( ) är lika med ändringen av rörelse-

Transkript

1 LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 9 LP 9. Impulslagen skris allmän Fd p() p( ) β och ualas: är lika med ändringen a rörelse- krafens impuls under idsineralle, mängden under samma idsinerall. y I dea problem är golfbollen i ila från början så a sökrafens impuls är lika med bollens rörelsemängd m jus efer illslage. g sighöjd τ Fd m β x kasidd Vi känner kasidden d och eleaionsinkeln β för golfbollen. Med den i problemexen gina formeln ser man a denna kasidd kräer en begynnelsefar d g sin β. Impulsens sorlek är då m m dg sin β

2 LP 9. Impulslagen skris allmän Fd p() p( ) S 66 F S 66 F och ualas: är lika med ändringen a rörelse- krafens impuls under idsineralle, mängden under samma idsinerall. I dea problem är rörelsen rälinjig. Probleme är endimensionell och i kan därför skria impulslagen uan ekorbeeckningar. Vi skrier impulslagens horisonella komponen. Fd m m Om medelkrafen är F medel fås F medel m m F medel m m Numerisk fås F medel 5. N 79 N 6

3 LP 9.3 Impulslagen skris allmän F (kn) Fd p() p( ) (s) och ualas: är lika med ändringen a rörelse- krafens impuls under idsineralle, mängden under samma idsinerall. Impulslagens erikala komponen blir. Fd m m Vänserlede är den eferfrågade impulsen och den inegralen mosarar arean under kuran i diagramme. E ungefärlig ärde på impulsen fås då genom a räkna ruorna och muliplicera med den "area" som arje rua mosarar. En rua mosarar "arean" 5. kn. s 5 Ns Hela arean under kuran är ungefär 96 ruor Hela "arean" är allså 96 5 Ns 48 Ns Dea är också den oala erikala impulsen.

4 LP 9.4 Impulslagen skris allmän M Fd p p () () m Den gäller för de båda kropparna ar för sig och för hela syseme. De finns en sökraf på båda kropparna men efersom de har mosaa rikningar finns de i dea problem ingen yre kraf på hela syseme. Den oala rörelsemängden är därför konsan. Vi säger då också a rörelsemängden bearas. Anag a faren eferå är. Då fås Kineiska energin före söen är T m + M + m () m Kineiska energin efer söen är T M+ m m Om () unyjas fås T M m M m m M m ( + ) + + (4) (5) Energiförlusen är då T m T T m M+ m T m m M+ m (6) (7) Mm T M+ m Om man ill kan man skria dea M T M+ m m

5 LP 9.6 Impulslagen skris allmän Fd p() p( ) 4 Den gäller för de båda delarna och för hela syseme. De finns en separaionskraf på båda delarna men de finns i dea problem ingen yre kraf F på hela syseme. Den oala rörelsemängden är därför konsan. Vi säger då också a rörelsemängden bearas. De ger i rörelserikningen ekaionen 3m m + m () Resulae följer omedelbar 3 3 4

6 LP 9.7 N f mg S S S S Vi ska besämma lådans far som funkion a iden och frilägger den därför. Den påerkas a yngdkrafen mg, normalkrafen N, frikionskrafen f sam dragkrafen S från ajern. Förklaring ill dragkrafens sorlek är: Krafen S i ajern är gien. Om rissan är lä och lärörlig måse krafmomene med aseende på rissans axel ara noll. De beyder a krafen i ajern är lika på båda sidor om rissan. Krafekaionen för rissan ger på grund a a massan är noll a neokrafen i den horisonella rikningen måse ara noll. Frikionskrafen äxer ill en början i sorlek på samma sä som dragkrafen. Vid en iss idpunk som i kallar har frikionskrafen nå si maximala ärde f µ s N. Efer denna idpunk glider lådan arid frikionskrafen är f µ k N. Krafekaionens erikala komponen säger a N mg, efersom acceleraionen i denna rikning är noll. Krafekaionens horisonella komponen är S f för < () S µ smg för () S µ mg mx för > k Efersom dragkrafen är gien S k ges idpunken ges a ek () k µ mg s smg µ (4) k x Begynnelseillkore för lådans rörelse är x Lösningen ges nu a ek k µ kmg mx (5) Tidsinegrering ger 3 3 k [ µ kmg] mx m (6) 3 3 k ( ) µ kmg ( ) mx (7) 3 smg Resulae är allså a före idpunken µ är lådan i ila. Efer denna k idpunk är hasigheen k ẋ m 3 ( 3 ) g µ k ( ) 3

