Prognoser av ekonomiska tidsserier med säsongsmönster

Transkript

1 Uppsala universie Saisiska Insiuionen C-uppsas i Saisik Handledare: Johan Lyhagen Prognoser av ekonomiska idsserier med säsongsmönser - En empirisk meodjämförelse Eliza Leja Jonahan Sråle

2 Sammanfaning I denna uppsas har olika meoder för a göra prognoser för ekonomiska idsserier med säsongsmönser jämförs och uvärderas. Frågan som undersökningen har kresa kring är: Vilken meod är bäs lämpad för a göra prognoser av idsserier med säsongsmönser? De meoder som jämförs är säsongsrensningsmeoderna Census II och TRAMO/SEATS, säsongsmodellerna SARIMA och ARIMA med dummyvariabler för säsong sam en meod där medelvärdena från de fyra försa meoderna används som prognoser. För a genomföra undersökningen har dessa meoder illämpas på fyra ekonomiska idsserier, nämligen: konsumion, BNP, expor sam byggsarer. Resulae från undersökningen är a säsongsmodellerna är bäs för konsumionsserien, säsongsrensningsmeoderna är bäs för BNP- och exporserien och den ena säsongsmodellen (SARIMA) är bäs för byggsarsserien medan den andra (ARIMA-dummy) är den sämsa. Val av prognosmeod beror med andra ord på vilken serie som ska prognosiseras. Nyckelord: Säsongsrensning, Census II, X-12, TRAMO/SEATS, SARIMA, ARIMA, Säsongsdummys, Prognoser

3 Innehållsföreckning 1. Inledning Teoreisk ramverk Säsongsmönser och klassisk nedbryning av en idsserie Säsongsrensning Flyande medelvärden Census II meoden TRAMO/SEATS Fördelar och nackdelar med Census II och TRAMO/SEATS Säsongsmodellering ARIMA modeller ARIMA med dummy-variabler Prognoser Prognoser med säsongsrensad daa Prognoser med ARIMA modeller Prognoser med differenierad daa Prognoser med hjälp av en kombinaion av flera modeller Uvärdering av prognoser Empirisk undersökning Använda daa Meod Resula och analys Skaade modeller Felmå för prognoserna Analys Slusaser Källföreckning Ariklar Böcker Hemsidor Daabaser Appendix... 41

4 6.1. Korrelogram Ursprunglig daa Säsongsrensad daa, X-12 meoden Säsongsrensad daa, TRAMO/SEATS meoden Felmå av prognoser Odifferenierade prognoser Resula av modellanpassning Säsongsrensad daa, X-12 meoden Säsongsrensad daa, TRAMO/SEATS meoden ARIMA säsongsmodellering ARIMA säsongsmodellering med dummy-variabler... 51

5 1. Inledning I idsserieanalys anses de ofa a e vikig sluresula är förmågan a kunna göra räffsäkra prognoser om framida händelser. Dea illsammans med de fakum a många vikiga ekonomiska idsserier har ydliga säsongsmönser har le ill a en mängd meoder för a anpassa modeller ill idsserier med säsongsmönser har uvecklas genom åren. Den klassiska meoden har vari a rensa bor säsongsdelen av idsserien, göra prognoser på den säsongsrensade serien och sedan lägga illbaka den specifika säsongseffeken. Vanliga meoder för säsongsrensning har vari den så kallade Census II meoden och den kombinerade TRAMO/SEATS-meoden. En annan anfallsvinkel som har blivi all vanligare är a inkludera säsongsmönsre direk i modellen. Den vanligase modellen för dea är en ARIMA modell med säsong (SARIMA), vilken baseras på Box-Jenkins meoden för modellbyggande. E anna vanlig sä för a definiera säsongsvariaionen är a inkludera dummyvariabler för säsongen i en ARIMA modell. Med hjälp av dessa modeller kan sedan prognoser göras. På senare år har även möjligheen a använda medelvärden av flera prognoser för a minska felmarginalen av den slugiliga prognosen undersöks. I denna uppsas uvärderas de ovan nämnda meoderna, inklusive medelvärdesmeoden, och sedan jämförs de med avseende på hur precisa prognoser de genererar. Frågesällningen som kommer a besvaras är med andra ord: Vilken meod är bäs lämpad för a göra prognoser av idsserier med säsongsmönser? För a genomföra denna uvärdering används fyra ekonomiska idsserier. Dessa idsserier är kvaralsdaa för svensk BNP, kvaralsdaa för svensk expor, månadsdaa för privakonsumion sam kvaralsdaa för sarade bosadsbyggen. Dessa serier väljs dels därför a de visar olika grader av säsongsmönser men även för a de är vikiga serier för lande som helhe. A jämföra prognosmeoder för dessa serier är därför även inressan ur e sörre perspekiv. Däruöver så ger dessa serier möjligheen a jämföra behandling av makrodaa (dvs. BNP- och exporserien) och mikrodaa (byggsarer- och konsumionsserien). Slusasen av undersökningen är a val av meod beror på vilken yp av serie man vill göra prognoser för. När de kommer ill konsumionsserien var säsongsmodellerna bäs lämpade medan säsongsrensningsmeoderna var bäs lämpade för BNP och exporserien. För byggsarsserien var en säsongsmodell (SARIMA) de bäsa alernaive medan den andra säsongsmodellen var de sämsa (ARIMA-dummy). Den huvudsakliga anledningen ill dea resula ros vara hur avancera säsongsmönsre är. 3

6 Mycke forskning på område har gjors, exempelvis Plosser (1978), Lenen & Imad (2000) och Makridakis & Winkler (1983). Den generella slusasen i forskningen är a säsongsrensning bör undvikas om fokus ligger på a göra prognoser. De begränsningar som säs på denna uppsas är a fokus enbar kommer ligga på de beskrivna meoderna, dvs. Census II, TRAMO/SEATS, SARIMA, ARIMA med dummyvariabler sam medelvärdesmeoden. Uöver dessa finns de en mängd andra prognosmeoder och behandlingsmeoder för säsong, ine mins om man vill ge sig in i den Bayesianska sidan av saisik, men fokus kommer isälle a läggas på de vanligase meoderna för behandling av säsongsmönser. Reserande del av uppsasen är uppdelad på följande vis. Förs beskrivs eorin kring säsongsmönser, säsongsrensningsmeoder, säsongsmodellering sam prognoser både generell och specifik för de olika meoderna för behandling av säsongsmönser. Därefer beskrivs de idsserier som används i denna uppsas och den i uppsasen använda meoden. Dea följs av resula och analys av undersökningen. Uppsasen avrundas sluligen med en slusasdel. 4

7 2. Teoreisk ramverk 2.1. Säsongsmönser och klassisk nedbryning av en idsserie När de praas om säsongsmönser syfas de vanligvis på åerkommande och liknande avvikelser från en idsseries rend som upprepas vid samma idpunker på en besämd idshorison. Denna idshorison är ofa på årsbasis men andra idshorisoner som månader eller ill och med dygn förekommer också. Många olika definiioner med mindre avvikelser har dock använs genom åren (Lenen & Imad, 2000). Genomgående anas de dock a idsserien Y kan bryas ned i olika komponener. Vad som vanligvis anas är a idsserien har en säsongskomponen S, en rendkomponen T, en cykelkomponen C, sam en oregelbunden komponen I, vilken fångar upp reserande effeker på idsseriens rörelse sam slumpmässiga rörelser (Newbold e al, 2007, s. 726). När fokus ligger på säsongsmönsre i serien behandlas ofa rend- och cykelkomponenen som en och samma, vilke även kommer a göras i denna uppsas och den kombinerade rendoch cykelkomponenen kommer a få beeckningen T (Jadiz, 1994). När de kommer ill hur dessa komponener samverkar i idsserien finns de vå vanliga anaganden. Aningen anas en muliplikaiv eller en addiiv modell. I en muliplikaiv modell kommer produken av komponenerna a ugöra idsserien, vilke kan ses nedan i ekvaion (1) Y S T I (1) I en addiiv modell besår idsserien å andra sidan av summan av komponenerna: Y S T I (2) (Newbold e al, 2007, p. 726) Uöver dea går de även a skilja på deerminisiska och sokasiska säsongsmönser. Vanligvis så urskiljs de vå yperna av säsongsmönser basera på om säsongsmönsre är konsan eller ändras över iden. Om de är konsan kan man ana e deerminisisk säsongsmönser medan en förändring över iden pekar mo e sokasisk säsongsmönser. När de kommer ill modelleringen av säsongsmönsre är den sörsa skillnaden a modellering av sokasiska mönser lägger mer fokus på senare idpunker, medan en deerminisisk modellering lägger vik även på idpunker lång idigare i idsserien. (Harvey, 1993, ss ) 5

