Flervariabelanalys: Exempel

Transkript

1 Flervariabelanals: Eempel Tomas Sjödin 5 augusti 9 enna sammanställning är i princip teterna ur presentationerna till video-eemplen i ett utskriftvänligt format. et är dock inte nödvändigtvis fullständiga lösningar som är lätta att följa fristående, utan behövs mer förklaring får man gå till motsvarande video. Efter varje eempel nns hänvisning till de rekommenderade uppgifterna ur övningshäftet Flervariabelanals: problemsamling som (någorlunda liknar föregående eempel (eventuellt ett eller era föregående, och i slutet av varje kapitel nns även de rekommenderade etrauppgifterna. elmängder till R n. Funktioner Eempel.. Rita mängden {(, R : <, + 4 4} samt beskriv dess inre punkter, ttre punkter samt randpunkter. Är mängden öppen, sluten eller varken eller? M = {(, R : <, + 4 4} = M M där M = {(, R : < } och M = {(, R : + 4 4}. M = M M + 4 = 4 M o = {(, R : <, + 4 < 4}. M = {(, R : <, + 4 = 4} {(, R : + 4 4, = }. M är varken öppen eller sluten. Yttre punkter:{(, R : > } {(, R : + 4 > 4}. Rekommenderade uppgifter:.,. Eempel.. Rita mängden M = {(, R : = } samt ange dess inre punkter respektive randpunkter. Är mängden öppen, sluten eller varken eller? Är den begränsad?

2 = ( ( = ( 3 + ( + = 4 = etta är en cirkel med radie och centrum i (3,. (3, M M är sluten. M = M. M saknar inre punkter. M är begränsad. Rekommenderade uppgifter:.3,.4,.7 Eempel.3. Beskriv skärningen mellan de två mängderna i R 3 som ges av {(,, z R 3 : + + z 3} respektive {(,, z R 3 :,, z }. En olikhet på formen a + b + cz d (eller d ger upphov till ett slutet halvrum som ligger på en sida om planet a + b + cz = d med normal (a, b, c. M = {(,, z R 3 : + + z 3} {(,, z R 3 :,, z } ges av de punkter (,, z som uppfller de fra olikheterna + + z 3,, och z. Vardera av dessa olikheter ger alltså upphov till ett halvrum, och vår mängd är snittet mellan dessa fra halvrum. För att förstå området kan det vara bra att först notera att randen ligger i de plan som ges av + + z = 3, =, = respektive z =. et kan vara värt att plotta hur randens snitt ser ut för några av dessa: Området är alltså en sluten tetraeder:

3 (,, / (,, (,, (,, Rekommenderade uppgifter:.9,. Eempel.4. Beskriv funktionstan z = f(, där f(, =. Bestäm även denitionsmängden f och värdemängden V f. Bestämma f : z =. f ges av att +. etta är en ellips. Vi kan även skriva { } f = (, :, = { (, :, }. Bestämma V f : Eftersom z är noll på randen till denna ellips, och där värdet antas i (, ser vi att z. et är lätt att inse att alla värden mellan dessa antas så V f = [, ]. Kurvor på formen f(a,, f(, b: För att förstå den tredimensionella grafen är det bra att först titta på graferna f(a, och f(, b för några a a respektive b. T.e. med a =.7 skulle vi få f(.7, = (.7 =.5 som plottad i z-planet har grafen: 3

4 Med b = skulle vi få f(, = som plottad i z-planet har grafen: Graf: Om man plottar ut sådana kurvor (a,, f(a, respektive (, b, f(, b för några lämpligt valda värden på a respektive b bildas ett rutnät som ligger på grafen, och från detta kan man sedan få en vettig plot: Nivåkurvor: Nivåkurvorna ges som lösningar till ekvationen f(, = = c = c. essa är då ellipser + = c för c [, [, och endast punkten (, om c =. Rekommenderade uppgifter:. 4

