Bildförbättring i spatial domänen (kap. 3) Bildförbättring (enhancement) Spatial domän. Operatorer. Tröskling (threshold) Gråskale-transformationer

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Bildförbättring i spatial domänen (kap. 3) Bildförbättring (enhancement) Spatial domän. Operatorer. Tröskling (threshold) Gråskale-transformationer"

Transkript

1 Bildförbättring i spatial domänen (kap. 3) Punktoperationer Gråskaletransformationer Logiska & aritmetiska operationer Filtrering Faltning Lågpassfilter Högpassfilter Bildförbättring (enhancement) Förbättra en bild subjektiv bedömning För mänsklig beskådan För maskinell tolkning Förutsätter inte att bilden försämrats Spatial domän Vanliga domänen Pixlar Operatorer påverkar pixlarna direkt g ( x, y ) = T [ f ( x, y )] f bild, g behandlad bild, T -operator Operatorer Definiera area, grannskap Gå igenom hela bilden Enklaste s = T ( r ) s pixelvärdet i ny bild, r gammalt pixelvärde Gråskaletransformationer, punktoperationer Filtrering Gråskale-transformationer Linjär, t ex negativ Logaritmisk transformering s = c log( r + ) Exponentiell transformering s = cr γ Tröskling (threshold) Tröskling c s = c m - tröskelvärde om r m om r < m

2 Negativ Log transform Alla :or blir :or, vice versa Fouriertransform Logaritmerad Original Invers (negativ) Exponentiell transform Bitvis linjära transformationer Gammakorrigering Nytt pixelvärde, s Originalvärde, r Nytt pixelvärde, s Originalvärde, r Histogram Histogram Räkna alla pixlar för varje gråskalenivå i bilden. L gråskalenivåer i intervallet [, L-] h(r k )=n k r k grånivå nr. k n k antalet pixlar Normaliserat histogram Dividera med antalet pixlar i bilden, n Sannolikheten för r k p(r k )=n k /n Bild Histogram h(r k )=n k

3 Histogram Histogram Fördelningsfunktion (cumulative distribution function) k j= pr( rj) nk pr( rk) = n k =, K, L Histogram Fördelningsfunktion Histogramutjämning (equalization) Histogramutjämning Mål gråskalevärden jämt utspridda över tillgängligt intervall, ökad kontrast Jämnt histogram Gråskaletransform, monotont växande och i samma intervall som r ( T(r) ) Transform fördelningsfunktionen sk = T ( rk) = k j= pr( rj) Utjämnat histogram Utjämnad fördelnings-funktion Histogramutjämning Histogramutjämning Vidareutvecklingar Histogrammatchning Lokal utjämning Original Hist.utj. Lokal hist.utj.

4 Logiska & Aritmetiska operationer Logiska & Aritmetiska operationer Pixelvis, två eller flera bilder Samma storlek Logiska AND OR (NOT) för ett komplett logiskt set. Verkar bara på EN bild (motsvarar invertering) Aritmetiska Summering och subtrahering Multiplikation och division Medelvärdesbildning Brusiga bilder Tentaexempel Tentaexempel En bild med 56 gråskalevärden har blivit gråskaletransformerad. Originalbild och resulterande bild visar nedan. Vilken av nedanstående transformationsfunktioner har mest troligen använts? Motivera svaret! En bild med 56 gråskalevärden har blivit gråskaletransformerad. Originalbild och resulterande bild visar nedan. Vilken av nedanstående transformationsfunktioner har mest troligen använts? Motivera svaret! Transformerad bild Originalbild X Transformerad bild Originalbild X Spatiell filtrering, Faltning (convolution) Faltning Nya pixelvärden beräknas från ett grannområde runt gamla pixeln Originalbild + filter (kärna, mask) Linjär filtrering Filter impulssvar, h (x) Definierar fullständigt hur utsignalen ser ut Alla signaler påverkas likadant f (x) h (x) g (x) Faltning betecknas * Summa av produkter Endimensionellt: f ( x ) h ( x ) = Tvådimensionellt f ( x, y ) h ( x, y ) = N MN N n = f ( n ) h ( x n ) M N m = n = f (x) h (x) g (x) f ( m, n ) h ( x m, y n )

5 Faltning Edimensionella, kontinuerliga fallet (summa integral) Spegelvänd en funktion Glid över den andra f(x) Faltning Endimensionellt, diskret h(α) f(x) g(x) h(-α) x x g(x) h(-α) Exempel, D (ljud) Original Lågpass /5 /5 /5 /5 /5 Faltning g(x,=w(-,-)f(x-,y-) + +w(-,)f(x-,+ + +w(,)f(x,+ + +w(,)f(x+,y+) Högpass - Faltning Bildstorlek M N Filterstorlek m n g( x, a b = s= a t = b w( s, t) f ( x + s, y + t) a = ( m ) / b = ( n ) / x =,, K, M y =,, K, N Faltning Bild M N, filter m n Ny bild: (M +m ) (N +n ) Inte definierat för (n/m -)/ från kanten! Beräkningsbart y (m-)/ område: (M -m +) (N -n +) h(x, (n-)/ x

