sräckan s =. Den räinkliga riangeln i bilden isar hur Elin och Joakim uppfaar de sräckor ljuspulsen färdas mellan speglarna. Enlig Pyhagoras sas gäller då: ( c) = ( c ) + ( ) 0 Dea kan skrias om som: ( c ) = c 0 88 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

25 Sedan kan lösas u: ( ) = 0 = c 0 ( ) c Efersom nämnaren allid är mindre än kommer den sillasående berakaren a upplea de som a den rörliga klockan går långsammare än hans egen. Dea fenomen kallas idsdilaaion, efer laines dilaare, fördröja. Joakim och Elin besämmer sig för a esa relaiieseorin. Elin ger sig därför u i rymden med e rymdskepp som håller hög far medan Joakim sannar på jorden. Innan Elin åker iäg synkroniserar de sina klockor klockorna går exak lika for. Om idsineralle 0 förflyer på Elins klocka i rymdskeppe, kommer Joakim a regisrera iden på jorden. Sambande mellan iderna ges enlig relaiieseorin a sambande: = 0 c Här är c ljuses far och den far med ilken de rörliga syseme rör sig. Anag a Elins rymdskepp rör sig med faren = 0 8 m/s och a klockorna jämförs efer 0 = år: = år ( 0 ) ( 30 ) 8 8, år På jorden har de allså förflui, år då de gå år i rymdskeppe. Relaiieseorin säger allså a iden går långsammare om hasigheen ökar, se ur en annan obseraörs referenssysem. Lägg märke ill a iden ine sakar ned ur Elins syninkel de är endas från Joakims referenssysem som iden går långsammare. A iden går långsammare när man färdas nära ljuses hasighe är en a orsakerna a issa forskare praar om a man i framiden kan komma a färdas mellan sjärnor och kanske.o.m. mellan galaxer! S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 89

26 Myoner Försa gången idsdilaaionen obsererades i erkligheen ar när man obsererade e slags elemenarpariklar, myoner, som bildas på hög höjd i jordamosfären. Myonerna är insabila och sönderfaller med så kor haleringsid a endas e mycke lie anal borde kunna nå ned ill jordyan men ca hälfen a de bildade myonerna når jorden. A dea är möjlig beror på a myonerna rör sig med en far som är obeydlig lägre än ljuses. Den kora haleringsiden i de rörliga syseme ( se ur myonens syninkel ) mosarar allså en beydlig längre id i jordens referenssysem ( > 0 ) pariklarna hinner allså illryggalägga en mycke längre sräcka. EXEMPEL När myoner bildas i de öre lagren a amosfären har de farer på upp ill 99,99 % a ljuses far. Haleringsiden för sönderfalle är,0 μs i myonens ilosysem. a) Hur lång är haleringsiden, se ur jordens referenssysem? b) Hur lång hinner en myon röra sig, se ur jordens referenssysem, under en haleringsid? a ) I jordens referenssysem är haleringsiden: 0 = 6 = 4, 43 ms 0, 9999 efersom = 0,9999 c. b ) Myonen hinner röra sig sräckan: s = = 0, , m = 4, 0 4 m. Sar : a ) Haleringsiden är ca 40 μs. b ) Myonen hinner röra sig 4 km. Lös uppgiferna 4 5 på sidan 98 Längdkonrakion Men äen om iden är längre ur jordens referenssysem, är iden i myonernas forfarande lika kor hur kan de då nå jorden? Anledningen är a sräckan ill jorden är korare, se från de rörliga syseme. Fenomene kallas längdkonrakion. Vi åergår ill Joakim och Elin. Sräckan l 0, som uppmäs a Elin, mosaras a en sräcka l uppmä a Joakim. Sambande mellan sräckorna ges enlig relaiieseorin a sambande: l= l0 c 90 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

27 Elin mäer längden a rymdskeppe ill 0 m. Joakim, som sår på jorden, mäer rymdskeppe ill 4.9 m. Ana a Elin mäer längden a rymdskeppe ill l 0 = 0,0 m. Då kommer Joakim, som sår på jorden, a mäa längden: ( 0 ) l = 0,0 m (3 0 ) 8 8 = 4,9 m Mä från jorden är rymdskeppe allså 4,9 m lång. Relaiieseorin säger allså a längden minskar om hasigheen ökar. Lägg märke ill a längden ine minskar ur Elins syninkel de är endas från Joakims referenssysem. På mosarande sä skulle Elin säga a de är jorden som blii unnare ur rymdskeppes referenssysem rör sig ju jorden! Efersom myonerna rör sig med en far som är obeydlig lägre än ljuses, är sräckan ned ill jordskorpan, ur myonernas perspeki, kor. Massökning Om man illför energi ill e föremål ökar dess hasighe. Efersom ljuses hasighe är den högsa möjliga hasigheen, måse energiillförseln äen resulera i a någo anna annars skulle ju så småningom ljushasigheen öerskridas. Den speciella relaiieseorin isar a massan hos e föremål ökar med hasigheen. Vi åergår ännu en gång ill Joakim och Elin. Elin mäer rymdskeppes massa ill ilomassan m 0 ( ilomassan innebär a dea är massan relai de egna referenssyseme ) och Joakim mäer den ill m. Sambande mellan massorna ges enlig relaiieseorin a sambande: m = m 0 c Ana a Elin mäer massan a rymdskeppe ill m 0 = 00 on. Då kommer Joakim, som sår på jorden, a mäa massan : m = 00 on ( 0 ) (3 0 ) on Du ser a massan hos e föremål ökar då närmar sig c och a faren omöjlig kan uppnå ärde c då skulle ju massan bli oändlig S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 9

28 Energi och relaiieseori Den oala energin hos e föremål ges relaiisisk a urycke: W = m c Här beecknar m den massa som kan beräknas med urycke: m = m 0 c Den energi som kan uinnas om en mängd maeria i ila omandlas ill energi är den s. k. iloenergin, där m 0 är parikelns ilomassa: W = m 0 c När en parikel illförs energi kan en del a denna bli rörelseenergi och då ökar parikelns hasighe. Vid låga hasigheer anänds all rörelseenergi ill hasighesökningen, men då parikeln börjar närma sig relaiisiska hasigheer, > 0,c, anänds mer och mer a den illförda energin ill a öka parikelns massa. De relaiisiska urycke för rörelseenergin fås genom a subrahera iloenergin från oalenergin hos en parikel: m c 0 Wk = m c m0 c = c m Som framgår a dea uryck skulle de kräas oändlig mängd energi a uppnå ljuses far för en parikel ars ilomassa är skild från noll. 0 c Lös uppgiferna 6 på sidan 98 9 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

