DN1240 numi12 1

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "DN1240 numi12 1"

Marcus Henriksson
för 5 år sedan
Visningar:

1 F7 Ssem av ODE - iiialvärdesproblem Exises & edige Lipsciz Euler overges fel overgesordig Lösigssaror fasrum Sabilie äslige Högre ord. evaio ill försa ord. ssem Ruge-Kua-meoder seglägdsreglerig Sva evaioer & Implicia meoder 0-0- DN40 umi

2 Lösigars egesaper Iiialvärdesproblem I: Maemai. E försa ordiges lijär evaio med osaa oefficieer d/d a 0 c: ce a Oberoede variabel e begelsevillor som väljer u e lösig ur lösigssara. Lösige är ui oc exiserar för alla.. E försa ordiges o-lijär evaio separabel: d/ d d/d 0 c > 0: c/ c för 0 < </c Lösige är ui me exiserar bara i e begräsa iervall. 3. E aa olijär evaio: d / d 0 c 0 : c /? Uppebarlige är 0 e lösig för c 0. Me ocså /4 alla > 0 Lösige är ie ui för c DN40 umi

3 Iiialvärdesproblem II: Maemai IVP för ssem av försa ordigs differeialevaioer d / d f a c c är ormalforme i umerisa meoder för ordiära differeialevaioer. är de oberoede variabel ofa id e ssem av försa ordiges differeialevaioer med begelsevärde iiialvärde giva vid a ofa 0. Kolumveor allas illsåds-veor. De fuioera f i i av a allas ögerlede. Ex. Newo massa-fjäder-dämpare mv x : v x v Kx Dv si d d A mx Kx Dx f A 0 K f D R f 0 si 0-0- DN40 umi 3

4 Iiialvärdesproblem III: Uicie Def. Lipsciz-oiuie: f allas L-oiuerlig i e domä D om de fis e osa L så a f x f L f x f för alla x i D. Om f är deriverbar duger L max f x D Ex. avla är oiuerlig me ie L-oiuerlig i 0 på Sas. Om f är L-oiuerlig i i e omgivig ill iiialvärde c så exiserar e ui lösig e or sud. Ma a bevisa sase geom a visa a e umeris lösig overgerar är seglägde går mo oll DN40 umi 4

5 Iiialvärdesproblem IV: Fasrum mm. Exempel: saelli. E masspu x med asige uv rör sig ru e mce sörre massa uder ivera av graviaio. Tillsådrum 4D xuv fasrum faspla i D u x / r v / r Visualiserig av lösigar. Ploa ompoeera i illsådsveor mo ide. Fra periodisa urvor xuv. 3 3 x u ; r v x 0-0- DN40 umi 5

6 Iiialvärdesproblem V: Fasrum mm. Mera geomeris isi: illsådsveor som e urva i e - dimesioell rum: e dimesio för varje ompoe oc e för ide. I saellimodelle är 4 så de är svår me ma a. Projicera på ex e -D uderrum x baa som parameerurva 3. Aväda 3D x. dx/d oc d/d visas som e asiges pil äve i DN40 umi 6

7 Iiialvärdesproblem VI: Eulers meod Då a ma approximera lösige med e seg-meod som ger som approximaio ill 0 0 Approximera derivaa med differesvo d d så får vi Eulers meod a 0 f 0... c 0-0- DN40 umi 7

8 Iiialvärdesproblem VII: Fel 0-0- DN40 umi 8 Loal fel τ τ τ L E E E f f E E f Om ma ar N seg frå 0 ill N b är b/n Toal N fel summeras Fel proporioell mo : oggraesordig b N max max

9 Iiialvärdesproblem VIII: Hur fugerar Euler? Exempel: Ria e eescirel! Parameerurva x cos si ger dx/d -si - d/d cos x Eulers meod med seg π/m ger x x x 0 x 0 0 M 00: Spiral! r r M e u π T u M O 3 π O....4 e M / u 4 T u... r 0-0- DN40 umi 9

10 Iiialvärdesproblem: Bäre meoder I O fel för sor me spiral a eel ågärdas: Tag sease x-värde i -uppdaeríge: x x x 0 x 0 0 Ellips med alvaxlar ± / Dea aväds för Hamiloias dami ex moleldami Maxwells evaioer: Verle s meod Mv Mv Fx x x v 0-0- DN40 umi 0