5 Eempel.5. Rita nivåkurvorna f(, = c då f(, = 4 för c =,,. 4 = c ( = c. Eftersom 4 c för de c vi ska titta på löser vi ut ( + = 4 c = ± + 4 c. etta ger hperbler med asmptoter = ±. För c = skär dessa -aeln (d.v.s. när = i = + 5 och = 5. För c = skär dessa -aeln i = och = 4. För c = skär dessa -aeln i = + 3 och = 3. Rekommenderade uppgifter:.3 Etrauppgifter:.5,.6,. Gränsvärden och kontinuitet Eempel.. Beräkna, om gränsvärdet eisterar: (a (, (, +, (b + (, (,. Lösning (a: Med polära koordinater = ρ cos ϕ, = ρ sin ϕ får vi = ρ3 (cos 3 ϕ + sin 3 ϕ ρ = ρ(cos 3 ϕ + sin 3 ϕ = /Eftersom (cos 3 ϕ + sin 3 ϕ är begränsad/ då ρ. Eftersom ρ då (, följer det att (, (, =. Lösning (b: Med polära koordinater = ρ cos ϕ, = ρ sin ϕ får vi + = ρ ρ (cos ϕ sin ϕ (cos ϕ sin, då ρ. ϕ 5

6 etta beror dock på ϕ. T.e. om vi tar ϕ =, vilket svarar mot att vi går längs med positiva -aeln får vi, och om vi tar ϕ = π/, vilket svarar mot att vi går längs med positiva -aeln får vi. Alltså eisterar inte gränsvärdet. Lösning (b, Alternativ : Vi måste inte införa polära koordinater här. Om vi går in mot (, längs -aeln får vi när vi sätter = i uttrcket: När vi går längs med -aeln får vi istället Alltså eisterar inte gränsvärdet. =. =. Rekommenderade uppgifter:. (Se även Eempel.7 nedan. Eempel.. Beräkna, om gränsvärdet eisterar: cos( + (, (, cos( = / cos t = t / + b(tt 4, där b(t är begränsad nära / = ( + / + b( + ( = ( + / + b( + ( + 4 ( + = + b(ρ ρ 8 ρ 4 då ρ. Rekommenderade uppgifter:. Eempel.3. Beräkna, om gränsvärdet eisterar: (, (, sin( sin( + + (, (, + = / = + t/ = + sin(( + t ( + t + + (t, (, ( + t ( + t + = + sin(t + (t, (, t + =. Ovan använde vi att t + då (t, (,, samt att sin s/s då s med s = t +. 6

7 Rekommenderade uppgifter:.3ab Eempel.4. Beräkna, om gränsvärdet eisterar: (,,z (,, z + + z. Med sfäriska koordinater = r cos ϕ sin θ, = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ får vi z + + z = r cos ϕ sin θr cos θ r = r(cos ϕ sin θ cos θ då r. Eftersom r då (,, z (,, så följer det att (,,z (,, z + +z =. Rekommenderade uppgifter:.4abc Eempel.5. Beräkna, om gränsvärdet eisterar: Med polära koordinater = ρ cos ϕ, = ρ sin ϕ får vi Eftersom ρ = + följer det att + + = ρ ρ ρ sin ϕ = sin ϕ/ρ då ρ =. Rekommenderade uppgifter:.5 Eempel.6. Funktionen f(, = sin( ( är inte denierad i (,. Går det att deniera f(, så att funktionen blir kontinuerlig i origo? Eftersom t = då (,, samt sin t/t då t får vi: Om vi denierar blir funktionen kontinuerlig i origo. sin( (, (, ( =. f(, = 7

