INTEGRALER AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER. Viktiga trigonometriska formler vid beräkning av integraler: (F1) (F2) (F3)

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "INTEGRALER AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER. Viktiga trigonometriska formler vid beräkning av integraler: (F1) (F2) (F3)"

Lena Månsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 INTEGRALER AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Vikiga rigonomeriska formler vid beräkning av inegraler: ssssss + cccccc = cccccc ssssss = cccccc ssssssssssssss = ssssss cccccc = +cccccc ssssss = cccccc ssssssssssssssss = [ssssss( + yy) + ssssss( yy)] (F6) (F) (F) (F3) (F4) Formeln kan fås genom (F+F)/ (F5) Formeln kan fås genom (F-F)/ ssssssssssssssss = [cccccc( + yy) cccccc( yy)] (F7) cccccccccccccccc = [cccccc( + yy) + cccccc( yy)] (F8) ============================================================ Inegraler ssssss( + bb)dddd och cccccc( + bb)dddd ( 00) beräknas medhjälp av subsiuionen + bb =. Uppgif. Beräkna följande inegraler a) ssssss( + bb)dddd, b) cccccc( + bb)dddd där ( 0) c) ssssss(5 3)dddd d) cccccc(4)dddd e) ssssss()dddd, ( 0) f) cccccc()dddd, ( 0) a) Lösning: ssssss( + bb)dddd = ssssss() dddd = = cccccc( + bb) cccccc() Subsiuion + bb = = dddd dddd = dddd Svar: b) ssssss( + bb) c) = cccccc(5 3) d) ssssss(4) 5 4

2 e) cccccc() f) ssssss() ============================================================ Inegraler ssssss, cccccc, ssssss ( + bb)dddd och cccccc ( + bb)dddd ( 00) beräknas med hjälp av formlerna F4 och F5: cccccc = +cccccc och ssiinn = cccccc. Uppgif. Beräkna följande inegraler a) ssssss b) cccccc, c) ssssss (3 + 4)dddd d) cccccc (3 + 5)dddd a) Lösning: ssssss = cccccc dddd = ssssss ( ) = ssssss 4 b) Svar: + ssssss 4 c) Svar: ssssss(6 + 8) d) Lösning: cccccc (3 + 5)dddd = +cccccc[ (3+5)] = ssssss(6+0) + ================== dddd = +cccccc[6+0] dddd = ssssss(6+0) ( + ) 6 Uppgif 3. Beräkna följande inegraler med hjälp av formlerna F6-F8 a) ssssss(5)cccccc(3)dddd b) cccccc(3)cccccc()dddd a) Lösning: ssssss(5)cccccc(3)dddd = [ssssss(8) + ssssss()]dddd ] = cccccc(8) [ 8 b) Svar: ssssss(5) 5 cccccc() ] = cccccc(8) cccccc() ssssnn()

3 ================== Uppgif 4. Beräkna följande inegraler a) ()dddd b) cccccc()dddd a) Lösning: ()dddd = ssssss() cccccccc dddd = dddd = llll = llll cccccccc Subs: cccccccc = ssssssssssss = dddd b) Svar: llll ssssssss ==================================================== Uppgif 5. Använd lämpliga subsiuioner för a beräkna följande inegraler a) (4 4)dddd b) ee cccccc(ee + 3)dddd c) ssiiii(5+llllll) dddd d) 9 cccccc(4 0 )dddd Svar: a) Subs: 4 4 = Svar: cccccc(4 4) 8 b) Subs: ee + 3 Svar: ssssss(ee + 3) c) Subs: 5 + llllll = Svar: cccccc(5 + llllll) d) Subs: 4 0 = Svar: ssssss(40 ) 40 ======================================================= Inegraler av yp ff(ssssssss) cccccccc dddd eller ff(cccccc) ssssssss dddd, beräknas med hjälp av subsiuionen ssssssss = respekive cccccccc = Uppgif 6. Använd lämpliga subsiuioner för a beräkna följande inegraler a) (3 + ssssssss + ssssss + ssssss 0 4ee ssssssss )ccccccccdddd b) ( cccccccc )ssssssssssss c) ssssss5 Svar: a) 3ssssssss + ssssss + ssssss3 3 + ssssss Svar b) 5cccccccc 3llll + cccccccc 4ee ssssssss 3

