TIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1

Transkript

1 TIDSDISKRETA SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SYSTEMEGENSKAPER x[n] System y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2 Tillämpad Fysik och Elektronik 1

2 Minne. Ex. System utan minne Ex. System med minne y[n] = k*x[n] y[n] = kx[n] + k 2 x[n-1] Kausalitet. y[n] bildas enbart av nuvarande och tidigare värden på x (Ex. x[n], x[n-1], x[n-2], osv). Tidsinvarians. Test: Om x[n] y[n] och x[n-n 0 ] y[n-n 0 ] så är systemet tidsinvariant TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3 EXEMPEL Är följande system systemet linjärt? Systemekvation: y[n] = x[n+1] - x[n-1] x 1 [n] y 1 [n] = x 1 [n+1] - x 1 [n-1] x 2 [n] y 2 [n] = x 2 [n+1] - x 2 [n-1] x 3 [n] y 3 [n] = x 3 [n+1] - x 3 [n-1] TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 4 Tillämpad Fysik och Elektronik 2

3 STABILITET Ett system sägs vara BIBO*-stabilt om och endast om alla begränsade insignaler resulterar i en begränsad utsignal * BIBO, Bounded input - bounded output TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 5 IMPULSSVAR Ett LTI-systems impulssvar h är systemets utsignal för en impulsformad insignal δ vid n=0. LTI-system Tidsdiskret: δ[n] 1 h[n] n n TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 6 Tillämpad Fysik och Elektronik 3

4 FALTNING (TIDSDISKRET) x[n] LTI-system y[n] Tidsdiskret: x[n] är en godtycklig signal och δ [n] är en enhetspuls. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 7 0 x[n] = x[-4]δ[n+4] + x[-3]δ[n+3] + x[-2]δ[n+2] + x[-1]δ[n+1] + x[0]δ[n] + x[1]δ[n-1] + TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 8 Tillämpad Fysik och Elektronik 4

5 Vi inför H som systemets påverkan av insignalen TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 9 EXEMPEL. x[n] LTI-system y[n] x[0]=1 x[1]=1 x[2]=1 x[n]=0 f.ö. h[1]=1 h[2]=1.5 h[3]=2 h[n]=0 f.ö. Beräkna utsignalssekvensen y[n] för den givna insignalssekvensen x[n] då impulssvaret är h[n]. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 10 Tillämpad Fysik och Elektronik 5

6 2 1 x[n] 2 1 h[n] n n 2 1 x[k] k 2 1 h[-k] k h[n-k] n-3 n-2 n-1 n TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET x[k] k 2 1 x[k] k h[1-k] h[2-k] k k TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 12 Tillämpad Fysik och Elektronik 6

7 På samma sätt fås övriga y[n]. y[1]=1 y[2]=2.5 y[3]=4.5 y[4]=3.5 y[5]=2 y[n]=0 om n<1 eller n>5 y[n] 1 n TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 13 Kan naturligtvis även utföras med MATLAB: n= 0:5; x=[1 1 1]; h=[ ]; y=conv(x,h); stem(n,y); TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 14 Tillämpad Fysik och Elektronik 7

8 KAUSALA SYSTEM Ett system vars utsignal endast beror på nuvarande och tidigare insignaler (inga framtida) sägs vara kausalt. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 15 STABILA SYSTEM Ett system är stabilt om en begränsad insignal alltid ger en begränsad utsignal (BIBO). TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 16 Tillämpad Fysik och Elektronik 8

9 BLOCKDIAGRAM Sammankoppling av tre grundläggande operationer: Skalär multiplikation. y[n]=cx[n] Addition. y[n]=x[n]+u[n] Tidsshift y[n]=x[n-1] TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 17 Multiplikation: x[n] c y[n]=cx[n] Addition: x[n] Σ y[n]=x[n]+u[n] u(t) u[n] Fördröjning: x[n] D y[n]=x[n-1] TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 18 Tillämpad Fysik och Elektronik 9

10 EXEMPEL BLOCKDIAGRAM y[n]+0.5 y[n-2]= x[n-1]- 0.2x[n-2]=w[n] y[n]=-0.5 y[n-2]+ w[n] x[n] D w[n] Σ y[n] x[n-1] x[n-2] D Σ -0.5 y[n-2] D D y[n-1] TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 19 Z-TRANSFORMEN Z-transformen passar digitala system. Har egenskaper som linjäritet m.m. Kan i vissa fall visa om ett system är stabilt eller inte. hyggligt lätt att använda... TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 20 Tillämpad Fysik och Elektronik 10

11 Allmän linjär differensekvation: Def. av Z-transform: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 21 Med Z-transformen kan man uttrycka insignaler och utsignaler, t.ex. X(z) resp. Y(z), eller överförings-funktioner H(z) Systemsambandet mellan insignalen X(z) och utsignalen Y(z) är enkelt: Y(z) = H(z)X(z) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 22 Tillämpad Fysik och Elektronik 11

