Om de trigonometriska funktionerna

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Om de trigonometriska funktionerna"

Transkript

1 Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH

2 Om de rigonomeriska funkionerna () Inrodukion I de här kapile ska vi diskuera de rigonomeriska funkionerna. Vi ska definiera dem, härleda deras derivaor och inverser, sam härleda några av de vikigase sambanden mellan dem. Vi definierar sinus och cosinus som en paramerisering av enhescirkeln, och börjar därför med a kor diskuera vad som menas med en paramerisering av en plan kurva, som ine nödvändigvis är en funkionsgraf. Vi för sedan diskussionen huvudsakligen geomerisk och moiverar.ex. derivaorna av sinus och cosinus geomerisk från enhescirkelns egenskap a dess angen i en punk är vinkelrä mo dess radie. Därefer diskuerar vi de inversa rigonomeriska funkionerna på samma sä som vi diskuera inverser i idigare kapiel, vilke inkluderar härledningen av dessas derivaor. Sluligen härleds och diskueras några av de vikigase formlerna för de rigonomeriska funkionerna. Om plana kurvor och paramerisering av sådana Lå x() och y() vara vå deriverbara funkioner av en variabel. Funkionen c() = (x(), y()) avbildar då e reell al på e alpar, och sägs då vara en vekorvärd funkion. Om vi riar u punkerna c() i e koordinasysem i e plan får vi en kurva γ = {c(); a b}. Kurvan γ är allså värdemängden ill den vekorvärda funkionen c(). Om vi ugår ifrån punkmängden γ i sälle för funkionen c(), så kallar man c(), a b, en paramerisering av kurvan γ. Vi säger a γ är e kurvsycke om de finns en (deriverbar) paramerisering c() sådan a a) Både x () och y () är koninuerliga funkioner [] på hela inervalle a b. b) Ingen punk på γ får svara mo mer än en -punk (funkionen ska vara injekiv) c) De ska gälla a c () (0, 0) (d.v.s. x () och y () kan ine båda vara noll i samma punk ) då a b. Tänk på e kurvsycke γ som en väg som vi kör en bil på och som id. Parameriseringen c() alar då om var på vägen vi är vid olika idpunker. Den beskriver därför hur vi kör, vilke innefaar en beskrivning av hur vägen ser u. Var vi är vid en viss idpunk beror av hur for/långsam/ryckig... vi kör. Varje körsä svarar mo en paramerisering, och vi inser därför a varje kurvsycke kan ha många parameriseringar. De enda villkore vi har på parameriseringen är a vi aldrig sannar bilen, allså c () (0, 0) för alla. Noera a vi kan köra längs vägen i vå rikningar. A besämma rikningen vi genomlöper γ i beyder a vi ger γ en orienering, och vi praar då om en orienerad kurva.

3 Om de rigonomeriska funkionerna () Exempel Kurvsycke y = x, x kan parameriseras med vilken som hels av funkionerna c() = (, ),, c() = (, ), 4. Dessa är naurligvis bara vå exempel, de finns oändlig många fler. Anmärkning Olika parameriseringar skiljer sig egenligen endas å på hur vi mäer iden, dvs om c() och C(s) är vå olika parameriseringar med olika paramerar s och, så gäller a de finns en funkion s = φ() sådan a c() = C(φ()). Här måse φ > 0 om kurvan ska genomlöpas i samma rikning med de vå parameriseringarna. Tangenen ill kurvsycke γ i en punk (x, y) får vi nu på följande sä. Förs ar vi reda på vilke parameervärde som ger punken: c() = (x, y). Sedan drar vi den räa linje som går genom de vå punkerna c() och c( + h), där h är e lie al. Om vi låer h 0 så kommer denna räa linje a övergå i de som är angenen ill γ i punken (x, y). Derivaan av c () = (x (), y ()) fås som gränsvärde c c( + h) c() () = lim. h 0 h y c() x c( + h) y c () c(+h) c() h Här kan urycke c( + h) c() olkas som x förflyningen från c() ill c( + h), en förflyning vars längd vi kan räkna u med Pyhagoras sas: om c( + h) c() = ( x, y), så gäller a längden är x + y. Om vi bara änker på själva förflyningen, oberoende av var den sarar, så kallar vi en sådan förflyning en vekor och vi riar den som en pil. Längden av denna vekor är förflyningens (rälinjiga) sorlek. Dividerar vi förflyningen med h får vi en sorhe som mäer sräcka per idsenhe, och vars längd ger oss genomsnishasigheen när vi rör oss från c() ill c(+h). Gränsvärde c () kallas därför (den momenana) hasigheen vid iden och dess längd, c () = x () + y (), kallar vi faren vid iden. Hasigheen anger föruom faren också den rikning i vilken en ändring på kurvan sker. Rikningen i en punk på kurvan beror ine av vilken paramerisering vi väljer, medan faren, som är de hasighesmäaren visar, gör de. Derivaan av hasigheen, c () = (x (), y ()), kallar vi för acceleraionen. Härigenom blir c () en vekor som beskriver rikningen i vilken rörelsen går och den anger därför angenens rikning.