8 2.2. Säsongsrensning E sä a behandla säsongsmönser i en idsserie är a genomföra en säsongsrensning. Dea är en process där säsongskomponenen as bor ifrån daaserien så a endas rend- och cykelkomponenen sam den oregelbundna komponenen lämnas kvar i idsserien. En säsongsrensning jämnar u serien och gör de läare a med de bloa öga se hur renden och cyklerna beer sig i idsserien. (Jadiz, 1994) För a uföra en säsongsrensning finns de en mängd meoder a välja mellan men vå av de absolu vanligase meoderna är Census II sam en kombinerad meod med namn TRAMO/SEATS, vilka kommer a redogöras för nedan Flyande medelvärden Grunden i Census II meoden är a säsongsrensningen genomförs med hjälp av e fleral filer av flyande medelvärden (Cleveland & Tiao, 1976). För a förså Census II meoden måse man därför förs ha försåelse för hur flyande medelvärden fungerar. Grundidén med flyande medelvärden är a för varje punk i serien beräknas e medelvärde av den punken sam dess näraliggande punker. Vid e 5-ermers flyande medelvärde beräknas ill exempel e medelvärde för varje punk och de vå punkerna före och efer punken i fråga. Den generella formeln för flyande medelvärden ges av:, x * 1 2m 1 m j m w x j j (3) Där m är hur många seg före och efer den observerade punken som ska inkluderas. Vid e 5-ermers flyande medelvärde blir m = 2. Uöver dea kan dock olika viker illdelas olika punker, vilke beecknas i formeln. Mienobservaionen kanske anses vara vikigare än de omkringliggande observaionerna. Dea kan exempelvis göras genom a säa en våa framför mienobservaionen och låa de andra observaionerna så kvar som de är. Huvudsaken är dock a varje punk ersäs av medelvärden av flera punker vilke gör a den nya serien blir jämnare än den ursprungliga. Däruöver kommer den nya serien a ha färre punker i och med a meoden kräver a de finns m värden omkring en punk. Således saknas de medelvärden för de m försa och m sisa värdena i serien och den nya serien innehåller 2m färre värden änden ursprungliga. (Newbold, e al, 2007, ss ) 6

9 Census II meoden Census II-meoden är e resula av en koninuerlig uveckling av säsongsresningsmeoder uförd på uppdrag av Bureau of he Census, enheen för insamling och sammansällning av saisik i U.S.A. Olika varianer har framarbeas genom åren, där den så kallade X-11 varianen har vari den mes använda genom åren. Före X-11 har io andra varianer funnis, vardera med namne X-10, X-9, X-8 osv. Den försa varianen baserades på forskning kring kvo-ill-flyande-medelvärden meoder gjord av Frederick R. Macaulay under 1920-ale. X- 11 varianen ersae X-9 och X-10 meoden år 1965.(Shiskin e al, 1967) Därefer har även X- 12 meoden uvecklas, vilken är den varian som används idag. Skillnaderna mellan X-11 och X-12 varianerna är främs när de kommer ill diagnosik av säsongsrensningen och a fler valmöjligheer när de kommer ill de olika filer som används i säsongsrensningen är sörre. (Findley e al, 1998) Däruöver finns även valmöjligheen a a bor inverkan av diverse förklarande variabler, som man på förhand känner ill, innan säsongsrensningen genomförs. (Makridakis e al, 1998, s. 119) Grunderna i säsongsrensningen är dock likarade för X-11 och X-12 (Findley e al, 1998). Uöver enbar X-11 och X-12 varianerna finns de även X-11- ARIMA och X-12-ARIMA varianer. Säsongsrensningen i dessa meoder genomförs på samma sä som i varianerna uan ARIMA-illägge men skillnaden är a ARIMA modellering används för a få bäre sluvärden av serien. (Bell e al, 1998) Försa sege i Census II meoden är a göra en iniial esimering av rend-cykel komponenen. Vid månadsdaa används e 12 månaders cenrera medelvärde och vid kvaralsdaa används e 4 kvarals cenrera medelvärde för a göra dea. Skillnaden mellan denna esimering och den ursprungliga serien blir därmed en esimering av säsongskomponenen och den oregelbundna komponenen. (Jadiz, 1994) Vid en addiiv idsserie subraheras rend-cykel komponenen bor medan den i en muliplikaiv idsserie divideras bor, så a endas säsongskomponenen och den oregelbundna komponenen åersår. (Bell & Monsell, 1992) Därefer appliceras e ill glidande medelvärdesfiler för a esimera säsongskomponenen. Dea filer är e så kalla 3 3 ermers filer vid månadsdaa. Dea innebär a e 3-ermers flyande medelvärde förs appliceras, var på e 3-ermers flyande medelvärde appliceras på serien som resuleras av de försa 3-ermers flyande medelvärde. (Makridakis e al, 1998, p. 114) Denna esimering as sedan också bor ifrån serien så a endas den oregelbundna komponenen finns kvar. (Jadiz, 1994) Yerligare e 3 3 ermers filer appliceras på denna serie för a isolera oregelbundenheen. Genom a göra dea samidig som exremvärden as 7

10 bor genom e vikningssysem kan en försa esimering av säsongskomponenen beräknas genom a dividera bor den oregelbundna fakorn från serien där rend- och cykelesimeringen är boragen. Denna säsongskomponen används sedan för a a fram en försa säsongsrensad serie genom a dividera den ursprungliga serien med den esimerade säsongskomponenen. (Makridakis e al, 1998, s. 115) För a förbära denna säsongsrensning körs denna meod en gång ill på den försa säsongsrensade serien med exak samma seg, fas denna gång med andra filer. Vid rendcykel esimeringen används e så kalla Henderson filer, av 9, 13 eller 23 ermer där anale ermer besäms av hur oregelbunden serien är. (Makridakis e al, 1998, ss ) Är de en serie med hög oregelbundenhe används e 23-ermers Henderson filer men om den är en serie med låg oregelbundenhe, dvs. en relaiv jämn serie, används e 9-ermers Henderson filer. När kvaralsdaa ska rensas används genomgående e 5-ermers Henderson filer. (Shiskin e al, 1967) Vid såväl säsongskomponensesimeringen som isoleringen av den oregelbundna fakorn används isälle för 3 3 ermers filer e 3 5 ermers filer. Appliceringen av dessa filer leder ill a en ny, mer exak, säsongsrensad serie kan beräknas. (Makridakis e al, 1998, s 117) För a förbära den säsongsrensade serien yerligare upprepas denna meod, både med den försa och andra filreringen, vå gånger ill. Sluligen kommer därför den ursprungliga serien ha gå igenom båda dessa filer serier 3 gånger. Toal appliceras 6 filerserier på den ursprungliga serien för a uppnå den slugiliga säsongsrensade serien. Exremvärdena behandlas genom a varje värde i den oregelbundna serien som blir kvar efer a rend- och cykelkomponenen och säsongskomponenen har plockas bor jämförs genom eser av sandardavvikelsen för en flyande period av fem år. Om e värde ligger mer än 2.5 sandardavvikelser från medelvärde över femårsperioden får värde viken noll, dvs. den as bor hel från serien. Om värde ligger inom spanne av 1.5 sandardavvikelser får de full vik och om värde ligger mellan 1.5 sandardavvikelser och 2.5 sandardavvikelser från medelvärde får de en vik som förändras linjär mellan 0 och 1 beroende hur många sandardavvikelser från medelvärde de speciella värde ligger. Dock kan dessa gränser skräddarsys beroende på hur serien ser u. Lägre gränser kan exempelvis vara a föredra om serien har en hög nivå av oregelbundenhe medan högre gränser kan passa bäre för serier som är jämnare. Uöver dea finns även valmöjligheen a yerligare förbära resulae 8

11 genom a a bor specifika effeker efer handelsdagar, exempelvis löningshelgen, dagarna före jul osv. vilka kan orsaka ydliga säsongsmönser. (Shiskin e al, 1967) TRAMO/SEATS TRAMO/SEATS, Time Series Regression wih ARIMA Noise, Missing Observaions and Ouliers och Signal Exracion in ARIMA Time Series, är e daorpake av vå program som 1996 uvecklades av Vicor Gomez och Augusin Maravall för illämpad saisisk analys av idsseriedaa. TRAMO/SEATS är ine endas e frisående daaprogram, uan finns även som illägg i vissa programvarupake som E-views, Modeleasy och EconDaa. ( De är främs olika saisikdaabaser och finansiella insanser, exempelvis SCB, Eurosa och Europeiska Cenralbanken, som idag använder sig av dessa program (Maravall, 2005). Som de redan framgår av namne, besår TRAMO/SEATS av vå faser. Förs förhandsrensas serien i TRAMO och själva säsongsrensningen sker sedan i SEATS. TRAMO esimerar en regressionsmodell med en slumperm som följer en generell ARIMA process och sedan görs prognoser på den anpassade modellen. Vid denna förhandsrensning idenifieras olika exremvärden och saknade värden som sedan inerpoleras och juseras. Meoden i dea seg korrigerar även för arbesdagar där hänsyn as ill effeker som exempelvis påverkan av veckoslu, högider och skodagar. (Kaiser & Maravall, 2000) Efer förhandsrensning anpassar programme en linjär regressionsmodell på formen y n ou i i i i i i 1 i 1 i 1 n c n reg ( B) d cal reg x (4) i i där dummyvariabeln d i, polynome i(b), variabeln cal i och variabeln reg i är beeckningar för posiionen av de n:e exremvärde, exremvärdes dynamiska mönser, kalendervariabeln och regressionsvariabeln. (Maravall 2006) Modell (4) ovan kan förenklas och skrivas om ill y z' x (5) 9

