SDOF Enfrihetsgradssystemet
|
|
- Emilia Engström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 SDOF Enfrihesgradssyseme De enkla massa-fjäder-syseme, eller sdof-syseme (single degree of freedom, enfrihesgradssyem) är e grundläggande begrepp inom akusik och mekanik. Med god försåelse för dea har man e värdefull verkyg för a analysera resonana sysem. Man kan ill exempel se en plaas svängningsformer, moder, som sdof-sysem. I enkla fall ser man dessa som enskilda sysem som evenuell är kopplade ill varandra, mdof-sysem (muli degree of freedom, flerfrihesgradssysem). SDOF-sysem är också vikig för a förså hur vibraionsisolering fungerar. u Figur SDOF, enkelfrihesgradssysem Vi ska i dea kapiel härleda och lösa ekvaionerna för de enkla massa-fjädersyseme, sam inroducera vissa begrepp som vi kommer a behöva längre fram i kursen. Inledande samband Innan vi börjar ska vi behandla några få grundläggande samband när de gäller harmoniska funkioner. Vi änker oss e godycklig harmonisk idsförlopp. u( Figur Harmonisk idsförlopp I Figur ser vi idsförloppe, där T är periodid, A är ampliud, u( är någon variabel, exempelvis förskjuningen som funkion av iden, och fas är en fasid. Maemaisk kan man skriva idsförloppe som:
2 u( Acos () T Fasändringen är här beskriven med en fasvinkel. En enkel jämförelse mellan fasiden fas och fasvinkeln ger a fas () T Om vi isälle för periodid inroducerar frekvens f, enhe /s = Hz, så a: f (3) T så kan vi skriva lie läare: u( Acos f (4) Vanligen inroducerar man även en vinkelfrekvens = f, ( omega ) med enheen rad/s. Då har vi: u( Acos (5) Isälle för en cosinusfunkion kan idsförloppe beskrivas med en sinusfunkion: Asin / Asin u( Acos (6) där är en ny fasvinkel, förskjuen 9 från. Man kan också beskriva idsförloppe med både en sinus och en cosinus: A sin A cos u( Acos (7) Nu börjar vi med de enkla svängningssyseme.
3 Ekvaion i idsled Diskrea komponener Från Byggnadsmekanikens avsni om dynamik (kap 4 i Inrodukion ill srukurmekaniken) har vi sö på sdof-sysemes re olika komponener, massa, fjäder och dämpare.. Massa u, a Figur 3 Massan För en sel kropp med massa M gäller enlig Newons röreslelag a F = Ma, där F är en pålagd kraf och a är selkroppens acceleraion: d u( a( u ( (8) d Selkroppen har samma förskjuning i alla punker, och om vi änker oss förskjuningar i endas en dimension kan den därför represeneras med en frihesgrad. Massan är således en punkmassa.. Fjäder u u Figur 4 Fjädern En deformaion l av en ideal (linjär och masslös) fjäder, med längden l (i viloläge) och fjäderkonsan K, svarar mo en kraf F = K l, proporionell mo fjäderns deformaion. Då vi i dea försa exempel Frihesgraden represeneras av förskjuningen u, vilke skall beecknas som en förskjuning run en jämvikspunk (eller arbespunk. Vi använder ine beeckningen x eller x då vi behöver denna beeckning som koordina längre fram när vi diskuerar vågubredning 3
4 ännu bara har en frihesgrad, belägen vid massan, kan deformaionen beskrivas av förskjuningen vid denna frihesgrad, och därmed är krafen proporionell mo förskjuningen, F = K u. 3. Dämpare u, v Figur 6. Dämparen En ideal dämpare, med dämpkonsanen R, svarar mo en kraf F = R v om den rycks samman eller sräcks u med en deformaionshasighe v (deformaionshasighe relaiv väggen). Om vi har en frihesgrad så gäller på samma sä som innan a F = R v du( v( u ( (9) d Newons rörelselag Vi kan nu kombinera de re elemenen ill e massa-fjäder sysem. För a ill en början slippa yngdkrafen låer vi svängande syseme vibrera, eller svänga, horisonell. Vidare är syseme påverka av en yre ande kraf F(. u( u( Figur 5 Friläggning av massan I varje ögonblick måse Newons rörelselag vara uppfylld, d v s: F( F ( F ( Ma( () K R Vi säer in urycken för fjäderkrafen och dämpkrafen enlig punk och 3 ovan: Denna har dock ingen beydelse, som vi kommer a se senare, yngdkrafen ger en saisk förskjuning som bara flyar arbespunken. 4
5 F( Ku( Rv( Ma( () Ma( Rv( Ku( F( Mu ( Ru ( Ku( F( () Den sis använda formen av urycke är vanlig förekommande, och är prakisk då förskjuningen u är den obekana variabeln. Lösning Den allmäna lösning av ekvaionen ovan har ges exempelvis i boken Analys i en variabel och besår av en homogen lösning och en parikulär lösning. Den homogena lösningen besår av en exponeniell avklingande harmonisk svängning 3, medan parikulärlösningen besår av en harmonisk svängning med samma frekvens som ningen, men evenuell fasförskjuen ill denna. De finns några olika ekvivalena begrepp för de båda lösningarna: Parikulär Tvungen, en Seady sae Homogen Fri Transien Tabell Ekvivalena namn För ydligheens skull visar vi hur man ar fram dessa lösningar även här. Homogen lösning: Mu h ( Ru h ( Kuh( (3) R K u h ( u h ( uh( (4) M M Vi inroducerar nu några hjälpsorheer: K (5) M K f M (6) 3 Man kan som e exempel änka sig a man släpper dörrarna i V-huses foajé från öppe ugångsläge. Dörrarna kommer då a svänga fram och illbaka några gånger ills rörelsen har dö u. 5
6 R MK (7) där är den odämpade egenfrekvensen (egenligen egenvinkelfrekvensen med enheen rad/s), f är den odämpade egenfrekvensen (med enheen Hz), ( äa ) är en dimensionslös dämpkonsan, likaså ( sigma ) vilke gör a vi kan skriva om ekvaion 4: u ( u ( u ( (8) h h h Den karakerisiska ekvaionen ill ekvaion 8 ges av: r r (9) < medför a r i id d () Här är d den dämpade resonansfrekvensen. Lösningen ill den homogena ekvaionen är då: id id Ae A e e B sin( B cos( uh( e d d () där A, A, B och B är konsaner som besäms med hjälp av begynnelsevillkor. Den sisa likheen fås med Eulers formler (se ekvaion 3-3). Parikulärlösningen, som visar förskjuningen vid påverkan av ande kraf, skall nu besämmas. Angreppssäe är a ansäa en förskjuning som liknar krafen, beräkna de vå derivaorna, och sedan säa in dessa uryck i ekvaionen och lösa u de obekana koefficienerna. Om den ande krafen är en harmonisk kraf med vinkelfrekvensen och F( = F cos(, så ansä u p ( D sin( D cos( ) () Dcos( D sin( ) (3) u p ( ( D sin( D cos( ) (4) u p Insäning i ekvaion ger: Mu ( Ru ( Ku ( F cos( (5) p p p 6