4 Om de rigonomeriska funkionerna 3 () Exempel Om f är deriverbar, så gäller a grafen ill f på inervalle [a, b], allså mängden γ = {(x, f(x)), a x b}, är e kurvsycke. Tangenens rikningsvekor i punken (x, f(x)) är (, f (x)), vilke är en vekor som har rikningskoefficien f (x). Precis som idigare. Allmän se är en kurva någo som besår av ändlig många kurvsycken, möjligen ihopsaa i ändpunker. Mer precis, om vi har e anal kurvsycken γ i med ändpunker a i, b i, i =,..., n, vilka hänger ihop så a b = a, b = a 3,..., b n = a n, och a de olika γ i :na ine skär varandra uom evenuell i gemensamma ändpunker, så bildar de illsammans en syckvis C kurva. Om dessuom b n = a sägs γ vara sluen. a γ γ 4 γ γ 3 b 4 b = a 3 b = a = b 3 = a En sluen syckvis C kurva γ sägs vara enkel om, i 4 en uppdelning γ,..., γ n av γ, varje ändpunk på e kurvsycke γ i endas är ändpunk på e anna kurvsycke i uppdelningen. Dea beyder a kurvan γ ine skär över sig själv. Sluligen säger vi a en enkel sluen kurva γ är en C kurva om vå kursycken i en uppdelning av γ som mös i en ändpunk allid har samma angenrikning där. γ 5 Sluen, syckvis C kurva b 4 = a 5 Enkel, sluen, syckvis C kurva b = a 3 γ 3 Enkel, sluen, C kurva b = a 3 γ 3 γ 4 b = a 3 a = b 3 γ a = b 5 γ γ γ 3 a = b 3 γ γ γ b = a b = a = b 3 = a 4 b = a Exempel 3 Enhescirkeln är inge kurvsycke, men däremo en C -kurva. Vi kan nämligen änka oss den sammansa av vå halvcirklar, vilka båda är kurvsycken. Enhescirkeln är uppenbarligen en sluen kurva. Sluna kurvor är associerade med periodiska funkioner enlig följande definiion. Definiion En funkion f() (som kan vara vekorvärd) sägs vara periodisk om de finns e al T > 0 sådan a f( + T ) = f() för alla. De minsa sådan T som duger (om de finns någo) kallas funkionens period.

5 Om de rigonomeriska funkionerna 4 () En sluen kurva har en paramerisering c() som är en periodisk C funkion. Anmärkning På en syckvis C -kurva kan vi mäa båglängden []. Om vi ar båglängden som parameer, mäer vi sräcka och id i samma enhe, och då måse faren vara e överall! Dea gör båglängden ill en bekväm paramerisering i många sammanhang, bl.a. för enhescirkeln i näsa avsni. De rigonomeriska funkionerna och deras derivaor ge- Vi definierar de rigonomeriska funkionerna [3] nom a c() = (cos, sin ) ska vara en paramerisering av enhescirkeln, där är mosvarande cenrala vinkel i mours rikning (se figuren ill höger). Här ska vinkeln mäas i radianer. Noera a den rigonomeriska ean cos + sin = y sin (cos, sin ) cos x är en direk konsekvens av definiionen. Dea därför a enhescirkeln kan beskrivas av ekvaionen x +y =. Här gäller a om vi sarar.ex. i (, 0) vid iden = 0, så kommer vi, när vi ökar, a gå run cirkeln varv efer varv mours. E varv svarar mo π radianer, så de följer a de rigonomeriska funkionerna blir π-periodiska funkioner. Speciell ser vi a c(), 0 π blir en paramerisering av enhescirkeln [4] Om vi följer x-koordinaen medan punken roerar på enhescirkeln, så får vi den blå cosinus-grafen i figuren nedan. Den röda grafen är mosvarande y-koordina, som allså ger grafen för sinusfunkionen Noera a vi ur definiionerna ser a cos( + π) = cos() och sin( + π) = sin(). Denna observaion behöver vi snar. Vi ska nu besämma derivaan av c(), allså derivaorna av cosinus och sinus-funkionerna. Vi ska göra de ren geomerisk och ugår då ifrån a dessa funkioner måse vara deriverbara. Dea därför a cirkeln har en angen i varje punk. För a härleda derivaan börjar vi med a noera a vinkeln mä i radianer beyder längden av den cirkelbåge som vinkeln äcker. Efersom vinkeln är lika med båglängden på enhescirkel, och vinkeln fungerar som id, så kommer faren vi genomlöper cirkeln med, som vi nämnde ovan, a vara e, d.v.s. c () = för alla.

6 Om de rigonomeriska funkionerna 5 () Vad gäller rikningen av c () så är den samma som angenens rikning. Men angenen ill en cirkel är vinkelrä mo dess radie, vilke beyder (se figuren) a rikningen av angenen i punken (x, y) ges av vekorn ( y, x). Med andra ord, om c() = (x, y), så gäller a c () = ( y, x). [5]. Men c () = (x (), y ()), så dea beyder a ( y, x) c () y sin c() = (x, y) cos x x () = y(), y () = x() vilke uskrive blir a cos () = sin, sin () = cos. En konsekvens av dessa formler är följande gränsvärden cos h lim h 0 h = 0, lim h 0 sin h h =, efersom vänserleden är derivaorna av cosinus respekive sinus i origo. Sluligen har vi angens-funkionen som definieras av an = sin cos. Här har vi a an(+π) = an(), d.v.s. angensfunkionen är π-periodisk. Den är ine definierad då cos = 0, allså då = π + kπ där k är e godycklig helal, och går från ill + i varje inervall ( π + kπ, π + kπ). Dess derivaa besämmer vi genom a derivera kvoen och får då a an () = cos = + an Urycken ill höger är samma p.g.a. den rigonomeriska ean. Man behöver kunna bägge urycken! Exempel 4 För 0 < x < π x < sin x < x. π gäller a För a se de berakar vi funkionen om vilken vi ve a f (x) = f(x) = sin x x x cos x sin x x < 0,

