Introduktion till Digitala filter

Transkript

1 Introduktion till Digitala filter Eddie Alestedt 000

2 Detta hšfte Šr avsett att vara en introduktion till Digitala Filter och ger nœgra exempel pœ olika tillšmpningar samt hur man kan gœ tillvšga fšr att konstruera dem. Jag har sammanstšllt en del material frœn boken "Introductory Digital Signal Processing with computer applications" av Paul A. Lynn och Wolfgang Fuerst. (John Wiley &Sons Ltd). Det finns mœnga bšcker i Šmnet och de flesta har ungefšr liknande titlar. Det som fick mig att skaffa ovanstœende bok, var att det ingick švningar dšr man fick anvšnda sig av en dator. Hittills har alla bšcker varit mycket teoretiska. Med en dator till hands kan man variera problemstšllningarna i det ošndliga och fœ en mycket djupare insikt i signalbehandlingstekniken Šn om man bara sitter och stirrar pœ en massa formler. Det Šr Œtminstone min Œsikt. Det material som jag har tagit med fšrutsštter nœgon kšnnedom om sampling och Fouriertransform enligt vad vi har gœtt igenom tidigare i laborationen "Frekvensanalys av signaler". Efter att ha lšst igenom hšftet bšr ni ha fœtt en uppfattning om en del metoder som man kan anvšnda fšr att konstruera och analysera nœgra enkla digitala filter. Vid design av digitala filter anvšnder man sig av datorer, dšr det finns mœnga algoritmer och designmetoder som inte tas upp i denna korta introduktion. De olika metoderna leder dock fram till en uppsšttning filterkoefficienter, som kan anvšndas fšr att implementera filtren i en dator med hjšlp av t.ex ett Pascal- eller C ++ -program. InnehŒll:. Introduktion med nœgra exempel sid Signalanalys i tidsdomšnen sid Analys i frekvensdomšnen, Fouriertransformen sid Analys i frekvensdomšnen, Z-transformen sid Konstruktion av icke-rekursiva filter sid Konstruktion av rekursiva filter sid Appendix: Z-transformpar sid. 40 Lšsningar till problem sid. 4-47

3 . Introduktion med nœgra exempel Det stora uppsvinget inom mikroelektroniken har spelat en stor roll inom den digitala signalbehandlingen, DSP (Digital Signal Processing). Kraftfulla och snabba signalprocessorer lœter oss behandla digitaliserade data i realtid inom omrœden som medicin, datareducering, bildanalys och inom tal- och bildšverfšring. Vi anvšnder oss av digital telefoni (GSM), digital television via satellit och kabel, dšr lagring av data och bilder sker digitalt med allt stšrre lagringstšthet samtidigt som datorerna blir snabbare. Vi skall se hur man kan konstruera digitala filter fšr att behandla dessa data och hur de fungerar i praktiken. LŒt oss bšrja med nœgra grundlšggande begrepp och exempel. Med en tidsdiskret signal menar vi en signal som bara Šr definierad fšr en serie diskreta tidpunkter eller samplingspunkter. Ett exempel kan vara nšr man mšter middagstemperaturen pœ ett visst stšlle under ett Œr. Tidsdiskreta signaler kan delas upp i tvœ kategorier: analoga och digitala. De analoga signalerna beskriver ett kontinuerligt amplitudomrœde medan de digitala signalerna Šr kvantiserade i diskreta steg. Signaler lagrade i en dator Šr naturligtvis av det senare slaget. x[n] Digital signalprocessor y[n] fig. n=0 Dt n n=0 Dt n I figur. har vi tvœ samplade signaler, dšr x[n] Šr insignalen till ett filter och y[n] Šr utsignalen. Vi kan betrakta de successiva ingœngsvšrdena... x[-], x[0], x[], x[].. som en analog signal, samplad med jšmna tidsmellanrum, Dt. HeltalsvŠrdet n numrerar samplet, dšr n=0 motsvarar nœgon tidsreferens dšr t=0. Generellt behšver x[n] och y[n] inte vara tidsberoende utan kan t.ex vara den information man fœr nšr man scannar en bild. Amplituden x[n] kan relateras till grœskalan och y[n] kan vara utsignalen frœn ett filter dšr man vill framhšva kontrasten hos bilden (hšgpassfilter). Generellt har vi att gšra med talserier som vi behandlar matematiskt. Analog in Analogt filter S/H ADC Digital signalprocessor DAC Analogt filter Analog ut fig.a Figur. visar ett typiskt schema med en signalprocessor i ett digitalt filter. Signalen passerar ett analogt lœgpassfilter som bandbegršnsar signalen fšr att undvika aliasing (vikningsdistortion). Signalen A/D-omvandlas via en Sampel & Hold-krets, varefter signalprocessorn beršknar ett digitalt utvšrde. UtvŠrdet omvandlas till analog form via en D/A-omvandlare och passerar ett analogt filter fšr att jšmna till kanterna pœ signalen (smoothing). Signalen kan kan karaktšriseras enligt fšljande: analog-digital, tidskontinuerlig-tidsdiskret. Introduktion till digitala filter sid.

4 LŒt oss fšlja signalen genom systemet i figur a. Antag att insignalen Šr en elektrisk spšnning frœn t.ex en mikrofon. Insignalen Šr kontinuerlig fšre och efter det fšrsta 'anti-aliasingfiltret'. Sample & Hold-kretsen samplar signalen med jšmna tidpunkter, varfšr signalen švergœr till att bli analog och tidsdiskret. Efter A/D-omvandlaren kvantiseras signalen och blir amplituddiskret och tidsdiskret (digital) varpœ vi fœr en talserie som skickas in i signalprocessorn. Efter berškningen i det digitala filtret erhœller vi en ny talserie till D/A-omvandlaren, vilken omvandlar signalen till att bli amplituddiskret och tidskontinuerlig. Det analoga lœgpassfiltret pœ utgœngen jšmnar till signalen sœ att den antar sin ursprungliga karaktšr - analog och tidskontinuerlig. Figur b visar nœgra olika signaltyper. Kan du se var de olika signaltyperna hšr hemma i signalbehandlingskedjan i figur a? Olika typer av signaler Amplitudkontinuerlig och Tidskontinuerlig Amplituddiskret och Tidskontinuerlig Amplitudkontinuerlig och Tidsdiskret Amplituddiskret och Tidsdiskret Fig. b Varfšr gšr man sig dœ besvšr med att konvertera signalen till digital form och sedan tillbaka igen, och vad har digitala filter fšr fšrdelar jšmfšrt med analoga filter? NŒgra fšrdelar och nackdelar kan vara fšljande: Signaler och data lagras i škande omfattning i datorer och šverfšrs digitalt. DŒ kan det verka fšrnuftigt att behandla signalerna digitalt. Introduktion till digitala filter sid.

