Lösningar till Matematisk analys IV,

Transkript

1 Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en sluen kurva måse vi då förs på lämplig sä kompleera ill en sluen kurva. Lå Γ vara räa linjen = x från punken, ill punken,, och lå Γ vara räa linjen = från punken, ill punken,. Lå vidare D vara område x, x +. Då är kurvan Γ Γ en sluen kurva och kurvan är den posiiv orienerade randen ill område D. Greens formel och a Γ... =... för kurvinegraler ger då a Γ P dx + Q d P dx + Q d + P dx + Q d = Q P dxd. Γ Γ D Men Q P = x + x + = x +, och vi får a P dx + Q d = x + dxd + P dx + Q d P dx + Q d. D Γ Γ En paramerisering av Γ är x =, =,, och den ger a Γ P dx + Q d = / d = / 5 d =. På Γ är konsan lika med noll och efersom P x, = så är P dx + Q d =. Γ Vidare har vi a D x + dxd = Inför polära koordinaer x = r cos θ, = r sin θ. I de polära koordinaerna är D område r, θ π. = r θ<π/ Insäning av, och i ger a r r dr dθ = π 5 P dx + Q d = π +. r dr = π.

2 Vi övergår nu ill kurvinegralen x + dx + x x + d. Sä nu isälle P x, = x x + och Qx, = x +. Funkionerna P och Q är definierade i x,,. Derivering ger a Q x, P x, = i x,,. Sä E = R \{, R }. Kurvan är då en kurva i E. Efersom P och Q är koninuerliga i E, likheen Q P = gäller i E, och E är en öppen enkel sammanhängande delmängd av R, så är kurvinegralen x + dx + x x + d. Γ oberoende av vägen för kurvor Γ i E. Lå σ vara cirkelbågen x + =,, från punken, ill punken,. Då är kurvan σ också en kurva i E. Kurvorna och σ i E har har samma saroch slupunk och följakligen gäller a 5 x + dx + x x + d = σ x + dx + x x + d. Kurvinegralen längs σ kan enkel beräknas genom a använda parameriseringen x = cos, = sin, π 5π av σ. Vi får a 6 5π σ x + dx + x x + d = sin cos sin + cos d = π Av 5 och 6 följer a = 5π π d = π. x + dx + x x + d = π.. Vi moiverar förs a den givna mängden A är kompak genom a moivera a A är sluen och begränsad. Lå B vara mängden gx,, z =, och lå C vara mängden x,, z. Då är A = B C. Mängden B är sluen efersom funkionen gx,, z är koninuerlig i hela R, och mängden C är också sluen. Sni av sluna mängder är allid en sluen mängd. Mängden A = B C är således sluen. Vidare har vi a x,, z A x + + z + 5 xx =, x,, z = x,, z x,, z. Mängden A är således också begränsad. Mängden A är allså både sluen och begränsad och därmed kompak. Funkionen fx,, z är koninuerlig på hela R och speciell koninuerlig på A. Enlig sas om koninuerliga funkioner har en funkion som är koninuerlig på en kompak mängd allid e sörsa och e minsa värde på den kompaka mängden. Sammanage moiverar dea a fx,, z har e sörsa och e minsa värde på A. Enlig eorin för opimering med bivillkor gäller a varje punk där fx,, z anar si sörsa och minsa värde på A finns med bland punkerna i, och nedan.