12 Z-TRANSFORMERING. Det finns två olika sätt att transformera dvs. beräkna X(z) från x[n] Man tar uttrycket för transformen ur en tabell. Man beräknar uttrycket med hjälp av definitionen av z-transformen. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 23 ATT TRANSFORMERA MED TABELL. Ex. Beräkna transformen X(z) då x[n] är ett enhetssteg x[n] = q[n] Lösning ur tabell TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 24 Tillämpad Fysik och Elektronik 12

13 Ex. Beräkna transformen X(z) då x[n] är ett fördröjt enhetssteg x[n] = u[n-1] Lösning: Kombinera tidigare exempel med satsen om fördröjning TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 25 Lägg märke till att en fördröjning (1 steg) blir en mutiplikation med faktorn z -1. x[n] D x[n-1] X(z) z -1 z -1 X[z] TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 26 Tillämpad Fysik och Elektronik 13

14 Ex. Beräkna transformen X(z) då x[n] är signalen: x[n] n TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 27 Lösning: Kombinera satsen om fördröjning x[n-k] med satsen om linjäritet ax[n] + by[n] Det ger: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 28 Tillämpad Fysik och Elektronik 14

15 ATT TRANSFORMERA MED FORMEL. Definition för z-transformen: Ex. z-transformera signalen: x[n] = 1, 2, 3, 0, 0,.. (x[0] = 1) övriga x[n] = 0 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 29 Sätt in värden för x[n] i definitionen TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 30 Tillämpad Fysik och Elektronik 15

16 Z-TRANSFORMEN AV EN ENHETSPULS TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 31 Z-TRANSFORMEN AV EN STEGFUNKTION summa för geometrisk talserie. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 32 Tillämpad Fysik och Elektronik 16

17 INVERSTRANSFORMERING Normal arbetsgång är att partialbråksuppdela uttrycket för z-transformen och därefter identifiera standard -uttryck ur tabeller Ex. Inverstransformera uttrycket: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 33 Partialbråksuppdelning ger: Identifiering ut tabell ger: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 34 Tillämpad Fysik och Elektronik 17

18 Man kan i vissa fall få helt andra uttryck, som beskriver samma signal. Om man tar uttrycket: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 35 Då man bryter ut z -1 och partialbråksuppdelar får man ett annat uttryck. Detta ger då givetvis en annan transform: Det innebär att dessa uttryck motsvarar samma signal. Detta är bra att veta, då man jämför den egna lösningen med facit. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 36 Tillämpad Fysik och Elektronik 18

19 SAMBAND MELLAN INSIGNALER OCH UTSIGNALER Vi har ett system, som innehåller ett fördröjnings-element och en tapp för återkoppling: x[n] Σ S y[n] = x[n-1]+0,5y[n-1] 0,5y[n] 0,5 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 37 Motsvarande schema ritad med z-transformen för in och ut-signalerna X(z) Σ z -1 Y(z) = z -1 (X(z)+0,5Y(z)) 0,5Y(z) 0,5 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 38 Tillämpad Fysik och Elektronik 19

20 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 39 Det återkopplade systemet kan alltså ersättas med: X(z) H(z) Y(z) Överföringsfunktionen TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 40 Tillämpad Fysik och Elektronik 20

21 Ex. Beräkna impulssvaret för detta system! TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 41 Man kan beräkna utsignalen y[n] på tre olika sätt: 1. Med hjälp av differensekvationen. Mata in en etta x[0]=1 och räkna på steg för steg. 2. Faltning. Då måste man först beräkna h[n] 3. Invers z-transformation TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 42 Tillämpad Fysik och Elektronik 21

22 STABILITETSREGEL I TIDSDISKRETA FALLET Ett LTI system H(z)=B(z)/A(z) är stabilt om systemets poler, dvs nollställen till polynomet A(z), ligger inom enhetscirkeln i komplexa planet j Stabilt TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 43 -j Frekvensfunktioner x(n)= Asin(Ωn) y(n) H(z) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 44 Tillämpad Fysik och Elektronik 22

23 NORMERAD VINKELFREKVENS OBS! Ω kallas för den normerade vinkelfrekvensen. Då antas samplingsfrekvensen vara = 1 Hz nyquistfrekvensen är 0.5 Hz och nyquistvinkelfrekvensen = π rad/s Alltså - π< Ω< π TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 45 Vad händer om vi har en samplingsfrekvens f samp =1000 Hz? Svar: Använd normerad vinkelfrekvens som vanligt och korrigera på slutet. Exempel: Vårt tidsdiskreta filter har ett max för Ω=π/4 Det svarar då mot frekvensen f = f samp *Ω/2 π =125 Hz TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 46 Tillämpad Fysik och Elektronik 23

24 FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM Impulssvaret h[n] är givet som TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET π 1 0 π Ω Låga frekvenser dämpas. Högpass-filter! 0-1 -π 0 π Ω TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 48 Tillämpad Fysik och Elektronik 24

25 STABILITETSREGEL I TIDSDISKRETA FALLET Ett LTI system H(z)=B(z)/A(z) är stabilt om systemets poler, dvs nollställen till polynomet A(z), ligger inom j enhetscirkeln i komplexa planet Stabilt j TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 49 KOMPLEXA POLER Poler utanför reella axeln är alltid komplexkonjugerade j x j x TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 50 Tillämpad Fysik och Elektronik 25