5 Digitala filter ger en hšg tillfšrlitlighet och stor noggrannhet och kan konstrueras med mer stringenta krav Šn analoga filter. De Šr dessutom billiga att tillverka och kan kan lštt integreras med andra digitala funktioner om de implementeras i hœrdvara. Digitala filter Šndras inte med temperatur och tid, varfšr ingen trimning erfordras. De har ocksœ en hšg integrationsgrad med fšrre lšdpunkter, vilket škar driftsškerheten. Programmerbara digitala filter kan lštt modifieras genom Šndring i programvaran och signalbehandlingssystemen kan exakt verifieras genom datorsimuleringar, vilket fšrenklar konstruktionsarbetet. Nackdelarna Šr att de har ett begršnsat frekvensomrœde och att kostnaderna blir hšgre Šn fšr motsvarande enkla analoga filter samt att de kršver en matningsspšnning. Vi fortsštter med nœgra praktiska exempel fšr att ge en motivation till fortsatt lšsning. Det fšrsta exemplet i figur 3 visar Šndringarna i dollarpriset pœ guld under nœgra Œr. Priset Šr 'samplat' varje bšrsdag med totalt ca. 500 všrden. Fšr att se trender och lœngsiktiga fluktuationer Šr det vanligt att man uppskattar ett lšpande medelvšrde (moving average). Varje medelvšrde beršknas hšr ur 00 tidigare všrden. fig.3 Vi kan beskriva filtret med fšljande formel: 99 yn [ ] = { xn [ ] + xn [ - ] + xn [ - ] xn [ -99]}= 0, 005 å xn [ -k] 00 k = 0 (a) x[n] Šr det senast samplade všrdet, medan x[n-], x[n-],... x[n-99] ligger,, sampel tidigare. Det senaste utgœngsvšrdet hos filtret Šr y[n]. Det Šr lštt att skriva ett program fšr att berškna y[n] i en dator. Fšr varje nytt všrde pœ x, skall vi berškna ett nytt všrde pœ y. Ekvation (a) Šr en iterativ formel som upprepar sig fšr varje nytt všrde pœ y. Ekvationen Šr en differensekvation och Šr icke-rekursiv, eftersom varje nytt utvšrde beršknas enbart ur tidigare ingœngsvšrden. Formeln beskriver ett digitalt filter. Algoritmen Šr inte Šr sšrskilt effektiv, det gœr Œt 00 additioner fšr att berškna varje nytt všrde pœ y. Om vi anvšnder ekvationen fšr att berškna nšsta všrde y[n+] fœr vi: yn+ [ ]= 00 { x[n + ] + x[n] + x[n - ] + x[n - ]+...+x[n - 98] }= { } (b) = y[n] + 0,005 x[n + ] - x[n - 99] Introduktion till digitala filter sid. 3

6 Eftersom ekvationen gšller fšr varje všrde pœ n, kan vi subtrahera frœn varje indexvšrde i parenteserna. Vi fœr dœ: y[n] = y[n - ] + 0,005 { x[n] - x[n - 00] } () Ekvation () visar att vi kan berškna varje nytt utvšrde y[n] genom att uppdatera det fšregœende všrdet y[n-]. Ekvationen definierar en rekursiv version av filtret, vilken Šr betydligt effektivare betršffande antalet berškningar. Det andra exemplet kan tillšmpas inom medicinsk teknik nšr man gšr mštningar pœ hjšrtaktiviteten, EKG. Man mšter hšr mycket smœ signaler som stšrs av snabba fluktuationer frœn andra muskelaktiviteter. HŠr kan man anvšnda ett lœgpassfilter fšr att fšrbšttra signalen. Stšrningar kan ocksœ komma frœn nštspšnningen. Fig. 4a,b visar en typisk EKG-kurva, vilken Šr svœrt kontaminerad av brum frœn nštspšnningen. Fig. 4c visar signalen efter behandling med ett smalt digitalt bandspšrrfilter kring nštfrekvensen. Vi kan beskriva filtret med fšljande rekursiva formel: fig.4 y[n] =,853 y[n - ] - 0,94833 y[n - ] + x[n] -.90 x[n - ] + x[n - ] (3) Om vi jšmfšr ekv. 3 med ekv., ser vi att samma typ av formel beskriver tvœ olika filter. Skillnaden Šr antalet termer samt všrdena pœ koefficienterna. I en dator kan en generell filterrekvation beskriva olika typer av filter. Man behšver bara Šndra koefficienterna (en del kan man lœta vara 0). Filtrets brytpunkter beror ocksœ pœ samplingsfrekvensen. I ovanstœende filter har vi samplat med khz fšr att eliminera ett nštbrum pœ 50 Hz. Om vi škade samplingsfrekvensen till 00 Hz, hade vi med samma koefficienter kunnat anvšnda filtret i USA, dšr nštfrekvensen Šr 60 Hz. NŠsta exempel Šr ett bandpassfilter. Vi anvšnder fšljande formel: y[n] =, 5 y[n - ] - 0,85 y[n - ] + x[n] (4) Introduktion till digitala filter sid. 4

7 Fig. 5 visar ett frekvenssvep fšre och efter filtret. Vi skall senare se hur man kan berškna filtret med ett datorprogram, men fšrst nœgra ord om sampling av en analog signal. fig.5 Antag att en analog signal representeras av en serie likformigt samplade všrden, d.v.s. tiden mellan tvœ sampel Šr konstant. Hur ofta skall man sampla? Vi kan jšmfšra fig. 6a och 6b. I fig.6a har vi samplat fšr glest fšr att fœ med informationen om de snabba Šndringarna. I fig. 6b ligger samplen onšdigt tštt, vilket medfšr krav pœ stort minnesutrymme fšr att lagra signalen. Hur kan man všlja ett samplingsintervall som Šr tillršckligt stort fšr att inte missa nœgon information hos signalen? Svaret gavs av Shannon, vilket i sitt Samplingsteorem visade fšljande: Om en analog signal Šr bandbegršnsad med sin hšgsta frekvens lika med Fmax och om samplingsfrekvensen Fs > Fmax, dœ Šr det alltid mšjligt att rekonstruera den ursprungliga analoga signalen ur sampelvšrdena. Om vi minskar samplingsfrekvensen upptršder vikningsdistortion (aliasing), vilket medfšr att frekvenser stšrre Šn halva samplingsfrekvensen upptršder som falska frekvenser i det lšgre frekvensbandet (<Fs/). Den hšgsta tillœtna frekvensen i en analog signal brukar kallas Nyqvistfrekvensen. I fig. anvšndes ett lœgpassfilter pœ ingœngen fšre A/D-omvandlaren, ett s.k. antialiasingfilter fšr att begršnsa bandbredden hos signalen fšre samplingen. Om samplingsteoremet skall gšlla mœste signalen vara samplad med ošndligt hšg precision, vilket inte gšller de digitaliserade všrden vi fœr med en A/D-omvandlare. Vi har alltid en viss upplšsning, vilken hos t.ex en CD-spelareen Šr 6 bitar och ger en upplšsning pœ 6 = všrden. Resultatet Šr att vi fœr en kvantiseringseffekt, vilket medfšr ett kvantiseringsbrus hos signalen frœn det digitala filtret. Speciellt minskar signal-brusfšrhœllandet vid smœ amplituder hos signalen. Vidare gšller det att inte ška bruset genom att ha dœlig precision i berškningarna. Moderna signalprocessorer arbetar med med 3- eller 64-bitars flyttal, vilket medfšr bœde hšg dynamik och stor precision. fig.6 Introduktion till digitala filter sid. 5

8 Vi skall introducera nœgra elementšra signaler som kan anvšndas som byggstenar till mer komplicerade signaler. Detta kan vi gšra om vi begršnsar oss till linjšra algoritmer, dšr filterresponsen pœ en sammansatt signal Šr summan av responserna pœ de ingœende delarna. De elementšra delarna Šr lštta att beskriva och generera och anvšnds ofta som testsignaler i linjšra system. LŒt oss dšrfšr i det som fšljer definiera nœgra olika signaler: Enhetspulsen d[n] definieras som d[n] = 0 dœ n ¹ 0 och d[n] = dœ n = 0 Stegfunktionen u[n] definieras som u[n] = 0 dœ n < 0 och u[n] = dœ n ³ 0 (fig.7a) (fig.7b) fig.7 u[n] och d[n] Šr nšra relaterade till varandra. Man kan sšga att u[n] Šr den ackumulerade summan av d[n]. Om vi startar till všnster i fig.7b och gœr Œt hšger medan vi summerar de samplade všrdena d[n], kommer vi generera stegfunktionen u[n]. Vi kan skriva relationen formellt som: u[n] = n å k =- d[k] OmvŠnt kan vi erhœlla d[n] ur u[n] genom fšljande differensekvation: d[n] = u[n] - u[n-] d[n] Šr fšrsta ordningens differens av u[n]. Vi kan ocksœ nšmna rampfunktionen, vilken stiger linjšrt med n. r[n] definieras som r[n] = 0 dœ n < 0 r[n] = n*u[n] fšr n ³ 0 fig.8 Vi skall i fortsšttningen behandla filter som Šr LinjŠra och TidsInvarianta, LTI-filter. Ett linjšrt filter fšljer principen om Superposition: Om insignalen till ett linjšrt filter bestœr av summan av ett antal signaler, dœ Šr utsignalen frœn filtret summan, eller superpositionen, av filtrets respons pœ de olika delsignalerna betraktade separat. Ett tidsinvariant filter Šr ett filter som inte varierar med tiden. Den enda effekt man fœr om man infšr ett tidsskift pœ ingœngen, Šr ett tidsskift pœ utgœngen. Filtrets šverfšringsfunktion kommer att vara konstant. De flesta tekniska system och processer Šr av denna typ, varfšr det inte Šr nœgon stor inskršnkning att behandla LTI-filter. Introduktion till digitala filter sid. 6

