6. Reglering av stokastiska system
|
|
- Charlotta Sundberg
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 6. Stokastiska system 6. Reglering av stokastiska system Vi har hittills använt deterministiska modeller, inklusive deterministiska störningar, såsom steg, ramper och sinussignaler som inte varierar slumpmässigt. I praktiken är dock olika typer av störningar, såsom mätbrus, till sin natur stokastiska. I kursinledningen visades exempel på att störningstypen (dvs huruvida störningen är deterministisk eller stokastisk) kraftigt kunde påverka reglerkvaliteten. I exempel 5.5 visades att periodiska variationer i utsignalen, som inte beaktades vid designen av en observatör, kunde göra observatören oanvändbar. Det är därför av intresse att kunna inkludera stokastiska störningar i systembeskrivningen beakta dessa vid regulatordesign och tillståndsestimering I detta kapitel skall vi behandla sådana metoder. Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) 6 1
2 6. Stokastiska system 6.1 Stokastiska variabler Några definitioner En stokastisk variabel xt () antar slumpmässigt ett värde så att varje tänkbart utfall har en viss sannolikhet. En stokastisk process är en familj av stokastiska variabler { xt (), t } av utfall för den stokastiska variabeln. Speciellt om { 0,1, 2, }, dvs en följd är det frågan om en diskret stokastisk process. En stokastisk process karakteriseras av ett medelvärde mx () t = E[ x()] t (6.1.1) där E[ xt ( )] betecknar väntevärdet av den stokastiska variabeln xt (). Variansen för en stokastisk process definieras 2 2 x t x t mx t σ () = E[( () ()) ] (6.1.2) Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) 6 2
3 6.1.1 Några definitioner En stokastisk process karakteriseras av kovariansfunktionen Rxx( t, s) = E[( x( t) mx( t))( x( s) mx( s))] (6.1.3) där t och s betecknar två tidpunkter; om s = t fås variansen. En stationär stokastisk process har egenskaper som inte beror av absolut tid. För en svagt stationär stokastisk process är medelvärdet, variansen och kovariansfunktionen oberoende av absolut tid (men inte nödvändigtvis andra egenskaper), dvs mx = E[ x( t)] (6.1.4) 2 2 σ x = E[( xt ( ) mx( t)) ] (6.1.5) R ( τ ) R (, t t+ τ) = E[( x() t m ())( t x( t+ τ) m ( t+ τ))] (6.1.6) x xx x x En normalfördelad stokastisk process har en klockformad frekvensfunktion 1 f( x) e σ 2π x 1 x m 2 σ x 6.1 Stokastiska variabler 6 3 x 2 = (6.1.7) som är fullständigt definierad av den stokastiska variabelns medelvärde och varians. En normalfördelad stokastisk variabel sägs ofta vara Gaussfördelad.
4 6.1 Stokastiska variabler Stokastiska störningar Stokastiska störningar kallas ofta för brus; alldeles speciellt processbrus wt (), som påverkar systemets tillståndsvariabler mätbrus vt (), som påverkar systemets mätsignaler (dvs utsignaler) idsdiskret vitt brus ek ( ) är en följd av oberoende utfall av en stokastisk variabel, vilket betyder att kovariansen Re ( τ ) = 0, τ 0 (6.1.8) Dessutom underförstås vanligtvis också att vitt brus har väntevärdet noll, dvs m e = 0. Om man har en stokastisk variabel xk ( ) med ett väntevärde olika noll kan man definiera en ny stokastisk variabel ek ( ) = xk ( ) mx som har väntevärdet noll. Vita brusets egenskaper betyder att vitt brus inte kan predikteras. Man kan säga att det tidigare förloppet hos vitt brus inte innehåller någon information om dess framtida värden. Färgat brus är korrelerat brus, dvs (6.1.8) gäller inte. Detta betyder också att korrelerat brus kan predikteras. Färgat brus kan genereras från vitt brus med en stokastisk modell. 6. Reglering av stokastiska system 6 4
5 6. Stokastiska system 6.2 Den stokastiska modellen En tidsdiskret tillståndsmodell inkluderande stokastiska störningar har allmänt formen x( k+ 1) = Fx( k) + Gu( k) + w( k) (6.2.1) y( k) = Cx( k) + Du( k) + v( k) där w ( k) är processbrus, v ( k) är mätbrus och i övrigt sedvanliga beteckningar. Givetvis bör de stokastiska störningarna ha samma dimensioner som x ( k) respektive y ( k). För att betona att utsignalen y ( k) inkluderar mätfel, föredrar vi att kalla den för mätsignal. Vi antar att störningarna har väntevärdena noll, dvs E[ w( k )] = 0, E[ v( k )] = 0 (6.2.2) Ytterligare antar vi att störningarna är vitt brus, vilket betyder att E[ w( k) w( k ) ] = R w, E[ w( k) w( t) ] = 0, t k (6.2.3) E[ v( k) v( k ) ] = R v, E[ v( k) v( t) ] = 0, t k (6.2.4) E[ w( k) v( t ) ] = 0, alla t (6.2.5) Märk att R w och R v är symmetriska positivt (semi)definita matriser. Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) 6 5
6 6.2 Den stokastiska modellen illståndsvektorns kovariansmatris Vi skall börja med att studera tillståndsvektorns väntevärde. I avsaknad av reglering, dvs då u( k ) = 0, gäller E[ x( k+ 1)] = E[ Fx( k) + w( k)] = E[ Fx( k)] + E[ w( k)] = FE[ x ( k)] dvs m ( k + 1) = Fm ( k) (6.2.6) x Av detta följer att för ett stabilt system måste gälla att mx( k) 0 när k oberoende av begynnelsevärdet m x(0). För en stationär process gäller därmed mx = 0. illståndsvektorns kovariansmatris vid tidpunkten k + 1 definieras P ( k + 1) E[( x( k + 1) m ( k+ 1))( x( k+ 1) m ( k+ 1)) ] (6.2.7) x x x Beaktande av (6.2.1) och (6.2.6) ger x( k+ 1) mx( k+ 1) = F( x( k) mx( k)) + w ( k) Insättning i (6.2.7) ger efter utbrytning av termer innehållande w( k) x 6. Reglering av stokastiska system 6 6
