Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA AUGUSTI 2016

Transkript

1 Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola ösningar TENTAMEN I ÅFASTETSÄA KF OC F MA AUGUSTI 16 Tid och plas: i M huse. ärare besöker salen ca 9.3 sam 11.3 jälpmedel: 1. ärobok i hållfasheslära: ans undh, Grundläggande hållfasheslära, Sockholm,.. andbok och formelsamling i hållfasheslära, KT, eller udrag ur denna; vid Ins. for illämpad mekanik uarbead formelsamling. 3. Publicerade maemaiska, fysiska och ekniska formelsamlingar. Medagna böcker får innehålla normala marginalaneckningar, men inga lösningar ill problemuppgifer. ösa aneckningar i övrig är ine illåna. Vid veksamma fall: konaka skrivningsvaken innan hjälpmedle används. 4. Typgodkänd miniräknare. ärare: Peer Möller, el (77) 155 ösningar: Anslås vid ingången ill insiuionens lokaler, plan 3 i norra rapphuse, Nya M huse, 18/8. Se även kurshemsidan. Poängbedömning: Varje uppgif kan ge maximal 5 poäng. Maxpoäng på enan är 5. Beygsgränser: 1 14p ger beyg 3; 15 19p ger beyg 4; för beyg 5 krävs mins p. Yerligare 1 poäng ges för varje korrek lös inlämningsuppgif under kursens gång (lp 4 16) dock krävs ovillkorligen mins 7 poäng på enamen. För a få poäng på en uppgif ska lösningsförslage vara läslig och uppsällda ekvaioner/samband moiveras (de ska vara möjlig a följa ankegången). Använd enydiga beeckningar och ria ydliga figurer. Konrollera dimensioner och (där så är möjlig) rimligheen i svaren. esulalisa: Granskning: Anslås 4/8 16 på samma sälle som lösningarna. esulaen sänds ill beygsexpediionen senas 1/9. Tisdag 3/ sam orsdag 1/ på ins. (plan 3 i norra rapphuse, nya M huse). Uppgiferna är ine ordnade i svårighesgrad /PWM

2 1. En vagn är rullagrad så a den är lärörlig i horisonalled. Den hålls på plas med vå parallella sänger som är illverkade av e lineär ermo elasisk maerial; elasiciesmodulen är E och längduvidgningskoefficienen α. Ena α, E, 4A, 3 α, E, A, sången har värsnisarea A och längd ; den andra har 3 värsnisarea 4A och längd (se figur). Vid en emperaur T är hela konsrukionen spänningslös. Sängerna värms sedan ill T + T. Deformaioner hos vagnen försummas i de följande. a: Besäm sångkraferna ill följd av emperaurändringen. (3p) b: Beräkna den resulerande horisonalförskjuningen av vagnen. (p). En axelkonsrukion ABC har längd och är illverkad av e lineär elasisk ideal plasisk maerial. Skjuvmodulen är G och sräckgränsen vid ren skjuvning. Delen AB är τ s «T A B C β ( 1 β) e unnväggig rör med radie, godsjocklek och längd β ; delen BC är en massiv cylinder med radie och längd ( 1 β). E vridande momen T angriper vid B, medan yerändarna A och C hålls fixerade. a: Beräkna snimomenen i de båda axeldelarna. (p) b: Besäm den dimensionslösa parameern β ( < β < 1 ) så a röre AB plasicerar samidig som begynnande plasicering fås i cylindern BC. (3p) 3. Beraka en skiva i ( x, y) plane med en kanspricka, enlig figuren. För en viss yp av belasning blir spänningarna nära y r sprickspesen τ xz K III θ K III θ sin-- τ πr yz cos -- πr θ x och övriga spänningskomponener noll ( σ x σ y σ z τ xy ), enlig lineär elasicieseori; här är ( r, θ) polära koordinaer med origo i sprickspesen och K III > är en inegraionskonsan som beror av skivans geomeri och hur belasningen läggs på. a: Besäm huvudspänningarna nära sprickspesen. (p) b: Besäm de område kring sprickspesen som plasicerar enlig Trescas hypoes, dvs besäm de område inom vilke σ e σ s där σ e är effekivspänningen enlig Tresca och σ s är maeriales sräckgräns vid enaxlig dragning. (3p) /PWM

3 4. Balken ABC, med konsan böjsyvhe EI, är fas inspänd vid A och vilar på rullager vid B och C, så a vå spann om vardera längd bildas. Mellan A och B verkar en ubredd las z EI q A B C x vars inensie (kraf/längd) varierar från q vid A ill q vid B; krafresulanen är allså a: Beräkna inspänningsmomene (3p) b: Balken har e U värsni med höjd och bredd. Godjockleken är z och värsnie kan berakas som unnväggig ( «). Besäm sörsa y drag och ryckspänning i e sni där de böjande momene är M q (p) 1 5. Kvarscirkelbågen i figuren är illverkad av e lineär elasisk maerial. Elasiciesmodulen är E, bågens krökningsradie är och värsnie är massiv cirku- P N + M lär med radie r. Konsrukionen är fas inspänd ill grunden och belasas i andra änden av en verikal rikad kraf P. Beräkna verikala förskjuningen av krafens angreppspunk; hänsyn ska as ill inverkan av normalkraf N och böjande momen M i bågen. r N M Svara med kvoen uryck i r och (där N och M är bidragen ill från normalkraf respekive böjande momen). (5p) /PWM