7 M K D sin( D cos( RD cos( D sin( D sin( D cos( F cos( (6) Vi ska nu lösa u konsanerna D och D. Vi har i högerlede en ensam cosinuserm, medan i vänserlede har vi både sinus- och cosinusermer. Konsanerna måse nu väljas så a dea går ihop vid alla idpunker. Om vi ser sinusermerna som en koordina och cosinusermerna som en annan koordina, så kan vi änka oss a följande vådimensionella vekordiagram beskriver probleme. Figur 6 Visare Vi kan nu sälla upp e ekvaionssysem med vå ekvaioner (vå obekana), en för sinusermerna och en för cosinusermerna: M D RD KD M D RD KD F (7) Om man löser u D och D, så har vi parikulärlösningen D D R K M R K M K M R F F (8) u p( D sin( D cos( Om man inför = K/M ser man a K M M( ), vilken försvinner vid resonans ( ), vilke vi ska åerkomma ill. Den oala lösningen ges av u( = u p ( + u h (. Som e exempel visar vi idshisorien för u h (, u p ( och u( för e fall (M = 5 kg, R = 375 Ns/m, K = N/m, F( = F sin(, = rad/s och F = 5 N, och begynnelsevillkoren u() =, v() = ). 7
8 u h u p u = u h + u p Figur 7 Homogen, parikulär och oal lösning Efer en viss id, seady sae, har den homogena lösningen klinga av. Då är u( u p (. I akusiska sammanhang är de därför ofas u p ( som är av inresse. De maskiner som vibrerar och fläkar som går genererar ofa monoona ljudbilder där parikulärlösningen är dominerande över den homogena lösningen. De är därför vanlig a man endas berakar parikulärlösningen av probleme, och så kommer vi a (ill sörsa delen) göra i forsäningen. Men då behöver vi en bäre meod för a lösa dessa ekvaioner. Komplex ampliud Övergång ill frekvensled För a komma vidare behöver vi en ny ansas för a få parikulärlösningen (i forsäningen borser vi allså från den homogena lösningen, så vi skriver ine u index p). Vi har sedan idigare a lösa: Mu ( Ru ( Ku( F( (9) 8
9 Vi kommer a göra en ansas med komplexa al, och nu har vi krafen 4 F( i F cos( Re Fe enlig Eulers ekvaioner, som lyder: e i cos( ) isin( ) cos( ) e i sin( ) i e e i i e i (3) (3) (3) Till ansas söker vi nu en funkion som liknar krafen. Vi vill då ha realdelen av en funkion som besår i av en harmonisk erm, e, och en ampliud framför den harmoniska ermen. Denna ampliudfunkion kan generell se vara en funkion av frekvensen (vinkelfrekvensen) och dessuom komplex. De är denna nya funkion som vi kallar komplex ampliud, och beecknar med u ~ ( ), där vågeckne indikerar a de är en ny funkion, vidare är den en funkion av. Vi gör allså följande ansas, och deriverar: Ansä: u( Re u~ ( ) e i i u ( Re u~ ( ) e i u ( Re u~ ( ) e i (33) (34) (35) Insa i ekvaion ger dea: Mu ( Ru ( Ku( F cos( (36) M Re i i i u e R i u e K u e F e i ~ ( ) Re ~ ( ) Re ~ ( ) Re Realdelsoperaorn Re{} verkar på alla ermer, och kan därför lyfas u: Re i i i M u e Ri u e Ku e F e i ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) Re (37) (38) 4 De bör påpekas a de även är möjlig a välja imaginärdelen, vilke mosvarare a krafen är en sinus isälle för en cosinus, eller med andra ord en fasskillnad på 9. I akusiken väljer man ofa realdelen efersom de ofa känns naurligare a a realdelen av de komplexa resulae för a kunna göra en fysikalisk olkning. 9
10 ~ ( ~ ( ~ ( i i M u ) e Riu ) e Ku ) e i F e i (39) Vidare ingår den harmoniska 5 i ermen e i alla uryck och kan därmed förkoras bor: M ~ u ( ) Riu~ ( ) Ku~ ( ) (4) F F u~ ( ) (4) ( K M ) Ri Om man inför = K/M ser man a K M M( ), vilken försvinner vid resonans ( ), och u ~ ( ) blir då mycke sor. i Med hjälp av ansasen, väsenligen e, så har differenialekvaionen av andra ordningen blivi en vanlig andragradsekvaion med avseende på u ~ ( ). De lösa urycke u ~ ( ) som vi kan kalla komplex förskjuningsampliud eller förskjuningsspekra, innehåller väsenligen all syseminformaion som man kan behöva. Vågeckne över den komplexa ampliuden indikerar a vi har en ny funkion, och denna är komplex och är ine längre en funkion av iden, medan beyder a funkionen är en funkion av vinkelfrekvensen 6. Vi kan också se de som om vi har gjor en sors ransform från idsfunkioner ill komplexa frekvensfunkioner. En mer allmän övergång från idsfunkioner ill frekvensfunkioner får man med Fourierransformen. Med Fourierransformen kan man behandla godyckliga idsförlopp, ine bara seady sae som vi gör här. De visar sig dock a när man väl dividerar bor ningen, vilke vi srax ska göra, så blir resulae desamma. Den enklase ansasen ger allså ine bara e enkel resula, uan även e hel generell resula, oberoende av ningen. Om vi vill kan vi nu åergå ill idsfunkionen (idsplane med hjälp av ansasen: F u( Re e ( K M ) R i F Re ( K M ) R F ( K M ) R i K M R i cos( isin( K M cos( R sin( (4) Denna lösning är densamma som i ekvaion 8. 5 Med harmoniska funkioner, eller harmoniska förlopp, menas sin( och cos(, som har fördelen a vara i varandras derivaa, sam e, som är sin egen derivaa. Den senare kan också kallas komplex harmonisk. De harmoniska förloppen låer som rena oner. I musikläran har dock harmonisk en vidare definiion 6 = f [rad/s] vinkelfrekvensen, f = /T [Hz = /s] frekvens, T [s] periodid, all gäller för ningen.