7 6.2.1 illståndets kovarians x k + = k x k k x k + k k Fxk mx k wk + wk xk mx k F P ( 1) E[ F( x( ) m ( ))( x( ) m ( )) F ] E[ w( ) w( ) ] +E[ ( ( ) ( )) ( ) ] E[ ( )( ( ) ( )) ] Här är w ( k) okorrelerad med både m x( k) och x ( k) (som påverkas av w ( k 1) men inte av w ( k) ). Väntevärdet av de berörda termerna är då noll och vi får x( k+ 1) = x( k) + w P FP F R (6.2.8) där P x( k) införts enligt motsvarande definition som (6.27) och R w enligt (6.2.3). Kovariansmatrisen kan beräknas rekursivt enligt (6.2.8). För ett stabilt system kommer kovariansmatrisen att gå mot en konstant matris P x, dvs P ( k) P, när k (6.2.9) Den stationära kovariansmatrisen P x fås också ur ekvationen x x x = x + w P FP F R (6.2.10) 6.2 Den stokastiska modellen 6 7
8 6.2.1 illståndets kovarians 4Exempel Beräkning av stationära variansen för ett tillstånd. Betrakta ett första ordningens system som beskrivs av den stokastiska modellen där Ekvation (6.2.10) ger P x xk ( + 1) = 0,9 xk ( ) + wk ( ) E[ wk ( )] = 0, E[ wk ( ) ] = 1 = 0,9 P 0,9 + 1 P = 5,26 x Vi kan konstatera att tillståndets stationära varians blir flerfalt större än processbrusets varians. 2 x Kan tillståndets varians bli mindre än processbrusets varians för något stabilt system? Den stokastiska modellen 6 8
9 6.2 Den stokastiska modellen Mätsignalvektorns kovariansmatris Sambandet mellan mätsignalvektorn och tillståndsvektorn ges av y( k) = Cx( k) + Du( k) + v ( k) (6.2.11) där v ( k) är mätbruset. I avsaknad av reglering ges mätsignalens väntevärde av E[ y( k)] = E[ Cx( k)] + E[ v( k)] = CE[ x ( k)] dvs my( k) = Cm x( k) (6.2.12) Uppenbarligen gäller för en stationär process my = Cmx = 0. Mätsignalvektorns kovariansmatris kan härledas på liknande sätt som ovan. Definitionen ger samt den stationära kovariansen P ( k) E[( y( k) m ( k))( y( k) m ( k)) ] (6.2.13) y y y y ( k) = x( k) + v P CP C R (6.2.14) y = x + v P CP C R (6.2.15) 6. Reglering av stokastiska system 6 9
10 6.2.2 Mätsignalens kovarians 4Exempel Beräkning av stationära variansen för en mätsignal. Antag att mätsignalen för systemet i exempel ges av där Enligt (6.2.15) fås P y y( k) = x( k) + v( k) E[ vk ( )] = 0, E[ vk ( ) ] = 1 = 1 P 1+ 1 P = 6,26 x Vi kan notera att mätsignalens stationära varians blir ännu större än tillståndets stationära varians. 2 y Är detta en generell egenskap för ett stokastiskt system? Den stokastiska modellen 6 10
11 6. Stokastiska system 6.3 Återkoppling av mätsignalvektorn I detta avsnitt skall vi studera hur återkopplad reglering påverkar de beroende signalernas kovarianser. Vi använder en reglerlag av formen u Ky (6.3.1) ( k) = ( k) vilket innebär att utsignalens börvärde är noll. Eftersom det är ( k) det naturligt att anta att u ( k) inte påverkar y ( k), utan y ( k + 1) y som återkopplas är. Detta innebär att systemet antas vara strikt propert och att D= 0. Insättning av (6.3.1) i (6.2.1) ger modellen för det reglerade systemet. Kombinering av de olika ekvationerna ger x( k+ 1) = ( F GKC) x( k) GKv( k) + w ( k) (6.3.2) y( k) = Cx( k) + v ( k) (6.3.3) Märk att denna modell och de uttryck som härleds i det följande endast gäller för en återkoppling av formen (6.3.1), inte för en tillståndsåterkoppling. Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) 6 11
12 6.3 Återkoppling av mätsignalen illståndsvektorns kovariansmatris På grund av återkopplingen påverkar, förutom processbruset w ( k), även mätbruset v ( k) tillståndet x ( k + 1). illståndet x ( k) är dock oberoende av både v ( k) och ( k) Dessutom är v ( k) och ( k) w. w sinsemellan oberoende enligt (6.2.5). På liknande sätt som vid härledningen av (6.2.8) fås då x( k + 1) = ( ) x( k)( ) + v + w P F GKC P F GKC GKR K G R (6.3.4) Liksom tidigare kan den stationära kovariansen P x beräknas ur (6.3.4) med substitutionerna P ( k+ 1) = P ( k) = P. x x x 4Exempel Variansen för ett tillstånd vid återkoppling av mätsignalen. Antag att systemet exempel kan regleras med en insignal uk ( ) enligt modellen xk ( + 1) = 0,9 xk ( ) + 2 uk ( ) + wk ( ), yk ( ) = xk ( ) + vk ( ) med samma brusegenskaper som tidigare. Antag att reglerlagen är uk ( ) = 0,3 yk ( ). Enligt (6.3.4) blir stationära variansen av tillståndet P = (0,9 2 0,3 1) P (0,9 2 0,3 1) + 2 0,3 1 0,3 2+ 1= 0,09P + 1,36 P = 1, 49 x x x Vi ser att variansen reducerats betydligt från det oreglerade fallet Reglering av stokastiska system 6 12 x
13 6.3 Återkoppling av mätsignalen Utsignalvektorns kovariansmatris För ett strikt propert system påverkas yk ( ) inte av uk ( ) och sambandet mellan yk ( ) och xk ( ) är oförändrat och ges av ekvation (6.3.3). Om kovariansen för mätsignalvektorn uttrycks med hjälp av tillståndsvektorn kovarians är sambandet det samma som tidigare, dvs ekvation (6.2.14) och (6.2.15) gäller. Detta betyder att mätsignalens varians alltid kommer att vara större än tillståndets varians trots att det är mätsignalen som återkopplas. 4Exempel Variansen för mätsignalen vid återkoppling av densamma. Stationära variansen för utsignalen i exempel blir enligt (6.2.15) P y = 1 P 1+ 1= 2,49 x Utsignalens varians blir således också betydligt mindre än i det oreglerade fallet Reglering av stokastiska system 6 13
14 6.3 Återkoppling av mätsignalen Reglersignalvektorns kovariansmatris Insättning av (6.3.3) i reglerlagen (6.3.1) ger som ger dvs u( k) = Ky( k) = KCx( k) Kv ( k) (6.3.5) E[ u( k)] = KE[ y( k)] = KCE[ x( k)] KE[ v( k)] = KCE[ x ( k)] m ( k) = Km ( k) = KCm ( k) (6.3.6) u y x För en stationär process gäller då mu = Kmy = KCmx = 0. Reglersignalvektorns kovariansmatris kan härledas på samma sätt som tidigare. Vi har Pu( k) E[( u( k) mu( k))( u( k) m u( k)) ] (6.3.7) som ger P ( k) = KP ( k) K = KCP ( k) C K + KR K (6.3.8) samt den stationära kovariansen u y x v u = y = x + v P KP K KCP C K KR K (6.3.9) 6. Reglering av stokastiska system 6 14