12 med som en vekor av regressionskoefficiener, marisen z' som beecknar regressionsvariablerna, och slumpermen x som följer en sokasisk ARIMA process. x kan skrivas som ( B ) ( B) x ( B) (6) a där B beecknar en bakåskifande operaor och a är de så kallade via bruse som anas vara oberoende. Polynome (B) beecknar enhesröer från säsongdifferenieringen, (B) innehåller saionära auoregressiva röer, och (B) är polynome för de glidande medelvärde. Dessa polynom anas vara muliplikaiva och kan skrivas på följande sä: p S SP B) (1 B... B )(1 B... B ) (7) ( 1 p 1 q S SQ B) (1 B... B )(1 B... B ) (8) ( 1 q 1 där s beecknar anale observaioner per år. (Maravall, 2005) Näsa seg i denna analys är a säsongsrensa serien genom programme SEATS. Med denna meod av säsongsrensning brys x ned ill en rendkomponen T, en cykelkomponen säsongskomponen S och en oregelbunden komponen P Q C, en I. Dessa komponener följer en linjär sokasisk process och esimeras genom de s.k. Wiener-Kolmogorov-filre som är en yp av e glidande medelvärde. Säsongdekomponeringen anar addiiv x T C S I (9) eller muliplikaiv x T C S I (10) form. Därefer kan säsongskomponenen rensas bor aningen via subrakion alernaiv dividering, beroende på om en addiiv eller muliplikaiv srukur har anagis. (Maravall, 2006) 10

13 Fördelar och nackdelar med Census II och TRAMO/SEATS Den främsa fördelen med säsongsrensningen, vilke generell gäller för alla säsongsrensningsmeoder och därav även Census II och TRAMO/SEATS, är a serien blir läare a hanera och analysera, speciell om fokus ligger på rend- och cykelkomponenen i serien. Många anser också a dessa vå komponener är de vikiga i idsserier och a säsongsvariaionen är mer e sörningsmomen. Genom a a bor säsongsvariaionen kan de exempelvis vara läare a idenifiera ekonomiska cykler, någo som kan blandas ihop med säsongsvariaion i en orensad serie. De har även påpekas a säsongsrensning gör de läare för personer med begränsad kunskap om idsserieanalys a förså och dra slusaser kring idsserien. (Jadiz, 1994) Däruöver har några undersökningar även visa a prognoser med hjälp av säsongsrensad daa kan vara mer precisa än prognoser på serier där säsongsmönsre lämnas kvar. (Lenen & Imad, 2000) Genom åren har dock e fleral nackdelar med användningen av framför all Census II meoden framhävs. Till a börja med resulerar användningen av så många flyande medelvärden i a de blir problem med juseringen av de senase daa, speciell då symmeriska flyande medelvärden används. Dea leder ill a mycke uppdaeringsarbee måse uföras all efersom ny daa illkommer samidig som de senase daapunkerna ine kan analyseras på samma sä som de hisoriska. (Moosa & Lenen, 2000) En annan nackdel är a meoden är känslig för snabba och ovänade förändringar i renden, exempelvis vid en finanskris eller liknande. När dea sker, fås skeva esimeringar av Census II-meoden. Samma säsongsmönser rensas exempelvis bor på olika sä om renderna ser olika u. Däruöver kan Census II meoden blanda ihop cykler och säsongsmönser vilke kan resulera i a e mönser som ine är e säsongsmönser uan snarare en cykel rensas bor från serien, ros a den egenligen skulle vari kvar. (Raveh, 1984) Mer därill är ransparensen och olkningsmöjligheerna dåliga i Census II-meoden då en mängd flyande medelvärdesfiler appliceras på idsserien (Moosa & Lenen, 2000). TRAMO/SEATS har främs få kriik angående dess allför jämna säsongsdekomponeringar, vilke innebär a vikig informaion som exempelvis konjunkurvariaion möjligen rensas bor. Till skillnad från Census II är dock haneringen av ine bara vanlig förekommande säsongsmönser men även andra effeker som plöslig kan förändra en idsserie en av TRAMO/SEATS fördelar. (SOU 2002:118, Finansdeparemene) 11

14 Under idens gång har fleral jämförelser av Census II och TRAMO/SEATS även uförs. Genom simuleringssudier och analys av e anal idsserier har de olika skillnaderna uvärderas och möjliga problem löss. Sörsa skillnaden mellan dessa vå meoder förekom vid skaning av kalendereffeker. Census II gav skaningar som låg väldig nära de sanna effekerna, men TRAMO/SEATS fick ågärdas för dess felakiga skaningar av kalendereffekerna. (Öhlén, 2003) 2.3. Säsongsmodellering E anna sä a behandla säsongsmönser på är a bygga in paramerar för säsongskomponenen direk i modellen. E vanlig sä a göra dea på är aningen a använda Box-Jenkins meoden för a anpassa en ARIMA modell med säsong (SARIMA), vilke beroende på idsserie kan förenklas ill en ARMA, AR eller en MA modell med säsong. E anna vanlig alernaiv är a använda säsongsdummyvariabler i en ARIMA modell ARIMA modeller En av de mes illämpade modellerna vid daa-analys och prognosisering inom idsserieanalys är en auoregressive inegraed moving average (ARIMA) process. Modellen skrivs på formen ARIMA(p,d,q) där p och q beecknar anal AR- och MA-variabler, och d är anal gånger som serien måse differenieras för a den ska uppnå saionarie. De enklase formerna av modellen som kan anpassas är en auoregressiv (AR) eller en glidande medelvärdes (MA) modell. (Vandaele, s. 51, 1983) I en AR-process uförs regression på processens idigare värden. Modellen beecknas AR(p) och kan skrivas som Y Y Y... Y e p p (11) där variabeln Y besäms av en ändlig kombinaion av föregående värden och en slumperm som innefaar variaion som ine förklaras av de idigare värdena i processen. Genom en bakåskifande operaor kan ekvaionen ovan skrivas om som 2 p ( B) 1 1 B 2B... pb (12) 12

15 och sluligen förkoras urycke ill ( B) Y e. (13) I en glidande medelvärdesmodell definieras nuvärde av Y genom en ändlig linjär kombinaion av idigare slumpermer. En sådan modell av ordningen q beecknas MA(q) och skrivs på formen Y e e e... e q q. (14) Den definierade ekvaionen för modellen i (14) kan genom den bakåskifande operaorn skrivas om som 2 p ( B) 1 1 B 2B... pb (15) och sedan förkoras ill Y ( B) (16) e I vissa fall är de omöjlig a approximera idsserier med en AR- eller en MA-process. För a uppnå en bäre anpassad modell behöver en modell med både AR- och MA-ermer införas, d.v.s. den inegrerade auoregressiva glidande medelvärdesprocessen (ARIMA) som beskrevs i början av dea avsni. En generell ARIMA process av ordningen p, d och q kan beskrivas enlig urycke ( B e (17) d B ) Y ( ) där 1 B är differenieringsoperaorn. De grundläggande vid idenifiering av en ARIMA modell är a undersöka srukuren hos processens ACF (auokorrelaionsfunkion) och PACF (pariell auokorrelaionsfunkion). Olika mönser i dessa funkioner yder på olika processer. (Cryer & Chan, ss och ss , 2008) De flesa idsserier av exempelvis kvarals- eller månadsdaa åskådliggör någon yp av säsongsvariaion. Därför är de av inresse a undersöka sambande mellan samma delar av de successiva perioderna i daa. ARIMA modellen kan vidareuvecklas för a analysera denna säsongsvariaion. (Vandaele, s. 55, 1983) 13

16 I de flesa fall uppvisar idsserier en muliplikaiv rend och därför kan generell en muliplikaiv ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s modell med säsongsperiod definieras. ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s är beeckningen för en ARIMA process med periodicie s där P och Q är anal AR- och MA-ermer, och D är anal differenieringar i säsongsdelen. Månadsdaa och kvaralsdaa har periodicie s=12 respekive s=4. En sådan modell kan beskrivas med följande uryck ( e (18) s d D s B ) ( B ) s Y ( B) ( B ) där D s s 1 B är differenieringsoperaorn för säsongsdelen i modellen. (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, s. 346, 1998) ARIMA med dummy-variabler Yerligare e klassisk sä a hanera säsongsmönser på är genom a införa så kallade säsongsdummyvariabler för a fånga upp den för säsongen specifika avvikelsen från rendcykeln. E sä a göra dea är genom a införa dem i en linjär regressionsmodell. Vanligvis benämns dea som en säsongsrensningsmeod. Vad som görs då är, i den mes enkla formen, a Y lås bero på dummyvariabler för varje säsong samidig som man uelämnar inercepermen alernaiv inkluderar den men uelämnar en säsongsdummyvariabel och låer denna säsong vara en referenssäsong. För a undvika den så kallade dummyvariabel-fällan, kan man ine inkludera både inercep-ermen och alla säsongsdummyvariabler i samma modell. I den försa varianen, uan en koefficien ser modellen u som följande när kvaralsdaa används: Y 1D1 2D2 3D3 4D4 e (19) Vilke i de generella falle kan förkoras enlig följande: Y D e (20) s i i i I falle när en inercep-erm används får modellen följande useende: Y s 1 D e (21) 0 i i i 14