8 Rekommenderade uppgifter:.8,.9 Eempel.7. Beräkna, om gränsvärdet eisterar: ( + (, (,. Vi börjar med att testa polära koordinater = ρ cos ϕ, = ρ sin ϕ: ( + ρ 4 = ρ (cos ϕ sin ϕ = ρ (cos ϕ sin ϕ. OBS! uttrcket /(cos ϕ sin ϕ är inte begränsat, så vi kan inte dra (den felaktiga slutsatsen att gränsvärdet blir. Vi ser att nämnaren blir noll precis på linjerna = ±. Notera att om vi går in längs räta linjer = k (eller = med k ± så får vi ( + k ( k =... =. Men om vi istället tittar på en lämplig kurva som tangerar t.e. = i origo, som = + 3 för säg > så får vi ( + ( + 3 ( ( + 3 = 4 6 =... =. Eftersom vi hittat kurvor som går in mot punkten, men som ger olika gränsvärden eisterar inte gränsvärdet. = + 3 = k Notera alltså speciellt att det inte räcker att kolla gränsvärden längs räta linjer som går in mot punkten i allmänhet. Eempel.8. Beräkna, om gränsvärdet eisterar: Alternativ Alternativ = (, (, ( ( = + då (, (,. ρ 4 cos ϕ sin 3 ϕ ρ (cos ϕ + 3 sin ϕ = ρ cos ϕ sin 3 ϕ (cos ϕ + 3 sin då ρ, ϕ 8

9 eftersom då cos ϕ, sin ϕ och sin ϕ. SVAR: (, (, 3 +3 =. cos ϕ sin 3 ϕ + sin ϕ, Etrauppgifter:.,.6,.7,.3 3 ierentierbarhet och Partiella derivator för reellvärda funktioner Eempel 3.. Beräkna då Bestäm även f (,. f = f och f = f f(, = sin + e. f(, = sin + e. f = sin + e, f = cos + e, f (, = sin + e ( =. Rekommenderade uppgifter:. Eempel 3.. Beräkna då f z = f z(,, f(,, z = ln( + + z. f(,, z = ln( + + z. + + z (z = z + + z, f z(,, = + + = 4 5. Rekommenderade uppgifter:.ab Eempel 3.3. Beräkna f = f, f = f, f = f och f = f då f(, = 3 + e. 9

10 f(, = 3 + e. f = 3, f = 3 + e, f = (f = 3, f = (f = 6, f = (f = 6, f = (f = 6 + e. Rekommenderade uppgifter:.3 Eempel 3.4. Lös sstemet av partiella dierentialekvationer i R : { z = cos, z = sin +. Vi vill alltså hitta alla z = f(, som löser de två ekvationerna z = cos och z = sin + simultant. Ekvationen z = cos medför att z = sin + h(. erivation av denna med avseende på ger nu z = sin + h ( = sin +, (där vi använt ekvationen z = sin +. etta medför att h ( =, så h( = + c. Eftersom z = sin + h(, blir allmänna lösningen z = sin + + c. SVAR: z = sin + + c. Rekommenderade uppgifter:.7 (Se även eempel 3.6 nedan där lösning saknas. Eempel 3.5. Lös sstemet av partiella dierentialekvationer i R 3 : w = z +, w = + 3 z, w z = Vi vill hitta de w = w(,, z som simultant löser en första ekvationen ger w = z +, w = + 3 z, w z = w = z + w = z + + h(, z. erivation av denna med avseende på och användande av den andra ekvationen ger nu w = + h = + 3 z h = 3 z. Om vi integrerar det sita ned avseende på får vi (eftersom h inte får bero på h(, z = 3 z + k(z w = z z + k(z. Om vi deriverar den sista ekvationen ovan med avseende på z och använder vår tredje ekvation får vi w z = k (z = Slutligen är det bara att integrera med avseende på z för att få fram k: och sätta in detta i w = z z + k(z. SVAR: w = z z + z + c. k (z = k(z = z + c,

11 Rekommenderade uppgifter:.9 Eempel 3.6. Lös sstemet av partiella dierentialekvationer i R : { z =, z = +. SVAR: Lösning saknas. Eempel 3.7. Bestäm alla: (a z C (R som uppfller z =, (b z C (R som uppfller z =. Lösning (a: z = z = 3 /3 + h( z = h ( = +. z = z = + h(. SVAR: Alla funktioner på formen z = + h( där h C (R. Lösning (b: z = z = + k( z = + K( + H(. SVAR: Alla funktioner på formen z = + K( + H( där K, H C (R. Rekommenderade uppgifter:.abcdef Eempel 3.8. Låt f(, = Bestäm ekvationen för tangentplanet till tan z = f(, i (,, 4. f f (* Bestäm funktionalmatrisen. Bestäm speciellt (,. (, (, Tangentplan: f(, = 4 så (,, 4 ligger på grafen till z = f(,. f = + 9, f = 6 3, f (, =, f (, = 6. z = f(a, b + f f (a, b( a + (a, b( b = 4 + ( 6( +. Alternativ lösning med matriser*: f(, = 4 så (,, 4 ligger på grafen till z = f(,. ( f f (, = f = ( f(, = f(, + där ψ( h då h = (, +. Tangentplanets ekvation blir: z = 4 + ( 6 f (, = ( 6. (, f (, (, ( + ψ( h h, + ( = 4 + ( 6( +. +

