VÄXELSTRÖM. Växelströmmens anatomi
|
|
- Lennart Sandström
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 VÄXESTÖM Nu skall vi lämna den relaiv sabila liksrömmens värd, säa snurr på saker och ing och gräva fram komplexmaen i illämpningens ljus. iksröm är egenligen bara e specialfall av växelsröm, fas med frekvensen 0. Växelsrömmens anaomi Till skillnad från liksrömmen så varierar växelsrömmen polarie i e periodisk förlopp. I våra krafnä härrör denna periodicie från generaorns spolar som rör sig cirkulär genom e magnefäl. Jus denna cirkulära rörelse är upphove ill de vi kallar sinusformad växelspänning. Denna låer sig beskrivas som en kurva, en vågform, med en ampliud som funkion av iden. När vi suderar växelsrömmen med e oscilloskop kommer den a visas på den här formen. Vi riar upp e definiionsexempel enlig följande: û ampliuden ω vinkelfrekvensen (rad/s) T periodid (s) f frekvens i Hz f T ω π f u û sin u û sin ( ω ) ( ω + φ) φ fasvinkeln i grader
2 Visardiagram E anna, och i dessa sammanhang mycke prakisk sä a represenera en sinusformad sorhe som växelsröm är a använda e s.k. visardiagram. I sälle för e ordinär x/y diagram, använder vi oss av en roerande visare där visarens längd kommer a mosvara spänningens oppvärde, och dess argumen (vinkeln) ersäer idsaxeln. Växelspänningens frekvens är allså hur snabb visaren roerar, därav begreppe vinkelhasighe för en frekvens uryck i radianer per sekund. (Brukar beecknas med lilla omega; ω.) Beraka urycke u û sin( ω + φ). Vid iden 0 blir u φ 0 û sin Visaren û får vid idpunken 0 följande läge: Om inge anna anges änker vi oss a urycke u û sin( ω + φ) represeneras av en visare û som bildar vinkeln φ med den posiiva x-axeln. Posiiva x-axeln kallar vi i dea sammanhang för referensrikning.
3 Beeckningssä: De sinusformade urycke: u ( ω +φ) û sin (våg-form) represeneras av en visare û som vi beecknar på följande sä: eller på följande sä: u û φ (visar-/polär form) u û e j φ (exponenform) Dea uläses Visaren û har längden/beloppe û och bildar vinkeln φ med referensrikningen. På vi kan även urycka de som: u a + jb (rekangulär form) Observera a vi i elekroniken använder j isälle för i när vi åsyfar de imaginära alplane, dea för a ine blanda ihop de med i varierande sröm. û + b φ arcan a a û cosφ b û sinφ a b (pyhagoras sas) Observera Genom a gå över ill visarform har vi ine med iden i urycke längre. Vi har gå över från idsdomän ill frekvensdomän.
4 Genom a införa visarrepresenaion kan vi enkel behandla växelsrömskresar. A arbea med växelsröm förefaller en smula komplicera, efersom spänningen hela iden växlar sorlek och rikning, men genom a på dea sä införa en maemaisk sorhe med vekorkarakär så kan vi räkna med den precis som med vanlig vekorräkning. När beräkningen är sluförd har man som resula en spänning i vekorform, som enkel kan åerföras ill idsdomänen. Addiion och subrakion kan uföras geomerisk/analyisk med visardiagram ine hel olika mekanikens krafredukionsdiagram. Man kan välja a ria enlig polygon- eller parallellogrammeoden, men resulae blir givevis desamma....och om vi har omvän ecken på den ena spänningskällan:
5 Komponener och växelsrömsegenskaper Några olika komponener, resisorn, kondensaorn och spolen kan sammansällas med avseende på sina växelsrömsegenskaper: esisor Kondensaor Spole symbol: symbol: symbol: esisans Kapacians Indukans Ohm Ω Farad F Henry H u i u i d u Frekvensoberoende Frekvensberoende Frekvensberoende u och i ligger i fas u ligger 90 efer i (-90 ) u ligger 90 före i (90 ) di d i î u û sin ( ω ) i î sin( ω ) i î sin( ω ) sin( ω ) o o u û sin( ω 90 ) u û sin( ω + 90 ) Z Z X j ω ω Z ω j Z X j ω ω
6 esisorer esisorns egenskap är a ugöra e hinder för srömmen, och denna egenskap kallas resisans. esisansen är fullsändig frekvensoberoende, och därill hel reell i de komplexa perspekive. esisansen mäs och anges i enheen Ohm. esisorer uförs i olika varianer och av olika maerial. Kolmassa var vanlig förr i iden, men numera görs de ofas av en meallfilm på en keramisk kropp. Även rådlindade mosånd förekommer, framför all vid höga effeker. Alla maerial har e elekrisk mosånd, resisivie, och denna varierar också i varierande grad med avseende på emperauren. Ideal resisor Den ideala resisorn är fullkomlig frekvensoberoende, och sröm såväl som spänning följs å i samma fas. Srömmen över resisansen kan vi eckna: û î 0 Som synes är de gamla hederliga ohms lag, och vinkeln 0. Verklig resisor I många fall är även den verkliga resisorn så pass nära den ideala a vi ine behöver änka på de, men framför all vid höga frekvenser kommer även den minsa lilla elekriska ledare a uppvisa en påaglig egen indukans! En ledning behöver ine vara formad som en spole för a ge upphov ill en indukans. Vissa mosånd är dessuom rådlindade, och besår därigenom i sig själv av en spole. Dessuom uppsår kapacianser mellan spolens varv.