11 Ofas nöjer man sig dock med a beraka syseme i frekvensplane. Även om vi har se a den harmoniska (ransiena) lösningen ine spelar någon roll i de långa loppe, så kan man ycka a vi har gjor en allvarlig begränsning av eorin då vi endas ser på parikulärlösningen ill harmoniska funkioner (sinussvängningar). Så är dock ine falle. Inom akusiken unyjar man ofa de fakum a varje idsvarierande funkion, med hjälp av Fourierransform eller Fourierserier, kan beskrivas som en summa av enkla sinusfunkioner med olika frekvens, ampliud och fas. De beyder a en godycklig pålagd kraf F( kan ersäas med e, ofa sor, anal enkla sinusfunkioner. Så isälle för a försöka hia en ny lösning ill differenialekvaionen (ekvaion ) för varje ny kraf, så löser man den, som vi nu har gjor, för varje harmonisk funkion. Den akuella krafens spekrum, vilke fås med Fourierransformen, kan sedan läggas ill. Dea behandlas närmare i område som kallas linjära sysem. Komplex räkning Vi unyjade härvid några räkneregler för komplexa al, och de kan vara på sin plas a åerge dessa: Figur 8 Komplexa al Imaginära enheen: i 3, i, i i,... i i (43) Komplexa al: z x iy (44) Addiion: z x iy x iy x x iy z y z (45) Muliplikaion x iy x iy x x y y ix y x z y (46) Komplex konjuga:
12 z * x iy (47) Division: z z z z x x y y ix y x y * (48) * zz x y Ampliud och fasvinkel är vikiga begrepp: Figur 9 Ampliud och fas Ampliud (eller absolubelopp): A z x y (49) Fas (allid i radianer!): y arcan (5) x Ur figur Figur 9 kan man då se a: x Acos( ), y Asin( ) (5) Med hjälp av Eulers former, ekvaion 3-3, och enhescirkeln så har vi vidare:
13 Figur Enhescirkeln i z x iy Ae A cos( ) isin( ) (5) i z z A A e (53) z z i A A e (54) Överföringsfunkioner Vi åergår nu ill a ia på resulae av de komplexa räkningarna, ekvaion 4 gav den komplexa förskjuningsampliuden, vilken beror på sorleken av den pålagda krafen F u~ ( ) (55) ( K M ) R i Ofa vill man beraka sysemen, i dea fall vår massa-fjäder-sysem, uan a man ser de yre förhållandena, såsom i dea fall krafen (vilken kan vara en funkion av frekvensen). Om vi normerar förskjuningen med avseende på den ande krafen, så får vi e uryck som bara beror av sysemes sorheer M, R och K, sam vinkelfrekvensen. Man har då kvar en komplex kvo C dyn u~ ( ) ( ) (56) F ( ) ( K M ) R i Vi kan kalla denna kvo för sysemes dynamiska vekhe, då en sor kvo (vekhe ger en sor förskjuning för en lien kraf. Den omvända kvoen kan vi kalla dynamisk syvhe K dyn F( ) ( ) M R i K u~ (57) ( ) 3
14 Allmän brukar man kalla kvoer mellan komplexa ampliuder (spekra), i samma punk eller i en annan punk i e viss sysem för överföringsfunkion H() om de är kvoer mellan usignal och insignal. ~ si ( ) usignal H ij( ) ~ (58) s ( ) insignal i Med signal menas i dea fall de båda variabla ermerna i e uryck, i vår fall är krafen insignal medan förskjuningen är usignal. Övriga paramerar, massa, fjäder och dämpare, illhör syseme. Signalbegreppe anyder a de båda variablerna är mäbara, och a man kan besämma sysemes egenskaper genom a mäa dessa signaler. Den dynamiska syvheen, K dyn, är i dea fall ydligen ine en överföringsfunkion, då den är en kvo mellan insignal och usignal och ine vär om. Den dynamiska vekheen, C dyn, är däremo en äka överföringsfunkion. De är också möjlig a definiera andra överföringsfunkioner som ugår från massans hasighe eller acceleraion. Dea illusreras i abell nedan illsammans med benämningen av respekive överföringsfunkion. Av dessa kommer framförall impedansen a diskueras framöver. 4
15 Förskjuning u Hasighe v Acceleraion a C dyn ( ) u~ ( ~ ) F( ) Y( ) v~ ( ~ ) F( ) N( ) a~ ( ~ ) F( ) Dynamisk vekhe ~ F( ) K dyn ( ) u~ ( ) Dynamisk syvhe Tabell Kvoer i frekvensplane Mekanisk admians ~ F( ) Z( ) v~ ( ) Mekanisk impedans Mekanisk accelerans ~ F( ) M dyn ( ) a~ ( ) Dynamisk massa Har man en överföringsfunkion så ar man enkel fram de övriga, ex genom a använda a v ~ ( ) i u~ ( ), se ekvaion Man bör komma ihåg a överföringsfunkioner endas gäller för linjära sysem, de vill säga när spekrume är oberoende av ampliuden. I sådana sysem överförs således en ren on (sinusfrekvens) oberoende av alla andra befinliga oner. Dea är en sor förenkling som ine gäller om man arbear med idsfunkioner, då sörningar i olika idpunker påverkar varandra. Vidare beyder dea a överföringsfunkioner experimenell kan besämmas aningen genom a man saka sveper med krafens frekvens (sinussvep) eller genom a man sänder in en signal som innehåller alla söka frekvenser på en gång. En sådan signal kallas brus, och om den kvadrerade signalens ampliud är konsan för samliga frekvenser kallas de vi brus. A represenera dessa komplexa dynamiska kvoer grafisk kan man göra på olika sä. De vanligase i alernaive är a änka sig urycke på formen C Ae, där A är ampliuden och fasen. dyn u~ ( ) A Cdyn( ) (59) F ( ) K M R i K M R Im C arcan Re C ( ) R arcan K M dyn dyn( ) Vid de odämpade sysemes resonans, = (K/M) ½, har ampliuden (näsan) e maximum och fasen är /, de vill säga 9 efer ningen. K (6) M (6) A Cdyn( ) R (6) 5
16 Im C arcan Re C dyn dyn ( ) arcan ( ) (63) De är vanlig a man använder logarimisk skala på axlarna. Denna represenaion som illusreras i Figur kallas Bode-diagram. Figur Bode-diagram för överföringsfunkionens ampliud och fas För frekvenser under resonansfrekvensen ( ) så dominerar fjädersyvheen, ampliuden är horisonell och fasen är noll. Om vi sedan ökar frekvensen ills vi närmar oss resonans ( ) så ar bidragen från fjäderermen och massermen u varandra och vi får resonans där ampliuden besäms av dämpningen. Över resonans ( ) dominerar bidrage från massermen, ampliuden luar med konsan luning i en log-log skala (64) C dyn (65) K M R i M log log( ) log( M ) log( ) log( M ) M (66) Luningen är således - dekader 7 per dekad frekvens. Dea är e mycke vikig prakisk resula, som därför har få e ege namn, masslagen. De beyder a över resonansen kommer förskjuningen ~ minska mycke snabb med ökande frekvens, u ( ) (eckne beyder proporionell mo ). Vi 7 En dekad är desamma som en iopoens. 6
