Om de trigonometriska funktionerna

Transkript

1 Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH

2 Om de rigonomeriska funkionerna () Inrodukion I de här kapile ska vi diskuera de rigonomeriska funkionerna. Vi ska definiera dem, härleda deras derivaor och inverser, sam härleda några av de vikigase sambanden mellan dem. Vi definierar sinus och cosinus som en paramerisering av enhescirkeln, och börjar därför med a kor diskuera vad som menas med en paramerisering av en plan kurva, som ine nödvändigvis är en funkionsgraf. Vi för sedan diskussionen huvudsakligen geomerisk och moiverar.ex. derivaorna av sinus och cosinus geomerisk från enhescirkelns egenskap a dess angen i en punk är vinkelrä mo dess radie. Därefer diskuerar vi de inversa rigonomeriska funkionerna på samma sä som vi diskuera inverser i idigare kapiel, vilke inkluderar härledningen av dessas derivaor. Sluligen härleds och diskueras några av de vikigase formlerna för de rigonomeriska funkionerna. Om plana kurvor och paramerisering av sådana Lå x() och y() vara vå deriverbara funkioner av en variabel. Funkionen c() = (x(), y()) avbildar då e reell al på e alpar, och sägs då vara en vekorvärd funkion. Om vi riar u punkerna c() i e koordinasysem i e plan får vi en kurva γ = {c(); a b}. Kurvan γ är allså värdemängden ill den vekorvärda funkionen c(). Om vi ugår ifrån punkmängden γ i sälle för funkionen c(), så kallar man c(), a b, en paramerisering av kurvan γ. Vi säger a γ är e kurvsycke om de finns en (deriverbar) paramerisering c() sådan a a) Både x () och y () är koninuerliga funkioner [] på hela inervalle a b. b) Ingen punk på γ får svara mo mer än en -punk (funkionen ska vara injekiv) c) De ska gälla a c () (0, 0) (d.v.s. x () och y () kan ine båda vara noll i samma punk ) då a b. Tänk på e kurvsycke γ som en väg som vi kör en bil på och som id. Parameriseringen c() alar då om var på vägen vi är vid olika idpunker. Den beskriver därför hur vi kör, vilke innefaar en beskrivning av hur vägen ser u. Var vi är vid en viss idpunk beror av hur for/långsam/ryckig... vi kör. Varje körsä svarar mo en paramerisering, och vi inser därför a varje kurvsycke kan ha många parameriseringar. De enda villkore vi har på parameriseringen är a vi aldrig sannar bilen, allså c () (0, 0) för alla. Noera a vi kan köra längs vägen i vå rikningar. A besämma rikningen vi genomlöper γ i beyder a vi ger γ en orienering, och vi praar då om en orienerad kurva.

3 Om de rigonomeriska funkionerna () Exempel Kurvsycke y = x, x kan parameriseras med vilken som hels av funkionerna c() = (, ),, c() = (, ), 4. Dessa är naurligvis bara vå exempel, de finns oändlig många fler. Anmärkning Olika parameriseringar skiljer sig egenligen endas å på hur vi mäer iden, dvs om c() och C(s) är vå olika parameriseringar med olika paramerar s och, så gäller a de finns en funkion s = φ() sådan a c() = C(φ()). Här måse φ > 0 om kurvan ska genomlöpas i samma rikning med de vå parameriseringarna. Tangenen ill kurvsycke γ i en punk (x, y) får vi nu på följande sä. Förs ar vi reda på vilke parameervärde som ger punken: c() = (x, y). Sedan drar vi den räa linje som går genom de vå punkerna c() och c( + h), där h är e lie al. Om vi låer h 0 så kommer denna räa linje a övergå i de som är angenen ill γ i punken (x, y). Derivaan av c () = (x (), y ()) fås som gränsvärde c c( + h) c() () = lim. h 0 h y c() x c( + h) y c () c(+h) c() h Här kan urycke c( + h) c() olkas som x förflyningen från c() ill c( + h), en förflyning vars längd vi kan räkna u med Pyhagoras sas: om c( + h) c() = ( x, y), så gäller a längden är x + y. Om vi bara änker på själva förflyningen, oberoende av var den sarar, så kallar vi en sådan förflyning en vekor och vi riar den som en pil. Längden av denna vekor är förflyningens (rälinjiga) sorlek. Dividerar vi förflyningen med h får vi en sorhe som mäer sräcka per idsenhe, och vars längd ger oss genomsnishasigheen när vi rör oss från c() ill c(+h). Gränsvärde c () kallas därför (den momenana) hasigheen vid iden och dess längd, c () = x () + y (), kallar vi faren vid iden. Hasigheen anger föruom faren också den rikning i vilken en ändring på kurvan sker. Rikningen i en punk på kurvan beror ine av vilken paramerisering vi väljer, medan faren, som är de hasighesmäaren visar, gör de. Derivaan av hasigheen, c () = (x (), y ()), kallar vi för acceleraionen. Härigenom blir c () en vekor som beskriver rikningen i vilken rörelsen går och den anger därför angenens rikning.