17 Beroende på vilken säsong man befinner sig i kommer den dummyvariabel som är kopplad ill den specifika säsongen a ana värde 1 medan de andra kommer a ana värde 0. I de senare falle blir den uelämnade säsongen referenssäsongen. Genom a uföra -es för varje gammakoefficien går de även på dea sä a uröna om de finns en signifikan säsongsvariaion för varje enskil kvaral. Vid månadsdaa används olv dummyvariabler isälle för fyra. (Gujarai & Porer, 2009, pp ) Uöver denna enkla modell som enbar ar hänsyn ill säsongseffeker går de även a kombinera dummyvariabelmeoden med andra modeller, exempelvis Box-Jenkins meodologin med ARIMA modellering. Vad som görs är a uöver AR- och MA-ermerna i modellen inkluderas dummyvariablerna för de olika säsongerna i modellen. På dea sä fångas säsongsmönsre i processerna upp, i alla fall i eorin. (Abesinghe, 1994) En nackdel med denna meod är dock a en addiiv snarare än en muliplikaiv uppsäning av idsserien är anagen vilke gör a en anpassning enlig ovan ill en muliplikaiv idsserie kan ge skeva resula. (Gujarai & Porer, 2009, p. 295) Däruöver finns de risk för mulikollinearie i modellen, speciell om månadsdaa används, (Murray, 2006, ss ) samidig som principen av sparsamhe ( parsimony på engelska), dvs. a så enkla modeller med så sor förklaringsförmåga som möjlig skall användas, kan anyda a de blir för många variabler i en modell med dummyvariabler. (Maddison e al, 1984) 2.4. Prognoser Prognoser med säsongsrensad daa Efer a en säsongsrensning har genomförs anpassas vanligvis en ARIMA modell ill den rensade idsserien. Uifrån den anpassade modellen kan man sedan göra prognoser, vilke beskrivs mer dealjera i näsa avsni. Probleme är dock a dessa prognoser är säsongsrensade prognoser. De man hels skulle vilja är a konverera dessa prognoser illbaka ill en icke-säsongsrensad varian, dvs. lägga illbaka säsongen på någo sä. I och med den avancerade srukuren av flyande medelvärden som Census II meoden genomför i säsongsrensningen är de dock mycke svår a göra dea bakvän för a åerfå prognoserna i icke säsongsrensad form. För a kunna få en känsla för hur prognoserna skulle se u i ursprunglig form, och ine mins för a kunna jämföra prognoserna med andra prognoser, går de isälle a använda sig av de över e år 15

18 aggregerade prognoserna. För kvaralsdaa läggs alla kvaralsprognoser hel enkel ihop. Dea görs efersom denna summa är samma som summan av icke-säsongsrensade värden. På dea sä går de därför a jämföra prognoserna för TRAMO/SEATS och Census II-rensade idsserier med prognoser från icke-säsongsrensade serier. Denna meod går även a använda om man vill jämföra redan exiserande värden från en säsongsrensad serie med en ickesäsongsrensad serie. (Abeysinghe, 1994) Om man isälle vill jämföra prognoser för varje enskild idspunk går de även a uveckla aggregeringsmeoden e seg för a isälle använda sig av flyande årliga medelvärden för varje punk, vilka sedan kan jämföras direk med andra prognoser. (Plosser, 1978) Prognoser med ARIMA modeller Uifrån den esimerade modellen förlängs serien vid prognosisering i en esimering av nya värden. I grunden är denna meod den samma för ARIMA och SARIMA då SARIMA är e specialfall av ARIMA modeller, men även ARIMA modeller med dummyvariabler för seriens säsong prognosiseras på samma sä. Den enda skillnaden i en sådan ARIMA modell är a de esimerade säsongskoefficienerna läggs ill i prognosen basera på vilke kvaral eller månad som prognosen görs för. (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, s. 366, 1998) Konfidensinervallen för prognoser väldig lång framå i iden kommer a öka efersom esimering av dessa prognoser baseras på föregående prognoser vilke gör a den saisiska osäkerheen i resulaen ökar. E anna problem som uppsår vid prognosisering är a ARIMA modeller har flera anaganden angående dess srukur, men de händer ine allid a dessa uppfylls. E av de vikigase anagandena är a seriens mönser ine ändras under prognosperioden. Men i verkligheen är de många fakorer som påverkar uvecklingen av en idsserie vilke leder ill a seriens mönser ändras och resulae blir dålig prognosprecision. (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, s ) E bäre sä a göra prognoser på är a uelämna några av de sisa perioderna i idsserien, esimera en modell för åersående daa, och sedan göra prognoser på den anpassade modellen och jämföra dessa med de sanna värdena av de sisa perioderna. På dea sä kan olika modeller jämföras med avseende på hur bra prognoserna överenssämmer med den verkliga daa. (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, s. 370, 1998) 16

19 En annan vikig fakor som påverkar prognosernas precision är differeniering. Vid differeniering av en idsserie ökar variansen för prognoserna i proporion mo prognosperioden. Efersom måle är så små konfidensinervall som möjlig, bör differeniering uföras så få gånger som möjlig. (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, ss , 1998) Prognoser med differenierad daa För a uppnå saionarie i idsserier måse man ofa differeniera dem, speciell då de rör sig om ekonomiska idsserier. När man efer modellspecifikaion sedan vill göra prognoser blir även dessa differenierade. För a kunna jämföra prognoserna med ursprungsdaa och kunna olka prognoserna på e enkel sä måse därför prognoserna konvereras illbaka ill ickedifferenierad form. Dea görs enklas genom summering. Om den försa prognosen av den differenierade idsserien görs vid idpunk är denna en prognos av differensen av den fakiska prognosen, dvs. i odifferenierad form, och den sisa kända observaionen. Följande förhållande gäller: w ˆ yˆ y (23) 1 Där ŵ är den differenierade prognosen för period, ŷ är den icke-differenierade prognosen för period och y 1 är den senase kända observaionen. När den differenierade prognosen för en period framå är gjord är de med andra ord endas en okänd i ovansående ekvaion och genom enkel ekvaionslösning kan denna beräknas. Den icke-differenierade prognosen blir således y ˆ wˆ y (24) 1 Med andra ord är den icke-differenierade prognosen summan av den differenierade prognosen och den föregående observaionen. I falle där prognoser längre fram än en period görs blir den föregående observaionen isälle den senase icke-differenierade prognosen. Den icke-differenierade prognosen vå perioder framå i iden blir med andra ord summan av den differenierade prognosen och den icke-differenierade prognosen för en period framå i iden. I ekvaionsform skrivs dea som yˆ y (25) 1 wˆ 1 17

20 På dea sä kan de differenierade prognoserna konvereras ill ickedifferenierade prognoser genom enkel summaion. (Cryer & Chan, 2008, ss ) Prognoser med hjälp av en kombinaion av flera modeller En annan meod som har få mycke uppmärksamhe är a isälle för a använda en prognosmodell eller meod så kombineras flera olika meoder och modeller för a på så sä förbära prognossäkerheen. Tanken är a den ökade pricksäkerheen i prognoserna ska uppnås genom a en högre grad av informaionen i idsserien som suderas bevaras när kombinaionen av flera meoder genomförs. Ren prakisk fungerar meoden som så a e anal olika modeller eller meoder används för a göra lika många individuella prognoser. När dessa prognoser är gjorda så kombineras de genom a e medelvärde konsrueras. När denna meod var ny användes främs e enkel, oväg medelvärde, enlig följande: n pi p * 1 (26) n Där * p är den nya kombinerade prognosen, p i är de olika individuella prognoserna och n är anale individuella prognoser som inkluderas. (Makridakis & Winkler, 1983 (1)) Uöver denna yp av enkla medelvärden kan även prognosmedelvärde as fram med olika viker för olika individuella prognoser. Tanken är a högre viker illdelas de prognoser som har ge bäre räffsäkerhe än de som har ge en sämre räffsäkerhe. Dea vägda prognosmedelvärde beräknas isälle enlig följande: n wi pi p * 1 (27) n där w i är de enda illskoe ill den idigare beräkningsfunkionen och sår för de olika vikerna för de individuella prognosera. (Makridakis & Winkler, 1983 (2)) Fördelen med denna meod är framförall a den minskar risken för en specificeringsmiss när de kommer ill val av modell för a göra prognoser. Sudier visar också a när den ursprungliga modellen ger dåliga prognoser förbäras pricksäkerheen drasisk när fler prognoser från andra modeller och meoder inkluderas samidig som resulae ine är lika 18

21 känslig när de kommer ill val av meoder. Även när den ursprungliga modellen ger säkra prognoser förbäras ofas prognoserna yerligare när fler prognoser as med, om än ill en lägre grad. En nackdel är dock kosnaden i och med den ökade idsågången som kommer i samband med a flera individuella prognoser måse as fram. Uöver de åersår även uvärdering och val när de kommer ill vilka och hur många olika prognoser som ska as med i de nya prognosmedelvärde och även om medelvärde ska vara e enkel eller väg medelvärde. Om vale faller på e väg medelvärde måse även uvärdering kring vilka viker som ska användas inkluderas. (Makridakis & Winkler, 1983(1)) Uvärdering av prognoser Tre må som ofa används för a uvärdera hur korreka gjorda prognoser fakisk blir är så kallade mean squared error (MSE), roo mean square error (RMSE) sam mean average percenage error (MAPE). Dessa är alla olika må vars grund är skillnaden mellan punkprognosers värden och de fakiska ufallen. Av naurliga skäl går de därför enbar a beräkna dessa felmå efer de fakiska ufallen har ske. I samliga fall är låga värden ecken på bäre prognoser än när höga värden beräknas. (Andersson e al, 2007, ss ) MSE beräknas enlig följande formel MSE n ( Y Yˆ ) n 2 (28) Där Y är de fakiska ufalle, Ŷ är prognosen och är anale prognoser som uvärderas. RMSE är hel enkel roen ur MSE formeln, dvs. RMSE n ( Y Yˆ ) n 2 (29) där MAPE beräknas å andra sidan enlig 1 ˆ n Y Y MAPE n Y 100 (30) 19