9 Antag att vi har ett kassaregister i en snabbkšpskassa. Kassaapparaten adderar priset pœ de inslagna varorna och producerar en slutsumma. Det handlar hšr om en digital process, som vi kan beskriva som en integrator eller accumulator som beršknar en lšpande summa: y[n] = x[n] + x[n-] + x[n-] (5) Naturligtvis arbetar inget kassaregister sœ att det repeterar alla tidigare berškningar fšr varje ny vara som slœs in (ekv.5). Normalt anvšnder man en rekursiv algoritm: y[n] = y[n-] + x[n] (6) NŠr en kund Šr klar, nollstšlls registret och nšsta kund kan ta vid. Det Šr uppenbart att kassaregistret Šr ett LTI-system. Antag att en kund Šr klar och slutsumman blir y. Fšr nšsta kund blir summan y. Om kunderna Šr kompisar och beslutar att slœ ihop kostnaderna, kommer slutsumman naturligtvis att bli (y + y), vilket Šr de tvœ tidigare summorna superponerade. Kassaregistret bšr ocksœ vara tidsinvariant, vilket betyder att de fœr betala samma pris oavsett tid pœ dagen *. Kassaregistret realiserar operationerna lagring/fšrdršjning samt addition av numeriska všrden. Generellt innehœller linjšra tidsinvarianta digitala filter operationerna: lagring/fšrdršjning, addition/subtraktion och multiplikation med konstanter. Om vi rekapitulerar det digitala bandspšrrfiltret i fig.4 och ekvation (3), kan vi se att filtret bara innehœller ovanstœende operationer. y[n] =,853 y[n - ] - 0,94833 y[n - ] + x[n] -.90 x[n - ] + x[n - ] Figur 9a illustrerar med ett blockschema den icke-rekursiva algoritmen fšr kassaregistret (ekv.5). I fig.9b ser vi den rekursiva algoritmen (ekv.6). (3') fig.9 I figur 0 visas ett blockdiagram šver det digitala 50 Hz bandspšrrfiltret (ekv 3'). UtgŒngsvŠrdet y[n] beror av tre ingœngsvšrden, vilka adderas i den icke-rekursiva delen av filtret. Vi har ocksœ en rekursiv del med tvœ tidigare utgœngsvšrden. Den rekursiva delen involverar Œterkoppling. Studera de olika byggblocken och hur de relaterar sig till differensekvationerna fšr filtren. Du bšr nu ha en idž om vad ett digitalt LTI-filter Šr och hur det kan representeras, antingen som en differensekvation eller som ett blockdiagram. * Detta gšller inte de kvšllsšppna affšrer som har differentierade priser. Det finns affšrer som har separata LCD-displayer som prislappar fšr varje vara. 'Prislapparna' innehœller ett microchip som via en central sšndare i butiken kan programmeras om, sœ att man kan hœlla differentierade priser. T.ex. kan man hšja alla priser med 0% efter kl.9.00 eller sšnka priserna pœ vissa varor under en viss tid pœ dagen fšr att styra kundflšdet. Introduktion till digitala filter sid. 7

10 fig.0 Vi skall till slut nšmna fyra andra egenskaper hos linjšra tidsinvarianta filter*, vilka ofta nšmns i litteraturen: kausala filter, stabila filter, inverterbara filter och filter med minne. Vi kan beskriva egenskaperna enligt fšljande: I ett kausalt filter, beror utsignalen bara pœ nuvarande och tidigare insignaler. Praktiska filter i realtid Šr alltid kausala, eftersom de inte kan vara beroende av framtida sampel. DŠremot, om vi lagrar en signal i en dator och filtrerar signalen, behšver det inte vara kausalt. Hela signalen kommer dœ att vara tillgšnglig i datorns minne och man sštta en godtycklig referens och rškna pœ sampel framœt och bakœt i talserien. Ett stabilt filter ger en begršnsad signal pœ utgœngen om man skickar in en begršnsad signal pœ ingœngen, vilket betyder att utsignalen alltid konvergerar mot ett begršnsat všrde. Instabilitet kan orsakas av att felen i berškningarna accumuleras och ger ett numeriskt 'overflow'. Med ett inverterbart filter menas att om insignalen x[n] ger utsignalen y[n], dœ kommer det inversa filtret att ge ut x[n] om det matas med y[n]. Normalt kan man hitta ett inverst filter till ett linjšrt tidsinvariant filter. Ett exempel pœ motsatsen Šr filtret y[n] = (x[n]). Om vi vet y[n], vet vi inte entydigt x[n], eftersom x[n] kan vara positivt eller negativt. Ett filter har minne om dess nuvarande utvšrde y[n] beror pœ ett eller flera tidigare ingœngsvšrden x[n-], x[n-]...., filtret mœste innehœlla element som lagrar och fšrdršjer signalen. JŠmfšr med fig.0. Vi kommer i fortsšttningen att behandla linjšra tidsinvarianta filter som Šr kausala, stabila, inverterbara och som innehœller en minnesfunktion. Problem. Figuren visar en digital signal x[n]. Rita upp fšljande signaler. a) x[n-] b) x[3-n] c) x[n-]. u[n] d) x[n-]. d[n] e) x[-n]. d[n-] *Vi talar om filter nšr vi tittar pœ differensekvationerna. Mer generellt kan man tala om en systemfunktion eller apparatfunktion, dšr det digitala filtret Šr det specialfall som laborationen skall illustrera. Introduktion till digitala filter sid. 8

11 . Skriv upp uttrycken fšr signalerna i nedanstœende figur. 3. Rita upp fšljande signaler. a) -u[n-] b) u[n+] + d[n] c) u[n+] - u[3-n] d) r[n] - r[n-3] 4. Figuren visar ett blockdiagram šver ett digitalt filter. Antag att y[n] = 0 fšr n < 0. Skissa utsignalen frœn filtret dœ vi har fšljande insignaler: a) Enhetsimpulsen d[n]. b) Stegfunktionen u[n]. Antag att a Šr en multiplikator mellan 0 och. Vad hšnder om a > eller a <-? 5. Rita ett blockschema fšr det digitala bandpassfiltret, beskrivet i ekv. (4). 6. Rita ett blockschema fšr det digitala filtret som beskrivs av nedanstœende ekvation. Rita schemat sœ att det klart framgœr vilka delar som rekursiva och icke-rekursiva. y[n] =,65 y[n - ] - 0,934 y[n - ] + 0,5 x[n] - 0, x[n - ] Introduktion till digitala filter sid. 9