15 6.3.3 Reglersignalens varians 4Exempel Variansen för reglersignalen vid återkoppling av mätsignalen. Stationära variansen för reglersignalen i exempel och blir enligt (6.3.9) P u = 0,3 P 0,3 = 0, 22 y Som sammanfattning visas signalvariationerna för det oreglerade fallet nedan och för det reglerade fallet till höger Återkoppling av mätsignalvektorn 6 15
16 6.3 Återkoppling av mätsignalen Minimering av en kvadratisk förlustfunktion Varianserna av tillståndsvektorns element är uppenbarligen mått på reglerkvaliteten medan varianserna av reglersignalvektorns element är mått på regleråtgärdernas styrka. En förlustfunktion av formen J = E[ x( k+ 1) Qxx( k+ 1) + u( k) Quu ( k)] (6.3.10) där Q x och Q u är symmetriska viktmatriser, kan då användas som ett mått på den totala reglergodheten. Här har för enkelhets skull antagits att tillståndens och reglersignalernas väntevärden är noll; om inte bör avvikelserna från dessa användas i enlighet med definitionerna i avsnitt Märk att x ( k + 1) ingår eftersom u ( k) inte kan påverka x ( k). Vi önskar en förlustfunktion där tillståndens och reglersignalernas kovariansmatriser ingår explicit. Vi noterar att för två godtyckliga n -dimensionella vektorer a och b gäller n ab 11 ab= ab i i= tr = tr( ab) = tr( ba) i= 1 ab n n (6.3.11) där tr betecknar spåret av en matris som är lika med summan av dess diagonalelement. 6. Reglering av stokastiska system 6 16
17 6.3.4 Minimering av en kvadratisk förlustfunktion illämpning av (6.3.11) på (6.3.10) ger Jk ( ) = E[ x( k+ 1) Qxx( k+ 1) + u( k) Quu( k)] = E[tr( Qx x ( k + 1) x( k + 1) ) + tr( Qu u ( k) u( k) )] = tr( QxE[ x( k + 1) x( k + 1) ]) + tr( QuE[ u( k) u( k) ]) tr( ( k 1)) tr( ( k)) = QP + + QP x x u u där vi utnyttjat det faktum att viktmatriserna är symmetriska (dvs stationära beteendet fås tr( ) tr( ) = Q Q). För det (6.3.12) J = QP + QP (6.3.13) x x u u 4Exempel Beräkning av stationärt värde för en kvadratisk förlustfunktion. Låt förlustfunktionen i de tidigare betraktade exemplen vara 2 2 J ( k) = E[ x( k+ 1) + 10 u( k) ] = P ( k+ 1) + 10 P ( k) J = P + 10P För det oreglerade systemet fås J oreglerat = 5, = 5, 26. x För det reglerade systemet fås J reglerat = 1, , 225 = 3, Återkoppling av mätsignalvektorn 6 17 u x u
18 6.3.4 Minimering av en kvadratisk förlustfunktion Eftersom vi härlett uttryck för P x och u reglerlagen (6.3.1) är det möjligt att bestämma K så att förlustfunktionen (6.3.13) minimeras. Vi skall illustrera detta med ett exempel. P som funktion av regulatorförstärkningen K i 4Exempel Minimering av en kvadratisk förlustfunktion. Låt oss för systemet i de tidigare exemplen bestämma förstärkningen K i reglerlagen uk ( ) Kyk ( ) = så att förlustfunktionen J = P + 10P minimeras. Vi har 2 2 x 2 2 x P = (0,9 2 K) P + 4K + 1 och x P = K P + K. u Problemet kan lösas genom sedvanlig optimering. I vidstående figur har J, P x och P u uppritats som funktion av K. Minimum J min = 2, 28 fås för K = 0,13 som ger P x = 1, 82 och P u = 0, x u 6.3 Återkoppling av mätsignalvektorn 6 18
19 6. Stokastiska system 6.4 Linjärkvadratisk Gaussisk (LQG) reglering I föregående avsnitt använde vi en reglerlag som återkopplade mätvärdet y ( k). Vi konstaterade att det var möjligt att bestämma en optimal återkoppling genom minimering av en stokastisk förlustfunktion. Frågan är om det faktiskt är optimalt att direkt återkoppla mätvärdet. Finns det en bättre regulatorstruktur? Vi kan konstatera följande: Mätvärden har alltid högre varians än motsvarande tillstånd. Detta är klart av (6.2.11) och (6.2.14/15). Om tillståndvektorn vore känd, borde man då erhålla bättre reglering genom tillståndsåterkoppling. Om tillståndsvektorn inte är känd kan den estimeras, såsom visats i avsnitt 5.3. illståndsvektorn är då inte känd med säkerhet, men det är möjligt att den ger bättre information än (ett fåtal) mätningar behäftade med mätbrus. Vi skall i det följande undersöka dessa frågor närmare Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) 6 19
20 6. Stokastiska system Problemformulering Vi skall begränsa behandlingen till strikt propra system, dvs system där det inte finns en direkt verkan av reglersignalen på utsignalen. Modellen har då formen där w ( k) och ( k) v är normalfördelade störningar med väntevärdet noll och kovarianserna x( k+ 1) = Fx( k) + Gu( k) + w( k) y( k) = Cx( k) + v( k) (6.4.1) E[ w( k) w( k ) ] = R w, E[ w( k) w( t) ] = 0, t k (6.4.2) E[ v( k) v( k ) ] = R v, E[ v( k) v( t) ] = 0, t k (6.4.3) E[ w( k) v( t ) ] = 0, alla t (6.4.4) Orsaken till att störningarna antas vara normalfördelade kommer inte att framgå, men de givna resultaten förutsätter (om man vill vara helt strikt) detta antagande. Detta är också orsaken till att reglerlagen kallas Gaussisk (som har med normalfördelning att göra). Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) 6 20
21 6.4.1 Problemformulering Som förlustfunktion väljer vi en allmännare funktion än den som användes i avsnitt 6.3. Vi önskar minimera N 1 N x u k = 0 J = E[ x( N) Q x( N) + ( x( k) Q x( k) + u( k) Q u ( k))] (6.4.5) N där Q N, Q x och Q u är symmetriska och positivt (semi)definita matriser. Vikten det möjligt att behandla sluttillståndet annorlunda än andra tillstånd. Q N gör Vi önskar finna en reglerlag som minimerar (6.4.5) med bivillkoren (6.4.1) (6.4.4). u. Givetvis kan endast information upp till tidpunkten k användas för bestämning av ( k) Problemet kan lösas genom stokastisk dynamisk programmering. Lösningen visar att det är optimalt att återkoppla hela tillståndsvektorn. Detta gäller såväl när den är exakt känd som när den estimeras optimalt med ett Kalmanfilter (avsn. 6.5). Vi skall här endast behandla det stationära fallet, som fås när N. Förlustfunktionen modifieras då till N 1 x u k = 0 1 J = lim E[ ( x( k) Q x( k) + u( k) Q u ( k))] (6.4.6) N N 6.4 Linjärkvadratisk Gaussisk (LQG) reglering 6 21