17 kan också se a de finns en punk över resonans där förskjuningen är lika sor som den saiska förskjuningen, och över denna punk kommer förskjuningen a vara mindre än den saiska. Dea fakum unyjas vid vibraionsisolering. Om vi iar på fasdiagramme så ser vi a fasen är noll vid rikig låga frekvenser, de vill säga förskjuningen har samma fas som ningen. Vid resonans är fasen -/, allså ligger förskjuningen 9 efer ningen. Över resonans närmar sig fasen -, vilke beyder a förskjuningen är i mofas mo ningen, förskjuningen ligger 8 efer ningen. Dea förhållande kan lä konrolleras experimenell med en vik och en gummisnodd. Fäs viken i gummisnodden, som du fäser i e finger, så a du får e massa-fjäder-sysem. För du handen långsam upp och ner, så följer viken med handen. Ökar du frekvensen ills du kommer ill resonansn, där vibraionen är som sörs, så ligger förskjuningen hos massan 9 efer handen. Ökar du frekvensen ännu mer så kommer handen och massan a röra sig i mofas. Resonaorer I dea avsni ska vi ia lie närmare på några resonana sysem som kan beskrivas med de enkla massa-fjädersyseme. Vi börjar med a vända på massa-fjädersyseme, så a vi får med yngdkrafen. Vi ska visa a dea ine spelar någon roll. Tyngdkrafen Vi vänder nu allså på massa-fjädersyseme: u Mg ( u Mg ( Figur Sående resonaorer Som vanlig måse Newons rörelselag gälla i varje ögonblick F( F F Mg Ma( (67) K R Vi för in urycken för fjäderkrafen och dämpkrafen, de vill säga F K ( = K u( och F R ( = R v( Mu ( Ru ( Ku( F( Mg (68) 7
18 Vi ser a vi har en differenialekvaion där ningen besår av en harmonisk kraf F( och en saisk kraf Mg. Till parikulärlösningen, vilken är den vi i försa hand är inresserade av, ansäer vi då a förskjuningen besår av en harmonisk del och en saisk del, u o ( = u( + u s (, där den saiska fås av den säning som massan saisk orsakar: u s konsan u och u (69) s s Mg Kus Mg us (7) K Den harmoniska delen fås på samma sä genom a bara lösa ekvaionen för den harmoniska krafen: Mu ( Ru ( Ku( F( (7) Men då dea precis är den ekvaion som vi har ägna oss å hiills, så kan vi anse a dess lösning är given. Tyngdkrafen ger ydligen en saisk förskjuning som bara flyar arbespunken. Om fjädern är olinjär i vissa områden kan dock vissa arbespunker vara a föredra. Så är dock ine falle här, så man kan borse från yngdkrafen i vibraionsberäkningar. Vibraionsisolering Som e försa exempel på e enkel massa-fjädersysem i en applikaion ska vi nu ia på vibraionsisolering. Vi kan änka oss a e indusriföreag har be oss lösa e vibraionsproblem som de har. En roerande maskin med viss excenricie sår fasskruvad på e syv bjälklag, vilke orsakar vibraioner i bjälklage som vidare ger buller och vibraionsskador. Fabrikören i fråga ber oss, som konsuler, minska probleme. Vad ska vi göra? Vi börjar med a ana a underlage är orörlig, de vill säga a maskinen är fas inspänd. Dea är en förenkling som i allmänhe ine är hel gilig, men för jocka beongbjälklag, 5-3 mm, är anagande ofas rimlig. För läa räbjälklag är emellerid anagande veksam. Vi frilägger nu maskinen: Figur 3 Friläggning av maskin innan ågärd Rörelselagen ger nu, då vi ine har någon förskjuning eller acceleraion (fläkens ram och hölje anas så sill): ( F ( F u (7) 8
19 Vi ser a den kraf som orsakas av maskinens excenricie F( går rak ner i bjälklage, F u ( = F(, där index u sår för uan vibraionsisolering. Om vi ansäer harmoniska sörningar, ~ F F e i ( ) Re ( ) och som innan borser från realdelsoperaorn och den harmoniska ermen, som ~ ~ är gemensam för alla ermer, så kan vi skriva F( ) F ( ). Vi änker oss nu a vi säer maskinen på gummiklossar eller sålfjädrar. Vi änker oss vidare a dämpning kan ingå i fjädrarna. Om vi använder fyra fjädrar blir den sammanlagda fjädersyvheen K = K i. Desamma gäller för dämpningen. u u( u( Figur 4 Friläggning av maskin efer ågärd Rörelselagen måse som vanlig råda: F( F ( F ( Ma( (73) K R Dea är samma ekvaion som vi har behandla idigare. Vi är inresserade av parikulärlösningen, och lösningen gavs i ekvaion 4. Förskjuningen, beskrive i frekvensplane, blev: M ~ u ( ) Riu~ ( ) Ku~ ( ) F ( ) (74) F u~ ( ) (75) ( K M ) R i Men nu är vi primär inresserade av krafen som går ner i bjälklage när vi har lag ill fjädern och dämparen, och vi ve a krafen mo underlage kan beskrivas som summan av krafen från fjädern och krafen från dämparen, F m ( = F K ( + F R (, där index m sår för med vibraionsisolering. I frekvensplane blir dea: ~ ~ ~ F ( ) F ( ) F ( ) Ku~ ( ) R iu~ ( ) (76) m K R 9
20 ~ F ~ F m ( ) ( ) ~ Fm ( ) K Ri ~ (77) F ( ) ( K M ) Ri u Vi har ydligen få e uryck som ger oss kvoen mellan krafen mo underlage med vibraionsisolering mo krafen mo underlage uan vibraionsisolering. De vikiga i denna yp av vibraionsisoleringsproblem är a ampliuden av vibraionen minskar med ågärden. Absolubeloppe av kvoen ovan brukar benämnas insäningsdämpning eller inserion loss, medan ransmissionsal T 8 eller ransmissibiliy används om de handlar om kvo mellan ning och underlag, T ~ F ( ) ~ F ( ) m (78) A beräkna ransmissionsale och insäningsdämpningen lämnas som övning. Om ransmissionsale är så har ingen förändring ske, och om T < så har en förbäring ske, de vill säga en minskning av krafens ampliud har ske, medan om T > så känner underlage en sörre ampliud än den ursprungliga, allså en försämring. Nedan visas hur ransmissionsale kan se u. Vi har här sa förlusfakorn = R/ M, där resonansfrekvensen som vanlig är = (K/M) ½. Frekvensen är sedan normerad mo resonansfrekvensen så a resonans allid sker vid / =. Figur 5 Transmissionsal, normerad frekens och olika värden på förlusfakorn, Vi kan nu se a T > vid /, och vi får ydligen ingen förbäring med hjälp av vibraionsisoleringen run resonansfrekvensen eller vid lägre frekvenser, / <. Däremo får man allid en förbäring över resonansfrekvensen. Vidare ser man a dämparen mes smear u beeende, så a effeken vid resonans ine blir så sor. Om vi åergår ill vår ursprungliga problem med fabrikören så löser vi de genom a a reda på den dominerande frekvensen i den ande krafen F(, vi kan beeckna den med maskin, vilken roligen är den samma som roaionsfrekvensen, sam maskinens vik M. Sedan dimensionerar vi fjädersyvheen K så a resonansfrekvensen för syseme = (K/M) ½ << maskin. De gäller allså a ha så veka fjädrar som möjlig, vilke kan vara svår i prakiken. 8 T sår här för ransmissionsal och ine för periodid.
