Lösningar till Matematisk analys IV,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Lösningar till Matematisk analys IV,"

Transkript

1 Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en sluen kurva måse vi då förs på lämplig sä kompleera ill en sluen kurva. Lå Γ vara räa linjen = x från punken, ill punken,, och lå Γ vara räa linjen = från punken, ill punken,. Lå vidare D vara område x, x +. Då är kurvan Γ Γ en sluen kurva och kurvan är den posiiv orienerade randen ill område D. Greens formel och a Γ... =... för kurvinegraler ger då a Γ P dx + Q d P dx + Q d + P dx + Q d = Q P dxd. Γ Γ D Men Q P = x + x + = x +, och vi får a P dx + Q d = x + dxd + P dx + Q d P dx + Q d. D Γ Γ En paramerisering av Γ är x =, =,, och den ger a Γ P dx + Q d = / d = / 5 d =. På Γ är konsan lika med noll och efersom P x, = så är P dx + Q d =. Γ Vidare har vi a D x + dxd = Inför polära koordinaer x = r cos θ, = r sin θ. I de polära koordinaerna är D område r, θ π. = r θ<π/ Insäning av, och i ger a r r dr dθ = π 5 P dx + Q d = π +. r dr = π.

2 Vi övergår nu ill kurvinegralen x + dx + x x + d. Sä nu isälle P x, = x x + och Qx, = x +. Funkionerna P och Q är definierade i x,,. Derivering ger a Q x, P x, = i x,,. Sä E = R \{, R }. Kurvan är då en kurva i E. Efersom P och Q är koninuerliga i E, likheen Q P = gäller i E, och E är en öppen enkel sammanhängande delmängd av R, så är kurvinegralen x + dx + x x + d. Γ oberoende av vägen för kurvor Γ i E. Lå σ vara cirkelbågen x + =,, från punken, ill punken,. Då är kurvan σ också en kurva i E. Kurvorna och σ i E har har samma saroch slupunk och följakligen gäller a 5 x + dx + x x + d = σ x + dx + x x + d. Kurvinegralen längs σ kan enkel beräknas genom a använda parameriseringen x = cos, = sin, π 5π av σ. Vi får a 6 5π σ x + dx + x x + d = sin cos sin + cos d = π Av 5 och 6 följer a = 5π π d = π. x + dx + x x + d = π.. Vi moiverar förs a den givna mängden A är kompak genom a moivera a A är sluen och begränsad. Lå B vara mängden gx,, z =, och lå C vara mängden x,, z. Då är A = B C. Mängden B är sluen efersom funkionen gx,, z är koninuerlig i hela R, och mängden C är också sluen. Sni av sluna mängder är allid en sluen mängd. Mängden A = B C är således sluen. Vidare har vi a x,, z A x + + z + 5 xx =, x,, z = x,, z x,, z. Mängden A är således också begränsad. Mängden A är allså både sluen och begränsad och därmed kompak. Funkionen fx,, z är koninuerlig på hela R och speciell koninuerlig på A. Enlig sas om koninuerliga funkioner har en funkion som är koninuerlig på en kompak mängd allid e sörsa och e minsa värde på den kompaka mängden. Sammanage moiverar dea a fx,, z har e sörsa och e minsa värde på A. Enlig eorin för opimering med bivillkor gäller a varje punk där fx,, z anar si sörsa och minsa värde på A finns med bland punkerna i, och nedan.