12 Rekommenderade uppgifter:. Eempel 3.9. Bestäm dierentialen till f(,, z = + z + cos(z. ( f f (,, z = f(,, z = + z + cos(z. f f = ( + z z sin(z sin(z. z df = f f f d + d + z dz = ( + zd z sin(zd + ( sin(zdz. Rekommenderade uppgifter:.3,.4 Eempel 3.. Beräkna f (, och f (, samt avgör om f är dierentierbar i (, om { f(, = ( + (, (, (, = (,. f är dierentierbar i (, om och endast om f (, f( + h, f(, h 5 /h 4 = = =. h h h h f (, f(, + k f(, k 6 /k 4 = = =. k k k k f( + h, + k = f(, + f (, h + f (, k + R(h, k (h, k = + h + k + R(h, k (h, k, där R(h, k då (h, k (,. Löser vi ut R ovan får vi R(h, k = f(h, k f(, h h + k = h 5 +k 6 (h +k h h + k = k 6 h 3 k hk 4 (h + k 5/ = /h = ρ cos ϕ, k = ρ sin ϕ/ = ρ 6 sin 6 ϕ ρ 5 cos 3 ϕ sin ϕ ρ 5 cos ϕ sin 4 ϕ ρ 5 cos 3 ϕ sin ϕ cos ϕ sin 4 ϕ då ρ.

13 Eftersom detta blir olika för olika ϕ saknas gränsvärdet. Så det betder att R inte går mot noll, och alltså är funktionen inte dierentierbar i (,. (et kan vara värt att notera att ϕ = respektive π motsvarar att vi är på -aeln, och ϕ = π/ respektive 3π/ svarar mot att vi är på -aeln. Notera att gränsvärdet ovan då är, vilket det ska vara eftersom partialderivatorna eisterar i punkten. Eempel 3.. Om f(, = +, hur mcket ändras f ungefär om ökar från till. och minskar från 3 till.8? Med a =, b = 3, h =., k =. får vi SVAR: Ökar ungefär med.. f(a + h, b + k f(a, b f (a, bh + f (a, bk. f(, = +, f = +, f =. f (, 3 =, f (, 3 = 4. f(.,.8 f(, 3 = f( +., 3. f(, (. =.. Etrauppgifter:.4,.5,.6,.8,.gh,.6,.7,.8 4 Funktionalmatriser. Kedjeregeln. Partiella dierentialekvationer. Eempel 4.. Visa att om z = f( + där f C (R, då löser z ekvationen z z =. z = f( + z = f ( + = f ( +. z = f ( + = f ( +. z z = f ( + f ( + =. 3

14 Rekommenderade uppgifter:.9,. Eempel 4.. Uttrck z och z med hjälp av z u och z v (och ev. och om { u =, v =. u =, v = z = z = z u u + z v v = z u + z v = z u + z v. z = z = z u u + z v v = z u z v = z u z v. Rekommenderade uppgifter:. Eempel 4.3. Betrakta variabelbtet { u = +, v =. Uttrck z och z med hjälp av z u och z v. Använd sedan detta för att bestämma alla z C (R som löser z + z =. u = +, v = z = z = z u u + z v v = z u + z v = z u + z v. z = z = z u u + z v v = z u z v = z u z v. z + z = z u + z v + (z u z v = z u = z = h(v = h(. SVAR: Lösningarna ges av alla funktioner på formen z = h( där h C (R. Rekommenderade uppgifter:.,.3 Eempel 4.4. Bestäm alla funktioner av klass C i första kvadranten som uppfller z z =, och z(, =, genom att införa { u =, v =. 4