3 Punker x,, z A sådana a fx,, z och gx,, z är linjär beroende. Derivering ger a fx,, z =,, och a gx,, z = x + 5 z, + 5 xz, z + 5 x. Efersom fx,, z,, för alla x,, z A gäller a fx,, z och gx,, z är linjär beroende på A om och endas om gx,, z = λ fx,, z för någo reell al λ. Men gx,, z = λ fx,, z är ekvivalen med a x + 5 z = λ + 5 xz = λ z + 5 x = λ. De följer a { x + 5 z = + 5 xz { x x + 5 z = z + 5 x. 5 xz + 5 z = x z 5 x + 5 z =. { { x x + 5 zx = x x + 5 x zx + z 5 x z = z = x z x + z 5 =. Vi får fra olika möjligheer här. a x = och x z = x = = z. Med x,, z A ger de a gx, x, x = och x x = och x x =. Här får vi allså punken,,. Mosvarande funkionsvärde är f,, =. b x = och x + z 5 = = x och z = x. Med x,, z A ger de a g x, x, x = och x 89 6 x = och x x =. Här får vi allså punken,,. Mosvarande funkionsvärde i den punken är f,, =. c x + 5 z = och x z = = x och z = x. På grund av smmeri och räkningen i b får vi här punken funkionsvärde f,, =, samma värde som i b. d x + 5 z = och x + z 5 = x = z och = z. På grund av smmeri och räkningen i b får vi här punken, funkionsvärde f,, = samma värde som i b.,, med illhörande med illhörande De punker bland kanpunkerna relaiva randpunkerna ill an A där resrikionen av f ill kanpunkerna har e lokal exremvärde. Vi får re delfall här, dels resrikionen av f ill de kanpunker där z =, dels resrikionen av f ill de kanpunker där = och dels resrikionen av f ill de kanpunker där x =. Vi behandlar delfalle med resrikionen av f ill de kanpunker där z =. I övriga vå delfall här anar f samma funkionsvärden som i dea delfall på grund av smmeri. Vi har a fx,, = x + och a gx,, ] = x +. Vi ska allså i de valda delfalle undersöka funkionen ux, = x + under bivillkore vx, =, x,, där vx, = x +. E lokal exremvärde ill u under bivillkore kan anas där ux, =, och vx, = x, är linjär beroende sam bivillkore är uppfll. Enlig eorin för deerminaner är vå vekorer i R linjär beroende om och endas om deras deerminan är noll. De följer a ux, och vx, är linjär beroende x = = x = ±x. Av = x och bivillkore vx, =, x,, får vi x = och x x =. Värde x = ger = x =. Funkionsvärde u, =. Av = x och bivillkore vx, =, x,, får vi x = = och =, vilke ine går.

4 E lokal exremvärde ill u under bivillkore kan också anas i någon av ändpunkerna ill bivillkorskurvan vx, =, x, x + =, x,. Ändpunkerna är, och,. Mosvarande funkionsvärden är u, = och u, =. E lokal exremvärde ill u under bivillkore kan sluligen också anas i punker på bivillkorskurvan där någon av ux, eller vx, ine exiserar, men några sådana punker finns ine. I fall får vi allså vå inressana funkionsvärden, och. Problemes smmeri och räkningarna i de ovan behandlade delfalle av visar a dessa värden anas i punkerna,,,,, och,,, respekive i punkerna,,,,, och,,. Punker x,, z A sådana a någon av fx,, z och gx,, z ej exiserar. Sådana punker finns ej. Av, och framgår a sörsa värde av f på A är max f på A är min,,. Vi har a = 8 = 56, = 5 och,, och a minsa värde av = =. De följer a sörsa värde av f på A är och a minsa värde av f på A är. Sörsa värde anas i punkerna,,,,,,,, och,,, och minsa värde anas i punkerna,,,,, och,,.. a De anas a a n > för alla n. De medför a De anas också a 8 a n och e an är posiiva serier. n= n= a n är konvergen. n= Av 8 följer a a n då n, vilke illsammans med a e sandardgränsvärde medför a e x x då x 9 e an a n då n. Av, 8, 9 och e jämförelsekrierium för posiiva serier följer a serien e an är kovergen. b Den givna generaliserade inegralen är en posiiv generaliserad inegral, och den är generaliserad på vå sä, dels genom a inegranden ine är definierad i x = och dels genom a övre ingraionsgränsen är. Vi gör därför en uppdelning arcan x arcan x arcan x x a dx = x a dx + x a dx. Den försa inegralen ill höger är enbar generaliserad genom a inegranden är odefinierad i x =, och den andra inegralen ill höger är enbar generaliserad genom a övre inegraionnsgränsen är. Enlig eorin för generaliserade inegraler är den givna generaliserade inegralen konvergen precis om n=

5 båda inegralerna ill höger i båda är konvergena. Vi suderar nu de de båda inegralerna ill höger i var för sig. Med hjälp av Taloruvecklingen arcan x = x + Ox för x nära noll får vi a De visar a arcan x x = x + Ox x De gäller a den generaliserade sadardinegralen = + Ox då x. arcan x / arcan x x a = då x. xa x och följakligen gäller a dx är konvergen precis om b < xb dx är konvergen precis om a <. xa Av, och e jämförelsekrierium för posiiva generaliserade inegraler följer a Efersom arcan x π arcan x x a dx är konvergen precis om a <. då x har vi a arcan x x a / x a = arcan x π De gäller a den generaliserade sadardinegralen då x. 5 dx är konvergen precis om a >. xa Av, 5 och e jämförelsekrierium för posiiva generaliserade inegraler följer a 6 arcan x x a dx är konvergen precis om a >. Resulaen och 6 visar a de båda inegralerna ill höger i båda är konvergena precis om < a <. Den givna generaliserade inegralen är därför konvergen precis om < a <.. Sä z = e iθ. Tillsammans med Eulers formel för cosinusfunkionen ger de a cos θ = e iθ + e iθ = z + och cos nθ = e inθ + e inθ = z Vi har också a dz dθ = ieiθ = iz, som ger dθ = iz dz z n + z n. Vidare övergår inervalle [, π[ genom sambande z = e iθ i den angivna kurvan i de komplexa alplane. Följakligen har vi a π cos θ n dθ = z + n z iz dz = i z + n n z n+ dz 5