22 Då både MSE och RMSE är skalberoende, dvs. MSE för en serie med högre värden blir sörre än MSE för en serie med små värden, är den vanligase rekommendaionen a MAPE används då dea är e må i procen snarare än i fakiska värden. Dea speciell då jämförelser mellan serier med olika skalor ska göras, exempelvis mellan en serie där skalan är i miljarder SEK mo en serie där skalan är usenals SEK. (Andersson e al, 2007, ss ) 20

23 Miljarder SEK 3. Empirisk undersökning 3.1. Använda daa I denna undersökning används fyra olika ekonomiska idsserier. Dessa är månadsdaa över svensk konsumion, kvaralsdaa över svensk BNP, framräknad genom ugifsmeoden, kvaralsdaa över svensk expor, framräknad genom ugifsmeoden sam kvaralsdaa över byggsarer av bosäder, dvs. hus/villor och lägenheshus, i Sverige. Daa för konsumionsserien är hämad från Saisiska Cenralbyrån hemsida, den 4:e april 2011, och daa för de re reserande serierna är hämad från daabasen Reuers Ecowin den 4:e april I diagram 1 nedan åskådliggörs daa av svensk konsumion. I denna idsserie framkommer de e ydlig och oförändra säsongsmönser där konsumionen når sin opp i december p.g.a. julhandeln och där den är som lägs i början på åre. Tidsserien växer någo under sommaren omkring semeseriden och avar sedan framå hösen Diagram 1. Månadsdaa över svensk konsumion i dagens prisnivå åren Källa:SCB. År Daa för BNP visas i diagram 2. Även denna serie påvisar en klar säsongsuveckling. BNP är som högs under kvaralen e och re, och nedgången inräffar under andra och fjärde kvarale. BNP-serien visar en jämn uveckling med en plöslig förändring i slue av år 2008 som förklaras av den då rådande finanskrisen. 21

24 Miljarder SEK Miljarder SEK Diagram 2. Kvaralsdaa för BNP, försa kvarale 1993 ill sisa kvarale Källa:Ecowin. År Uvecklingen av idsserien för svensk expor är ine lika jämn som för konsumion och BNP, men de är möjlig a urskilja e viss säsongsmönser. Dea kan ses i diagram 3 nedan År Diagram 3: Kvaralsdaa för expor, försa kvarale 1980 ill sisa kvarale Källa:Ecowin. 22

25 Anal De försa åren uvecklas serien sadig, men omkring 1993 sker en nivåförändring fram ill slue av 2008 som orsakas av finanskrisen på hösen år Dea förklarar den sora nedgången i serien under de sisa åren i diagramme. 36,000 32,000 28,000 24,000 20,000 16,000 12,000 8,000 4, År Diagram 4: Kvaralsdaa över byggsarer i Sverige, försa kvarale 1970 ill sisa kvarale Källa:Ecowin. I diagram 4 ovan åskådliggörs uvecklingen av byggsarer mellan åren 1970 och Tidsserien påvisar e viss säsongsmönser, men själva renduvecklingen är väldig ojämn under de olika perioderna Meod Undersökningen genomförs på de sä a var och en av de olika meoderna används var för sig för a generera prognoser för de olika idsserierna. För a generera prognoser as de vå sisa åren bor när modeller anpassas ill serierna. Till a börja med säsongsrensas därför samliga idsserier med hjälp av X-12 varianen av Census II meoden. För a underläa jämförelser används en så avskalad meod som möjlig. Dea innebär säsongsrensning uan hänsyn ill helgeffeker eller handelsdagseffeker används. Efer säsongsresningen är genomförd anpassas sedan ARIMA modeller ill samliga idsserier enlig Box-Jenkins meodologin. E Augmened Dickey-Fuller es uförs för a avgöra vid vilken grad av inegraion som den rensade serien är saionär för, varpå korrelogram över de saionära 23

26 serierna används för modellanpassningen. I sluändan valdes dock modellerna efer signifikans och förklaringsgrad. Med hjälp av dessa modeller görs sedan prognoser för vå år framå, dvs. de åren som är boragna före modellbyggande. Då dessa är säsongsrensade prognoser aggregeras de på årsbasis och flyande medelvärden på årsbasis beräknas. Dea görs därför a årsmedelvärden och årssummeringar av en säsongsrensad serie i eorin ska ha samma värden som samma serie som är orensad. Med denna meod kan med andra ord jämförelser med de fakiska ufallen genomföras, vilke är nödvändig för jämförelse med de andra meoderna. I och med srukuren kring flyande medelvärden försvinner dock de vå försa och vå sisa kvaralen, sam de sex försa och sex sisa månaderna, från serierna med kvarals- respekive månadsdaa. Felmåen beräknas sedan genom a jämföra med de fakiska ufallen under samma kvaral och månader. Därefer säsongsrensas samliga serier med TRAMO/SEATS-meoden varpå en liknande modellering, prognosgenerering, årssummering, flyande årsmedelvärdesberäkning sam prognosuvärdering genomförs. Efer säsongsrensningsmeoderna anpassas SARIMA modeller ill de ursprungliga idsserierna vilka sedan används för a göra prognoser som uvärderas med de idigare använda felmåen. För a jämförelser ska vara möjliga beräknas felmåen för samma kvaral och månader som användes vid flyande årsmedelvärdena, de vill säga de miersa månaderna och kvaralen. Däruöver summeras även prognoserna för år 1 och år 2 och prognosuvärdering för dessa årssummeringar görs för jämförelser med de årssummerade säsongsrensade prognoserna. På liknande sä anpassas ARIMA modeller med säsongsdummys ill de ursprungliga idsserierna och prognoser sam uvärdering av dessa genomförs på liknande sä som idigare. Sluligen aggregeras samliga prognoser för varje idsserie så a e ovika medelvärde kan beräknas. Dessa medelvärdesprognoser uvärderas sedan på exak samma sä som idigare, de vill säga dels mo de flyande årsmedelvärdena från säsongsrensningsmeoderna och dels som årssummeringar. Samliga prognoser jämförs och analyseras sedan såväl mellan olika idsserier som mellan olika använda meoder. I och med a konsumionsserien besår av månadsdaa medan de andra serierna besår av kvaralsdaa blir anale prognoser för de vå åren olika. Kvaralsdaaserierna har åa prognoser medan månadsserien har jugofyra prognoser. I och med dea så behandlas konsumionsprognoserna dels på årsbasis, precis som idigare, men även så a anale prognoser överenssämmer med kvaralsdaaserierna. För jämförelse med de flyande årliga 24

27 medelvärdesserierna används isälle för olv mienprognoser enbar de fyra försa av de olv prognoserna medan för jämförelse med årssummeringar används enbar summeringar för de försa fyra sam de näskommande fyra månaderna Resula och analys Skaade modeller För a kunna avgöra om idsserien är saionär har e Augmened Dickey-Fuller es uförs på ursprunglig och differenierad daa. Serierna differenierades ills e signifikan esvärde uppnåddes. För a få en omfaning om den möjliga modellens srukur har serierna analyseras vidare genom a sudera korrelogrammens useende. (se appendix 6.1) Vid esimering prövades olika yper av modeller varav de med signifikana variabler och högsa möjliga R 2 -värde valdes som slugiliga anpassade modeller. Vid esimering av ARIMA modeller med dummyvariabler som indikaion av säsongen är de månad e som är referensmånaden. I abell 1 har resulaen för Census II rensad daa sammansälls. R 2 -värdena varierar mycke i dea fall och den bäs anpassade modellen erhålls för den säsongsrensade idsserien av byggsarer. Konsumion: AR(2) Y C 1Y 1 2Y 2 BNP: ARMA(2,2) där Y C 2Y 2 2e 2 Expor: ARMA(1,1) Y C 1Y 1 1e 1 Byggsarer: AR(2) Y C 1Y 1 2Y 2 e e e e Esimerad modell Förklaringsgrad Y R 2 0, 59 0,33 0,97Y 1 0, 59Y 2 Y R 2 0, ,34*10 0,47Y 2 0,92e 2 Y ,76Y 1 0, 92e 1 R 2 0, 05 Y ,53Y 1 0, 39Y 2 R 2 0, 89 Tabell1. Skaade modeller för Census II rensad daa. 25

28 Konsumion: MA(1) Y C e 1 1 e BNP: ARMA(2,2) där Y C 2Y 2 2e 2 Expor: ARMA(1,1) Y C 1Y 1 1e 1 e e Esimerad modell Förklaringsgrad Y 0,33 0,42e e R 2 0, 18 1 Y R 2 0, ,40*10 0,37Y 2 0,93e 2 Y ,0,85Y 1 0, 96e 1 R 2 0, 028 Byggsarer: MA(1) Y C e 1 1 e Y 142 0,44e e R 2 0, 19 1 Tabell 2. Skaade modeller för TRAMO/SEATS rensad daa. I abell 2 har de esimerade modellerna för TRAMO/SEATS rensade daa sammanfaas. Högsa förklaringsgrad erhålls för BNP. Generell se är dock R 2 -värdena ganska låga. Tabell 3 nedan beskriver ill daa anpassade SARIMA modeller. Genom denna meod har hög förklaringsgrad erhållis för samliga modeller. Den bäsa modellen här har anpassas ill BNP-serien. Konsumion: MA(1)(1) 12 Y C e e BNP: MA(1)(1) 4 Y C e e Expor: MA(1)(1) 4 Y C e e e e e Y Esimerad modell Förklaringsgrad Y R 2 0, 81 0,35 0,94e 1 0, 83e ,9*10 0,89e 0,89e e R 2 0, Y ,52e 1 0, 54e 4 R 2 0, 52 Byggsarer: AR(2)(1) 4 Y C 1 Y Y Y e Y R 2 0, ,30Y 1 0,25Y 2 0, 69Y 4 Tabell 3. Skaade SARIMA modeller för orensad daa. 26

29 I abell 4 åskådliggörs de skaade ARIMA modellerna med dummyvariablerna. Förklaringsgraden är åerigen väldig hög och de är serien av svensk konsumion som den bäsa modellen har anpassas för. Konsumion: MA(1) med D 2, D 3, D 4, D 5, D 6, D 7, D 8, D 8, D 9, D 10, D 11, D 12 BNP: AR(2) med D 2 och D 4 Y 8 Esimerad modell Förklaringsgrad Y 25,79 0,75e 1 23,55D2 36,64D3 R 2 0, 97 26,15D4 28,43D5 29,14D6 26,93D7 24,25D 15,49D 29,09D 25,45D 48,45D 9 10 R 2 0, ,10*10 0,701Y 1 6,33*10 D2 8,56*10 D Expor: ARMA(1,1) med D 3 och D 4 Y ,991Y 0,88e 10584D 13457D R 2 0, 76 Byggsarer: AR(2) med Y ,43Y 1 0,47Y 2275D 1565D 5171D R 2 0, 80 D 2, D 3 och D 4 Tabell 4. Skaade ARIMA modeller med dummyvariabler för säsongen Felmå för prognoserna När de kommer ill de prognoser dessa modeller genererar, och framförall uvärderingen av dessa, måse de säsongsrensade prognoserna som idigare nämn behandlas. Dea kan aningen göras genom a a flyande årsmedelvärden för prognoserna alernaiv genom a hel enkel aggregera prognoserna på årsbasis och jämföra dessa med aggregerade prognoser för de andra meoderna. Vid flyande medelvärden är de bara de säsongsrensade prognoserna som behandlas, som beskrive i avsni Dessa jämförs sedan direk med de ursprungliga, odifferenierade, prognoserna från de andra modellerna. I och med srukuren bakom flyande medelvärden kommer de vid kvaralsdaa a försvinna vå prognoser i början och vå i slue av prognosperioden. Vid månadsdaa försvinner de i sälle sex prognoser i början och sex 27

30 prognoser i slue. Med andra ord är de mien prognoserna som kan uvärderas. Vid årsaggregeringen blir de å andra sidan bara vå punker a uvärdera, summeringen för försa åre och summeringen för andra åre. För den försa serien, konsumionen, kommer vå olika felmåsberäkningar a redovisas. Dea i och med a konsumionsserien besår av månadsdaa medan de andra serierna besår av kvaralsdaa. De är därför inressan a beräkna felmå dels för 12 månader, så a alla delar av e år fångas upp, och dels för 4 månader, så a jämförelser med de andra serierna enklare kan göras då lika många prognoser används. Felmåen för de olika modellerna när 12 månadsprognoser har använs visas i abell 5 nedan: Månader Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod 12 RMSE 9,72 9,79 7,23 3,22 5,62 12 MAPE 6,18 6,51 4,67 2, Tabell 5. Felmå av glidande medelvärden för säsongsrensade prognoser av konsumion, 12 månader. Den bäsa modellen när 12 månadsprognoser uvärderades och när glidande årsmedelvärden användes för a behandla de säsongsrensade prognoserna är hel klar ARIMA modellen med säsongsdummyvariabler. Dea gäller både för RMSE och för MAPE. Uöver a den är bäs är felmarginalen också väldig låg för ARIMA dummymodellen då den endas är 2,16 %. Även SARIMA modellen genererar relaiv goda prognoser med en felmarginal på ungefär 4,7 %. De sämsa resulae fås av TRAMO/SEATS meoden i ä följd av Census II meoden, båda med felmarginaler på över 6 %. För konsumionsserien verkar därför säsongsmodellering vara de bäsa vale. Inressan är dock även a prognoserna från medelvärdesmeoden fakisk kommer på andra plas av bäsa prognosmeod med en felmarginal på 3,55 %. Om man är osäker på vilken säsongsmodell man ska använda skulle e val av medelvärdesprognoser vara moivera. För konsumionsserien när endas 4 månadsprognoser, de fyra försa möjliga, har använs är resulae följande: Månader Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod 4 RMSE 7,97 7,73 3,95 4,00 7,22 4 MAPE 1,69 1,74 0,95 0,82 3,55 Tabell 6. Felmå av glidande medelvärden för säsongsrensade prognoser av konsumion, 4 månader. 28

31 Även för fyra månadsprognoser är de ARIMA dummymodellen som ger de lägsa MAPEvärde på endas 0,82 % följ av SARIMA modellen på 0,95 %. Tiar man på RMSE värde är de SARIMA modellen som har de lägsa värde, men skillnaden med ARIMA dummymodellen är marginell. Även för fyra prognoser verkar med andra ord säsongsmodelleringen vara klar bäre än säsongsrensningsalernaive då både Census II och TRAMO/SEATS meoderna ger mycke sämre prognoser. Inressan är dock a medelvärdesmeoden för dea fall var den klar sämsa meoden med en häpnadsväckande 3,55 % felmarginal. När de kommer ill BNP serien är felmåen för de olika prognosmeoderna de följande: Tabell 7. Felmå av glidande medelvärden för säsongsrensade prognoser av BNP, 4 månader. Till skillnad från konsumionsserien är de bäsa meoderna i dea fall Census II i ä följd av TRAMO/SEATS med felprocen srax under 4 % jämför med säsongsmodellerna som ligger srax över 5 %. Som för konsumionsserien med 12 prognoser skulle medelvärdesmeoden vara e befoga val i de fall a man är osäker kring vilken meod som man ska välja då dessa prognoser ine är mycke sämre än prognoserna från Census II meoden. Månader Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod 4 RMSE MAPE 3, ,96 5,24 5,33 4,21 Månader Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod 4 RMSE 25707, , , , ,37 4 MAPE 8,68 8,72 13,94 9,26 9,88 Tabell 8. Felmå av glidande medelvärden för säsongsrensade prognoser av expor, 4 månader. Samma mönser finns även a hia för exporserien. De bäsa prognoserna genererades med Census II meoden i ä följd av TRAMO/SEATS medan prognoserna från säsongsmodellerna är klar sämre. Den sora skillnaden här är dock a SARIMA-prognoserna är mycke sämre än de andra prognoserna då de har en felprocen på näsan 14 % medan de andra prognoserna ligger på MAPE-värden mellan 8-10 %. Medelvärdesprognoserna genererar även här relaiv goda prognoser men re av de fyra meoderna slår medelvärdesprognoserna. För den sisa serien, byggsarer, finns felmåen av prognoserna i abell 9 nedan: 29

32 Tabell 9. Felmå av glidande medelvärden för säsongsrensade prognoser av byggsarer, 4 månader. Till skillnad från de re idigare serierna finns de här ingen enhelighe inom säsongsmodellerna och meoderna för säsongsrensning. Då de idigare har vari aningen säsongsmodellerna eller meoderna för säsongsrensning som har generera bäs prognoser är de de här säsongsmodeller som generar både de bäsa och de sämsa prognoserna. SARIMA modellen genererar de bäsa prognoserna medan ARIMA dummymodellen genererar de sämsa. Alla prognoser är generell också väldig dåliga; den bäsa prognosen har e MAPE värde på 37 % medan den sämsa ligger på 51 % vilke jämför med idigare serier är klar mycke sämre. Dock är även här medelvärdesmeoden e sun val i de fall de råder osäker angående vilken meod som är bäs. Uöver användningen av flyande årsmedelvärden för a kunna jämföra de säsongsrensade prognoserna med prognoserna från säsongsmodellerna går de även a summera samliga prognoser för år 1 och år 2 och sedan beräkna felmåen uifrån summan av de fakiska ufallen. Precis som idigare kommer felmå för både år 1 och 2 och för de 4 försa och 4 näskommande månader a beräknas separa för konsumionsserien för a öka möjligheerna för jämförelse med serier av kvaralsdaa. Då år 1 och år 2 har summeras är felmåen för de olika meoderna för konsumionsserien de följande: Månader Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod 4 RMSE, 1803, , , , ,17 4 MAPE 41,01 45,95 36,65 50,74 41,24 Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod RMSE 15,47 15,27 6,49 13,38 10,21 MAPE 0,92 0,89 0,383 0,73 0,54 Tabell 10. Felmå av summeringsekniken för säsongsrensade prognoser av konsumion, år 1 och 2. Precis som när glidande årsmedelvärden användes är de en säsongsmodell som genererar de bäsa prognoserna och en säsongsrensningsmeod som genererar de sämsa. I dea fall är de SARIMA modellen som har de bäsa prognoserna då den har en felmarginal på endas 0,38 % medan de är Census II meoden som genererar de sämsa prognoserna. Även här är medelvärdesprognoserna de näs bäsa prognoserna. 30