4 Om de rigonomeriska funkionerna 3 () Exempel Om f är deriverbar, så gäller a grafen ill f på inervalle [a, b], allså mängden γ = {(x, f(x)), a x b}, är e kurvsycke. Tangenens rikningsvekor i punken (x, f(x)) är (, f (x)), vilke är en vekor som har rikningskoefficien f (x). Precis som idigare. Allmän se är en kurva någo som besår av ändlig många kurvsycken, möjligen ihopsaa i ändpunker. Mer precis, om vi har e anal kurvsycken γ i med ändpunker a i, b i, i =,..., n, vilka hänger ihop så a b = a, b = a 3,..., b n = a n, och a de olika γ i :na ine skär varandra uom evenuell i gemensamma ändpunker, så bildar de illsammans en syckvis C kurva. Om dessuom b n = a sägs γ vara sluen. a γ γ 4 γ γ 3 b 4 b = a 3 b = a = b 3 = a En sluen syckvis C kurva γ sägs vara enkel om, i 4 en uppdelning γ,..., γ n av γ, varje ändpunk på e kurvsycke γ i endas är ändpunk på e anna kurvsycke i uppdelningen. Dea beyder a kurvan γ ine skär över sig själv. Sluligen säger vi a en enkel sluen kurva γ är en C kurva om vå kursycken i en uppdelning av γ som mös i en ändpunk allid har samma angenrikning där. γ 5 Sluen, syckvis C kurva b 4 = a 5 Enkel, sluen, syckvis C kurva b = a 3 γ 3 Enkel, sluen, C kurva b = a 3 γ 3 γ 4 b = a 3 a = b 3 γ a = b 5 γ γ γ 3 a = b 3 γ γ γ b = a b = a = b 3 = a 4 b = a Exempel 3 Enhescirkeln är inge kurvsycke, men däremo en C -kurva. Vi kan nämligen änka oss den sammansa av vå halvcirklar, vilka båda är kurvsycken. Enhescirkeln är uppenbarligen en sluen kurva. Sluna kurvor är associerade med periodiska funkioner enlig följande definiion. Definiion En funkion f() (som kan vara vekorvärd) sägs vara periodisk om de finns e al T > 0 sådan a f( + T ) = f() för alla. De minsa sådan T som duger (om de finns någo) kallas funkionens period.