6 Lågpassfilter Lågpassfilter Medelvärdesfilter Jämnar ut variationer i bilden Brus Små detaljer Konturer Olika storlek på kärnan olika styrkor av filtrering /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 3x3 medelv. filter. 4 /6 Viktat medelv. filter. Viktigaste pixlarna har större koefficienter. = /5 5x5 medelv. filter, alla koefficienter /5. /4 * Kan ofta separeras i x- och y-led. /4 Lågpassfilter Olika stora kärnor. 3x3-35x35 Icke-linjära LP-filter Överföringsfunktionen är bildberoende! Sortera pixelvärdena Medianfilter Sortera pixlarna, ta medianvärdet Jämnar ut små, snabba förändringar. Stora förändringar bibehålls. Mycket effektivt för salt och peppar - brus Medianfiltret Medianfiltret Medianfiltrets påverkan på brus/kanter jämfört med medelvärdesfilter Originalbild, störd av salt och peppar -brus Medelvärdesfiltrerad. Utsmetat intryck. Median-filtrerad. Bruset undertryckt, skärpan bibehållen.

7 Medianfiltret Kan viktas duplicera värdena med störst vikt 5 % percentilen Andra rangordningsfilter: Maxfilter ( %) Hitta ljusaste punkten Minfilter ( %) Hitta mörkaste punkten Högpassfiltrering Förstärker kanter (konturer) i bilden (och brus!) Lågpassfiltrering integrering Högpassfilter derivering Första derivata Andra derivata för konstanta grånivåer för diskontinuiteter (kanter) Derivata (endimensionellt) Första/andra derivatan Första Andra = f ( x + ) f ( x) f = f ( x + ) + f ( x ) f ( x) Första resp. andra derivatans respons på en ramp, punkt, linje, steg. Första derivatan Önskar isotropiskt filter, rotationsinvariant Definiera gradienten: G x f = = f x Gy y Magnituden av gradienten f = + y Ej linjär, men rotationsinv. / Magnituden av gradienten Tung att beräkna för en hel bild Approximera med absolutvärde: f + y Kallas oftast för gradient Rotationsinvariant endast för 9

8 Gradientoperationer Enklaste (av definitionen) - - Robert s cross Gradientoperationer Sobelfilter, :an verkar lite utjämnande Prewittfilter Jämna kärnor krångliga att implementera - - Sobelfilter Sobelfilter y Original Sobelgradienten + y Andra derivatan Laplace-filtret, definieras: f f f = + y Definition utökad till -D f = f ( x +, + f ( x, f ( x, x f = f ( x, y + ) + f ( x, y ) f ( x, y Lägg ihop: f = [ f ( x +, + f ( x, + f ( x, y + ) + f ( x, y )] 4 f ( x, Laplace-kärnor Rotationsinvariant Rotationsinvariant

9 Öka bildens skärpa Exempel på laplace-filtrering Laplace ger konturerna Långsamma variationer blir svarta Lägg till originalet (positiv mittpunkt i laplacefiltret) g( x, = f ( x, + f ( x, Originalbild Laplace = Skalad laplace Original+laplace Oskarp mask Skapa en skarpare bild genom att subtrahera en suddig bild från originalbilden. f s ( x, y ) = f ( x, y ) f ( x, y ) High boost filtrering Förstärka bilden Original (från Robin Jeffers at Ton House ) f hb A ( x, y ) = Af ( x, y ) f ( x, y ) Samplad, var 3:e pixel 5 gråskalor (84 i original)

10 Lågpass, 3 3 kärna Lågpass, 5 5 kärna Laplacefiltrerad Laplace + original Tentaexempel Tentaexempel, forts. En bild f(x, har blivit filtrerad med fyra olika filter. Filtren och resulterande bilder visas nedan. Bilderna + är skalade för visualisering, de lägsta värdena visas som svart och de högsta som vitt. Para ihop alla kärnor med rätt bild. Motivera ditt svar! f(x,* f(x,* /9 - f(x,* f(x,* Originalbild Medianfilter, 5 5 pixel stor kärna

Bildbehandling i frekvensdomänen

Bildbehandling i frekvensdomänen Uppsala Tekniska Högskola Signaler och system Handledare: Mathias Johansson Uppsala 2002-11-27 Bildbehandling i frekvensdomänen Erika Lundberg 800417-1602 Johan Peterson 790807-1611 Terese Persson 800613-0267

Läs mer

Projekt 2 (P2) Problembeskrivning och uppdragsspecifikation

Projekt 2 (P2) Problembeskrivning och uppdragsspecifikation Projekt 2 (P2) Problembeskrivning och uppdragsspecifikation Projekt 2 Möjligheter/Problem med 2-dimensionella mätdata Uppstart: Se planen (kursens hemsida) Etapp 1 Mätdata i 2 dimensioner behöver utredas/signalbehandlas

Läs mer

TNM030 -Sammanfattning Nathalie Ek, 2011. Sammanfattning. TNM030 - Bildbehandling och bildanalys