29 Sammanfaning Rälinjig rörelse En rälinjig rörelse kan beskrias a en lägesfunkion s() eller a en hasighesfunkion (). Hasighe och far Om e föremål rör sig sräckan Ds under iden D är föremåles medelhasighe: s = D m D Föremåles hasighe id e iss illfälle kallas momenanhasigheen. Medan hasighe har både rikning och sorlek, har far endas sorlek. E föremåls momenanhasighe kan aläsas direk ur en ()-graf, eller som angenens luning id en iss idpunk i s()-grafen. Hur lång sräcka e föremål rör sig kan aläsas direk ur en s()-graf, eller som arean under en ()-graf. s 0 0 s far a Likformig rörelse En likformig rörelse sker med konsan hasighe och kan beskrias med sambande: s() = 0 + s 0 Om i äljer sarpunken i origo (s 0 = 0), kan sambande förenklas: s() = s()-grafen för en likformig rörelse är en rä linje. Om s 0 = 0 går linjen genom origo. Linjens rikningskoefficien är desamma som hasigheen. s 0 ()-grafen för en likformig rörelse är en horisonell, rä linje. 0 s S id Förfaarna och Zeni AB Rörelse 93

30 Acceleraion E föremål som accelererar ändrar hasighe. Om hasighesförändringen hos e föremål är D under iden D, är föremåles medelacceleraion a = D m D Föremåles acceleraion id e iss illfälle kallas momenanacceleraionen. E föremåls momenanacceleraion kan aläsas direk ur en a()-graf, eller som angenens luning id en iss idpunk i ()-grafen. Likformig accelererad rörelse En likformig accelererad rörelse har konsan acceleraion. E exempel på en sådan rörelse är fri fall med acceleraion yngdacceleraionen, g = 9,8 m/ s. En likformig accelererad rörelse kan beskrias med funkionerna: s () = 0 + a och () = 0 + a förusa a rörelsen sarar i origo. Sambande mellan hasigheen och sräckan ges a: = 0 +as s()-grafen för en likformig accelererad rörelse är en andragradskura. Momenanhasigheen id en iss idpunk är desamma som angenens luning. s 0 ()-grafen för en likformig accelererad rörelse är en rä linje. Om s 0 = 0 går linjen genom origo. Linjens rikningskoefficien är desamma som acceleraionen. 0 s a()-grafen för likformig accelererad rörelse är en horisonell, rä linje. a a 0 94 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

31 Relaiieseori Relaiieseorin bygger på å grundläggande posula: Ljuses far är oberoende a referenssysemes rörelse. Fysikens lagar är lika i alla referenssysem som rör sig med konsan hasighe i förhållande ill arandra. Som en konsekens a de försa posulae gäller. ex. beroende på i ilke sysem rörelsen beskris, a: samidigheen hos händelser upples olika, iden förflyer olika snabb, längder mäs olika i olika referenssysem, en parikels massa ökar med dess hasighe. För relaiisisk id gäller följande samband : = 0 c där 0 är iden uppmä i e sysem som rör sig med faren i förhållande ill de fasa syseme. Den sräcka l 0 som uppmäs i de fasa syseme mosaras a en sräcka l uppmä i de rörliga syseme. Sambande mellan sräckorna ges a : l= l0 c Sambande för a beräkna massan hos e föremål som rör sig med faren är : m = m 0 c där m 0 beecknar ilomassan och m den relaiisiska massan. Den oala energin hos e föremål ges relaiisisk a de älkända urycke : W = m c Den kineiska energin kan beräknas som oalenergin minskad med iloenergin: W = m c m 0 c S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 95

32 Uppgifer 0 En person går 450 m på 5,0 minuer. Vilken medelfar håller personen? Sara i enheen m/s. 0 En flicka simmar 300 m längs sranden på 5 min och s. Vilken medelfar håller hon under simningen? 03 E åg kör med konsan far. Grafen isar åges läge som funkion a iden. Besäm åges hasighe. Sara i enheen km/h s /m 05 Hur lång hinner en bil som kör med faren 0 km/h rulla på en sekund? Fundera öer ilke asånd som är minsa säkerhesasånd mellan å bilar som kör på moorägen. Reakionsiden för en bilförare är ca s. 06 Under e fysikexperimen kopplar läraren upp en asåndsmäare (CBR). Grafen isar asånde ill en ele som gjor en kor promenad framför mäaren. x-ärde anger iden i sekunder och y-ärde asånde ill deekorn i meer. Med hjälp a informaionen på bilden kan du uläsa hur graderingen är gjord. Beskri rörelsen så noggran som möjlig. s/m /s (,5;,5468) 04 Sofia är ue och moionslöper. Grafen isar läge som funkion a iden. Besäm Sofias medelhasighe i följande idinerall: a från 0 s ill 0 s b från 40 s ill 55 s c från 60 s ill 90 s s /m /s 0 I början a dea kapiel suderade i rörelsen hos en moorcykel. Vi isade moorcykelns rörelse med en s()-graf. a Anänd denna för a besämma moorcykelns momenhasighe id iderna,0 s, 6,0 s och 30,0 s. b Kan du hia någon idpunk, då hasigheen är 8,0 m/s? 08 Venus rör sig i en näsan cirkulär bana run solen. Unyja ärden från en abell för a beräkna Venus far run solen. /s 96 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