5 Om de rigonomeriska funkionerna 4 () En sluen kurva har en paramerisering c() som är en periodisk C funkion. Anmärkning På en syckvis C -kurva kan vi mäa båglängden []. Om vi ar båglängden som parameer, mäer vi sräcka och id i samma enhe, och då måse faren vara e överall! Dea gör båglängden ill en bekväm paramerisering i många sammanhang, bl.a. för enhescirkeln i näsa avsni. De rigonomeriska funkionerna och deras derivaor ge- Vi definierar de rigonomeriska funkionerna [3] nom a c() = (cos, sin ) ska vara en paramerisering av enhescirkeln, där är mosvarande cenrala vinkel i mours rikning (se figuren ill höger). Här ska vinkeln mäas i radianer. Noera a den rigonomeriska ean cos + sin = y sin (cos, sin ) cos x är en direk konsekvens av definiionen. Dea därför a enhescirkeln kan beskrivas av ekvaionen x +y =. Här gäller a om vi sarar.ex. i (, 0) vid iden = 0, så kommer vi, när vi ökar, a gå run cirkeln varv efer varv mours. E varv svarar mo π radianer, så de följer a de rigonomeriska funkionerna blir π-periodiska funkioner. Speciell ser vi a c(), 0 π blir en paramerisering av enhescirkeln [4] Om vi följer x-koordinaen medan punken roerar på enhescirkeln, så får vi den blå cosinus-grafen i figuren nedan. Den röda grafen är mosvarande y-koordina, som allså ger grafen för sinusfunkionen Noera a vi ur definiionerna ser a cos( + π) = cos() och sin( + π) = sin(). Denna observaion behöver vi snar. Vi ska nu besämma derivaan av c(), allså derivaorna av cosinus och sinus-funkionerna. Vi ska göra de ren geomerisk och ugår då ifrån a dessa funkioner måse vara deriverbara. Dea därför a cirkeln har en angen i varje punk. För a härleda derivaan börjar vi med a noera a vinkeln mä i radianer beyder längden av den cirkelbåge som vinkeln äcker. Efersom vinkeln är lika med båglängden på enhescirkel, och vinkeln fungerar som id, så kommer faren vi genomlöper cirkeln med, som vi nämnde ovan, a vara e, d.v.s. c () = för alla.

6 Om de rigonomeriska funkionerna 5 () Vad gäller rikningen av c () så är den samma som angenens rikning. Men angenen ill en cirkel är vinkelrä mo dess radie, vilke beyder (se figuren) a rikningen av angenen i punken (x, y) ges av vekorn ( y, x). Med andra ord, om c() = (x, y), så gäller a c () = ( y, x). [5]. Men c () = (x (), y ()), så dea beyder a ( y, x) c () y sin c() = (x, y) cos x x () = y(), y () = x() vilke uskrive blir a cos () = sin, sin () = cos. En konsekvens av dessa formler är följande gränsvärden cos h lim h 0 h = 0, lim h 0 sin h h =, efersom vänserleden är derivaorna av cosinus respekive sinus i origo. Sluligen har vi angens-funkionen som definieras av an = sin cos. Här har vi a an(+π) = an(), d.v.s. angensfunkionen är π-periodisk. Den är ine definierad då cos = 0, allså då = π + kπ där k är e godycklig helal, och går från ill + i varje inervall ( π + kπ, π + kπ). Dess derivaa besämmer vi genom a derivera kvoen och får då a an () = cos = + an Urycken ill höger är samma p.g.a. den rigonomeriska ean. Man behöver kunna bägge urycken! Exempel 4 För 0 < x < π x < sin x < x. π gäller a För a se de berakar vi funkionen om vilken vi ve a f (x) = f(x) = sin x x x cos x sin x x < 0,