7 Kondensaorer Kondensaorns grundläggande egenskap kallas kapacians och är dess förmåga a lagra elekrisk laddning. Kondensaorn kan ses som vå plaor med en spal av luf eller anna icke-ledande maerial emellan. Avsånde mellan plaorna och plaornas sorlek avgör kondensaorns kapacians, som mäs i Farad. En Farad urycks F och är en mycke sor enhe, varför den i prakiken urycks som mikro- nano- och pikofarad, dvs 0-6, 0-9 och 0 - Farad. För a minska avsånde mellan kondensaorns elekroder använder man andra isolerande maerial än luf mellan dem. Dessa maerial kan göras mycke unna, och besier dessuom en förmåga som kallas permiivie. Dea innebär a elekronerna i sina banor i maeriales aomer förskjus, så a en sors negaiv yngdpunk bildas. Aomen blir då en elekrisk dipol, och dessa kan då vrida sig och anaga samma rikning som de elekriska fäle mellan elekroderna. Dea gör a verkan av avsånde mellan elekroderna minskar, och kapaciansen ökar. Denna förmåga gör a man kallar isolaionsmaeriale för dielekrikum. Om man vill räkna u kondensaorns kapacians gäller följande formel: ε A D där kapaciansen i Farad A arean i m d avsånde mellan elekroderna i m ε permiivieen. Permiivieen är egenligen ε 0. ε r där ε 0 permeivieen i vacuum (8, ) och ε r dielekricieskonsanen. Dielekricieskonsanen är e relaiv al som beskriver dielekrikumes permiivie i förhållande ill vacuumes permiivie. Dielekricieskonsanen för några maerial: uf Vaen 80 Glas 0 Polyeser 3,3 Keramik Kondensaorn har e sor anal användningsområden. Som kopplingskondensaor blockerar den en likspänning, men leder en växelspänning vidare. Som avkopplingskondensaor korsluer den en växelspänning som är överlagrad på en likspänning. I filer och resonanskresar används kondensaorn, ofa illsammans med mosånd och/eller en spole som frekvensbesämmande komponen. Man använder kondensaorns upp- och urladdningsid som idsbesämmande konsan i.ex. asabila vippor. Kondensaorn uppvisar e frekvensberoende mosånd som kallas kapaciiv reakans. Denna urycks som: X ω där Xc reakansen i Ω ω vinkelfrekvensen (. π. f (i Herz) ) i ad/s kapaciansen i F
8 Ideal kondensaor Som nämns idigare skulle en ideal kondensaor bara ha en kapaciiv reakans och ingen resisans eller indukans. Väl dimensionerade kondensaorer gör dock a vi åminsone vid lie lägre frekvenser kan räkna med dem som ideala. Spänningen över kondensaorn är proporionell mo inegralen i d, och vi kan sälla upp dea analyisk enlig följande: u î î i d î sin 90 ω ω ( ω ) cos( ω ) sin( ω ) Sålunda finner vi a spänningen över kondensaorn är omvän proporionell mo vinkelhasigheen (frekvensen) och 90 grader (eller π/) efer srömmen som är rikfas eakansen, dvs de frekvensberoende mosånde är omvän proporionell mo vinkelhasigheen, dvs reakansen minskar med högre frekvens. X ω Verklig kondensaor Dea gäller givevis en ideal kondensaor. I prakiken får varje kondensaor såväl en resisiv som en indukiv påverkan från ansluningar osv. Kresens verkliga växelsrömsmosånd, impedansen, kommer därför a skilja en smula. Upp- och urladdning av en kondensaor ar allid en viss id. Med idskonsanen τ (au) åsyfar man den id de ar för laddningen a nå ill -e - (ca 63.%) av spänningen i saionärillsånde. Denna uryckes som: τ där τ iden i sekunder serieresisansen i Ω kapaciansen i Farad Serieresisansen avser resisansen i ansluningar, elekroder och evenuella förluser i dielekrikume.
9 Spolar Spolen kallas även indukor och dess grundläggande egenskap kallas indukans. Denna anges i enheen Henry (H). Spolen ugörs i princip av en ledare lindad e anal varv, med eller uan kärna. Spolens indukans är den egenskap som moverkar alla förändringar i srömmen som går igenom den. Vid srömförändringar i spolen uppsår en morikad spänning som kallas mo-emk. En spole med indukansen H har en mo-emk på V då srömmen förändras med A/s. Spolar har e anal användningsområden, bland anna i avsämda filer och svängningskresar för a blockera eller välja u vissa frekvenser. De kan även användas för liksrömsfilrering och energilagring i olika yper av näaggrega. Spolen har e frekvensberoende mosånd som kallas reakans, och en likspänningsresisans i själva råden. Den indukiva reakansen X urycks: X ω där X spolens reakans i Ω ω vinkelfrekvensen (. π. f (i Herz) ) i ad/s indukansen i Henry Ideal spole (indukor) En ideal spole skulle ha en resisans 0. Tråkig nog finns inga sådana spolar a illgå i verkligheen, men med lämplig uformning av spolen, och i relaiv lågfrekvena illämpningar kan vi ofa räkna med a resisansen är försumbar. Som nämndes sis är spänningen över en spole proporionell mo srömderivaan di/d. Sålunda ser vi a vid srömmens oppvärden, dvs di/d 0 är spänningen noll, och vid di/d:s maxvärde, är spänningen max. Ur grafen kan vi då analog se a spänningen ligger 90 grader, eller π/ rad före srömmen, som vi anger som rikfas. Om man vill visa sig på syva linan en sund kan man ju sälla upp de analyisk: Spänningen över spolen är lika med indukansen gånger srömderivaan di/d enlig följande: d u î sin( ω ) î ω cos( ω ) î ω sin( 90 ω ) d u î ω sin ω + 90 ( ) Som synes får vi en posiiv 90 graders fasskillnad mellan û och î som är rikfas. Spänningen och därmed reakansen hos spolen är proporionell mo vinkelhasigheen. X ω
10 Verklig spole (indukor) Spolens oala impedans, dvs kombinaionen av resisans och reakans blir e komplex al, efersom reakansen är komplex. Z X + Spolen har yerligare en egenskap som benämnes Q-värde efer QQualiy (en äldre benämning är godhesal). Dea är kvoen mellan spolens reakans och serieresisans. ägre resisans ger högre Q-värde och möjliggör bl.a. konsrukion av branare filer. Q X S Går vi yerligare upp i frekvens kommer verkan av kapacians mellan spolens varv a börja påverka, och modellen blir yerligare lie mer komplicerad.