33 09 Vi suderade idigare en rörelse ars lägeskoordina kunde beskrias med funkionen s() = 55,8 + 5,9. Om iden anges i sekunder, ger funkionen ärde på lägeskoordinaerna i cenimeer. Besäm momenanfaren id iden 0,4 s genom a besämma läge hos kroppen id iden 0,38 s och 0,4 s. 0 En rörelse mäs med en asåndsmäare kopplad ill en grafriande räknare. Tangenen id en iss idpunk har rias in. Värdena Xscl och Yscl anger hur ä de båda axlarna graderas i diagramme. x-skalan anger enheen i sekunder, och y-skalan i meer. Vilken är föremåles momenanfar id idpunken där angenen är inriad? När rafikljuse slår om ill grön accelererar Hamid bilen ill 40 km/h på 4,6 s. Hur sor är medelacceleraionen? Hanna cyklar nerför en backe. Uppe på backen har hon faren 4,0 m/s och srax före slue a backen,0 m/s. A rulla nerför backen ar 9,4 s. Besäm cykelns acceleraion. 3 Mas appar sina nycklar. 0,48 sekunder senare slår de i gole. a Besäm nycklarnas far precis innan de slår i gole. b Hur hög öer gole appade Mas nycklarna? c Hur hög öer gole är nycklarna då de har faren 3,0 m/s? 4 Piloer i rymdfärjor usäs för höga acceleraioner id saren. Vid en uppskjuning ökades faren från 0 km/h ill 800 km/h på 4 s. Hur sor ar medelacceleraionen? 5 Gunilla gör en krafig inbromsning id en rafiksockning. Bilens far minskar då från 0 km/h ill 30 km/h på 4,0 s. Hur sor är medelacceleraionen? 6 E gäng sky-diers hoppar formaionshopp. a Unyja ()-grafen nedan för a beräkna fallskärmshopparnas momenanacceleraion id idpunkerna,0 s, 5,0 s och 9,0 s. b Om i skulle forsäa a sudera rörelsen en längre id, ad skulle hända med acceleraionen? c Varför händer dea? / m s /s De franska snabbåge TGV Alanique körde den 8 maj 990 med en far på 55,3 km/h. Hur lång hann åge på,0 minuer? S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 9

34 8 En bå håller hasigheen 4 km/h. Båen befinner sig 900 m från hamn och håller kurs rak mo hamnen. Är de möjlig a nå fram på fyra minuer eller ska kapenen öka hasigheen? 9 En sarande moorcykel accelererar med den konsana acceleraionen 4,0 m/s under dryg 5 s. a Hur sor far har moorcykeln efer 5,0 s? b Hur lång har moorcykeln då kör? c Hur sor är faren då moorcykeln kör 5 meer? 0 En badare dyker från en io meer hög klippa. Hur lång id ar de innan han slår i ane? Hur hög är faren då? En murare sår på en byggnadssällning och kasar en egelsen rak nerå. Handen är,0 m öer marken då han kasar senen, och ugångsfaren är,5 m/s. a Hur sor är senens far precis innan den slår i marken? b Hur lång id ar de för senen a nå marken? c Ana a muraren isälle kasa senen rak uppå med samma ugångsfar. Gör samma beräkningar som i de föregående uppgiferna och jämför saren. Vilka slusaser kan du dra? En golfspelare kasar en golfboll rak upp i lufen. En sund senare fångar han den på samma höjd han kasade iäg den. Bollens ugångsfar är,8 m/s. a Under hur lång id befinner sig golfbollen i lufen? b Hur hög upp i lufen är golfbollen när den änder? 3 En bil som kör med faren 0 km/h bromsar plöslig in ill sillasående. Acceleraionen är då -3,0 m/s. a Hur lång är bromssräckan? b Hur lång id og inbromsningen? c Hur lång är soppsräckan om föraren har reakionsiden,0 s? 4 Tre bilar kör längs med en mooräg. Tå a bilarna, A och B, kör å samma håll och har farerna 90 km/h respekie 0 km/h. Bil C färdas å mosa håll med faren 0 km/h. a Hur sor hasighe har bil B relai bil A? b Hur sor hasighe har bil C relai bil A? 5 Tå illingar, Adam och Ea, är 0 år. Den ena illingen, Adam, besämmer sig för a a en lång charerresa ill e planesysem id en annan sjärna. Samma dag som han änligen kommer fram fyller han 35 år. Hur gammal är då Ea, som sanna kar på jorden? Adam färdas under hela resan med faren,8 0 8 m/s. 6 Rymdskeppe Enerprise är 45,0 m lång. Efersom de rör sig mycke snabb relai jorden uppfaas längden från jorden ill 5,0 m. Hur for färdas Enerprise? I en a acceleraorerna id DESY Research Cener når elekronerna den imponerande faren 99,886 % a ljuses far. Hur sor massa har dessa elekroner? 98 Rörelse Förfaarna och Zeni AB

35 Blandade uppgifer: Till issa a de blandade uppgiferna måse du göra egna anaganden. Glöm ine a redoisa dessa! 8 Vid e prakfull åskäder hörde Linn åskknallen fem sekunder efer a hon såg blixen. Uppskaa hur lång bor nerslage skedde. 9 I en flygidabell finns följande informaion: Agång från Amserdam kl. 9.0 Ankoms ill New York kl..0 Flygid h 50 min a Hur kan dea sämma? b Om flygplane har en snifar på 850 km/h, hur lång är då flygsräckan? 30 En sen släpps från e fönser hög öer marken. a Hur sor far har senen efer,0 s? b Vilken medelfar har senen under de å försa sekunderna? 3 Ana a du kör bil med faren 90 km/h. a Hur lång id ar de a från de a du rampar på bromsen ills bilen sannar om reardaionen är 4, m/s? b Hur lång blir bromssräckan? 3 Hur lång uppfaas en sräcka som i jordens referenssysem är,4 km i e sysem som rör sig med faren 99,99 % a ljuses far? 33 * Uppskaa hur mycke de kosar a ha en 40W glödlampa änd arje na under e år. 34 Minuisaren på en kyrkklocka är,6 meer lång. Hur for rör sig minuisarens spes? 35 I diagramme isas en ()-graf för en bils rörelse. /(m/s) (5,0; 8) (3,0; 8) (5,0; 8,0) a Beskri bilens rörelse så noggran som möjlig. b Hur sor är bilens acceleraion i de olika inerallen? c Hur lång har bilen kör på de femon sekunder i suderar bilens rörelse? d Vilken är medelhasigheen för hela färden? 36 Om du rikar pipan på e geär mo mien a målalan, räffar skoe ine alans mi. Ana a du skjuer e sko mo en ala som befinner sig 00 m bor. Kulans ugångshasighe är 0 m/s. Hur lång under mien a alan räffar skoe? Borse från lufmosånde! 3 När e flygplan sarar accelererar de under sekunder med cirka 3,5 m/s. a Med ilken far lämnar plane sarbanan? b Hur kor kan sarbanan som mins ara om de ska ara möjlig a lyfa med flygplane? /s S Förfaarna och Zeni AB Rörelse 99