3 Punker x,, z A sådana a fx,, z och gx,, z är linjär beroende. Derivering ger a fx,, z =,, och a gx,, z = x + 5 z, + 5 xz, z + 5 x. Efersom fx,, z,, för alla x,, z A gäller a fx,, z och gx,, z är linjär beroende på A om och endas om gx,, z = λ fx,, z för någo reell al λ. Men gx,, z = λ fx,, z är ekvivalen med a x + 5 z = λ + 5 xz = λ z + 5 x = λ. De följer a { x + 5 z = + 5 xz { x x + 5 z = z + 5 x. 5 xz + 5 z = x z 5 x + 5 z =. { { x x + 5 zx = x x + 5 x zx + z 5 x z = z = x z x + z 5 =. Vi får fra olika möjligheer här. a x = och x z = x = = z. Med x,, z A ger de a gx, x, x = och x x = och x x =. Här får vi allså punken,,. Mosvarande funkionsvärde är f,, =. b x = och x + z 5 = = x och z = x. Med x,, z A ger de a g x, x, x = och x 89 6 x = och x x =. Här får vi allså punken,,. Mosvarande funkionsvärde i den punken är f,, =. c x + 5 z = och x z = = x och z = x. På grund av smmeri och räkningen i b får vi här punken funkionsvärde f,, =, samma värde som i b. d x + 5 z = och x + z 5 = x = z och = z. På grund av smmeri och räkningen i b får vi här punken, funkionsvärde f,, = samma värde som i b.,, med illhörande med illhörande De punker bland kanpunkerna relaiva randpunkerna ill an A där resrikionen av f ill kanpunkerna har e lokal exremvärde. Vi får re delfall här, dels resrikionen av f ill de kanpunker där z =, dels resrikionen av f ill de kanpunker där = och dels resrikionen av f ill de kanpunker där x =. Vi behandlar delfalle med resrikionen av f ill de kanpunker där z =. I övriga vå delfall här anar f samma funkionsvärden som i dea delfall på grund av smmeri. Vi har a fx,, = x + och a gx,, ] = x +. Vi ska allså i de valda delfalle undersöka funkionen ux, = x + under bivillkore vx, =, x,, där vx, = x +. E lokal exremvärde ill u under bivillkore kan anas där ux, =, och vx, = x, är linjär beroende sam bivillkore är uppfll. Enlig eorin för deerminaner är vå vekorer i R linjär beroende om och endas om deras deerminan är noll. De följer a ux, och vx, är linjär beroende x = = x = ±x. Av = x och bivillkore vx, =, x,, får vi x = och x x =. Värde x = ger = x =. Funkionsvärde u, =. Av = x och bivillkore vx, =, x,, får vi x = = och =, vilke ine går.

4 E lokal exremvärde ill u under bivillkore kan också anas i någon av ändpunkerna ill bivillkorskurvan vx, =, x, x + =, x,. Ändpunkerna är, och,. Mosvarande funkionsvärden är u, = och u, =. E lokal exremvärde ill u under bivillkore kan sluligen också anas i punker på bivillkorskurvan där någon av ux, eller vx, ine exiserar, men några sådana punker finns ine. I fall får vi allså vå inressana funkionsvärden, och. Problemes smmeri och räkningarna i de ovan behandlade delfalle av visar a dessa värden anas i punkerna,,,,, och,,, respekive i punkerna,,,,, och,,. Punker x,, z A sådana a någon av fx,, z och gx,, z ej exiserar. Sådana punker finns ej. Av, och framgår a sörsa värde av f på A är max f på A är min,,. Vi har a = 8 = 56, = 5 och,, och a minsa värde av = =. De följer a sörsa värde av f på A är och a minsa värde av f på A är. Sörsa värde anas i punkerna,,,,,,,, och,,, och minsa värde anas i punkerna,,,,, och,,.. a De anas a a n > för alla n. De medför a De anas också a 8 a n och e an är posiiva serier. n= n= a n är konvergen. n= Av 8 följer a a n då n, vilke illsammans med a e sandardgränsvärde medför a e x x då x 9 e an a n då n. Av, 8, 9 och e jämförelsekrierium för posiiva serier följer a serien e an är kovergen. b Den givna generaliserade inegralen är en posiiv generaliserad inegral, och den är generaliserad på vå sä, dels genom a inegranden ine är definierad i x = och dels genom a övre ingraionsgränsen är. Vi gör därför en uppdelning arcan x arcan x arcan x x a dx = x a dx + x a dx. Den försa inegralen ill höger är enbar generaliserad genom a inegranden är odefinierad i x =, och den andra inegralen ill höger är enbar generaliserad genom a övre inegraionnsgränsen är. Enlig eorin för generaliserade inegraler är den givna generaliserade inegralen konvergen precis om n=

