En komparativ studie av VaR-modeller

Transkript

1 Naionalekonomiska insiuionen Magiseruppsas EKONOMIHÖGSKOLAN Okober 005 LUNDS UNIVERSITET En komparaiv sudie av VaR-modeller Handledare Hossein Asgharian Förfaare Ola Grönquis Erik Källerö 1

2 Sammanfaning Hisorisk se har ofas den avkasning som en kapialförvalare generera vari av inresse. Risken som förknippas med den akuella inveseringen har ofa kommi i skymundan. I början på 1990-ale inräffade e anal olika finansiella kriser och dea medförde a riskmedveenheen ökade. Nu var ine enbar den erhållna avkasningen inressan. Även den risk som förknippades med inveseringen var av sor vik. Föreag började a fram sysem för a mäa risk och ofa arbeade man med så kallade Value a Risk (VaR) som definieras som den med viss sannolikhe förvänade förlusen från ogynnsamma marknadsrörelser över en definierad idsperiod. Den idigare forskningen som har bedrivis inom VaR har ofa koncenreras ill a esa om modellen håller saisisk. Däremo as ingen hänsyn ill den beräknade förlusen. Syfe med denna uppsas är a undersöka fyra olika VaRmodeller, Equally weighed moving average (MA), GARCH, RiskMerics och hisorisk simulering. Vi uför e våsegs-es där vi förs klargör om modellerna kan anses saisisk signifikana. Därefer beräknar vi förlusen med en Lossfunkion. Resulaen i vår sudie visar a flerale av VaR-modellerna godkänns i de försa ese som vi genomför. I en idigare sudie genomförd av Sarma e.al (001) godkändes endas vå av VaR-modellerna, deras sudie bygger dock på andra index än OMX som vi använder oss av. Vi anser dock a VaR är e adekva riskmå under de förusäningar som vi genomför vår sudie på.

3 Innehållsföreckning 1. Inledning Bakgrund 4 1. Problemaisering Syfe Avgränsningar Disposiion 7. Teori 8.1 Value a Risk (VaR) 8 Equally Weighed Moving Average (MA) 8 Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasic 9 RiskMerics 10 Hisorisk simulering 11. Saisiska es 11 LR es för obeingad spridning 13 LR es för oberoende 14 LR es för spridning och oberoende Loss Funkioner 15 Regulaory Loss Funkion Meod Daa VaR-modeller Beräkning av VaR med MA Beräkning av VaR med GARCH Beräkning av VaR med RiskMerics Beräkning av VaR med Hisorisk Simulering Chrisoffersens Tes Loss Funkioner 0 4. Analys MA (95 % nivå) 4. RiskMerics (95 % nivå) GARCH (95 % nivå) Hisorisk Simulering (95 % nivå) MA (99 % nivå) RiskMerics (99 % nivå) GARCH (99 % nivå) Hisorisk Simulering (99 % nivå) Loss Funkioner 8 5. Slusaser 31 3

4 1. Inledning Dea kapiel ska ge läsaren en inblick i varför olika Value a Risk - modeller har uvecklas. Vidare redogörs här för uppsasens problemaisering och syfe. 1.1 Bakgrund Under de senase åriondena har handeln med finansiella illgångar öka vilke har medför a olika nya ekniker för a bedöma risker också har uvecklas. (Hendricks, s 39, 1996) Tidigare har den avkasning en kapialförvalare generera vari inressan. Under de senase åren har även risken som kan kopplas ill den akuella placeringen beakas mer och mer. Två vikiga anledningar ill den ökade riskmedveenheen bland inveserarna är dels a porföljerna blir mer och mer avancerade med placeringar i flera olika insrumen, dels a volailieen öka på flera marknader. (Simons, s, 000) I början på 1990-ale inräffade e anal finansiella kriser där aningen en person eller ledningen för e föreag handlade med ofanlig sora posiioner uan a ha rikig insik i vad de gjorde. Bland anna inräffade skandalen inom Barings Bank där en person köpe e sor anal erminer och opioner. Inköpen var ine riskbedömda och 1995 gick föreage i konkurs. Förlusen överseg 1,3 miljarder dollar. Meallgesellschaf, Orange Couny, Daiwa Bank och Sumiomo Corporaion är exempel på yerligare föreag som gjor miljardförluser på grund av felakiga riskbedömningar. (Dowd, s 17-18, 1998) Sora föreag började arbea fram inerna modeller för a kunna mäa och bedöma vilka risker som exempelvis en invesering skulle medföra. RiskMerics som uvecklades av J P Morgan har blivi de mes kända syseme för riskbedömning. Syrelseordföranden för J P Morgan, Dennis Weahersone, bad sin personal om en rappor varje dag som skulle specificera den möjliga förlusen som föreage 4

5 riskerade under kommande 4-immars period. För a illgodose Weahersones krav uvecklades e sysem basera på radiionell porföljvalseori där sandardavvikelserna och korrelaionerna mellan olika illgångar används. (Dowd, s 17-18, 1998) Föreage använde sig av Value a Risk (VaR) som definieras som den med viss sannolikhe förvänade förlusen från ogynnsamma marknadsrörelser över en definierad idsperiod. (Söderlind, s 70, 001) Porföljvalseori beräknar risk med sandardavvikelserna från avkasningarna medan VaR innebär den maximala förvänade förlusen. VaR kvanifierar allså den risk som kan härledas ill en viss posiion. Andra VaR - modeller som den läanvända hisoriska simuleringen och den avancerade och kossamma Mone Carlo simuleringen uvecklades också. (Dowd, s 19-0, 1998) Anledningen ill a RiskMerics har blivi e så väleablera sysem är a J P Morgan 1994 offenliggjorde syseme och lä allmänheen kosnadsfri ladda ner programme på inerne. (Jorion, s 8, 1997) Användande av VaR ökar hela iden och de är bara en idsfråga innan de allra flesa finansiella akörer kommer a använda sig av de. Med hjälp av VaR kan man beräkna risken för en specifik porfölj, ofa innehållande flerale olika insrumen, dessuom kan risken för en enskild akie eller opion esimeras. En vikig anledning ill de ökande användande är a förluser sörre än VaR vid normala marknadsrörelser riskeras med en väldig lien sannolikhe. Ofa esimeras VaR med 95- eller 99 procens konfidensinervall. (Dowd, s 19-0, 1998) En annan vikig anledning ill de ökade användande av VaR är rapporen som he Basel Commiee ugav Efer denna rappor har flera cenrala banker gjor de obligaorisk för sina underordnade banker a kvanifiera marknadsrisken uifrån användande av VaR. Däremo finns de ingen sandardmodell för beräkning av VaR och bankerna kan välja fri på vilke sä man vill beräkna risken. (Nah, Samana, s, 003) 5