22 6.4 LQG-reglering Fullständig tillståndsinformation Vi skall inledningsvis behandla fallet med fullständigt känd tillståndsvektor. Den stationära optimala reglerlagen som minimerar förlustfunktionen (6.4.6) är då där u( k) = Kx ( k) (6.4.7) 1 K = ( G SG + Q ) u G SF (6.4.8) S = F S( F GK) + Q x (6.4.9) Sambanden (6.4.8) och (6.4.9) kan uttryckas på olika sätt, vilket är förklaringen till att man ibland ser andra ekvivalenta uttryck. Vi kan notera att störningarnas statistiska egenskaper inte påverkar den optimala reglerlagen när tillståndsvektorn är fullständigt känd. Lösningen är (föga överraskande) densamma som för tidsdiskret linjärkvadratisk reglering i avsnitt 5.2.2, där den dock uttrycktes aningen annorlunda. 6. Reglering av stokastiska system 6 22
23 6.4 LQG-reglering Ofullständig tillståndsinformation Om tillståndsvektorn inte är känd, vilket den inte är i praktiken, måste den estimeras. Låt xˆ( k ) beteckna ett estimat av x ( k) med användande av information upp till tidpunkten k. Vanligtvis är = k eller = k 1. Om estimatet är optimalt, vilket kan erhållas med ett Kalmanfilter, är den optimala reglerlagen u( k) = Kxˆ ( k ) (6.4.10) där K bestäms enligt (6.4.8) och (6.4.9), dvs precis som i fallet med fullständig tillståndsinformation. Störningarnas statistiska egenskaper kommer dock att påverka estimatet xˆ( k ). Det faktum att den optimala lösningen kan separeras i en del som ger den optimala återkopplingen (och som inte beror av störningsegenskaperna) och en del som ger det optimala estimatet brukar kallas separationsteoremet. I nästa avsnitt skall vi härleda det optimala estimatet. 6. Reglering av stokastiska system 6 23
24 6. Stokastiska system 6.5 Kalmanfilter Såsom ovan framgått behöver vi för LQG-reglering ett estimat av tillståndsvektorn. Vi har i avsnitt 5.3 härlett en observatör för ändamålet. Den ställdes in genom polplacering av estimeringsfelets tillståndsekvation. Metoden har dock följande nackdelar: Vi hade inget kriterium som kunde användas för att finna en optimal observatör. Vi kan beakta störningar av stegtyp, men inte stokastiska störningar av den typ vi har här. Ex. 5.5 antyder att observatören kan fungera mycket dåligt för sådana störningar Problemformulering Vi vill i stället skatta tillståndsvektorn ( k) y(0),, y( ), k utifrån mätdata { } x så bra som möjligt med beaktande av modellen (6.4.1) och störningarnas natur (6.4.2) (6.4.4) Vi betecknar en sådan skattning xˆ( k ), där k är den tidpunkt för vilken tillståndsvektorn skattas är tidpunkten för senast tillgängliga mätdata för skattningen (dvs den tidpunkt när skattningen görs) Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) 6 24
25 6.5.1 Problemformulering Man talar om prediktering ifall < k (predikterande skattning) filtrering ifall = k (filtrerande skattning) (Ifall > k talar man om glättning, vilket innebär att man filtrerar gamla tillstånd.) Man vill givetvis använda så färsk information som möjligt, vilket innebär att man helst använder = k (filtrering) = k 1 ifall = k inte kan användas (1-stegsprediktion) Vi definierar den optimala skattningen som den skattning som minimerar (en lämplig förlustfunktion bestående av) skattningsfelets kovariansmatris P( k ) E[ δx( k ) δx ( k )], δ x( k ) x( k) xˆ ( k ) (6.5.1) Vi definitionen av P( k ) har vi antagit att E[ δ x( k )] = 0, men även om så inte vore fallet kommer de i det följande härledda kovariansuttrycken inte att förändras. 6.5 Kalmanfilter 6 25
26 6.5 Kalmanfilter Predikterande Kalmanfilter Vi har modellen x( k+ 1) = Fx( k) + Gu( k) + w( k) (6.5.2) y( k) = Cx( k) + Du( k) + v( k) där alla signaler antas ha väntevärdet noll samt störningsegenskaperna E[ w( k) w ( k )] = R w, E[ v( k) v ( k )] = R v, E[ v( k) w ( k )] = R vw (6.5.3) Om D 0, kan man vid beräkningen av u ( k) i regleralgoritmen inte utnyttja y ( k). Detta betyder att < k måste användas vid beräkningen av skattningen xˆ( k ). Även om D 0, är det tänkbart att y ( k) inte kan användas ifall beräkningstiden är lång. = I praktiken kan = k 1 alltid användas. Det predikterande Kalmanfiltret har då formen p ( ) xˆ( k+ 1 k) = Fxˆ( k k 1) + Gu( k) + H ( k) y( k) Cxˆ( k k 1) Du ( k) (6.5.4) där H p ( k) avgör hur mycket den nya information som y ( k ) ger skall beaktas. I det följande skall vi härleda ett optimalt H p ( k) som minimerar estimeringsfelet kovarians. 6. Reglering av stokastiska system 6 26
27 6.5.2 Predikterande Kalmanfilter Prediktionsfelets kovariansmatris För prediktionsfelet δ x( k + 1 k) = x( k+ 1) x ˆ( k + 1 k) kan vi genom insättning av modellen (6.5.2) och Kalmanfiltret (6.5.4) härleda δ x( k+ 1 k) = Fδx( k k 1) + w( k) Hp ( k) ( Cδx( k k 1) + v( k) ) (6.5.5) = ( F Hp( k) C) δ x( k k 1) + w( k) Hp( k) v( k) Här är w ( k) och v ( k) okorrelerade med δ x ( k k 1). För prediktionsfelets kovariansmatris där R w, P( k + 1 k) E[ δx( k+ 1 k) δx ( k+ 1 k)] fås då p p w p v p p vw vw p P( k + 1 k) = ( F H ( k) C) P( k k 1)( F H ( k) C) R v och + R + H ( k) R H ( k) H ( k) R R H ( k) R vw insatts i enlighet med (6.5.3). Ekvation (6.5.6) är kvadratisk m.a.p. H p ( k), vilket vi skall utnyttja för att genom kvadratkomplettering hitta den lösning som minimerar varianserna i P ( k+ 1 k). (6.5.6) 6.5 Kalmanfilter 6 27
