5. Tillståndsåterkoppling
|
|
- Elias Vikström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 5. Tillsåndsåerkoppling 5. Tillsåndsåerkoppling E linjär idskoninuerlig resp. idsdiskre (.ex. sampla) sysem kan som bekan beskrivas med en illsåndsmodell av formen x () Ax() Bu() y() Cx() Du() resp. Här anas för enkelhes skull a dödid saknas. x( k 1) Fx( k) Gu( k) y( k) Cx( k) Du( k) (5.0.1a,b) En illsåndsmodell är en allmännare sysembeskrivning än en beskrivning med överföringsfunkioner, efersom den förra i mosas ill den senare kan inkludera icke-syrbara och icke-observerbara komponener (s.k. moder). En annan skillnad är a illsåndsmodellen gäller i idsplane, vilke beyder a vi ine behöver använda (Laplace-)ransformeori (vilke dock ine nödvändigvis är en fördel). Om e sysem, som skall regleras, är beskrive med en illsåndsmodell, är de illalande a då göra regulaordesignen (eller -synesen) direk ugående från illsåndsmodellen. Men hur? Efersom sysemes illsåndsvekor innehåller all relevan informaion om sysemes illsånd, förefaller de naurlig a unyja denna i regulaorn. Reglereknik II Tillsåndsmeoder (419301) 5 1
2 5.1 Polplacering 5.1 Polplacering De uppenbara är a åerkoppla illsåndsvekorn. Vi skall här illusrera dea för en idskoninuerlig illsåndsbeskrivning, men behandlingen är hel analog för en idsdiskre beskrivning. En idskoninuerlig linjär illsåndsåerkoppling har formen u( ) ur ( ) Kx( ) (5.1.1) där u r ( ) är en referenssignal, som kan användas för a definiera e börvärde x r ( ) för illsåndsvekorn ( ur ( ) Kxr ( ) ). Vid analys och regulaordesign anas ofa ur ( ) 0. Dynamiken för e sysem på illsåndsform besäms av sysemmarisens A egenskaper, speciell dess egenvärden eller poler. Genom insäning av reglerlagen i illsåndsekvaionen kan vi sudera hur illsåndsåerkopplingen förändrar sysemes egenskaper. Vi får x () ( ABK) x() Bur () (5.1.) där A BK är de reglerade sysemes sysemmaris. Med hjälp av åerkopplingsmarisen K kan man således (åminsone i princip) placera de reglerade sysemes poler. 5. Tillsåndsåerkoppling 5
3 5.1 Polplacering Illusraion av polplaceringsmeodiken Exempel 5.1. Sabilisering genom polplacering. Beraka syseme x () Ax() Bu() A 0 1, B Dea sysem har polerna (dvs egenvärdena) 1 och 1 och är således insabil. Vi önskar sabilisera syseme genom linjär illsåndsåerkoppling och, om möjlig, ge båda polerna för de reglerade syseme värde 1. Vi har en insignal och vå illsånd. Därmed har illsåndsåerkopplingen formen och de sluna syseme blir k k x( ) u( ) ur ( ) Kx( ) ur ( ) x () 1 k k () u () k k () () r x x u r 5. Tillsåndsåerkoppling 5 3
4 5.1.1 Illusraion av polplaceringsmeodiken De sluna sysemes poler fås ur lösningen ill den karakerisiska ekvaionen 1 1 de ( ) de k1 k de k1 k I A BK I ( k ) ( k 1) k k Efersom vi önskar polerna 1, vill vi ha karakerisiska ekvaionen vilke erhålls med 1 ( 1) k 1 och 1 k Denna illsåndsåerkoppling kan beroende på vad som mäs olkas som en PI eller PDregulaor. Enlig andra raden i illsåndsekvaionen är x x1 x x1, vilke beyder a om y x1, så är de en PI-regulaor. Och om y x så är de en PD-regulaor. En inressan fråga är om man allid kan placera e sysems poler på önska sä genom en illsåndsåerkoppling. Såsom näsa exempel visar är svare nej. 5.1 Polplacering 5 4
5 5.1.1 Illusraion av polplaceringsmeodiken Exempel 5.. En icke-realiserbar polplacering Beraka syseme som har polerna 1 och 1 x () 1 0 x() 1 u() och således är insabil. Tillsåndsåerkopplingen har samma form som i föregående exempel och den karakerisiska ekvaionen blir 1 1 de ( ) de k1 k de k1 k I A BK I ( 1 k )( 1) 0 Polerna för de reglerade syseme är således 1 1 k1 och 1. 1 Såsom framgår kan polen 1 ine påverkas och syseme därmed ine sabiliseras genom illsåndsåerkoppling; endas den andra polen kan placeras godycklig. Vad beror dea på? 5.1 Polplacering 5 5
6 5.1 Polplacering 5.1. När kan e sysems poler placeras godycklig? Sysemes x () Ax() Bu() (5.1.3) poler kan placeras godycklig (men komplexa poler måse givevis förekomma som komplexkonjugerade par) med illsåndsåerkopplingen u( ) ur ( ) Kx( ) (5.1.4) om och endas om sysemes syrbarhesmaris har full rang, dvs n1 Γ c B AB A B A B (5.1.5) rang( Γ c) n, då A är en n n maris. Märk a behove a kunna placera polerna godycklig kan vara onödig resrikiv. I prakiken vill man ine placera polerna så a de reglerade syseme blir insabil. Om ev. icke-syrbara illsånd är sabila, är de ändå möjlig a placera polerna relaerade ill de syrbara illsånden godycklig i de komplexa alplanes vänsra halva. 5. Tillsåndsåerkoppling 5 6
7 5.1 Polplacering Var skall sysemes poler placeras? Som umregel kan man säga a man skall placera polerna i de sreckade område i de komplexa alplane i figuren för idskoninuerlig sysem diagramme ill vänser (men i allmänhe undviks område nära origo) idsdiskre sysem diagramme ill höger (men i regel undviks område nära punken (1,0)) För e koninuerlig sysem mosvarar de sreckade område egenvärden av formen i i ji, där i 0, 0 i i (5.1.6) Mosvarande område och egenvärden för e idsdiskre sysem är h h j h h j h h i i i i i i e e e e e cos( h) jsin( h) (5.1.7) där h är samplingsinervalle. Obs a / h ine är illalande pga aliaseffeken. i i i 5. Tillsåndsåerkoppling 5 7
8 5.1.3 Var skall sysemes poler placeras? Hur påverkas sysemes egenskaper av polernas placering? För e koninuerlig sysem kan man allmän säga följande: Polernas (egenvärdenas) avsånd från origo avgör sysemes snabbhe e längre avsånd mosvarar en mindre idskonsan och därmed snabbare respons. Komplexa poler medför segsvar med översläng och/eller oscillerande beeende. Om de reglerade syseme (approximaiv) är av andra ordningen fås de vackrase segsvare ofa med relaiva dämpningen 0,7. Dea beyder a man bör välja 1 i n 0,7 n, där n i är de reglerade sysemes naurliga frekvens (egenfrekvens). Dea ger en dryg 4 % sor översläng. För sysem av högre ordning besäms de dominerande egenskaperna av polerna närmas origo. Poler lång från origo ger snabbhe, men också sora insignaler i början av e ransiensvar. Ovansående innebär a kompromisser (ingenjörsmässiga avvägningar) vanligvis måse göras och resulae konrolleras genom simulering. 5.1 Polplacering 5 8
9 5.1 Polplacering Polplacering genom segsvarsspecifikaioner Ofa vill man a de reglerade syseme skall bee sig ungefär som e lä underdämpa andra ordningens sysem. Genom specificering av de reglerade sysemes relaiva översläng M och (.ex.) dess sigid r kan sysemes överföringsfunkion beräknas och därmed också dess poler. Man kan visa a för e andra ordningens sysem med överföringsfunkionen gäller (för 0 M och 1) ln( M ) ln ( M ), Gs () n s n nsn arcan( / ), (5.1.8) 5. Tillsåndsåerkoppling 5 9 r 1 (5.1.9) där M ( y max / y ) 1, y max är försa överslängens maximala värde, y är börvärdesförändringens sorlek och r är iden ills segsvare för försa gången passerar y. När och n är kända kan sysemes poler enkel beräknas.