12 . Signalanalys i tidsdomšnen Vi skall visa vilken teknik man anvšnder fšr att beskriva signaler och filter i tidsdomšnen. HŠr spelar faltningen (convolution) en central roll fšr att finna utsignalen frœn ett filter fšr en given insignal. Utsignalen frœn ett filter erhœlles genom att falta dess insignal med en tidsfunktion som representerar filtret, impulsresponsen h[n]. (Enhetspulsen d[n] pœ ingœngen ger h[n] pœ utgœngen. Se definition av enhetspulsen pœ sid. 5). Vi skall fšrsška fšrklara begreppet faltning i det som fšljer. Faltning Šr en form av superposition som bygger pœ att varje signal kan realiseras genom att summera ett antal viktade och skiftade impulser. Fšr ett LTI-filter gšller superpositionsprincipen, varfšr utsignalen blir summan av filtrets impulsresponser fšr insignalens delar. Innan vi beskriver faltningen, skall vi visa hur man kan beskriva en signal som en uppsšttning impulser. Vi behšver ocksœ veta hur ett LTI-filter svarar pœ en individuell impuls. Fig. visar en del av en signal x[n]. Vi kan vidare se hur signalen Šr sammansatt av de olika delsignalerna i (b) - (f). Vi kan se att x[n] bildas genom att summera enhetspulser. Dessa Šr viktade med amplituden x[k] och skiftade med ett antal samplingsintervall, ekv. (7). Hela signalen kan beskrivas som en summa, ekv.(8). Eftersom summationsindex k kan anta alla všrden, sœ Šr x[n] en generell digital signal. Om vi vet att x[n] Šr begršnsad kan vi anpassa index. T.ex om x[n] = 0 fšr n < 0, kan vi begršnsa k till att starta frœn 0. Fšr varje všrde pœ n i ekv.7, Šr bara en term skild frœn noll. Detta Šr en egenskap hos enhetsimpulsen som kallas sifting (sœllning). Om vi t,ex všljer n=3, i ekv.8, kommer alla termer utom x[3] att bli noll. fig. x[n] = + x[-] d[n + ] + x[-] d[n + ] + x[0] d[n] + x[] d[n - ] + x[] d[n - ] + (7) x[n] = å x[k] d[n - k] (8) k =- Introduktion till digitala filter sid. 0

13 Vi skall nu beskriva vad ett LTI-filter har fšr respons pœ en enstaka impuls. Vi kan fšrst notera att en impuls, d[n], Šr den mest tidsbegršnsade signal man kan tšnka sig, den bestœr bara av ett sampel vid n=0. Om vi skickar impulsen in i ett filter, exciteras filtret bara vid n=0. AlltsŒ mœste varje utsignal efter n=0 vara karakteristiskt fšr filtret eftersom insignalen har upphšrt. Impulsresponsen refereras ofta som filtrets naturliga respons och betecknas vanligen h[n] (JŠmfšr šverfšringsfunktionen H(jw) fšr ett analogt filter, som Šr filtrets respons i frekvensplanet). Vi kan se en illustration i fig.. fig. Vi har tidigare sett att ett filter beskrivs med en differensekvation mellan in- och utsignaler. Det Šr lštt att berškna impulsresponsen frœn en sœdan ekvation. Vi kan titta pœ bandpassfiltret i fig.5 och ekv (4). y[n] =, 5 y[n - ] - 0,85 y[n - ] + x[n] (4') Om vi lœter insignalen vara en enhetsimpuls d[n], kan den iterativa formeln skrivas som: h[n] =, 5 h[n - ] - 0,85 h[n - ] + d[n] (9) Om vi tšnker pœ att d[n] = 0 šverallt utom fšr n=0, dœ d[0] =, Šr det enkelt att utveckla h[n] term fšr term. Antag att filtret Šr kausalt, vilket gšr att h[n] = 0 fšr alla n < 0. h[0] =, 5 h[-] - 0,85 h[-] + d[0] = = h[] =, 5 h[0] - 0,85 h[-] + d[] =, =, 5 h[] =, 5 h[] - 0,85 h[0] + d[] =,5-0, =, 4 h[3] =, 5 h[] - Att berškna h[n] fšr hand kan bli tidsšdande, men det Šr inte sœ svœrt att skriva ett dataprogram som plottar impulsresponsen fšr ett godtyckligt LTI-filter. Digital faltning Vi har sett hur man kan beskriva samplade signaler som en en summa av impulsfunktioner och hur man karakteriserar digitala filter med dess impulssvar eller stegsvar. Vi vill emellertid ha en generell datorbaserad metod fšr att berškna filterresponsen fšr en godtycklig insignal. Denna metod kallas fšr faltning eller convolution pœ engelska. Vi bšrjar med ett exempel: Antag att vi har en insignal x[n] som bestœr av 4 st. sampel som i fig.3a. Vi har ocksœ ett filter med impulsresponsen h[n] i fig 3b. Resten av figuren beskriver hur x[n] Šr uppdelad i en uppsšttning av viktade och skiftade impulser, dšr var och en genererar sin egen impulsrespons. Den totala filterresponsen y[n] erhœlles genom superposition av de individu- Introduktion till digitala filter sid.

14 ella delarnas responser. Resultat Šr att vi har utfšrt en faltning av insignalen x[n] och impulsresponsen h[n]. Praktiskt bestœr x[n] av mœnga sampel och vi kan formulera faltningen generellt som: y[n] = + x[-] h[n + ] + x[-] h[n + ] + x[0] h[n] + x[] h[n - ] + Vi kan sammanfatta faltningen som summan: y[n] = å x[k] h[n - k] (0) k =- fig.3 Den sista ekvationen (0) Šr kšnd som faltningssumman (convolution sum). MŠrk likheten med ekv.8, vilken uttryckte varje insignal x[n] som en summa av viktade och skiftade impulser. Vad vi gjorde senast, var att vi uttryckte utsignalen y[n] som en summa av viktade och skiftade impulsresponser, d.v.s. termen d[n-k] i ekv.8 Šr bytt mot h[n-k] i ekv. 0. Faltning brukar markeras med en asterisk (*) och Šr kommutativ. Om x[n] faltas med h[n], kan vi skriva: x[n]*h[n] = h[n]*x[n]. Tidigare diskuterades nœgra praktiska exempel pœ digital signalbehandling.vi skall illustrera begreppet faltning med ett exempel, dšr det gšller att berškna ett lšpande medelvšrde šver avlšsta temperaturer vid en meterologisk station. Figur 4 illustrerar variationer i middagstemperatur vid en viss plats šver en 5-veckors period. En meterolog vill undertrycka dagsvariationerna och framhšva temperaturtrenden šver en lšngre period. Introduktion till digitala filter sid.

15 fig.4 Vi provar med ett filter som beršknar det lšpande medelvšrdet šver en 5-dygnsperiod. Varje filtrerat sampel y[n] Šr medelvšrdet av x[n] och tvœ všrden pœ varje sida: y[n] = 0, { x[n + ] + x[n + ] + x[n] + x[n - ] + x[n - ] } () Vi kan se hur filtret slštar ut signalen, d.v.s vi har ett lœgpassfilter med strykjšrnseffekt. Detta Šr ett exempel pœ faltning i tidsdomšnen. Att notera Šr att filtret Šr icke-kausalt eftersom y[n] beror av framtida všrden, x[n+] och x[n+]. Detta Šr mšjligt eftersom temperaturkurvan redan finns lagrad i ett minne - vi vet alla všrden i fšrvšg. Vi har tidigare stštt pœ ett antal rekursiva och icke-rekursiva iterativa formler som beskriver digitala filter, vilka refererades till som differensekvationer. Ekvation (3) har t.ex. rekursiva och 3 icke-rekursiva termer. Fšr att gšra ekvationen mer generell, tillœter vi ett godtyckligt antal termer och skriver den pœ formen: a0 y[n] + a y[n - ] + = b0 x[n] + b x[n - ] + b x[n - ] + N eller: å ak y[n - k] = åbk x[n - k] () k =0 M k =0 Filtrets komplexitet beror pœ hur mœnga termer som finns pœ varje sida av ekvationen. N, som Šr hšgsta differensen av insignalen, betecknar vanligen ordningen pœ filtret. Problem. BerŠkna de 0 fšrsta termerna fšr impulsresponsen till fšljande digitala filter. a) y[n] = x[n]+ x[n - 4]+ x[n -8] b) y[n] = n x[n - k] 6 å k=0 c) y[n] = y[n -]+ x[n]- x[n -8] d) y[n] = y[n -]- 0,5 y[n - ]+ x[n] Introduktion till digitala filter sid. 3