TNM030 -Sammanfattning Nathalie Ek, 2011. Sammanfattning. TNM030 - Bildbehandling och bildanalys Sammanfattning TNM030 - Bildbehandling och bildanalys Nathalie Ek (natek725), MT -07 2011, LIU Campus Norrköping Bildbehandling och bildanalys - Bildbehandling Kan kort sammanfattas som signalbehandling

Läs mer

Laboration i Fourieroptik

Laboration i Fourieroptik Laboration i Fourieroptik David Winge Uppdaterad 30 januari 2015 1 Introduktion I detta experiment ska vi titta på en verklig avbildning av Fouriertransformen. Detta ska ske med hjälp av en bild som projiceras

Läs mer

Laboration 4: Digitala bilder

Laboration 4: Digitala bilder Objektorienterad programmering, Z : Digitala bilder Syfte I denna laboration skall vi återigen behandla transformering av data, denna gång avseende digitala bilder. Syftet med laborationen är att få förståelse

Läs mer

BILDBEHANDLINGSMETOD INNEFATTANDE BRUSREDUCERING I BILD MED LOKALT ADAPTIV FILTERKÄRNA

BILDBEHANDLINGSMETOD INNEFATTANDE BRUSREDUCERING I BILD MED LOKALT ADAPTIV FILTERKÄRNA BILDBEHANDLINGSMETOD INNEFATTANDE BRUSREDUCERING I BILD MED LOKALT ADAPTIV FILTERKÄRNA Author: Stefan Olsson Published on IPQ website: April 10, 2015 Föreliggande uppfinning avser en metod för bildbehandling

Läs mer

Photoshopskolan, skärpa upp en bild

Photoshopskolan, skärpa upp en bild Sida 1 av 7 skriv ut» Öka skärpan i bilder (Ps6) Att öka skärpan i en bild är en åtgärd som du säkert har behov av i olika situationer, tex om din bild redan från början är oskarp eller om du varit tvungen

Läs mer

Grafiska system. Färgblandning. Samspel mellan ytor. Ögats. fysionomi. Ljusenergi. Signalbehandling och aliasing

Grafiska system. Färgblandning. Samspel mellan ytor. Ögats. fysionomi. Ljusenergi. Signalbehandling och aliasing Grafiska system Signalbehandling och aliasing Gustav Taxén gustavt@nada.kth.se Processor Minne Frame buffer 2D1640 Grafik och Interaktionsprogrammering VT 2006 Färgblandning Pigmentblandning för f att

Läs mer

Bildbehandling i spatialdomänen och frekvensdomänen

Bildbehandling i spatialdomänen och frekvensdomänen Digital Media Lab 2016-02-22 Tillämpad Fysik och Elektronik Ulrik Söderström Bildbehandling i spatialdomänen och frekvensdomänen Fouriertransform och filtering Del 1. Fouriertransformen 1.1. Fourieranalys

Läs mer

7 MÖNSTERDETEKTERING

7 MÖNSTERDETEKTERING 7 MÖNSTERDETEKTERING 7.1 Korrelation Korrelation av två bilder f(x,y) och g(x,y) kan språkligt sett betyda att man gör just det som utsäges av (7.1). Bilderna läggs alltså på varandra med den ena bilden

Läs mer

'LJLWDODELOGHUR KGLJLWDOELOGPDQLSXOHULQJ

'LJLWDODELOGHUR KGLJLWDOELOGPDQLSXOHULQJ 'LJLWDODELOGHUR KGLJLWDOELOGPDQLSXOHULQJ Nyckelord: Sampling, kvantisering, upplösning, geometriska operationer, fotometriska operationer, målning, filtrering 'LJLWDOUHSUHVHQWDWLRQR KODJULQJDYELOGHU En

Läs mer

Signal- och bildbehandling TSBB03 och TSEA70

Signal- och bildbehandling TSBB03 och TSEA70 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 och TSEA70 Tid: 004-08-10 kl. 8-1 Lokaler: TER1 Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 9.00 och 10.45. tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa,

Läs mer

Signal- och bildbehandling TSBB14

Signal- och bildbehandling TSBB14 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 3-5-3 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.5 och.3 tel 73-8 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film,

Läs mer

Flervariabelanalys, inriktning bildbehandling, datorövning 3

Flervariabelanalys, inriktning bildbehandling, datorövning 3 Matematiska institutionen, LTH, December 2, 2004 Flervariabelanalys, inriktning bildbehandling, datorövning 3 Matlab Gå till underkatalogen matlab (skapa den om den inte redan finns) av din rotkatalog.