33 När de fyra försa och fyra näskommande månadsprognoserna har summeras var för sig och uvärderas är resulae de följande: Till skillnad från idigare är de nu ARIMA dummymodellen som generar de sämsa prognoserna. Den bäsa modellen är dock forfarande SARIMA modellen och den näs bäsa är även nu medelvärdesmeoden. För BNP-serien och exporserien har felmåen sammansälls i abell 12 nedan: Resulaen för både BNP och exporserien är näsan ideniska med varandra, åminsone när de kommer ill rangordningen av bäsa meoder. Resulae är även näsan idenisk med resulae när flyande årsmedelvärden användes. Den bäsa meoden är Census II meoden medan de sämsa prognoserna fås från SARIMA modellen. Prognoserna för BNP är även mycke bäre än prognoserna för exporserien. Sluligen finns felmåen för byggsarserien nedan: Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod RMSE 26,34 25,83 14,02 10,45 18,41 MAPE 1,20 1,22 0,48 1,57 0,88 Tabell 11. Felmå av summeringsekniken för säsongsrensade prognoser av konsumion, kvaral 1 och 2. Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod RMSE ,57982E+11 1,46923E+11 1,17074E+11 MAPE 1,57 2,62 4,76 4,34 3,32 Tabell 12. Felmå av summeringsekniken för säsongsrensade prognoser av BNP, år 1 och 2. Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod RMSE 83851, , , , ,21 MAPE 6,51 6,60 13,92 7,7918 8,70 Tabell 13. Felmå av summeringsekniken för säsongsrensade prognoser av expor, år 1 och 2. Felmå Census II TRAMO/SEATS SARIMA Dummy ARIMA Medelvärdesmeod RMSE 1882, , , , ,46 MAPE 6,62 14,039 1, ,05 10,72 Tabell 14. Felmå av summeringsekniken för säsongsrensade prognoser av byggsarer, år 1 och 2. 31

34 Precis som idigare kommer både de bäsa och de sämsa prognoserna från säsongsmodellfamiljen, åminsone om man iar på värdena för MAPE. SARIMA ger de bäsa prognoserna medan ARIMA dummymodellen ger de sämsa. De bäsa prognoserna när hänsyn as ill RMSE-måe är dock de från Census II-meoden. Till skillnad från när flyande årsmedelvärden användes är även prognoserna avsevär bäre. Den sämsa meoden har en felmarginal på 24 % vilke är mycke bäre än den bäsa meoden då flyande medelvärden användes. De bäsa prognoserna, med hänsyn ill MAPE-måe, har även en felmarginal på endas 1,8 %, vilke kan ses som bra prognoser i de flesa sammanhang. Sammanfaningsvis verkar säsongsmodellerna vara bäs för konsumionsserien medan säsongsresningsmeoderna verkar vara bäs för BNP och exporserierna. För byggsarer är resulae mer oydlig. Överlag preserar även medelvärdesmeoden bra. Uöver dessa prognoser finns i Appendix 6.2 även felmå från samliga prognoser från alla meoder och serier. Prognoserna från TRAMO/SEATS och Census II är i dessa abeller dock säsongsrensade prognoser, dvs. prognoser av de säsongsrensade serierna, vilke gör a de borde ge mycke sämre resula när de jämförs med de ursprungliga idsserierna. Överlag sämmer även dea borse från några anmärkningsvärda prognoser. De säsongsrensade prognoserna slår nämligen prognoserna från säsongsmodellerna när man iar på MAPEmåe för BNP och exporserierna, vilke naurligvis är märklig då dessa prognoser saknar säsongskomponenen. Frågan är därför nu varför vissa meoder gav bäre prognoser än andra för vissa serier medan de mosaa förhållande gällde för andra serier, vilke kommer a redogöras för i näsa avsni Analys Tros a de flesa idigare uförda sudier har påvisa a säsongsrensning ger sämre resula än säsongsmodellering när fokus ligger på prognosförmåga ger både Census II och TRAMO/SEATS-rensad daa bäre prognoser än både SARIMA och ARIMA dummymodeller för serier av expor och BNP. Samidig var säsongsmodellerna bäs för konsumionsserien medan byggsarserien gav e mosridig resula. Den sora frågan är nu vilka förklaringar ill dessa resula de finns. 32

35 Förs och främs kan de vara inressan a ia på hur de ursprungliga idsserierna fakisk ser u. Vad som kan ses när dea görs är a konsumionsserien har ine bara de ydligase men även de mes inrikaa säsongsmönsre. Expor- och BNP-serien har också ydliga säsongsmönser men de följer e enklare mönser än konsumionsserien. Byggsarserien har däremo de mins ydliga säsongsmönsre. Denna serie är också präglad av fles rendbro och den ser även u a vara mes oförusägbar. En anledning ill a säsongsmodelleringen var bäs för konsumionsserien medan säsongsrensningsmeoderna gav bäs prognoser för BNP och expor kan möjligvis vara a meoderna för säsongsrensning gör e bra jobb i a säsongsrensa när säsongsmönsre är ämligen enkel medan säsongsrensningen blir sämre när säsongsmönsre blir mer avancera, även om mönsre är mycke ydligare. Dea är så då en sämre säsongsrensning leder ill sämre ARIMA-modellering vilke leder ill sämre prognoser. En förusäning för goda prognoser då en säsongsrensningsmeod har använs är därför a säsongsrensningen är bra genomförd. Konsumionsserien kanske hel enkel var för svår a säsongsrensa för både Census II och TRAMO/SEATS meoderna medan BNP- och exporserien låg på en bra nivå av säsongsmönser. Dea skulle möjligvis också kunna vara anledningen ill varför SARIMA modellering gav bäre prognoser än säsongsrensningsmeoderna för byggsarsserien. De säsongsmönser som fanns i byggsarsserien kanske var för svår a rensa bor. En yerligare förklaring skulle kunna vara a idsserierna har olika yper av daa. Expor och BNP-serierna är kvaralsdaa medan konsumionsserien är månadsdaa. En möjlig sluledning skulle därför kunna vara a säsongsmodellering passar bäre för månadsdaa än för kvaralsdaa men anledningen ill a de var jus månadsdaaserien som passade bäs för säsongsmodellerna i dea fall har nog a göra med hur avancera säsongsmönsre är snarare än a de är månadsdaa. Dock blir mönsre anagligen mer avancera i och med a de är månadsdaa och ine kvaralsdaa, så om konsumionsserien hade vari i kvaralsforma hade möjligvis Census II och TRAMO/SEATS ge bäre resula samidig som säsongsmodellerna evenuell hade ge bäre resula om serierna för BNP och expor hade vari i kvaralsforma. Uöver dessa vå anledningar kan en redje anledning ill a säsongsrensningsmeoderna ger bäre resula än säsongsmodellerna för BNP- och exporserien, samidig som de mosaa sambande gäller för konsumionsserien, vara a finanskrisen som började hösen 2007 verkar ha haf en sörre påverkan på BNP och expor än på privakonsumionen. Genom a ia på ursprungsserierna ser de i alla fall u som a rendbroen är sörre för BNP och expor än för 33

36 konsumionen. En möjlig slusas skulle därför kunna vara a meoderna för säsongsrensning genererar bäre prognoser än säsongsmodellerna vid e rendbro. Då säsongsrensningmeoderna använder sig av flyande medelvärden ska dea enlig eorin dock ine sämma. De mosaa, a säsongsmodeller hanerar rendbro bäre än säsongsrensningsmeoderna hade därför vari mer väna. I och med a boen var nådd precis när försa prognosen gjordes vilke följdes av en relaiv krafig åerhämning främs av exporen men även när de kommer ill BNP kan de dock möjligvis vara så a säsongsmodellerna underskaar exporen och BNP i prognoserna. Då renden åergår ill åminsone e liknande mönser ill hur de såg u innan krisen under hela prognosperioden kan säsongsrensningsmeoderna vari bäre lämpade för prognoser av jus denna period, speciell då båda rendbroen anagligen jämnades u då de roligvis olkades som säsongsmönser av Census II och TRAMO/SEATS. Denna förklaring är anagligen även den mes roliga när de kommer ill de häpnadsväckande resulae a de säsongsrensade prognoserna slog prognoserna från säsongsmodellerna för serierna av expor och BNP, när ingening hade gjors för a få prognoserna i orensad form. Hiills har dock enbar säsongsrensningsmeoderna sam säsongsmodellerna berörs så frågan är nu även om medelvärdesmeoden är a föredra i vissa sammanhang. Överlag preserade medelvärdesprognoserna bra. Endas i e fall var de de sämsa alernaive och i de flesa fall låg de närmre de bäsa snarare än de sämsa prognoserna. Med anke på a de idigare resulaen påvisar a de ine finns en klar vinnare när de kommer ill prognosmeod kan därför medelvärdesprognoserna vara e bra alernaiv, speciell om lie idigare kunskap finns om serien man önskar göra prognoser för. Om man å andra sidan ve vilken prognosmeod som kommer genererar bäs prognoser är dea dock de bäre alernaive. För a göra en mer generell analys är de uppenbar a de bäsa prognoserna fås för konsumionsserien, där väldig låga MAPE-värden observeras. Dea var ine heller oväna då denna serie hade de mes ydliga säsongsmönsre och även den mes sabila renden. Hur ydlig säsongsmönsre är i samband med hur sabil renden är verkar också vara avgörande för hur bra prognoserna blir, vilke är väna från eorin. De sämsa prognoserna fås exempelvis från byggsarsserien vilken har de mes oydliga säsongsmönsre sam den mes osadiga renden. BNP och expor ligger i mien av spekrume både när de kommer ill kvalie på prognoser och när de kommer ill ydlig säsongsmönser och sadig rend. Borse från byggsarsserien är de även vär a nämna a prognoserna var oväna bra. Då 34