6 1. Problemaisering Vilken VaR-modell ska då användas? Uifrån bankens synvinkel är dea en mycke vikig fråga. Esimeras VaR ill e hög värde beyder de a banken måse undanhålla mer kapial än om risken beräknas vara låg. Tanken är a marknadsrisken ska äckas upp. Om föreage ökar kapiale som ska äcka marknadsrisken innebär de a andelen ege kapial kommer a öka. Ege kapial har högre avkasningskrav än ex lån och ökar de egna kapiale kommer därför kapialkosnaden a öka. Följakligen kommer roligvis en VaR-modell som ger e låg värde föredras framför en modell som ger e högre värde. Probleme blir då a föreage ine har illräcklig med kapial för a äcka den egenliga risken. A välja rä VaR-modell är allså ingen problemfri uppgif. Den enklase vägen a gå vore a välja en modell som uppfyller de överordnade bankernas krav samidig som VaR blir så låg som möjlig. En vikig dealj är här a VaRmodellen godkänns då anale gånger som modellen ger rä resula är illräcklig sor. Hänsyn as allså ine ill sorleken på förlusen. (Nah, Samana, s, 003) Olika finansiella akörer har emellerid olika syn på risk. Exempelvis kan nyofunkionen för en akiefond se hel annorlunda u än nyofunkionen för en bank. Hänsyn måse allså as ill olika individers preferenser. (Sarma e.al, s 3, 001) Den fråga som innehålle i denna uppsas kresar kring kan formuleras: Kan vi konsaera om någon av de enklare beräkningsmeoderna för VaR är lämpligas för a esimera risken? 1.3 Syfe Syfe med den här uppsasen är a undersöka VaR modeller för dagsförändringar, på OMX, med såväl 95 som 99 procens säkerhe. Modellerna som undersöks är MA, RiskMerics, hisorisk simulering sam GARCH. 6

7 1.4 Avgränsningar Vi använder oss av fyra olika VaR-modeller som används fliig bland föreag i dagsläge. Modellerna esar vi på OMX-index. Handelsdagarna som vår undersökning baseras på är från ill , vilke blir 510 handelsdagar oal. 1.5 Disposiion Nedan följer en beskrivning av uppsasens forsaa disposiion: Kapiel Teori: Dea kapiel behandlar de vikigase delarna av den forskning som finns inom område. Kapiel 3 Meod: Här beskriver vi hur vi genomför arbee, vilka modeller som använs och hur vi genomför eser på dessa. Kapiel 4 Analys: I dea kapiel diskuerar och analyserar vi de resula som vi kommi fram ill i våra undersökningar. Kapiel 5 Slusaser: I dea kapiel redogör vi för de vikigase slusaser som vi kommi fram ill i dea arbee. 7

8 . Teori I dea kapiel redogör vi för de olika VaR-modellerna som vi har val a använda sam vilka för- och nackdelar som är förknippade med dem. Vidare beskrivs de olika saisiska es som vi använder oss av..1 Value a Risk (VaR) VaR kan definieras som den med viss sannolikhe förvänade förlusen från ogynnsamma marknadsrörelser över en definierad idsperiod. (Söderlind, s 70, 001) Om de ugås från a den undersöka idsperioden är en dag och den givna sannolikheen är en procen så är VaR nedgången i porföljens värde som kan inräffa under näsa byesdag med sannolikheen 1 procen. För a VaR-modellen ska anses accepabel ska förluser sörre än VaR- måe inräffa mindre än en procen av gångerna. De vå vikigase komponenerna i VaR-modeller är de undersöka idsinervalle och val av konfidensnivå. (Hendricks, s 40, 1996) Equally Weighed Moving Average (MA) Med den här meoden beräknas sandardavvikelsen med hjälp av e så kalla moving window. Volailieen beräknas enlig följande formel: M σ = (1/M) r i i= 1 (Jorion, s 186, 1997) Sandardavvikelsen erhålles sedan genom kvadraroen ur urycke ill höger i formeln. MA ekniken går u på a prognosen för varje dag som går uökas med avkasning från föregående byesdag samidig som informaion för (M+1) dag sen försvinner från moving window. Vanlig är a 0 respekive 60 byesdagar används men ända upp ill 150 dagar används. I MA ges alla avkasningar 8