10 5.1.4 Polplacering genom segsvarsspecifikaioner Exempel 5.3. Segsvarsspecifikaioner för elekrisk servomoor. Dynamiken för en elekrisk servomoor med lämplig normerade variabler beskrivs av sambande 1 Y ( s) U ( s) s( s 1) där insignalen är pålagd spänning och usignalen moorns vridningsvinkel. Syseme har illsåndsbeskrivningen där idsenheen är sekunder. ( ) 0 1 x( ) 0 u( ) x, y( ) 1 0 ( ) Vi vill genom en linjär illsåndsåerkoppling placera de reglerade sysemes poler så a syseme får en översläng M 0,04 och en sigid r 0,8 sekunder. Dessuom önskar vi ingen saionär regleravvikelse mellan usignalen och dess börvärde. Vi noerar a M 0,04 0,7 och 0, 8 n 4,. r x 5.1 Polplacering 5 10
11 5.1.4 Polplacering genom segsvarsspecifikaioner Vi väljer en linjär illsåndsåerkoppling av formen u () kr () k k x () r 1 där r () är usignalens börvärde. Obs a denna reglerlag ine är ekvivalen med en åerkoppling av enbar usignalen ) ) ( ( ) (. Insäning i modellen ger y (, u( k r y )) x () k1 k () kr () () () r x x kr k1 1k 1 r Laplaceransformering ger för de reglerade sysemes överföringsfunkion G r ( s) Y ( s) R( s) 1 0 si 0 k k k r s k r (1 k ) s k 1 Specifikaionerna innebär a vi skall välja k 18 och k 1 5 sam k k 18 Polerna är 1 n n n n n n j 1 j3 3j 5.1 Polplacering 5 11 r 1
12 5.1.4 Polplacering genom segsvarsspecifikaioner Den heldragna kurvan ( ) i figuren ill höger visar hur usignalen y () förändras för en segförändring av börvärde från r. r 0 ill 1 y Som jämförelse 0. visas med den sreckade kurvan ( ) resulae om man lägger båda polerna i 18 k 18 1 och k k , vilke erhålles med k 18, r 1. Dea mosvarar e kriisk dämpa sysem med vå lika 1 1 sora idskonsaner T ( 18) 0, 4 sekunder. n Polplacering 5 1
13 5.1 Polplacering Några nackdelar med polplacering Designmeoden förefaller illalande, men den är i verkligheen relaiv oprakisk och har också eoreiska begränsningar. Tillsåndsåerkoppling kan ofa vara av PD-yp, efersom illsånden ofa represenerar usignalen och derivaor av den. Saionär regleravvikelse möjlig, inge klar sä a inroducera inegrerande verkan Vid polplacering beakas ine nollsällen som uppsår, nollsällen kan ge oväna beeende För sysem med flera in- och usignaler så blir illsåndsåerkopplingen ine unik, flera olika regulaorer ger samma poler. Vanligvis kan man ine mäa alla illsånd, vilke illsåndsåerkoppling förusäer. I prakiken är man vungen a esimera eller rekonsruera illsånden med hjälp av processmodellen och mäningar av usignalerna. Denna begränsning gäller försås alla regulaorer som är illsåndsåerkopplingar. 5. Tillsåndsåerkoppling 5 13
14 5. Tillsåndsåerkoppling 5. Linjärkvadraisk reglering Vad är linjärkvadraisk reglering? Med polplacering kan man specificera de reglerade sysemes poler, men man har ingen egenlig konroll över in- och usignalers sorlekar. De linjärkvadraiska reglerprobleme är e opimeringsproblem, där man minimerar en kvadraisk förlusfunkion, där man har en linjär illsåndsmodell som beskriver sambande mellan sysemes variabler (insignaler, illsåndsvariabler, usignaler). Opimeringsprobleme har en (implici) analyisk lösning, vilke är av sor fördel för en sysemaisk behandling av reglerprobleme. De linjärkvadraiska reglerprobleme kan lösas både för idskoninuerliga och idsdiskrea sysembeskrivningar på hel likara sä. Reglereknik II Tillsåndsmeoder (419301) 5 14
15 5. Linjärkvadraisk reglering 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Vår sysem beskrivs av x () Ax() Bu() (5..1) där variablerna definieras så, a de önskade illsånde är x 0. Anag a vid iden 0 gäller x(0) x0 0. Vi önskar genom reglering eliminera denna avvikelse från noll på e opimal sä så a förlusfunkionen minimeras. För semidefini) och T T x u 0 u T () x () 0 J ( x( ) Q x( ) u( ) Q u ( ))d (5..) Q x och Q krävs a x Q x för alla () T u() Q u () 0för alla u() 0 ( u u x ( Q x är posiiv Q är posiiv defini). Q x och Q u väljs näsan allid som diagonalmariser, med diagonalelemen 0 respekive 0. Varje diagonalelemen vikar mosvarande variabel i den kvadraiska kosnaden. 5. Tillsåndsåerkoppling 5 15
16 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Under förusäning a syseme över huvudage är sabiliserbar, kan man visa a den opimala lösningen är u() Kx (), 1 T u P är en symmerisk posiiv defini maris (dvs enydiga lösningen ill den algebraiska Riccaiekvaionen T 1 T x u K Q B P (5..3) T PP 0) som erhålles som den A P PAQ PBQ B P0 (5..4) Såsom sambande u() Kx () visar, är den opimala lösningen a alla illsånd skall åerkopplas. Tyvärr exiserar ine någon allmän explici lösning för P, vilke beyder a P för sysem av högre ordning än vå i prakiken måse besämmas numerisk. De fakum a man i förlusfunkionen inegrerar från 0 ill gör a marisen P, och därmed även Κ, blir konsana mariser. Ifall inegraionen uförs ill en ändlig id blir dessa mariser idsberoende, dvs reglerlagen blir idsvarian. 5. Linjärkvadraisk reglering 5 16
17 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Exempel 5.4. Linjärkvadraisk reglering av en dubbelinegraor. En srömsyrd liksrömsmoor kan modelleras som en dubbelinegraor, vars illsåndsmodell är x () Ax() Bu() 0 1 0, A 0 0, B 1 Man önskar syra moorn så, a förlusfunkionen T T x u 0 J ( x( ) Q x( ) u( ) Q u ( ))d, minimeras. Dea kan skrivas som 0 1 J (4 x u )d 4 0 Q x 0 0, Q u 1 Vi vikar allså enbar x 1 (segmoorns vridningsvinkel) och u (srömsyrkan), x (som mosvarar moorns vinkelhasighe) vikas ine alls, så dess värde får m.a.o. vara godycklig. Men efersom x x 1 så hålls även x rimlig. 5. Linjärkvadraisk reglering 5 17
18 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Den opimala reglerlagen är u() Kx (), där P fås som lösningen ill Riccaiekvaionen 1 T u K Q B P T 1 T x u A P PAQ PBQ B P 0 Av Riccaiekvaionen följer a P måse ha samma dimension som A. Efersom P är symmerisk, måse marisen ha formen p11 p1 p11 p1 P p1 p p 1 p Insäning i Riccaiekvaionen ger 0 0 p p p p p p 0 p p p1 p p 1 p p 1 p p1 p p p p p p p p p 11 p 1 0 p p p1 p p 5. Linjärkvadraisk reglering 5 18
19 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Dea ger de fyra ekvaionerna 4 p1 p11 p1 p p p p p p varav re är oberoende. Den enda lösning som gör a P är posiiv defini är p, p1 p1, p, dvs 11 4 Den opimala åerkopplingsmarisen är då 1 T K Q u B P 4 P. och reglerlagen är u () x1() x() eller u () ( rx1()) x() där r är börvärde för x 1 ( x får ju variera godycklig). 5. Linjärkvadraisk reglering 5 19