11 Transiener Vad är en ransien signal? Definiionsmässig är de en spänning eller sröm som varierar som funkion av iden och som är en konsekvens av en plöslig förändring i insignalen / invärde. E exempel på dea är vid påslag och/eller frånslag av spänning över en kondensaor i serie med en resisans. När man iar på de ransiena förloppe i en viss kres kan man dela upp dea i vå delar; den ransiena delen (ransien) och den saionära delen (seady sae). Transiener i -kresar Vi änker oss en srömkälla i serie med en bryare, en resisans och en kapacians enlig vidsående bild. När bryaren är öppen går ingen sröm genom kresen. Kondensaorn är oladdad. När bryaren slus vid 0 kommer srömmen a rusa in i kondensaorn i dess uppladdningsförlopp. Srömmen i kresen kommer a bli som följande: i E e Vid 0 kommer a vara irrelevan efersom exponenurycke, och srömmen i kresen och därigenom in i kondensaorn kommer a vara lika med E genom. ikaså är spänningen över kondensaorn vid 0 lika med 0V. Sedan laddas kondensaorn upp som funkion av iden, och srömmen I kommer a gå mo noll enär går mo. i exponenurycke är vad som brukar kallas kresens idskonsan. När srömmen in i kondensaorn minskar ökar spänningen över den, för a ill slu plana u och gå mo E. När mindre än % skiljer Uc från E anager vi a kondensaorn är uppladdad, vilke sker efer knapp 5 idskonsaner. Spänningen över kan uryckas: u E e Observera a när idskonsanenτ så får vi: u ( E e ) 0,63E som nämndes idigare.
12 Exempel i verkliga live: Som synes beror srömmen i kresen bl.a. på konsanen. En ideal kondensaor kopplad direk ill e baeri skulle allså laddas oändlig snabb med oändlig sröm. Ideala kondensaorer finns ine, men direk kopplade ill srömkällan kan de allså vid illslag dra oerhörda mängder sröm. I prakiken får dea effek i.ex. en bilsereoförsärkare, där man brukar ha mycke sora kapacianser som energireserv. A koppla in dessa ill srömkällan direk kan ge så sora srömmar a säkringarna brinner av! Därför är vissa liknande apparaer försedda med en serieresisans vid uppsaren, för a ladda upp kondensaorerna lie försikigare. När kondensaorn laddas upp fullsändig kan vi anaga a spänningen u c E. Om vi så kopplar bor den ursprungliga källan E genom a korslua den, laddar vi ur kondensaorn genom. Dea ger analog med idigare resonemang följande uryck: u E e Srömmen ic urycks på samma sä som idigare, fas den här gången går den å andra hålle. i E e En kondensaor som laddas upp skulle, om den vore ideal, behålla sin laddning och därmed spänning i all oändlighe, men alla verkliga kondensaorer har förluser, och denna verkar som e genom vilken kondensaorn saka urladdas. Iniialvärden Om nu kondensaorn i föregående kres ine var hel urladdad, uan hade en spänning U vid 0, vad händer då? Jo, kondensaorns uppladdningscykel sarar ifrån dea iniialvärde, och vi får följande modifierade uryck: u ( E U ) e u E + ( U E) e U i + i i
13 Transiener i -kresar Uppladdningsfasen Om vi änker oss en ny kres med en indukor isälle för en kapacians, i serie med e mosånd, en bryare och en srönkälla så får vi ånyo en kres med ransiena egenskaper, liknande kresen men värom så a säga. Då bryaren slus vid iden 0 ligger hel plöslig, e oändlig kor ögonblick, hela E över spolen. Därigenom kommer ögonblicke eferå srömmen a omedelbar börja flöda in i spolen. Spolens egenskaper är då sådana a den moverkar srömändringar genom a de induceras en s.k. mo-emk i spolen. När kresen nå si sabila illsånd har dock srömmen plana u (srömändringen 0) och därigenom är den morikade spänningen över 0. (Dea förusäer förvisso en ideal indukor) Srömmen genom kan ecknas som: E i e Tidskonsanen för -kresen åerfinner vi även här i exponenurycke, och för -kresen ecknas denna som: τ Vidare kan spänningen över ecknas som: u E e
14 Urladdningsfasen Om vi iar på hur kondensaorn respekive spolen lagrar energi, finner vi a kondensaorn lagrar sin energi i form av e elekrosaisk fäl, medan spolen lagrar energin i e magnefäl skapa av srömmen genom spolen. Dea ger en del inressana konsekvenser. Efersom energin i spolen är beroende av srömflöde genom densamma, kommer den a avge denna energi om srömmen plöslig avbrys. En presumpiv oändlig snabb bryning av srömmen skulle sålunda ge upphov ill en oändlig poenial (mo-emk:n) över spolen. u di d I prakiken uppnår vi ine de oändliga, men med e snabb avbro av srömmen genom en spole kan vi få en mycke hög spänning över den, sark nog a skapa en gnisa, och skada komponener som är känsliga för höga spänningar. Tändspolen i en bil är e exempel på dea fenomen. Om vi vill koppla upp en kres för a mäa urladdningsfasen hos en spole är de allså en fördel a koppla den på e annorlunda sä för a undvika den plösliga srömförändringen och åföljande spänningsopp. När då bryaren öppnas kan vi urycka de resulerande urladdningsförloppe: i I 0 e τ ' där I 0 E τ ' + Och vad gäller spänningen sker följande: u u u + u E + i + i i ( + ) ( + ) E E + Och dea innebär a spänningen över blir sörre än E relaiv fakorn genom. När bryaren slus kommer spolen a polvända ill en spänning enlig ovan.