7 Om de rigonomeriska funkionerna 6 () efersom x < an x. [6] Efersom f(x) då x 0, ser vi därför a f är en avagande funkion på inervalle [0, π] från ill f(π) =. De följer a π π < sin x x < då 0 < x < π. Inverserna: arcusfunkionerna Sinus-funkionen har ingen invers. Ekvaionen sin x = y har nämligen oändlig många lösningar om y, medan den saknar lösningar då y >. Däremo kan vi välja u e inervall på vilke funkionen går sräng monoon mellan värdena och och använda den delen av funkionen för a definiera en invers. Av radiion väljer vi inervalle [ π, π ], där sinus-funkionen är sräng växande från ill. Den funkionen, allså f(x) = sin x, π x π, har en invers som kallas arcus sinus och beecknas arcsin. Vi har därför a x = arcsin y sin x = y och π x π. För a konsruera dess graf speglar vi f i y = x, såsom är illusrera ovan. Derivaan av arcsin x besämmer vi genom a vi använder formeln för derivaan av en invers funkion: arcsin (x) = sin (y) = där x = sin y. cos y För a urycka högerlede i x använder vi a cos y = sin y = x. Noera a efersom y ligger i inervalle [ π, π ] så är cos y 0. För a vi ine ska dividera med noll krävs här a y ±π/, d.v.s. 0 < x <. Vi har därför a arcsin (x) =, < x <. x När de gäller inversen ill cosinus måse vi använda e anna inervall än för sinus, efersom cosinus ine är injekiv på de inervalle. Cosinusfunkion är däremo sräng avagande på inervalle [0, π], där den går från ill, och vi definierar inversen arccos som invers ill den funkion. Med andra ord x = arccos y cos x = y och 0 x π. Hur dess graf ser u ser vi i figuren ovan, och upprepar vi argumene ovan för hur man beräknar inversens derivaa, ser vi a arccos (x) = x 3 3, < x <.

8 Om de rigonomeriska funkionerna 7 () Sluligen vill vi ha en invers funkion ill angensfunkionen. Denna är monoon i inervalle ( π, π ), där den växer från ill. Den har därför en invers som är definierad för alla reella al och är sådan a x = arcan y an x = y och π < x < π. Dess graf ser u som som i figuren ill höger och blir en sräng växande funkion som har y = π som asympo i och y = π som asympo i. För a beräkna dess derivaa använder vi a an (x) = + an x, och får då liksom ovan a arcan (x) = + x. Diverse rigonomeriska samband De finns en mängd samband mellan de rigonomeriska funkionerna. Följande samband fås direk ur definiionen [7] och förusäs välkända: () cos x = sin( π x), sin x = cos(π x), cos(π +x) = sin x, sin(π +x) = cos x. En annan omedelbar observaion är a sinus är en udda, och cosinus en jämn, funkion enlig följande definiion. Definiion En funkion f sägs vara jämn om de gäller a f( x) = f(x) för alla x. Den sägs vara udda om de gäller a f( x) = f(x) för alla x. Anmärkning A en funkion är jämn beyder a dess graf är desamma som dess spegelbild i y-axeln. På samma sä är en udda funkions graf desamma som spegelbild i origo. Egenligen borde de hea jämn/udda m.a.p. 0. Vi kan ibland vilja säga a en funkion är jämn/udda m.a.p. a. A en funkion är jämn med avseende på a beyder då a dess graf är lika med sin spegelbild i linjen x = a, och en funkion är udda m.a.p. a om dess graf är spegelbilden av sig själv i punken (a, 0). Den försa av formlerna i () är ekvivalen med påsående a () arcsin x + arccos x = π, x.