5 båda inegralerna ill höger i båda är konvergena. Vi suderar nu de de båda inegralerna ill höger i var för sig. Med hjälp av Taloruvecklingen arcan x = x + Ox för x nära noll får vi a De visar a arcan x x = x + Ox x De gäller a den generaliserade sadardinegralen = + Ox då x. arcan x / arcan x x a = då x. xa x och följakligen gäller a dx är konvergen precis om b < xb dx är konvergen precis om a <. xa Av, och e jämförelsekrierium för posiiva generaliserade inegraler följer a Efersom arcan x π arcan x x a dx är konvergen precis om a <. då x har vi a arcan x x a / x a = arcan x π De gäller a den generaliserade sadardinegralen då x. 5 dx är konvergen precis om a >. xa Av, 5 och e jämförelsekrierium för posiiva generaliserade inegraler följer a 6 arcan x x a dx är konvergen precis om a >. Resulaen och 6 visar a de båda inegralerna ill höger i båda är konvergena precis om < a <. Den givna generaliserade inegralen är därför konvergen precis om < a <.. Sä z = e iθ. Tillsammans med Eulers formel för cosinusfunkionen ger de a cos θ = e iθ + e iθ = z + och cos nθ = e inθ + e inθ = z Vi har också a dz dθ = ieiθ = iz, som ger dθ = iz dz z n + z n. Vidare övergår inervalle [, π[ genom sambande z = e iθ i den angivna kurvan i de komplexa alplane. Följakligen har vi a π cos θ n dθ = z + n z iz dz = i z + n n z n+ dz 5

6 och π cos nθ 5 + cos θ dθ = 5 + z n + z n z + z iz dz = i z n + z n 5 z + z + dz = i z n + z n z + dz = i z n z + z + dz i z + z n z + dz. z + De angivna likheerna för de givna rigonomeriska inegralern är därmed visade. Vi beräknar nu de givna rigonomeriska inegralerna genom a använda dessa likheer. Sä Då gäller allså a π fz = z + n z n+, gz = cos θ n dθ = i n fz dz z + och och hz = z + z n z +. z + z n π cos nθ 5 + cos θ dθ = i gz dz i hz dz. Kurvan i de komplexa alplane är cirkeln z = e varv mours. Nämnaren i fz, polnome z n+, har enda nollsälle innanför. Nämnaren i gz, polnome z + z +, har nollsälle innanför och nollsälle uanför. Nämnaren i hz, polnome z n z + z +, har nollsällena och innanför och nollsälle uanför. Enlig sas om analiska funkioner gäller därför a 8 fz dz = πi Res fz,, gz dz = πi Res gz, hz dz = πi Res hz, + Res hz,. Enlig e resula för beräkning av residvärden gäller följande. Lå c C, lå r vara e helal, och lå uz vara analisk i en omgivning av punken c. Då gäller a Res z c r uz, c = r! ur c. Med hjälp av dea residberäkningsresula får vi a z + n 9 Res fz, = Res z n+, = D n z + n z= n! och Res Residsumman = D n z n n! n z n n z= = n n... n + z n n n... n! = n n... n! gz, z n = Res z +, z + n = n = zn Res hz, + Res hz, n. n z + z= och n n z= = n n. 6