21 Vikiga formler Enfrihesgradssyeme med en massa, fjäder och en dämpare leder ill rörelseekvaionen Mu ( Ru ( Ku( F( Som har en oal lösning som besår av en homogen och en pariklär del, u( = u h ( + u p (. Den homogena lösningen är id id Ae A e e B sin( B cos( uh( e d där den odämpade resonansfrekvensen, dämpkonsanen och dämpade resonansfrekvensen förs in K R M MK d d och parikulärlösningen för en ande kraf i F( F cos( Re F e är u p( D sin( D cos( D D R K M R K M K M R F F Parikulärlösningen uryck på komplex form blir u Re i F i u ~ ( ) e e ( ( K M ) R i Tyngdkrafen (om närvarande) skapar en saisk säning med sräckan Mg u s K Dynamisk vekhe definieras som kvoen mellan komplex förskjuning och komplex kraf C dyn ( ) u~ ( ~ ) F( ) C dyn kan, som andra överföringsfunkioner, åskådliggöras med e Bodediagram där man ploar ampliud och fas A Cdyn( ) R Im C arcan Re C dyn dyn ( ) arcan ( ) ~ F Transmissionsale T är kvoen mellan ande kraf och kraf som går ner i underlage, T ~ F m ( ) ( )
22 Uppgifer. Två pariklar rör sig med harmoniska rörelser u ( Acos( u( Acos( ) 6 a) Den senare parikeln ligger efer den försa i id, en fasskillnad. Beräkna idsskillnaden uryck i periodiden T. b) Vid vilka idpunker har pariklarna sina maximala hasigheer och acceleraioner? c) Om ampliuden är A = cm, vid vilken frekvens (i Hz) kommer acceleraionens ampliud vara lika med g = 9.8m/s? d) Om vi adderar signalerna, vid vilken fasskillnad mellan de båda kommer vi a få usläckning? Vid vilken fasskillnad kommer de a försärka varandra maximal?. Skriv om följande komplexa al på formen a) 3+4i b) (3+4i)/(4+3i) c) +i d) i i Ae och besäm A och. 3. En flaska kan ses som e massa-fjäder-sysem, en Helmholz-resonaor där den lilla volymen i halsen verkar som en massa och den sora verkar som en fjäder enlig Figur 6. u Figur 6 En vanlig 33 cl ölflaska modellerad som e SDOF-sysem. Massan M är massan för lufen i flaskhalsen och syvheen K kan uryckas som
23 K S P V där S är värsnisarean för flaskhalsen och V volymen för flaskans kropp. En vanlig ölflaska har följande ungefärliga dimensioner: Boen har radien r = 6 mm och höjd H = 4 mm. Flaskhalsen har en höjd på H = 7 mm och en radie på r = mm. Räkna med a densieen för luf är =.93 kg/m 3 och dessuom behövs =.4 för våaomiga gaser och amosfärsrycke är P =.3 5 Pa. a) Besäm resonansfrekvensen för flaskan, d v s onen man hör när man blåser på flaskhalsens kan. b) Besäm resonansfrekvensen om de sår cm öl i boen av flaskan. 4. Beraka följande svängande sysem besående av en massa med en fjäder och en dämpare som usäs för en kraf F(. Följande daa gäller för sorheerna: M = kg, K = 4 N/m, R = Ns/m. Figur 7 E enkel dynamisk sysem a) Säll upp differenialekvaionen för rörelsen (förskjuningen = u(). b) Hur inverkar graviaionen på rörelsen? c) Beräkna sysemes odämpade och dämpade egenfrekvens, respekive. d) Besäm den komplexa förskjuningen ~ ( ) ~ e) Besäm överföringsfunkionen C ( ). dyn u om i F cos( Re e (. f) Besäm sysemes mekaniska impedans Z(). g) Besäm sysemes svar, lösningen u(, för F( = och begynnelsevärdena u() = och u ( ). h) Besäm sysemes svar för F( = och begynnelsevärdena u() = och u ( ). i) Hur skulle man ren prakisk kunna åsadkomma begynnelsevillkoren i g) och h)? j) Hur kommer svängningsrörelsen a ändras om man säer R =, allså ar bor dämpningen? d 3
24 5. Hur lång från väggen ska man placera en cm jock perforerad räpanel med S/S =. om man ska dämpa ljud vid Hz. (dvs, när hålighe + bakomliggande lufmassa fungerar som en Helmholzresonaor) Svar. a) fas = T/ b) v max vid = T/4 + nt/, n =,,,... a max vid = T/ + nt/, n =,,,... v max vid = T/3 + nt/, n =,,,... a max vid = T/ + nt/, n =,,,... c) f = 5. Hz d) Usläckning vid = + n, försärkning vid = + n. a) z = 5e i.97 b) z = e i.84 c) e i/4 d) e i/ 3. a) f = 5 Hz b) f = Hz 4. a) Mu ( Ru ( Ku( F( b) Den förskjuer bara jämvikspunken nedå med sräckan u s = F/K. c) = rad/s, d rad/s d) e) F u~ ( ) ( K M ) R i = u~ ( ) ( ) ( K M ) R i ( C dyn ( 4 4 ) i ) i 4
25 5 f) i i i i R M K Z ) ( ) ( ) ( 4 g), sin ) ( e u d d h), cos sin ) ( e u d d i) Begynnelsehasigheen i g) kan ges genom a illföra en impuls ill massan, ex genom e hammarslag. Begynnelseförskjuningen i h) kan ges genom a lyfa upp massan sräckan u = m och sedan släppa den från vila. j) Vid odämpad svängning kommer massan a svänga uan a förlora energi, d v s för allid. 5. l = 5 cm.
Föreläsning 19: Fria svängningar I
1 KOMIHÅG 18: --------------------------------- Ellipsbanans soraxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 19: Fria svängningar I Fjäderkrafen
Läs merSDOF Enfrihetsgradssystemet
SDOF / Ljud i byggnad och samhälle / VTAF SDOF Enfrihetsgradssystemet Det enkla massa-fjäder-systemet, eller sdof-systemet (single degree of freedom, enfrihetsgradssytem) är ett grundläggande begrepp inom
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning
OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A
Läs merUppgifter 2 Grundläggande akustik (II) & SDOF
Uppgifter Grundläggande akustik (II) & SDOF. Två partiklar rör sig med harmoniska rörelser. = 0 u ( Acos( där u ( Acos( t ) 6 a. Vad är frekvensen för de båda rörelserna? b. Vad är periodtiden? c. Den
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning
OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A
Läs merKompletterande teorimaterial och uppgifter till kursen. Ljud i byggnad och samhälle VTAF01. Teknisk akustik, LTH
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Komleerande eorimaerial oh ugifer ill kursen Ljud i byggnad oh samhälle VTAF Teknisk akusik, LTH. Enfrihesgradssysem. Vågubredning 3. Transmission oh reflekion 4. Ljudisolering
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)
TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns
Läs mer2 Laboration 2. Positionsmätning
2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni
Läs merBiomekanik, 5 poäng Kinetik Härledda lagar
Uöver Newons andra lag, kraflagen, finns också andra samband som kan användas för a lösa olika problem Bland dessa s.k. härledda lagar finns Arbee Energisamband Impuls Rörelsemängdssamband (Impulsmomen
Läs mer{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1
ösningsförslag ill enamensskrivning i SF1633 Differenialekvaioner I Tisdagen den 7 maj 14, kl 8-13 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är
Läs mer3 Rörelse och krafter 1
3 Rörelse och krafer 1 Hasighe och acceleraion 1 Hur lång id ar de dig a cykla 5 m om din medelhasighe är 5, km/h? 2 En moorcykel accelererar från sillasående ill 28 m/s på 5, s. Vilken är moorcykelns
Läs merDiskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?
Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-
Läs merOm antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation
1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara
Läs merOm exponentialfunktioner och logaritmer
Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens
Läs merRepetition Kraft & Rörelse Heureka Fysik 1: kap. 4, version 2013
Repeiion Kraf & Rörelse Heureka Fysik 1: kap. 4, 11.1-11 version 013 Rörelse En kropps rörelse kan beskrivas med olika yper av diagram. Sräcka-id-graf (s--graf) I en s--graf kan man uläsa hur lång e föremål
Läs merOm de trigonometriska funktionerna
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com Om de rigonomeriska funkionerna () Inrodukion I de här kapile ska vi
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Insiuionen för REGLERTEKNIK, FRT Tenamen 5 mars 27 kl 8 3 Poängberäkning och beygssäning Lösningar och svar ill alla uppgifer skall vara klar moiverade. Tenamen omfaar oal 25 poäng. Poängberäkningen finns
Läs merLaboration 3: Växelström och komponenter
TSTE20 Elekronik Laboraion 3: Växelsröm och komponener v0.2 Ken Palmkvis, ISY, LiU Laboraner Namn Personnummer Godkänd 1 Översik I denna labb kommer ni undersöka beeende när växelspänningar av olika frekvens
Läs merLösningar till Matematisk analys IV,
Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en
Läs merGenom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000
Lekion, Flervariabelanals den 9 januari..6 Finn hasighe, far och acceleraion vid idpunk av en parikel med lägesvekorn Genom a urcka -koordinaen i ser vi a kurvan är funkionsgrafen ill. Beskriv också parikelns
Läs merLaborationstillfälle 4 Numerisk lösning av ODE
Laboraionsillfälle 4 Numerisk lösning av ODE Målsäning vid labillfälle 4: Klara av laboraionsuppgif 3. Läs förs een om differensmeoder och gör övningarna. Läs avsnie Högre ordningens differenialekvaioner
Läs merKONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
KONTROLLSKRIVNING Version B Kurs: HF Maemaisk saisik Lärare: Armin Halilovic Daum: 7 maj 6 Skrivid: 8:-: Tillåna hjälmedel: Miniräknare av vilken y som hels och formelblad (som delas u i salen) Förbjudna
Läs merOm exponentialfunktioner och logaritmer
Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. De flesa av övningarna har, om ine lösningar, så i
Läs merSkillnaden mellan KPI och KPIX
Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas
Läs merTENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B2/A , arctan x x 2 +1
LUNDS TENISA HÖGSOLA MATEMATI TENTAMENSSRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELURS B/A3, 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med fullsändiga moiveringar. Beräkna följande inegraler. (.3+.3+.4)
Läs merin t ) t -V m ( ) in - Vm
1 Föreläsning 17/11 Hambley asni 14.5 14.7 Komparaorn ej i Hambley) En komparaor anänds för a agöra eckne på den differeniella insignalen. Komparaorn besår a en operaionsförsärkare som aningen saknar åerkoppling
Läs merDemodulering av digitalt modulerade signaler
Kompleeringsmaeriel ill TSEI67 Telekommunikaion Demodulering av digial modulerade signaler Mikael Olofsson Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie, 581 83 Linköping Februari 27 No: Denna uppsas
Läs merHambley avsnitt På föreläsningen behandlas även transkonduktans-, transresistans- och strömförstärkaren, se förra veckans anteckningar.
1 Föreläsning 19/11 Hambley asni 14.5 14.7 På föreläsningen behandlas äen ranskondukans, ransresisans och srömförsärkaren, se förra eckans aneckningar. Lie mer om komparaorn ej i Hambley) En komparaor
Läs merKurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
KONTROLLSKRIVNING Version A Kurs: HF Maemaisk saisik Lärare: Armin Halilovic Daum: 7 maj 6 Skrivid: 8:-: Tillåna hjälmedel: Miniräknare av vilken y som hels och formelblad som delas u i salen) Förbjudna
Läs merTentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.
Tenamensskrivning i Maemaik IV, 5B Tisdagen den 4 november 6, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges
Läs merSIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1
SIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET KLASSIFICERING AV SIGNALER Fem egenskaper a beaka vid klassificering. Är signalen idskoninuerlig eller idsdiskre? jämn och/eller udda? periodisk
Läs merSystem med variabel massa
Sysem med variabel massa (YF kap. 8.6) Generella Newon II: ሜF ex = dplj, där p lj = mഥv och ሜF d ex är alla yre krafer som verkar på föremåle. Om kroppens massa ändras genom a vi illför massor dm per idsenhe
Läs merVII. Om de trigonometriska funktionerna
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok VII. Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com VII. Om de rigonomeriska funkionerna (3) Inrodukion I de här kapile
Läs merKvalitativ analys av differentialekvationer
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Kvaliaiv analys av differenialekvaioner Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 1 (10) Inrodukion De
Läs merbättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller!
Whiepaper 24.9.2010 1 / 5 Jobba mindre, men smarare, och uppnå bäre säljprognoser med hjälp av maemaiska prognosmodeller! Förfaare: Johanna Småros Direkör, Skandinavien, D.Sc. (Tech.) johanna.smaros@relexsoluions.com
Läs merInformationsteknologi
Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik
Läs merDiverse 2(26) Laborationer 4(26)
Diverse 2(26) (Reglereknik) Marin Enqvis Reglereknik Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie Föreläsare och examinaorer: Marin Enqvis (ISY) Simin Nadjm-Tehrani (IDA) Lekionsassisener: Jonas Callmer
Läs mer= (x, y) : x 2 +y 2 4, x 0, y (4r2 +1) 3 2
Tenamensskrivning i Maemaik IV, SF1636(5B11,5B13). Tisdagen den 1 januari 1, kl 14-19. Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook. Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa.
Läs merDatorlaborationer i matematiska metoder E2, fk, del B (TMA980), ht05
Daorlaboraioner i maemaiska meoder E, fk, del B (TMA98), h5 Laboraionen är ej obligaorisk Den besår av re uppgifer som kan ge en bonuspoäng var vid enamina i maemaiska meoder, fk, del B, 5--6, vår 6 och
Läs merBandpassfilter inte så tydligt, skriv istället:
Allmänna synpunker Ni ar med för mycke maerial. Man måse ofa sovra för a få en kompak fokuserad och läsbar rappor Var ydligare med a beskriva den meod ni använ Härledngar onödig dealjerade För lie beskrivande
Läs merKURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))
Kurvor på parameerform KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3 P=xyz T=x y z r=xyz En kurva i R 3 anges ofas på parameerform med re skalära ekvaioner: x = f 1, y = f, z = f 3, D R * För varje får vi en
Läs merDifferentialekvationssystem
3227 Differenialekvaionssysem Behållaren A innehåller 2 lier, behållaren B innehäller 3 lier och behållaren C 4 lier salvaen Vid idpunken är salhalen i behållaren A 4 g, i behållaren B 2 g och i behållaren
Läs merInstitutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA AUGUSTI 2017
Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola ösningar TENTMEN I HÅFSTHETSÄR KF OCH F MH 081 16 UGUSTI 017 Tid och plas: 8.30 1.30 i M huse. ärare besöker salen ca 9.30 sam 11.30 Hjälpmedel:
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTMEN HF6 och HF8 Daum TEN 8 april Tid 8- nalys och linjär algebra, HF8 Medicinsk eknik), lärare: Jonas Senholm nalys och linjär algebra, HF8 Elekroeknik), lärare: Marina rakelyan Linjär algebra och
Läs merRepetitionsuppgifter
MVE5 H6 MATEMATIK Chalmers Repeiionsuppgifer Inegraler och illämpningar av inegraler. (a) Beräkna Avgör om den generaliserade inegralen arcan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergen eller divergen. Beräkna den
Läs merFÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén
FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av
Läs merIE1206 Inbyggd Elektronik
E06 nbyggd Elekronik F F3 F4 F Ö Ö P-block Dokumenaion, Seriecom Pulsgivare,, R, P, serie och parallell KK LAB Pulsgivare, Menyprogram Sar för programmeringsgruppuppgif Kirchoffs lagar Nodanalys Tvåpolsasen
Läs merLektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM
ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller
Läs mer3. Matematisk modellering
3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modellyper För design oc analys av reglersysem beöver man en maemaisk modell, som beskriver sysemes
Läs merLite grundläggande läkemedelskinetik
Lie grundläggande läkemedelskineik Maemaisk Modellering med Saisiska Tillämpningar (FMAF25) Anders Källén Inrodukion Farmakokineik eller mer svensk läkemedelskineik är en vikig disiplin vid uveklande av
Läs mer1. Geometriskt om grafer
Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Egenvärden och egenvekorer Definiion Lå F vara en linjär avbildning. Om ale λ och vekorn x uppfyller F (x) =λx, x 6= kallar vi x egenvekor och λ egenvärde ill F. Obs. Likheen är möjlig endas när F är en
Läs merHur simuleras Differential-Algebraiska Ekvationer?