Läs mer

Signal- och bildbehandling TSBB03, TSBB14

Signal- och bildbehandling TSBB03, TSBB14 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03, TSBB4 Tid: 00-0- Lokaler: G33 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 4.50 och 6.50 tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,

Läs mer

Flerdimensionell analys i bildbehandling

Flerdimensionell analys i bildbehandling Flerdimensionell analys i bildbehandling Erik Melin 27 november 2006 1. Förord Målet med den här lilla uppsatsen är att ge några exempel på hur idéer från kursen flerdimensionell analys kan användas i

Läs mer

Laboration i Fourieroptik

Laboration i Fourieroptik Laboration i Fourieroptik David Winge Uppdaterad 4 januari 2016 1 Introduktion I detta experiment ska vi titta på en verklig avbildning av Fouriertransformen. Detta ska ske med hjälp av en bild som projiceras

Läs mer

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013)

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013) Grafisk Teknik Rastrering Övningar med lösningar/svar Det här lilla häftet innehåller ett antal räkneuppgifter med svar och i vissa fall med fullständiga lösningar. Uppgifterna är för det mesta hämtade

Läs mer

Tentamen, Programmeringsteknik för BME, F och N

Tentamen, Programmeringsteknik för BME, F och N LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA 1(6) Institutionen för datavetenskap Tentamen, Programmeringsteknik för BME, F och N 2015 06 03, 14.00 19.00 Anvisningar: Preliminärt ger uppgifterna 7 + 11 + 16 + 11 = 45 poäng.

Läs mer

Signal- och bildbehandling TSEA70

Signal- och bildbehandling TSEA70 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 2003-0-0 kl. 4-8 Lokaler: Examinator: U Maria Magnusson Seger Ansvarig lärare: Olle Seger besöker lokalen kl. 5 och 7. tel 259, 0702/337948 Hjälpmedel:

Läs mer

Signal- och bildbehandling TSBB14

Signal- och bildbehandling TSBB14 Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: -5-8 Lokaler: TER3 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.45 och.45 tel 8336, 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,

Läs mer

Innehåll. Innehåll. sida i

Innehåll. Innehåll. sida i 1 Introduktion... 1.1 1.1 Kompendiestruktur... 1.1 1.2 Inledning... 1.1 1.3 Analogt/digitalt eller tidskontinuerligt/tidsdiskret... 1.2 1.4 Konventioner... 1.3 1.5 Varför digital signalbehandling?... 1.4

Läs mer

Digital bild enligt Nationalencyklopedin, band 4. Digitala röntgenbilder. Vad menas med digital radiologi?

Digital bild enligt Nationalencyklopedin, band 4. Digitala röntgenbilder. Vad menas med digital radiologi? Digitala röntgenbilder Charlotta Lundh Sjukhusfysiker, MFT Digital bild enligt Nationalencyklopedin, band 4.. bild som endast är definierad i ett bestämt antal punkter i vilka den endast kan anta ett begränsat

Läs mer

Frekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys

Frekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys Frekvensplanet och Bode-diagram Frekvensanalys Signaler Allt inom elektronik går ut på att manipulera signaler genom signalbehandling (Signal Processing). Analog signalbehandling Kretsteori: Nod-analys,

Läs mer

Laboration i tidsdiskreta system

Laboration i tidsdiskreta system Laboration i tidsdiskreta system A. Tips Användbara MATLAB-funktioner: conv Faltning square Skapa en fyrkantvåg wavread Läs in en ljudfil soundsc Spela upp ett ljud ones Skapa en vektor med godtyckligt

Läs mer

QosmioEngine För avancerad video

QosmioEngine För avancerad video QosmioEngine För avancerad video Qosmio förenar QosmioEngines och QosmioPlayers högkvalitativa videofunktioner, Harman Kardon högtalare och SRS TruSurround XT: s funktioner för surroundljud och digital

Läs mer

Bildförbättring i frekvensdomänen (kap.4)

Bildförbättring i frekvensdomänen (kap.4) Bildörbättring i rekensdomänen kap.4 Föreläsning a Mer om iltrering Jämörelse med spatialdomänen Filterdesign Lågpassilter ögpassilter omomor iltrering Korrelation OBS!!! Alla bilder rån öreläsningen är

Läs mer

Signalbehandling och aliasing. Gustav Taxén

Signalbehandling och aliasing. Gustav Taxén Signalbehandling och aliasing Gustav Taxén gustavt@csc.kth.se 2D1640 Grafik och Interaktionsprogrammering VT 2007 Grafiska system Processor Minne Frame buffer Färgblandning Pigmentblandning för f att åstadkomma

Läs mer

TEN2, ( 3 hp), betygsskala A/B/C/D/E/Fx/F. TEN2 omfattar Laplace-, Fourier- och z-transformer samt Fourierserier

TEN2, ( 3 hp), betygsskala A/B/C/D/E/Fx/F. TEN2 omfattar Laplace-, Fourier- och z-transformer samt Fourierserier Kurs-PM MATEMATIK 2 (7.5 hp) P4, HF1000, ( tidigare 6H3011) Kursansvarig: Armin Halilovic, http://www.sth.kth.se/armin E-Mail armin@sth.kth.se rum 5046, Campus Haninge KURSFORDRINGAR: Examination: Godkända

Läs mer

Perfekt skärpa i Photoshop

Perfekt skärpa i Photoshop Perfekt skärpa i Photoshop Lathunden innehåller viktiga nyckelbegrepp från kursen och alla riktvärden du behöver. Dessutom finns ett antal tips och förtydliganden som inte nämndes i kursen. Alla värden

Läs mer

L A B R A P P O R T 1

L A B R A P P O R T 1 L A B R A P P O R T 1 BILDTEKNIK Dan Englesson Emil Brissman 9 september 2011 17:04 1 Camera noise 1.1 Task 1 Ett antal svarta bilder togs genom att fota i totalt mörker för att beräkna kamerans svartnivå.