9 samma viker (1/M). Sörsa fördelen med modellen är a den är enkel a använda. Sörsa nackdelen är a avkasningarna är likavikade. Oavse hur gammal informaionen om avkasningarna är kommer den a få lika sor beydelse som färskare informaion. Vid en jämförelse mellan moving average processer med 0 respekive 60 byesdagar kan konsaeras a 60 dagar är mer sabil efersom en dags förändring då får mindre beydelse än om perioden är 0 dagar. (Jorion, s 186, 1997) Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasic (GARCH) Denna modell som är framagen av Engle och Bollerslev ar ill skillnad från MA sörre hänsyn ill senare informaion gällande avkasningar. I GARCH-modellen anas a den beingade variansen beror på den senase avkasningen sam den idigare beingade variansen. h definieras som den beingade variansen, där avkasning fram ill 1 används. r 1 är föregående dags avkasning. GARCH (1,1), där eorna beyder ARelemen i nivå respekive volymekvaionen, modellen definieras enlig: h = α α 1 r + β h 1 (Jorion, s 188, 1997) Alla paramerar anas vara posiiva Modellen är saionär om α 1 + β är mindre än 1. Den sörsa fördelen med GARCH är a ros de få paramerarna som modellen kräver ger den bra empirsik resula. Modellen illåer dessuom a volailieen varierar över iden. (Dowd, s 95, 1998) Sörsa nackdelen med modellen är a icke- linjarie råder. Vidare anas a residualerna är normalfördelade och är oberoende. (Jorion, s , 1997) Sluligen kräver modellen e sor anal observaioner för a ge påliliga resula. (Dowd, s 95, 1998) 9

10 RiskMerics För a beräkna variansen med denna meod används Exponenially Weighed Moving Average (EWMA). För a få de förvänade resulae vid idpunken används vå slags informaion. Dels används föregående avkasningar där viken säs ill lambda och dels används den senase kvadrerade avkasningen där viken ( 1 λ) används. Viken lambda väljs för a fele mellan den på förhand beräknade och den uppmäa volailieen i perioden ska minimeras. Volailieen kan då variera från en period ill en annan. (Dowd, s 95, 1998) Variansen beräknas då enlig h = h 1 + ( 1 λ) r 1 λ (Jorion, s 193, 1997) I formel måse Lambda vara mindre än 1. h kan skrivas om som h = (1 λ )( r + λr + λ r...) (Jorion, s 193, 1997) Ju lägre värde som lambda får deso snabbare får äldre observaioner mindre beydelse. Dras en parallell ill GARCH-modellen kan alfa säas ill 0 och bea säs ill 1. Fördelarna med RiskMerics - modellen är a den ar sörre och sörre hänsyn ill senare avkasningar samidig som äldre informaion får mindre beydelse. Vidare är modellen enkel a använda då enbar en parameer behövs, dea bidrar samidig ill mindre esimeringsfel. I denna modell sam i GARCHmodellen får senare avkasningar sörre beydelse än de föregående avkasningarna, som dessuom är summerade i h 1. I Moving Average måse alla M avkasningar finnas med. Nackdelen med modellen är a de visa sig vara en svår uppgif a besämma vilke värde på lambda som ger bäs resula. J.P Morgan har val 0,97 som de opimala värde vid månaliga daa och 0,94 vid dagsdaa. (Jorion, s , 1997) 10

11 Hisorisk simulering Denna meod går u på a hisoriska avkasningar används för a illverka en porfölj som i sin ur ger en simulering av VaR. Här används vikerna i den befinliga porföljen för a beräkna hypoeiska avkasningar som hade erhållis om porföljen funnis i observaionsperioden. (Dowd, s 99, 1998) Porföljens avkasning i perioden ges av N R p, k wi, Ri, k i= 1 = k = 1,..., (Jorion, s 1, 1997) Därefer väljs önskad konfidensnivå och sluligen beräknas VaR. (Jorion, s 1, 1997) Om de exempelvis finns 1000 observaioner på dagsbasis och VaR baseras på en 95 procenig konfidensnivå så anas a verklig förlus som överskrider VaR är 5 procen av dagarna, i de här falle 50 dagar. Dea innebär a VaR blir den 51 sörsa förlusen. I modellen ugår man från a de hisoriska avkasningarna ger en bra bild om hur avkasningarna kommer a se u följande period. (Dowd, s 99, 1998) Sörre säkerhe erhålls då anale observaioner ökar samidig som risken för a få med icke relevan daa ökar. Fördelen med modellen är a den är enkel a använda. Vidare kräver modellen ine linjarie eller a avkasningarna är normalfördelade. På grund av modellens enkelhe är den de vanligase säe a beräkna VaR på. Sörsa nackdelen med modellen är a bara en yp av informaion används. Sora förändringar som ske i idigare perioder behöver ine inräffa igen, samidig som nya fenomen inräffar. Då ger den hisoriska simuleringen en felakig bild. Sluligen som i falle med Moving Average ges all informaion lika vik oavse hur gammal den är. (Jorion, s -3, 1997). Saisiska es I den klassiska arikeln som Engle skrev 198 efersrävas bland anna a kunna göra funkionella prognoser inom e give inervall kring en punk. Här konsaeras a om de råder en id med lugn ska inervalle som undersöks smalas 11

12 av, samidig som inervalle ska ökas om de är en id med hög volailie. Anale observaioner som kommer uanför de på förhand beräknade inervalle kommer a spridas över hela sickprove och kommer således ine som kluser. Modellen som används för a undersöka e inervall kan i genomsni vara korrek då vi har en obeingad spridning. Däremo visar sig modellen felakig om den beingade spridningen är felakig. Dea visar sig genom a observaionerna kommer som kluser. (Chrisoffersen, s 84, 1998) Chrisoffersen uvecklade 1998 en mall för a uvärdera prognoser inom e inervall. VaR olkas som en prognos a porföljens avkasning kommer a finnas inom inervalle (-,v ) med sannolikheen p. Ana a VaR för kommande period { T v } 1 = 1 beräknas med en signifikansnivå 1-p. De ensidiga konfidensinervalle blir (, v 1 ), r är realiserade avkasningarna och v är prognosiserade VaR. I definieras som: I =1 om r<v 0 annars I är en sokasisk process och VaR prognosen är bra om den visar korrek beingad spridning, allså om E( I ) 1 = p. Om dea gäller är I iid med p. Allså om hänsyn as ill all informaion vid idpunken. Korrek beingad spridning medför korrek obeingad spridning då den sisnämnda är korrek beingad spridning uan a hänsyn agis ill informaionen vid idpunken. (Chrisoffersen, Diebold, s 13, 000) Chrisoffersen har uveckla en mall i re seg för a esa den beingade spridningen. Tes för obeingad spridning, oberoende och en kombinaion av dessa vå görs med hjälp av LR es. 1