15 Impedans Efersom vi nu konsaera a vi får komplexa sorheer i ekvaionerna när vi räknar på dessa, så använder vi vanlig vekormaemaik för a räkna u spänningar och srömmar när vi kombinerar de olika elemenen. Kreselemen med komplexa sorheer innebär även a deras impedans blir komplex. Med impedans menar vi kvoen û/î genom kreselemene. Impedansen benämns med Z och dess belopp Z urycks i Ohm, dess argumen (vinkeln φ) urycks i grader eller radianer. Impedansen räknas också vekoriell och analog med spänningarna. Som exempel kan vi a vidsående kres med en resisans och en spole i serie. Då får vi e visardiagram enlig följande: ( ) Pyhagoras sas ger: û ( î ) + ( î ω ) î + ( ω ) Vi bildar kvoen: û î Z + ω ( ) î ω an φ î ω Om vi sedan riar om beräkningsriangeln, och byer u û mo î Z så får vi följande figur:
16 Och om vi sedan dividerar alla sidorna med î övergår spänningsriangeln i en likformig riangel, där sidorna har dimensionen Ohm. Denna riangel kallas Impedansriangeln och ser u enlig följande: Gör vi mosvarande sak fas med en resisans i serie med en kondensaor får vi en liknande, fas invererad, riangel. Kvoen û/i kvarsår, och får då formeln: û î Z + ω en generell kan vi säga a beloppe av den komplexa sorheen impedans Z fås enlig: û î Z + X där X sår för reakansen i allmänhe. Vid ren resisiv kres (ω 0) blir Z och φ 0 Vid ren indukiv kres ( 0) blir Z ω och φ 90 Vid ren kapaciiv kres (0) blir Z ω och φ 90 Genom a beraka de komplexa sorheerna grafisk och geomerisk på de hör förevisade säe kan man relaiv snabb förså ingens ordning. E eleganare sä a lösa problemen är försås de ren maemaiska, den s.k. jω-meoden, där vi urycker all den på rekangulära formen a+jb.
IE1206 Inbyggd Elektronik
E06 nbyggd Elekronik F F3 F4 F Ö Ö P-block Dokumenaion, Seriecom Pulsgivare,, R, P, serie och parallell KK LAB Pulsgivare, Menyprogram Sar för programmeringsgruppuppgif Kirchoffs lagar Nodanalys Tvåpolsasen
Läs merFrån kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd.
Från kap. 5: Ohm s lag Hög poenial på den sida där srömmen går in Låg poenial på den sida där srömmen går u Man får allid e spänningsfall i srömmens rikning i e mosånd. Från kap. 5: Poenialskillnaden över
Läs merIF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen
IF1330 Ellära F/Ö1 F/Ö4 F/Ö F/Ö5 F/Ö3 Srömkreslära Mäinsrumen Baerier Liksrömsnä Tvåpolsasen KK1 LAB1 Mäning av U och I F/Ö6 F/Ö7 Magnekres Kondensaor Transiener KK LAB Tvåpol mä och sim F/Ö8 F/Ö9 KK3
Läs mer1 Elektromagnetisk induktion
1 Elekromagneisk indukion Elfäl accelererar laddningar och magneiska fäl ändrar laddningars rörelserikning. en elekrisk kres är de baerie som gör arbee på elekronerna som ger upphov ill en sröm i kresen.
Läs merMät upp- och urladdning av kondensatorer
elab011a Namn Daum Handledarens sign. Laboraion Mä upp- och urladdning av kondensaorer Varför denna laboraion? Oscilloskope är e vikig insrumen för a sudera kurvformer. Avsiken med den här laboraionen
Läs merES, ISY Andra kurser under ht 2014! Räkna inte med att ha en massa tid då! Och ni har nog glömt en del så dags...