Hur simuleras Differenial-Algebraiska Ekvaioner? Jonas Elbornsson December 2, 2000 1 Inledning Dea är en sammanfaning av meoder för simulering av Differenial-Algebraiska Ekvaioner (DAE) för kursen i Modellering
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN
LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär differenialekvaion (DE) av försa ordningen är en DE som kan skrivas på följande form ( = Q( () Formen kallas sandard form eller normaliserad form
Läs merFrån kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd.
Från kap. 5: Ohm s lag Hög poenial på den sida där srömmen går in Låg poenial på den sida där srömmen går u Man får allid e spänningsfall i srömmens rikning i e mosånd. Från kap. 5: Poenialskillnaden över
Läs mer1 Elektromagnetisk induktion
1 Elekromagneisk indukion Elfäl accelererar laddningar och magneiska fäl ändrar laddningars rörelserikning. en elekrisk kres är de baerie som gör arbee på elekronerna som ger upphov ill en sröm i kresen.
Läs mer9. Diskreta fouriertransformen (DFT)
Arbesmaerial 6, Signaler&Sysem I, 2003/E.. 9. Diskrea ourierransormen (DF) 9.1 eriodicie pulsåg Av 6.3(i), arb.mar.4, sid 50, ramgick a ourierransormen (F) av en unkion är e pulsåg X[k]δ( k/) med pulsavsånd
Läs merDIGITALTEKNIK. Laboration D171. Grindar och vippor
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elekronik Digialeknik Håkan Joëlson 2006-01-19 v 1.3 DIGITALTEKNIK Laboraion D171 Grindar och vippor Innehåll Uppgif 1...Grundläggande logiska grindar Uppgif 2...NAND-grindens
Läs merChalmers. Matematik- och fysikprovet 2010 Fysikdelen
Chalmers Teknisk fysik Teknisk maemaik Arkiekur och eknik Maemaik- och fysikprove 2010 ysikdelen Provid: 2h. Hjälpmedel: inga. På sisa sidan finns en lisa över fysikaliska konsaner m.m. som evenuell kan
Läs merSkattning av respirationshastighet (R) och syreöverföring (K LA ) i en aktivslamprocess Projektförslag
Beng Carlsson I ins, Avd f sysemeknik Uppsala universie Empirisk modellering, 009 Skaning av respiraionshasighe R och syreöverföring LA i en akivslamprocess rojekförslag Foo: Björn Halvarsson . Inledning
Läs merFunktionen som inte är en funktion
Funkionen som ine är en funkion Impuls En kraf f som under e viss idsinervall T verkar på en s.k. punkmassa, säer punkmassan i rörelse om den var i vila innan. Och om punkmassan är i rörelse när krafen
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 494 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsäningar som ges här är ine bindande för sudeneamensnämndens bedömning Censorerna besluar om de krierier
Läs merLaborationer / Gruppindelning. Kapitel 4: Interferens. Fri dämpad svängning. Förra veckan, fri svängning FAF260. Lars Rippe, Atomfysik/LTH 1
Lunds Uniersie Laboraioner / Gruppindelning Kapiel 4: Inerferens Inerferens ellan å ågor Sående ågor Säning Lunds Uniersie Förra eckan, fri sängning Lunds Uniersie Förra eckan, Tungen däpad sängning y
Läs mer5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER
5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv
Läs merLiten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion)
Insiuionen för maemaik KTH För Kursen 5B09/5B5: Lien formelsamling Speciella funkioner Språngfunkionen (Heavisides funkion) u() =, om > 0, 0, om < 0. Signumfunkionen sign =, om > 0,, om < 0. Rekangelfunkionen
Läs merIngen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning
Hans Andersson (FP), ordförande i Tiohundra nämnden varanna år och Karin Thalén, förvalningschef TioHundra bakom solarna som symboliserar a ingen ska falla mellan solar inom TioHundra. Ingen åervändo TioHundra
Läs merF5: Digital hårdvara. Digitala signaler. Fördelar med digitala system. Digital kontra Analog
F5: Digial hårdvara Digiala signaler Innehåll: - Digiala signaler - Grindar (gaes) - Symboler - Logiska kresar - Timing diagram - Fördröjningar - Tillsånd för digiala signaler - Logikfamiljer (CMOS, TTL)
Läs mera) Beräkna arean av triangeln ABC då A= ( 3,2,2), B=(4,3,3) och C=( 5,4,3).
TENTAMEN -Jan-8, HF och HF8 Momen: TEN (Linjär algebra), 4 hp, skriflig enamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 85-5, Plas: Campus Haninge
Läs merBASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator
Tryckoberoende elekronisk flödesregulaor Beskrivning är en komple produk som besår av e ryckoberoende A-spjäll med mäenhe som är ansluen ill en elekronisk flödesregulaor innehållande en dynamisk differensryckgivare.
Läs mer( ) är lika med ändringen av rörelse-
LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 9 LP 9. Impulslagen skris allmän Fd p() p( ) β och ualas: är lika med ändringen a rörelse- krafens impuls under idsineralle, mängden under samma idsinerall. y I dea problem
Läs merKursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden
Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera
Läs merRörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB
Rörelse Hur kan en acceleraion ara negai? Vad innebär de a en rörelse är likformig? Kan å händelser ara samidiga, men ändå ine? Vilken acceleraion får en fri fallande kropp? Vad menas med likformig accelererad
Läs meruhx, 0L f HxL, u t Hx, 0L ghxl, 0 < x < a
Vågekvaionen Vågekvaionen beskriver vågors ubredning vare sig de gäller ljudvågor, elekromagneiska vågor eller vibraioner i en sräng. Lå oss för enkelhes skull änka oss en horisonell uppspänd sräng som
Läs merFAQ. frequently asked questions
FAQ frequenly asked quesions På de följande sidorna har jag samla ihop några av de frågor jag under årens lopp få av sudener när diverse olika problem uppså i arbee med SPSS. De saisiska problemen har
Läs merKap a)-d), 4, 7 25, 26, 29, 33, 36, 44, 45, 49, 72, , 5.34, 5.38, 6.28, 8.47, 8.64, 8.94, 9.25, Kap.11ex.14, 11.54
Repeiion inför kursprove Fysik 1 Dea är uppgifer som jag rekommenderar i Övningsboken. Naurligvis kan de skilja lie från person ill person vilka områden du behöver räna på. Men dea är en grund för er alla.