20 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Vilka poler har de reglerade syseme? Vi har, A BK x AxBu ( ABK) x de 0 ( ) 0 1 ( 1) 1 j dvs de reglerade syseme är sabil och polerna är i enlighe med rekommendaionerna för polplacering x1 x x1 börvärde u Figuren visar e segsvar för de reglerade syseme Linjärkvadraisk reglering 5 0
21 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Inegrerande verkan Den ovan härledda regulaorn är opimal för övergående sörningar. Börvärdesförändringen som gjordes klarade man av därför a syseme var inegrerande, de räcke med en övergående förändring u för a syra syseme. För sysem som ine är inegrerande så uppsår sarionäravvikelse inegrerande verkan saknas i regulaorn. Vi skall här modifiera problembeskrivningen så a vi erhåller en opimal regulaor som innehåller inegrerande verkan sam får usignalen y a följa e börvärde r ros inkommande sörningar d. I härledningen av lösningen anas a börvärde och sörningarna är konsana, vilke är de samma som a ana a man har segformade sörningar. Regulaorn fungerar (men kanske ine opimal) även om dessa krav ine uppfylls. Vi skall förs börja med en enklare härledning, som ger samma sluresula 5. Linjärkvadraisk reglering 5 1
22 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Vi berakar illsåndsmodellen Vi definierar en ny variabel x () Ax() Bu() y() Cx() Du() q() y ()d Tidsderivaan av den nya variabeln kan skrivas q () y() Cx() Du() Om vi kombinerar dea med x () Ax() Bu(), fås följande 0 x () A 0 x() B () () () u q C 0 q D Som är en ny illsåndsmodell, med e illsånd ill, som i LQ-regulaorn ger inegrerande verkan. Dea är ine begränsa ill usignalerna, man kan välja C-marisen så a önskade illsånd kommer med i förlusfunkionen. 5. Linjärkvadraisk reglering 5
23 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Tillsåndsmodellen med beakande av en konsan sörning d kan skrivas x () Ax() Bu() Md () () () Vi definierar en ny variabel y Cx Du Ed 0 (5..5) q() ( y() r )d (5..6) där r är börvärde för usignalen y (). Tidsderivaan av den nya variabeln kan skrivas q () y() r Cx() Du() Edr (5..7) Då vi deriverar denna ekvaion sam illsåndsekvaionen en gång ill fås x() Ax () Bu () eller x() A 0 x () B () q() Cx() Du() () () u q C 0 q D (5..8) 5. Linjärkvadraisk reglering 5 3
24 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Med definiionerna x () w() q(), v() u (), ˆ A 0 A C 0, ˆ B B (5..9) D kan dea skrivas w () Aw ˆ () Bv ˆ () (5..10) Minimering av förlusfunkionen T T w v 0 ger i analogi med idigare lösning reglerlagen J ( w( ) Q w( ) v( ) Q v ( ))d (5..11) v() Kw (), K Q Bˆ P (5..1) 1 T v där P är den symmeriska posiiv definia maris som saisfierar ekvaionen Aˆ P PAˆ Q PBQ ˆ Bˆ P0 (5..13) T 1 T w v 5. Linjärkvadraisk reglering 5 4
25 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id K K1 K sam idigare variabeldefiniioner fås u() K x() K q () K x () K ( ry()) (5..14) Med pariioneringen 1 1 Inegrering från 0 ill ger med begynnelseillsånden (0) 1 0 x 0 och u(0) 0 u() K x() K ( ry ())d (5..15) som är en mulivariabel reglerlag med inegrerande verkan så a () y r. Q 0 I förlusfunkionen har vikmarisen Q w i prakiken formen 1 Qw. Dea innebär 0 Q a Q 1 vikar x (), dvs rörelserna hos x (), Q vikar regleravvikelsen r y () och Q v vikar rörelserna hos u (). Q avgör därmed hur mycke inegrerande verkan som fås. Man kan även införa inegrerande verkan på illsånd som ine är usignaler. Man skall då ersäa C i (5..9) med den maris som väljer u de önskade illsånden. 5. Linjärkvadraisk reglering 5 5
26 5. Linjärkvadraisk reglering 5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id En idsdiskre illsåndsekvaion har som bekan formen ( 1) ( ) ( ) och en kvadraisk idsdiskre förlusfunkion har formen x k Fx k Gu k (5..16) T T x u k0 J ( x( k) Q x( k) u( k) Q u ( k)) (5..17) Minimering av förlusfunkionen ger den opimala reglerlagen ( ) ( ) ( ) u k Kx k, u T 1 T K Q G PG G PF (5..18) där den symmeriska marisen P ges av den diskrea Riccaiekvaionen T T T 1 T ( u ) P F PF F PG Q G PG G PF Q (5..19) Lösningen ill de linjärkvadraiska reglerprobleme är således någo mer komplicerad i diskre id än i koninuerlig id. x 5. Tillsåndsåerkoppling 5 6
27 5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id Inegrerande (summerande) verkan En idsdiskre illsåndsmodell med beakande av en konsan sörning kan skrivas x( k1) Fx( k) Gu( k) Nd (5..0) y( k) Cx( k) Du( k) Ed Vi definierar en ny variabel k1 q( k) ( y( i) r ) q( k1) q( k) y( k) r (5..1) i0 där r är börvärde för usignalen y ( k). Vidare inför vi beeckningarna x( k) x( k) x ( k1), q( k) q( k) q ( k1), u( k) u( k) u ( k 1) (5..) med vilkas hjälp vi kan skriva x( k1) Fx( k) Gu( k) q( k1) q( k) Cx( k) Du( k) x( k 1) F 0x( k) G ( k) ( k1) ( k) u q C I q D (5..3) 5. Linjärkvadraisk reglering 5 7
28 5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id Med definiionerna x( k) w( k) ( k), v( k) u ( k), q ˆ F 0 F, C I ˆ G G (5..4) D kan dea skrivas w( k 1) Fw ˆ ( k) Gv ˆ ( k) (5..5) Minimering av förlusfunkionen T T w v k 0 J ( w( k) Q w( k) v( k) Q v ( k)) (5..6) ger i analogi med idigare lösning reglerlagen v( k) Kw ( k), ˆ T ˆ 1 ˆ T ˆ K ( Q G PG) G PF (5..7) där den symmeriska marisen P ges av den diskrea Riccaiekvaionen ˆT ˆ ˆT T 1 T ( ) ˆ v v PF PFF PGˆ Q Gˆ PGˆ Gˆ PFQ (5..8) w 5. Linjärkvadraisk reglering 5 8
29 5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id Med pariioneringen eller Efersom K K K sam idigare variabeldefiniioner fås 1 u( k) K x( k) K q ( k) (5..9) 1 u( k) u( k1) K ( x( k) x( k1)) K ( q( k) q ( k1)) (5..30) 1 u( k 1) u( k ) K ( x( k1) x( k )) K ( q( k 1) q( k )) 1 (5..31) u(1) u(0) K ( x(1) x(0)) K ( q(1) q(0)) 1 ger summering med beakande av a begynnelseillsånden är noll u( k) K x( k) K q( k) K x( k) K ( ry ( i)) (5..3) k i0 som är en mulivariabel diskre reglerlag med inegrerande verkan så a y( k) r. 5. Linjärkvadraisk reglering 5 9
30 5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id Modifikaion för srik proper sysem Ovan kunde endas en reglerlag med summering ill k 1 härledas pga ermen Du ( k) som direk påverkar y ( k). Om D 0, dvs för e srik proper sysem, kan man använda definiionen k q( k) ( y( i) r ) q( k1) q( k) y( k1) r (5..33) i0 där summeringen görs ill k. Dea ger q( k1) q( k) y( k1) q( k) Cx( k 1) q( k) CFx( k) CGu ( k) som med de modifierade definiionerna (5..34) ˆ F 0 F, CF I ˆ G G (5..35) CG ger samma formella lösning som ovan frånse a summeringen nu ger u( k) K x( k) K q( k) K x( k) K ( ry ( i)) (5..36) 1 1 i0 5. Linjärkvadraisk reglering 5 30 k