Läs mer

Arbeta smart med fyrfärgsvarta bilder

Arbeta smart med fyrfärgsvarta bilder eställas från nb ww ka w. nt Detta do kum en t är.se xa di erat endast fö rs tim op kä ör ast f sd n E m skär bild ning vis. Ett tryckt d ing ok sn um vi e rm Arbeta smart med fyrfärgsvarta bilder C Gråskala

Läs mer

Ett enkelt OCR-system

Ett enkelt OCR-system P r o j e k t i B i l d a n a l y s Ett enkelt OCR-system av Anders Fredriksson F98 Fredrik Rosqvist F98 Handledare: Magnus Oskarsson Lunds Tekniska Högskola 2001-11-29 - Sida 1 - 1.Inledning Många människor

Läs mer

1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]

1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ] TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: 08.00 3.00 Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift

Läs mer

Yrkeshögskolan Novia Utbildningsprogrammet i elektroteknik

Yrkeshögskolan Novia Utbildningsprogrammet i elektroteknik Grunderna i programmeringsteknik 1. Vad är Känna till nämnda programmering, begrepp. Kunna kompilera högnivå språk, och köra program i det i kompilering, kursen använda tolkning, virtuella programmeringsspråket.

Läs mer

2F1120 Spektrala transformer för Media Tentamen

2F1120 Spektrala transformer för Media Tentamen F Spektrala transformer för Media Tentamen 68 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: :9 p, : p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare, formelblad

Läs mer

Digitala bilder. Matris, pixel, pixeldjup, signal, brus, kontrast

Digitala bilder. Matris, pixel, pixeldjup, signal, brus, kontrast Digitala bilder Matris, pixel, pixeldjup, signal, brus, kontrast Den nukleärmedicinska bilden Historik Analoga bilder. Film exponerades för ljusblixtar som producerades när strålning detekterades. oändligt

Läs mer

TSBB31. En bild är en 2D signal. Exempel på färginnehåll i bilder p. 4. För en digital bild gäller. vitt. Fig. 1.1

TSBB31. En bild är en 2D signal. Exempel på färginnehåll i bilder p. 4. För en digital bild gäller. vitt. Fig. 1.1 TSBB3 Medicinska bilder Föreläsning 3 D signalbehandling (bildbehandling) Den digitala bilden, ärgtabeller D kontinuerlig ouriertransorm och D DFT D sampling D diskret altning Lågpassiltrerande D altningskärnor

Läs mer

Signalanalys med snabb Fouriertransform

Signalanalys med snabb Fouriertransform Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör

Läs mer

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI

Läs mer

Bildförbättring av registreringsskyltar i stillbilder med hjälp av super-resolution

Bildförbättring av registreringsskyltar i stillbilder med hjälp av super-resolution LiU-ITN-TEK-A-15/009-SE Bildförbättring av registreringsskyltar i stillbilder med hjälp av super-resolution Martin Bengtsson Emil Ågren 2015-02-27 Department of Science and Technology Linköping University

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

DT1130 Spektrala transformer Tentamen

DT1130 Spektrala transformer Tentamen DT3 Spektrala transformer Tentamen 5 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Ansiktsigenkänning med MATLAB

Ansiktsigenkänning med MATLAB Ansiktsigenkänning med MATLAB Avancerad bildbehandling Christoffer Dahl, Johannes Dahlgren, Semone Kallin Clarke, Michaela Ulvhammar 12/2/2012 Sammanfattning Uppgiften som gavs var att skapa ett system

Läs mer

2 Dataanalys och beskrivande statistik

2 Dataanalys och beskrivande statistik 2 Dataanalys och beskrivande statistik Vad är data, och vad är statistik? Data är en samling fakta ur vilken man kan erhålla information. Statistik är vetenskapen (vissa skulle kalla det konst) om att

Läs mer

Så får du perfekt skärpa i dina bilder del 1

Så får du perfekt skärpa i dina bilder del 1 Så får du perfekt skärpa i dina bilder del 1 Skärpning av digitala bilder är för många fotografer synonymt med att använda en oskarp mask precis innan bilderna ska skrivas ut. Men skärpning är så mycket

Läs mer

Avancerad Bildbehandling Stitching av bilder

Avancerad Bildbehandling Stitching av bilder Linköping Universitet, Campus Norrköping Itn/TNM034 HT1/2009 Avancerad Bildbehandling Stitching av bilder Stefan Olausson: steol272@student.liu.se Fredrik Lundell: frelu@student.liu.se Martin Sturk: marst496@student.liu.se

Läs mer

Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19

Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar.

Läs mer

Grunderna i SQL del 1

Grunderna i SQL del 1 Grunderna i SQL del 1 1. SELECT-frågor 2. SELECT 3. WHERE 4. ORDER BY 5. Inre join 6. Yttre join 7. Andra typer av join 8. Union 9. Aggregatfunktioner 10. Gruppera och summera Kap. 3 Kap. 4 Kap. 5 utom

Läs mer

QosmioEngine: För avancerad video

QosmioEngine: För avancerad video tech-rapport qosmioengine QosmioEngine: För avancerad video 02 03 06 09 10 Qosmio förenar de avancerade videofunktionerna i QosmioEngine och QosmioPlayer, Harman Kardon- högtalare och äkta Dolby Home Theatre

Läs mer

Grundredigering i Photoshop Elements. Innehåll. Lennart Elg Grundredigering i Elements Version 2, uppdaterad 2012-09-14

Grundredigering i Photoshop Elements. Innehåll. Lennart Elg Grundredigering i Elements Version 2, uppdaterad 2012-09-14 Grundredigering i Photoshop Elements Denna artikel handlar om grundläggande fotoredigering i Elements: Att räta upp sneda horisonter och beskära bilden, och att justera exponering, färg och kontrast, så

Läs mer

FÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter

FÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter FÖRELÄSNING 3: Analoga o p. Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Analoga filter Ideala filter Butterworthfilter (kursivt här, kommer inte på tentan, men ganska bra för förståelsen) Kausalitet t oh

Läs mer

Fingerprint Matching

Fingerprint Matching Fingerprint Matching Björn Gustafsson bjogu419 Linus Hilding linhi307 Joakim Lindborg joali995 Avancerad bildbehandling TNM034 Projektkurs Biometri 2006 1 Innehållsförteckning 1 Innehållsförteckning 2

Läs mer

TSBB16 Datorövning A Samplade signaler Faltning

TSBB16 Datorövning A Samplade signaler Faltning Name: ID number: Passed: LiU-ID: Date: TSBB16 Datorövning A Samplade signaler Faltning Utvecklad av Klas Nordberg Computer Vision Laboratory, Linköping University, Sweden 24 augusti 2015 Introduktion Denna

Läs mer

Spektrala Transformer

Spektrala Transformer Spektrala Transformer Tidsdiskreta signaler, kvantisering & sampling Tidsdiskreta signaler Tidskontinuerlig signal Ex: x(t) = sin(ωt) t är ett reellt tal ω har enheten rad/s Tidsdiskret signal Ex: x(n)

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Signaler och System Höstterminen -02 IT3 Rasha Alshammari Andreas Nissemark Zakai kass-saliba Pavel Carballo

Signaler och System Höstterminen -02 IT3 Rasha Alshammari Andreas Nissemark Zakai kass-saliba Pavel Carballo Finn Fem Fel - ett försök att hitta skillander i bilder Signaler och System Höstterminen -02 IT3 Rasha Alshammari Andreas Nissemark Zakai kass-saliba Pavel Carballo Innehållsförteckning Introduktion 3

Läs mer

Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform

Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den laborationen har syften: dels att visa lite hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man den an dels att

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

DT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen

DT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen DT Spektrala transformer för Media Tentamen 77 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: 3:9 p, 4: 3 p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare,

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen

GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen 26.02013 kursens övningsuppgifter eller gamla tentamensuppgifter, eller Matlab-, Scilab- eller Octave- programmerbara kalkylatorer eller datorer. 1.

Läs mer

Format. Problem. Andra format. Digital redigering. JPG för fotografier. Photoshop. GIF lämplig för ritad grafik

Format. Problem. Andra format. Digital redigering. JPG för fotografier. Photoshop. GIF lämplig för ritad grafik Digital redigering Photoshop Format JPG för fotografier 24-bitars färg (RGB), 16,7 milj färger GIF lämplig för ritad grafik 256 färger Färgpalett indexerad bild Stödjer genomskinlighet Kan vara animerade

Läs mer

bilder för användning

bilder för användning Grundläggande guide i efterbehandling av bilder för användning på webben Innehåll Innehåll...2 Inledning...3 Beskärning...4 Att beskära en kvadratisk bild...5 Att beskära med bibehållna proportioner...5

Läs mer

Sammanfattning TSBB16

Sammanfattning TSBB16 Sammanfattning TSBB16 Frekvensfunktion =H(omega) Kombinationen av amplitud och faskarakteristik är unik. H(ω) = D(ω) e^jψ(ω)=y(t)/x(t). Detta är frekvensfunktionen. H(ω)=utsignal/insignal D(ω) = H(ω).

Läs mer

Övningar med Digitala Filter med exempel på konstruktion och analys i MatLab

Övningar med Digitala Filter med exempel på konstruktion och analys i MatLab Övningar med Digitala Filter med exempel på konstruktion och analys i MatLab Eddie Alestedt Vt-2002 Digitala filter Digitala filter appliceras på samplade signaler och uppvisar helt andra egenskaper än

Läs mer

Elements 5.0. Innehållsförteckning

Elements 5.0. Innehållsförteckning Elements 5.0 Innehållsförteckning 2. Tanka hem en bild 3. Öppna en bild 4. Rotera 5. Ändra storlek 6. Spara 7. Skriv ut 9. Förbättra 12. Filter 13. Trollstav/Övertoning 14. Klona 15. Gör flytande 16. Svartvit