Läs merTENTAMEN Datum: 12 mars 07. Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6A2111 TEN 2 (Matematisk statistik )
VERSION A TENTAMEN Daum: mars 7 Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H, 6L, 6A TEN (Maemaisk saisik ) Skrivid: 8:5-:5 Lärare: Armin Halilovic Kurskod 6H, 6L, 6A Hjälpmedel: Miniräknare av vilken yp
Läs merFREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30
Tekniska högskolan vid LiU Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam TENTAMEN I TPPE13 PRODUKTIONSEKONOMI för I,Ii FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18 Sal: Provkod:
Läs mer3 Rörelse och krafter 1
3 Rörelse och krafer Hasighe och acceleraion 3. ar är hasigheens sorlek. Sar: alsk 3. Medelhasigheen fås so Sar 5, /s 3.3 Medelhasigheen fås so s 5 /s 5, /s 5, 6 s s s slu sar. örflyningen sarar och sluar
Läs merAnalys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning
Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svesning Examensarbee uför i Reglereknik av Andreas Pilkvis LiTH-ISY-EX-- Linköping Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen
Läs merKolla baksidan på konvolut för checklista Föreläsning 6
0/1/014 10:17 Prakisk info, fors. Lös uppgif Fyll i e konvolu (åeranvänds ills uppgifen godkänd) TST0 lekronik Konvolu hias ovanpå den svara brevlåda som svar lämnas i Svar brevlåda placerad i samma korridor
Läs merInstitutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016
Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola TENTAMEN I HÅFASTHETSÄA F MHA 08 6 AI 06 ösningar Tid och plas: 8.30.30 i M huse. ärare besöker salen 9.30 sam.00 Hjälpmedel:. ärobok i hållfasheslära:
Läs merAMatematiska institutionen avd matematisk statistik
Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B1862 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 FREDAGEN DEN 1 JUNI 21 KL 8. 13. Examinaor : Lars Hols,
Läs merOrdinära differentialekvationer,
Ordinära dierenialekvaioner ODE:er sean@i.uu.se I is a ruism ha nohing is permanen excep change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver örändring oa i iden Modellen är beskriven i orm av
Läs merTekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl 8-12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
DEL - (Teoridel uan hjälpmedel). Vilken yp av ekvaion är dea: LÖSNINGAR ε x = E (σ x νσ y )+α T Ange vad sorheerna ε x, σ x, σ y, E, ν, α och T beyder, inklusive deras dimension (enhe) i SI-enheer. E maerialsamband
Läs merBetalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010
Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Saisiska cenralbyrån 2010 Balance of Paymens. Third quarer 2010 Saisics Sweden 2010 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,
Läs mer2. Ange dimensionen (enheten) hos följande storheter (använd SI-enheter): spänning, töjning, kraft, moment, förskjutning, deformation, vinkeländring.
Tekniska Högskolan i inköping, IKP DE 1 - (Teoridel uan hjälpmedel) ÖSNINGAR 1. (a) Vilka fysikaliska sorheer ingår (kan ingå) i e jämvikssamband? (b) Vilka fysikaliska sorheer ingår (kan ingå) i e kompaibiliessamband?
Läs merAMatematiska institutionen avd matematisk statistik
Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B86 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 LÖRDAGEN DEN 5 AUGUSTI KL 8. 3. Examinaor : Lars Hols, el.
Läs merTentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14.
STOCKHOLMS UNIVERSITET Naionalekonomiska insiuionen Mas Persson Tenamen på grundkursen EC1201: Makroeori med illämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. Tenamen besår av io frågor
Läs merTunga lyft och lite skäll för den som fixar felen
Tunga lyf och lie skäll för den som fixar felen De fixar soppe i avloppe, de rasiga gångjärne, den läckande vämaskinen. De blir uskällda, igenkända, välkomnade. A jobba hemma hos människor har sina särskilda
Läs mer4.2 Sant: Utfört arbete är lika stort som den energi som omvandlas p.g.a. arbetet. Svar: Sant
LÖSNINGSFÖRSLAG Fysik: Fysik och Kapiel 4 4 nergi nergiprincipen 4. nergin bearas. Allså är före efer,9,, ilke ger,9,,j, 6 J Sar:,6 J 3 3 Arbee, effek och erkningsgrad 4. San: Uför arbee är lika sor so
Läs merKOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET?
KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? En undersökning av hur väl kolpulver framkallar åldrade fingeravryck avsaa på en ickeporös ya. E specialarbee uför under kriminaleknisk grundubildning vid
Läs merTentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tenamen TEN, HF, 6 aug 6 Maemaisk saisik Kurskod HF Skrivid: 8:5-:5 Lärare och examinaor : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifoga formelhäfe ("Formler och abeller i saisik ") och miniräknare av vilken y som
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tenamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: 00-08-8 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Klas Nordberg besöker lokalen kl. 5.00 och 7.00 el 8634 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sax
Läs merLaboration 2. Minsta kvadratproblem
Laboraion Tillämpade Numeriska Meoder Minsa kvadraproblem Farid Bonawiede Michael Lion fabo@kh.se lion@kh.se 5 februari 5 Inledning När man har skapa en maemaisk modell som beskriver e viss fenomen vill
Läs merm Animering m Bilder m Grafik m Diskret representation -> kontinuerlig m En interpolerande funktion anvšnds fšr att
NŒgra illšmpningar Inerpolaion Modellfunkioner som saisfierar givna punker m Animering l m Bilder l l ršrelser,.ex. i ecknad film fšrger resizing m Grafik m Diskre represenaion -> koninuerlig 2 m Vi kšnner
Läs mern Ekonomiska kommentarer
n Ekonomiska kommenarer Riksbanken gör löpande prognoser för löneuvecklingen i den svenska ekonomin. Den lönesaisik som används som bas för Riksbankens olika löneprognoser är den månaliga konjunkurlönesaisiken.
Läs merLaboration D158. Sekvenskretsar. Namn: Datum: Kurs:
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elekronik Digialeknik Lars Wållberg/Håkan Joëlson 2001-02-28 v 3.1 ELEKTRONIK Digialeknik Laboraion D158 Sekvenskresar Namn: Daum: Eposadr: Kurs: Sudieprogram: Innehåll
Läs merAnm 3: Var noga med att läsa och studera kurslitteraturen.
TNA- Maemaisk grundkurs Repeiionsuppgifer (inklusive förslag ill planeringsförslag sam faci) -- Sien Nilsson Kurshemsida: hp://websaff.in.liu.se/~sini/tna.hm Hänvisningar FN = Forsling Nemark: Anals i
Läs merBetalningsbalansen. Andra kvartalet 2012
Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Second quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen
Läs mer