Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 7. En bild är en 2D signal. För en digital bild gäller. Fig. 2.1

Transkript

1 Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 7 D signalbehandling (bildbehandling) Den digitala bilden, ärgtabeller D kontinuerlig ouriertransorm och D DFT D sampling D diskret altning Lågpassiltrerande D altningskärnor Teori: Kap., , 3., bara här p. En bild är en D signal D: (t) är en unktion som beror av tiden t. D: (x,y) är en unktion som beror av de spatiella (rums-) koordinaterna x och y. Ex) x, y sinx y x, y svart x, y vitt Fig.. p. Maria Magnusson, Datorseende, Inst. ör Systemteknik, Linköpings Universitet För en digital bild gäller En digital bild är en samplad D-unktion. Samplen kallas pixlar (picture elements). Antalet pixlar = bildens storlek. En vanlig storlek: 5x5= 8 =.5 Mpixel. Ibland är samplen kvantiserade i intervallet [,55]. Dessa värden översätts via en ärgtabell i datorn till gråskalevärden, dvs ->svart och 55->vitt eller godtyckliga ärger (pseudo-ärg) Ibland är samplen lyttalsvärden. Dessa transormeras till intervallet [,55] och vidare via ärgtabell i datorn. En äkta ärgbild har 3 st värden per pixel. De transormeras var ör sig till intervallet [,55] och sedan vidare ut på datorns röda, gröna respektive blåa kanal vilket möjliggör 56 3 = ,8 miljoner ärger. p. 3 Exempel på ärginnehåll i bilder gråskalebild PET-bild av hjärna Psedo-ärgbild Äkta ärgbild p.

2 p. 5 p. 6 Exempel på en digital bild zoom Bildstorlek: 7x pixlar Vanlig gråskaleärgtabell Pixelvärde (x,y) Linjär : : : R G B 56 ärger D/A-omvandlare: omvandlar ett digitalt värde till ett analogt värde i orm av en elektrisk signal 55: och ut på skärmen I denna kursen jobbar vi mest med gråskaleärgtabellen. Pseudo-ärgtabell 56 ärger p. 7 Äkta ärgtabell Pixelvärde [ r (x,y), g (x,y), b (x,y)] p. 8 Över 6 miljoner ärger Pixelvärde (x,y) godtycklig : : : R G B??? Ex ) En PET-bild kan visa var det är aktivitet i hjärnan. Hög aktivitet kan visas röd och låg aktivitet kan visas blå. Linjär : : : R Linjär : : : G Linjär : : : B 55: och ut på skärmen Ex) Användbart t ex när vi vill visa negativa värden blå och positiva värden röda. 55: 55 och ut på skärmens röda kanal 55: 55 och ut på skärmens gröna kanal 55: 55 och ut på skärmens blåa kanal

3 D kontinuerlig ouriertransorm D ouriertransorm j xu yv x, y F v x, ye dx dy D invers ouriertransorm 3.3 j xu yv F v x, y F ve du dv p D ouriertransormen är separabel Den kan beräknas örst i ena ledden och sen i andra ledden: F j xu yv v x, ye F dx dy jyv jxu x, ye dy e dx 3.3 x, ouriertransorm i y - led v p. Fouriertransormen av en reell unktion är hermitisk * F v F v 3.7 F v F v Jämn unktion Re F Im F arg F v Re F v v Im F v v arg F v se Fig. 3. Hermitisk unktion Jämn unktion Udda unktion Udda unktion p. p. Bevis: D ouriertransormen av en reell unktion är hermitisk

4 En bild med amplitudspektrum p. 3 Realdel och Imaginärdel av Fouriertransormen p. Amplitudspektrum är spegelsymmetriskt (jämnt) De låga rekvenserna dominerar Fasspektrum är udda (se kompendiet) Fig. 3. Realdelen är jämn Imaginärdelen är udda Fig. 3. Teorem och samband Formelsamlingen och tabell 3. visar teorem ör Douriertransorm, bl a skalnings-, altnings-, translations- och derivata-teoremet. Dessa är generaliseringar av D-teoremen. Notera också de D-unika teoremen ör generell skalning, rotation och Laplace. Generell skalning : Rotation vinkeln : a A a a a cos R sin sin cos 3.6 p. 5 Teorem och samband Separabla unktioner ger separabel ourier-transorm, se ormelsamlingen, tabell 3.3 och ekvation (3.): Rotationssymmetriska transormpar i Tab. 3.: Transorm-par illustrerade i Fig. 3. p. 6 x, y gx hy F v Gu H v 3.

