FÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter

Transkript

1 FÖRELÄSNING 3: Analoga o p. Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Analoga filter Ideala filter Butterworthfilter (kursivt här, kommer inte på tentan, men ganska bra för förståelsen) Kausalitet t oh Stabilitet t Digitala filter Inledning IIR oh FIR-filter Realisering i av tidsdiskreta di t filter Fönstermetoden Teori: bara här Maria Magnusson, Datorseende, Inst. för Systemteknik, Linköpings Tekniska ögskola Ex) på användning av analoga p. filter = tidskontinuerliga filter Ex) Inspelning av CD mikrofon LP antivikningsfilter 0 kz Ex) Uppspelning av CD CDskiva Sampling 44 kz A/D-omv. Uppsamling 4 ggr med t ex D/A trunkerad sin Lagring på CD-skiva. t t t t LP glätt- ningsfilter ög- talare Olika ideala filtertyper (repetition) p. 3 Lågpass-filter (LP) släpper igenom låga frekvenser ögpass-filter (P) släpper igenom höga frekvenser Bandpass-filter (BP) släpper igenom mellan-frekvenser Bandspärr-filter (BS) stoppar mellan-frekvenser Bandpass Ideala filter går inte att implementera perfekt Ett idealt lågpass-filter är en rektangel- funktion vars inversfouriertransform är en sin. Sinen har oändlig längd oh tar därmed d för lång tid att falta med. Om faltningen ska ske on-line (inte off-line) måste okså filtret vara kausalt (h(t)=0, t<0). Det är inte sinen. p. 4 Illustration på nästa slide

2 Illustration av kausalitet fram över s(t t). ra gam mla framtid da. p. 5 Lite filterterminologi Gränsfrekvens: Där förstärkningen har sjunkit med OBS! db / 3 db p. 6 Vid f Filtre känd faltning glider h(t-) et över rlappar då ba da värd den, o h inte Konstruktion av ike-ideala, analoga filter De vanligaste filtertyperna är: Butterworth (ger jämnast passband) Tjebysjov (ger smalast övergångsband) Dessa kan fås i fyra varianter: LP-filter P-filter BP-filter BS-filter Vi ska bara titta (kursivt) på Butterworth, LP-filter p. 7 Butterworth-filter t te (kursivt) Ger maximalt jämnt passband. Finns i olika varianter som kallas n:te ordningens filter där n=,, 3,... p. 8

3 Fouriertransformen () för ett Butterworth-filter med n= (kursivt) j p / Amplitudspektrum () för olika Butterworth-filter (kursivt) För ett n:te ordningens Butterworth-filter gäller: / n p. 0 Två olika realiseringar av ett Butterworth-filter th med n= (kursivt) X / jc jl R / jc jl A 3 A / RC / R C jc j / R C / LC R / L j / p. LC Y Konvergensområden (se okså formelsamlingen eller fö6) En högersekvens (x(n)=0( för n<n 0 )h har ett konvergensområde z >R +, där R + är radien till största t polen. (En vänstersekvens (x(n)=0 för n>n 0 ) har ett konvergensområde z <R -, där R - är radien till minsta polen.) ((En dubbelsidig sekvens har ett ring-format konvergensområde R + < z < R - -, där R + oh R - är radier till två poler. Ingen pol får ligga i ringen.)) p.

4 Kausalitet I ett kausalt system orsakas utsignalen av insignalen, d v s för impulssvaret gäller att h(t)=0 för t<0 (eller h(n)=0 för n<0). Utsignalen beror alltså inte på kommande (framtida) värden äd ii insignalen. i Alla fysikaliska system måste vara kausala. p. 3 Observera att i en tillämpning där man jobbar med lagrade data (off-line) kan systemet vara ike-kausalt. För ett kausalt system gäller att M<=N där: z a bz z... M z n... z n M z... K K N z p... z p z... N Bevis på tavlan Stabilitet xn hn yn xn hn p. 4 Vi begränsar oss till kausala system. Definition: Ett system h(n) är stabilt om en begränsad insignal x(n) medför en begränsad utsignal y(n). Man kan visa att stabilitet Illustration på uppnås i följande fall: tavlan. hn Bevis på tavlan. Alla poler innanför enhetsirkeln På enhetsirkeln hittar vi TDFT:n. Den måste ligga i konvergensområdet som ju är utanför största polen. Tidsdiskreta filter finns i två varianter: ) FIR-filter FIR = finite impulse response (ändlig längd på impulssvaret, ike-rekursivt) Ex) y n a x n b x n x n Y z az z a bz z X z z n a n b n n h bz Alltså inga poler (förutom i origo) => + alltid stabilt p. 5 Tidsdiskreta filter finns i två varianter: ) IIR-filter Ex) y IIR = infinite impulse response (oändlig längd på impulssvaret, rekursivt, återkopplat) p. 6 n B y n a x n b x n x n Y z a bz z az bz z X z Bz z Bz Alltså både poler oh nollställen => - kan vara instabilt + färre koeffiienter än FIR

5 Metoder för konstruktion av digitala filter Plaering av poler oh nollställen i det komplexa pe z-planet. pa TDFT:n finns spå enhetsirkeln. Fönstermetoden. Det finns fler metoder beskrivna i läroböker, men det hoppar vi över i denna kursen. Om vi kan jobba med lagrade data (off-line) kan vi okså välja FFT samt multiplikation lik i Fourierdomänen med önskat filter. p. 7 Konstruktion i z-planet Ex ) BS-filter TDFT : j e z z j z j z 0.5 z dubbelpol Im z p. 8 Re z p. 9 p. 0 Ex ) BS-filter, forts Ex ) BS-filter, forts

6 Konstruktion i z-planet Ex ) nothfilter (smalt BS-filter) TDFT : e j z z k z j z j z 0.7 j z 0.7 j p. Im z Ex ) noth-filter, forts Re z p. 3 Konstruktion i z-planet. Ex) LP-filter f f, f / T / T p. 0.5 T p. 4 Konstruktion i z-planet. Ex) P-filter f f, f / T / T 0.5 T

7 p. 5 Konstruktion i z-planet. Ex) BP-filter f f, p. 6 Konstruktion i z-planet. Ex) BS-filter f f, Noth-filter f / T / T 0.5 T p. 7 Fönstermetoden för konstruktion av FIR-filter (här ett LP-filter) 0.5 T f / T / T p. 8 Fönstermetoden, ex)) med LP-filter Utgå från TDFT:n id(w) för ett idealt LP-filter. Invers TDFT ger ett oändligt impulssvar h(n). Utgå g från TDFT:n ( ) ( ) för ett idealt LP-filter. Invers TDFT ger ett oändligt impulssvar h(n). Trunkera h(n) genom att multipliera sekvensen med ett fönster w(n). ö ögerskifta kift d dett symmetriska t i k iimpulssvaret l t så å att filtret blir kausalt. ögerskift ger inte någon konstig effekt det ger bara en fördröjning av utsignalen utsignalen. hid n e id j n d id hid n e j n n

8 Fönstermetoden, ex) med LP-filter p. 9 Trunkera h id (n) genom att multipliera sekvensen med ett fönster w(n). Fönstermetoden, ex) med LP-filter p. 30 Resultatet av trunkeringen h id (n)w(n) högerskiftas så att filtret blir kausalt. W