3 Rörelse och krafter 1

3 Rörelse och krafter 1 3 Rörelse och krafer 1 Hasighe och acceleraion 1 Hur lång id ar de dig a cykla 5 m om din medelhasighe är 5, km/h? 2 En moorcykel accelererar från sillasående ill 28 m/s på 5, s. Vilken är moorcykelns

Läs mer

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll? Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-

Läs mer

2 Laboration 2. Positionsmätning

2 Laboration 2. Positionsmätning 2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni

Läs mer

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation 1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara

Läs mer

4.2 Sant: Utfört arbete är lika stort som den energi som omvandlas p.g.a. arbetet. Svar: Sant

4.2 Sant: Utfört arbete är lika stort som den energi som omvandlas p.g.a. arbetet. Svar: Sant LÖSNINGSFÖRSLAG Fysik: Fysik och Kapiel 4 4 nergi nergiprincipen 4. nergin bearas. Allså är före efer,9,, ilke ger,9,,j, 6 J Sar:,6 J 3 3 Arbee, effek och erkningsgrad 4. San: Uför arbee är lika sor so

Läs mer

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A

Läs mer

Teknisk dokumentation

Teknisk dokumentation Teknisk dokumenaion Oscar Carlsson Version 1.0 Saus Granskad Godkänd Reglereknisk projekkurs WalkCAM LIPs Andreas Fälskog walkcam@bredband.ne 1 PROJEKTIDENTITET Reglereknisk projekkurs WalkCAM 2007/VT

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k) TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns

Läs mer

( ) är lika med ändringen av rörelse-

( ) är lika med ändringen av rörelse- LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 9 LP 9. Impulslagen skris allmän Fd p() p( ) β och ualas: är lika med ändringen a rörelse- krafens impuls under idsineralle, mängden under samma idsinerall. y I dea problem

Läs mer

Introduktion till Reglertekniken. Styr och Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde

Introduktion till Reglertekniken. Styr och Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde Syr och Reglereknik FR: Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Vad är Reglereknik? Behov av syrning Vad är Reglereknik? Läran om Åerkopplade Sysem Blockschema Syr-

Läs mer

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Om exponentialfunktioner och logaritmer Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens

Läs mer

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000 Lekion, Flervariabelanals den 9 januari..6 Finn hasighe, far och acceleraion vid idpunk av en parikel med lägesvekorn Genom a urcka -koordinaen i ser vi a kurvan är funkionsgrafen ill. Beskriv också parikelns

Läs mer

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning Hans Andersson (FP), ordförande i Tiohundra nämnden varanna år och Karin Thalén, förvalningschef TioHundra bakom solarna som symboliserar a ingen ska falla mellan solar inom TioHundra. Ingen åervändo TioHundra

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av

Läs mer

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET?

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? En undersökning av hur väl kolpulver framkallar åldrade fingeravryck avsaa på en ickeporös ya. E specialarbee uför under kriminaleknisk grundubildning vid

Läs mer

in t ) t -V m ( ) in - Vm

in t ) t -V m ( ) in - Vm 1 Föreläsning 17/11 Hambley asni 14.5 14.7 Komparaorn ej i Hambley) En komparaor anänds för a agöra eckne på den differeniella insignalen. Komparaorn besår a en operaionsförsärkare som aningen saknar åerkoppling

Läs mer

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator Tryckoberoende elekronisk flödesregulaor Beskrivning är en komple produk som besår av e ryckoberoende A-spjäll med mäenhe som är ansluen ill en elekronisk flödesregulaor innehållande en dynamisk differensryckgivare.

Läs mer

3 Rörelse och krafter 1

3 Rörelse och krafter 1 LÖSNINGSÖRSLAG ysik: ysik och Kapiel 3 3 Rörelse och krafer Hasighe och acceleraion 3. ar är hasigheens sorlek. Sar: alsk 3. Medelhasigheen fås so Sar 5, /s 3.3 Medelhasigheen fås so s 5 /s 5, /s 5, 6

Läs mer

Diverse 2(26) Laborationer 4(26)

Diverse 2(26) Laborationer 4(26) Diverse 2(26) (Reglereknik) Marin Enqvis Reglereknik Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie Föreläsare och examinaorer: Marin Enqvis (ISY) Simin Nadjm-Tehrani (IDA) Lekionsassisener: Jonas Callmer

Läs mer

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL!

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL! Exempelena 3 Anvisningar 1. Du måse lämna in skrivningsomslage innan du går (även om de ine innehåller några lösningsförslag). 2. Ange på skrivningsomslage hur många sidor du lämnar in. Om skrivningen

Läs mer

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti.

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti. Tenamen: Miljö och Maemaisk Modellering MVE345) för TM Åk 3, VÖ3 klockan 4.00 den 27:e augusi. För uppgifer som kräver en numerisk lösning så skriv ned di svar och hur ni gick ill väga för a lösa uppgifen

Läs mer

Hur påverkar rymden och tiden varandra vid relativ rörelse?

Hur påverkar rymden och tiden varandra vid relativ rörelse? Hur påerkar rymden oh tiden arandra id relati rörelse? Einsteins tolkningar ar nya för sin tid, men de grundade sig delis på tidigare fysikers tankar. Galileo Galilei (564 64) framlade okså på sin tid

Läs mer

Strategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet

Strategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet 1 File = SweTrans_RuMarch09Lohmander_090316 ETT ORD KORRIGERAT 090316_2035 (7 sidor inklusive figur) Sraegiska möjligheer för skogssekorn i Ryssland med fokus på ekonomisk opimering, energi och uhållighe

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H6 MATEMATIK Chalmers Repeiionsuppgifer Inegraler och illämpningar av inegraler. (a) Beräkna Avgör om den generaliserade inegralen arcan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergen eller divergen. Beräkna den

Läs mer

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30 Tekniska högskolan vid LiU Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam TENTAMEN I TPPE13 PRODUKTIONSEKONOMI för I,Ii FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18 Sal: Provkod:

Läs mer

Från kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd.