6 och π cos nθ 5 + cos θ dθ = 5 + z n + z n z + z iz dz = i z n + z n 5 z + z + dz = i z n + z n z + dz = i z n z + z + dz i z + z n z + dz. z + De angivna likheerna för de givna rigonomeriska inegralern är därmed visade. Vi beräknar nu de givna rigonomeriska inegralerna genom a använda dessa likheer. Sä Då gäller allså a π fz = z + n z n+, gz = cos θ n dθ = i n fz dz z + och och hz = z + z n z +. z + z n π cos nθ 5 + cos θ dθ = i gz dz i hz dz. Kurvan i de komplexa alplane är cirkeln z = e varv mours. Nämnaren i fz, polnome z n+, har enda nollsälle innanför. Nämnaren i gz, polnome z + z +, har nollsälle innanför och nollsälle uanför. Nämnaren i hz, polnome z n z + z +, har nollsällena och innanför och nollsälle uanför. Enlig sas om analiska funkioner gäller därför a 8 fz dz = πi Res fz,, gz dz = πi Res gz, hz dz = πi Res hz, + Res hz,. Enlig e resula för beräkning av residvärden gäller följande. Lå c C, lå r vara e helal, och lå uz vara analisk i en omgivning av punken c. Då gäller a Res z c r uz, c = r! ur c. Med hjälp av dea residberäkningsresula får vi a z + n 9 Res fz, = Res z n+, = D n z + n z= n! och Res Residsumman = D n z n n! n z n n z= = n n... n + z n n n... n! = n n... n! gz, z n = Res z +, z + n = n = zn Res hz, + Res hz, n. n z + z= och n n z= = n n. 6

7 kan också beräknas genom a illämpa samma residberäkningsresula på var och en av de båda ermerna i residsumman. Den försa ermen i residsumman är dock därvid lie arbesam a beräkna. Enklare är isälle a förs a använda summaresidformeln för raionella funkioner. För den raionella funkionen hz = z n z + z + ger summaresidformeln a Res hz, + Res hz, + Res hz, = och allså har vi a Res hz, + Res hz, = Res hz,. Residvärde Res hz, kan enkel beräknas med residberäkningsresulae ovan. Vi får a Res hz, + Res hz, = Res hz, = Res z n z +, = z + z n z + = n z= n. Av, 8, 9, och följer a och a π π cos θ n dθ = i πi n n = π n n n n cos nθ 5 + cos θ dθ = i πi n n i πi n n = π n n. 5. Sä x P x,, z = x + z 6 +, Qx,, z = x + z 9 x + z 6 +, Rx,, z = z x + z 6 + och Fx,, z = P x,, z, Qx,, z, Rx,, z för x,, z D. Den givna kurvinegralen är då kurvinegralen F dr för kurvor i D. Område D = {x,, z R x,, z,, } är en öppen enkel sammanhängande delmängd av R och F C D. Kurvinegralen F dr är därför oberoende av vägen för kurvor i D om och endas om F = i D. Med de införda beeckningarna har vi a F = D, D, D P, Q, R = R Q, R P, Q P, Derivering ger a R Q = 9 zx + z 6 + z x + z 6 + z9 x + z 6 + x + z 9 6x + z 5 z x + z 6 + =, R P = z 6x + z 5 x x + z x 6x + z 5 z x + z 6 + = och Q P = x9 x + z 6 + x + z 9 6x + z 5 x x + z x9 x + z 6 + x x + z 6 + =