7 kan också beräknas genom a illämpa samma residberäkningsresula på var och en av de båda ermerna i residsumman. Den försa ermen i residsumman är dock därvid lie arbesam a beräkna. Enklare är isälle a förs a använda summaresidformeln för raionella funkioner. För den raionella funkionen hz = z n z + z + ger summaresidformeln a Res hz, + Res hz, + Res hz, = och allså har vi a Res hz, + Res hz, = Res hz,. Residvärde Res hz, kan enkel beräknas med residberäkningsresulae ovan. Vi får a Res hz, + Res hz, = Res hz, = Res z n z +, = z + z n z + = n z= n. Av, 8, 9, och följer a och a π π cos θ n dθ = i πi n n = π n n n n cos nθ 5 + cos θ dθ = i πi n n i πi n n = π n n. 5. Sä x P x,, z = x + z 6 +, Qx,, z = x + z 9 x + z 6 +, Rx,, z = z x + z 6 + och Fx,, z = P x,, z, Qx,, z, Rx,, z för x,, z D. Den givna kurvinegralen är då kurvinegralen F dr för kurvor i D. Område D = {x,, z R x,, z,, } är en öppen enkel sammanhängande delmängd av R och F C D. Kurvinegralen F dr är därför oberoende av vägen för kurvor i D om och endas om F = i D. Med de införda beeckningarna har vi a F = D, D, D P, Q, R = R Q, R P, Q P, Derivering ger a R Q = 9 zx + z 6 + z x + z 6 + z9 x + z 6 + x + z 9 6x + z 5 z x + z 6 + =, R P = z 6x + z 5 x x + z x 6x + z 5 z x + z 6 + = och Q P = x9 x + z 6 + x + z 9 6x + z 5 x x + z x9 x + z 6 + x x + z 6 + =

8 i D. Således är F = i D. Kurvinegralen F dr är allså oberoende av vägen för kurvor i D. Kurvinegralen har allså samma värde för alla kurvor i D som har samma sar- och slupunk. Vi beräknar nu värde av kurvinegralen F dr då är någon kurva i D från punken,, ill punken,,. Vilken sådan kurva vi väljer är likgilig på grund av oberoende av vägen. Kurvan = där kurvan är är räa linjen från punken,, ill punken,,, kurvan är är räa linjen från punken,, ill punken,, och kurvan är är räa linjen från punken,, ill punken,,, är en kurva i D från punken,, ill punken,,. En paramerisering av är x =, =, z =, ; en paramerisering av är x =, =, z =, ; och en paramerisering av är x =, =, z =,. Definiionen av ger med hjälp av angivna parameriseringar a F dr + F dr + F dr = + + d + 9 d d =. + De re inegralerna på sisa raden ovan är ju alla noll efersom a f d = a > om funkionen a f är en udda funkion i inervalle [a, a]. Mängden M är mängden av alla kurvor i D som sarar i en punk i xz-plane plane = och sluar i en punk på -axeln. Vi visar nu a den givna kurvinegralen har samma värde för varje kurva i M och besämmer dea gemensamma värde. Lå punken a,, c vara en godcklig punk i xz-plane i D och lå punken, b, vara en godcklig punk på -axeln i D. Fixera T > godcklig. Vi berakar fallen b > och b < var för sig. Falle b >. Lå Γ vara någon kurva i xz-plane i D från punken a,, c ill punken T,,, lå Γ vara räa linjen från punken T,, ill punken T,,, lå Γ vara räa linjen från punken,, ill punken T,,, och lå Γ vara räa linjen från punken,, ill punken, b,. Observera a Γ ine är en kurva i D om b <. Kurvan Γ = Γ Γ Γ Γ är då en kurva i D från punken a,, c ill punken, b,. Definiionen av Γ illsammans med a Γ... = Γ... ger a F dr + F dr F dr + F dr. Γ Γ Γ Γ Γ Men Γ efersom = på Γ och Fx,, z =, och Γ efersom x = z = på Γ och F,, =, och således har vi a Γ F dr Γ F dr. Γ Tillsammans med parameriseringen x = T, =, z =, av Γ och parameriseringen x =, =, z =, T av Γ ger dea a Γ T 9 T T d d. Falle b <. Dea fall behandlar vi ganska likara med falle b > Lå Γ vara någon kurva i xz-plane i D från punken a,, c ill punken T,,, lå Γ vara räa linjen från punken T,, ill punken T,,, lå Γ vara räa linjen från punken,, ill punken T,,, och lå Γ vara räa linjen från punken,, ill punken, b,. Observera a Γ ine är en kurva i D om b >. Kurvan Γ = Γ Γ Γ Γ är då en kurva i D från punken a,, c ill punken, b,. Definiionen av Γ illsammans med a Γ... =... för kurvinegraler Γ ger a F dr F dr F dr + F dr. Γ Γ Γ Γ Γ 8