28 6.5.2 Predikterande Kalmanfilter Den optimala lösningen Vi försöker skriva (6.5.6) på formen P( k+ 1 k) = ( H ( k) X) Y( H ( k) X) + Z (6.5.7) p så att Z är oberoende av H p ( k). Det är då klart att Hp ( k ) = X minimerar ( k+ 1 k ) Eftersom (6.5.7) innehåller termen p 6.5 Kalmanfilter 6 28 p p H ( k) YH ( k) är det klart från (6.5.6) att P. Y = CP( k k 1) C + R v (6.5.8) Vidare innehåller (6.5.7) termerna H p ( k) YX och XYH p ( k). Från (6.5.6) fås då XY = FP( k k 1) C + R vw (6.5.9) som ger X och därmed också det optimala H p ( k). Resultatet är som vidare ger p 1 vw v ( k ) ( ( k k 1) )( ( k k H = FP C + R CP 1) C + R ) (6.5.10) w p v p P( k+ 1 k) = FP( k k 1) F + R H ( k)( CP( k k 1) C + R ) H ( k) (6.5.11)
29 6.5.2 Predikterande Kalmanfilter Stationär lösning Vi noterar att (6.5.10) och (6.5.11) inte är beroende av mätdata y ( k) eller de tillståndsprediktioner som (6.5.4) ger, endast av modellparametrar och störningarnas statistiska egenkaper. Därmed kan matriserna H p ( k) och P ( k+ 1 k ) beräknas rekursivt enligt (6.5.10) och (6.5.11) oberoende av själva tillståndsestimeringen. När k erhålles då en stationär lösning. Som startvärden för den rekursiva beräkningen kan användas xˆ(0 1) = E x(0) = 0, (0 1) E[ (0) (0)] P = x x = R w (6.5.12) Den stationära förstärknings- och kovariansmatrisen H p resp. P p fås också ur 1 p = ( p + vw )( p + v ) H FPC R CPC R (6.5.13) p = p + w p( p + v) p P FP F R H CP C R H (6.5.14) Förstärkningsmatrisen H kan då användas i stället för p ( k) p H i (6.5.4). 6.5 Kalmanfilter 6 29
30 6.5 Kalmanfilter Filtrerande Kalmanfilter Ifall D= 0 i den tidsdiskreta modellen finns det ingen direkt koppling mellan u ( k) och y ( k) systemet är strikt propert. Om styrsignalen kan beräknas snabbt, så att den kan implementeras omedelbart efter en sampling, är det rimligt att utnyttja information om y ( k) när u ( k) beräknas (ifall denna information då är tillgänglig). Av detta följer att man för tillståndsestimering då också bör utnyttja information om y ( k) när x ( k) estimeras, dvs ett Kalmanfilter som filtrerar. Ett filtrerande Kalmanfilter får då formen (6.5.15) f ( ) xˆ( k k) = Fxˆ( k 1 k 1) + Gu( k 1) + H ( k) y( k) CFxˆ( k 1 k 1) CGu ( k 1) där matrisen H f ( k) avgör hur mycket den nya informationen i y ( k ) skall beaktas. Märk att H f ( k), precis som H p ( k) i (6.5.4), återkopplar estimeringsfelet y( k) y ˆ( k). Här har vi yˆ( k) = Cxˆ( k k) = C( Fxˆ( k 1 k 1) + Gu ( k 1)) (6.5.16) 6. Reglering av stokastiska system 6 30
31 6.5.3 Filtrerande Kalmanfilter Filtreringsfelets kovariansmatris För filtreringsfelet δ x( k k) = x( k) x ˆ( k k) fås med hjälp av modellen och (6.5.15) f ( ) δ x( k k) = Fδx( k 1 k 1) + w( k 1) H ( k) CFδx( k 1 k 1) + v( k) + Cw ( k 1) = ( I H ( k) C) Fδ x( k 1 k 1) + ( I H ( k) C) w( k 1) H ( k) v ( k) (6.5.17) f f f Här är w ( k 1) och v ( k) okorrelerade med δ x ( k 1 k 1) fås då för filtreringssfelets kovariansmatris f. Om P( k k) E[ δx( k k) δx ( k k)] f f w f f v f P( k k) = ( I H ( k) C) FP( k 1 k 1) F ( I H ( k) C) + ( I H ( k) C) R ( I H ( k) C) + H ( k) R H ( k) 6.5 Kalmanfilter 6 31 E[ v( k) w ( k 1)] = 0 Detta uttryck är aningen otrevligt. Vi har inte direkt bevisat det, men det är klart att som ger xˆ( k k 1) = E[ x( k k 1)] = E[ Fx( k 1 k 1) + Gu( k 1) + w( k 1)] = Fxˆ( k 1 k 1) + Gu( k 1) (6.5.18) (6.5.19) δ x( k k 1) = x( k) xˆ ( k k 1) = = Fδ x( k 1 k 1) + w( k 1) (6.5.20)
32 6.5.3 Filtrerande Kalmanfilter Sambandet mellan prediktionsfelets och filtreringsfelets kovariansmatriser blir då med vars hjälp (6.5.18) kan förenklas till 6.5 Kalmanfilter 6 32 P( k k 1) = FP( k 1 k 1) F + R w (6.5.21) f f f f P( k k) = ( I H ( k) C) FP( k k 1) F ( I H ( k) C) + H ( k) RvH ( k) (6.5.22) Den optimala lösningen Precis som tidigare kan vi genom kvadratkomplettering finna den optimala lösningen 1 f ( k ) ( k k 1) ( ( k k H = P C CP 1) C + R v ) (6.5.23) Uttrycket för kovariansmatrisen kan förenklas till P( k k) = ( I H ( k) C) P ( k k 1) (6.5.24) f Det filtrerade estimatet x ˆ( k k) och matrisen H f ( k) kan bestämmas rekursivt med hjälp av (6.5.15), (6.5.21), (6.5.23) och (6.5.24) för k = 1, 2, Som startvärden kan användas xˆ(0 0) = E x(0) = 0, P(0 0) = E[ x(0)( x (0)] = R w (6.5.25)
33 6.5.3 Filtrerande Kalmanfilter Stationär lösning När k i den rekursiva beräkningen närmar man sig den stationära lösningen. De stationära förstärknings- och kovariansmatriserna H f, P f och P p fås också ur 1 f p ( p ) H = P C CP C + R v (6.5.26) P = ( I H C) P (6.5.27) f f p p = f + w P FP F R (6.5.28) Förstärkningsmatrisen H kan nu användas i stället för f ( k) f H i (6.5.4). 6.5 Kalmanfilter 6 33
34 6.5 Kalmanfilter Kombinerad prediktiv och filtrerande skattning Såsom ovan märktes kan vi arrangera beräkningarna för det filtrerande Kalmanfiltret så att vi erhåller kovariansmatrisen för det predikterande Kalmanfiltret på köpet. Det är intressant att notera att vi även kan beräkna den filtrerande skattningen av x ( k) så att vi utan extra besvär också erhåller den predikterande skattningen. Vi definierar prediktionsfelet av utsignalen som δ y( k k 1) = y( k) yˆ( k k 1) = y( k) Cx ˆ( k k 1) (6.5.29) Detta prediktionsfel kallas innovationen vid tidpunkten k eftersom det kan tolkas som den genuint nya information som erhållits. Om D= 0 fås med beaktande av (6.5.19) för det stationära fallet xˆ( k k 1) = Fxˆ( k 1 k 1) + Gu ( k 1) (6.5.30) xˆ( k k) = xˆ( k k 1) + H δ y ( k k 1) (6.5.31) Om en filtrerande skattning är möjlig erhåller vi således också den predikterande skattningen med dessa ekvationer. Märk att endast H behöver bestämmas, inte H. 6. Reglering av stokastiska system 6 34 f f p