7 LP 9.4 Från början åker lådan ner en sräcka l och då bearas den mekaniska energin, efersom yngdkrafen är konserai och normalkrafen ine gör någo arbee: l N T + V T + V () 3 mg F Lådan sarar från ila. Insäning ger om luningsinkeln kallas β. m + + mglsin β () glsin β Nu berakar i uppbromsningen. Den "gina" krafen är F F + k, där F skall besämmas så a lådan sannar efer iden τ. Krafekaionen i rörelserikningen, som öerenssämmer med x-axelns rikning är Tidsinegrering ger mx F ( + k)+ mgsin β (4) τ τ mx [ ] F + k mgsin [ τ β ] (5) m m F + k mg + τ τ sin β τ (6) Obserera a dea är impulsekaionen Fd p p () Ek (6) ger den söka sorheen F F m g + sin β τ τ + kτ (7) Insäning a och β 3 ger sluligen F m gl + gτ τ + kτ

8 LP 9.5 A Vikerna friläggs. Varje ik påerkas a yngdkrafen och rådkrafen S. Efersom rissan är lä och lärörlig måse rådkrafen ara lika på båda sidor. S S x S S mg Rörelsen sarar från ila. Anag a den änsra iken får en förflyning x nedå. Om råden är oänjbar får den högra iken förflyningen x uppå. Vi skrier krafekaionens komponen nedå för den änsra och uppå för den högra iken. Mg Krafekaionen för ardera iken blir : S+ Mg Mx () : S mg mx () Tidsinegraion ger impulslagen för ardera: Addiion a ekaionerna eliminerar rådkrafen S S + Mg Mẋ S mg mx (4) Mg mg Mx + mx (5) M m ẋ M+ m g Sare är dimensionsrikig efersom en acceleraion gånger id mosarar en hasighe. Man kan också se a om massorna är lika är de jämik; om M >> m fås fri fall.

9 LP 9.6 N FRAGILE F Frilägg lådan. Den påerkas a den gina dragkrafen F, yngdkrafen mg, normalkrafen N och frikionskrafen f. Frikionskrafen f säller in sig för a moerka rörelsen. Den maximala frikionskraf som kan produceras är f mg f µ max N f µ mg max Till en början, id iden, orkar frikionskrafen hålla e jämiksillsånd efersom dragkrafen F a+ b då enlig problemexen är mindre än f µ max mg. När sedan dragkrafen ökar sarar rörelsen jus då + F a b µ mg ( µ mg a) () b Efer denna idpunk accelereras lådan, arid frikionskrafen är konsan. Krafekaionen i rörelserikningen är mx a + b µ mg () Tidsinegraion ger impulslagen för lådan: mx m a + b [ µ mg ] a ( b mg m )+ ( ) µ Före iden är lådan i ila.

10 LP 9.8 efer sö Vi ska besämma hasigheerna efer sö för å olika sudsal. Vi äljer a göra en lösning för e godycklig sudsal e. Efersom de ine finns några yre krafer på hela syseme (de å hyl- sorna) i rörelserikningen bearas den oala rörelsemängden enlig impulslagen: Fd p() p( ) Med andra ord, efersom den oala yre krafen F så är rörelsemängden p för hela syseme densamma före och efer sö: : m m m' + m ' () där ' och ' är hasigheerna efer sö. Sudsales definiion e () ' ' ger här e De är här ikig i både ekaion () och () a räkna med hasigheskomponenerna i någon förubesämd rikning. Ekaionerna () och kan skrias ' + ' (') e ' ' (3') 3 och ger resulae ' e 3 a) Om sudsale är e fås resulae ; ' ( + e) 3 ' ; ' Dea sudsal mosarar en fullsändig oelasisk sö. Kropparna fasnar i arandra som lerklumpar. b) Om sudsale är e fås resulae ' ; ' Dea sudsal mosarar en elasisk sö. Kropparna "byer" hasigheer om de har samma massa.

