TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter

Transkript

1 TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter Erik G. Larsson ISY/Kommunikationssystem december, 2008 P. Ett LTI system har impulssvaret och matas med insignalen ht) = e 2t ut) xt) = e 3t ut) + cosπt + π/7) Är systemet stabilt? Kausalt? Bestäm utsignalen, om den är väldefinerad annars, förklara varför inte). P2. Gör P igen, men med ht) = e 2t u t) P3. I ett visst kommunikationssystem uppkommer ett eko. Mer specifikt, om signalen xt) kontinuerlig tid) sänds ut så uppfångas yt) = xt) + xt ) vid mottagaren. Tänk på yt) = S {xt)} som ett LTI system. a) Föreslå en enkel fysikalisk modell där detta impulssvar kan uppkomma. b) Vad har systemet för impulssvar? c) Är systemet stabilt? Kausalt? d) Man vill konstruera ett LTI filter, som tar bort ekot. Är detta möjligt? Om inte, förklara varför. P4. Ett system matas med och man får utsignalen xt) = e t cost)ut) yt) = e t sint)ut)

2 Bestäm systemets impulssvar. Diskutera kausalitet/stabilitet. Kan överföringsfunktionen kan användas för att lösa detta problem? Kan frekvensfunktionen användas? Motivera varför/varför inte.) P5. Sinus-in sinus-ut egenskapen hos LTI system säger att om ett system är stabilt och har impulssvaret ht) så ger insignalen xt) = A cosωt + φ), < t < utsignalen yt) = A Hjω) cosωt + φ + arghjω)), < t < där Hjω) = ht)e jωt dt Vi har härlett detta resultat på föreläsningen, genom att beräkna faltningen xt) ht). a) Visa sinus-in sinus-ut resultatet igen, men genom att beräkna xt) ht) via Fouriertransformering. b) Går det att beräkna xt) ht) via Laplacetransformering? Om inte, förklara varför. P6. I SS övningbok, uppgift -28 uppmanas läsaren betrakta ett LTI system som ger utsignalen coskt) om insignalen är t k Förklara varför ett sådant system inte kan existera. P7. Ett kausalt system har överföringsfunktionen Hs) = Ungefär hur stor är stegsvarets stigtid? s + )s + 7)s + 38)s + 42) 2

3 Ledtrådar P3. Studera vad som händer med insignalen xt) = cosπt) P7. Vilken pol dominerar och varför? Vad betyder detta för impuls- och stegsvaret? 3

4 Svar/lösningsförslag P. Systemet är stabilt så utsignalen är väldefinerad. Pga linjäritet blir utsignalen en summa av två termer. Den första får vi tex. genom direkt faltning: e 2t e 3t )ut). Den andra termen kan vi få via sinus-in sinus-ut. Vi har Hjω) = jω + 2 så Hjπ) =, Hjπ) =, och arg Hjπ) = jπ+2 π 2 +4 tan π/2). Vi får cosπt + π/7 π 2 +4 tan π/2)) Svar: yt) = e 2t e 3t )ut) + π2 + 4 cosπt + π/7 tan π/2)) P2. Systemet är instabilt så utsignalen är odefinerad sinus-in sinus-ut principen inte tillämpbar) P3. a) Superposition av en signal som tar två vägar: en direkt och en vars utbredningsväg fördröjer signalen med en ) tidsenhet. b) ht) = δt) + δt ) c) Stabilt och kausalt titta på impulssvarets egenskaper) d) Går inte: betrakta signalen xt) = cosπt) Denna kommer släckas ut fullständigt av systemet: ht) xt) = 0 kan således inte vara inverterbart. P4. Direkt transformering ger så s Xs) = s 2 2s + 2 Y s) = s 2 2s + 2 Hs) = Y s) Xs) = s t. Systemet Xs) och Y s) har högersidiga konvergensområden eftersom xt) och yt) är högersidiga signaler. Så Hs) måste också ha högersidigt konvergensområde, dvs systemet i fråga är kausalt. Det finns en pol i s =, så konvergensområdet för Hs) måste bli Re s >. Detta ger att systemet är instabilt imaginära axeln ligger ej i konvergensområdet). Inverstranformering ger ht) = e t ut) och vi ser igen att systemet är instabilt, eftersom impulssvaret inte är absolutintegrerbart. 4

5 P5. a) Antag att insignalen till S med impulssvar ht)) är Dess Fouriertransform är Då följer xt) = A cosω 0 t + φ) = A 2 Xjω) = A 2 Y jω) = Hjω)Xjω) = A 2 e jω 0 t+jφ + e jω 0t jφ ) e jφ δω ω 0 ) + e jφ δω + ω 0 ) ) e jφ Hjω 0 )δω ω 0 ) + e jφ H jω 0 )δω + ω 0 ) ) = A 2 Hjω 0) e jφ+j arg Hjω 0) δω ω 0 ) + e jφ j arg Hjω 0) δω + ω 0 ) ) och inverstransformering ger följande väl bekanta sinus-in sinus-ut samband, yt) = Hjω 0 ) A cosω 0 t + φ + arghjω 0 )) b) Går ej: Laplace-transformen av cosωt) konvergerar inte för något s P6. Något sådant system kan inte finnas. Betrakta insignalen t. Tidsinvariansen innebär då att utsignalen blir cost ). Men linjäriteten innebär att utsignalen blir cost). Utsignalen från ett system med en given insignal måste vara entydig. Här får vi två olika utsignaler genom att utnyttja två olika egenskaper hos systemet. P7. Stigtiden är den tid det tar för stegsvaret att nå /e) dvs. ungefär 2/3) av sitt slutvärde. För ett första ordningens system med en pol i s = a är T s = /a fö 5). Allmänt avgörs storleksordningen av stigtiden av läget av den dominerande polen polen närmast imaginära axeln). I detta exempel är detta polen i s = så stigtiden är av storleksordningen men inte exakt) tidsenhet. 5