9 Men Γ efersom = på Γ och Fx,, z =, och Γ efersom x = z = på Γ och F,, =, och således har vi a Γ F dr Γ F dr. Γ Tillsammans med parameriseringen x = T, =, z =, av Γ och parameriseringen x =, =, z =, T av Γ ger dea a Γ Men variabelsubsiuionen = u visar a T 9 T d = + T 9 T T d d. T u 9 T du. + u och allså har vi a Γ T 9 T T d d. I båda de möjliga fallen b > och b < finns de således en kurva Γ i D från en godcklig punk a,, c i xz-plane i D ill en godcklig punk, b, på -axeln i D så a de för denna kurva Γ i D gäller a Γ T 9 T T d d. Efersom den givna kurvinegralen F dr är oberoende av vägen för kurvor i D och efersom högerlede i är oberoende av a, b och c gäller följakligen a den givna kurvinegralen F dr har samma värde för varje kurva M. Vi får a T 9 T T d + + d för alla M. + I är T > godcklig. Likheen gäller därför för godcklig T >. Vi kan därför låa T i. För godcklig T > har vi a < T 9 T d < + Låer vi T i får vi således a Men T T d =, som då T. T d för alla M. + + d = u 6 + du, som variabelsubsuuionen u = visar. Vi har allså a 6 d för alla M. + Inegralen 6 + d 9

10 kan beräknas med residkalkl. E sä a göra de visas i de avluande exemplen i kompendie Någo om analiska funkioner. Där visas mera allmän a x n + dx = π n sin π n för godcklig helal n. Se kompendie för dealjerna i denna beräkning. Speciell får vi för n = 6 a x 6 + dx = π 6 sin π 6 = π, vilke med ger a π för alla M. 6. Se kurslierauren.. Se kurslierauren.

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000 Lekion, Flervariabelanals den 9 januari..6 Finn hasighe, far och acceleraion vid idpunk av en parikel med lägesvekorn Genom a urcka -koordinaen i ser vi a kurvan är funkionsgrafen ill. Beskriv också parikelns

Läs mer

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210. Tenamensskrivning i Maemaik IV, 5B Tisdagen den 4 november 6, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges

Läs mer

Om de trigonometriska funktionerna

Om de trigonometriska funktionerna Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com Om de rigonomeriska funkionerna () Inrodukion I de här kapile ska vi

Läs mer

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation 1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara

Läs mer

{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1

{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1 ösningsförslag ill enamensskrivning i SF1633 Differenialekvaioner I Tisdagen den 7 maj 14, kl 8-13 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är

Läs mer

KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))

KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t)) Kurvor på parameerform KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3 P=xyz T=x y z r=xyz En kurva i R 3 anges ofas på parameerform med re skalära ekvaioner: x = f 1, y = f, z = f 3, D R * För varje får vi en

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

1. Geometriskt om grafer

1. Geometriskt om grafer Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den

Läs mer

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion)

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion) Insiuionen för maemaik KTH För Kursen 5B09/5B5: Lien formelsamling Speciella funkioner Språngfunkionen (Heavisides funkion) u() =, om > 0, 0, om < 0. Signumfunkionen sign =, om > 0,, om < 0. Rekangelfunkionen

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H6 MATEMATIK Chalmers Repeiionsuppgifer Inegraler och illämpningar av inegraler. (a) Beräkna Avgör om den generaliserade inegralen arcan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergen eller divergen. Beräkna den

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Egenvärden och egenvekorer Definiion Lå F vara en linjär avbildning. Om ale λ och vekorn x uppfyller F (x) =λx, x 6= kallar vi x egenvekor och λ egenvärde ill F. Obs. Likheen är möjlig endas när F är en

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B1862 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 FREDAGEN DEN 1 JUNI 21 KL 8. 13. Examinaor : Lars Hols,

Läs mer

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv

Läs mer

Funktionen som inte är en funktion

Funktionen som inte är en funktion Funkionen som ine är en funkion Impuls En kraf f som under e viss idsinervall T verkar på en s.k. punkmassa, säer punkmassan i rörelse om den var i vila innan. Och om punkmassan är i rörelse när krafen