11 LP 9.9 F sö Hammarhuude påerkas a lika sor sökraf F sö som spiken. Denna krafs impuls soppar hammarens rörelse medan spiken får en impuls nerå. Impulslagen Fd p() p( ) f ger för hammaren i erikal rikning uppå F M söd () F sö Spiken får allså under konakiden lika sor impuls F M () Spikens begynnelsehasighe nerå efer söen kallas spik. Spikens rörelsemängd i början är lika med impulsen som den får: söd m M spik M m spik Efer söen påerkas spiken i rörelserikningen a frikionskrafen f och yngdkrafen. Anag a yngdkrafen kan försummas! Lagen om den kineiska energin U m m ger f d mspik f m spik d (4) Insäning a ger f m M d m f ( M ) md (5) Numerisk fås f ( 6. 3). 8. N kn I eferhand kan i konsaera a denna kraf är mycke sörre än den försummade yngdkrafen mg. 8N. Sökrafens sorlek beror enlig () på söiden, som ine är gien.

12 LP 9. m A N mg r O r F fjäder B F fjäder N C mg Processen besår a re olika delar. Förs glider hylsan A nerå längs den glaa sången. Sedan sker i nedersa läge en sö mo hylsan B. Efer denna korariga sö under ilken läge ej ändras rör sig kropparna illsammans mo C. För den försa delen a rörelsen gäller a hylsan A påerkas a yngdkrafen, fjäderkrafen och normalkrafen. Den mekaniska energin bearas efersom både yngdkrafen och fjäderkrafen är konseraia medan normalkrafen ine gör någo arbee. Fjäderns längd är från början enlig Pyhagoras 5r Den mekaniska energin för hylsan A bearas: T + V T + V () Insäning ger m mg r + k 5 r () k 4 gr+ ( 5 ) r m Före sö har allså hylsan A faren k 4 gr+ ( 5 ) r (4) m För söen gäller impulslagen för hela syseme Fd p p () (5) som säger a den oala rörelsemängden bearas för hela syseme (båda hylsorna) : m + ( m + m) (6) 3 Under den sisa delen a rörelsen gäller åerigen mekaniska energilagen. De å kropparna påerkas a fjäderkrafen, yngdkrafen och normalkrafen. Endas fjäderkrafen gör arbee. Anag a fjäderns maximala förlängning blir δ 3 3 m k δ δ m k 3m δ k 3 3m k δ gr r 3 k m.7 m

13 LP 9. Före Efer β Hasigheerna för båda kropparna (skaeboard och åkare) ändras under e iss idsinerall. För dea idsinerall gäller impulslagen för hela syseme Fd p p () () I den horisonella rikningen erkar frikionskrafen på båda kropparna. På hela syseme finns de dock ingen horisonell kraf. Insäning ger allså för hela syseme i den horisonella rikningen: + M m M cos β () M cosβ M+ m Anag a den oala erikala impulsen på åkaren är I. Impulslagen för skaeboardåkaren i den erikala rikningen uppå då masscenrums erikala hasighe blii noll blir I M sin β I M sin β Numerisk erhålles m/s 47. m/s 5m/s I 36 6 Ns 8 Ns Ns