Prakisk info, fors. ös uppgif Fyll i e konvolu (åeranvänds ills uppgifen godkänd TST0 lekronik Konvolu hias ovanpå den svara brevlåda som svar lämnas i Svar brevlåda placerad i samma korridor som Kens
Läs merLaboration 3: Växelström och komponenter
TSTE20 Elekronik Laboraion 3: Växelsröm och komponener v0.2 Ken Palmkvis, ISY, LiU Laboraner Namn Personnummer Godkänd 1 Översik I denna labb kommer ni undersöka beeende när växelspänningar av olika frekvens
Läs merTermodynamik med tillämpningar. Fysikkurs (FAFA45) för V Kursens historia CEQ Kursens historia forts. Slutsats:
Termodynamik med illämpningar Fysikkurs (FAFA45) för V1 010 Elisabeh Nilsson hp://kurslab.fysik.lh.se/v1fysik Kursens hisoria EQ 009 Kursens hisoria fors. Då är de lä a ge upp! Slusas: Programledning V
Läs mer2 Laboration 2. Positionsmätning
2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni
Läs merKolla baksidan på konvolut för checklista Föreläsning 6
0/1/014 10:17 Prakisk info, fors. Lös uppgif Fyll i e konvolu (åeranvänds ills uppgifen godkänd) TST0 lekronik Konvolu hias ovanpå den svara brevlåda som svar lämnas i Svar brevlåda placerad i samma korridor
Läs merLABORATION 1 ELEKTRISK MÄTTEKNIK OCH MÄTINSTRUMENT
nsiuionen för fysik och maerialveenskap Beng Lindgren, jan 9 LABORAON ELEKRSK MÄEKNK OCH MÄNSRMEN Mål: A kunna hanera de vanligase mekaniska och elekriska mäinsrumenen. A kunna koppla upp enklare elekronikkresar
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)
TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns
Läs merBandpassfilter inte så tydligt, skriv istället:
Allmänna synpunker Ni ar med för mycke maerial. Man måse ofa sovra för a få en kompak fokuserad och läsbar rappor Var ydligare med a beskriva den meod ni använ Härledngar onödig dealjerade För lie beskrivande
Läs merOm antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation
1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara
Läs merFöreläsning 19: Fria svängningar I
1 KOMIHÅG 18: --------------------------------- Ellipsbanans soraxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 19: Fria svängningar I Fjäderkrafen
Läs merLösningar till Matematisk analys IV,
Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en
Läs merIE1206 Inbyggd Elektronik
IE06 Inbygg Elekronik F F3 F4 F Ö Ö PI-block Dokumenaion, Seriecom Pulsgivare I, U, R, P, serie och parallell KK LAB Pulsgivare, Menyprogram Sar för programmeringsgruppuppgif Kirchhoffs lagar Noanalys
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTMEN HF6 och HF8 Daum TEN 8 april Tid 8- nalys och linjär algebra, HF8 Medicinsk eknik), lärare: Jonas Senholm nalys och linjär algebra, HF8 Elekroeknik), lärare: Marina rakelyan Linjär algebra och
Läs merGenom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000
Lekion, Flervariabelanals den 9 januari..6 Finn hasighe, far och acceleraion vid idpunk av en parikel med lägesvekorn Genom a urcka -koordinaen i ser vi a kurvan är funkionsgrafen ill. Beskriv också parikelns
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning
OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A
Läs merDemodulering av digitalt modulerade signaler
Kompleeringsmaeriel ill TSEI67 Telekommunikaion Demodulering av digial modulerade signaler Mikael Olofsson Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie, 581 83 Linköping Februari 27 No: Denna uppsas
Läs merLaboration D158. Sekvenskretsar. Namn: Datum: Kurs:
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elekronik Digialeknik Lars Wållberg/Håkan Joëlson 2001-02-28 v 3.1 ELEKTRONIK Digialeknik Laboraion D158 Sekvenskresar Namn: Daum: Eposadr: Kurs: Sudieprogram: Innehåll
Läs merDiskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?
Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-
Läs merOm exponentialfunktioner och logaritmer
Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning
OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A
Läs mer3 Rörelse och krafter 1
3 Rörelse och krafer 1 Hasighe och acceleraion 1 Hur lång id ar de dig a cykla 5 m om din medelhasighe är 5, km/h? 2 En moorcykel accelererar från sillasående ill 28 m/s på 5, s. Vilken är moorcykelns
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Insiuionen för REGLERTEKNIK, FRT Tenamen 5 mars 27 kl 8 3 Poängberäkning och beygssäning Lösningar och svar ill alla uppgifer skall vara klar moiverade. Tenamen omfaar oal 25 poäng. Poängberäkningen finns
Läs mer1. Geometriskt om grafer
Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den
Läs merAnalys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning
Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svesning Examensarbee uför i Reglereknik av Andreas Pilkvis LiTH-ISY-EX-- Linköping Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen
Läs mer{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1
ösningsförslag ill enamensskrivning i SF1633 Differenialekvaioner I Tisdagen den 7 maj 14, kl 8-13 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är
Läs merTENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B2/A , arctan x x 2 +1
LUNDS TENISA HÖGSOLA MATEMATI TENTAMENSSRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELURS B/A3, 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med fullsändiga moiveringar. Beräkna följande inegraler. (.3+.3+.4)
Läs merRepetitionsuppgifter
MVE5 H6 MATEMATIK Chalmers Repeiionsuppgifer Inegraler och illämpningar av inegraler. (a) Beräkna Avgör om den generaliserade inegralen arcan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergen eller divergen. Beräkna den
Läs merOm de trigonometriska funktionerna
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com Om de rigonomeriska funkionerna () Inrodukion I de här kapile ska vi
Läs merRepetition Kraft & Rörelse Heureka Fysik 1: kap. 4, version 2013
Repeiion Kraf & Rörelse Heureka Fysik 1: kap. 4, 11.1-11 version 013 Rörelse En kropps rörelse kan beskrivas med olika yper av diagram. Sräcka-id-graf (s--graf) I en s--graf kan man uläsa hur lång e föremål
Läs merF5: Digital hårdvara. Digitala signaler. Fördelar med digitala system. Digital kontra Analog
F5: Digial hårdvara Digiala signaler Innehåll: - Digiala signaler - Grindar (gaes) - Symboler - Logiska kresar - Timing diagram - Fördröjningar - Tillsånd för digiala signaler - Logikfamiljer (CMOS, TTL)
Läs merKap a)-d), 4, 7 25, 26, 29, 33, 36, 44, 45, 49, 72, , 5.34, 5.38, 6.28, 8.47, 8.64, 8.94, 9.25, Kap.11ex.14, 11.54
Repeiion inför kursprove Fysik 1 Dea är uppgifer som jag rekommenderar i Övningsboken. Naurligvis kan de skilja lie från person ill person vilka områden du behöver räna på. Men dea är en grund för er alla.