Läs mer

3. Analytiska funktioner.

3. Analytiska funktioner. 33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Tentan , lösningar

Tentan , lösningar UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B86 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 LÖRDAGEN DEN 5 AUGUSTI KL 8. 3. Examinaor : Lars Hols, el.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

Harmoniska funktioner

Harmoniska funktioner Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Om exponentialfunktioner och logaritmer Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens

Läs mer

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016 Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola TENTAMEN I HÅFASTHETSÄA F MHA 08 6 AI 06 ösningar Tid och plas: 8.30.30 i M huse. ärare besöker salen 9.30 sam.00 Hjälpmedel:. ärobok i hållfasheslära:

Läs mer

SIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1

SIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET KLASSIFICERING AV SIGNALER Fem egenskaper a beaka vid klassificering. Är signalen idskoninuerlig eller idsdiskre? jämn och/eller udda? periodisk

Läs mer

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll? Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Saisiska cenralbyrån 2010 Balance of Paymens. Third quarer 2010 Saisics Sweden 2010 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic Tenamen TEN, HF, 6 aug 6 Maemaisk saisik Kurskod HF Skrivid: 8:5-:5 Lärare och examinaor : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifoga formelhäfe ("Formler och abeller i saisik ") och miniräknare av vilken y som

Läs mer

Skillnaden mellan KPI och KPIX

Skillnaden mellan KPI och KPIX Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas

Läs mer

2 Laboration 2. Positionsmätning

2 Laboration 2. Positionsmätning 2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni

Läs mer

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Second quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic KONTROLLSKRIVNING Version A Kurs: HF Maemaisk saisik Lärare: Armin Halilovic Daum: 7 maj 6 Skrivid: 8:-: Tillåna hjälmedel: Miniräknare av vilken y som hels och formelblad som delas u i salen) Förbjudna

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y), Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

23 Konservativa fält i R 3 och rotation Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast

Läs mer

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Saisiska cenralbyrån 213 Balance of Paymens. Fourh quarer 212 Saisics Sweden 213 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

IE1206 Inbyggd Elektronik

IE1206 Inbyggd Elektronik E06 nbyggd Elekronik F F3 F4 F Ö Ö P-block Dokumenaion, Seriecom Pulsgivare,, R, P, serie och parallell KK LAB Pulsgivare, Menyprogram Sar för programmeringsgruppuppgif Kirchoffs lagar Nodanalys Tvåpolsasen

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k) TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns

Läs mer

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Saisiska cenralbyrån 2008 Balance of Paymens. Third quarer 2008 Saisics Sweden 2008 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A

Läs mer

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet Modeller och projekioner för dödlighesinensie en anpassning ill svensk populaionsdaa 1970- Jörgen Olsén juli 005 Presenerad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen den 1 sepember 005 Modeller

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

UNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1.

UNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjär hölje Definiion. (LINJÄR KOMBINATION Lå V ara e ekorrm. En ekor w är linjär kombinaion a,,, nn om de finn kalärer (al,,, nn å a ww nn nn Eempel.

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Laboration 3: Växelström och komponenter

Laboration 3: Växelström och komponenter TSTE20 Elekronik Laboraion 3: Växelsröm och komponener v0.2 Ken Palmkvis, ISY, LiU Laboraner Namn Personnummer Godkänd 1 Översik I denna labb kommer ni undersöka beeende när växelspänningar av olika frekvens

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

Numerisk analysmetod för oddskvot i en stratifierad modell

Numerisk analysmetod för oddskvot i en stratifierad modell U.U.D.M. Projec Repor 25:2 Numerisk analysmeod för oddskvo i en sraifierad modell Mikael Jedersröm Examensarbee i maemaik, 3 hp Handledare och examinaor: Ingemar Kaj Maj 25 Deparmen of Mahemaics Uppsala

Läs mer

Fouriermetoder för VT2008

Fouriermetoder för VT2008 Insiuionen för maemaik KTH Fouriermeoder för T VT008 Eike Peermann Innehåll. Inledning.... Fourierserier och -inegraler inom signaleorin. Komplexa fourierserier.... Lie om fel...6.3 Om orogonalie. Parsevals

