Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 onsdag 7 januari 2015, kl

Transkript

1 Tenamen i Maemaik, HF9 onsdag 7 januai, kl.. Hjälpmedel: Endas fomelblad miniäknae ä ine illåen) Fö godkän kävs poäng av möjliga poäng begsskala ä,,,d,e,f,f). Den som uppnå 9 poäng få bege F och ha ä a kompleea denna enamen. Fullsändiga lösninga skall peseneas ill alla uppgife. Eaminao: min Halilovic Undevisande läae: Håkan Sömbeg, Jonas Senholm, Elias Said. Punkena,,) och -,,-) ä givna. a) esäm vekon. b) esäm en enhesveko ikad i ak mosa ikning mo c) esäm en enhesveko som ä vinkelä mo.. p) p) p). Punkena,,),,,) och -,,) ligge i plane Π. esäm ekvaionen fö den linje som skä dea plan i en ä vinkel och som gå genom punken P,7,9). vgö om oigo ligge på linjen. p). a) Inveea maisen. p) b) Lös följande maisekvaion:, dä: 9, och p) 6. esäm lösningana ill följande ekvaionsssem: a) p) b) 7 p) Vänd!

2 . Plan sluande mak kan beskivas med ekvaionen, dä d -aeln ä veikal. En kabel spänns upp fån punken,, ) i de sluande makplane, m i ikningenn,,). Kabeln ä längdenheel e lång. a) esäm avsånde fån kabelns slupunk, P, ill de sluande makplane. p) b) esäm vinkeln använd accos ) )) mellan kabeln och de sluandee makplane. p) Hä nedan ä en skiss av kabel och mak -aeln ä ikad inå). i Kabeln gå sne inå. kabel P makplan 6. En iangel ha sina hön i punkena,,),,,) och o,-,-). E plan beskivs av följande ekvaion:. vgö om iangeln a) skä plane d.v.s iangeln ligge på båda sido om plane),, b) beö plane d.v.s. iangeln ha mins en punk gemensamm med plane men ligge fö övig hel på planes ena sida), s elle c) ligge hel och hålle på ena sidan av plane uan a beöa dea). p)

3 Lösninga. a) -,,-) -,,) -,,-6) b) En veko ikad ak mosa ä,,6),,6) En enhesveko ikad ak mosa bli då 6,,6),,) c) Fös besämme vi en veko som ä vinkelä mo : v a, b, c) ä vinkelä mo om v o, d.v.s. a, b, c) o,, 6) a 6c a c lla vekoe som uppflle ovansående samband fö godcklig b) ä vinkeläa mo Välj.e. c och b : v,, ),,),,) En enhesveko vinkelä mo ) fås då med: ) Sva: a) -,,-6) b),,6) c),,) Räningsmall: a) och b) ä elle fel, c) koek besämning av en vinkelä veko ge p. Rikningsvekon fö en linje som skä e plan i en ä vinkel ä samidig en nomalveko ill dea plan. esäm allså planes nomalveko och använd den som ikningsveko fö linjen: En nomalveko n ill plane ges av n,,),,),,) e e e n e 6 e,,),,) 6,, ) ) e ),, ) Den söka linjen ha allså n som ikningsveko och gå genom punken,7,9). Linjens ekv:,, ),7,9),, ) elle 7 9 Ligge oigo,,,), på linjen?, vilke insäes i ucken fö och på linjen:

4 7 ) 7 ) 9, och bli ine samidig noll. Oigo ligge ine på denna linje. Sva: Linjens ekvaion ä 9 7. Oigo ligge ine på linjen. Räningsmall: p fö linjens ekv. p fö a ha avgjo a oigo ine ligge på linjen.. a) Inveeing av mais med Jacobis meod: Vi böja med enhesmaisen ill höge och ska, med illåna äkneopeaione, fla den ill vänse om misecke) Till höge om secke så nu, b) Fomell lösning av maisekvaionen: ) ) Med siffo insaa: ) 6 Sva: a) b) 6 Räningsmall: a) ä elle fel b) lös fomell: ) ge p

5 . a) Gausseliminaion: oalmaisen ä 6 Den sisa aden olkas som allid sann), de bli en paameelösning. Lå, Paameelösningen bli elle lå s) s s s b) 7 ge

6 7 66 Sisa aden olkas som 66 nda aden: ) Fösa aden: 7 7 ) 7 7 Unik endig) lösning: Sva: a) Paameelösning s s b) Unik lösning s 7 Räningsmall: a) och b) Väsenligen koek gausseliminaion ge p. a) Kabelns sapunk: Q,, ) Kabelns slupunk P befinne sig längdenhee fån Q i ikningen,,).,,) Enhesveko i kabelns ikning:,,) QP,,) OP OQ QP,, ),,),,). llså P,,). Makplane ha ekvaionen elle, med nomalvekon -,,) vsånde fån punken P ill makplane kan besämmas med fomel fån fomelblade: D d ) Siffo insaa: d,7 l. e. ) 6 6 b) Fö a få vinkeln mellan kabeln och makplane besämme man fös vinkeln mellan kabeln och makplanes nomal. u o v Fomel fö skaläpoduk fomelblad) ge: cos θ u v

7 ,,) o,,) Siffo insaa: cos θ > 6 7 os θ ä e posiiv al. De bede a θ < 9. Om φ ä vinkeln mellan kabeln och makplane gälle då a φ 9 - θ 9 - accos ) 9 6, 6, 9 ) 7 Sva: a) l. e. b) 9 - accos 6 ) 7 Räningsmall: a) Koek besämning av P:s koodinae ge p b) esämme koek cosθ, dä θ ä vinkeln mo planes nomal, p 6. Hu iangeln ligge i föhållande ill plane avgös av hu dess hön ligge i föhållande ill plane. eaka allså endas iangelns e hön. Välj en punk i plane,.e. P,-,-) ilda vekoena fån P ill iangelns e hön: P,,) -,-,-) -,,) P,,) -,-,-) P,-,-) -,-,-),,),,) Punken P ligge i plane. Planes nomalveko ä n,, ). Om en punk Q ligge i plane gälle a n o PQ Om punken Q ligge uanfö plane å de håll som nomalvekon ä ikad mo så komme n o PQ > efesom n o PQ n o PQ cosθ och θ < 9. På samma sä gälle a om Q ligge uanfö plane på den anda sidan så ä n o PQ < efesom θ > 9. De ä allså denna skaläpoduks ecken som avgö på vilken sida om plane en punk ligge. Undesök iangelns e hön: n o P,, ) o,,) n o P,, ) o,,) n o P,, ) o,,) Skaläpoduken ä negaiv fö samliga hön, d.v.s. de ligge alla på samma sida om plane. De innebä a iangeln i sin helhe ligge på ena sidan av plane, uan a beöa dea i någon punk. Sva: Rä alenaiv ä c). Tiangeln ligge hel och hålle på ena sidan av plane uan a beöa dea).

8 Räningsmall: Inse och föklaa dlig a de äcke a äkna på de e hönen fö a kunna besvaa fågan, p Rä meod med ensaka äknefel, -p