15 z = z u =, v =. u u + z v z = v u + z v. u + z v z = v u. z = z u z z z = ( u + z v z v = = u v, z z ( = u v =. z = u + h(u = v + h(. Allmänna lösningen ges därför av z = / + h( där h : ], [ R är av klass C. För att hitta de lösningar som uppfller bivillkoret z(, = för alla, då tar vi den allmänna lösningen z(, = / + h(, och sätter in detta villkor: z(, = / + h( = h( = 3 /..v.s. i detta fall får vi h(t = 3t/, så lösningen blir då z(, = / + 3 /. SVAR: z(, = / + 3 /. et kan också vara värt att nämna att antagandet att vi är i första kvadranten har att göra med att koecienterna framför z och z är noll på - respektive -aeln. Vi kan också notera att det föreslagna variabelbtet inte är globalt inverterbart, men inverterbart med antagandet att >, >. Rekommenderade uppgifter:.6 Eempel 4.5. Bestäm z uttrckta i derivator med avseende på u och v då { u = + 3, v =. ( u = + 3, v =. w = w u u + w v v = 3 w u w v. z = z = ( z = /w = z i ( / = ( 3 z u z = /linjäritet (produktregeln/ v = 3 ( z ( z u v / = w = z / z respektive w = u v i ( ( = 3 3 ( z ( ( z 3 ( z ( z u u v u u v v v = 9 z u 3 z v u 3 z u v + z v = 9 z u 6 z u v + z v. 5

16 Rekommenderade uppgifter:.3,.33 Eempel 4.6. Bestäm alla lösningar z av klass C till z z + z =,, genom att göra variabelbtet { u =, v =. u =, v =. w ( = w u u + w v v = w v. w ( = w u u + w v v = w u + w v. Lösning av ekvationen: z = = = ( z = /w = z i ( / = /linjäritet/produktregeln/ v ( z ( z v / = w = z ( = z v / v i ( = z v. z = ( z = /w = z i ( / = ( z = /linjäritet/produktregeln/ v = ( z + z v v / = w = z / = v i ( ( z u v + z v + z v = z v + z u v + z v. z z + z = z v z v z u v =. z u = h(u z = H(u + K(v. z u v z v + z v =. SVAR: Alla funktioner på formen z = H( + K( där H, K är av klass C på R. 6

17 Rekommenderade uppgifter:.3abc,.34 Eempel 4.7. Uttrck w u, w v och w uu i, om { u = + v =. { u = + v =. Så w = w uu + w vv = w u + w v, w = w uu + w vv = w u w v. w + w = ( + w u w u = + (w + w. w v = w w u =... = w w. + w uu = (w u u = + ((w u + (w u = ( ( ( + + (w + w + + (w + w ( + ( w + w + w + w ( + ( w + w + w 4(w + w + = 4 ( w ( w =. (Notera att vi ovan tillämpade formeln för w u när vi bter ut w mot w u. Alternativt skrivsätt med dierentialoperatorer: Påståendet w u = + (w + w som gäller för alla w, kan alternativt skrivas u = Alltså gäller = ( ( w u = ( ( ( w + + w = + w =... ( w + w + w 4 w ( + 4 ( + w. Etrauppgifter:.5,.7,.8,.9,.3d,.36,.37,.39,.4,.4 7

18 5 Riktningsderivator. Gradienter Eempel 5.. Beräkna gradienten gradf = f till f(,, z = + cos z + ln(z. f(,, z = + cos z + ln(z. f = = = ( f, f, f z ( + z z, z, sin z + z z ( +,, sin z +. z Rekommenderade uppgifter:.4 Eempel 5.. Rita nivåkurvan f(, = då f(, = e. Visa att (, ligger på denna. Beräkna f(, och rita ut denna vektor i guren. Notera att den är vinkelrät mot nivåkurvan. f(, = e = = + e. f(, = e = =, så (, ligger på kurvan. f = (f, f = ( e,. f(, = (,. (, e = Rekommenderade uppgifter:.43 Eempel 5.3. Bestäm ekvationer för tangentlinjen och normallinjen i punkten (, till kurvan 3 + = 5. 8