7 Om de rigonomeriska funkionerna 6 () efersom x < an x. [6] Efersom f(x) då x 0, ser vi därför a f är en avagande funkion på inervalle [0, π] från ill f(π) =. De följer a π π < sin x x < då 0 < x < π. Inverserna: arcusfunkionerna Sinus-funkionen har ingen invers. Ekvaionen sin x = y har nämligen oändlig många lösningar om y, medan den saknar lösningar då y >. Däremo kan vi välja u e inervall på vilke funkionen går sräng monoon mellan värdena och och använda den delen av funkionen för a definiera en invers. Av radiion väljer vi inervalle [ π, π ], där sinus-funkionen är sräng växande från ill. Den funkionen, allså f(x) = sin x, π x π, har en invers som kallas arcus sinus och beecknas arcsin. Vi har därför a x = arcsin y sin x = y och π x π. För a konsruera dess graf speglar vi f i y = x, såsom är illusrera ovan. Derivaan av arcsin x besämmer vi genom a vi använder formeln för derivaan av en invers funkion: arcsin (x) = sin (y) = där x = sin y. cos y För a urycka högerlede i x använder vi a cos y = sin y = x. Noera a efersom y ligger i inervalle [ π, π ] så är cos y 0. För a vi ine ska dividera med noll krävs här a y ±π/, d.v.s. 0 < x <. Vi har därför a arcsin (x) =, < x <. x När de gäller inversen ill cosinus måse vi använda e anna inervall än för sinus, efersom cosinus ine är injekiv på de inervalle. Cosinusfunkion är däremo sräng avagande på inervalle [0, π], där den går från ill, och vi definierar inversen arccos som invers ill den funkion. Med andra ord x = arccos y cos x = y och 0 x π. Hur dess graf ser u ser vi i figuren ovan, och upprepar vi argumene ovan för hur man beräknar inversens derivaa, ser vi a arccos (x) = x 3 3, < x <.

8 Om de rigonomeriska funkionerna 7 () Sluligen vill vi ha en invers funkion ill angensfunkionen. Denna är monoon i inervalle ( π, π ), där den växer från ill. Den har därför en invers som är definierad för alla reella al och är sådan a x = arcan y an x = y och π < x < π. Dess graf ser u som som i figuren ill höger och blir en sräng växande funkion som har y = π som asympo i och y = π som asympo i. För a beräkna dess derivaa använder vi a an (x) = + an x, och får då liksom ovan a arcan (x) = + x. Diverse rigonomeriska samband De finns en mängd samband mellan de rigonomeriska funkionerna. Följande samband fås direk ur definiionen [7] och förusäs välkända: () cos x = sin( π x), sin x = cos(π x), cos(π +x) = sin x, sin(π +x) = cos x. En annan omedelbar observaion är a sinus är en udda, och cosinus en jämn, funkion enlig följande definiion. Definiion En funkion f sägs vara jämn om de gäller a f( x) = f(x) för alla x. Den sägs vara udda om de gäller a f( x) = f(x) för alla x. Anmärkning A en funkion är jämn beyder a dess graf är desamma som dess spegelbild i y-axeln. På samma sä är en udda funkions graf desamma som spegelbild i origo. Egenligen borde de hea jämn/udda m.a.p. 0. Vi kan ibland vilja säga a en funkion är jämn/udda m.a.p. a. A en funkion är jämn med avseende på a beyder då a dess graf är lika med sin spegelbild i linjen x = a, och en funkion är udda m.a.p. a om dess graf är spegelbilden av sig själv i punken (a, 0). Den försa av formlerna i () är ekvivalen med påsående a () arcsin x + arccos x = π, x.

9 Om de rigonomeriska funkionerna 8 () För 0 < x < framgår dea av figuren [8] ill höger där vi har a α + β = π och α = arccos x, β = arcsin x. Vidare har vi a arcsin( x) = arcsin x och arccos( x) = π arccos(x), så vi får med 0 < x < a α x β arcsin( x) + arccos( x) = π (arcsin x + arccos x) = π. De följer a formeln () är sann då x (fallen x = 0, ± konrolleras lä separa). E anna vikig samband är Sas : Addiionsformeln för sinusfunkionen (3) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Bevis. Fixera e y och skriv f(x) = sin(x + y) (sin x cos y + cos x sin y). Då gäller a f (x) = cos(x + y) (cos x cos y sin x sin y), och allså a f(0) = sin y sin y, f (0) = cos y cos y = 0. Vidare gäller a f (x) = sin(x + y) ( sin x cos y cos x sin y) = f(x), så om vi inför funkionen h(x) = f(x) + f (x) så gäller a h (x) = (f(x) + f (x))f (x) = 0 för alla x. De beyder a h(x) är en konsan och efersom h(0) = = 0 är denna konsan 0. Ur de följer sedan a f(x) = 0 för alla x, vilke visar sasen. När vi visa addiionsformeln (3) får vi en mosvarande formel för cosinus genom a derivera m.a.p. x, [9], nämligen (4) cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. Addiionsformlerna för sinus och cosinus är vikiga i sig, men e specialfall är ännu vikigare. Om vi ar x = y får vi a formlerna för dubbla vinkeln sin(x) = sin x cos x, cos(x) = cos x sin x = cos x = sin x. Från dessa följer sedan a an(x) = an x an x.