11 Iiialvärdesproblem: Bäre meoder II 0-0- DN40 umi Trapesregel > rapesmeode för IVP ger Adra ordiges fel: oggraase lijära esegs-meode IMPLICIT evaioslösig i varje seg Eulers meod EXPLICIT Baå Euler: IMPLICIT ordig 3 O f f ds s s f ds s f f f

12 Iiialvärdesproblem: Ruge-Kuameoder I Ersä i rapesmeode med si Euler-approximaio så blir meode explici: f f f oc ar fel O. Kosruioe implemeeras som f f ½ ½ e vå-sage explici Ruge-Kuameod Äu ögre ordig? 0-0- DN40 umi

13 Iiialvärdesproblem: Ruge-Kuameoder II geom a evaluera f.. > gåger sages i sege För -sage-meoder Ordig < Ordig bara för 34 Klassis Ruge-Kua fra sages ordig 4 NAM RK4 f f / / 3 f / / 4 f 3 /6 3 4 MATLAB ode3 oc ode DN40 umi 3

14 Iiialvärdesproblem: Sva problem I 0-0- DN40 umi 4 Exempel Radioaiv söderfall A söderfaller ill B som söderfaller ill C. i allas asigesoefficieer. a b oc c oceraioera Varje A som försvier blir e B oc varje B som försvier blir e C: a b c är osa. Småigom försvier all A oc B oc C ar samla all. 000 sor: /s 0.00 Euler : C B A A A c b a d d b c b a b a a : 0.00 A B C

Iiialvärdesproblem: Sva problem II a a a a b b a b c c b För > 0.00 växer a expoeiell < - umeris Isabilie. L blir 000! För > 0.005 säg är a äsa 0 oc lösiges idssala är se.

15 Iiialvärdesproblem: Sva problem II a a a a b b a b c c b För > 0.00 växer a expoeiell < - umeris Isabilie. L blir 000! För > säg är a äsa 0 oc lösiges idssala är se. Tros de rävs e usedels se. idsseg: STYVT problem Fix: Implici Baå Euler beadlig av sabba variabel a: a a a : a a / b b a b c c b 0-0- DN40 umi 5

16 Iiialvärdesproblem: Sva problem III I allmäe är de ie så lä a ideifiera de sabba variablera oc då får ma aväda.ex Baåeuler på ela sseme. De blir ill a lösa evaiossseme I - A i varje seg. Auomais val av seglägd viig Vår exempel: sar med öa ill säg 0. Om ice-lijär lös z - f z z med Newo. Jacobia-marise df/dz beövs. Bra sargissig fis ex z 0 Effeiv aerig av gles maris viig för sora ssem 0-0- DN40 umi 6

17 MATLAB I Måga för måga? meoder fis. E lämplig sadardmeod är [ouou] ode45fuspa0; Dormad-Prices RK4 oc RK5. Evaluerig med vå olia meoder i varje seg avädes för feluppsaig oc för auomais val av sege. ode3 ordig & 3 dd fu är ögerlede i evaioe reell omplex salär eller veorform spa är veor som börjar med 0 oc forsäer med de värde där lösige ösas 0 är begelsevärdesveor: dd0 KOLUMNER! För sva problem: ode5fuspa0 Högre ordigs ssem måse allså förs srivas som försa ordigs ssem. Föreommer allid på ea DN40 umi 7

18 MATLAB II Auomais reglerig av seglägde: Avses sras så a loala fele över varje seg ålls midre ä de giva oleraser: relol oc absol säs med ops odese relol e-5; [ouou] ode45fuspa0ops; Observera: sillade mella exa lösig oc umeris uppsaas INTE. spa påverar ie seglägdsreglerig aa ä spa & spaed Ma förväar sig overges så a för e give problem fele blir proporioell mo olerase. voe a ie lä uppsaas fele som fuio av oleras blir midre regelbude ä vid global successiv segalverig DN40 umi 8

d Observerad overges-ordig p fel C p blir 0 3 cos x 0 dx ode3: p.

19 MATLAB III Vi udersöer 4 beräad med ode3 oc ode45 oleraser 0 -/. Exa resula resulae med srägase olerase. d Observerad overges-ordig p fel C p blir 0 3 cos x 0 dx ode3: p ode3 fel/oleras frå vid 0.3 ill > 00 vid ode45: p ode45. ode45 ar mis 0 seg. fel/oleras ugefär 0. för alla fall DN40 umi 9

Relevanta dokument

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder