uhx, 0L f HxL, u t Hx, 0L ghxl, 0 < x < a

Transkript

1 Vågekvaionen Vågekvaionen beskriver vågors ubredning vare sig de gäller ljudvågor, elekromagneiska vågor eller vibraioner i en sräng. Lå oss för enkelhes skull änka oss en horisonell uppspänd sräng som vibrerar i verikalplane. Om u = uh, L beecknar srängens verikala avvikelse från horisonallinjen i läge vid idpunken, så saisfierar u den endimensionella vågekvaionen u H, L c 2 u H, L Konsanen c kommer i våra eempel a vara lika med. De försa fyra eemplen nedanför handlar om en sräng av ändlig längd som är fasspänd i båda ändar, och där srängen har en viss form och far i begynnelsen. I eempel är nämnda form och far godyckliga, srängens längd likaså. I de eferföljande re eemplen illämpas resulae från eempel på några mer eller mindre naurliga specialfall. De avsluande vå eemplen handlar om oändliga srängar, som läsaren kan änka på som väldig långa kablar i vilka elekromagneiska vågor breder u sig. EXEMPEL En i bägge ändar fasspänd sräng ges en viss form och far i begynnelsen. Besäm srängens form forsäningsvis. LÖSNING De gäller a finna uh, L som saisfierar PDE u H, L u H, L, < < a RAND uh, L, uha, L, < uh, L f HL, u H, L ghl, < < a u H, L uh, L f a a g Av RAND-villkoren leds vi ill a för fi skriva uh, L som en 2 a- periodisk sinusserie med idsberoende koefficiener. uh, L = b n HL sin n p a ()

2 Vågekvaionen.nb 2 En följd av () är a u H, L = b p n HL sin n a Efer spekralransformaion av PDE och erhålls ODE b n HL = -Jn p a N2 b n HL b n HL 2 a Ÿ a f HL sinjn p a N, b n HL 2 a Ÿ a ghl sinjn p a N vars lösning är (Se egenvärdesproblem II och dess lösning II.) b n HL = c  n p a + c 2 - n p a = A n cos n p a + B n sin n p a De följer a uh, L = = b n HL cos n p a + b n HL n p sin n p a a b n HL cos n p a + b n HL n p sin n p a sin n p a. a EXEMPEL 2 Samma problem, men med specificera f, g och a. PDE u H, L u H, L, < < p RAND uh, L =, uhp, L =, > uh, L = 3 sinh2 L, u H, L = 5 sinh3 L, < < p LÖSNING Som i EXEMPEL fås uh, L = Kb n HL coshn L + b n HL sinhn LO sinhn L. n Nu är b n HL ; 3, n = 2 och b, f.ö. n HL ; 5, n = 3, f.ö. Härav, uh, L = 3 cosh2 L sinh2 L sinh3 L sinh3 L

3 3 Vågekvaionen.nb EXEMPEL 3 Drag och släpp. Här ger man srängen en viss form iniial genom a dra i dess mipunk. Sedan släpps den uan illslag. Eemple är en modell för hur vissa sränginsrumen fungerar. PDE u H, L u H, L, < < RAND uh, L =, uh, L =, > uh, L = L, HL, u H, L =, < < p uh, L u H, L LÖSNING Som i EXEMPEL fås uh, L = Kb n HL coshn p L + b n HL n p sinhn p LO sinhn p L, där nu b n HL 2 Ÿ L, HL sinhn p L, och b n HL. Inegralen beräknas.e. med pariell inegraion: Ÿ L, HL sinhn p L = BL, HL -cos Hn p L n p D - Ÿ L', HL -coshn p L n p under iakagande a L, = i punkerna, sam a L', är lika med 2 på inervalle vänsra halva och lika med -2 på den högra. Resulae blir a b n HL = 8 sini p n 2 M p 2 n 2. sinj p n 2 N De följer a uh, L = 8 p 2 n 2 coshn p L sinhn p L EXEMPEL 4 Slå an en pianosräng. I dea eempel ges srängen plöslig en impulsliknande far i en viss punk. Eemple är en modell för hur en klubba i pianos mekanik slår an en pianosräng.

4 Vågekvaionen.nb 4 PDE u H, L u H, L, < < p RAND uh, L =, uhp, L =, > uh, L =, u H, L = dh - al, < < p uh, L u H, L p a p LÖSNING Som i EXEMPEL fås uh, L = Kb n HL coshn L + b n HL n sinhn LO sinhn L. Nu är b n HL, och b n HL 2 p Ÿ p dh - al sinhn L = 2 p sinhn al De följer a 2 sinhn al uh, L = sinhn L sinhn L p n Vid anslag i srängen mipunk blir resulae 2 sinjn p 2 N uh, L = sinhn L sinhn L p n Efersom sinjn p N = då n är jämn, försvinner många av överonerna 2 dea fall. Var skall srängen slås an för a den sjunde onen 2 sinh7 al sinh7 L sinh7 L skall försvinna? p 7 SVAR: Välj a så a sinh7 al =, dvs välj a som någon av, p 7, 2 p 7, 3 p 7, 4 p 7, 5 p 7, 6 p 7, p. ANM. a = och a = p går ine förverkliga efersom de kräver a man slår an srängen i ändpunkerna och de är ju fasspända. EXEMPEL 5 En halvoändlig kabel, vars ena ände har en viss elekromagneisk spänning hela iden.

5 5 Vågekvaionen.nb PDE u H, L u H, L, >, > RAND uh, L = f HL, > uh, L =, u H, L =, > LÖSNING Här Laplaceransformerar vi i -led, efersom uh, L för e fi är en funkion på halvaeln >, och vi har kända begynnelsedaa. uh, L L UH, sl Transformaion av PDE och RAND, där pluggas in vid ransformaionen av PDE:n resulerar i ODE RAND s 2 UH, sl = U H, sl UH, sl = FHsL ODE som är e egenvärdesproblem av yp II löses av UH, sl = s AHsL + - s BHsL där AHsL + BHsL = FHsL Inversransformaion ger uh, L = ah + L qh + L + bh - L qh - L ahl + bhl = f HL När (2) evalueras i =, fås qh-l= och qhl=, > = uh, L = ahl qhl + bh-l qh-l = Således är ahl =. Efer insäning i (2)&(3) erhålles uh, L = bh - L qh - L och bhl = f HL. uh, L = f H - L qh - L Nedanför kan du se hur lösningen ser u för vå olika f. ahl (2) (3) f HL=sinHL f HL=3-5 2

6 Vågekvaionen.nb 6 EXEMPEL 6 En oändlig kabel PDE u H, L u H, L, œ R, > uh, L = f HL, u H, L =, œ R LÖSNING Efersom uh, L för e fi nu är en funkion på helaeln - < <, förefaller Fourierransformaion i -led vara den lämpligase sraegin. F uh, L ùhw, L Transformaion av PDE och ger Härav, ODE Efer inversransformaion fås ù Hw, L = -w 2 ùhw, L ùhw, L = f`hwl, ù Hw, L = ùhw, L = AHwL coshw L + BHwL sinhw L = ùhw, L coshw L + ù Hw, L sinhw L w = f`hwl coshw L = f`hwl 2 - w + 2  w uh, L = 2 f H - L + 2 f H + L Lösningen kan beskrivas som a vå kopior av en (i ampliud) halverad begynnelseform ränner iväg å varsi håll. -