Läs mer

CT bilddata, bildbearbetning och bildkvalitet Brus & Upplösning

CT bilddata, bildbearbetning och bildkvalitet Brus & Upplösning CT bilddata, bildbearbetning och bildkvalitet Brus & Upplösning Strålning & Teknik I 2013-09-12 Mikael Gunnarsson Sjukhusfysiker Strålningsfysik, SuS Malmö Vad är bildkvalitet? Bildkvalitet Högkontrast

Läs mer

Vad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? Spektrum av en samplad signal. Trunkering i tiden

Vad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? Spektrum av en samplad signal. Trunkering i tiden Vad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? 1 Spektrum av en samplad signal Samplingsprocessen kan skrivas som Fouriertranformen kan enligt linjäritetsoch tidsskiftsatsen

Läs mer

Impulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar

Impulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar 6 Sjätte lektionen 6.1 Transformvärlden 6.1.1 Repetera Rita upp en tankekarta över följande begrepp där du anger hur de hänger ihop och hur de betecknas. Vad beskriver de? Impulssvaret Amplitudsvaret (frekvensgången)

Läs mer

Sensorer i digitalkameror

Sensorer i digitalkameror Sensorer i digitalkameror Kretskort Minneskort Sensor Detektorelement (pixel). Typisk storlek: 2-5 m Typiskt antal: 5-20M Sensortyper i digitalkameror CCD (Charge Coupled Device) CMOS (Complementary Metal

Läs mer

Lite verktyg och metoder Photoshop CS2

Lite verktyg och metoder Photoshop CS2 Lite verktyg och metoder Photoshop CS2 Kurvor och Nivåer Med Nivåer och Kurvor kan man ställa nästan allt i bilden. Vitt ska vara vitt och svart ska vara svart. Fixa det med Nivåer. Hur ljus ska den vara?

Läs mer

FOURIERANALYS En kort introduktion

FOURIERANALYS En kort introduktion FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................

Läs mer

DIGITAL RASTRERING. DIGITALA BILDER (pixelbaserad) ppi (pixels per inch) Sasan Gooran

DIGITAL RASTRERING. DIGITALA BILDER (pixelbaserad) ppi (pixels per inch) Sasan Gooran DIGITAL RASTRERING Sasan Gooran 1/8/15 Grafisk teknik 1 DIGITALA BILDER (pixelbaserad) Skanning Foto Digital bild ppi: Antalet sampel per tum 1/8/15 Grafisk teknik 2 ppi (pixels per inch) ppi (Inläsningsupplösning):

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2004)

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2004) Grafisk Teknik Rastrering Övningar med lösningar/svar Sasan Gooran (HT 24) Det här lilla häftet innehåller ett antal räkneuppgifter med svar och i vissa fall med fullständiga lösningar. Uppgifterna är

Läs mer

Den nuklearmedicinska bilden

Den nuklearmedicinska bilden Den nuklearmedicinska bilden Charles Widström Sjukhusfysik Akademiska sjukhuset Uppsala 2014-05-14 SFNM Vårmöte 2014, Uppsala 1 Hal Anger 1958 gjordes den första prototypen för en gammakamera NaI(Tl) kristall

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

Photoshopskolan, retro-look

Photoshopskolan, retro-look Sida 1 av 12 skriv ut» Övningen är gjord av Anna-Lena Lundin ( http://www.pixelplus.se ) Har du frågor om momenten i övningen eller om Photoshop kan du söka information i vårt Forum för Photoshop. Retro-look

Läs mer

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition

Läs mer

Fotografering med digital systemkamera

Fotografering med digital systemkamera Fotografering med digital systemkamera Vad är en systemkamera? Som namnet antyder är det en kamera som ingår i ett system med t.ex. objektiv, filter, blixtar och mellanringar. Till skillnad från kompaktkameror,

Läs mer

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen januari 2008

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen januari 2008 januari 2008 (8) Institutionen för elektro och informationsteknik Daniel Sjöberg ETE5 Ellära och elektronik, tentamen januari 2008 Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori. Observera att uppgifterna

Läs mer

Kravspecifikation Fredrik Berntsson Version 1.3

Kravspecifikation Fredrik Berntsson Version 1.3 Kravspecifikation Fredrik Berntsson Version 1.3 Status Granskad FB 2017-01-27 Godkänd FB 2017-02-27 Dokumenthistorik Version Datum Utförda ändringar Utförda av Granskad 1.0 2014-01-15 Första versionen

Läs mer

ppi = 72 ppi = 18 ppi = 36 DIGITALA BILDER (pixelbaserad) DIGITAL RASTRERING ppi (pixels per inch) Sasan Gooran (HT 2003)

ppi = 72 ppi = 18 ppi = 36 DIGITALA BILDER (pixelbaserad) DIGITAL RASTRERING ppi (pixels per inch) Sasan Gooran (HT 2003) DIGITALA BILDER (pixelbaserad) Skanning Sasan Gooran (HT 2003) Foto Digital bild ppi: Antalet sampel per tum 2006-11-14 Grafisk teknik 1 2006-11-14 Grafisk teknik 2 ppi (pixels per inch) ppi = 72 ppi (Inläsningsupplösning):

Läs mer

Laboration 3. Redovisning Uppgifterna skall vara demonstrerade och godkända av en handledare senast måndag 22/2.