31 5. Linjärkvadraisk reglering 5..3 Val av viker i förlusfunkionen Allmängiliga rekommendaioner för hur vikerna skall väljas för a ge bra reglering kan yvärr ine ges. Följande kan dock konsaeras: Man har sor frihe a vika precis vad man vill. De modifikaioner som inegrerande verkan medförde i förlusfunkionen är väl moiverade. Om man.ex. vill vika enbar usignaler, ine hela illsåndsvekorn, kan man välja a vika enbar de illsånd som mosvarar usignaler (vanligvis finns sådana). Vikningen av syrsignalen medför a man undviker sora förändringar i syrsignalen. Vid konsanreglering som syfar ill sörningseliminering vikas u () (eller u ( k) ) i sälle för u () (eller u ( k) ). Dea är rimlig, efersom x 0 kräver u 0 när man har en icke övergående sörning. Vikningen av q () y() r (eller q ( k)) viss robushe mo modellfel. ) medför föruom inegrerande verkan, en 5. Tillsåndsåerkoppling 5 31
32 5. Tillsåndsåerkoppling 5.3 Tillsåndsrekonsrukion Resulae av både polplacering och den linjärkvadraiska reglereorin är a alla illsånd skall åerkopplas (i princip). Meoderna är mycke illalande för reglering av sysem med flera insignaler och flera usignaler, efersom de direk löser de mulivariabla probleme så a kopplingar mellan de olika variablerna beakas på rä sä. Haneringen av mulivariabla sysem som en helhe medför dock ine enbar fördelar i prakiken vill man ofa använda enkla regulaorer som unyjar informaion från endas en mäning och juserar endas en syrsignal. E anna problem med åerkoppling av illsånden är a alla illsånd sällan är kända vi får direk informaion endas om sådana illsånd som är direk mäbara. E sä a lösa dea problem är a esimera eller rekonsruera illsånden ugående från illgängliga mäningar med hjälp av en processmodell. I reglerlagen ersäs den verkliga illsåndsvekorn då med den rekonsruerade illsåndsvekorn. Reglereknik II Tillsåndsmeoder (419301) 5 3
33 5.3 Tillsåndsrekonsrukion Tidskoninuerlig illsåndsrekonsrukion Beraka den idskoninuerliga sysembeskrivningen x () Ax() Bu() y() Cx() Du() (5.3.1) x(0) x. Anag a mariserna A, B, C och D är kända sam a y med iniialvärde 0 (och u) kan mäas. E sä a uppskaa x vore a simulera syseme xˆ () Axˆ() Bu(), ˆ(0) ˆ 0 med hjälp av den verkliga insignalen u (). x x (5.3.) Efersom de verkliga iniialillsånde x 0 ine är kän i prakiken, kommer x 0 och ˆx 0 ine a vara lika och därmed kommer de simulerade illsånde (dvs skaningen) x ˆ( ) ine heller a överenssämma med de verkliga illsånde x (). I denna simulering unyjas ingen informaion om den mäbara usignalen y (). Kunde man på någo sä förbära simuleringen genom a använda denna informaion? 5. Tillsåndsåerkoppling 5 33
34 5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion Skaningen x ˆ( ) kan användas för a uppskaa usignalen y () enlig yˆ() Cxˆ() Du () (5.3.3) Skillnaden y() yˆ() y() Cxˆ() Du () (5.3.4) är därför e må på hur väl x ˆ( ) skaar x (). Efersom y() y ˆ() är e skaningsfel, förefaller de rimlig a reglera skaningen av x () genom åerkoppling av dea skaningsfel ill skaningen av x (). Vi får då xˆ () Axˆ() Bu() H y() Cxˆ() Du() (5.3.5) där H är en åerkopplingsmaris. Om syseme har endas en usignal, är denna maris givevis en kolonnvekor. Dea dynamiska sysem kallas en (illsånds)observaör för de ursprungliga syseme med x () som illsåndsvekor. Märk a kombinaionen illsåndsregulaor + observaör endas unyjar mävärde () för a (på e ganska komplicera sä) generera reglersignalen u (). Hur bra är observaören, vilka dynamiska egenskaper har den? 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 34 y
35 5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion Lå oss beeckna skaningsfele av x () med x() x() x ˆ() (5.3.6) Derivering och insäning av urycken för () x och xˆ( ) ger x() x() xˆ () Ax() Bu() Axˆ() Bu() Hy() Cxˆ() Du() A x() xˆ() H Cx() Cxˆ() ( A HC) x() xˆ() ( A HC) x() Skaningsfele beskrivs allså av differenialekvaionen (5.3.7) x() ( A HC) x() Om alla egenvärden ill marisen ( A HC ) har negaiv realdel är observaören sabil och esimeringsfele kommer a gå mo noll. Snabbheen med vilken esimeringsfele går mo noll besäms av egenvärdena ju mer negaiv realdel, deso snabbare konvergens mo noll. Observaörens egenvärden kan placeras godycklig med hjälp av H om syseme (, ) AC är observerbar. Men är de rimlig a försöka göra konvergensen oändlig snabb? 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 35
36 5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion Exempel 5.5. Tidskoninuerlig observaörsdynamik Den elekriska servomoorn från exempel 5.3 har illsåndsbeskrivningen x() 0 1 () 0 u() 0 1 x 1, y( ) 1 0 ( ) där idsenheen är sekunder. Om illsånden ine kan mäas, använder vi en observaör Sysemmarisen ( A ) x ˆ 0 1 ˆ 0 h () () u() 1 y() 1 0 ˆ() 0 1 x 1 h x HC för observaörens skaningsfel blir 0 1 h 1 h 1 1 AHC h h 1 som har den karakerisiska ekvaionen h1 1 h1 1 de I (1 h1) h1 h 0 h 1 h 1 vars lösning ger observaörens egenvärden. 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 36 x
37 5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion I vidsående diagram visas hur väl observaören rekonsruerar illsånde x (som ju ine mäs) för vå olika val av observaörsegenvärden. Som begynnelsevärde har använs x ˆ (0) 0 medan de verkliga begynnelsevärde är x (0) 1. I de övre diagramme är observaörspolerna 4 4j h och h 5., vilke erhålles med 1 7 I de nedre diagramme är observaörspolerna 15 15j h., vilke erhålles med h1 9 och 41 Observaörspoler längre ill vänser i de komplexa alplane ger således här bäre rekonsrukion x x x^ x^ 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 37
38 5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion Hur väl gäller ovansående i prakiken? Anag a mäsignalen y () innehåller högfrekven brus, exempelvis så a y ( ) x( ) 0,05sin(50 ) 1 Diagrammen ill höger visar de resula som då fås med samma vå observaörer som ovan. Här är de klar a den långsammare observaören är a föredra. Anmärkning. Vid konsrukionen av observaören har vi ine beaka a illsånde x 1 fakisk mäs; de borde räcka ill a esimera enbar x. En sådan observaör kallas reducerad observaör x x x^ x^ 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 38
