Vad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion?

Transkript

1 Vad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? 1 Ett problem med Fourier- och Laplacetransformen är att de kräver att signalen som skall transformeras kan skrivas som en matematisk funktion av en kontinuerlig tidsvariabel. I själva verket kommer vi alltid ha uppmätta värden över endast en begränsad tidsperiod. Kan vi bestämma spektrum även för sådana signaler? 1

2 Spektrum av en samplad signal Samplingsprocessen kan skrivas som Fouriertranformen kan enligt linjäritetsoch tidsskiftsatsen skrivas som summan av de enskilda samplens spektrum: 2 2

3 Trunkering i tiden Föreläsning 6-9 I verkligheten har vi ju bara ett begränsat antal sampel x(0)... x((n-1)t). Om vi beräknar Fouriertransformen bara på dessa sampel fås 3 Observera att vi i denna transform satt x(k) = 0 för alla k utanför intervallet 0,...,N-1. Men signalen har ju en fortsättning och en historia som vi med andra ord negligerar. Vi beräknar alltså spektrum för en annan signal än den verkliga (som ju inte är 0 bara för att vi slutat sampla den). Detta kan tolkas som att vi beräknar spektrum för produkten av den ursprungliga signalen och en rektangelfunktion (som är 1 från n=0...n-1 och 0 annars). Hur påverkar detta spektrumet? Multiplikation i tidsdomän motsvarar faltning i frekvensdomän så vi kan helt enkelt falta spektrumen för insignalen och rektangelfunktionen för att få totala spektrumet. Vi exemplifierar på tavlan. 3

4 Spektrumskattning Föreläsning 6-9 Vi kan således inte bestämma signalens sanna spektrum från ett begränsat avsnitt I stället för rektangelfunktionen kan annan fönsterfunktion användas Dessa utgör alltid en kompromiss mellan huvudlobens bredd och sidlobsdämpningen. Huvudlob Sidlober Amplitudspektrum för rektangulärt fönster 4 Det rektangulära fönstret har smalast huvudlob av alla fönster, men sämst sidlobsdämpning. Vad innebär det, dvs för vilka tillämpningar kan man tänka sig att ett rektangulärt fönster är lämpligt och när är det olämpligt? Svar: En smal huvudlob gör att det är lätt att särskilja närliggande toppar i spektrumet, t ex två sinussignaler som ligger nära varandra. Däremot kommer svagare frekvenskomponenter vid sidan av huvudloben dränkas. 4

5 Rektangulärt fönster vs. Hammingfönster 5 Figuren längst upp till vänster visar ett så kallat Hammingfönster, vilket som synes är ett mjukare fönster än rektangelfönstret. Detta leder till att diskontinuiteterna som uppstår pga att signalen klippts tonas ned. Figuren längst ned till vänster visar en sinus som fönstrats (=multiplicerats) med Hammingfönstret. I bilden till höger visas dels effekttäthetsspektrat för sinussignalen fönstrad med ett rektangulärt fönster (rött), dvs helt enkelt den ursprungliga signalen utklippt mellan t=0 och t=300 i detta fall, och dels effekttäthetsspektrat för signalen som fönstrats med ett Hammingfönster (blått). Eftersom diskontinuiteterna blir mindre kraftiga för den senare signalen, så blir sidloberna mer dämpade, men dessvärre blir också huvudloben bredare. Rektangelfönstret däremot ger kraftiga sidlober, men en smalare huvudlob. 5

6 Vilka frekvenser skall vi välja? Samplingsteoremet säger att en samplad signals Fouriertransform är periodisk med samplingsfrekvensen Alltså räcker det att beräkna transformen mellan dvs mellan +- Nyquistfrekvensen. Vi väljer att använda lika många, jämnt utspridda, frekvenser som vi har sampel. 6 Anledningen till att vi använder lika många diskreta frekvenspunkter som vi har sampel i tiden, är att detta är den minsta mängd som behövs för att entydigt kunna bestämma en invers transform. Inget förbjuder oss dock från att använda fler frekvenser i beräkningen. Dessa extra punkter tillför i egentlig mening ingen ny information men spektrat får förbättrad upplösning. Denna förbättring kan dock likaledes erhållas genom interpolering av N-punkts spektrat. 6