13 LR es för obeingad spridning Inervalle { I } T = 1 konsrueras för a esa obeingade spridningen. Hypoesen E( I = p ), allså a vi har korrek obeingad spridning esas mo alernaivhypoesen a E( I p), allså a vi ine har korrek obeingad spridning. (Chrisoffersen, Diebold, s 13, 000) Likelihood funkionen under nollhypoesen är L( p; I1, I,... I T ) n0 n1 = (1 p) p där p i denna modell är signifikansnivån, allså aningen 0,95 eller 0,99. Alernaivhypoesen är L π; I, I,... ) (1 π ) ( 1 I T n0 n1 = π där π i alernaivhypoesen är de kalkylerade VaR-värde. LR ese för obeingad spridning ser u enlig följande: LR uc n1 p (1 p) = log( ) ~ x (1) där n1 n0 n0 π (1 π ) p är signifikansnivå n1 är anale eor i sickprove n0 är anale nollor i sickprove I LR ese är π = n 1 /( n0 + n1 ) MLE (maximum likelihood esimae) av p och s= är anale möjliga ufall (0 eller 1). Tese har en asympoisk (asy) χ fördelning med ( s 1) frihesgrader. Idén med de här ese är a se spridningen i inervalle, däremo klargör ine ese om nollorna och eorna kommer som kluser. Allså visar LR ese för obeingad spridning enbar anale nollor och eor. (Chrisoffersen, s 845, 1998) 13

14 LR es för oberoende Dea es går u på a klargöra om oberoende råder i spridningen. Allså hur många nollor som följs av en nolla och vice versa. Likelihood funkionen ser u enlig följande L( π = n00 n01 n10 1 ; I1, I,..., I T ) (1 π 01) π 01 (1 π 11) π n I funkionen är n ij anale i som följs av j. Allså en nolla som följs av en ea. För a esa om e oberoende råder ser likelihood funkionen under nollhypoesen u enlig L( π ; I 1, I,..., I T ) ( n00 + n10 ) ( n01+ n = (1 π ) π 11 ) LR ese för oberoende ser u enlig LR ind (1 π ) 00 π 01 = log ~ (1) där (1 π ) ( n + n10 ) ( n + n11 ) x n n n n11 (1 ) π π π11 n ij är anal i som följs av j π Pr{ I = i I 1 j} och där i och j i dea fall är 0 och 1 π π π ij = = = n01 01 n00 + n01 = n11 11 n10 + n11 = n01+ n11 n00 + n01+ n10 + n11 Tese har en asympoisk χ fördelning med ( s 1) frihesgrader. S är forfarande vå, då ufalle är aningen e eller noll. (Chrisoffersen, s , 1998) 14

15 LR es för spridning och oberoende För a få e es för den oala beingade spridningen kombineras nu de vå idigare esen i e gemensam. Nollhypoesen i ese för den obeingade spridningen sälls mo alernaivhypoesen i ese för oberoende. LR ese för spridning och oberoende ser u enlig följande asy 1 T 1 1 T χ LR cc =-log[ L( p; I, I,..., I ) / L( π ; I, I,..., I )] ~ χ ( s( s 1)) = () LR- ese har en asympoisk χ fördelning med s(s-1) frihesgrader. Om den försa observaionen villkoras i ese för obeingad spridning gäller a π = π. Om man borser från den försa observaionen så gäller följande samband: LR cc =LR uc +LR ind (Chrisoffersen, s , 1998) i formeln kan vi se a LR cc är de logarimerade värde på condiional coverage, LR uc är värde på uncondiional coverage och sluligen är LR ind de logarimerade värde på independence- funkionen..3 Loss funkioner I augusi 1996 anog U.S bank regulaory agencies de så kallade Marke risk amendmen (MRA) som innebär a kommersiella banker som bedriver omfaande handel måse säa en viss del av kapiale å sidan för a äcka upp exponeringen mo marknadsrisken. (Lopez, s 3, 1999) I de re esen som beskrivis ovan för obeingad spridning, oberoende och de gemensamma för spridning och oberoende ugås de i nollhypoesen a VAR-esimeringen kan uppvisa en specifik egenskap. Nollhypoesen förkasas om den undersöka modellen ine visar på den specifika egenskapen, modellen sägs vara inaccurae. Om nollhypoesen ine kan förkasas anas modellen vara accepably accurae. Fram ill och med 1999 användes vå es för a värdera VaR-modeller, dels den så kallade binominala meoden och dels Chrisoffersens es. Probleme med de här vå eserna är a hänsyn ine as ill sorleken på förlusen (Lopez, s 3-4, 15

16 1999). Den binominala meoden är en så kallad loss funkion där e värde på 0 illdelas om I = 0, allså om resulae är posiiv. Loss funkionen illdelas e värde på 1 om I = 1, allså om resulae är negaiv (VaR-esimeringen överräffas av sin mosvarande porföljs förlus). Den binominala meoden mosvarar Chrisoffersens es för obeingad spridning. Lopez har konsruera yerligare en loss funkion som även ar hänsyn ill sorleken på förlusen. (Lopez, s 7, 1999) Regulaory Loss Funkion Efersom ine enbar anale eor och nollor har beydelse konsruerade Lopez denna funkion. En sorlekserm inroduceras i binominalmodellen. Precis som idigare erhålls en ea om resulae är negaiv, dessuom beräknas sorleken på förlusen. Resulae beräknas i kvadra så a sora förluser sraffas mer än mindre förluser. L 1+ ( förlus VaR ) omvar 1 = 0Annars 1 < förlusen (Lopez, s 8, 1999) 16