39 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5.3. Tidsdiskre illsåndsrekonsrukion Om man har en idsdiskre sysembeskrivning och en idsdiskre illsåndsregulaor bör man för illsåndsrekonsrukion givevis ha en idsdiskre observaör. Vi har den idsdiskrea modellen k x( 1) Fx( k) Gu( k) y( k) Cx( k) Du( k) På samma sä som ovan kan vi härleda observaören (5.3.8) xˆ( k1) Fxˆ( k) Gu( k) H y( k) Cxˆ( k) Du ( k) (5.3.9) sam den ekvaion som beskriver esimeringsfele x( k 1) x( k 1) xˆ ( k 1) ( FHC) x ( k) (5.3.10) Observaören är då sabil om marisen ( F ) HC har alla egenvärden innanför enhescirkeln i de komplexa alplane. Ju närmare origo egenvärdena ligger, deso snabbare är observaörens konvergens. Egenvärdena kan placeras godycklig genom lämplig val av H om de diskrea syseme (, ) FC är observerbar. 5. Tillsåndsåerkoppling 5 39
40 5.3. Tidsdiskre rekonsrukion Dead-bea rekonsrukion Enlig Cayley-Hamilons sas saisfierar varje maris sin egen karakerisiska ekvaion. Då marisen A har den karakerisiska ekvaionen n n1 de( I A) a1 an1an 0 (5.3.11) så gäller även n n1 A a A a Aa I 0 (5.3.1) 1 n1 Anag a man i illsåndsrekonsrukionen placerar alla egenvärden för marisen ( F HC ) i origo. Om anale illsånd är n har marisen dimensionen n n och dess karakerisiska ekvaion med alla egenvärden lika med noll blir n 0 (5.3.13) Därmed gäller även n ( F HC) 0 (5.3.14) vilke innebär a n x( n) ( F HC) x( n1) ( F HC) x( n) ( F HC) x(0) 0 (5.3.15) dvs rekonsrukionsfele är noll efer (max) n samplingar. Dea är den snabbase rekonsrukion som kan uppnås, men också den mes sörningskänsliga. 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 40 n
41 5.3. Tidsdiskre rekonsrukion Srik propra sysem I den allmänna formuleringen av den idsdiskrea illsåndsrekonsrukionen ovan uppsår en idsfördröjning lika med e samplingsinervall mellan mävärde y ( k) och de esima x ˆ( k 1) som mävärde ger. För e sysem med undvikas. Efersom D kan man använda observaören 0, dvs e srik proper sysem, kan denna idsfördröjning y( k 1) Cx( k 1) CFx( k) CGu ( k) (5.3.16) xˆ( k1) Fxˆ( k) Gu( k) H y( k 1) CFxˆ( k) CGu ( k) (5.3.17) I dea fall ges rekonsrukionsfele av x( k1) x( k1) xˆ ( k1) ( IHC) F x ( k) (5.3.18) Marisen ( I HC) F avgör observaörens sabilie och liksom idigare kan dess poler placeras godycklig om syseme ( FC, ) är observerbar. 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 41
42 5.3. Tidsdiskre rekonsrukion Tillsåndsesimae x ˆ( k) ger esimae yˆ( k) Cx ˆ( k) av usignalen. Efersom y ( k) mäs, borde dea esimeringsfel i princip vara noll. Vi kan härleda y( k1) y( k1) yˆ ( k1) Cx( k1) C( IHC) Fx( k) ( ICH) CFx ( k) (5.3.19) vilke beyder a esimeringsfele y( k 1) 0 om CH I (5.3.0) Om marisen C har full rang, dvs rang( C ) p n, där p är anale usignaler och n anale illsåndsvariabler, är de allid möjlig a välja marisen H så a CH säkersäller därmed a yˆ( k) y ( k). I. Man Yerligare en fördel är a man kan a bor p sycken ekvaioner ur observaören, efersom man ine längre behöver esimera de illsånd som ger esimae yˆ( k) Cx ˆ( k). En dylik observaör kan dock vara känslig på mäsörningar, efersom den ror blin på mäningen av usignalen. Men i prakiken så lågpassfilerar man mäningar, vilke minskar på inverkan av sörningar. 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 4
43 5.3. Tidsdiskre rekonsrukion Exempel 5.6. En idsdiskre observaör Om vi samplar dubbelinegraorn från exempel 5.4 får vi illsåndsrepresenaionen x 1 ( 1) T ( ) T / k k u( k) 0 1 x T, y( k) 1 0 x ( k) där T beecknar samplingsinervalle. Dynamiken för en observaör uan idsfördröjning mellan e mävärde och dess esima besäms av marisen 1 0 h1 ( IHC) F T 0 1 h 0 1 Om vi önskar yˆ( k) 1 0 x ˆ( k) xˆ1 ( k) y( k) krävs CH I, dvs här 1 0 h 1 h 1 h 1 1 Då fås ( IHC) F T T 0 1 h 0 1 h 10 1 h 1hT 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 43
44 5.3. Tidsdiskre rekonsrukion Anag a vi önskar en dead-bea rekonsrukion. Vi skall då välja marisen ( I HC) F så a dess båda egenvärden blir noll. Dea sker genom vale 1 ht 0 dvs h 1/ T Vi får då observaören xˆ( k1) Fxˆ( k) Gu( k) H y( k1) CFxˆ( k) CGu( k) 1 T ˆ ( ) T / ( ) 1 ( 1) T T x k u k y k ˆ( k) u( k) 0 1 T 1/ T x xˆ( k) 0 u( k) 1 y( k1) 1/ T 0 T / 1/ T dvs xˆ ( k1) y( k1) xˆ ( k 1) x( k) uk ( ) yk ( 1) ( yk ( 1) yk ( )) uk ( ) 1 1 ˆ T 1 1 T T 1 T T Endas den sisa ekvaionen behöver användas för illsåndsrekonsrukion efersom den försa ges direk av mävärde yk ( 1). 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 44
5. Tillståndsåterkoppling
5. Tillsåndsåerkoppling 5. Tillsåndsåerkoppling E linjär idskoninuerlig resp. idsdiskre (.ex. sampla) sysem kan som bekan beskrivas med en illsåndsmodell av formen x () = Ax() + Bu() y() = Cx() + Du()
Läs mer5. Tillståndsåterkoppling
5. illsåndsåeroppling 5. Polplacering 5. illsåndsåeroppling E linjär idsoninuerlig resp. idsdisre (.ex. sampla) sysem an som bean besrivas med en illsåndsmodell av formen () = Ax() + Bu() x( + ) = Fx(
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Insiuionen för REGLERTEKNIK, FRT Tenamen 5 mars 27 kl 8 3 Poängberäkning och beygssäning Lösningar och svar ill alla uppgifer skall vara klar moiverade. Tenamen omfaar oal 25 poäng. Poängberäkningen finns
Läs merDifferentialekvationssystem
3227 Differenialekvaionssysem Behållaren A innehåller 2 lier, behållaren B innehäller 3 lier och behållaren C 4 lier salvaen Vid idpunken är salhalen i behållaren A 4 g, i behållaren B 2 g och i behållaren
Läs merLösningar till Matematisk analys IV,
Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en
Läs merInformationsteknologi
Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik
Läs merFöreläsning 19: Fria svängningar I
1 KOMIHÅG 18: --------------------------------- Ellipsbanans soraxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 19: Fria svängningar I Fjäderkrafen
Läs mer{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1
ösningsförslag ill enamensskrivning i SF1633 Differenialekvaioner I Tisdagen den 7 maj 14, kl 8-13 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är
Läs merFÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén
FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av
Läs merOm antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation
1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara
Läs merLaboration 3: Växelström och komponenter
TSTE20 Elekronik Laboraion 3: Växelsröm och komponener v0.2 Ken Palmkvis, ISY, LiU Laboraner Namn Personnummer Godkänd 1 Översik I denna labb kommer ni undersöka beeende när växelspänningar av olika frekvens
Läs mer2 Laboration 2. Positionsmätning
2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni
Läs mer= (x, y) : x 2 +y 2 4, x 0, y (4r2 +1) 3 2
Tenamensskrivning i Maemaik IV, SF1636(5B11,5B13). Tisdagen den 1 januari 1, kl 14-19. Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook. Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa.