37 BNP, expor och konsumion är vikiga serier på makroekonomisk nivå är dea även e vikig resula. Vilken meod, eller åminsone vilken yp av meod, kan då anses som den bäsa för a göra prognoser basera på denna undersökning? Svare blir som så ofa någo ambivalen: de beror på vilken serie prognoserna görs för. Såväl säsongsrensningsmeoderna som säsongsmodellerna genererade vinnande prognoser i denna undersökning, när hänsyn ogs ill felmåen MAPE och RMSE. När de kommer ill vale av prognosmeod för serier med säsongsmönser borde de dock vara fler fakorer som spelar in än enbar felmå, även om fokus har lags på jus de i denna undersökning. Säsongsrensningsmeoderna gör de exempelvis svår a göra men framför all olka och använda prognoserna. För a ens kunna jämföra dem med prognoser från säsongsmodeller måse aningen flyande årsmedelvärden av prognoserna användas alernaiv så måse prognoserna summeras på årsbasis och jämföras med årssummeringar av andra prognoser. Dea är mins sag krånglig om man jämför med säsongsmodelleringen där prognoserna kan användas i dess ursprungliga form. Med dea i åanke och med anke på a säsongsmodellering gav de bäsa prognoserna i vå av fyra serier, skulle de därför vara a rekommendera a använda säsongsmodeller i de generella falle. 35

38 4. Slusaser I denna uppsas har en jämförande undersökning med fokus på prognosprecision för idsserier med säsongsmönser genomförs. Frågan som har försöks a besvaras är: Vilken meod är bäs lämpad för a göra prognoser av idsserier med säsongsmönser? För a besvara denna fråga har fem olika meoder appliceras på fyra olika ekonomiska idsserier. Dessa meoder har vari säsongsrensningsmeoderna Census II och TRAMO/SEATS, säsongsmodellerna SARIMA och ARIMA med dummyvariabler sam en medelvärdesmeod där e ovika medelvärde av de fyra försa meoderna uvärderades. De fyra idsserierna som dessa meoder har använs på är konsumion i Sverige, svensk BNP, svensk expor sam byggsarer i Sverige, alla serier med olika grad av säsongsmönser. Vid säsongsrensningsmeoderna säsongsrensades dessa serier förs varpå ARIMA modeller anpassades medan säsongsmodellerna modellerade de ursprungliga serierna. Uifrån de anpassade modellerna kunde sedan prognoser för vå år göras. Dessa prognoser jämfördes sedan med de fakiska ufallen, som agis bor från serien. I och med a meoderna för säsongsrensning genererade säsongsrensade prognoser användes flyande årsmedelvärden av dessa sam årssummeringar för a kunna genomföra jämförelser med de andra prognoserna. Vid uvärdering av prognoser användes felmåen MAPE sam RMSE. Resulae av undersökningen blev en aning veydig. För konsumionsserien och byggsarserien genererades de bäsa prognoserna av en säsongsmodell medan exporserien och BNP-serien fick de bäsa prognoserna av säsongsrensad daa. Dock genererades även de sämsa prognoserna för byggsarserien från en säsongsmodell. De fascinerande med dea resula är a de gick emo idigare forskning, ine mins då säsongsrensningsmeoderna genererade bäre prognoser för BNP och expor under e rendbro, någo som ine borde ske. Svare på den inledande frågan blir därför a val av prognosmeod beror på vilken idsserie man använder, åminsone om felmåen MAPE och RMSE används. I samliga fall föruom e var dock medelvärdesmeoden i mienskike av prognoserna. Om sor osäkerhe råder kring vilken meod som skall användas och id finns ill a göra flera prognoser är denna meod e klar bäre alernaiv än a välja den sämsa meoden. Sluligen bör man dock beraka fler aspeker kring prognosisering och modellering än enbar felmå. Med anke på komplexieen kring prognosisering med säsongsrensningsmeoderna illsammans med de fakum a resulaen blir mer svårolkade rekommenderas därför 36

39 säsongsmodellering framför säsongsrensning när prognoser skall göras. Forsa forskning bör dock göras, ine mins under andra förusäningar, speciell i och med a säsongsrensningsmeoderna forsäer a uvecklas. 37

40 5. Källföreckning 5.1. Ariklar Abeysinghe, T., Forecasing Performance of Seasonal-Dummy Models Relaive o some Alernaives, Economic Leers, 44, pp , 1994 Bell, W. R., Findley, D. F., Monsell, B. C., New Capabiliies and Mehods of he X-12- ARIMA Seasonal Adjusmen Program, Journal of Business and Economics Saisiscs, Vol. 16, No. 2, 1998 Bell, W. R., Monsell, B. C., X-11 Symmeric Linear Filers and Their Transform Funcions, Bureau of he Census Saisical Research Division, Research Repor Series, No. RR-92/15, 1992 Cleveland, W. P., Tiao, G. C., Decomposiion of Seasonal Time Series: A Model for he Census X-11 Program, Journal of he American Saisical Associaion, Vol. 71, No. 355, pp , Sepember Donoghue, M. J., Maddison, D. R., Maddison, W. P., Ougroup Analysis and Parsimony, Sysemaic Zoology, Vol. 33, No.1, March, 1984, pp Jadiz, T., Seasonaliy: economic daa and model esimaion, Monhly Labor Review, December Kaiser, R., Maravall, A., An applicaion of TRAMO/SEATS: Changes in seasonaliy and curren rend cycle assessmen, 2000 Makridakis, S., Winkler, R. L., Averages of Forecass: Some Empirical Resuls, Managemen Science, Vol. 29, No. 9, Sepember 1983, pp Makridakis, S., Winkler, R. L., The Combinaion of Forecass, Journal of he Royal Saisical Sociey, Vol. 146, Par 2, pp , 1983 Maravall, A., Brief Descripion of he Programs, Banco de Espagña, 2005 Maravall, A., An Applicaions of he TRAMO-SEATS Auomaic Procedure; Direc Versus Indirec Adjusmen, Compuaional Saisics and Daa Analysis, Vol. 50, ,

41 Moosa, I. A., Lenen, L. J.A., In Defence of Model-Based Seasonal Adjusmen: An Illusraion Using Ausralian Daa, Ausralian Economic Papers, Vol. 39, Issue 3, pp , Plosser, C. I., Shor-erm Forecasing and Seasonal Adjusmen, Journal of he American Saisical Associaion, Vol. 74, No. 365, pp , March 1979 Raveh, A.., Commens on some properies of X-11, The Review of Economics and Saisics, Vol. 66, No. 2, pp , 1984 Shiskin, M., Young, A. H., Musgrave, John, C., The X-11 Varian of he Xensus Mehod II Seasonal Adjusmen Program, Bureau of he Census, Technical Paper No. 15, 1967 SOU 2002:118, Uveckling och förbäring av den ekonomiska saisiken, kapiel 5-8, Finansdeparemene, 2003 Öhlén, S., Säsongrensning av Naionalräkenskaperna, Översik, SCB, Böcker Andersson, G., Jorner, U., Ågren, A., Regressions och idsserieranalys, Tredje upplagan, Sudenlieraur, Malmö, 2007 Cryer, J. D., Chan, K., Time Series Analysis wih Applicaions in R, Second Ediion, Springer Science+Business Media, LLC, New York, 2008 Gujarai, D. N., Porer, D. C., Basic Economerics, Fifh Ediion, he McGraw-Hill companies, Singapore, 2009 Harvey, A. C., Time Series Models, Second Ediion, Harveser Wheasheaf, Grea Briain, 1993 Makridakis, S., Wheelwrigh, S. C., Hyndman, Rob J., Forecasing Mehods and Applicaions, Third Ediion, John Wiley & Sons, Inc., US, 1998 Murray, M. P., Economerics, A Modern Inroducion, Pearson Educaion, Unied Saes of America,

42 Newbold, P., Carlsson, W. L., Thorne, Bey, Saisics for Business and Economics, Sixh Ediion, Pearson Prenice Hall, Courier-Wesford, Unied Saes of America, 2007 Vandaele, W., Applied Time Series and Box-Jenkins Models, Academic Press, Inc., London, Hemsidor Saisiska Cenralbyrån, åkommen den 4:e april Banken av Spanien, åkommen den 11 april Regeringskanslie, åkommen den 11 april Daabaser Reuers Ecowin, använd den 4:e april

43 6. Appendix 6.1. Korrelogram Ursprunglig daa Fig.1. Expor, försa differensen. 41

44 Fig.2. BNP, försa differensen. Fig.3. Byggsarer, odifferenierad. 42

45 Fig.4. Konsumion, försa differensen Säsongsrensad daa, Census II- meoden Fig.5. Expor, försa differensen. 43

46 Fig.6. BNP, försa differensen. Fig.7. Byggsarer, försa differensen. 44

47 Fig.8. Konsumion, firs difference Säsongsrensad daa, TRAMO/SEATS-meoden Fig.9. Expor, försa differensen. 45

48 Fig.10. BNP, försa differensen. Fig.11. Byggsarer, försa differensen. 46