17 3. Meod I dea avsni redogör vi för vilka angreppssä vi val a använda oss av då vi försöker klargöra vilka VaR-modeller som ger mes illförliliga resula. Tanken med dea kapiel är a ge läsaren en klarare bild av hur vi ren prakisk använder befinlig eori. 3.1 Daa Daamaeriale som vi använ oss av laddades ner från Sockholms fondbörs hemsida ( och avser OMX- index. Vår undersökningsperiod sräcker sig från ill och omfaar 510 handelsdagar där vi beräknar den procenuella förändringen dag för dag. Anledningen ill a i väljer dea idsinervall är a de är illräcklig sor för a ge illförliliga resula. De beräkningar som görs uförs i Microsof Excel och Eviews. 3. VaR-modeller De försa vi gör i vår undersökning är a välja u fyra VaR-modeller: Equally Weighed Moving Average-modellen (MA), GARCH-modellen, RiskMericsmodellen och hisorisk simulering. Anledningen ill a dessa modeller användes är a de är väleablerade och a de används i sor usräckning i dagsläge för VaR-beräkning. 3.3 Beräkning av VaR med MA Med den här modellen beräknas sandardavvikelsen genom a en viss mängd hisoria används. Efersom de ine finns några regler för vilken urvalsperiod som 17

18 ska användas vid beräkning med den här modellen använder vi oss av fem olika så kallade moving windows: 50, 15, 50, 500 och 150 dagar. Därefer väljs konfidensnivån och efersom 95 - respekive 99 procen är vanligas använder vi dessa. I en normalfördelningsabell mosvarar dessa nivåer sandardavvikelser på 1,64 sam,33. Sandardavvikelsen per dag mulipliceras därför med 1,66 respekive,33 beroende på vilken konfidensnivå som vi använder oss av. Anledningen ill de negaiva ecknen är a endas de negaiva värdena i inervalle är inressana. 3.4 Beräkning av VaR med GARCH Denna modell är idskrävande a arbea med och därför använder vi enbar 150 observaioner, som anses vara illräcklig många observaioner för a ge illförliliga resula. Med hjälp av Eviews beräknas de fem paramerarna α, α γ γ γ. VaR beräknas genom a muliplicera den beingade 0 1, 0, 1, sandardavvikelsen med abellvärdena i normalfördelningsabellen, -1,64 sam -,33 precis som i falle med MA. 3.5 Beräkning av VaR med RiskMerics På samma sä som för GARCH-modellen as här sörre hänsyn ill senare observaioner. Observaionernas beydelse för sandardavvikelsen avar exponeniell ju längre bak i iden de ligger. Då modellen ger varierande resula beroende på vilke lambda som anas så väljs fyra olika värden: λ = 0,90, 0,94, 0,96 och 0,99. Anale observaioner som vi använder oss av är 150. Med andra ord så är vidden på fönsre de samma, endas värde på lambda varierar. Efer de a sandardavvikelsen beräknas kan vi beräkna VaR på samma sä som i idigare fall. 18

19 3.6 Beräkning av VaR med hisorisk simulering Då vi beräknar VaR med denna modell använder vi oss av fem olika idsperioder: 50, 15, 50, 500 och 150 dagar. Från varje urvalsperiod ar vi u den 95 - respekive den 99:e percenilen. Dessa värden konsaeras hel enkel vara våra VaR-värden. 3.7 Chrisoffersens Tes När vi beräkna VaR för våra fyra olika modeller esar vi om modellerna håller saisisk. Med hjälp av de olika modellerna erhålls daglig informaion om VaR som i sin ur jämförs med de observerade avkasningarna, om observerad avkasning är mindre än VaR erhålls värde 1. I de fall då observerad avkasning är sörre illdelas värde 0. För a en modell ska godkännas vid en 95 procenig konfidensnivå ska värde bli 1 i 5 procen av fallen och i 95 procen av fallen ska värde bli 0. Vid en 99 procenig - konfidensnivå ska fördelningen vara 1 i 1 procen av fallen. Vi genomför här e es för så kallad obeingad spridning. För a esa så a sickprove har en jämn fördelning uför vi e es för oberoende. Om VaR-modellen ska kunna godkännas är de vikig a vår prognosiserade VaR är spri över hela sickprove och a de ine kommer som kluser. Tese går u på a klargöra om oberoende råder i spridningen. Allså hur många nollor som följs av nollor och vice versa. I e redje es som vi uför kombineras esen för obeingad spridning och oberoende och de modeller som godkänns går vidare ill nya es. Om de visar sig a modellen ine klarar sig igenom konsaerar vi modellen icke godkänd. För a modellen skulle anses godkänd är den vungen a godkännas på re av re av Chrisoffersens es. För samliga es använder vi χ fördelning. De vå försa används en frihesgrad och i de sisnämnda används vå. I de fall värde från våra beräkningar översiger 19

20 de som vi erhåller från fördelningsabellen bedöms modellen som signifikan, och godkänns ine. 3.8 Loss funkioner De modeller som klarar esen som Chrisoffersen har uforma kvalificerar sig för yerligare es. Vi använder en Loss funkion för a konsaera sorleken på den akuella förlusen vid användande av en specifik VaR-modell. Anledningen ill de yerligare ese är a Chrisoffersens eser endas konsaerar om en VaR-modell kan godkännas saisisk. E möjlig scenario är a modellen godkänns men a de visar sig a förlusen är mycke omfaande. En modell som minimerar förlusen prefereras framför en modell som ger en hög förlus. Vi använder oss av Regulaory Loss funkion och den modell som genererar lägs förlus är den bäsa modellen enlig våra eser på OMX index. 0