35 6.5 Kalmanfilter Val av Kalmanfilter Det torde vara uppenbart att man skall välja ett filtrerande Kalmanfilter framom ett predikterande ifall detta är möjligt. Man utnyttjar ju då också den senaste mätningen y ( k) vid skattningen av x ( k) och beräkningen av reglersignalen u ( k). Jämförelse av förlustfunktioner För LQG-reglering är det avgörande dock förlustfunktionens värde. Låt J p och J f beteckna förlustfunktionens (6.4.6) värde vid användning av ett predikterande resp. filtrerande Kalmanfilter. Då gäller (vilket vi dock inte bevisar) J = tr( SR ) + tr( K G SFP ) (6.5.32) Av (6.5.26) och (6.5.27) följer att p f w 6. Reglering av stokastiska system 6 35 p J = tr( SR ) + tr( K G SFP ) (6.5.33) w 1 p f p p v p P P = P C ( CP C + R ) CP > 0 (6.5.34) där > betecknar positivt definit. P p är m.a.o. alltid större än P f. Av detta följer J > J. också att p f f
36 6.5.5 Val av Kalmanfilter Vi skall med följande exempel illustrera skillnaden mellan de två typerna av Kalmanfilter när de används tillsammans med en LQG-regulator. 4Exempel LQG-reglering med Kalmanfilter. Vi betraktar samma system med samma förlustfunktion som i de tidigare exemplen i detta kapitel. Ekvationerna (6.5.26) (6.5.28) ger f p p 1 H = P 1(1 P 1+ 1), P f = (1 H f 1) P p, Pp = 0,9 Pf 0,9 + 1 som har lösningen H f = 0,60, P f = 0,60, P p = 1, 48. Vi ser att skattningsfelets varians är mycket högre för det predikterande Kalmanfiltret än för det filtrerande. LQG-regulatorns förstärkning är oberoende av filtertypen. Enligt (6.4.8) och (6.4.9) fås 1 K = (2 S ) 2 S 0,9, S = 0,9 S (0,9 2 K) + 1 som har lösningen K = 0,19, S = 1, Kalmanfilter 6 36
37 6.5.5 Val av Kalmanfilter Förlustfunktionens värde för det predikterande resp. filtrerande Kalmanfiltret blir enligt (6.5.32) och (6.5.33) J p = 1, ,958 2,82 J f = 1, ,386 2,25 Vi ser att vi med ett filtrerande Kalmanfilter får något bättre resultat än vad direkt återkoppling av mätvärdet gav i exempel ( J = 2, 28) medan det predikterande Kalmanfiltret ger ett klart sämre resultat. Vidstående figur visar reglerresultatet med användning av ett filtrerande Kalmanfilter Kalmanfilter 6 37
38 6.5.5 Val av Kalmanfilter Robusthet En viktig fråga är LQG-regulatorns robusthet mot modellfel. 4Exempel Illustration av LQG-regulatorns robusthet. I vidstående figur är förlustfunktionen uppritad som funktion av en processparameter B (1,1) för 1. LQG-regulator med prediktion 2. LQG-regulator med filtrering 3. PI-regulator Parameterns nominella värde är 0, 2, för vilket regulatorerna ställts in. Vi noterar att 1. Den predikterande LQG-regulatorn är klart sämst och känslig för parametervariationer. 2. Den filtrerande LQG-regulatorn är bäst vid nominella värdet men känslig för en minskning av parameterns absoluta värde. 3. PI-regulatorn är ganska bra och inte speciellt känslig för parametervariationer Kalmanfilter 6 38
6. Reglering av stokastiska system
6 Reglering av stokastiska system Vi har hittills använt deterministiska modeller, inklusive deterministiska störningar, såsom steg, ramper och sinussignaler som inte varierar slumpmässigt I praktiken
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11
Föreläsningar / 5 TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs mer2.1 Mikromodul: stokastiska processer
2. Mikromodul: stokastiska processer 9 2. Mikromodul: stokastiska processer 2.. Stokastiska variabler En stokastiskt variabel X beskrivs av dess täthetsfunktion p X (x), vars viktigaste egenskaper sammanfattas
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10
TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merReglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av Föreläsning 3 2(19) Kovariansfunktion: Spektrum: R u (τ) = Eu(t)u(t τ)
Läs mer8.3 Variabeltransformationer Frånkoppling. Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen (8.3.1)
8.3 Variabeltransformationer Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen y () s G () s G () s u () s 1 11 12 1 y2() s = G21() s G22() s u2() s (8.3.1) Figuren till höger visar ett blockschema över
Läs merTSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 1 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: TSRT09 Reglerteori Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Daniel Axehill Reglerteknik,
Läs merReglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 4 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: R u (τ) = Eu(t)u(t τ) T Spektrum: Storleksmått: Vitt brus: Φ u (ω) =
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merReglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 3 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 2 Det mesta av teorin för envariabla linjära system generaliseras lätt till ervariabla (era
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av föreläsning 11 Återkoppling av skattade tillstånd Integralverkan Återblick på kursen Sammanfattning föreläsning 11 2 Tillstånden innehåller
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT6) 216-1-15 1. (a) Känslighetsfunktionen S(iω) beskriver hur systemstörningar och modellfel påverkar utsignalen från det återkopplade systemet. Oftast
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merA. Stationära felet blir 0. B. Stationära felet blir 10 %. C. Man kan inte avgöra vad stationära felet blir enbart med hjälp av polerna.
Man använder en observatör för att skatta tillståndsvariablerna i ett system, och återkopplar sedan från det skattade tillståndet. Hur påverkas slutna systemets överföringsfunktion om man gör observatören
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av föreläsning 11 Integralverkan Återkoppling av skattade tillstånd Återblick på kursen LABFLYTT! 2 PGA felbokning datorsal så måste ett
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2
Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merTSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC. Föreläsning 6. Sammanfattning av föreläsning 5: LQG. Föreläsning 6: LQ-reglering
Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC TSRT9 Reglerteori Föreläsning 6: LQ-reglering Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet RGA mäter
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merSystemteknik/Processreglering F6
Systemteknik/Processreglering F6 Linjärisering Återkopplade system ett exempel Läsanvisning: Process Control: 5.5, 6.1 Jämviktspunkter Olinjär process på tillståndsform: dx = f (x, u) dt y = (x, u) Processens
Läs merStokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs merLösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT07 Tentamensdatum: Martin Enqvist
ösningar till tentamen i Industriell reglerteknik TSRT7 Tentamensdatum: 28-3-2 Martin Enqvist a) Z-transformering av sambanden som beskriver den tidsdiskreta regulatorn ger Iz) = KT Sz T i z ) Ez) = Kz
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merParameterskattning i linjära dynamiska modeller. Kap 12
Parameterskattning i linjära dynamiska modeller Kap 12 Grundläggande ansats Antag (samplade) mätdata (y och u)från ett system har insamlats. Givet en modell M(t, θ) och mätdata, hitta det θ som ger en
Läs merFöreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 9 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 30 september 2013 Tillståndsåterkoppling Antag att vi återkopplar ett system med hjälp av u
Läs mer5B Portföljteori och riskvärdering
B7 - Portföljteori och riskvärdering Laboration Farid Bonawiede - 89-09 Alexandre Messo - 89-77 - Beräkning av den effektiva fronten för en portfölj Uppgiften går ut på att beräkna de portföljer som ger
Läs merLösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL
Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL000/EL00/EL20 20-0-3 a. Överföringsfunktionen från u(t) till y(t) ges av Utsignalen ges av G(s) = y(t) = G(iω) A sin(ωt + ϕ + arg G(iω)) = 2 sin(2t). Identifierar
Läs merReglerteori. Föreläsning 5. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 5 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av Föreläsning 4 Kalmanlter Optimal observatör Kräver stokastisk modell av störningarna Kräver lösning av
Läs merReglerteori. Föreläsning 11. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 11 Torkel Glad Föreläsning 11 Torkel Glad Februari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 10. Fasplan Linjärisering av ẋ = f(x) kring jämviktspunkt x o, (f(x o ) = 0) f 1 x 1...
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D
TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D SAL: TER3 TID: 8 augusti 8, klockan 8-3 KURS: TSRT, Reglerteknik Y/D PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 6 ANTAL SIDOR PÅ TENTAMEN (INKLUSIVE FÖRSÄTTSBLAD): 6 ANSVARIG
Läs merFöreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta
Läs merFöreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system
Föreläsning 14-16, Tillståndsmodeller för kontinuerliga system Reglerteknik, IE1304 1 / 50 Innehåll Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 1 Kapitel 141 Introduktion till tillståndsmodeller 2
Läs merReglerteknik Z / Bt/I/Kf/F
Reglerteknik Z / Bt/I/Kf/F Kurskod: SSY 050, ERE 080, ERE 091 Tentamen 2007-05-29 Tid: 8:30-12:30, Lokal: M-huset Lärare: Knut Åkesson tel 3717, 0701-74 95 25 Tentamen omfattar 25 poäng, där betyg tre
Läs merTSRT62 Modellbygge & Simulering
TSRT62 Modellbygge & Simulering Föreläsning 4 Christian Lyzell Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 1
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merBlandade problem från elektro- och datateknik
Blandade problem från elektro- och datateknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-10) E1. En viss typ av elektroniska komponenter anses ha exponentialfördelade livslängder. Efter 3000 timmar brukar 90 % av komponenterna
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK, FRT Tentamen januari 27 kl 8 3 Poängberäkning och betygssättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt
Läs merReglerteknik I: F10. Tillståndsåterkoppling med observatörer. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
Reglerteknik I: F10 Tillståndsåterkoppling med observatörer Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 14 2 / 14 F9: Frågestund F9: Frågestund 1) När ett system är observerbart då
Läs merSamplingfördelningar 1
Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Anna Lindgren 25 november 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/17 Matematisk statistik slumpens matematik
Läs merStokastiska signaler. Mediesignaler
Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer
Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F5: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z
Läs merTENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 20 oktober 20, kl. 4.00-7.00 Plats: Gimogatan 4, sal Ansvarig lärare: jartan Halvorsen, kommer och svarar på frågor ungefär kl 5.30. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merWienerfiltrering. Martin Enqvist och Markus Gerdin. Reglerteknik och kommunikationssystem Linköpings universitet. Wienerfiltrering
1 Martin Enqvist och Markus Gerdin Reglerteknik och kommunikationssystem Linköpings universitet Repetition, spektralfaktorisering 2 Vi har en stationär stokastisk process y i,
Läs merLösningsförslag TSRT09 Reglerteori
Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 6-8-3. (a Korrekt hopparning: (-C: Uppgiften som beskrivs är en typisk användning av sensorfusion, där Kalmanfiltret är användbart. (-D: Vanlig användning av Lyapunovfunktioner.