16 . Beskriv signalerna i figuren genom att anvšnda viktade, tidsfšrdršjda impulser. 3. Rita upp stegsvaret till filtren i problem.a) och.c). 4.a) BestŠm utsignalen y[n] fšr de tvœ filtren i figuren med insignalen x[n] och impulsresponsen h[n]. AnvŠnd nœgon av de grafiska metoder som beskrevs tidigare. b) Om x[n] innehœller N st sampel och h[n] M st sampel, hur mœnga sampel innehœller faltningssumman x[n] * h[n]? 5. NedanstŒende figur visar ett blockschema šver ett icke-rekursivt digitalt filter. BerŠkna och skissa impulsresponsen h[n] och stegsvaret s[n]. Varfšr gœr stegsvaret mot noll? Vilken typ av filter beskrivs med blockschemat? Stegsvaret n sn [ ]= åhk [ ] eller altenativt hn [ ]= sn [ ]-sn [ -] k =- Introduktion till digitala filter sid. 4

17 3. Analys i frekvensdomšnen, Fouriertransformen Vi har tidigare i kursen sett hur man kan representera en periodisk tidsberoende signal som en summa av frekvenser. Koefficienterna i spektrum erhœlles genom ekvationen: a k N jπkn N n= 0 = xn [ ] e N a k representerar den k:te frekvenskomponenten och N Šr antalet sampel fšr varje period av signalen. Observera att i detta fall finns faktorn /N i Fouriertransformen, vilket inte har nœgon stšrre betydelse, eftersom det bara Šr en skalfaktor. Vi skall emellertid utnyttja skalfaktorn nšr vi beskriver Fouriertransformen fšr aperiodiska funktioner. Om vi vet frekvenskoefficienterna a k, kan vi syntetisera signalen genom den inversa Fouriertransformen. N - p å j kn xn [ ]= a k e N k = 0 OvanstŒende ekvationer gšller om den samplade signalen Šr periodisk med perioden N st sampel. Fouriertransformen kommer dœ ocksœ att bli periodisk, vilket gšller alla samplade signaler. Ett tidigare antagande var att samplingsintervallet upprepade sig periodiskt kring samplingsfšnstret. De flesta praktiska signaler Šr dock inte periodiska. Vi sœg exemplet med fluktuationerna pœ guldpriset, dšr vi inte kan fšrvšnta oss nœgon periodicitet. Vi skall fšrsška att modifiera formlerna (3) och (4) sœ att vi kan transformera signaler som inte Šr periodiska. Om vi, fšr en viss samplingsfrekvens, lœter antalet sampel N všxa mot stora všrden, kommer frekvenserna att ligga tštare samtidigt som frekvenskoefficienterna a k kommer att minska mot noll. Produkten X = N. a k kommer dock att vara bestšmd, varfšr vi kan infšra en kontinuerlig frekvensvariabel, Ω = πk/n och skriva Fouriertransformen som: (3) (4) N - X = N ak = å x[n] e - jwn (5) n=0 Vi kan ocksœ Šndra summationsgršnserrna fšr att visa att signalen inte Šr periodisk. Generellt existerar signalen fšr bœde positiva och negativa všrden pœ n. Vi kan ocksœ indikera att X Šr frekvensberoende genom att skriva X(Ω). Resultatet blir Fouriertransformen fšr en aperidisk signal x[n]: X(W) = å x[n] e - jwn (6) n=- Ekvationen anvšnds fšr analys av en signal och visar hur en aperiodisk signal kan uttryckas som sinus- och cosinustermer. Exempel: BerŠkna Fouriertransformen fšr de tvœ aperiodiska digitala signalerna i fig.5. Skissa magnituden i omrœdet -π Ω π. Lšsning (a): AnvŠnd ekv. (6) pœ xn [ ] = 0. [ d[ n- ] + d[ n- ] + d[ n] + d[ n+ ] + d[ n+ ]] - jwn X(W) = å 0, { d[n - ] + d[n - ] + d[n] + d[n + ] + d[n + ] } e (7) n=- Introduktion till digitala filter sid. 5

18 Genom att anvšnda sœllningsegenskapen (sifting property) hos enhetsimpulsen, kan vi skriva summan som: X(W) = 0, { e - jw + e - jw + + e jw + e jw }= 0, { + cos(w) + cos(w) } (8) Fig.5 Vi kan se att spektrum Šr reellt, vilket gšller om signalen Šr symmetrisk (x[n] = x[-n]). Vidare kan vi se att spektrum huvudsakligen bestœr av lœga frekvenser. Spektrum Šr ocksœ periodiskt i W med perioden p. Periodiciteten Šr hšr en konsekvens av att signalen Šr samplad. Vi har tidigare anvšnt en ren frekvensskala pœ den horisontella axeln. I denna representation motsvarar p halva samplingsfrekvensen, d.v.s. Fs/. Om vi betraktar x[n) som ett filter, kommer X(W) att beskriva filtrets šverfšringsfunktion. Om vi skall hitta frekvensen fšr den markerade skšrningen med W-axeln (p/5), mœste vi veta samplingsfrekvensen. Om vi samplar med Fs = 000 Hz, motsvaras p/5 av (Fs/)/5 = *500/5 = 00 Hz. Bandbredden hos filtret Šr proportionell mot samplingsfrekvensen. Med funktionen X(W) beskriver vi ett normerat filter, vars egenskaper beror av Fs. Vi har tidigare studerat SC-filtret, vars brytpunkt Šndrades med klockfrekvensen. Lšsning (b): X(W) = - jwn å x[n] e = 0,5 + 0,5 e - jw + 0,5 e - jw + n=- 0,5 = 0,5 å {0, 5 e - jw } n = - 0,5 e ; { å - jw xn = - x } (9) n=- n=0 Vi har anvšnt formeln fšr summan hos en ošndlig geometrisk serie. Signalen Šr noll dœ n<0. Vi ser ocksœ att X(W) Šr komplex. Vi fortsštter med att berškna magnituden av X(W). 0,5 X(W) = = {( - 0,5 cosw) + (0,5 sinw) } 0,5 0,5 = { - cosw+0,5 cos W+0,5 sin W} (,5 - cosw) (0) Introduktion till digitala filter sid. 6

19 Vi har ett maximum fšr W=0 och minimum fšr W=p, men inga frekvenser Šr helt eliminerade. Fšr en fullstšndig representation av spektrum, fordras det ocksœ en plot av fasvridningen. Som ett ytterligare exempel skall vi titta pœ Fouriertransformen av en enstaka enhetspuls vid n=0, fig.6. Enhetsimpulsens sœllningsegenskap (sifting property) ger fšljande: X(W) = - jwn å x[n] e = å d[n] n=- n=- e - jwn () X(W) = e - jwn = n=0 Fig.6 d[n] innehœller alla frekvenser med lika fšrdelning. Om vi fšrdršjer impulsen med ett sampel, fœr vi fšljande: - jwn X(W) = å d[n - ] e = e - jwn = - jwn n= e () n=- Magnituden Šr fortfarande lika med, men vi har ett fasskift, proportionellt mot frekvensen. I exemplen sœg vi att det var ganska lštt att hitta Fouriertransformen fšr vissa enkla signaler. Fšr mer komplicerade signaler, kan man ha god hjšlp av transformtabeller. Vi har tidigare talat om nœgra filteregenskaper som linjšritet, tidsskift och faltning. Om vi involverar dessa begrepp i Fouriertransformen, kan vi sammanstšlla nœgra regler och samband som gšller mellan de samplade signalerna och dess transformer enligt fšljande: LinjŠritet Om x [n] och x [n] Šr tvœ signaler med transformerna X (W) och X (W), dœ gšller: a. x [n] + b. x [n] transformeras till a. X (W) + b. X (W) Tidsskiftning Om x[n] transformeras till X(W) dœ transformeras x[n-n 0 ] till X(W). e -jwn 0 Introduktion till digitala filter sid. 7