10 Om de rigonomeriska funkionerna 9 () Ur formeln för dubbla vinkeln för cosinus kan vi läsa u a cos x = + cos(x), och sin x = cos(x), vå formler som är användbara.ex. när man ska hia primiiva funkioner ill cos x eller sin x. Dessa formler urycks ofa som formlerna för halva vinkeln: cos x = + cos x En annan illämpning av addiionsformeln för sinusfunkionen är den s.k. hjälpvinkelsasen som säger a de ill varje par a, b av al finns e al A 0 och en vinkel φ sådana a, och sin x = cos x. A sin φ (a, b) a sin x + b cos x = A sin(x + φ). A och φ besäms på följande sä: ria upp punken (a, b) i plane. Lå A = a + b vara dess avsånd ill origo och φ den vinkel som linjen från origo ill (a, b) bildar med posiiva x-axeln. Då gäller a A så vi har a a = A cos φ, b = A sin φ, φ A cos φ a sin x + b cos x = A(sin x cos φ + cos x sin φ) = A sin(x + φ). Man kallar A för funkionens ampliud och φ kallas för dess fasförskjuningen. Dessa ermer kommer ifrån illämpningar av sinus och cosinus för vågrörelser. Vinkeln φ måse ofas anges i form av någon av arcusfunkionerna. Vi måse då änka på dessa funkioners värdemängd. Exempel 5 Punken ( 4, 3) har en vinkel som kan anges aningen som φ = arcsin( 3) eller som φ = arccos( 4 ). Dea därför a den ligger i försa kvadranen. Punken 5 ( 4, 3 ) ligger däremo i andra kvadranen så mosvarande vinkel kan därför ine 5 5 anges med hjälp av arcsin-funkionen. Däremo kan den anges som φ = arccos( 4). 5 Men vi kan också skriva den som φ = π arcsin 3. 5 För a ange vinkeln φ används ofa arcangensfunkionen, som är lie läare a använda efersom angens är π-periodisk. Hur man sämmer e piano Som avsluning ska vi vända på addiionsformlerna för sinus och cosinus för a få några andra rigonomeriska idenieer som är vikiga i illämpningarna. Adderar vi formlerna sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y.

11 Om de rigonomeriska funkionerna 0 () får vi a och adderar vi formlerna får vi sin(x + y) + sin(x y) = sin x cos y. cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y cos(x + y) + cos(x y) = cos x cos y. Dessa formler användes under några decennier på 500-ale ill någo så oväna som a muliplicera sora al. En av dem som gjorde så var den danske asronomen Tycho Brahe på ön Ven i Öresund. Lå oss illusrera med e enkel exempel. Exempel 6 Vi ill muliplicera 74 alen och 35. De försa vi gör då är a skriva = Sedan slår vi i en abell upp vilka vinklar θ och θ som svarar mo de vå försa fakorerna, d.v.s löser ekvaionerna cos θ = 0.74 och cos θ = Tabellerna på den iden gav resula i grader, minuer och sekunder, men om vi arbear med radianer ska vi få a (med fyra decimaler) θ =.3959 och θ =.3. Sedan beräknar vi θ + θ =.609 och θ θ = och mosvarande cosinus-värden: cos(.609) = och cos(0.870) = Säer vi nu in i formeln ovan får vi a = 0.5( ) = Muliplicerar vi med 0 5 får vi a = 609, vilke är näsan rä, fele beror på a vi arbea med avrundade värden på de rigonomeriska funkionerna. Anmärkning Muliplikaion är svår och idsödande, medan addiion är relaiv enkel. De var därför man kom på a unyja de rigonomeriska formlerna på dea sä för a överföra muliplikaion på addiion. Man hade illgång ill omfaande abeller för de rigonomeriska funkionernas värden. Anledningen ill a meoden, som kallas prosaferesis, snabb försvann var a en enklare meod a överföra muliplikaion på addiion dök upp: nämligen logarimen. Yerligare en omskrivning av formlerna ovan, och vi har en varian som är vikig än idag. Om vi skriver { { x + y = α x = α+β x y = β y = α β så får vi formeln sin α + sin β = cos α β sin α + β. E mycke vikigare illämpningsområde för de rigonomeriska funkionerna än rianglar är a de beskriver rena svängningar,.ex. ljud. Funkionen sin ω beskriver en sådan svängning som får en frekvens f som ges av ω = πf.