21 4. Analys I dea avsni analyserar vi de resula som erhålls med hjälp av våra beräkningar i Excel och Ewievs. Som angavs i meodavsnie genomförs selekeringen av modeller i re seg. Förs görs es för obeingad spridning i sickprove. Med dea menar vi hur bra VaRmodellen lyckas fånga upp risken i en placering. Om man ugår från en 95 procenig konfidensnivå ska VaR-modellen fånga precis 95 procen av de verkliga ufallen för a anses vara exak, om mindre värden fångas upp anses modellen underskaa den verkliga risken. De omvända gäller också. Därefer esar vi a de föreligger slumpmässighe i spridningen av ufalle. Med andra ord så skall r <v med sörsa sannolikhe följas av r>v. De sisa av de re esen är en kombinaion av de vå försnämnda, allså a vi dels har slumpmässighe och obeingad spridning. För a vi ska godkänna en modell måse den klara alla 3 delar i de här ese. För a underläa för läsaren så har vi samansäll en abell över de värden som vi beräknar fram. Den försa abellen visar ufalle för den 95 proceniga nivån och den eferföljande visar således den 99 proceniga. I abellerna markeras e signifikan värde med * vilke beyder a modellen ine godkänns på denna nivå. I vår sudie kommer vi a dra en hel del paralleller ill Sarma e al. Dea är en liknande sudie som vi gör. Sarma e al genomför sin sudie på vå andra index. För a få en överblick över hur de procenuella förändringarna vari på OMX under analysperioden kan läsaren sudera figur 1. 1

22 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1 jan-95 jan-96 jan-97 jan-98 jan-99 jan-00 jan-01 jan-0 jan-03 jan-04 Figur 1. procenuella förändringar från dag ill dag på OMX Vi kan med bloa öga se a förändringarna ine är särskil umärkande under inledningen av samplingsperioden. Under de någo mer börs- urbulena åren som följer därefer kan vi se sörre förändringar. 4.1 MA (95 % nivå) Om vi suderar resulae för MA så kan vi konsaera a de ine föreligger saisisk signifikans i någo fall beräffande obeingad spridning, (LR uc ). Ser vi ill de värden som vi erhåller vid våra beräkningar så är de alla under 3,84. Dea värde är de högsa illåna värde med en frihesgrad enlig χ - abellen. Dea resula är ine hel i linje med de som Sarma e al får vid sina beräkningar. De får ine signifikan resula på alla eser av modellerna som uförs på vå andra akieindex. I vår fall beyder de a anale eor och nollor sämmer i modellen. Tanken är a modellen ska ana värde 0 i 95 procen av fallen och värde 1 i de reserande 5 procenen av fallen för a godkännas. När vi i näsa seg ser ill ese för oberoende (LR ind ) kan de konsaeras a samliga godkänns, dea innebär a de ine föreligger kluser i våra sickprov. Vi kan allså konsaera a de på de olika nivåerna i MA kommer nollorna och eorna slumpmässig. I sudien som Sarma e.al genomför erhåller de här liknande resula som vi. Även vid dea es använder vi oss av värde 3,84 i χ vå abellen. Ser vi ill de gemensamma ese för oberoende och obeingad spridning (LR cc ) så uppvisar ingen saisisk signifikans, med andra ord så godkänns samliga på dea es. Värde som vi här

23 jämför med är 5,99 då vi e de gemensamma ese använder oss av vå frihesgrader i sälle. Efersom ine nollhypoesen förkasas i någo av fallen så godkänns samliga modeller, och dessa kommer således a gå vidare ill es med Loss-funkioner. I vår eori kan man läsa om a resulaen ska blir mer illförliliga om de så kallade moving window ökas då modellen blir mer sabil. I vår fall är de dock svår a dra någon sådan slusas. Vi konsaerar a oavse om vi använder 50, 15, 50, 500 eller 150 dagar så godkänner vi modellen på 95 procens- nivån. LR UC LR ind LR cc MA 150 0,84 0,8 1, ,36 0,95 1, ,00 0,48 3, ,1 1,39 1, ,06 0,64 0,75 RiskMerics 0,90 0,35 0,11 0,51 0,94 0,01 0,0 0,5 0,96 0,00 0,00 0,05 0,99 0,36 0,95 1,35 GARCH 3,87* 1,05 6,0* HS ,34* 0,14 40,60* 500 3,0 0,01 3, ,36* 0,19 53,60* 15 64,76* 0, 65,11* ,41* 0,30 119,90* Tabell 1 Resulae för uräkningarna på 95 procens nivån.* innebär a värde är signifikan på 5%-nivån 3

24 4. RiskMerics (95 % nivå) När vi i näsa seg ser på RiskMerics så finner vi a resulae är i parie med de som vi fick fram i föregående modell (MA) beräffande obeingad spridning. De värden som vi erhåller med hjälp av Chrisoffersens försa es är allså lägre än de illåna enlig χ - abellen. I undersökningen som Sarma e.al genomför godkändes alla de olika nivåerna. I likhe med deras undersökning sämmer allså anale eor och nollor. Om vi suderar resulae från ese av oberoende så finner vi a ingen av de i modellen ingående momen uppvisar signifikans, med andra ord så godkänns dessa. Ser vi ill undersökningen som Sarma e al genomför har de problem med kluser i några fall. På samma sä godkänns även samliga då vi ser på de gemensamma ese. Precis som i föregående fall så godkänns allså samliga modeller och alla kommer a esas via Loss-funkion. I eorin beskriver vi a de är svår a besämma vilke värde på lambda som ska användas. Vi kan bara konsaera a oavse om vi använder 0.99, 0.96, 0.94 eller 0.90 så godkänns modellen på denna konfidensnivå. 4.3 GARCH (95 % nivå) För GARCH-modellen förkasas nollhypoesen i de försa falle för obeingad spridning dea innebär a modellen ine godkänns. För försa gången kan vi konsaera a en modell förkasas på grund av a anale eor och nollor ine sämmer. Vi har precis som idigare ine här heller några problem med kluser i sickprove. I de gemensamma ese för oberoende och obeingad spridning förkasas modellen. Dea är försa gången som vi kan konsaera a en modell ine klarar dea es, vår värde är högre än de illåna 5,99. I undersökningen som Sarma e al genomför går denna modell vidare ill es med Loss funkioner. I eoridelen kan man läsa a GARCH-modellen ofa ger e mycke bra empirisk resula men i vår fall verkar ine dea vara falle. Denna modell kommer således ine a analyseras vidare. 4