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 onsdag 7 januari 2015, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 onsdag 7 januari 2015, kl Tenamen i Maemaik, HF9 onsdag 7 januai, kl.. Hjälpmedel: Endas fomelblad miniäknae ä ine illåen) Fö godkän kävs poäng av möjliga poäng begsskala ä,,,d,e,f,f). Den som uppnå 9 poäng få bege F och ha ä a

Läs mer

TISDAGEN DEN 20 AUGUSTI 2013, KL 8-12. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9

TISDAGEN DEN 20 AUGUSTI 2013, KL 8-12. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9 ekniska högskolan vid Li Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam EAME I PPE08 PROKIOSEKOOMI för M ISAGE E 20 AGSI 203, KL 8-2 Sal: ER Provkod: E2 Anal uppgifer:

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

FAQ. frequently asked questions

FAQ. frequently asked questions FAQ frequenly asked quesions På de följande sidorna har jag samla ihop några av de frågor jag under årens lopp få av sudener när diverse olika problem uppså i arbee med SPSS. De saisiska problemen har

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

Kolla baksidan på konvolut för checklista Föreläsning 6

Kolla baksidan på konvolut för checklista Föreläsning 6 0/1/014 10:17 Prakisk info, fors. Lös uppgif Fyll i e konvolu (åeranvänds ills uppgifen godkänd) TST0 lekronik Konvolu hias ovanpå den svara brevlåda som svar lämnas i Svar brevlåda placerad i samma korridor

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL!

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL! Exempelena 3 Anvisningar 1. Du måse lämna in skrivningsomslage innan du går (även om de ine innehåller några lösningsförslag). 2. Ange på skrivningsomslage hur många sidor du lämnar in. Om skrivningen

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Fouriermetoder för Signaler och system I

Fouriermetoder för Signaler och system I Insiuionen för maemaik, KTH 05096 Arbesmaerial för 5B09/5:/HT05/E.P. Fouriermeoder för Signaler och sysem I Syfe med de här kursavsnie är a ge en orienering av en del i den maemaiska analysen, de s.k.

Läs mer

Kan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar

Kan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar Kan arbesmarknadens parer minska jämviksarbeslösheen? Teori och modellsimuleringar Göran Hjelm * Working aper No.99, Dec 2006 Ugiven av Konjunkurinsiue Sockholm 2006 * Analysen i denna rappor bygger på

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti.

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti. Tenamen: Miljö och Maemaisk Modellering MVE345) för TM Åk 3, VÖ3 klockan 4.00 den 27:e augusi. För uppgifer som kräver en numerisk lösning så skriv ned di svar och hur ni gick ill väga för a lösa uppgifen

Läs mer

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer: Blanchard kapiel 9 Penninmänd, Inflaion och Ssselsänin Daens förelf reläsnin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Kap 9: sid. 2 Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

Signal- och bildbehandling TSBB14

Signal- och bildbehandling TSBB14 Tenamen i Signal- och bildbehandling TSBB14 Tid: 29-6-3 kl. 8-12 Lokal: R41 och U15 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9. och 1.45 el 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-I

Mat Grundkurs i matematik 3-I Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2010 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 1 / 90 G. Gripenberg (Aalto-universitetet)

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2012 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Third quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

n Ekonomiska kommentarer

n Ekonomiska kommentarer n Ekonomiska kommenarer Riksbanken gör löpande prognoser för löneuvecklingen i den svenska ekonomin. Den lönesaisik som används som bas för Riksbankens olika löneprognoser är den månaliga konjunkurlönesaisiken.

Läs mer

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

Föreläsning 3: Fler grafalgoritmer. Kortaste vägar mellan alla noder

Föreläsning 3: Fler grafalgoritmer. Kortaste vägar mellan alla noder Föreläning 3: Fler grafalgorimer Korae vägar mellan alla noder Maximal flöde i graf Bipari machning Korae vägar mellan alla noder Dijkra och Bellman-Ford algorimer beräknar korae avånd från en nod ill

Läs mer

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2 ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns

Läs mer