12 Om de rigonomeriska funkionerna () Om vi på dea sä adderar en on med frekvensen Hz och en med frekvensen 3 Hz så hör [0] vi funkionen sin(4π) + sin(6π) = cos(π) sin(5π). Denna funkion är riad ill höger och represenerar en svängning med frekvensen.5 Hz men med en ampliud som varierar med iden, d.v.s. ljudsyrkan 3 går upp och ner vilke kallas en svävning. Vad dea kan användas ill exemplifieras i näsa exempel. Exempel 7 Slå ner angenen för A (440 Hz) och för B (497 Hz) samidig på e piano. Frekvensen f genererar en svängning cos(πf), och de vi hör är summan av dessa (sä deras ampliud ill e): sin(π440) + sin(π497) = cos(π ) sin(π ). Andra fakorn ger onen Hz medan fakorn cos(57π) fungerar som en idsberoende ampliud (vilke är svävningen). När man sämmer e sränginsrumen juserar man srängen ills svävningen försvinner. Noeringar. D.v.s. från början är de bara definierade i de öppna inervalle (a, b), men vi ska kunna definiera dem i ändpunkerna så a de blir koninuerliga funkioner på de sluna inervalle [a, b]. De beyder a vi får ensidiga derivaor i ändpunkerna.. Se kapile Inegralkalkyl. 3. En kommenar om noaion. Man skriver ofa.ex. cos när man menar cos(). cos är ju namne på funkionen, och den ska beräknas i. Anledningen är oklar: eseiska skäl? Vi kommer under alla omsändigher a växla mellan skrivsäen. 4. Kom dock ihåg a enhescirkeln ine var e kurvsycke, och denna paramerisering är ine injekiv! 5. Vekorer diskueras kor i kapile Om komplexa al och funkioner 6. A x < an x då 0 < x < π/ inses.ex. ur figuren ill höger. Triangeln OAC har en area som är sörre än den gråa cirkelsekorn OAB. Triangelns area är (an x)/ medan cirkelsekorns är x/. 7. Se Arbesblade om rigonomeriska funkioner B 8. E alernaiv sä a visa påsående är a konsaera a funkionen an x f(x) = arcsin x + arccos x har en derivaa som är noll överall. Den är därför en konsan, och genom a säa x = 0 ser vi a konsanen måse vara π/. x 9. Du ska allså beraka y som en konsan och derivera en funkion avo x. A C

13 Om de rigonomeriska funkionerna () 0. Hör är egenligen fel ord, frekvensen är mycke för låg för a vi ska kunna höra den. Men dea är maemaik!

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000 Lekion, Flervariabelanals den 9 januari..6 Finn hasighe, far och acceleraion vid idpunk av en parikel med lägesvekorn Genom a urcka -koordinaen i ser vi a kurvan är funkionsgrafen ill. Beskriv också parikelns

Läs mer

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Om exponentialfunktioner och logaritmer Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens

Läs mer

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll? Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-

Läs mer

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation 1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Egenvärden och egenvekorer Definiion Lå F vara en linjär avbildning. Om ale λ och vekorn x uppfyller F (x) =λx, x 6= kallar vi x egenvekor och λ egenvärde ill F. Obs. Likheen är möjlig endas när F är en

Läs mer

1. Geometriskt om grafer

1. Geometriskt om grafer Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den

Läs mer

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210. Tenamensskrivning i Maemaik IV, 5B Tisdagen den 4 november 6, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k) TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns

Läs mer

2 Laboration 2. Positionsmätning

2 Laboration 2. Positionsmätning 2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H6 MATEMATIK Chalmers Repeiionsuppgifer Inegraler och illämpningar av inegraler. (a) Beräkna Avgör om den generaliserade inegralen arcan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergen eller divergen. Beräkna den

Läs mer

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv

Läs mer

Funktionen som inte är en funktion

Funktionen som inte är en funktion Funkionen som ine är en funkion Impuls En kraf f som under e viss idsinervall T verkar på en s.k. punkmassa, säer punkmassan i rörelse om den var i vila innan. Och om punkmassan är i rörelse när krafen

Läs mer

IE1206 Inbyggd Elektronik

IE1206 Inbyggd Elektronik E06 nbyggd Elekronik F F3 F4 F Ö Ö P-block Dokumenaion, Seriecom Pulsgivare,, R, P, serie och parallell KK LAB Pulsgivare, Menyprogram Sar för programmeringsgruppuppgif Kirchoffs lagar Nodanalys Tvåpolsasen

Läs mer

Laboration 3: Växelström och komponenter

Laboration 3: Växelström och komponenter TSTE20 Elekronik Laboraion 3: Växelsröm och komponener v0.2 Ken Palmkvis, ISY, LiU Laboraner Namn Personnummer Godkänd 1 Översik I denna labb kommer ni undersöka beeende när växelspänningar av olika frekvens

Läs mer

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion)

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion) Insiuionen för maemaik KTH För Kursen 5B09/5B5: Lien formelsamling Speciella funkioner Språngfunkionen (Heavisides funkion) u() =, om > 0, 0, om < 0. Signumfunkionen sign =, om > 0,, om < 0. Rekangelfunkionen

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av

Läs mer

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera

Läs mer

3 Rörelse och krafter 1

3 Rörelse och krafter 1 3 Rörelse och krafer 1 Hasighe och acceleraion 1 Hur lång id ar de dig a cykla 5 m om din medelhasighe är 5, km/h? 2 En moorcykel accelererar från sillasående ill 28 m/s på 5, s. Vilken är moorcykelns

Läs mer

SIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1

SIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET KLASSIFICERING AV SIGNALER Fem egenskaper a beaka vid klassificering. Är signalen idskoninuerlig eller idsdiskre? jämn och/eller udda? periodisk

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB

Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB Rörelse Hur kan en acceleraion ara negai? Vad innebär de a en rörelse är likformig? Kan å händelser ara samidiga, men ändå ine? Vilken acceleraion får en fri fallande kropp? Vad menas med likformig accelererad

Läs mer

Föreläsning 8. Kap 7,1 7,2

Föreläsning 8. Kap 7,1 7,2 Föreläsning 8 Kap 7,1 7,2 1 Kap 7: Klassisk komponenuppdelning: Denna meod fungerar bra om idsserien uppvisar e saisk mönser. De är fyra komponener i modellen: Muliplikaiv modell: Addiiv modell: där y

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

n Ekonomiska kommentarer

n Ekonomiska kommentarer n Ekonomiska kommenarer Riksbanken gör löpande prognoser för löneuvecklingen i den svenska ekonomin. Den lönesaisik som används som bas för Riksbankens olika löneprognoser är den månaliga konjunkurlönesaisiken.