25 4.4 Hisorisk simulering (95 % nivå) Vi får med denna meod fram höga värden i ese för oberoende. Man kan med andra ord säga a anale eor och nollor ine är proporionell fördelade i sickprove. De är endas i falle HS (500) som vi går vidare ill es med Lossfunkion. I dea es får vi liknande resula som Sarma e al. De förkasar en klar majorie av de olika nivåerna gällande Hisorisk simulering. Precis som i de idigare modellerna som vi undersök kan vi ine heller i hisorisk simulering konsaera kluser i sickprove oavse om 150, 500, 50, 15 eller 50 dagar används. Dea sämmer också hel med den idigare undersökningen på andra index. Vid analyseringen av de gemensamma ese för oberoende och obeingad spridning gör vi en inressan iakagelse, nämligen a vi förkasar 4 av 5 modeller. Enbar (HS 500) klarar sig. Liknande resula får Sarma e al fram. I eorin beräar vi a denna modell är mycke enkel a använda och a den dessuom används i sor omfaning som VaR-må. Däremo sägs modellen ine ge illförliliga resula. Ser man ill vår resula med hjälp av den hisoriska simuleringen kan vi bara konsaera a vi är beredda a hålla med om a modellen är opålilig a använda sig av. 4.5 MA (99 % nivå) Nollhypoesen förkasas ine för någon av nivåerna under de försa vå esen. Värdena är allså lägre än jämförelsevärde 6,64 i χ -abellen när de nu handlar om 99 procenig konfidensnivå. Anale eor och nollor sämmer i urvale dessuom råder oberoende. Även vid de eferföljande ese godkänns samliga nivåer. I χ -abellen jämför vi på denna konfidensnivå med värde 9,1 då vi använder vå frihesgrader. Liksom idigare godkänns samliga modeller och de innebär a vi kommer a analysera MA på den här konfidensnivån vidare med hjälp av loss- funkion. I undersökningen som Sarma e al genomför på den här konfidensnivån konsaeras a de ill skillnad från oss förkasar de flesa nivåerna gällande obeingad spridning. Vidare i es för oberoende är våra resula lika. I de 5

26 gemensamma ese förkasar de en del modeller, vilke vi ine gör. Troligvis beror de skifande resulaen på a våra undersökningar uförs på olika index. LR UC LR ind LR cc MA 150 3,03 0,6 3, ,01 1,04, ,6,41 3, ,4 0,49 1, ,07 0,8,97 RiskMerics 0,90 1,6 0,36 1,57 0,94 1,4 0,4 1,94 0,96 0,37 0,64,74 0,99 0,61 0,56,53 GARCH 7,05* 1,33 9,51* HS 150,01* 0,04 33,81* 500,05 0,31 1, ,97*,35 94,0* 15 46,67* 0,76 57,93* 50 46,67* 0,76 57,93* Tabell Resulae för uräkningarna på 99 procens nivån. * innebär a värde är signifikan på 1%-nivån 4.6 RiskMerics (99 % nivå) Värdena som erhålls från de försa ese är alla under gränsvärde som vi angivi. Oavse vilke värde vi säer lambda ill godkänns samliga nivåer då vi esar om anale eor och nollor sämmer i sickprove. Då vi suderar RiskMerics på 95 procens nivån konsaeras a ese för obeingad spridning godkändes. Precis 6

27 som på den idigare konfidensnivån godkänner vi alla modeller i Chrisoffersens es för oberoende sam de gemensamma för oberoende och obeingad spridning. Kluser är således inga problem då vi esar RiskMerics oavse 95 eller 99 procenig konfidensnivå. I sudien som genomförs av Sarma e al förkasas hälfen av modellerna i ese för obeingad spridning. I ese för oberoende godkänner de alla modellerna precis som vi gör. I de gemensamma ese godkänner Sarma e al hälfen av modellerna. Resulaen i båda undersökningarna på 99 procens nivån är lik den undersökningen som genomförs på 95 procens nivån. Då alla nivåerna: 0,99, 0,96, 0,94 och 0,90 godkänns i samliga seg så kommer RiskMerics vidareanalyseras med Loss funkioner. 4.7 GARCH (99 % nivå) Då vi suderar resulae från GARCH-modellen finner vi a nollhypoesen förkasas i de försa ese. I de eferföljande es kan ine nollhypoesen förkasas, vi har allså inge kluser i sickprove. Efersom denna modell ine får godkän på de försa ese och de redje gemensamma ese så kommer den ine a vara kvalificerad ill yerligare es med Loss-funkion. Dea resula erhålls även då vi esar på 95 procens nivån. Enlig vår resula på denna modell syrks ine de som vi agi del av i eorin, nämligen a modellen brukar ge e empirisk bra resula. På de index som Sarma e al använder sig av för a bedöma hurvida GARCH ger bra resula godkänns däremo modellen. Anledningen ill våra skifande resula är a undersökningarna genomförs på olika index 4.8 Hisorisk simulering (99 % nivå) Vi får precis som på 95 procens nivån höga värden på de försa ese för obeingad spridning, de är bara HS (500) som håller sig inom gränsvärde. I de övriga fallen har vi en felakig fördelning av anale eor och nollor. Slumpmässighe råder i sickprove då vi ine kan konsaera endenser ill kluser. I de gemensamma ese för oberoende och obeingad spridning konsaerar vi 7