9 Om de rigonomeriska funkionerna 8 () För 0 < x < framgår dea av figuren [8] ill höger där vi har a α + β = π och α = arccos x, β = arcsin x. Vidare har vi a arcsin( x) = arcsin x och arccos( x) = π arccos(x), så vi får med 0 < x < a α x β arcsin( x) + arccos( x) = π (arcsin x + arccos x) = π. De följer a formeln () är sann då x (fallen x = 0, ± konrolleras lä separa). E anna vikig samband är Sas : Addiionsformeln för sinusfunkionen (3) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Bevis. Fixera e y och skriv f(x) = sin(x + y) (sin x cos y + cos x sin y). Då gäller a f (x) = cos(x + y) (cos x cos y sin x sin y), och allså a f(0) = sin y sin y, f (0) = cos y cos y = 0. Vidare gäller a f (x) = sin(x + y) ( sin x cos y cos x sin y) = f(x), så om vi inför funkionen h(x) = f(x) + f (x) så gäller a h (x) = (f(x) + f (x))f (x) = 0 för alla x. De beyder a h(x) är en konsan och efersom h(0) = = 0 är denna konsan 0. Ur de följer sedan a f(x) = 0 för alla x, vilke visar sasen. När vi visa addiionsformeln (3) får vi en mosvarande formel för cosinus genom a derivera m.a.p. x, [9], nämligen (4) cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. Addiionsformlerna för sinus och cosinus är vikiga i sig, men e specialfall är ännu vikigare. Om vi ar x = y får vi a formlerna för dubbla vinkeln sin(x) = sin x cos x, cos(x) = cos x sin x = cos x = sin x. Från dessa följer sedan a an(x) = an x an x.

10 Om de rigonomeriska funkionerna 9 () Ur formeln för dubbla vinkeln för cosinus kan vi läsa u a cos x = + cos(x), och sin x = cos(x), vå formler som är användbara.ex. när man ska hia primiiva funkioner ill cos x eller sin x. Dessa formler urycks ofa som formlerna för halva vinkeln: cos x = + cos x En annan illämpning av addiionsformeln för sinusfunkionen är den s.k. hjälpvinkelsasen som säger a de ill varje par a, b av al finns e al A 0 och en vinkel φ sådana a, och sin x = cos x. A sin φ (a, b) a sin x + b cos x = A sin(x + φ). A och φ besäms på följande sä: ria upp punken (a, b) i plane. Lå A = a + b vara dess avsånd ill origo och φ den vinkel som linjen från origo ill (a, b) bildar med posiiva x-axeln. Då gäller a A så vi har a a = A cos φ, b = A sin φ, φ A cos φ a sin x + b cos x = A(sin x cos φ + cos x sin φ) = A sin(x + φ). Man kallar A för funkionens ampliud och φ kallas för dess fasförskjuningen. Dessa ermer kommer ifrån illämpningar av sinus och cosinus för vågrörelser. Vinkeln φ måse ofas anges i form av någon av arcusfunkionerna. Vi måse då änka på dessa funkioners värdemängd. Exempel 5 Punken ( 4, 3) har en vinkel som kan anges aningen som φ = arcsin( 3) eller som φ = arccos( 4 ). Dea därför a den ligger i försa kvadranen. Punken 5 ( 4, 3 ) ligger däremo i andra kvadranen så mosvarande vinkel kan därför ine 5 5 anges med hjälp av arcsin-funkionen. Däremo kan den anges som φ = arccos( 4). 5 Men vi kan också skriva den som φ = π arcsin 3. 5 För a ange vinkeln φ används ofa arcangensfunkionen, som är lie läare a använda efersom angens är π-periodisk. Hur man sämmer e piano Som avsluning ska vi vända på addiionsformlerna för sinus och cosinus för a få några andra rigonomeriska idenieer som är vikiga i illämpningarna. Adderar vi formlerna sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y.