Läs mer

FAQ. frequently asked questions

FAQ. frequently asked questions FAQ frequenly asked quesions På de följande sidorna har jag samla ihop några av de frågor jag under årens lopp få av sudener när diverse olika problem uppså i arbee med SPSS. De saisiska problemen har

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B1862 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 FREDAGEN DEN 1 JUNI 21 KL 8. 13. Examinaor : Lars Hols,

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.

3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo. 3D vaenanimering Joakim Julin Deparmen of Compuer Science Åbo Akademi Universiy, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.fi Absrak Denna arikel kommer a presenera e anal olika algorimer för a

Läs mer

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2 Lekion 3 Projekplanering (PP) as posiion Projekplanering Rev. 834 MR Nivå 1 Uppgif PP1.1 Lieraur: Olhager () del II, kap. 5. Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. e är indelade i fyra nivåer

Läs mer

Realtidsuppdaterad fristation

Realtidsuppdaterad fristation Realidsuppdaerad frisaion Korrelaionsanalys Juni Milan Horemuz Kungliga Tekniska högskolan, Insiuion för Samhällsplanering och miljö Avdelningen för Geodesi och geoinformaik Teknikringen 7, SE 44 Sockholm

Läs mer

Livförsäkringsmatematik II

Livförsäkringsmatematik II Livförsäkringsmaemaik II iskrea kommuaionsfunkioner Erik Alm, Hannover Re Sockholm 2013 iskre eknik Premier och annuieer bealas diskre ödligheen definieras ofas i en diskre abell (Undanag: de Nordiska

Läs mer

in t ) t -V m ( ) in - Vm

in t ) t -V m ( ) in - Vm 1 Föreläsning 17/11 Hambley asni 14.5 14.7 Komparaorn ej i Hambley) En komparaor anänds för a agöra eckne på den differeniella insignalen. Komparaorn besår a en operaionsförsärkare som aningen saknar åerkoppling

Läs mer

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller

Läs mer

Från kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd.

Från kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd. Från kap. 5: Ohm s lag Hög poenial på den sida där srömmen går in Låg poenial på den sida där srömmen går u Man får allid e spänningsfall i srömmens rikning i e mosånd. Från kap. 5: Poenialskillnaden över

Läs mer

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet Modeller och projekioner för dödlighesinensie en anpassning ill svensk populaionsdaa 1970- Jörgen Olsén juli 005 Presenerad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen den 1 sepember 005 Modeller

Läs mer

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Second quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

Skillnaden mellan KPI och KPIX

Skillnaden mellan KPI och KPIX Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas

Läs mer

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic Tenamen TEN, HF, 6 aug 6 Maemaisk saisik Kurskod HF Skrivid: 8:5-:5 Lärare och examinaor : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifoga formelhäfe ("Formler och abeller i saisik ") och miniräknare av vilken y som

Läs mer

Fouriermetoder för VT2008

Fouriermetoder för VT2008 Insiuionen för maemaik KTH Fouriermeoder för T VT008 Eike Peermann Innehåll. Inledning.... Fourierserier och -inegraler inom signaleorin. Komplexa fourierserier.... Lie om fel...6.3 Om orogonalie. Parsevals

Läs mer

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar

Läs mer

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller!

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller! Whiepaper 24.9.2010 1 / 5 Jobba mindre, men smarare, och uppnå bäre säljprognoser med hjälp av maemaiska prognosmodeller! Förfaare: Johanna Småros Direkör, Skandinavien, D.Sc. (Tech.) johanna.smaros@relexsoluions.com

Läs mer

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL!

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL! Exempelena 3 Anvisningar 1. Du måse lämna in skrivningsomslage innan du går (även om de ine innehåller några lösningsförslag). 2. Ange på skrivningsomslage hur många sidor du lämnar in. Om skrivningen

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Saisiska cenralbyrån 2010 Balance of Paymens. Third quarer 2010 Saisics Sweden 2010 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016 Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola TENTAMEN I HÅFASTHETSÄA F MHA 08 6 AI 06 ösningar Tid och plas: 8.30.30 i M huse. ärare besöker salen 9.30 sam.00 Hjälpmedel:. ärobok i hållfasheslära:

Läs mer

Tunga lyft och lite skäll för den som fixar felen

Tunga lyft och lite skäll för den som fixar felen Tunga lyf och lie skäll för den som fixar felen De fixar soppe i avloppe, de rasiga gångjärne, den läckande vämaskinen. De blir uskällda, igenkända, välkomnade. A jobba hemma hos människor har sina särskilda

Läs mer

Glada barnröster kan bli för höga

Glada barnröster kan bli för höga Glada barnröser kan bli för höga På Silverbäckens förskola är ambiionerna höga. Här vill man mycke, och kanske är de jus därför de blir sressig ibland. De säger Therese Wesin, barnsköare och skyddsombud.