Från kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd. Från kap. 5: Ohm s lag Hög poenial på den sida där srömmen går in Låg poenial på den sida där srömmen går u Man får allid e spänningsfall i srömmens rikning i e mosånd. Från kap. 5: Poenialskillnaden över

Läs mer

Funktionen som inte är en funktion

Funktionen som inte är en funktion Funkionen som ine är en funkion Impuls En kraf f som under e viss idsinervall T verkar på en s.k. punkmassa, säer punkmassan i rörelse om den var i vila innan. Och om punkmassan är i rörelse när krafen

Läs mer

BETONGRÖR - EN PRISVÄRD OCH LÅNGSIKTIG LÖSNING

BETONGRÖR - EN PRISVÄRD OCH LÅNGSIKTIG LÖSNING LAGT RÖR LIGGER S: Eriks rörsysem är en både prisvärd och ångsikig ösning och rörsysem i beong är dessuom överägse bäs ur mijösynpunk. Beong besår nämigen huvudsakigen av väkända naurmaeria som kaksen,

Läs mer

Om de trigonometriska funktionerna

Om de trigonometriska funktionerna Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com Om de rigonomeriska funkionerna () Inrodukion I de här kapile ska vi

Läs mer

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera

Läs mer

n Ekonomiska kommentarer

n Ekonomiska kommentarer n Ekonomiska kommenarer Riksbanken gör löpande prognoser för löneuvecklingen i den svenska ekonomin. Den lönesaisik som används som bas för Riksbankens olika löneprognoser är den månaliga konjunkurlönesaisiken.

Läs mer

Informationsteknologi

Informationsteknologi Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik

Läs mer

Chalmers. Matematik- och fysikprovet 2010 Fysikdelen

Chalmers. Matematik- och fysikprovet 2010 Fysikdelen Chalmers Teknisk fysik Teknisk maemaik Arkiekur och eknik Maemaik- och fysikprove 2010 ysikdelen Provid: 2h. Hjälpmedel: inga. På sisa sidan finns en lisa över fysikaliska konsaner m.m. som evenuell kan

Läs mer

2009-11-20. Prognoser

2009-11-20. Prognoser 29--2 Progoser Progoser i idsserier: Gissa e framida värde i idsserie killad geemo progoser i regressio: De framida värde illhör ie daaområde. fe med e progosmodell är a göra progos, ie a förklara de hisoriska

Läs mer

Modellering av Dynamiska system Ställ frågor!

Modellering av Dynamiska system Ställ frågor! Modellering av Dynamiska sysem -2014 Säll frågor! Beng Carlsson bc@i.uu.se Rum 2211 Inrodukion #1 Sysem och deras modeller Dynamiska och saiska sysem Användning av modeller Maemaisk modellering E modelleringsexempel

Läs mer

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen Ladokkod: TT081A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2015-06-04 Tid: 9.00-13.

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen Ladokkod: TT081A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2015-06-04 Tid: 9.00-13. Mekanik romoment: tentamen Ladokkod: TT81A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 15-6-4 Tid: 9.-13. Hjälpmedel: Hjälpmedel id tentamen är hysics Handbook (Studentlitteratur),

Läs mer

Exempelsamling :: Vektorintro V0.95

Exempelsamling :: Vektorintro V0.95 Exempelsamling :: Vektorintro V0.95 Mikael Forsberg :: 2 noember 2012 1. eräkna summan a ektorerna (1, 2) och (3, 1) mha geometrisk addition 2. Tå ektorer u = ( 2, 3) och adderas och blir ektorn w = (1,

Läs mer

Texten " alt antagna leverantörer" i Adminstrativa föreskrifter, kap 1 punkt 9 utgår.

Texten  alt antagna leverantörer i Adminstrativa föreskrifter, kap 1 punkt 9 utgår. I Anal: 4 Bilaga Avalsmall Ubilning (si. 6) Föryligane önskas om vilken sors ubilning som avses i skrivningen Ubilning skall illhanahållas kosnasfri 0 :40:04 Se a sycke. "Vi leverans ubilar leveranören

Läs mer

Upphandlingar inom Sundsvalls kommun

Upphandlingar inom Sundsvalls kommun Upphandlingar inom Sundsvalls kommun 1 Innehåll Upphandlingar inom Sundsvalls kommun 3 Kommunala upphandlingar - vad är de? 4 Kommunkoncernens upphandlingspolicy 5 Vad är e ramaval? 6 Vad gäller när du

Läs mer

Arbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet 12/3/2014. Bedömningskriterier. Grund rekvisiten

Arbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet 12/3/2014. Bedömningskriterier. Grund rekvisiten Föreläsning 2 Ingående Innehåll Upphörande LAS Kollekivaval Ansällningsaval Arbesgivare Arbesagare Arbesagarbegreppe Arbesagarbegreppe Grund rekvisien 1. Aval (frivillighe) 2. Fysisk person 3. Ena paren

Läs mer

12. Rekreation. Nationella mål Kapitlet om rekreation berör de nationella folhälsomålens nionde målområde om fysisk aktivitet.

12. Rekreation. Nationella mål Kapitlet om rekreation berör de nationella folhälsomålens nionde målområde om fysisk aktivitet. 12. Naionella mål Kapile om rekreaion berör de naionella folhälomålen nionde målområde om fyik akivie. Kommunen övergripande mål Kommunen ka ge goda föruäningar för e variera ubud av friid- och kulurliv.

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B86 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 LÖRDAGEN DEN 5 AUGUSTI KL 8. 3. Examinaor : Lars Hols, el.

Läs mer

3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.