Läs mer3. Matematisk modellering
3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modellyper För design oc analys av reglersysem beöver man en maemaisk modell, som beskriver sysemes
Läs merOm exponentialfunktioner och logaritmer
Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. De flesa av övningarna har, om ine lösningar, så i
Läs merDIGITALTEKNIK. Laboration D171. Grindar och vippor
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elekronik Digialeknik Håkan Joëlson 2006-01-19 v 1.3 DIGITALTEKNIK Laboraion D171 Grindar och vippor Innehåll Uppgif 1...Grundläggande logiska grindar Uppgif 2...NAND-grindens
Läs merBiomekanik, 5 poäng Kinetik Härledda lagar
Uöver Newons andra lag, kraflagen, finns också andra samband som kan användas för a lösa olika problem Bland dessa s.k. härledda lagar finns Arbee Energisamband Impuls Rörelsemängdssamband (Impulsmomen
Läs merSkillnaden mellan KPI och KPIX
Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas
Läs merFÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén
FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av
Läs merLaboration D182. ELEKTRONIK Digitalteknik. Sekvenskretsar. UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Digitalteknik Ola Ågren v 4.
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elekronik Digialeknik Ola Ågren 2015-12-04 v 4.4 ELEKTRONIK Digialeknik Laboraion D182 Sekvenskresar Namn: Daum: Eposadr: Kurs: Sudieprogram: Innehåll Sidan 1. SR-låskres
Läs merBASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator
Tryckoberoende elekronisk flödesregulaor Beskrivning är en komple produk som besår av e ryckoberoende A-spjäll med mäenhe som är ansluen ill en elekronisk flödesregulaor innehållande en dynamisk differensryckgivare.
Läs mer8.4 De i kärnan ingående partiklarnas massa är
LÖSIGSFÖRSLAG Fysik: Fysik och Kapiel 8 8 Kärnfysik Aomkärnans sabilie 8. Läa kärnor är sabila om de har samma anal prooner som neuroner. Sörre kärnor kräver fler neuroner än prooner för a sark växelverkan
Läs merLaborationstillfälle 4 Numerisk lösning av ODE
Laboraionsillfälle 4 Numerisk lösning av ODE Målsäning vid labillfälle 4: Klara av laboraionsuppgif 3. Läs förs een om differensmeoder och gör övningarna. Läs avsnie Högre ordningens differenialekvaioner
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN
LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär differenialekvaion (DE) av försa ordningen är en DE som kan skrivas på följande form ( = Q( () Formen kallas sandard form eller normaliserad form
Läs merKvalitativ analys av differentialekvationer
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Kvaliaiv analys av differenialekvaioner Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 1 (10) Inrodukion De
Läs merFunktionen som inte är en funktion
Funkionen som ine är en funkion Impuls En kraf f som under e viss idsinervall T verkar på en s.k. punkmassa, säer punkmassan i rörelse om den var i vila innan. Och om punkmassan är i rörelse när krafen
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 494 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsäningar som ges här är ine bindande för sudeneamensnämndens bedömning Censorerna besluar om de krierier
Läs merHambley avsnitt På föreläsningen behandlas även transkonduktans-, transresistans- och strömförstärkaren, se förra veckans anteckningar.
1 Föreläsning 19/11 Hambley asni 14.5 14.7 På föreläsningen behandlas äen ranskondukans, ransresisans och srömförsärkaren, se förra eckans aneckningar. Lie mer om komparaorn ej i Hambley) En komparaor
Läs merSystem, Insignal & Utsignal
1 Sysem, Insignal & Usignal Insignal x[n] SYSTEM H! H = sysemoperaorn Usignal y() = H{y()} y[n] = H{x[n]} w E SYSTEM = en maemaisk modell av e fysikalisk sysem, al. en algorim, som för olika insignaler
Läs merSystem, Insignal & Utsignal
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 1 Sysem, Insignal & Usignal Insignal x() x[n] SYSTEM H! H = sysemoperaorn Usignal y() = H{y()} y[n] = H{x[n]} w E SYSTEM = en maemaisk modell av e fysikalisk sysem,
Läs merin t ) t -V m ( ) in - Vm
1 Föreläsning 17/11 Hambley asni 14.5 14.7 Komparaorn ej i Hambley) En komparaor anänds för a agöra eckne på den differeniella insignalen. Komparaorn besår a en operaionsförsärkare som aningen saknar åerkoppling
Läs merDifferentialekvationssystem
3227 Differenialekvaionssysem Behållaren A innehåller 2 lier, behållaren B innehäller 3 lier och behållaren C 4 lier salvaen Vid idpunken är salhalen i behållaren A 4 g, i behållaren B 2 g och i behållaren
Läs merKURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))
Kurvor på parameerform KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3 P=xyz T=x y z r=xyz En kurva i R 3 anges ofas på parameerform med re skalära ekvaioner: x = f 1, y = f, z = f 3, D R * För varje får vi en
Läs mer9. Diskreta fouriertransformen (DFT)
Arbesmaerial 6, Signaler&Sysem I, 2003/E.. 9. Diskrea ourierransormen (DF) 9.1 eriodicie pulsåg Av 6.3(i), arb.mar.4, sid 50, ramgick a ourierransormen (F) av en unkion är e pulsåg X[k]δ( k/) med pulsavsånd
Läs merbättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller!