Läs mer

Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14.

Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. STOCKHOLMS UNIVERSITET Naionalekonomiska insiuionen Mas Persson Tenamen på grundkursen EC1201: Makroeori med illämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. Tenamen besår av io frågor

Läs mer

System, Insignal & Utsignal

System, Insignal & Utsignal Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 1 Sysem, Insignal & Usignal Insignal x() x[n] SYSTEM H! H = sysemoperaorn Usignal y() = H{y()} y[n] = H{x[n]} w E SYSTEM = en maemaisk modell av e fysikalisk sysem,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator Tryckoberoende elekronisk flödesregulaor Beskrivning är en komple produk som besår av e ryckoberoende A-spjäll med mäenhe som är ansluen ill en elekronisk flödesregulaor innehållande en dynamisk differensryckgivare.

Läs mer

Numerisk analysmetod för oddskvot i en stratifierad modell

Numerisk analysmetod för oddskvot i en stratifierad modell U.U.D.M. Projec Repor 25:2 Numerisk analysmeod för oddskvo i en sraifierad modell Mikael Jedersröm Examensarbee i maemaik, 3 hp Handledare och examinaor: Ingemar Kaj Maj 25 Deparmen of Mahemaics Uppsala

Läs mer

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30 Tekniska högskolan vid LiU Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam TENTAMEN I TPPE13 PRODUKTIONSEKONOMI för I,Ii FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18 Sal: Provkod:

Läs mer

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic KONTROLLSKRIVNING Version A Kurs: HF Maemaisk saisik Lärare: Armin Halilovic Daum: 7 maj 6 Skrivid: 8:-: Tillåna hjälmedel: Miniräknare av vilken y som hels och formelblad som delas u i salen) Förbjudna

Läs mer

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning Hans Andersson (FP), ordförande i Tiohundra nämnden varanna år och Karin Thalén, förvalningschef TioHundra bakom solarna som symboliserar a ingen ska falla mellan solar inom TioHundra. Ingen åervändo TioHundra

Läs mer

shetstalet och BNP Arbetslöshetstalet lag Blanchard kapitel 10 Penningmängd, inflation och sysselsättning Effekter av penningpolitik.

shetstalet och BNP Arbetslöshetstalet lag Blanchard kapitel 10 Penningmängd, inflation och sysselsättning Effekter av penningpolitik. Kap 10: sid. 1 Blanchard kapiel 10 Penninmänd, inflaion och ssselsänin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och medellån sik Tar hänsn

Läs mer

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Saisiska cenralbyrån 213 Balance of Paymens. Fourh quarer 212 Saisics Sweden 213 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

( ) är lika med ändringen av rörelse-

( ) är lika med ändringen av rörelse- LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 9 LP 9. Impulslagen skris allmän Fd p() p( ) β och ualas: är lika med ändringen a rörelse- krafens impuls under idsineralle, mängden under samma idsinerall. y I dea problem

Läs mer

Truckar och trafik farligt för förare

Truckar och trafik farligt för förare De händer en del i rafiken. För några år sedan körde en av Peer Swärdhs arbeskamraer av vägen. Pressade ider, ruckar och unga fordon. På åkerie finns många risker. Arbesgivaren är ansvarig för arbesmiljön,

Läs mer

Fastbasindex--Kedjeindex. Index av de slag vi hitintills tagit upp kallas fastbasindex. Viktbestämningar utgår från

Fastbasindex--Kedjeindex. Index av de slag vi hitintills tagit upp kallas fastbasindex. Viktbestämningar utgår från Fasbasindex--Kedjeindex Index av de slag vi hiinills agi upp kallas fasbasindex. Vikbesämningar ugår från priser och/eller kvanieer under basåre. Vid långa indexserier blir dea e problem. Vikerna måse

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Saisiska cenralbyrån 2008 Balance of Paymens. Third quarer 2008 Saisics Sweden 2008 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

ES, ISY Andra kurser under ht 2014! Räkna inte med att ha en massa tid då! Och ni har nog glömt en del så dags...

ES, ISY Andra kurser under ht 2014! Räkna inte med att ha en massa tid då! Och ni har nog glömt en del så dags... Prakisk info, fors. ös uppgif Fyll i e konvolu (åeranvänds ills uppgifen godkänd TST0 lekronik Konvolu hias ovanpå den svara brevlåda som svar lämnas i Svar brevlåda placerad i samma korridor som Kens

Läs mer

Skuldkrisen. Världsbanken och IMF. Världsbanken IMF. Ställ alltid krav! Föreläsning KAU Bo Sjö. En ekonomisk grund för skuldanalys

Skuldkrisen. Världsbanken och IMF. Världsbanken IMF. Ställ alltid krav! Föreläsning KAU Bo Sjö. En ekonomisk grund för skuldanalys Skuldkrisen Föreläsning KAU Bo Sjö Världsbanken och IMF Grund i planeringen efer 2:a världskrige Världsbanken Ger (hårda) lån ill sora infrasrukurprojek i uvecklingsländer. Hisorisk se, lyckas bra, lånen