4 ösning 1a: Vi använder här subscrip 1 och för övre respekive undre sången. Frilägg vagnen och ansä sångkraferna som posiiva i dragning. Jämvik ger N 1 + N Sångförlängningarna blir (undh ekv 14, 5 3) (1) N N N α T E 4A 3N 1 3α T EA () och N α T EA (3) Kompaibiliesvillkore 1 ger då 3N 1 + 8N 4αEA T (4) 4αEA T 4αEA Ur ekv (1) och (4) fås N (ryck) och N T (drag) ösning 1b: Vagnens förskjuning är lika med sängernas förlängningar: 1. Insäning av N 1 i ekv () (eller N i ekv (3)) ger 15α T ösning a: Snia på båda sidor om momenes angrepps- T punk; lå och beeckna de vå snimomenen. M v,bc Jämvik kräver då a T + M v,bc (5) ϕ BC M v,bc Vridningsvinklarna omedelbar ill vänser och höger om angreppspunken beecknas respekive ϕ BC och säs posiiva i snimomenens vridningsrikning. undh ekv 6 6 och 6 11 ger β M v,bc ( 1 β) πg 3 ϕ BC πg 4 Kompaibiliesvillkore + ϕ BC leder då ill β M v,bc ( 1 β) (6) 4( 1 β)t βt Ur ekv 6 5 och 6 6 fås M β + 4( 1 β) v,bc β + 4( 1 β) ösning b: Skjuvspänningen i röre AB ges av undh 6 4 4( 1 β)t τ BA [ β + 4( 1 β) ] π ( 1 β)t π [ β + 4( 1 β) ] I cylindern fås maximal skjuvspänning närmas manelyan; denna ges av undh 6 14 som τ BC max βt βt [ β + 4( 1 β) ] π π [ β + 4( 1 β) ] Delarna plasicerar samidig om de vå skjuvspänningarna är lika; dea ger /PWM

5 1 β β β 1 -- ösning 3a: uvudspänningarna fås som egenvärdena ill spänningsensorn S σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z ( S T S ), undh ekv 9 6. de( S σi) ger σ 3 + σ( τ xz + τ yz ), som har röerna σ ±K III θ, σ ± τ xz + τ yz sin-- πr + cos θ -- ±K III πr ösning 3b: Effekivspänningen enlig Tresca fås som skillnaden mellan sörsa och minsa huvudspänningen (formelsamling sid 14 eller undh ekv 1 14); med σ e σ s fås K III K III πr πr -----K πr III σ s De plasicerade område är allså cirkelskivan r -- K III , med cenrum i sprickspesen. π σ s ösning 4a: Vi har här fem vång, men bara illgång ill re jämviksvillkor, så srukuren är saisk obesäm. är löser vi probleme genom a eckna vinklarna θ AB, θ BA sam θ BC q θ AB θ BA θ BC M B med hjälp av elemenarfall; villkoren θ AB och θ BA + θ BC ger oss de vå exra ekvaioner som behövs. Formelsamlingen sid 9 ger θ AB M B 7q 3 M B q 3 M B θ 3EI 6EI 36EI BA θ 6EI 3EI 45EI BC EI så θ AB + M B 7q (7) och θ BA + θ BC + 4M B q (8) q Ur ekv (7) och (8) fås 3q (och M ) 1 B ösning 4b: Spänningen beräknas enlig undh 7 6: σ Mz Vi måse förs hia värsnies I y y yngdpunk. Saiska momene med avseende på en hjälpaxel η längs värsnies undekan blir S η z p A + ---, där A 4 är värsnisarean; vi finner z. p Arearöghesmomene med avseende på y axeln beräknas nu med Seiners sas (undh 7 4) /PWM

6 3 3 I y z 1 p z p De vå försa ermerna i mellanlede är bidrage från den horisonella delen med area och 3 q z 1 4q ermen försummas ( «). Insäning ger nu z σ Sörs dragspänning ( ) fås σ > z 3 3q för : z 1 q σ Sörs ryckspänning ( ) fås för : 4 max σ < σ 4 min ösning 5: Förskjuningen beräknas enklas med Casiglianos a sas, undh 15 96, 15 5 N M P dϕ EA EI N N dϕ P EA N + M M dϕ P EI M (9) där ϕ är en vinkelkoordina längs bågen. Snia vid en godycklig vinkel och säll upp kraf och momenjämvik; man finner T( ϕ) P sam N( ϕ) + Psinϕ N( ϕ) Psinϕ N P sinϕ (1) N( ϕ) M( ϕ) ϕ M( ϕ) Psinϕ M( ϕ) Psinϕ M P sinϕ (11) Ekv (1) och (11) insaa i (9) leder ill P ( sinϕ) P dϕ EA ( sinϕ) dϕ EI P ( π ) P 3 8EA ( π ) + 8EI N M Med A πr πr och (Formelsamling sid 6) I fås då N πr 1 r M πr /PWM