4 Lösning c) ssssss 5 dddd = ssssss 4 ssssssss dddd = (ssssss ) ssssssss dddd = ( cccccc ) ssssssss dddd = ( ) ( dddd) = ( + 4 ) dddd = Subsiuion cccccccc = ssssssss dddd = dddd = = cccccccc + cccccc3 3 cccccc5 5 =================================== Inegraler av yp ff() dddd beräknas med hjälp av subsiuionen = = () dddd = + dddd Uppgif 7a. Beräkna följande inegral (cccccccc + )dddd Lösning: (cccccccc + )dddd = ( + )dddd ( + ) + dddd = + llll = llll + dddd = dddd = = = () dddd = + dddd Uppgif 7b. Beräkna följande inegral ( ssssssss cccccccc )3 dddd 4

5 Lösning: ( ssssssss cccccccc )3 dddd = () 3 dddd = 3 ( + 3 dddd = dddd = ( polynomdivision) + )dddd = + ( + )dddd = = = () dddd = + dddd = llll + = ln ( + ) Uppgif 7c. Beräkna följande inegral ( cccccccc ssssssss )3 dddd Lösning: ( cccccccc ssssssss )3 dddd = (cccccccc) 3 dddd = 3 + ( + 3 dddd = dddd = ( polynomdivision) + + )dddd = ( + + )dddd = cccccccc = = cccccc() dddd = + dddd = + llll + = cccccc + ln( + cccccc ) Vi kan om vi vill ange resula på följande sä: = cccccc + ln + cccccc = cccccc + ln ssssss ssssss = cccccc ln ssssssss ( ) 5

6 Anmärkning. Vi kan också lösa uppgifen med hjälp av meoden som används i uppgif 6: ( cccccc ssssssss )3 dddd = cccccc ssssss 3 cccccccccccc = ssssss ssssss 3 cccccccccccc = sin = cos d =d 3 dddd = ( 3 )dddd = ln = (ssssssss) ln ssssssss = ln ssssssss (**) ssssss Båda svar (*) och (**) är korreka efersom cccccc och ssssss skiljer sig i en konsan. ( Från ssssss + cccccc + genom a dela med ssssss får vi + cccccc = ssssss ). ======================================================= Raionella kombinaioner av funkionerna ssssssss och cccccccc kan inegreras med hjälp av subsiuionen = ssssssss och cccccccc elimineras med hjälp av formlerna = () ssssssss = (F9) dddd = dddd, + + cccccccc = (F0) + Anmärkning: Formlerna (F9) och (F0) kan härleds på följande sä: ssssssss = ssiiiiii cccccccc = cccccccc = ssssss cccccc ssssss +cccccc = cccccc ssssss ssssss +cccccc =[förkorning med cccccc ] = =, + + =[förkorning med cccccc ] = =

7 Uppgif 8. Beräkna följande inegraler a) dddd b) dddd ssssssss cccccccc c) 3 + sin + Lösning a) Meod. 3cos d sin + d = d + = d = + C = an( ) + C Meod. sin sin sin d = d = sin cos d = d = ( ) d = + d = Subsiuionen an( ) =, dvs d = d + Subsiuionen cos = sin d = d, = arcan cos = ( + + ) = + C = + C + cos + Anmärkning: Svare i meod är samma som i meod och kan skrivas på många olika sä: cos = cos + (cos )(cos ) = (cos + )(cos ) (cos ) cos = (cos ) sin = (cos ) cos cos sin cos = = = = = = sin sin sin sin sin cos sin = cos = an( ) Varje av ovansående uryck (+C) är korrek resula ill d. sin 7

8 Lösning c) 3 + sin + 3cos = + d d = d = d = d = C = 3 + an + C Svar: a) an( ) + C alernaiva svar ill a: cos + C cos + eller cos + C sin b) llll + llll, alernaiv svar ill b) + sin + C cos c) 3 + an + C 8

Relevanta dokument

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär differenialekvaion (DE) av försa ordningen är en DE som kan skrivas på följande form ( = Q( () Formen kallas sandard form eller normaliserad form