20 Faltning Om x [n] och x [n] transformeras till X (W) och X (W), dœ gšller: x [n] * x [n] transformeras till X (W). X (W) och x [n]. x [n] till X (W) * X (W) HŠr betecknar ". " multiplikation och " * " faltning. "Faltning i tidsplanet blir multiplikation i frekvensplanet och faltning i frekvensplanet blir multiplikation i tidsplanet". Man kan alltsœ falta tvœ signaler genom att transformera dem, multiplicera transformerna och ta den inversa transformen. Det lœter lite krœngligt, men ger tidsvinster i praktiken. Vi har anvšnt Fouriertransformen fšr att undersška spektra fšr aperiodiska samplade signaler. En annan anvšndbar tillšmpning Šr dess fšrmœga att beskriva frekvensgœngen hos ett LTI-filter. Fig.7 visar sambanden mellan tids- och frekvensdomšnen hos ett filter. Fig.7 Insignalen x[n], faltad med impulsresponsen h[n], ger utsignalen y[n]. Sett i frekvensplanet, Šr spektrum fšr utsignalen, Y(W), lika med produkten av insignalens spektrum, X(W) och funktionen H(W), som representerar filtrets frekvensrespons (JŠmfšr šverfšringsfunktionen hos ett analogt filter). Vid multiplikation av X(W) med H(W), mœste vi ta hšnsyn till sœvšl fasvinkel som magnitud. Det kan vara enklare att skriva X(W) och H(W) pœ polšr form. Produkten blir dœ: X(W) = X(W) e jf X (W) och H(W) = H(W) e jf H (W) (3) X(W) H(W) = X(W) H(W) e j[f X (W)+F H (W)] (4) Vi multiplicerar magnituderna och adderar fasvinklarna! JŠmfšr med jw-metoden. Vi har tidigare sett att impulsresponsen fšr ett filter definierar filtret i tidsplanet. Fouriertransformen definierar filtret i frekvensplanet. De bœda beskrivningarna Šr ekvivalenta. Eftersom impulsen innehœller alla frekvenser med lika fšrdelning, betyder det att, med impulsen som insignal, exciteras filtret med alla frekvenser samtidigt. Om vi tillšmpar ovanstœende regler, kan vi undersška nœgra av de filter vi beskrev tidigare. I fig. 5a kan vi betrakta signalen x(n) som ett 5-sampels filter som beršknar ett lšpande medelvšrde och som fungerar som ett lœgpassfilter. Vi kan genom att lœta x[n] = d[n] i ekv.(4) beskriva filtrets impulsrespons som: h[n] = 0, { d[n - ] + d[n - ] + d[n] + d[n + ] + d[n + ] } (5) Motsvarande frekvensrespons blir: H(W) = åh[n] e - jwn (6) n=- Introduktion till digitala filter sid. 8

21 Genom att utnyttja enhetsimpulsens sœllningsegenskap fœr vi: H(W) = 0, { e - jw + e - jw + + e jw + e jw }= 0, { + cosw+ cos(w) } (7) Ett alternativt sštt att hitta frekvensresponsen hos ett digitalt filter, Šr via differensekvationen. Vi rekapitulerar ekvation (), som visade den generella formen: N å a y[ n- k] = b x[ n-k] M å k k = 0 k = 0 k (') Termerna a k betecknar hšr rekursiva multiplikativa koefficienterer. Vidare betecknar N ordningen hos filtret. Enligt tidigare diskussion kan vi direkt skriva Fouriertransformen pœ bšgge sidorna som: N å a k e - jkw Y(W) = åb k e - jkw X(W) (8) k =0 M k =0 Y(W) = X(W). H(W) ger: H(W) = Y(W) X(W) = M å b k e - jkw k =0 (9) N å a k e - jkw k =0 Ekvation (9) Šr generell, och lœter oss att finna H(W) fšr rekursiva och icke-rekursiva filter. LŒt oss som exempel ta bandpassfiltret i fig.5 och ekv. (4). Differensekvationen Šr: y[n] =, 5 y[n - ] - 0,85 y[n - ] + x[n] (4') Ekv. (9) ger: H( W) = = - j j, - W e +, - W e = ( -, 5 cos W+ 0, 85 cos W)+ j, 5 sin W- 0, 85 sin W ( ) (30) Ur uttrycket kan vi berškna magnitud och fasvridning hos bandpassfiltret: Magnituden blir: H( W) = {( -, 5 cos W+ 0, 85 cos W) + (, 5 sin W- 0, 85 sin W) } / (3) Fasvridningen: æ 5, sin W- 085, sin W ö FH( W)=-arctanç è -, 5 cos W+ 0, 85 coswø (3) Figur 8 visar en datorgenererad plot av spektrum fšr bandpassfiltret. Introduktion till digitala filter sid. 9

22 fig.8 Vi kan gšra en liknande analys av bandspšrrfiltret i fig.4, ekv. (3) y[n] =,853 y[n - ] - 0,94833 y[n - ] + x[n] -.90 x[n - ] + x[n - ] Samma procedur som tidigare ger: (3') H(W) = -,90 e - jw + e - jw -,853 e - jw + 0,94833 e - jw (33) Figur 9 visar magnituden hos bandspšrrfiltret. fig.9 Problem. Fšrsšk att finna ett uttryck fšr frekvensresponsen H(W) hos de LTI-filter, vars impulsresponser Šr fšljande: a) h[n] = 4d[n] + d[n-] + d[n-] b) h[n] = h[n-] + d[n] + d[n-7] c) h[n] = 0,8h[n-] + d[n]. Ett hšgpassfilter beskrivs med fšljande differensekvation: y[n] = -0,9y[n-] + 0,x[n] BerŠkna H(W) och skissa magnituden fšr omrœdet 0 < W < p. Vad Šr všrdet av magnituden av H(W) i W=0 och W=p? 3. Figuren visar ett bandpassfilter. Finn ett uttryck fšr magnituden av frekvensresponsen H(W) och skissa funktionen i omrœdet 0 < W < p. Introduktion till digitala filter sid. 0

23 4. Z-transformen Z-transformen Šr ett hjšlpmedel fšr att analysera digitala signaler och filter. Den anvšnds ocksœ vid design av digitala filter och Šr en generalisering av Fouriertransformen. Det finns nœgra skšl till att introducera z-transformen: Den erbjuder ett kompakt och bekvšmt sštt att beskriva digitala signaler och filter. Den anvšnds allmšnt av folk som sysslar med signalanalys och det finns knappt en bok om digital signalbehandling, som inte innehœller ett kapitel om z-transformen. Med hjšlp av z-transformen, kan vi beskriva ett filter som poler och nollstšllen, vilket Šr en stor hjšlp fšr att undersška filtrets stabilitet och frekvensgœng. Avsnittet skall ge en introduktion till z-transformen med koncentration pœ de aspekter som gšller digitala filter, men fšrst skall vi definiera z-transformen. Definition: Z-transformen av en digital signal x[n] definieras som: Eftersom summan gœr frœn n=0 till n=, beror X(z) bara pœ vad som hšnder med x[n] fšr n 0 - transformen sšgs vara enkelsidig. Detta Šr den transform man anvšnder i praktiken fšr ett kausalt filter dšr impulsresponsen h[n]=0 fšr n < 0. Alternativet Šr den dubbelsidiga z- transformen med - < n <, vilken vi inte skall anvšnda hšr. [z Šr hšr ett komplext tal av typ z = a + jb]. Z-transformen i ekv. (34), Šr lštt att visualisera dœ X(z) Šr en geometrisk serie i z - med de successiva všrdena av x[n] som koefficienter. Om vi uttrycker X[z] som en geometrisk serie, kan vi omedelbart regenerera signalen. HŠr Šr nœgra exempel. a) Fšrsšk finna z-transformen fšr den exponentiellt avtagande signalen i fig.0a. b) Hitta den signal som har z-transformen X(z) = /(z +,) X(z) = x[n] z n (34) n=0 fig.0 Lšsning a) Z-transformen ges av fšljande: X(z) = å x[n] z -n = + 0,8 z - + 0,64 z - + 0,5 z -3 + = n=0 = + (0,8 z - ) + (0,8 z - ) + (0,8 z - ) 3 + = - 0,8 z = z - z - 0,8 Introduktion till digitala filter sid.