7 DFT:ns definition Föreläsning 6-9 Om vi normaliserar samplingsfrekvensen till 2π får vi den diskreta Fouriertransformen: för k = 0,...,N-1 7 Not: Man skulle också kunna definiera DFT:n som 1/N multiplicerat med ovanstående summa. En sådan notation ger de förväntade amplituderna för varje spektralkomponent. Här blir amplituden N gånger större än vad man förväntar sig. 7

8 Invers DFT Föreläsning 6-9 Från DFT:ns definition följer direkt inverstransformen (IDFT): för n = 0,...,N-1 8 8

9 DFT:n på matrisform DFT:n kan också skrivas som en matrismultiplikation: Föreläsning 6-9 (N 1) (N N) (N 1) 9 W kallas för vridningsmatrisen. Elementen i matrisen återfinns alla på enhetscirkeln i det komplexa talplanet och svarar mot rötterna till ekvationen z^n = 1. 9

10 Metoder för spektrumskattning Periodogrammet: Exempel: Skatta spektrat för en vit brussekvens (N=1000) Periodogrammet ger en brusig skattning av effekttäthetsspektrat! Hur ska vi få ner variansen? 10 10

11 Metoder för spektrumskattning Welch s metod = medelvärdet av L periodogram: Samma exempel, L=100 Medelvärdesbildningen ger en mjukare kurva som bättre motsvarar våra förväntningar. 11 Observera i exemplet att L=100 innebär att vi beräknar periodogrammen på bara 1000/100 = 10 sampel. Vad innebär detta för frekvensupplösningen om samplingsfrekvensen är 1000 Hz? I allmänhet får man alltså en balansgång mellan att å ena sidan få ett spektrum med mindre varians och å andra sidan ett spektrum med hög upplösning. Dessa två mål går inte att nå samtidigt med Welch s metod. Observera även att vi naturligtvis skulle kunna välja att använda ett annat fönster än det rektangulära som vi implicit använt här (jämför tidigare OH-bilder, samma avvägning gäller här). Användande av andra fönster har fått ett alldeles eget namn, nämligen modifierade periodogram. I kursen Signalbehandling diskuteras mer avancerade metoder för spektrumskattning. 11

12 FFT:n den snabba fouriertransformen DFT:n kräver n 2 räkneoperationer FFT:n (Fast Fourier Transform) reducerar antalet operationer till n log(n) Bygger på att dataserien halveras tills dess endast ett sampel återstår i varje sekvens DFT:n beräknas på varje delsekvens och summeras Sekvensens längd måste alltså vara en tvåpotens. Om den ej är det lägger man till nollor på slutet. 12 FFT:n är en räkneregel för att snabbt beräkna den diskreta fouriertransformen. Genom att dela upp en given sekvens i två lika stora delar och sedan halvera varje ny sekvens successivt tills endast ett sampel kvarstår i varje sekvens kan man kombinera de enskilda samplens spektrum till spektrum för totala signalen. FFT:n förklaras närmare på tavlan. 12

13 FFT:n Decimation-in-time: Föreläsning 6-9 Dela upp x(n) i två serier (jämna och udda index): DFT:n för hela sekvensen blir summan: Beräkna och successivt på samma sätt och summera delsvaren 13 13

14 Z-transformen Antag att vi med perioden T samplat en signal vid N tillfällen och fått x[n] = {x[0], x[1],..., x[n-1]} Vi kan skriva sekvensen på kontinuerlig form mha impulser: 14 14

15 Z-transformen (forts) Föreläsning 6-9 Om vi Laplacetransformerar signalen fås Vi inför nu subtitutionen och får Detta kallar vi för Z-transformen z -1 motsvarar ett tidsskift bakåt i tiden med ett samplingsintervall. 15 Z-transformen är den tidsdiskreta motsvarigheten till Laplacetransformen. 15

