RÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2

Transkript

1 t 1) En tidskontinuerlig signal x( t) = e 106 u( t) samplas med sampelperioden 1 µs, varefter signalen trunkeras till 5 sampel. Den så erhållna signalen får utgöra insignal till ett tidsdiskret LTI-system 2n 1 med impulssvaret h[ n] = e u[ n + 1 ]. Beräkna systemets utsignal. Bestäm även systemets kausalitetsegenskap och dess stabilitetsegenskap 2) Ett icke-kausalt LTI-system med impulssvaret h[ n] = δ[ n + 2] + δ[ n + 1] + δ[ n] + δ[ n 1] + δ[ n 2] n matas med insignalen x[ n] = e ( u[ n] u[ n 8 ]). Beräkna utsignalen genom faltningsberäkning. Svaret skall för de olika intervallen ges på sluten form. Dvs. om en summa av termer dyker upp skall denna summa beräknas. 3) Bestäm systemfunktion till ett stabilt inverssystem hörande till ett system med systemfunktionen 2 ( z 2)( z + z ) H[ z] = ; konvergensområde: 0. 5 < z < 2 2 ( z )( z 2z + 2) ) Ett tidsdiskret system består av två kaskadkopplade delsystem. Det ena delsystemet är kausalt och beskrivs av differensekvationen y[ n] 0. 5y[ n 1 ] = x[ n]. Det andra är antikausalt och beskrivs av differensekvationen y[ n] y[ n 1] = x[ n + 1 ] + x[ n]. Bestäm det totala systemets kausalitets- och stabilitetsegenskaper samt beräkna dess impulssvar. 5) Ett tidsdiskret system beskrivs av differensekvationen y[ n] y[ n 2] = x[ n] Beräkna impulssvar, skissera pol-nollställediagram samt skissera amplitudkaraktäristik där så är möjligt, dels om systemet antas vara kausalt, dels om systemet antas vara antikausalt. 6) På sid 2 återfinns sex olika pol-nollställediagram (betecknade a.-f.) och på sid 3 sex amplitudfaskaraktäristiker (betecknade I.-VI.). Vilka amplitud-faskaraktäristiker hör till de olika pol-nollställediagrammen? Motivera parbildningarna. Figurerna är framtagna med hjälp av Kretslab, vilket innebär att faskaraktäristikerna är begränsade till intervallet [-360,0]. 1

2 2

3 3

4 RÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2 π 7) Ett tidsdiskret LTI-system genererar den stationära utsignalen y[ n] = 5cos( n + ϕ ) när insignalen π π x[ n] till systemet utgörs av den stationära signalen x[ n] = cos( n) + cos( n). 2 Ge förslag på systemfunktion för detta system om systemet är: a) kausalt b) antikausalt Bestäm också fasvinkeln ϕ i de båda fallen. 8) Ett analogt filter med frekvensfunktionen 2 πf cos H( f ) = 100 f 50 0 f > 50 skall konstrueras med hjälp av ett system bestående av ett församplingsfilter (idealt LP-filter), en samplare, ett tidsdiskret filter och en ideaal rekonstruerare. Bestäm impulssvaret för det tidsdiskreta filtret, sampelfrekvensen samt församplingsfiltrets gränsfrekvens så att systemets funktion blir den önskade. sinπt 9) Signalen x( t) = översamplas med en faktor. Den så erhållna signalen nedsamplas med en t faktor 8 på sedvanligt sätt, dvs. genom filtrering med ett idealt tidsdiskret filter och decimering. Den därvid erhållna tidsdiskreta signalen y[ n] rekonstrueras idealt med en sampelfrekvens som är 1/ av den sampelfrekvens som x( t) samplades med. (Se figur nedan.) x(t) t=nt x[n] 8 y[n] R y (t) r Skissera så noggrant som möjligt spektrum för samtliga intressanta storheter.

5 10) Nedanstående DFT X [ k] är given. X [k] (2) (2) k Bestäm motsvarande tidskontinuerliga cosinussignal x( t), om man vet att x( t) samplats med sampelperioden 2s, att samplingsteoremet är uppfyllt samt att den samplade signalen fönstrats med ett rektangulärt fönster med bredden. Ge även en tolkning av X [ k] i relation till x( t) :s spektralegenskaper. 11) Syntetisera ett antikausalt och faslinjärt tidsdiskret FIR-filter som approximerar ett idealt LP-filter (faskaraktäristik noll för alla Ω) med normerad gränsvinkelfrekvens π/2. Fönstermetoden med rektangulärt fönster, impulssvarslängd L=, skall användas. Bestäm filtrets impulssvar samt amplitudkaraktäristikens värde för Ω=0. 12) Man önskar konstruera ett tidsdiskret butterworthfilter av lågpasstyp men den normerade 3 dbgränsfrekvensen θ 0 =0.1 och en dämpning som är minst 0 db vid θ=0.15. Metoden med bilinjär transformation skall användas. a) Bestäm lägsta möjliga gradtal för detta tidsdiskreta filter samt dämpningsfaktorn vid θ=0.25. b) Det tidskontinuerliga filtret i a) tas som referensfilter vid syntes av ett tidsdiskret bandpassfilter, genom att först transformera referensfiltret till ett tidskontinuerligt BP-filter. Det tidsdiskreta BPfiltret skall ha de normerade gränsfrekvenserna θ 01 = 01. resp. θ 02 = Bestäm det tidskontinuerliga BP-filtrets gränsfrekvenser. 5

6 13) Bestäm systemfunktionen och en realisering på direktform II till ett tidsdiskret bandpassfilter med undre normerad gränsvinkelfrekvens Ω 1 = π / och övre normerad gränsvinkelfrekvens Ω 2 = π / 2 utgående från det tidskontinuerliga filtret nedan. R = 1Ω och C = 1 F. + R + x(t) C y(t) 1) Figuren på nästa sida visar amplitud- och faskaraktäristik för ett tidsdiskret filter, som har erhållits genom modifiering av ett annat tidsdiskret filter som i sin tur erhållits genom bilinjär transformation av ett tidskontinuerligt bandpassfilter. Detta bandpassfilter erhölls genom en standardmässig frekvenstransformation av ett 5:e gradens lågpassfilter av butterworthtyp. Modifieringen har gjorts genom att ett antal poler och nollställen lagts till i polnollställediagrammet för det ursprungliga tidsdiskreta filtret. Filtret, vars amplitud- och faskaraktäristik är given, har totalt 1 poler och lika många nollställen. Kurvorna har erhållits med användning av Kretslab, vilket bland annat innebär att faskaraktäristiken begränsas till intervallet ]-360,0]. Skissera pol-nollställediagram för filtret med denna amplitud-faskaraktäristik. Motivera noga. (Nivåkonstant behöver ej anges). Motivera i detalj faskaraktäristikens utseende. (Orsaker till fashoppens storlek och riktning. Orsaken till dess värde vid 0 resp. 0.5.) 6

7 7