3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo. 3D vaenanimering Joakim Julin Deparmen of Compuer Science Åbo Akademi Universiy, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.fi Absrak Denna arikel kommer a presenera e anal olika algorimer för a

Läs mer

Skillnaden mellan KPI och KPIX

Skillnaden mellan KPI och KPIX Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas

Läs mer

Jämställdhet och ekonomisk tillväxt En studie av kvinnlig sysselsättning och tillväxt i EU-15

Jämställdhet och ekonomisk tillväxt En studie av kvinnlig sysselsättning och tillväxt i EU-15 Examensarbee kandidanivå NEKK01 15 hp Sepember 2008 Naionalekonomiska insiuionen Jämsälldhe och ekonomisk illväx En sudie av kvinnlig sysselsäning och illväx i EU-15 Förfaare: Sofia Bill Handledare: Ponus

Läs mer

Laboration 3: Växelström och komponenter

Laboration 3: Växelström och komponenter TSTE20 Elekronik Laboraion 3: Växelsröm och komponener v0.2 Ken Palmkvis, ISY, LiU Laboraner Namn Personnummer Godkänd 1 Översik I denna labb kommer ni undersöka beeende när växelspänningar av olika frekvens

Läs mer

Pensionsåldern och individens konsumtion och sparande

Pensionsåldern och individens konsumtion och sparande Pensionsåldern och individens konsumion och sparande Om hur en höjning av pensionsåldern kan ändra konsumionen och sparande. Maria Nilsson Magiseruppsas Naionalekonomiska insiuionen Handledare: Ponus Hansson

Läs mer

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller

Läs mer

FAQ. frequently asked questions

FAQ. frequently asked questions FAQ frequenly asked quesions På de följande sidorna har jag samla ihop några av de frågor jag under årens lopp få av sudener när diverse olika problem uppså i arbee med SPSS. De saisiska problemen har

Läs mer

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering Tjänseprisindex för varulagring och magasinering Branschbeskrivning för SNI-grupp 63.12 TPI-rappor nr 14 Kaarina Båh Chrisian Schoulz Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik, SCB November 2005

Läs mer

3. Matematisk modellering

3. Matematisk modellering 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modellyper För design oc analys av reglersysem beöver man en maemaisk modell, som beskriver sysemes

Läs mer

Glada barnröster kan bli för höga

Glada barnröster kan bli för höga Glada barnröser kan bli för höga På Silverbäckens förskola är ambiionerna höga. Här vill man mycke, och kanske är de jus därför de blir sressig ibland. De säger Therese Wesin, barnsköare och skyddsombud.

Läs mer

Uppgift 1 (max 5p) Uppgift 2 (max 5p) Exempeltenta nr 6

Uppgift 1 (max 5p) Uppgift 2 (max 5p) Exempeltenta nr 6 ppgf (max 5p) Exempelena nr 6 ppgfen går u på a förklara några cenrala begrepp nom kursen. Svara korfaa men kärnfull och ange en förklarng på e fåal menngar som ydlg beskrver var och e av de fem begreppen.

Läs mer

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2 Lekion 3 Projekplanering (PP) as posiion Projekplanering Rev. 834 MR Nivå 1 Uppgif PP1.1 Lieraur: Olhager () del II, kap. 5. Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. e är indelade i fyra nivåer

Läs mer

Finavia och miljön år 2007

Finavia och miljön år 2007 M I L J Ö Ö V E R S I K T 2007 Finavia och miljön år 2007 Anhängiga miljöillsånd runom i lande År 2007 gav Väsra Finlands miljöillsåndsverk e beslu om a bevilja Tammerfors-Birkala flygplas e miljöillsånd

Läs mer

Programvara. Dimmer KNX: 1, 3 och 4 utgångar Elektriska/mekaniska egenskaper: se produktens användarhandbok. TP-anordning Radioanordning

Programvara. Dimmer KNX: 1, 3 och 4 utgångar Elektriska/mekaniska egenskaper: se produktens användarhandbok. TP-anordning Radioanordning Programvara Dimmer KNX: 1, 3 och 4 ugångar Elekriska/mekaniska egenskaper: se produkens användarhandbok Produkreferens Produkbeskrivning Programvarans ref TP-anordning Radioanordning TXA661A TXA661B Dimakor

Läs mer

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller!

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller! Whiepaper 24.9.2010 1 / 5 Jobba mindre, men smarare, och uppnå bäre säljprognoser med hjälp av maemaiska prognosmodeller! Förfaare: Johanna Småros Direkör, Skandinavien, D.Sc. (Tech.) johanna.smaros@relexsoluions.com

Läs mer

Realtidsuppdaterad fristation

Realtidsuppdaterad fristation Realidsuppdaerad frisaion Korrelaionsanalys Juni Milan Horemuz Kungliga Tekniska högskolan, Insiuion för Samhällsplanering och miljö Avdelningen för Geodesi och geoinformaik Teknikringen 7, SE 44 Sockholm

Läs mer

Tjänsteprisindex för detektiv- och bevakningstjänster; säkerhetstjänster

Tjänsteprisindex för detektiv- och bevakningstjänster; säkerhetstjänster Tjänseprisindex för deekiv- och bevakningsjänser; säkerhesjänser Branschbeskrivning för SNI-grupp 74.60 TPI- rappor nr 17 Camilla Andersson/Kamala Krishnan Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik,

Läs mer

www.kennedyandersson.com

www.kennedyandersson.com www.kennedyandersson.com 7x step to inbound marke2ng paradise. Inboundmarke9ng check-list A?raherar du e? ökande antal besökare 9ll din hemsida? 1. Hur nöjd är du med antal besökare 9ll din hemsida? a)

Läs mer

Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning

Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svesning Examensarbee uför i Reglereknik av Andreas Pilkvis LiTH-ISY-EX-- Linköping Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen

Läs mer

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996 Jobbflöden i svensk induri 1972-1996 av Fredrik Andersson 1999-10-12 Bilaga ill Projeke arbeslöshesförsäkring vid Näringsdeparemene Sammanfaning Denna udie dokumenerar heerogenieen i induriella arbesällens

Läs mer

Aktiverade deltagare (Vetenskapsteori (4,5hp) HT1 2) Instämmer i vi ss mån

Aktiverade deltagare (Vetenskapsteori (4,5hp) HT1 2) Instämmer i vi ss mån 2012-10-30 Veenskapseori (4,5hp) HT12 Enkäresula Enkä: Saus: Uvärdering, VeTer, HT12 öppen Daum: 2012-10-30 14:07:01 Grupp: Besvarad av: 19(60) (31%) Akiverade delagare (Veenskapseori (4,5hp) HT1 2) 1.