24 Lšsning b) Om vi uttrycker X(z) som en serieutveckling i z -, fœr vi: X(z) = z +, = z - +, z = - z- ( +, z - ) - = = z - { + (-, z - ) + (-, z - ) + (-, z - ) 3 + = = z - -, z - +, 44 z -3 -,78 z -4 + Successiva všrden fšr x[n] med start vid n=0 Šr dšrfšr: 0,, -,,,44, -,78,.... h[n] Šr plottad i fig.0b. Om vi sštter z = e jw i ekv. (34) fœr vi: X(W) = å x[n] e - jwn (35) n=0 Vi kan se likheten med ekv. (6). Fouriertransformen Šr ett specialfall av z-transformen. Ett alternativt och enklare sštt att betrakta z, Šr att lœta z vara en tidsskiftoperator. Multiplikation med z Šr en tidsfšrskjutning framœt med ett sampel. Division med z Šr en tidsfšrdršjning med ett sampel. Exempel: En enhetsimpuls vid n=0 har fšljande z-transform: Om vi fšrdršjer enhetspulsen med n 0 sampel fœr vi transformen: Z-transformen ger oss stora fšrdelar nšr vi analyserar signaler och filter i frekvensdomšnen. En Šr faltningsegenskapen (convolution property), vilken sšger att faltning i tidsdomšnen Šr ekvivalent med multiplikation i frekvensdomšnen. Denna egenskap delas av Fouriertransformen som vi sett tidigare (sid.8). LŒt oss ta ett enkelt exempel med en begršnsad signal x[n] som vi skickar till ett filter med impulsresponsen h[n]. Antag att x[n] och h[n] har fšljande sampel: Vi kan hitta utsignalen y[n] genom faltning, y[n] = x[n] * h[n]. Vi fœr fšljande serie y[n] =, -3, 3, 3, -6, 0,, 0, 0,...., kontrollera! [Se sid 0-]. I frekvensdomšnen kan vi beskriva signalen och filtret med hjšlp av z-transformen. X(z) = - z - + 3z - - z -3 - z -4 H(z) = + z - - z - (šverfšringsfunktionen) X(z) = å d[n] z -n = z -n = (36) n=0 n=0 X(z) = å d[n - n 0 ] z -n = z -n n=n 0 = z -n 0 (37) n=0 n x[n] h[n] Produkten X(z)H(z) = - 3z - + 3z - + 3z -3-6z -4 + z -6, jšmfšr med serien fšr y[n]. Vi har hittills beršknat signalen genom att serieutveckla transformen. Det finns dock andra metoder att berškna en signal ur transformen. Vi kan berškna signalen x[n] ur X(z) genom Introduktion till digitala filter sid.

25 en iterativ algoritm. Ett bra sštt att fšrklara metoden Šr att anta att z-transformen snarare representerar ett LTI-filter Šn en digital signal. Vi har dœ filtrets šverfšringsfunktion H(z) och motsvarande impulsrespons h[n]. I allmšnhet gšller: Y(Z) = X(z)H(z). Y(z) och X(z) Šr filtrets z-transformer av in- och utsignalen. LŒt oss ta ett exempel dšr vi vet H(z): H(z) = z (z - ) (z - ) = Y(z) X(z) (38) Y(z) {z (z - ) (z - )} = Y(z) {z 3-3z + z} = X(z) eller z 3 Y(z) - 3z Y(z) + z Y(z) = X(z) (39) Eftersom multiplikation med z n Šr en tidsfšrskjutning framœt med ett sampel, kan vi enkelt skriva upp den ekvivalenta differensekvationen: y[n+3] - 3y[n+] + y[n+] = x[n] Om vi fšrdršjer x och y med 3 sampel fœr vi: y[n] - 3y[n-] + y[n-] = x[n-3] y[n] =,5y[n-] - 0,5y[n-] + 0,5x[n-3] Om vi vill hitta motsvarande impulsrespons h[n], kan vi lœta x[n] vara enhetsimpulsen d[n], varpœ vi beršknar h[n] term fšr term. eller (40) h[n] =,5 h[n-] - 0,5 h[n-] + 0,5 d[n-3] (4) Termen d[n-3] bidrar bara fšr n=3 och har dœ všrdet. Det fšrsta všrdet, skilt frœn noll, blir dœ h[3] = 0,5. Fšljande všrden Šr: h[4] = 0,75, h[5] = 0,875, h[6] = 0,9375,.... LŒt oss ta ett mer komplicerat exempel och tillšmpa samma metod. Antag att vi vill finna inversa transformen till fšljande funktion: H(z) = z (z - ) (z + ) (z + 0,8) (z +,38593 z + 0,9604) (z +,64545 z + 0,905) (4) H(z) = Y(z) X(z) = z 5 - z 4 + z 3 - z z 5 + 0,54048 z 4-0,659 z 3-0,66354 z + 0,6037 z + 0,6934 (43) Motsvarande differensekvation blir dœ: y[n] = -0,54048y[n-] + 0,659y[n-] + 0,66354y[n-3] - 0,6037y[n-4] - - 0,6934y[n-5] + x[n] -x[n-] + x[n-] - x[n-3] (44) Med en dator kan man berškna impulsresponsen fšr ekv. (44), vilken visas i fig.. Introduktion till digitala filter sid. 3

26 fig. Vi kan ocksœ anvšnda z-transformen fšr att beskriva filter genom poler och nollstšllen. Eftersom z-transformen beskriver en reell, digital signal eller ett LTI-filter, kan den alltid skrivas som en rationell funktion i z - eller ett fšrhœllande med tšljare och nšmnare som polynom i z. Generellt kan vi skriva X(z) som: X(z) = T(z) N(z) = K (z - z ) (z - z ) (z - z 3 ) (z - p ) (z - p ) (z - p 3 ) (45) Konstanterna z, z, z3,... kallas nollstšllen (O) eftersom de gšr att X(z) = 0. OmvŠnt kallas konstanterna p, p, p3,... poler (X) och gšr att X(z) gœr mot ošndligheten. Man kan visa att om tidssignalen Šr reell, kommer polerna och nollstšllena att vara reella eller ocksœ kommer de att upptršda som komplexkonjugerade par *. En bra representation av ett filter Šr att plotta poler och nollstšllen i det komplexa talplanet, vilket refereras till som z-planet. I appendix finns nœgra anvšndbara z-transformer listade tillsammans med motsvarande poler och nollstšllen i z-planet. T.ex transformen av enhetssteget u[n] = z/(z-), bestœr av ett nollstšlle (cirkel) i origo och en pol (kryss) pœ reella axeln i punkten z = (, j0). Vi tar ett exempel genom att plotta poler och nollstšllen fšr fšljande z-transformer: a) X(z) = z (z -, ) (z + ) (z - 0,5 + j 0,7) (z - 0,5 - j 0,7) (z - 0,8) b) X(z) = (z 5 - ) (z + ) Lšsning: Poler och nollstšllen visas i fig.. I (a) har vi ett dubbelt nollstšlle i origo och tvœ nollstšllen i z = - resp. z =,. Vi har ocksœ tvœ komplexkonjugerade poler samt en reell pol i z = 0,8. I (b) finns bara nollstšllen. De fem rštterna till ekvationen z 5 - = 0 ligger pœ ekvidistanta avstœnd runt enhetscirkeln. Rštterna till z + = 0 Šr z = ±j. fig. * Om ett komplext tal representeras med z = a + jb, dœ Šr z* = a - jb komplexkonjugatet, d.v.s vi erhœller komplexkonjugatet genom att byta tecken pœ imaginšrdelen. Kvadraten pœ beloppet av z kan skrivas zz* = (a + jb)(a - jb) = a + b Introduktion till digitala filter sid. 4