Läs merIntroduktion till Reglertekniken. Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde
Reglereknik F: Reglereknik V Adam Lagerberg Reglereknik V Adam Lagerberg Vad är Reglereknik? Behov av syrning Vad är Reglereknik? Läran om Åerkopplade Sysem Blockschema Reglereknik V Adam Lagerberg Reglereknik
Läs merDIGITALTEKNIK. Laboration D171. Grindar och vippor
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elekronik Digialeknik Håkan Joëlson 2006-01-19 v 1.3 DIGITALTEKNIK Laboraion D171 Grindar och vippor Innehåll Uppgif 1...Grundläggande logiska grindar Uppgif 2...NAND-grindens
Läs merTENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B2/A , arctan x x 2 +1
LUNDS TENISA HÖGSOLA MATEMATI TENTAMENSSRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELURS B/A3, 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med fullsändiga moiveringar. Beräkna följande inegraler. (.3+.3+.4)
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning
OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A
Läs merFÖRELÄSNING 13: Tidsdiskreta system. Kausalitet. Stabilitet. Egenskaper hos ett linjärt, tidsinvariant system (LTI)
p. FÖRELÄSNING 3: Tidsdiskrea sysem. Kausalie. Sabilie. Linjära idsinvariana sysem (LTI-sysem) Differenial- och differens-ekvaioner Räkna på idskoninuerlig LTI-sysem med Fourierr. (kursiv) Räkna på idsdiskre
Läs merGenom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000
Lekion, Flervariabelanals den 9 januari..6 Finn hasighe, far och acceleraion vid idpunk av en parikel med lägesvekorn Genom a urcka -koordinaen i ser vi a kurvan är funkionsgrafen ill. Beskriv också parikelns
Läs merDatorlaborationer i matematiska metoder E2, fk, del B (TMA980), ht05
Daorlaboraioner i maemaiska meoder E, fk, del B (TMA98), h5 Laboraionen är ej obligaorisk Den besår av re uppgifer som kan ge en bonuspoäng var vid enamina i maemaiska meoder, fk, del B, 5--6, vår 6 och
Läs mer9. Diskreta fouriertransformen (DFT)
Arbesmaerial 6, Signaler&Sysem I, 2003/E.. 9. Diskrea ourierransormen (DF) 9.1 eriodicie pulsåg Av 6.3(i), arb.mar.4, sid 50, ramgick a ourierransormen (F) av en unkion är e pulsåg X[k]δ( k/) med pulsavsånd
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tenamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: 00-08-8 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Klas Nordberg besöker lokalen kl. 5.00 och 7.00 el 8634 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sax
Läs merLaboration D158. Sekvenskretsar. Namn: Datum: Kurs:
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elekronik Digialeknik Lars Wållberg/Håkan Joëlson 2001-02-28 v 3.1 ELEKTRONIK Digialeknik Laboraion D158 Sekvenskresar Namn: Daum: Eposadr: Kurs: Sudieprogram: Innehåll
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning
OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A
Läs merKvalitativ analys av differentialekvationer
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Kvaliaiv analys av differenialekvaioner Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 1 (10) Inrodukion De
Läs merKURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))
Kurvor på parameerform KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3 P=xyz T=x y z r=xyz En kurva i R 3 anges ofas på parameerform med re skalära ekvaioner: x = f 1, y = f, z = f 3, D R * För varje får vi en
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN
LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär differenialekvaion (DE) av försa ordningen är en DE som kan skrivas på följande form ( = Q( () Formen kallas sandard form eller normaliserad form
Läs merDemodulering av digitalt modulerade signaler
Kompleeringsmaeriel ill TSEI67 Telekommunikaion Demodulering av digial modulerade signaler Mikael Olofsson Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie, 581 83 Linköping Februari 27 No: Denna uppsas
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)
TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns
Läs merSystem, Insignal & Utsignal
1 Sysem, Insignal & Usignal Insignal x[n] SYSTEM H! H = sysemoperaorn Usignal y() = H{y()} y[n] = H{x[n]} w E SYSTEM = en maemaisk modell av e fysikalisk sysem, al. en algorim, som för olika insignaler
Läs merSystem, Insignal & Utsignal
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 1 Sysem, Insignal & Usignal Insignal x() x[n] SYSTEM H! H = sysemoperaorn Usignal y() = H{y()} y[n] = H{x[n]} w E SYSTEM = en maemaisk modell av e fysikalisk sysem,
Läs merbättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller!
Whiepaper 24.9.2010 1 / 5 Jobba mindre, men smarare, och uppnå bäre säljprognoser med hjälp av maemaiska prognosmodeller! Förfaare: Johanna Småros Direkör, Skandinavien, D.Sc. (Tech.) johanna.smaros@relexsoluions.com
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Egenvärden och egenvekorer Definiion Lå F vara en linjär avbildning. Om ale λ och vekorn x uppfyller F (x) =λx, x 6= kallar vi x egenvekor och λ egenvärde ill F. Obs. Likheen är möjlig endas när F är en
Läs merOm exponentialfunktioner och logaritmer
Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens
Läs merDiverse 2(26) Laborationer 4(26)
Diverse 2(26) (Reglereknik) Marin Enqvis Reglereknik Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie Föreläsare och examinaorer: Marin Enqvis (ISY) Simin Nadjm-Tehrani (IDA) Lekionsassisener: Jonas Callmer
Läs merSkattning av respirationshastighet (R) och syreöverföring (K LA ) i en aktivslamprocess Projektförslag
Beng Carlsson I ins, Avd f sysemeknik Uppsala universie Empirisk modellering, 009 Skaning av respiraionshasighe R och syreöverföring LA i en akivslamprocess rojekförslag Foo: Björn Halvarsson . Inledning
Läs merFunktionen som inte är en funktion
Funkionen som ine är en funkion Impuls En kraf f som under e viss idsinervall T verkar på en s.k. punkmassa, säer punkmassan i rörelse om den var i vila innan. Och om punkmassan är i rörelse när krafen
Läs merFrån kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd.