Whiepaper 24.9.2010 1 / 5 Jobba mindre, men smarare, och uppnå bäre säljprognoser med hjälp av maemaiska prognosmodeller! Förfaare: Johanna Småros Direkör, Skandinavien, D.Sc. (Tech.) johanna.smaros@relexsoluions.com
Läs merSIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1
SIGNALER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET KLASSIFICERING AV SIGNALER Fem egenskaper a beaka vid klassificering. Är signalen idskoninuerlig eller idsdiskre? jämn och/eller udda? periodisk
Läs merEllära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 5
Ellära och Elektronik Moment A-nät Föreläsning 5 Visardiagram Impendans jω-metoden Komplex effekt, effekttriangeln Visardiagram Om man tar projektionen på y- axeln av en roterande visare får man en sinusformad
Läs merREFLEKTIONER PÅ LEDNINGAR
EFLEKTIONE PÅ LEDNINA Kapiel 8 i Kreselekronik av Eskil Johnson Eskil Johnson, öeborg. Innehålle får ej reproduceras eller spridas uan förfaarens medgivande. Dagens snabbase logikkresar har sigider och
Läs merElektronik. Kapacitanser, induktanser, transienter. Översikt. Kapacitanser och induktanser. Plattekondensator
Elekronik Överik Kapacianer, indukaner, raniener Piero Andreani Iniuionen för elekro och informaioneknik Lund univerie Kapacianer () och indukaner (L) Srömmar och pänningar i kapacianer och indukaner Ömeiga
Läs merSystem med variabel massa
Sysem med variabel massa (YF kap. 8.6) Generella Newon II: ሜF ex = dplj, där p lj = mഥv och ሜF d ex är alla yre krafer som verkar på föremåle. Om kroppens massa ändras genom a vi illför massor dm per idsenhe
Läs merLaplacetransformen. Från F till L. Den odiskutabla populäriteten hos Fourierintegralen. f HtL - w t t, w œ R (1)
Från F ill L Laplaceransformen Den odiskuabla populärieen hos Fourierinegralen f HL - w, w œ R () har a göra med a den ger informaion om vilka frekvenser w som ingår i signalen f, och med vilken syrka.
Läs mer3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.
3D vaenanimering Joakim Julin Deparmen of Compuer Science Åbo Akademi Universiy, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.fi Absrak Denna arikel kommer a presenera e anal olika algorimer för a
Läs merKursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden
Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera
Läs merKONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
KONTROLLSKRIVNING Version B Kurs: HF Maemaisk saisik Lärare: Armin Halilovic Daum: 7 maj 6 Skrivid: 8:-: Tillåna hjälmedel: Miniräknare av vilken y som hels och formelblad (som delas u i salen) Förbjudna
Läs merINSTUDERINGSUPPGIFTER
INSTUERINGSUPPGIFTER essa uppgifer skall hjälpa dig vid inlärningen de skall fungera som e slags diagnosisk prov efer de a du har räkna övningsuppgiferna i PB: (hur bra kan du redan de vi har gå igenom
Läs merBetalningsbalansen. Andra kvartalet 2012
Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Second quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen
Läs merLektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2
Lekion 3 Projekplanering (PP) as posiion Projekplanering Rev. 834 MR Nivå 1 Uppgif PP1.1 Lieraur: Olhager () del II, kap. 5. Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. e är indelade i fyra nivåer
Läs merFREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30
Tekniska högskolan vid LiU Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam TENTAMEN I TPPE13 PRODUKTIONSEKONOMI för I,Ii FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18 Sal: Provkod:
Läs merPå föreläsningen går jag relativt snabbt igenom grunderna fourierserieutveckling av periodiska signaler, bild 2 7.
1 På föreläsningen går jag relaiv snabb igenom grunderna fourierserieuveckling av periodiska signaler, bild 7. Genomgångens syfe: En kor repeiion av begrepp som jag huvudsakligen ugår från a du känner
Läs merChalmers. Matematik- och fysikprovet 2010 Fysikdelen
Chalmers Teknisk fysik Teknisk maemaik Arkiekur och eknik Maemaik- och fysikprove 2010 ysikdelen Provid: 2h. Hjälpmedel: inga. På sisa sidan finns en lisa över fysikaliska konsaner m.m. som evenuell kan
Läs merFöreläsning 8. Kap 7,1 7,2
Föreläsning 8 Kap 7,1 7,2 1 Kap 7: Klassisk komponenuppdelning: Denna meod fungerar bra om idsserien uppvisar e saisk mönser. De är fyra komponener i modellen: Muliplikaiv modell: Addiiv modell: där y
Läs merAnm 3: Var noga med att läsa och studera kurslitteraturen.
TNA- Maemaisk grundkurs Repeiionsuppgifer (inklusive förslag ill planeringsförslag sam faci) -- Sien Nilsson Kurshemsida: hp://websaff.in.liu.se/~sini/tna.hm Hänvisningar FN = Forsling Nemark: Anals i
Läs merLektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM
ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller
Läs merVII. Om de trigonometriska funktionerna
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok VII. Om de rigonomeriska funkionerna Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com VII. Om de rigonomeriska funkionerna (3) Inrodukion I de här kapile
Läs merElektriska och elektroniska fordonskomponenter. Föreläsning 4 & 5
Elektriska och elektroniska fordonskomponenter Föreläsning 4 & 5 Kondensatorn För att lagra elektrisk laddning Användning Att skydda brytarspetsarna (laddas upp istället för att gnistan bildas) I datorminnen
Läs merSDOF Enfrihetsgradssystemet
SDOF Enfrihesgradssyseme De enkla massa-fjäder-syseme, eller sdof-syseme (single degree of freedom, enfrihesgradssyem) är e grundläggande begrepp inom akusik och mekanik. Med god försåelse för dea har
Läs merKurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
KONTROLLSKRIVNING Version A Kurs: HF Maemaisk saisik Lärare: Armin Halilovic Daum: 7 maj 6 Skrivid: 8:-: Tillåna hjälmedel: Miniräknare av vilken y som hels och formelblad som delas u i salen) Förbjudna
Läs merSpolen och Kondensatorn motverkar förändringar
Spolen och Kondensatorn motverkar förändringar Spolen och kondensatorn motverkar förändringar, tex vid inkoppling eller urkoppling av en källa till en krets. Hur går det då om källan avger en sinusformad
Läs merTentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.