27 Om z-transformen representerar šverfšringsfunktionen till ett filter, ger positionerna av polerna viktig information om filtrets stabilitet. Antag att vi har ett digitalt filter med en reell pol i z = a. Vi har dœ H(z) = Y(z)/X(z) = /(z-a) eller zy(z) - ay(z) = X(z). Differensekvationen Šr: y[n+] - ay[n] = x[n] eller y[n] = ay[n-] + x[n-] Impulsresponsen Šr: h[n] = ah[n-] + d[n-] Successiva termer fšr h[n] blir med start med n = 0 : 0,, a, a 3, a Om a <, avtar h[n] mot noll dœ n gœr mot ošndligheten. Om a > všxer h[n] obegršnsat. Filtret Šr bara stabilt fšr - < a <, vilket betyder att polen mœste ligga innanfšr enhetscirkeln i z-planet. LŒt oss ta ett exempel med ett par poler pœ den imaginšra axeln, z = ± ja. H(z) = Y(z)/X(z) = /(z-ja)(z+ja) = /(z +a ) eller z Y(z) + a Y(z) = X(z). Differensekvationen Šr: y[n] = -a y[n-] + x[n-] Successiva termer fšr h[n] blir: 0, 0,, 0, -a, 0, a 4, 0, -a 6, h[n] všxer obegršnsat fšr stora n om beloppet av a Šr stšrre Šn. Generellt kan man sšga att polerna mœste ligga inom enhetscirkel. Eftersom stabilitet handlar om polernas avstœnd frœn origo, kan det vara till hjšlp att anvšnda polšra koordinater. Antag att vi har ett filter med ett komplexkonjugerat polpar enligt fig. 3. fig.3 Polerna har radien r med vinklarna ± relativt den positiva reella axeln. Vi kan beskriva positionerna som: z = r. e jq och z = r. e -jq och vi kan skriva: Yz () Hz () = = = Xz z r e j q - jq ( ) ( - )( z- r e ) z - z r cosq + r (46) Motsvarande differensekvation blir: yn [ ] = rcos q yn [ -]-r yn [ - ] + xn [ -] (47) Ett annat exempel kan vi hitta om vi studerar ekvation 4. Filtret har en reell pol i z = -0.8 och tvœ komplexkonjugerade polpar med fšljande faktorer: ( z +, z ) och ( z +, z ) Introduktion till digitala filter sid. 5

28 Om vi jšmfšr med ekvation 46, ser vi att fšr det fšrsta polparet gšller: r = 0, 9604 och r cos q = -, 38593, vilket ger r = 0, 98 och q = 45 Fšr det andra polparet gšller: r = och r cos q = -, 64545, vilket ger r = 0, 95 och q = 50 Poler och nollstšllen fšr ekvation 4 Šr plottade i figur 3b. Generellt kan vi tšnka oss z som en frekvensvariabel med reella, imaginšra eller komplexa všrden. Om vi sštter z = e jw fœr vi Fouriertransformen. Vi kan konstatera att alla všrden pœ z = e jw ligger pœ randen av en enhetscirkel - beloppet Šr ju alltid lika med. Fšr W=0 fœr vi koordinaten z = (,j0) pœ reella axeln. DŒ W škar, ršr vi oss moturs lšngs periferin pœ enhetscirkeln. Vinkeln relativt den positiva reella axeln Šr W. Fšr W=p nœr vi punkten z = (-,j0) pœ den negativa reella axeln. Om vi fortsštter ett helt varv, (W=p) kommer vi tillbaka till startpunkten varpœ vi fortsštter pœ nšsta varv. Figur (4) illustrerar varfšr z-transformen ger en sœ kompakt beskrivning av digitala signaler och filter. Vi vet frœn tidigare att Fouriertransformen Šr repeterbar lšngs frekvensaxeln med en period av p, vilket Šr en konsekvens av sampling. Hos z-transformen Šr perioden ett varv runt enhetscirkeln. Vi skall med ett exempel demonstrera hur man kan plotta frekvenskurvan fšr ett filter utgœende frœn den polšra representationen. Antag att vi har ett filter med en pol i z = -0,8 och ett nollstšlle i z = 0,8 enligt figur 4a. verfšringsfunktionen kan vi skriva som: o o H(z) = z - 0,8 z + 0,8 (48a) Om vi ersštter z med e jw fœr vi: H(W) = e jw - 0,8 e jw + 0,8 (48b) fig.4 Introduktion till digitala filter sid. 6

29 Vid en viss frekvens (W=W ), representeras tšljaren av en nollvektor Z frœn nollstšllet till punkten e jw pœ enhetscirkeln. NŠmnaren representeras av en polvektor P frœn polen till samma punkt. Magnituden av šverfšringsfunktion Šr lšngden pœ nollvektorn dividerad med lšngden pœ polvektorn. Fasvridningen Šr differensen mellan fasvinklarna hos de tvœ vektorerna. Om vi fig. 4a antar att W = p/3 fœr vi en magnitud pœ 0,587 och en fasvridning med 75,4 grader (kontrollera att det stšmmer!). Om vi lœter W ršra sig runt cirkeln, kan vi plotta filtrets frekvensgœng enligt fig. 4b. Fšr ett filter med flera poler och nollstšllen gšller: Magnituden Šr lika med produkten av lšngden pœ alla nollvektorer dividerat med produkten av lšngden pœ alla polvektorer. Fasvridningen Šr lika med summan av nollvektorernas faser minus summan av alla polvektorers faser. Problem. TvŒ digitala signaler ser ut enligt fšljande: x [n] = d[n] - d[n-] + d[n-3] x [n] = d[n-] + d[n-] - d[n-3] a) Skriv upp deras z-transformer X (z) och X (z). b) Falta de tvœ signalerna och och forma en tredje signal x 3 [n] = x [n] * x [n] c) Visa att z-transformen av x 3 [n] Šr lika med produkten av X (z) och X (z).. En signal x[n] bšrjar vid n=0 och har 6 bestšmda všrden:,, 3,, -, Signalen Šr insignal till ett LTI-filter vars impulsrespons h[n] bšrjar vid n=0 och har tre všrden:,,. Falta x[n] med h[n] fšr att hitta utsignalen y[n]. Kontrollera att z-transformen av y[n] Šr lika med produkten av z-transformerna till x[n] och h[n]. 3. Finn poler och nollstšllen i z-planet till fšljande šverfšringsfunktioner. Kan du hitta nœgra icke-stabila eller icke-kausala filter bland dessa? a) H(z) = z - z - z -,3z + 0,4 b) H(z) = z - z + z + c) H(z) = z3 -z + z - z - 0,5 d) H(z) = z9 - (z - )z 8 4. Ett digitalt filter visas i figuren. Hitta šverfšringsfunktionen H(z) till filtret dœ vi har fšljande initialvillkor: y[-] = y[-] = 0. Introduktion till digitala filter sid. 7