Läs merLösningsförslag TSRT09 Reglerteori
Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 8-8-8. (a) RGA(G()) = med y. ( ), dvs, vi bör para ihop u med y och u s+ (b) Underdeterminanter till systemet är (s+)(s+3), s+, s+3, s+, s (s+)(s+)(s+3). MGN är p(s) =
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning av förra föreläsningen H(s) W(s) 2 R(s)
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs merFigure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)
Övning 9 Introduktion Varmt välkomna till nionde övningen i Reglerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se Repetition Känslighetsfunktionen y ref + e u F (s) G(s) v + + y Figure : Blockdiagram Känslighetsfunktionen
Läs mer2. Reglertekniska grunder
2.1 Signaler och system 2.1 Signaler och system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende utsignaler, som beskriver dess beteende Beroende på sammanhanget
Läs merIndustriell reglerteknik: Föreläsning 2
Industriell reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar 1 / 33 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande
Läs merJörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 7
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel
Läs merTSIU61: Reglerteknik
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 11 Tidsdiskret implementering Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 17 Innehåll föreläsning 11 ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik M Föreläsning 9 Sammanfattning av föreläsning 8 Prestandabegränsningar Robusthet Mer generell återkopplingsstruktur Sammanfattning föreläsning 8 2 F(s) Lead-lag design:
Läs merFMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, a 2 e x2 /a 2, x > 0 där a antas vara 0.6.
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, 28-4-6 EXEMPEL (max och min): Ett instrument består av tre komponenter.
Läs merLKT325/LMA521: Faktorförsök
Föreläsning 2 Innehåll Referensfördelning Referensintervall Skatta variansen 1 Flera mätningar i varje grupp. 2 Antag att vissa eekter inte existerar 3 Normalfördelningspapper Referensfördelning Hittills
Läs merKovarians och kriging
Kovarians och kriging Bengt Ringnér November 2, 2007 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet vid LTH. 2 Kovarianser Sedan tidigare har vi, för oberoende X och Y, att VX + Y ) = VX)
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT12 för Y3 och D3. Lycka till!
TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT2 för Y3 och D3 TID: 7 mars 25, klockan 4-9. ANSVARIGA LÄRARE: Mikael Norrlöf, tel 28 27 4, Anna Hagenblad, tel 28 44 74 TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik,
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse
Läs merFöreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik
Föreläsning 7 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 26 september 2013 Introduktion Förra gången: Känslighet och robusthet Dagens program: Repetion
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs mer5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Metoder för problem utan bivillkor, forts.
5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 5 Metoder för problem utan bivillkor, forts. A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 5 5B1817 2006/2007 Lösningar För en given metod blir en lösning den bästa
Läs merAUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 2. Här är
Martin Enqvist Återkoppling, PID-reglering, specifikationer Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(21) Exempel: Farthållare i en bil 4(21) Välj
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merTENTAMEN I TSRT91 REGLERTEKNIK
SAL: TER2 TENTAMEN I TSRT9 REGLERTEKNIK TID: 29-4-23 kl. 4: 9: KURS: TSRT9 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Martin Enqvist, tel. 3-28393 BESÖKER SALEN: cirka
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs merIndustriell reglerteknik: Föreläsning 6
Föreläsningar 1 / 15 Industriell reglerteknik: Föreläsning 6 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet 1 Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet. 2 Grundläggande
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )
Läs merREGLERTEKNIK Laboration 5
6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum,
Läs merOberoende stokastiska variabler
Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen
Läs merLaboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall
Läs merTENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT03, TSRT19
TENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT3, TSRT9 TID: 23 april 29, klockan 4-9 KURS: TSRT3, TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 7-339 BESÖKER SALEN: 5.3, 7.3 KURSADMINISTRATÖR:
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 5
TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 5 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Föreläsningar / 23 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 216-8-19 Sal (1) (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som
Läs merTAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning
TAMS79: Föreläsning 6 Normalfördelningen Johan Thim (johan.thim@liu.se 3 november 018 Normalfördelning Definition. Låt µ R och > 0. Om X är en stokastisk variabel med täthetsfunktion f X ( = 1 ( ep ( µ,
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merVälkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3 Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi modellerar system
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag Jörgen Säve-Söderbergh Väntevärde för en funktion av en stokastisk variabel Om
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 3 (2/4) ˆ PID-reglering. ˆ Specifikationer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 3.
TSIU6 Föreläsning 4 Gustaf Hendeby HT 207 / 22 Innehåll föreläsning 4 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 4 PID-reglering Specifikationer Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se ˆ Sammanfattning av föreläsning
Läs merTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 0 Tid: måndag 8 Maj 0, kl 4-9 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel 070-674590. Bengt kommer till tentasalen ca kl 6 och besvarar ev frågor.
Läs merProjekt 1 (P1) Problembeskrivning och uppdragsspecifikation
Projekt 1 (P1) Problembeskrivning och uppdragsspecifikation Etapp 1 Problem med mätsignalen m.a.p. sampling, vikning och spektraltäthet Problembeskrivning Uppdragsgivaren överväger att skaffa nya A/D-omvandlare
Läs mer