Tenamensskrivning i Maemaik IV, 5B Tisdagen den 4 november 6, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges
Läs merTekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl 8-12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
DEL - (Teoridel uan hjälpmedel). Vilken yp av ekvaion är dea: LÖSNINGAR ε x = E (σ x νσ y )+α T Ange vad sorheerna ε x, σ x, σ y, E, ν, α och T beyder, inklusive deras dimension (enhe) i SI-enheer. E maerialsamband
Läs merSkattning av respirationshastighet (R) och syreöverföring (K LA ) i en aktivslamprocess Projektförslag
Beng Carlsson I ins, Avd f sysemeknik Uppsala universie Empirisk modellering, 009 Skaning av respiraionshasighe R och syreöverföring LA i en akivslamprocess rojekförslag Foo: Björn Halvarsson . Inledning
Läs merFAQ. frequently asked questions
FAQ frequenly asked quesions På de följande sidorna har jag samla ihop några av de frågor jag under årens lopp få av sudener när diverse olika problem uppså i arbee med SPSS. De saisiska problemen har
Läs merLaboration 2. Minsta kvadratproblem
Laboraion Tillämpade Numeriska Meoder Minsa kvadraproblem Farid Bonawiede Michael Lion fabo@kh.se lion@kh.se 5 februari 5 Inledning När man har skapa en maemaisk modell som beskriver e viss fenomen vill
Läs merHur simuleras Differential-Algebraiska Ekvationer?
Hur simuleras Differenial-Algebraiska Ekvaioner? Jonas Elbornsson December 2, 2000 1 Inledning Dea är en sammanfaning av meoder för simulering av Differenial-Algebraiska Ekvaioner (DAE) för kursen i Modellering
Läs merDatorlaborationer i matematiska metoder E2, fk, del B (TMA980), ht05
Daorlaboraioner i maemaiska meoder E, fk, del B (TMA98), h5 Laboraionen är ej obligaorisk Den besår av re uppgifer som kan ge en bonuspoäng var vid enamina i maemaiska meoder, fk, del B, 5--6, vår 6 och
Läs merKonjunkturinstitutets finanspolitiska tankeram
Konjunkurinsiues finanspoliiska ankeram SPECIALSTUDIE NR 16, MARS 2008 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET (KI) gör analyser och prognoser över den svenska och ekonomin sam bedriver forskning
Läs merInstitutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016
Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola TENTAMEN I HÅFASTHETSÄA F MHA 08 6 AI 06 ösningar Tid och plas: 8.30.30 i M huse. ärare besöker salen 9.30 sam.00 Hjälpmedel:. ärobok i hållfasheslära:
Läs mera) Beräkna arean av triangeln ABC då A= ( 3,2,2), B=(4,3,3) och C=( 5,4,3).
TENTAMEN -Jan-8, HF och HF8 Momen: TEN (Linjär algebra), 4 hp, skriflig enamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 85-5, Plas: Campus Haninge
Läs merDags för stambyte i KPI? - Nuvarande metod för egnahem i KPI
SAISISKA CENRALBYRÅN Pm ill Nämnden för KPI 1(21) Dags för sambye i KPI? - Nuvarande meod för egnahem i KPI För beslu Absrac I denna pm preseneras hur nuvarande meod för egnahem i KPI beräknas, moiveras
Läs merLite grundläggande läkemedelskinetik
Lie grundläggande läkemedelskineik Maemaisk Modellering med Saisiska Tillämpningar (FMAF25) Anders Källén Inrodukion Farmakokineik eller mer svensk läkemedelskineik är en vikig disiplin vid uveklande av
Läs mer2. Ange dimensionen (enheten) hos följande storheter (använd SI-enheter): spänning, töjning, kraft, moment, förskjutning, deformation, vinkeländring.
Tekniska Högskolan i inköping, IKP DE 1 - (Teoridel uan hjälpmedel) ÖSNINGAR 1. (a) Vilka fysikaliska sorheer ingår (kan ingå) i e jämvikssamband? (b) Vilka fysikaliska sorheer ingår (kan ingå) i e kompaibiliessamband?
Läs merStrategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet
1 File = SweTrans_RuMarch09Lohmander_090316 ETT ORD KORRIGERAT 090316_2035 (7 sidor inklusive figur) Sraegiska möjligheer för skogssekorn i Ryssland med fokus på ekonomisk opimering, energi och uhållighe
Läs merAMatematiska institutionen avd matematisk statistik
Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B1862 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 FREDAGEN DEN 1 JUNI 21 KL 8. 13. Examinaor : Lars Hols,
Läs mer= (x, y) : x 2 +y 2 4, x 0, y (4r2 +1) 3 2
Tenamensskrivning i Maemaik IV, SF1636(5B11,5B13). Tisdagen den 1 januari 1, kl 14-19. Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook. Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa.
Läs merEllära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 4
Ellära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 4 Kapacitans och Indktans Uppladdning av en kondensator Medelvärde och Effektivvärde Sinsvåg över kondensator och spole Copyright 8 Börje Norlin Kondensatorer
Läs merIngen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning
Hans Andersson (FP), ordförande i Tiohundra nämnden varanna år och Karin Thalén, förvalningschef TioHundra bakom solarna som symboliserar a ingen ska falla mellan solar inom TioHundra. Ingen åervändo TioHundra
Läs mer