16 Z-transformen Z-transformens definition är således Varför Z-transformen? En samplad signals spektrum är periodiskt med 2π/T. Med Z-transformen avbildas hela jω-axeln på enhetscirkeln. 16 Fördelen med z-transformen är att ett varv på enhetscirkeln i det komplexa talplanet motsvarar ett periodiskt intervall mellan +- Nyquistfrekvensen (+- π/2) på s-planets jω-axel. Vänstra halvan av s-planet återges innanför enhetscirkeln och högra halvan utanför. Detta innebär att en periodiskt återkommande pol (eller nollställe) i s-planet kommer avbildas som en enda pol (nollställe) i z-planet. Fouriertransformen ges alltså av X(z) med z = e^(jωt). Inverstransformering är besvärligt i allmänhet. Enklast är att göra partialbråksuppdelning och få en summa av enkla inverstransformer. I allmänhet ges inversen av en kurvintegral i det komplexa talplanet. 16

17 Frekvensbegrepp i digital signalbehandling Räknar vi i Hertz så gäller sambandet samplingsfrekvens/ samplingsperiod: Räknar vi med vinkelfrekvenser (rad/s) fås Är dessa frekvensbegrepp relevanta för samplade signaler? Varför (inte)? Vi normaliserar alla frekvenser m.a.p. samplingsfrekvensen. Antingen sätter vi den till 1, eller till 2π. 17 Samplade signaler beror inte av tid, utan av sampel-index. Dessa säger inget om samplingsfrekvensen. En och samma sekvens kan ju lika gärna vara samplad under 10 s med samplingsfrekvensen 1 Hz, som under 1 s med samplingsfrekvensen 10 Hz. Kom ihåg att ett varv kring enhetscirkeln i z-planet motsvarar ett frekvensintervall från 0 till samplingsfrekvensen. En specifik frekvens kan alltså inte bestämmas utan att ange samplingsfrekvensen. Av detta skäl inför vi normaliserade frekvenser för diskret tid. Det finns olika konventioner. En vanlig sådan är att samplingsfrekvensen sätts till 2π. En annan som används i Matlab är att halva samplingsfrekvensen sätts till 1. 17

18 Frekvensbegrepp i digital signalbehandling Den vanligaste normaliseringen innebär att sätta samplingsfrekvensen till 2π enligt där är samplingsperioden 18 18

19 Differensekvationer De flesta diskreta LTI-system kan skrivas som en differensekvation: Systemets ordning är det större av N och M. Vad blir överföringsfunktionen H(z) för detta system? 19 y är systemets utsignal, x dess insignal. Systemets överföringsfunktion H(z) är definierad som H(z) = Y(z)/X(z). Svaret ges omedelbart om man drar sig till minnes att z -1 motsvarar ett tidsskift om ett sampel bakåt i tiden. 19

20 Differensekvationer Systemets överföringsfunktion ges av Föreläsning 6-9 System med både täljar- och nämnarpolynom kallas IIR-filter (Infinite Impulse Response) System med enbart täljarpolynom kallas FIR-filter (Finite Impulse Response) 20 20

21 Digitala filter Pol/nollställe-placering Fönstermetoden Systematisk design Bilinjär transform 21 21

22 Pol/nollställe-placering Föreläsning 6-9 Kan användas för att intuitivt konstruera filter Ej en systematisk metod Lämpar sig bättre för modifieringar av givna filter 22 Pol/nollställe-placering illustreras med Matlab. 22

23 Fönstermetoden Starta från ett idealt lågpassfilters frekvenssvar Inverstransformera för att få motsvarande impulssvar Trunkera impulssvaret i tid och multiplicera eventuellt med en fönsterfunktion Fönstringen används för att undvika kraftiga diskontinuiteter i impulssvaret 23 23

24 Fönstermetoden Föreläsning Notera att det ideala impulssvaret här trunkeras genom multiplikation med ett rektangulärt fönster. Detta leder till en abrupt diskontinuitet där filtret slutar. Detta ger upphov till ripplet i frekvenssvaret. Med ett mjukare fönster kan ripplet reduceras till priset av mindre brant övergång från passband till spärrband. Observera också att vi här implicit specificerar fasen som noll, eftersom vi inverstransformerar baserat enbart på amplitudspektrat. Detta gör att filtret blir faslinjärt. För att realisera filtret som ett kausalt system måste filtrets impulssvar skiftas så att det startar vid noll. (Ej gjort på plotten på bilden) 24