Från kap. 5: Ohm s lag Hög poenial på den sida där srömmen går in Låg poenial på den sida där srömmen går u Man får allid e spänningsfall i srömmens rikning i e mosånd. Från kap. 5: Poenialskillnaden över
Läs merKONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
KONTROLLSKRIVNING Version B Kurs: HF Maemaisk saisik Lärare: Armin Halilovic Daum: 7 maj 6 Skrivid: 8:-: Tillåna hjälmedel: Miniräknare av vilken y som hels och formelblad (som delas u i salen) Förbjudna
Läs merTentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.
Tenamensskrivning i Maemaik IV, 5B Tisdagen den 4 november 6, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTMEN HF6 och HF8 Daum TEN 8 april Tid 8- nalys och linjär algebra, HF8 Medicinsk eknik), lärare: Jonas Senholm nalys och linjär algebra, HF8 Elekroeknik), lärare: Marina rakelyan Linjär algebra och
Läs merModeller och projektioner för dödlighetsintensitet
Modeller och projekioner för dödlighesinensie en anpassning ill svensk populaionsdaa 1970- Jörgen Olsén juli 005 Presenerad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen den 1 sepember 005 Modeller
Läs mer3. Matematisk modellering
3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modellyper För design oc analys av reglersysem beöver man en maemaisk modell, som beskriver sysemes
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 494 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsäningar som ges här är ine bindande för sudeneamensnämndens bedömning Censorerna besluar om de krierier
Läs mern Ekonomiska kommentarer
n Ekonomiska kommenarer Riksbanken gör löpande prognoser för löneuvecklingen i den svenska ekonomin. Den lönesaisik som används som bas för Riksbankens olika löneprognoser är den månaliga konjunkurlönesaisiken.
Läs merHur simuleras Differential-Algebraiska Ekvationer?
Hur simuleras Differenial-Algebraiska Ekvaioner? Jonas Elbornsson December 2, 2000 1 Inledning Dea är en sammanfaning av meoder för simulering av Differenial-Algebraiska Ekvaioner (DAE) för kursen i Modellering
Läs merAnalys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning
Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svesning Examensarbee uför i Reglereknik av Andreas Pilkvis LiTH-ISY-EX-- Linköping Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen
Läs merSkillnaden mellan KPI och KPIX
Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tenamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: 207-04-9 Lokaler: G33, G35, TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalerna kl. 5.00 och 7.30 el 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merSIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1
SIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET KLASSIFICERING AV SIGNALER Fem egenskaper a beaka vid klassificering. Är signalen idskoninuerlig eller idsdiskre? jämn och/eller udda? periodisk
Läs merKurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
KONTROLLSKRIVNING Version A Kurs: HF Maemaisk saisik Lärare: Armin Halilovic Daum: 7 maj 6 Skrivid: 8:-: Tillåna hjälmedel: Miniräknare av vilken y som hels och formelblad som delas u i salen) Förbjudna
Läs merBiomekanik, 5 poäng Kinetik Härledda lagar
Uöver Newons andra lag, kraflagen, finns också andra samband som kan användas för a lösa olika problem Bland dessa s.k. härledda lagar finns Arbee Energisamband Impuls Rörelsemängdssamband (Impulsmomen
Läs merLaboration 2. Minsta kvadratproblem
Laboraion Tillämpade Numeriska Meoder Minsa kvadraproblem Farid Bonawiede Michael Lion fabo@kh.se lion@kh.se 5 februari 5 Inledning När man har skapa en maemaisk modell som beskriver e viss fenomen vill
Läs merFöreläsning 4. Laplacetransformen? Lösning av differentialekvationer utan Laplacetransformen. Laplacetransformen Överföringsfunktion
Föreläsning 4 Laplaceransormen? Laplaceransormen Överöringsunkion E kraull maemaisk verkyg ör a sudera och lösa linjära dierenialekvaioner T.ex. u Sysem y Vad blir usignalen y() give en viss insignal u()?
Läs merReglerteknik AK Laboration 2 Modellbygge och beräkning av PID-regulatorn. Praktiska saker. 1. Inledning
glereknik AK Laboraion 2 Modellbgge och beräkning av PID-regulaorn Insiuionen för reglereknik Lunds ekniska högskola Senas uppdaerad maj 2019 Prakiska saker Ni loggar in med användarnamne lab_anka (precis
Läs mer1. Geometriskt om grafer
Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den
Läs merKonsumtion, försiktighetssparande och arbetslöshetsrisker
Fördjupning i Konjunkurläge juni 12 (Konjunkurinsiue) Konjunkurläge juni 12 75 FÖRDJUPNING Konsumion, försikighessparande och arbeslöshesrisker De förvänade inkomsborfalle på grund av risk för arbeslöshe
Läs merIntroduktion till Reglertekniken. Styr och Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde
Syr och Reglereknik FR: Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Vad är Reglereknik? Behov av syrning Vad är Reglereknik? Läran om Åerkopplade Sysem Blockschema Syr-
Läs merOm de trigonometriska funktionerna
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com Om de rigonomeriska funkionerna () Inrodukion I de här kapile ska vi
Läs merF5: Digital hårdvara. Digitala signaler. Fördelar med digitala system. Digital kontra Analog
F5: Digial hårdvara Digiala signaler Innehåll: - Digiala signaler - Grindar (gaes) - Symboler - Logiska kresar - Timing diagram - Fördröjningar - Tillsånd för digiala signaler - Logikfamiljer (CMOS, TTL)
Läs merHambley avsnitt På föreläsningen behandlas även transkonduktans-, transresistans- och strömförstärkaren, se förra veckans anteckningar.
1 Föreläsning 19/11 Hambley asni 14.5 14.7 På föreläsningen behandlas äen ranskondukans, ransresisans och srömförsärkaren, se förra eckans aneckningar. Lie mer om komparaorn ej i Hambley) En komparaor
Läs merLaboration D182. ELEKTRONIK Digitalteknik. Sekvenskretsar. UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Digitalteknik Ola Ågren v 4.
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elekronik Digialeknik Ola Ågren 2015-12-04 v 4.4 ELEKTRONIK Digialeknik Laboraion D182 Sekvenskresar Namn: Daum: Eposadr: Kurs: Sudieprogram: Innehåll Sidan 1. SR-låskres
Läs merAMatematiska institutionen avd matematisk statistik
Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B86 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 LÖRDAGEN DEN 5 AUGUSTI KL 8. 3. Examinaor : Lars Hols, el.
Läs merBASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator
Tryckoberoende elekronisk flödesregulaor Beskrivning är en komple produk som besår av e ryckoberoende A-spjäll med mäenhe som är ansluen ill en elekronisk flödesregulaor innehållande en dynamisk differensryckgivare.
Läs merLektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM
ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller
Läs merJobbflöden i svensk industri 1972-1996
Jobbflöden i svensk induri 1972-1996 av Fredrik Andersson 1999-10-12 Bilaga ill Projeke arbeslöshesförsäkring vid Näringsdeparemene Sammanfaning Denna udie dokumenerar heerogenieen i induriella arbesällens
Läs merOm exponentialfunktioner och logaritmer
Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. De flesa av övningarna har, om ine lösningar, så i
Läs merMät upp- och urladdning av kondensatorer
elab011a Namn Daum Handledarens sign. Laboraion Mä upp- och urladdning av kondensaorer Varför denna laboraion? Oscilloskope är e vikig insrumen för a sudera kurvformer. Avsiken med den här laboraionen
Läs merAMatematiska institutionen avd matematisk statistik
Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B1862 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 FREDAGEN DEN 1 JUNI 21 KL 8. 13. Examinaor : Lars Hols,
Läs mer5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER
5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv
Läs merm Animering m Bilder m Grafik m Diskret representation -> kontinuerlig m En interpolerande funktion anvšnds fšr att
NŒgra illšmpningar Inerpolaion Modellfunkioner som saisfierar givna punker m Animering l m Bilder l l ršrelser,.ex. i ecknad film fšrger resizing m Grafik m Diskre represenaion -> koninuerlig 2 m Vi kšnner
Läs merKonjunkturinstitutets finanspolitiska tankeram
Konjunkurinsiues finanspoliiska ankeram SPECIALSTUDIE NR 16, MARS 2008 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET (KI) gör analyser och prognoser över den svenska och ekonomin sam bedriver forskning
Läs merTentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti.