14 LP 9.4 Bilens hasighesillsånd före och efer söen är kän. Sudsale definieras Fsö x e () Alla hasigheer måse räknas posii å e och samma håll. De är allså hasigheskomponenerna som ingår i ek (). Om en x-axel införs kan man också skria x x e () x x I dea problem har den ena kroppen (äggen) hasigheen noll. Insäning i () ger då e e b) Sökrafen ges i arje ögonblick a krafekaionen F m sö d x x (4) d Sökrafens medelärde besäms ur samma ekaion: F m sö x ( x ) (5) medel Hasighesändringen x under söiden τ ger medelacceleraionen. Insäning ger F m sö ( x ) (6) medel τ sö ( F x ) kgms N (7) medel 3. c) Acceleraionens medelärde framgår a föregående ( ax ) medel τ ( a x ) medel m/s (8) d) Energiförlusen är densamma som ändringen i kineiskenergi och kan skrias T T T m m (9) Med anändning a () fås T m( 5 ) m ( e ) m () 6 Den del a kineiska energin som går förlorad är allså T 5

15 LP 9.5 Hela processen kan delas upp i re delar: M m Före sö h.hammaren uför fri fall,. sö hammare-påle, 3. pålen åker ner i marken. För hammarens fria fall gäller a den mekaniska energin beara T + V T + V () Anag a hammarens far omedelbar före söen är. Insäning i () ger M + + Mgh () gh För söen gäller a rörelsemängden bearas efersom inerkan a andra krafer än sökrafen kan försummas under söiden. Anag a pålens far omedelbar efer söen är. Hammarens far är enlig exen noll efer sö. Vi får för rörelsemängden M + + m (4) a) Ek och (4) ger pålens far omedelbar efer sö: M m gh (5) b) Sudsale definieras i eorin e (6) Efer sö Insäning ger e e (7) Sudsale är allså, om (5) unyjas e M m gh gh e M m Obserera förusäningen a hammaren förlorar all sin far. Sudsale besäms

16 LP 9.7 N x Kedjan kan knappas sägas ara en parikel men i e a krafekaionen gäller för arje delkropp och i kan med den besämma masscenrums rörelse. Krafekaionen kan skrias F ma G eller F p, där p är den oala rörelsemängden p m k k mg 3476 Kedjan påerkas a yngdkrafen mg och normalkrafen N från ågen. Krafekaionens erikala komponen för hela kedjan skris då dpx : N + mg () d a) Vid fri fall är acceleraionen densamma för alla länkar. Varje länk faller allså oberoende a de andra. Vi anar också a de ine förmedlas någon kraferkan från ågen och uppå. Vid fri fall för en massparikel m fås faren som funkion a läge med mekaniska energilagen: T + V T + V mx mgx + ẋ gx () b) Kedjans oala rörelsemängd är då massan a den del som befinner sig i lufen gånger hasigheen, som beräknas i a): L x p L mx x c) Tidsderiaan a rörelsemängden blir d d d p m d L L x x m ( x) ( ) xx L xx [ L ( ) + ( ) ] (4) Acceleraionen är känd och hasigheen är beräknad i (). Insäning ger Insäning i krafekaionen () ger d d p m ( gx L x g mg x L L mg x) [ + ( ) ] 3 + (5) N + mg 3 mg x + L mg (6) N 3mg x L Vågen isar e uslag mosarande re gånger yngden då den öersa länken når ågen. De fordras en sor kraf för a soppa den sisa länken.

17 LP 9.8 Impulslagen för hela syseme Fd p p () () säger a den oala rörelsemängden bearas efersom de ine finns någon yre kraf F på syseme i rörelserikningen. Anag a hasigheen eferå är '! Rörelsemängden bearas ger då m m m' () Kineiska energin före söen är T m + m Kineiska energin efer söen är T' m' Om () unyjas fås T' m' m( ) 4 Energiförlusen är då T T T' m + m m 4 ( ) T' m + m m + 4 (4) (5) (6) (7) Hur sor del är dea a den ursprungliga energin? T' m + + (8) 4 T T ( ) m m + m T T T T + + (9) Om agnarna från början har lika sor far så är T. All kineisk energi T förloras då agnarna sår silla efer söen. Om så är T T. Hala den kineiska energin förloras då enlig () faren har haleras men massan dubblas.