25 Fönstermetoden Metoden genererar endast FIR-filter Två parametrar: Gränsfrekvens Filtrets längd (samt fönsterfunktionens form) Ju längre fönster (och därmed filter) desto bättre överensstämmelse med idealt svar Stegsvaret degraderas likaledes med ringningar (overshoot) 25 Filtrets längd blir lika med längden på fönstret eftersom dessa multipliceras i tidsdomänen. (Obs! Ej faltning.) Ett längre filter tar med en större del av impulssvaret och ger därför en bättre avbildning av det ideala impuls- och frekvenssvaret. Fönstringen ger upphov till två negativa effekter sett i frekvensdomänen: Dels introduceras ringningar, eller rippel, (Gibbs fenomen) i närheten av övergången mellan pass- och stoppband, dels så blir övergången mellan banden mindre brant. Det rektangulära filtret introducerar mest rippel men har bäst flankbranthet. Andra filter har mindre rippel men långsammare övergång mellan banden. Även i tidsdomänen påverkas egenskaperna. Stegsvaret försämras genom att ringningar i övergången från av till på införs vilket kan vara en allvarlig brist i styrsystem. Även stigtiden påverkas. 25

26 Fönstermetoden Även andra former än det ideala LP-filtret kan användas med fönstermetoden Specificera en vektor med det önskade amplitudsvaret Specificera en vektor med den önskade fasgången Inverstransformera frekvenssvaret, trunkera och fönstra Verifiera frekvenssvaret 26 Sista punkten är viktig. Jämför filtrets frekvenssvar (och stegsvar) med det önskade svaret. Använd hög upplösning i DFT:n så att beteendet mellan de definierade punkterna kan verifieras. Kom ihåg att frekvenssvaret definierades som en diskret vektor och inte som en kontinuerlig funktion; frekvenssvaret i områden mellan de definierade punkterna lämnades alltså ospecificerat. Fönstringen gör att frekvensgången ändå blir en mjuk interpolation även i de odefinierade frekvenserna. Ex. Antag att du definierar spektrat i 512 punkter jämnt spridda från 0 Hz till halva samplingsfrekvensen. Om samplingsfrekvensen är 8192 Hz blir upplösningen 8192/(2*512) = 8 Hz. Detta innebär att frekvenssvaret är odefinierat i intervall om 8 Hz. 26

27 Systematisk design 1. Specificera önskade egenskaper såsom amplitud-, fasgång, filtertyp (FIR/IIR), filter ordning, feltolerans, etc. 2. Approximera designspecifikationen med ett implementerbart filter så att det resulterande frekvenssvaret möter spec:en enligt ett matematiskt optimeringskriterium. 27 En systematisk design uppnås genom att minimera felet mellan det önskade frekvenssvaret och det realiserade under de bivillkor som specifikationen bestämmer (t ex filterordning, max rippel, etc.). Felet kan definieras på olika sätt. 27

28 Optimeringskriterier D(jω) = önskat frekvenssvar H(jω) = filtrets frekvenssvar W(jω) = frekvensviktning Felet = E(jω) = W(jω)[D(jω)- H(jω)] Medelkvadratkriteriet Chebyshev-normen 28 Viktningsfiltret W gör det möjligt att betona vissa delar av felets spektrum, och så att säga koncentrera optimeringen vid dessa frekvenser. Att ptimera efter medelkvadratfelet innebär att minimera energin i felsignalen E. Chebyshevnormen innebär att minimera det maximala felet, dvs en begränsning av worst case-avvikelsen. Det optimala filtret kan hittas med hjälp av en mängd olika algoritmer. 28

29 Bilinjär transform Analog filterkonstruktion är enkel att utföra i s-domänen. Den bilinjära transformen ger en övergång från ett analogt filter till ett motsvarande i diskret tid. Grundtanke: Vänstra halvplanet i s-planet mappas till insidan av enhetscirkeln i z-planet 29 29

30 Bilinjär transform Den bilinjära transformen är följande mappning mellan s och z: Föreläsning 6-9 där är samplingsperioden Ett digitalt filter fås genom att substituera s i ett analogt filter enligt ovanstående formel 30 30