Laboration 3. Redovisning Uppgifterna skall vara demonstrerade och godkända av en handledare senast måndag 22/2. Programmerade system I. Syfte Syftet med denna laboration är att få övning i att strukturera sina program genom att använda metoder och klasser, samt att få övning i att använda sig av fält och for-satsen.

Läs mer

Anvisningar till del 2 av den obligatoriska inlämningsuppgiften (HT 2007)

Anvisningar till del 2 av den obligatoriska inlämningsuppgiften (HT 2007) Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber & Nicklas Pettersson 007-1-06 Anvisningar till del av den obligatoriska inlämningsuppgiften (HT 007) Den obligatoriska inlämningsuppgiften består av två

Läs mer

Grundredigering i Photoshop Elements

Grundredigering i Photoshop Elements Grundredigering i Photoshop Elements Denna artikel handlar om grundläggande fotoredigering i Elements: Att räta upp sneda horisonter och beskära bilden, och att justera exponering, färg och kontrast, så

Läs mer

Laboration 1: Elementära bildoperationer

Laboration 1: Elementära bildoperationer Skolan för Datavetenskap och Kommunikation, KTH Danica Kragic, Tony Lindeberg 2D1421 Bildbehandling och Datorseende Laboration 1: Elementära bildoperationer Syftet med denna laboration är att du ska bekanta

Läs mer

Att bevara historiska bilder. Digitalisera, beskriva, söka, visa, långtidslagra

Att bevara historiska bilder. Digitalisera, beskriva, söka, visa, långtidslagra Att bevara historiska bilder Digitalisera, beskriva, söka, visa, långtidslagra Fokus Att bevara bildinformation i oftast lånade bilder genom att överföra informationen i digital form. i digital form. Bättre

Läs mer

IE1206 Inbyggd Elektronik

IE1206 Inbyggd Elektronik IE06 Inbyggd Elektronik F F3 F4 F Ö Ö PIC-block Dokumentation, Seriecom Pulsgivare I,, R, P, serie och parallell KK LAB Pulsgivare, Menyprogram Start för programmeringsgruppuppgift Kirchoffs lagar Nodanalys

Läs mer

Signaler & Signalanalys

Signaler & Signalanalys Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se Jan 8 Signaler & Signalanals Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt enkla

Läs mer

Programmering för avläsning och avkodning av QR-koder i MATLAB

Programmering för avläsning och avkodning av QR-koder i MATLAB ITN, Norrköping 4 december 2011 Programmering för avläsning och avkodning av QR-koder i MATLAB PROJEKT I AVANCERAD BILDBEHANDLING OCH BILDANALYS TNM034 Medlemmar: Henrik Bäcklund Anders Hedblom Niklas

Läs mer

LAB 3: Operationer på gråskalebilder

LAB 3: Operationer på gråskalebilder LAB 3: Operationer på gråskalebilder Maria Magnusson, uppdaterad av Michael Felsberg Avdelningen för Datorseende, Institutionen för Systemteknik, Linköpings Universitet Februari 2016 1 Introduktion En

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Digital signalbehandling Laboration 2 Digital filtrering

Digital signalbehandling Laboration 2 Digital filtrering Institutionen för data- och elektroteknik 2002-02-19 1 Inledning Laboration två är inriktad på digitala filter. Ni kommer att via en LabVIEW-applikation kunna dimensionera filter samt mata in egna filterdimensioneringar.

Läs mer

A3-scanner. Svenska. Användarhandbok

A3-scanner. Svenska. Användarhandbok A3-scanner Svenska Användarhandbok Hämta TWAIN-drivrutinen för scannern TWAIN-drivrutinen är den scanningsmodul som tillhandahålls med din scanner. Den är lätt att nå från de medföljande scannerprogrammen

Läs mer

Projekt 1 (P1) Problembeskrivning och uppdragsspecifikation

Projekt 1 (P1) Problembeskrivning och uppdragsspecifikation Projekt 1 (P1) Problembeskrivning och uppdragsspecifikation Etapp 1 Problem med mätsignalen m.a.p. sampling, vikning och spektraltäthet Problembeskrivning Uppdragsgivaren överväger att skaffa nya A/D-omvandlare

Läs mer

Skjermteknologi: Hvordan sikre diagnostisk bildekvalitet ved visning av bilder i PACS? Patrik Sund MFT/Diagnostik Sahlgrenska Universitetssjukhuset

Skjermteknologi: Hvordan sikre diagnostisk bildekvalitet ved visning av bilder i PACS? Patrik Sund MFT/Diagnostik Sahlgrenska Universitetssjukhuset Skjermteknologi: Hvordan sikre diagnostisk bildekvalitet ved visning av bilder i PACS? Patrik Sund MFT/Diagnostik Sahlgrenska Universitetssjukhuset Sahlgrenska Universitetssjukhuset, Göteborg, Sverige

Läs mer

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

Transformer och differentialekvationer (MVE100) Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 19 januari 211 Transformer och differentialekvationer (MVE1) Styckvis definierade funktioner forts. Laplacetransformen Som nämnts i inledningen

Läs mer