28 även här a fyra av fem nivåer underkänns, enbar HS (500) godkänns. Sarma e als resula är i parie med vad de idigare konsaerar på 95 % nivån. Precis som då vi esar hisorisk simulering på 95 % nivån godkänns endas HS (500), som går vidare ill analysering med Loss Funkion 4.9 Loss-Funkioner (95- och - 99 % nivå) Efer våra beräkningar konsaerar vi som vi idigare nämn a dea es endas uförs på de modeller som klarar Chrisoffersens alla re seg. Anledningen a man använder loss funkioner är för a kunna jämföra konkurrerande VaRmodeller för a se vilken som minimerar förlusen. I nedansående abell kan vi se resulae efer den genomförda Loss-funkionen på de modeller som klarar Chrisoffersens es på 95 procens nivån. Man kan konsaera a låga värden är a föredra. Dea efersom de som mäs är summan av den kvadrerade differensen mellan r och v vid failure. Med andra ord så sraffas sora avvikelser. Lägs värde uppvisar RM (0,99) med 0,0093 så sannolikheen a denna modell är bäs är därför sor. Om vi iar på den modell som fick högs värde så var de HS (500). Dea är föga överraskande efersom den hisoriska simuleringen visa sig vara opålilig vid de idigare eserna.

29 Modell RLF MA (150) 0,0138 MA (500) 0,0096 MA (50) 0,0113 MA (15) 0,0097 MA (50) 0,0097 RM (0,90) 0,0104 RM (0,94) 0,0100 RM (0,96) 0,0097 RM (0,99) 0,0093 HS (500) 0,116 Tabell 3. Ufall vid Loss-funkion på 95%-nivån Då vi iar i abellen över de resula som erhålls vid Loss-funkion på 99-procens nivån kan vi se a MA (15) uppvisar de lägsa värde. Dock så kan vi se a RM (0,99) visar rikig låg siffra även här. Säms är åerigen HS (500) med 0,0514. Uifrån abellerna ser vi a vi får fram all lägre värden på RiskMerics deso sörre al som Lambda anar. Allså kan de i de här falle finna indikaioner som yder på a deso sörre hänsyn som as ill äldre daa deso lägre blir värde i Loss-funkionen. Dea mönser ser vi oavse om vi iar på 95- eller 99 procens nivån

30 Modell RLF MA (150) 0,0043 MA (500) 0,006 MA (50) 0,004 MA (15) 0,003 MA (50) 0,0033 RM (0,90) 0,0035 RM (0,94) 0,0034 RM (0,96) 0,0033 RM (0,99) 0,004 HS (500) 0,0514 Tabell 4. Ufall vid Loss-funkion på 99%-nivån

31 5. Slusaser Syfe med vår uppsas var a jämföra fyra vanliga VaR-modeller och försöka konsaera vilken av dessa som ger mes illförliliga resula. Av de modeller som vi bearbeade var de flerale som ansågs godkända. En inressan iakagelse som vi gör är a de flesa modellerna på både 95 - och 99-procens nivån klarar ese för oberoende, vilke beyder a kluser ine har vari några problem i modellerna. De modeller som visa sig säms är de som uförs med hisorisk simulering. De flesa modellerna får godkän i ese som behandlar anale illfällen då r<v. Dea är hel i linje med resulae som Sarma e.al erhöll vid sina eser. I eorin konsaerades a om sora så kallade moving windows används ger modellerna ofa mer illförliliga resula men dea kan vi ine hålla med om då våra beräkningar uförs. Vi kan ine se någo sådan samband. Då 10 av 15 modeller som vi undersöke med Chrisoffersens es fick godkän anser vi a VaR är e bra sä a beräkna den förvänade förlusen på. Vi vill poängera a de re esen för obeingad spridning, oberoende och de gemensamma ese är uslagsgivande och ine hel enkel a passera. Vi ycker ine a de är förvånande a VaR har få den popularie som den fakisk få. Dock kan man se skillnader mellan olika modeller. Exempelvis visar sig ine den hisoriska simuleringen ge vidare bra resula. Sluligen vill vi ine nog undersryka a vår sudie baserar sig på endas e index och a dra allför snäva slusaser kan vara farlig.

32 Källföreckning Chrisoffersen, Peer F (1998) Evaluaing inerval Forecass Inernaional Economic Review, Vol 39 Chrisoffersen, Peer F, Diebold, Francis X (000) How Relevan is Volailiy Forecasing for Financial Risk Managemen Review of Economics and Saisics, 8:1-11 Diebold, Francis X, Mariano, Robero S (1995) Comparing Predicive Accuracy Journal of Business and Economic Saisics, Vol 13, nr 3 Dowd, Kevin (1998) Beyond Value a Risk: he new science of risk managemen, John Wiley & Sons Ld Hendricks, Darryll (1996) Evaluaion of Value-a-Risk Models Using Hisorical Daa Federal Reserve Bank of New York, Economic Policy Review Jorion, Philippe (1997) Value a risk: he new benchmark for managing financial risk, Mc Graw-Hill, nd ed Lopez, Jose A (1999) Mehods for Evaluaing Value-a-Risk Esimaes, Economic Review Federal Reserve Bank of San ransisco, nr Nah, Golaka C, Samana, G P (003) Selecing Value-a-Risk Models for Governmen of India Fixed income Securiies Reserve Bank of India Sarma, Mandira, Shah, Ajay, Thomas, Susan (001) Selecion of Value-a-Risk models, Journal of Forecasing Simons, Kaerina (000) The use of Value a Risk by Insiuional Invesors, New England Economic Review, November-December

33 Söderlind, Lars (001) A mäa ränerisker, SNS förlag, Sockholm