Tenamen: Miljö och Maemaisk Modellering MVE345) för TM Åk 3, VÖ3 klockan 4.00 den 27:e augusi. För uppgifer som kräver en numerisk lösning så skriv ned di svar och hur ni gick ill väga för a lösa uppgifen
Läs merDiskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?
Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-
Läs merKan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar
Kan arbesmarknadens parer minska jämviksarbeslösheen? Teori och modellsimuleringar Göran Hjelm * Working aper No.99, Dec 2006 Ugiven av Konjunkurinsiue Sockholm 2006 * Analysen i denna rappor bygger på
Läs merLaborationstillfälle 4 Numerisk lösning av ODE
Laboraionsillfälle 4 Numerisk lösning av ODE Målsäning vid labillfälle 4: Klara av laboraionsuppgif 3. Läs förs een om differensmeoder och gör övningarna. Läs avsnie Högre ordningens differenialekvaioner
Läs merStrategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet
1 File = SweTrans_RuMarch09Lohmander_090316 ETT ORD KORRIGERAT 090316_2035 (7 sidor inklusive figur) Sraegiska möjligheer för skogssekorn i Ryssland med fokus på ekonomisk opimering, energi och uhållighe
Läs merInstitutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA AUGUSTI 2017
Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola ösningar TENTMEN I HÅFSTHETSÄR KF OCH F MH 081 16 UGUSTI 017 Tid och plas: 8.30 1.30 i M huse. ärare besöker salen ca 9.30 sam 11.30 Hjälpmedel:
Läs merLaplacetransformen. Från F till L. Den odiskutabla populäriteten hos Fourierintegralen. f HtL - w t t, w œ R (1)
Från F ill L Laplaceransformen Den odiskuabla populärieen hos Fourierinegralen f HL - w, w œ R () har a göra med a den ger informaion om vilka frekvenser w som ingår i signalen f, och med vilken syrka.
Läs merLite grundläggande läkemedelskinetik
Lie grundläggande läkemedelskineik Maemaisk Modellering med Saisiska Tillämpningar (FMAF25) Anders Källén Inrodukion Farmakokineik eller mer svensk läkemedelskineik är en vikig disiplin vid uveklande av
Läs merin t ) t -V m ( ) in - Vm
1 Föreläsning 17/11 Hambley asni 14.5 14.7 Komparaorn ej i Hambley) En komparaor anänds för a agöra eckne på den differeniella insignalen. Komparaorn besår a en operaionsförsärkare som aningen saknar åerkoppling
Läs mera) Beräkna arean av triangeln ABC då A= ( 3,2,2), B=(4,3,3) och C=( 5,4,3).
TENTAMEN -Jan-8, HF och HF8 Momen: TEN (Linjär algebra), 4 hp, skriflig enamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 85-5, Plas: Campus Haninge
Läs meruhx, 0L f HxL, u t Hx, 0L ghxl, 0 < x < a
Vågekvaionen Vågekvaionen beskriver vågors ubredning vare sig de gäller ljudvågor, elekromagneiska vågor eller vibraioner i en sräng. Lå oss för enkelhes skull änka oss en horisonell uppspänd sräng som
Läs merPensionsåldern och individens konsumtion och sparande
Pensionsåldern och individens konsumion och sparande Om hur en höjning av pensionsåldern kan ändra konsumionen och sparande. Maria Nilsson Magiseruppsas Naionalekonomiska insiuionen Handledare: Ponus Hansson
Läs merKursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden
Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera
Läs merBetalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010
Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Saisiska cenralbyrån 2010 Balance of Paymens. Third quarer 2010 Saisics Sweden 2010 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,
Läs merHåkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14
1 Drifsredovisning inom skadeförsäkring - föreläsningsaneckningar ill kursavsnie Drifsredovisning i kursen Försäkringsredovi s- ning, hösen 2004 (Preliminär version) Håkan Pramsen, Länsförsäkringar 2003-09-14
Läs merVII. Om de trigonometriska funktionerna
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok VII. Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com VII. Om de rigonomeriska funkionerna (3) Inrodukion I de här kapile
Läs mer1 Elektromagnetisk induktion
1 Elekromagneisk indukion Elfäl accelererar laddningar och magneiska fäl ändrar laddningars rörelserikning. en elekrisk kres är de baerie som gör arbee på elekronerna som ger upphov ill en sröm i kresen.
Läs mer1 Introduktion till SIMULINK. Grunderna..2. Biologiska system. 7 Uppgift: studium av återkopplat biosystem 9. Tidskontinuerliga Reglersystem...
Inrodukion ill SIMULIK Insiuionen för Tillämpad fysik och elekronik Umeå Universie 99-0-04, 07--6 SG, 008-09-4 BE Inrodukion ill SIMULIK Grunderna.. Biologiska sysem. 7 Uppgif: sudium av åerkoppla biosysem
Läs merVad är den naturliga räntan?
penning- och valuapoliik 20:2 Vad är den naurliga ränan? Henrik Lundvall och Andreas Wesermark Förfaarna är verksamma vid avdelningen för penningpoliik, Sveriges riksbank. Vilken realräna bör en cenralbank
Läs merDagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:
Blanchard kapiel 9 Penninmänd, Inflaion och Ssselsänin Daens förelf reläsnin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Kap 9: sid. 2 Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och
Läs merEgnahemsposten i konsumentprisindex. KPI-utredningens förslag. Specialstudie Nr 2, maj 2002
Egnahemsposen i konsumenprisindex En granskning av KPI-uredningens förslag Specialsudie Nr 2, maj 22 Ugiven av Konjunkurinsiue Sockholm 22 Konjunkurinsiue (KI) gör analyser och prognoser över den svenska
Läs merVÄXELSTRÖM. Växelströmmens anatomi
VÄXESTÖM Nu skall vi lämna den relaiv sabila liksrömmens värd, säa snurr på saker och ing och gräva fram komplexmaen i illämpningens ljus. iksröm är egenligen bara e specialfall av växelsröm, fas med frekvensen
Läs merTentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tenamen TEN, HF, 6 aug 6 Maemaisk saisik Kurskod HF Skrivid: 8:5-:5 Lärare och examinaor : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifoga formelhäfe ("Formler och abeller i saisik ") och miniräknare av vilken y som
Läs merOrdinära differentialekvationer,
Ordinära dierenialekvaioner ODE:er sean@i.uu.se I is a ruism ha nohing is permanen excep change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver örändring oa i iden Modellen är beskriven i orm av
Läs merSystem med variabel massa
Sysem med variabel massa (YF kap. 8.6) Generella Newon II: ሜF ex = dplj, där p lj = mഥv och ሜF d ex är alla yre krafer som verkar på föremåle. Om kroppens massa ändras genom a vi illför massor dm per idsenhe
Läs merBetalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012
Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Saisiska cenralbyrån 213 Balance of Paymens. Fourh quarer 212 Saisics Sweden 213 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 9. Analys av Tidsserier (LLL kap 18) Tidsserie data
Finansiell Saisik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsning 9 Analys av Tidsserier (LLL kap 8) Deparmen of Saisics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associae Professor) Financial Saisics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs mer