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Saisiska cenralbyrån 2010 Balance of Paymens. Third quarer 2010 Saisics Sweden 2010 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

SLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara?

SLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara? SLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara? Av Marie Hansson Ju mer man börjar tänka på vad en slalomingång innebär, desto mer komplicerat blir det! Det är inte lite vi begär att hundarna ska lära sig och hålla

Läs mer

Växelkursprognoser för 2000-talet

Växelkursprognoser för 2000-talet Naionalekonomiska insiuionen Kandidauppsas Januari 28 Växelkursprognoser för 2-ale Handledare Thomas Elger Fredrik NG Andersson Förfaare Kenh Hedberg Sammanfaning Tiel: Växelkursprognoser för 2-ale Ämne/kurs:

Läs mer

Inför provet mekanik 9A

Inför provet mekanik 9A Inför provet mekanik 9A Pär Leijonhufvud BY: $ \ 10 december 2014 C Provdatum 2014-12-12 Omfattning och provets upplägg Provet kommer att handla om mekaniken, det vi gått igenom sedan vi började med fysik.

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2016

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2016 WALLENBERGS FYSIKPRIS 2016 Tävlingsuppgifter (Kvalificeringstävlingen) Riv loss detta blad och häfta ihop det med de lösta tävlingsuppgifterna. Resten av detta uppgiftshäfte får du behålla. Fyll i uppgifterna

Läs mer

FUKTÄNDRINGAR. Lars-Olof Nilsson. En kvalitativ metod att skriva fukthistoria och förutsäga fuktförändringar i oventilerade konstruktionsdelar

FUKTÄNDRINGAR. Lars-Olof Nilsson. En kvalitativ metod att skriva fukthistoria och förutsäga fuktförändringar i oventilerade konstruktionsdelar LUNDS EKNISKA HÖGSKOLA FUKCENRUM VID LUNDS UNIVERSIE Ad Byggnadsmaterial FUKÄNDRINGAR En kalitati metod att skria fukthistoria och förutsäga fuktförändringar i oentilerade konstruktionsdelar Kursmaterial

Läs mer

Pingsteld över Maramba, Zambia

Pingsteld över Maramba, Zambia Nyhesbrev Nr 10 2014 Jesus är desamme i går och idag och i evighe. (Hebr. 13:8) Pigseld över Maramba, Zambia Maramba är e kåksad srax uaför sade Livigsoe i Zambia. I dea yhesbrev vill jag rapporera frå

Läs mer

a) För den blandade tanken kan vi använda oss av temperaturspannet 60 till 37 C. ( ) (ej tom) Innan Olles dusch har vi: 6

a) För den blandade tanken kan vi använda oss av temperaturspannet 60 till 37 C. ( ) (ej tom) Innan Olles dusch har vi: 6 enamen --8 5. Vi ha en amaenbeedae på L som iniial ha en empeau på. En ämae på 1 kw äme amaenbeedaen ills hela aenolmen ä. I en ha i en blandae som blanda kall aen (7 ) med aen fån amaenbeedaen ill en

Läs mer

Tjänsteprisindex (TPI) 2010 PR0801

Tjänsteprisindex (TPI) 2010 PR0801 Ekonomisk saisik/ Enheen för prissaisik 2010-06-22 1(12) Tjänseprisindex (TP) 2010 PR0801 denna beskrivning redovisas förs allmänna uppgifer om undersökningen sam dess syfe, regelverk och hisorik. Därefer

Läs mer

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv

Läs mer

Håkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14

Håkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14 1 Drifsredovisning inom skadeförsäkring - föreläsningsaneckningar ill kursavsnie Drifsredovisning i kursen Försäkringsredovi s- ning, hösen 2004 (Preliminär version) Håkan Pramsen, Länsförsäkringar 2003-09-14

Läs mer

Thomas i Elvsted Kap 3.

Thomas i Elvsted Kap 3. Kap 3 Nu börjar träningen Imre, inte Ymre När kommer din pappa, frågar jag Lappen, vi kanske ska dela upp innan. Han är redan hemma, han jobbar på Metallen med datorer, säger Lappen, så vi ska nog strax

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin Den speciella relativitetsteorin är en fysikalisk teori om lades fram av Albert Einstein år 1905. Denna teori beskriver framför allt hur utfallen (dvs resultaten) från

Läs mer

Naturens skatter blir julens pynt

Naturens skatter blir julens pynt Naurens skaer blir julens pyn Hos Karen: 1. Fransk vinage 2. Fruk & grön som julpyn 3. Speglar i alla rum 18 drömhem & rädgård F 14/2016 drömhem 1 Karen lockar fram julkänslan med fynd från sin egen rädgård,

Läs mer

1. Geometriskt om grafer

1. Geometriskt om grafer Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (B-boken version 2)

MATEMATIK FÖR KURS B (B-boken version 2) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (B-boken version 2) Provets omfattning: t o m kapitel 4.1 i Matematik 2000 kurs B (version 2). PROVET BESTÅR AV TVÅ DELAR Del 1 testar huvudsakligen

Läs mer

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer: Blanchard kapiel 9 Penninmänd, Inflaion och Ssselsänin Daens förelf reläsnin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Kap 9: sid. 2 Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Saisiska cenralbyrån 2008 Balance of Paymens. Third quarer 2008 Saisics Sweden 2008 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Skol-SM för unga maskinförare...

Skol-SM för unga maskinförare... Skol-SM för ung mskinförre... -Klixelever åke ner ill Alves för ävl om mäsrieln i mskinkörning! Skol-SM för ung mskinförre nordns årligen run om i Sverige för kor skicklig förre i hjullsre, grävmskin och

Läs mer

TISDAGEN DEN 20 AUGUSTI 2013, KL 8-12. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9

TISDAGEN DEN 20 AUGUSTI 2013, KL 8-12. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9 ekniska högskolan vid Li Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam EAME I PPE08 PROKIOSEKOOMI för M ISAGE E 20 AGSI 203, KL 8-2 Sal: ER Provkod: E2 Anal uppgifer:

Läs mer

Truckar och trafik farligt för förare

Truckar och trafik farligt för förare De händer en del i rafiken. För några år sedan körde en av Peer Swärdhs arbeskamraer av vägen. Pressade ider, ruckar och unga fordon. På åkerie finns många risker. Arbesgivaren är ansvarig för arbesmiljön,

Läs mer

Penningpolitik och finansiell stabilitet några utmaningar framöver

Penningpolitik och finansiell stabilitet några utmaningar framöver NATIONAL- EKONOMISKA FÖRENINGENS FÖRHANDLINGAR 21-5-17 Sammanfaade av Birgi Filppa, Karin Siredo och Elisabeh Gusafsson Ordförande: Anders Björklund Inledare: Sefan Ingves, Riksbankschef Kommenaor: Pehr

Läs mer

Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14.

Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. STOCKHOLMS UNIVERSITET Naionalekonomiska insiuionen Mas Persson Tenamen på grundkursen EC1201: Makroeori med illämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. Tenamen besår av io frågor

Läs mer

Begrepp Värde (mätvärde), medelvärde, median, lista, tabell, rad, kolumn, spridningsdiagram (punktdiagram)

Begrepp Värde (mätvärde), medelvärde, median, lista, tabell, rad, kolumn, spridningsdiagram (punktdiagram) Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är en variant av en klassisk matematiklaboration där eleverna får mäta omkrets och diameter på ett antal cirkelformade föremål för att bestämma ett approximativt värde

Läs mer

Mekanik. Fysik 4, Rörelselagarna. En kropps rörelse. Grafer. Likformig rörelse. Herman Norrgrann Sir Isaac Newton, 1643-1727. 1.1 Likformig rörelse

Mekanik. Fysik 4, Rörelselagarna. En kropps rörelse. Grafer. Likformig rörelse. Herman Norrgrann Sir Isaac Newton, 1643-1727. 1.1 Likformig rörelse Meknik sik 4, Rörelselgrn Hermn Norrgrnn Sir Isc Newon, 1643-1727 lileo lilei, 1564-1642 En kropps rörelse 1.1 Likformig rörelse Rörelse r Hsighe (ekor) Likformig rörelse rfer Likformig rörelse om hsigheen

Läs mer

5 VÄaxelkurser, in ation och räantor vid exibla priser {e ekter pºa lºang sikt

5 VÄaxelkurser, in ation och räantor vid exibla priser {e ekter pºa lºang sikt 5 VÄaxelkurser, in aion och räanor vid exibla priser {e eker pºa lºang sik Som vi idigare noera anar vi a den reala väaxelkursen pºa lºang sik Äar oberoende av penningmäangden och väaxelkursen beror dºa

Läs mer

OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL.

OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL. Matematik kurs b och c - Exempeluppgifter OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv

Läs mer

Skuldkrisen. Världsbanken och IMF. Världsbanken IMF. Ställ alltid krav! Föreläsning KAU Bo Sjö. En ekonomisk grund för skuldanalys

Skuldkrisen. Världsbanken och IMF. Världsbanken IMF. Ställ alltid krav! Föreläsning KAU Bo Sjö. En ekonomisk grund för skuldanalys Skuldkrisen Föreläsning KAU Bo Sjö Världsbanken och IMF Grund i planeringen efer 2:a världskrige Världsbanken Ger (hårda) lån ill sora infrasrukurprojek i uvecklingsländer. Hisorisk se, lyckas bra, lånen

Läs mer

Sebastian det är jag det! eller Hut Hut den Ovala bollen

Sebastian det är jag det! eller Hut Hut den Ovala bollen i y n io a ä m S som info s a d n e (.! ) e ck ll läa I boken Sebasian de ä jag de! elle Hu Hu den Ovala bollen följe vi Sebasian fån ban ill ungdom. Han gö efaenhee som få honom a fundea. Vad eflekea

Läs mer

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet Modeller och projekioner för dödlighesinensie en anpassning ill svensk populaionsdaa 1970- Jörgen Olsén juli 005 Presenerad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen den 1 sepember 005 Modeller

Läs mer

ByggeboNytt. Kenth. i hyresgästernas tjänst. Getingplåga Arbetsförmedlingen på plats i Alvarsberg. Nr 3 2012 Byggebo AB, Box 34, 572 21 Oskarshamn

ByggeboNytt. Kenth. i hyresgästernas tjänst. Getingplåga Arbetsförmedlingen på plats i Alvarsberg. Nr 3 2012 Byggebo AB, Box 34, 572 21 Oskarshamn ByggeboNy Nr 3 2012 Byggebo AB, Box 34, 572 21 Oskarshamn Geingplåga Arbesförmedlingen på plas i Alvarsberg Kenh i hyresgäsernas jäns Sark posiiv rend Den posiiva renden håller i sig. Under sommaren har

Läs mer

Generell dimensionering av ett grundelement i Sandwich

Generell dimensionering av ett grundelement i Sandwich Projeknummer Kund Rappornummer D4.089.00 Läa karossmoduler TR08-006 Daum Referens Revision 008-0-7 Regisrerad Ufärdad av Granskad av Godkänd av Klassificering Open Generell dimensionering av e grundelemen

Läs mer

Ha kul på jobbet är också arbetsmiljö

Ha kul på jobbet är också arbetsmiljö Tväeri, kök, recepion, konor, hoellrum Här finns många olika arbesuppgifer och risker. Och på jus de här hoelle finns e sälle där de allid är minus fem grader en isbar. Ha kul på jobbe är också arbesmiljö

Läs mer

Optimal prissäkringsstrategi i ett råvaruintensivt företag Kan det ge förbättrad lönsamhet?

Optimal prissäkringsstrategi i ett råvaruintensivt företag Kan det ge förbättrad lönsamhet? Föreagsekonomiska Magiseruppsas Insiuionen Höserminen 2004 Opimal prissäkringssraegi i e råvaruinensiv föreag Kan de ge förbärad lönsamhe? Förfaare: Marin Olsvenne Tobias Björklund Handledare: Hossein

Läs mer

Ökad produktivitet hos Sandvik Process Systems efter reglertekniska förbättringar

Ökad produktivitet hos Sandvik Process Systems efter reglertekniska förbättringar Ökad produkivie hos Sandvik Process Sysems efer reglerekniska förbäringar Tore Hägglund Insiuionen för Reglereknik Lunds Universie Sålband Principen för rikmaskinen Sålband Principen för rikmaskinen v

Läs mer