31 Bilinjär transform Föreläsning 6-9 Frekvensaxeln avbildas på enhetscirkeln och trycks därmed ihop Därför förförvränger man kritiska frekvenser (gränsfrekvenser) enligt (där frekvenser) är normaliserade 31 Den bilinjära metoden illustreras med ett exempel på tavlan, där tekniken förklaras grafiskt. 31

32 Hur bestäms det önskade frekvenssvaret? Beror på tillämpningen, t ex Avfaltning (el utjämning, equalizer) = ogör oönskade filtreringar, t ex göra en suddig bild skarp förbättring av HiFi-utrustnings ljudkvalitet Störningsundertryckning = reducera inverkan av brus eller störande signaler, t ex reducera ljudet från en fläkttrumma dämpa nätbrum i ett EKG 32 Att konstruera ett filter från ett givet önskat frekvenssvar är relativt enkelt som vi just sett. Den intressanta frågan är snarare att bestämma det önskade svaret. Detta beror ju på vad filtret skall användas till. Vi diskuterar här två vanliga tillämpningar och visar hur man kan bestämma det önskade frekvenssvaret. 32

33 Avfaltning Föreläsning 6-9 Målet är att återskapa en signal som den var innan en oönskad filtrering, z[n] x[n] Oönskat filter Avfaltningsfilter x[n] y[n] z[n] A(z) B(z) X(z) A(z)X(z) Perfekt avfaltning: B(z) = A -1 (z) B(z)A(z)X(z) 33 Ex 1. Vi vill förbättra ljudåtergivningen i ett HiFi-system. Målet är att signalen (musiken) på CD-skivan skall återges så naturtroget som möjligt. Problemet är att förstärkare, kablar och högtalare påverkar signalen, dvs filtrerar musiken så att den inte längre låter som det var tänkt. Därför mäter vi upp HiFi-systemets impulssvar (genom att skicka en impuls genom systemet), Fourier-transformerar det och konstruerar ett inversfilter. Inversfilter har den egenskapen att vid varje frekvens är det en spegelbild av originalfiltret. Om en viss frekvenskomponent förstärks med 10 ggr, och fasen ändras med +12 grader så ska inversfiltret dämpa samma frekvenskomponent 10 ggr och ändra fasen med 12 grader. Ex 2. Vi har tagit en bild med en kamera men råkat filtrera bilden genom rörelseoskärpa. Här är målet att ta bort rörelseoskärpan genom att konstruera ett filter som gör motsvarande motrörelse. I detta fall kan vi inte mäta upp den oönskade filtreringen utan ställs inför ett mycket svårare problem, så kallad blind avfaltning. Blind avfaltning är ett stort forskningsområde i dag. 33

34 Störningsundertryckning Målet är att reducera inverkan av en störande signal Ex. Dämpa ljudet från en fläkttrumma Föreläsning 6-9 Störningskälla Motljudshögtalare Insignalsmikrofon W(z) Felmikrofon Undertryckningsfilter 34 Ljudet vid felmikrofonen skall vara dämpat i största möjliga utsträckning. En annan mikrofon placerad nära störningskällan mäter upp störsignalen som sedan blir insignal till ett filter W(z) vars utsignal skickas till en högtalare placerad längre bort i fläkttrumman. Filtret skall alltså producera ett motljud som släcker ut störningen vid positionen för felmikrofonen. 34

35 Modell av störningsundertryckning Fläkttrumma Insignalsmikrofon x[n] P(z) u[n] + e[n] Felmikrofon W(z) y[n] H(z) Högtalare + fläkttrumma Mål: P(z)X(z) = - H(z)W(z)X(z), dvs W(z) = - P(z)H -1 (z) 35 Modellen visar att det ideala undertryckningsfiltret består av produkten av fläkttrummans överföringsfunktion P(z) och inversen av överföringsfunktionen för högtalare + fläkttrumma fram till felmikrofonen. Med andra ord ingår ett avfaltningsproblem som en delkomponent i lösningen. Observera att det ideala filtret inte beror på insignalen, utan endast på hur den påverkas av sin omgivning. 35