8 i D. Således är F = i D. Kurvinegralen F dr är allså oberoende av vägen för kurvor i D. Kurvinegralen har allså samma värde för alla kurvor i D som har samma sar- och slupunk. Vi beräknar nu värde av kurvinegralen F dr då är någon kurva i D från punken,, ill punken,,. Vilken sådan kurva vi väljer är likgilig på grund av oberoende av vägen. Kurvan = där kurvan är är räa linjen från punken,, ill punken,,, kurvan är är räa linjen från punken,, ill punken,, och kurvan är är räa linjen från punken,, ill punken,,, är en kurva i D från punken,, ill punken,,. En paramerisering av är x =, =, z =, ; en paramerisering av är x =, =, z =, ; och en paramerisering av är x =, =, z =,. Definiionen av ger med hjälp av angivna parameriseringar a F dr + F dr + F dr = + + d + 9 d d =. + De re inegralerna på sisa raden ovan är ju alla noll efersom a f d = a > om funkionen a f är en udda funkion i inervalle [a, a]. Mängden M är mängden av alla kurvor i D som sarar i en punk i xz-plane plane = och sluar i en punk på -axeln. Vi visar nu a den givna kurvinegralen har samma värde för varje kurva i M och besämmer dea gemensamma värde. Lå punken a,, c vara en godcklig punk i xz-plane i D och lå punken, b, vara en godcklig punk på -axeln i D. Fixera T > godcklig. Vi berakar fallen b > och b < var för sig. Falle b >. Lå Γ vara någon kurva i xz-plane i D från punken a,, c ill punken T,,, lå Γ vara räa linjen från punken T,, ill punken T,,, lå Γ vara räa linjen från punken,, ill punken T,,, och lå Γ vara räa linjen från punken,, ill punken, b,. Observera a Γ ine är en kurva i D om b <. Kurvan Γ = Γ Γ Γ Γ är då en kurva i D från punken a,, c ill punken, b,. Definiionen av Γ illsammans med a Γ... = Γ... ger a F dr + F dr F dr + F dr. Γ Γ Γ Γ Γ Men Γ efersom = på Γ och Fx,, z =, och Γ efersom x = z = på Γ och F,, =, och således har vi a Γ F dr Γ F dr. Γ Tillsammans med parameriseringen x = T, =, z =, av Γ och parameriseringen x =, =, z =, T av Γ ger dea a Γ T 9 T T d d. Falle b <. Dea fall behandlar vi ganska likara med falle b > Lå Γ vara någon kurva i xz-plane i D från punken a,, c ill punken T,,, lå Γ vara räa linjen från punken T,, ill punken T,,, lå Γ vara räa linjen från punken,, ill punken T,,, och lå Γ vara räa linjen från punken,, ill punken, b,. Observera a Γ ine är en kurva i D om b >. Kurvan Γ = Γ Γ Γ Γ är då en kurva i D från punken a,, c ill punken, b,. Definiionen av Γ illsammans med a Γ... =... för kurvinegraler Γ ger a F dr F dr F dr + F dr. Γ Γ Γ Γ Γ 8

9 Men Γ efersom = på Γ och Fx,, z =, och Γ efersom x = z = på Γ och F,, =, och således har vi a Γ F dr Γ F dr. Γ Tillsammans med parameriseringen x = T, =, z =, av Γ och parameriseringen x =, =, z =, T av Γ ger dea a Γ Men variabelsubsiuionen = u visar a T 9 T d = + T 9 T T d d. T u 9 T du. + u och allså har vi a Γ T 9 T T d d. I båda de möjliga fallen b > och b < finns de således en kurva Γ i D från en godcklig punk a,, c i xz-plane i D ill en godcklig punk, b, på -axeln i D så a de för denna kurva Γ i D gäller a Γ T 9 T T d d. Efersom den givna kurvinegralen F dr är oberoende av vägen för kurvor i D och efersom högerlede i är oberoende av a, b och c gäller följakligen a den givna kurvinegralen F dr har samma värde för varje kurva M. Vi får a T 9 T T d + + d för alla M. + I är T > godcklig. Likheen gäller därför för godcklig T >. Vi kan därför låa T i. För godcklig T > har vi a < T 9 T d < + Låer vi T i får vi således a Men T T d =, som då T. T d för alla M. + + d = u 6 + du, som variabelsubsuuionen u = visar. Vi har allså a 6 d för alla M. + Inegralen 6 + d 9

10 kan beräknas med residkalkl. E sä a göra de visas i de avluande exemplen i kompendie Någo om analiska funkioner. Där visas mera allmän a x n + dx = π n sin π n för godcklig helal n. Se kompendie för dealjerna i denna beräkning. Speciell får vi för n = 6 a x 6 + dx = π 6 sin π 6 = π, vilke med ger a π för alla M. 6. Se kurslierauren.. Se kurslierauren.