26 POLERNAS BELOPP OCH ARGUMENT zp = Re jω0 j Ω0 ger resonsvinkelfrekvens R resonansens styrka R x Ω j x TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 51 abs(h) Ω0 π/2 π ω TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 52 Tillämpad Fysik och Elektronik 26

27 DIGITALA FILTER Digitala filter förekommer t.ex.: I Photoshop och andra PC-programvaror som filtrerar. I apparater med signalprocessorer, t.ex. mobiltelefoner, bärbara CD-spelare m.m. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 53 DIGITALA FILTER Man kan filtrera för att nå ett flertal olika ändamål. För ljud kan man tänka sig: Eko Vibrato Körsimulering Lågpassfiltrering Distordering Transformering (växla frekvens) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 54 Tillämpad Fysik och Elektronik 27

28 DIGITALA FILTER Det finns två olika typer av linjära digitala filter FIR - icke rekursivt filter, FIR = Finite Impulse Response IIR - rekursivt filter, IIR = Infinite Impulse Response TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 55 FIR - FILTER Ett FIR-filter med N st tappar har matematiska uttrycket Överföringsfunktionen blir: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 56 Tillämpad Fysik och Elektronik 28

29 FIR - filter x[n] Ett FIR-filter med tre tappar: h[0] y[n] S Z -1 Z -1 Z -1 h[1] h[2] h[3] S S S TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 57 FIR - FILTER Ett FIR-filter har ändlig impulsrespons. Om man skickar in en enhetspuls, blir utsignalen noll efter N antal klockcykler. De är på grund av detta stabila. De är faslinjära. Alla frekvenskomponenter har samma tidsfördröjning. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 58 Tillämpad Fysik och Elektronik 29

30 EXEMPEL. MEDELVÄRDESFILTER (FIR) Utsignalen från filtret skall vara medelvärdet av de tre senaste insignalerna Överföringsfunktionen: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 59 Impulssvar: Utsignalen blir noll efter ett ändligt antal steg ( = 3) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 60 Tillämpad Fysik och Elektronik 30

31 Stegsvar: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 61 Frekvensegenskaper: LP-filter! (i detta exempel) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 62 Tillämpad Fysik och Elektronik 31

32 IIR-FILTER Ett IIR-filter har ett matematiskt uttryck: Filtrets överföringsfunktion med tre tappar TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 63 IIR-FILTER x[n] b[0] S y[n] Z -1 b[1] S a[1] Z -1 Z -1 b[2] S a[2] Z -1 Z -1 b[3] S a[3] Z -1 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 64 Tillämpad Fysik och Elektronik 32

33 IIR-FILTER Avsevärt mer effektiva om man ser på beräkningstider för filtret Stabiliteten kan vara sämre än för FIR De är inte faslinjära som FIR-filter IIR har poler. Dessa avgör stabiliteten. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 65 EXEMPEL IIR-FILTER Vi gör en negativ återkoppling av halva föregående utsignal. Överföringsfunktion TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 66 Tillämpad Fysik och Elektronik 33

34 Impulssvar: Utsignalen avtar (filtret är stabilt). Utsignalen når dock exakt noll först efter ett oändligt antal steg. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 67 Stegsvar: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 68 Tillämpad Fysik och Elektronik 34

35 Frekvenssvarssvar: HP-filter! (i detta exempel) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 69 FILTERDESIGN I MATLAB (FDATOOL) I Matlab finns ett grafiskt användargränssnitt för design och analys av filter. Verktyget startas genom att skriva fdatool i Matlab. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 70 Tillämpad Fysik och Elektronik 35

36 EXEMPEL: DESIGN AV LÅGPASSFILTER I det grafiska användargränssnittet fdatool väljer man typen av filter, t ex lågpass-, högpass-, bandpass- eller bandstoppfilter. I detta fall väljs lågpassfilter. Därefter väljs designmetod (FIR eller IIR). I detta fall väljs FIR. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 71 EXEMPEL: DESIGN AV LÅGPASSFILTER Därefter väljs filtrets ordning. Man kan välja att låta programmet finna det filter med lägst ordning som uppfyller de uppställda kriterierna. Därefter ges samplingsfrekvens, övre gräns för passbandet samt undre gräns för stoppbandet. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 72 Tillämpad Fysik och Elektronik 36

37 EXEMPEL: DESIGN AV LÅGPASSFILTER Därefter ges maximalt rippel i passbandet samt dämpningen i stopbandet. 0 Mag (db) f (Hz) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 73 EXEMPEL: DESIGN AV LÅGPASSFILTER När all nödvändig information om filtret är given kan filtret designas. Filtret kan analyseras i det grafiska användargränssnittet. Bland annat kan grafer över överföringsfunktionens belopp och fas göras. Filterkoefficienterna kan även exporteras till Matlab. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 74 Tillämpad Fysik och Elektronik 37