11 Om de rigonomeriska funkionerna 0 () får vi a och adderar vi formlerna får vi sin(x + y) + sin(x y) = sin x cos y. cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y cos(x + y) + cos(x y) = cos x cos y. Dessa formler användes under några decennier på 500-ale ill någo så oväna som a muliplicera sora al. En av dem som gjorde så var den danske asronomen Tycho Brahe på ön Ven i Öresund. Lå oss illusrera med e enkel exempel. Exempel 6 Vi ill muliplicera 74 alen och 35. De försa vi gör då är a skriva = Sedan slår vi i en abell upp vilka vinklar θ och θ som svarar mo de vå försa fakorerna, d.v.s löser ekvaionerna cos θ = 0.74 och cos θ = Tabellerna på den iden gav resula i grader, minuer och sekunder, men om vi arbear med radianer ska vi få a (med fyra decimaler) θ =.3959 och θ =.3. Sedan beräknar vi θ + θ =.609 och θ θ = och mosvarande cosinus-värden: cos(.609) = och cos(0.870) = Säer vi nu in i formeln ovan får vi a = 0.5( ) = Muliplicerar vi med 0 5 får vi a = 609, vilke är näsan rä, fele beror på a vi arbea med avrundade värden på de rigonomeriska funkionerna. Anmärkning Muliplikaion är svår och idsödande, medan addiion är relaiv enkel. De var därför man kom på a unyja de rigonomeriska formlerna på dea sä för a överföra muliplikaion på addiion. Man hade illgång ill omfaande abeller för de rigonomeriska funkionernas värden. Anledningen ill a meoden, som kallas prosaferesis, snabb försvann var a en enklare meod a överföra muliplikaion på addiion dök upp: nämligen logarimen. Yerligare en omskrivning av formlerna ovan, och vi har en varian som är vikig än idag. Om vi skriver { { x + y = α x = α+β x y = β y = α β så får vi formeln sin α + sin β = cos α β sin α + β. E mycke vikigare illämpningsområde för de rigonomeriska funkionerna än rianglar är a de beskriver rena svängningar,.ex. ljud. Funkionen sin ω beskriver en sådan svängning som får en frekvens f som ges av ω = πf.

12 Om de rigonomeriska funkionerna () Om vi på dea sä adderar en on med frekvensen Hz och en med frekvensen 3 Hz så hör [0] vi funkionen sin(4π) + sin(6π) = cos(π) sin(5π). Denna funkion är riad ill höger och represenerar en svängning med frekvensen.5 Hz men med en ampliud som varierar med iden, d.v.s. ljudsyrkan 3 går upp och ner vilke kallas en svävning. Vad dea kan användas ill exemplifieras i näsa exempel. Exempel 7 Slå ner angenen för A (440 Hz) och för B (497 Hz) samidig på e piano. Frekvensen f genererar en svängning cos(πf), och de vi hör är summan av dessa (sä deras ampliud ill e): sin(π440) + sin(π497) = cos(π ) sin(π ). Andra fakorn ger onen Hz medan fakorn cos(57π) fungerar som en idsberoende ampliud (vilke är svävningen). När man sämmer e sränginsrumen juserar man srängen ills svävningen försvinner. Noeringar. D.v.s. från början är de bara definierade i de öppna inervalle (a, b), men vi ska kunna definiera dem i ändpunkerna så a de blir koninuerliga funkioner på de sluna inervalle [a, b]. De beyder a vi får ensidiga derivaor i ändpunkerna.. Se kapile Inegralkalkyl. 3. En kommenar om noaion. Man skriver ofa.ex. cos när man menar cos(). cos är ju namne på funkionen, och den ska beräknas i. Anledningen är oklar: eseiska skäl? Vi kommer under alla omsändigher a växla mellan skrivsäen. 4. Kom dock ihåg a enhescirkeln ine var e kurvsycke, och denna paramerisering är ine injekiv! 5. Vekorer diskueras kor i kapile Om komplexa al och funkioner 6. A x < an x då 0 < x < π/ inses.ex. ur figuren ill höger. Triangeln OAC har en area som är sörre än den gråa cirkelsekorn OAB. Triangelns area är (an x)/ medan cirkelsekorns är x/. 7. Se Arbesblade om rigonomeriska funkioner B 8. E alernaiv sä a visa påsående är a konsaera a funkionen an x f(x) = arcsin x + arccos x har en derivaa som är noll överall. Den är därför en konsan, och genom a säa x = 0 ser vi a konsanen måse vara π/. x 9. Du ska allså beraka y som en konsan och derivera en funkion avo x. A C

13 Om de rigonomeriska funkionerna () 0. Hör är egenligen fel ord, frekvensen är mycke för låg för a vi ska kunna höra den. Men dea är maemaik!