FOURIERSERIER. Definition 1. (Trigonometrisk serie) Ett utryck av följande form. är en trigonometrisk serie.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "FOURIERSERIER. Definition 1. (Trigonometrisk serie) Ett utryck av följande form. är en trigonometrisk serie."

Amanda Persson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiiio. rigoomerisk serie E uryck v öljde orm [ cos x b si x ] är e rigoomerisk serie. Amärkig: Förs erme skriver vi som v prkisk skäl som vi örklrr ed. Deiiio. Lå x vr e - periodisk ukio som är iegrerbr på iervlle [ /, /]. Fourierserie ör x är [ cos x b si x ] där och Fourierkoeicieer och b ges v ormler x cosx dx, b x si x dx vå rågor dyker upp direk eer deiiioe:. För vilk x är Fourierserie koverge?. Är series summ lik med x i de puker där serie kovergerr? Svre is i edsåede kovergessse. v

2 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Deiiio. Vi säger e ukio x är syckvis koiuerlig på iervlle [,b] om öljde gäller:. x är koiuerlig på [,b] öruom eveuell i ädlig måg puker.. Om c är e diskoiuie i,b då exiserr väsergräsvärde lim x och xc högergräsvärde lim x i de puk. I ädpuke exiserr högergräsvärde och i xc b exiserr väsergräsvärde v x. KONVERGENSSASEN ör Fourierserie Ss h.. i Zill-Wrigh Lå x vr e -periodisk ukio. A både x och x koiuerlig på [, ] och S x [ cos x b si x] är Fourierserie som hör ill x. Då gäller öljde: är syckvis. Fourierserie S x kovergerr mo x i vrje puk där ukioe x är koiuerlig.. Om c är e diskoiuie ör x då kovergerr Fourierserie mo c c, där c lim x xc och c lim x xc Med dr ord gäller öljde om villkore i sse är uppylld: S x x om x är koiuerlig i puke x, c c S c om c är e diskoiuie ör v

3 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Uvecklig v udd och jäm ukioer. Om är e jäm ukio då är si e udd ukio och därör är b si d ör ll. I de ll är cos e jäm ukio och därör är cos d cos d.. Om är e udd ukio då är smm resoemg som ov med b si d. Smmig ör uvecklig v udd och jäm ukioer: jäm cos d, b udd b si d, Amärkig: Hlvperiod beecks os med L ibld p som i Zill-Wrigh ÖVNINGAR: Uppgi. Lå,,, Lå S beeck Fourierserie ill. Ri gre ill i iervlle [, ] och beräk d S b Besäm Fourierserie ill. v

4 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Lösig:, S b,, d d d + d + For we hve cos d coss d cos d + cos d Pril iegrio cos + cos cos b si d si d si d + si d Pril iegrio eller BEA v

5 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cos cos + Svr b S cos b si cos si Uppgi. Besäm Fourierserie ill öljde ukio med periode p,. b I vilk puker kovergerrr serie ill? Lösig: Period, E jäm ukio b d d [ ], cos d cos d cos d BEA eller prielliegrio [cos si ] Allså s cos v

6 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Svr: s b Fukioe är koiuerlig och hr syckvis koiuerlig deriv. Därmed är ll krv ör kovergessse uppylld. Eersom är koiuerlig i ll puker så kovergerr Uppgi. Lå cos serie mo ör ll. Allså s ör ll R.,, i Besäm, b 9 c ii Besäm Fourierserie s ill ukioe. iii Besäm s b s, s Svr: i b c ii s si iii Noer både ukioe och deriv är syckvis koiuerlig dvs vilkor ör kovergese är uppylld s eersom ukioe är koiuerlig i puke. b Fukioe är ie koiuerlig i puke, därör s c s 6 v

7 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR 7 v Uppgi. Lå,, Besäm Fourierserie ör. b Besäm summ... 7 Svr: S cos eller... cos cos cos S Subsiuer i ovsåede serie Svr: b 8 Uppgi. Lå,, Vis Fourierserie s ill ukioe är s si b Beräk summ... 7 S ips ör b-dele: subsiuer i s si. Noer si, si, si, si, Svr: b

Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Uppgi 6. Besäm de Fourierserie ill ukioe,,, Svr: S cos si Besämig v Fourierserie ör e ukio som skiljer sig ör e kos rå e udd eller e jäm ukio.

8 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Uppgi 6. Besäm de Fourierserie ill ukioe,,, Svr: S cos si Besämig v Fourierserie ör e ukio som skiljer sig ör e kos rå e udd eller e jäm ukio.. A x C gx och vi hr besäm Fourierserie S g x ör ukioe g x. Då är uppebr S x C S g x, där S x beeckr Fourierserie örr x. A vi k skriv x C gx, där gxx är e udd ukio. Då sprr vi id eersom vi beräkr eds e iegrl om vi örs besämmer Fourierserie S g x ör ukioe gx och däreer dderr kose C ill resul dvs om vi väder S x C S x g. Uppgi 7. KS ok 6 Besäm de Fourierserie ill ukioe 8 v

Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Lösig: Gre ill S k vi kosruer

Med dr ord, om vii deiierr g x x / då är g x / om om x e e

9 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Lösig: Gre ill S k vi kosruer geom periodisk uveckl x π π π π π Meod. Vi ser ukioe är äs udd. Om vi drr gre edå ör ½ då blirr gre symmerisk i origo. Med dr ord, om vii deiierr g x x / då är g x / om om x e e udd ukio. x Allså uvecklr vi örs ukioe g x och däreer dderr / [eersom gx x S x S g x ]. Här är lösige som is på äe : 9 v

10 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR Meod ör dele: Vi beräkr direk ll koeicieer. Vi år självklr smm svr som ov, me med mycke mer beräkig kske - gåger lägre beräkigsid.. b,, x dx x dx dx + dx For we hve x cos x dx x cosxdx v

11 Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cos x dx + cos x dx si x + si x. b x si x dx x si x dx si x dx + si x dx cosx + cos x cos cos cos oer cos cos cos cos Därmed hr vi S x cos x b si x si x Självklr smm resul som med meod ov, me med lägre beräkigsid Svr S x si x b lösige is ov. v

Relevanta dokument

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiitio (rigoometrisk serie Ett utryck v öljde orm [ cos( Ωx b si( Ω x är e trigoometrisk serie ] Amärkig: Först terme skriver vi som v prktisk skäl som vi örklrr