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

Informationsteknologi

Informationsteknologi Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik

Läs mer

Kan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar

Kan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar Kan arbesmarknadens parer minska jämviksarbeslösheen? Teori och modellsimuleringar Göran Hjelm * Working aper No.99, Dec 2006 Ugiven av Konjunkurinsiue Sockholm 2006 * Analysen i denna rappor bygger på

Läs mer

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996 Jobbflöden i svensk induri 1972-1996 av Fredrik Andersson 1999-10-12 Bilaga ill Projeke arbeslöshesförsäkring vid Näringsdeparemene Sammanfaning Denna udie dokumenerar heerogenieen i induriella arbesällens

Läs mer

Tjänsteprisindex (TPI) 2010 PR0801

Tjänsteprisindex (TPI) 2010 PR0801 Ekonomisk saisik/ Enheen för prissaisik 2010-06-22 1(12) Tjänseprisindex (TP) 2010 PR0801 denna beskrivning redovisas förs allmänna uppgifer om undersökningen sam dess syfe, regelverk och hisorik. Därefer

Läs mer

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos

Läs mer

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET?

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? En undersökning av hur väl kolpulver framkallar åldrade fingeravryck avsaa på en ickeporös ya. E specialarbee uför under kriminaleknisk grundubildning vid

Läs mer

Kolla baksidan på konvolut för checklista Föreläsning 6

Kolla baksidan på konvolut för checklista Föreläsning 6 0/1/014 10:17 Prakisk info, fors. Lös uppgif Fyll i e konvolu (åeranvänds ills uppgifen godkänd) TST0 lekronik Konvolu hias ovanpå den svara brevlåda som svar lämnas i Svar brevlåda placerad i samma korridor

Läs mer

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan

Läs mer

Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning

Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svesning Examensarbee uför i Reglereknik av Andreas Pilkvis LiTH-ISY-EX-- Linköping Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering Tjänseprisindex för varulagring och magasinering Branschbeskrivning för SNI-grupp 63.12 TPI-rappor nr 14 Kaarina Båh Chrisian Schoulz Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik, SCB November 2005

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2012 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Third quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

Vad är den naturliga räntan?

Vad är den naturliga räntan? penning- och valuapoliik 20:2 Vad är den naurliga ränan? Henrik Lundvall och Andreas Wesermark Förfaarna är verksamma vid avdelningen för penningpoliik, Sveriges riksbank. Vilken realräna bör en cenralbank

Läs mer

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer: Blanchard kapiel 9 Penninmänd, Inflaion och Ssselsänin Daens förelf reläsnin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Kap 9: sid. 2 Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och

Läs mer

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras

Läs mer

Elektroniska skydd Micrologic 2.0 och 5.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual

Elektroniska skydd Micrologic 2.0 och 5.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual Elekoniska skydd Lågspänningsuusning Användarmanual Building a Newavancer Elecicl'élecicié World Qui fai auan? Elekoniska skydd Inodukion ill de elekoniska skydde Lära känna de elekoniska skydde Funkionsöversik

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Avsnitt 5, introduktion.

Avsnitt 5, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 5:1 5:1 Avsnitt 5, introduktion. Radianer Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna

Läs mer

Föreläsning 7 Kap G71 Statistik B

Föreläsning 7 Kap G71 Statistik B Föreläsning 7 Kap 6.1-6.7 732G71 aisik B Muliplikaiv modell i Miniab Time eries Decomposiion for Försäljning Muliplicaive Model Accurac Measures Från föreläsning 6 Daa Försäljning Lengh 36 NMissing 0 MAPE

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

VA-TAXA. Taxa för Moravatten AB:s allmänna vatten- och avloppsanläggning

VA-TAXA. Taxa för Moravatten AB:s allmänna vatten- och avloppsanläggning VA-TAXA 2000 Taxa för Moravaen AB:s allmänna vaen- och avloppsanläggning Taxa för Moravaen AB:s Allmänna vaen- och avloppsanläggning 4 4.1 Avgif as u för nedan angivna ändamål: Anagen av Moravaen AB:s

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Timmar, kapital och teknologi vad betyder mest? Bilaga till Långtidsutredningen SOU 2008:14

Timmar, kapital och teknologi vad betyder mest? Bilaga till Långtidsutredningen SOU 2008:14 Timmar, kapial och eknologi vad beyder mes? Bilaga ill Långidsuredningen SOU 2008:14 Förord Långidsuredningen 2008 uarbeas inom Finansdeparemene under ledning av Srukurenheen. I samband med uredningen

Läs mer

Lösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 21 april 2001

Lösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 21 april 2001 Lösningar ill enamen i Kärnkemi ak den 21 april 2001 Konsaner och definiioner som gäller hela enan: ev 160217733 10 19 joule kev 1000 ev ev 1000 kev Gy A 60221367 10 23 mole 1 Bq sec 1 Bq 10 6 Bq joule

Läs mer

Att studera eller inte studera. Vad påverkar efterfrågan av högskole- och universitetsutbildningar i Sverige?

Att studera eller inte studera. Vad påverkar efterfrågan av högskole- och universitetsutbildningar i Sverige? NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala universie Examensarbee C Förfaare: Ameli Frenne Handledare: Björn Öcker Termin och år: VT 2009 A sudera eller ine sudera. Vad påverkar eferfrågan av högskole- och

Läs mer