5 p. 8 Exempel) Beräkning av D ouriertransorm öva på Lektion! D DFT N M FD k, l D n, m e j nk / N ml / M D n, m p. 9 Teorem och samband Tabell 3. visar teorem ör D DFT. Notera att multiplikation i DFT-domänen motsvarar cirkulär altning i spatialdomänen. n m N M MN k l D j nk / N ml / M 3.9 Matlabkommando: FD=t(D) Notera dock att den symmetriska varianten, se ekvation (3.) och (3.), ota är att öredra i bild-sammanhang. Matlabkommando: FD=tshit(t(itshit(D))) D sampling av (x,y) F k, l e 3.8 Ingen vikningsdistorsion! Fig. 3.3 p.

6 p. Bilder med ouriertransorm. Tillräckligt hög samplingsrekvens. p. p. 3 Samband mellan samplad kontinuerlig ouriertransorm och DFT Fig. 3.5a D sampling av (x,y) Vikningsdistorsion! Fig. 3. Bilder med ouriertransorm. För låg samplingsrekvens. p. Eekten av vikningsdistorion som syns tydligt i bl a byxornas randning. Vikningsdistorisionen syns även i ourierdomänen som en ökad intensitet ör de högre rekvenserna. size: x8 size: x8 Fig. 3.5b Relationen mellan kontinuerlig rekvens v och diskret rekvens k,l står i (3.3). Det gäller att N,M är antalet sampelpunkter och D är sampelavståndet. u k ND 3.3 v l MD Fig. 3.7

7 g g g D altning x y h x, y hx, y,, d d Kontinuerlig Linjär diskret 3.5 x y h x, y hx, y,, Cirkulär diskret N M 3.7 x, y h x, y hx, y, N N 3.8 p. 5 g D linjär diskret altning x, y h x, y hx, y, Spegla h i x- och y-axeln = rotera 8 o. Glid med den speglade h över. Multiplicera och summera överlappande värden. Detta ger g * = x, y x, y gx y h, öva på Lektion! p. 6 Beräkningsbörda vid altning p. 7 Bildstorlek vid D linjär diskret altning Valid: Värden utanör inbilden anses odeinierade => Utbilden blir mindre än inbilden. Full: Värden utanör inbilden anses vara => Utbilden blir större än inbilden. Eller lika stor om de extra värdena slängs (Same) p. 8 g Fig. 3. Fig multiplikationer och 8 additioner per pixel!

8 Hur beräknas D ouriertransormen av? h H Byt t x, y, v, Sätt dirac-spikar d(x,y)=d(x)d(y) på varje element i altningskärnan. Antag sampelavstånd D. Detta ger: x d x D d x d x Dd y Tag D kontinuerlig Fouriertransorm jdu j Du v e e v.5cos / T D Du.5 cos Du öva på Lektion! / y D p. 9 x Hur beräknas D DFT:n av? Här är altningskärnan som [n,m]: Sätt in [n,m] i DFT-ormeln (ormelsamlingen): F j nk / N ml / M k, l n, me e j... e.5cos N / n N / m N / k N l M j k N l M j / M / k N l M e / m k / N.5 cos k / N n öva på Lektion!... p. 3 Lågpassiltrerande altningskärna i x-led (u-led) cos Du D här p. 3 Lågpassiltrerande altningskärna i y-led (v-led) cos Dv D här y p. 3 y v x / u v x / u Fig. 3. Fig. 3.

9 Lågpassiltrerande altningskärna i x- och y-led (u- och v-led) = /6 * / / cos Du cos Dv D här Dämpar höga rekvenser p. 33 Fig. 3. Mer lågpassiltrerande altningskärna i x- och y-led (u- och v-led) cos Du cos Dv = 66 6 /56 * /6 D här /6 p. 3 Fig. 3. Lågpassiltrering Jämör med Fig. 3.3 * p. 35 /56 Lågpassiltrering i Fourierdomänen Jm Fig. 3.3 p. 36 Kan t ex användas så här: ) Den suddiga nummerplåten kan klistras in i den skarpa bilden. ) Om det hade unnits ointressanta detaljer i bakgrunden skulle de kunna suddats ut.