19 f(, = 5, så (, ligger på kurvan. f(, = 3 + = 5. Tangentlinjen ges av f = (f, f = (3,. f(, = (3, 4. f(, ((, (, = (3, 4 ((, (, = =. Eftersom f(, = (3, 4 är en normal till kurvan är (4, 3 en tangent till kurvan (eftersom (3, 4 (4, 3 =. Så normallinjen ges av (4, 3 ((, (, = 4 3 =. Rekommenderade uppgifter:.44,.45 Eempel 5.4. Bestäm vinkeln mellan kurvorna + = 4 och i (,. = Låt f(, = + och g(, =. f(, = 4 och g(, =, så punkten (, ligger på båda kurvorna. f = (f, f = (,, f(, = (, 4. g = (g, g = (,. Vinkeln mellan två kurvor i en punkt är per denition vinkeln mellan deras tangentlinjer, vilket är samma som vinkeln mellan deras normalvektorer..v.s. den sökta vinkeln är vinkeln θ mellan ū = (, 4 och v = (,. ū v = ū v cos θ cos θ = ū v (, 4 (, = ū v (, 4 (, =. θ = π 4. 9

20 Rekommenderade uppgifter:.46 Eempel 5.5. Bestäm en ekvation för tangentplanet till tan i (,,. 3 + z 4 = Låt f(,, z = 3 + z 4. f(,, = så punkten (,, ligger på tan. f = (f, f, f z = (3,, 4z 3, f(,, = (3,, 4. är ekvationen för tangentplanet i (,,. (3,, 4 ((,, z (,, = 3 + 4z = Rekommenderade uppgifter:.49 Eempel 5.6. Beräkna riktningsderivatan av i punkten (,, i riktning (,, 4. OBS! Normera riktningen: v = f(,, z = + e z f(,, z = + e z (,, 4 (,, 4 = (,, 4. f v = f v, f = (f, f, f z = ( + e z,, e z, f v(,, = (,, f(,, = (,,. (,, 4 = = 7. 3

21 Rekommenderade uppgifter:.55,.56,.57ab,.58 Etrauppgifter:.48,.5,.5,.5,.59,.6 6 Talors formel. Lokala etrempunkter Eempel 6.. Avgör utgående från denitionen om följande funktioner har en lokal etrempunkt i origo: (a f(, =, (b f(, = + 4. Lösning (a: Eftersom och aldrig är negativa ser vi att f(, =. f(, =. f(, för alla (,. Per denition är därför (, ett lokalt (t.o.m. globalt maimum. Notera dock att eftersom f(, = f(, = för alla, är det inget strängt ma. Lösning (b: f(, = + 4 f(, =. Eftersom f(, = + > om, och f(, = 4 < om så ser vi att f(, varken har lokalt ma eller min i (,.

22 Rekommenderade uppgifter:.6abcdefg Eempel 6.. Bestäm Maclaurinutvecklingen av ordning med ordorestterm till f(, = ( + sin( +, (a utgående från formeln för Maclaurinutvecklingar, (b genom att utnttja utvecklingen för sin t från envariabelanalsen. Lösning (a: f(, = ( + sin( +. Insatt i ( får vi: Lösning (b: Med t = + får vi: ( f(, = f(, + f (, + f (, + + f (, + f (, + f (, + O( (, 3. f(, =, f = sin( + + ( + cos( +, f (, =, f = sin( + + ( + cos( +, f (, =, f = sin( cos( + ( + sin( +, f (, =, f = cos( + cos( + ( + sin( +, f (, =, f = cos( + ( + sin( +, f (, =. f(, = + + O( (, 3. f(, = ( + sin( +, sin t = t + O(t 3. f(, = ( + (( + + O(( + 3 = O( (, 3 = + + O( (, 3.

23 (Vi använde ovan bl.a. att O(( + 3 = b( + ( + 3 och k(, är begränsad nära origo. ( + 3 = b( + (, 3 (, 3 = k(, (, 3, Rekommenderade uppgifter:.64ac Eempel 6.3. Talorutveckla kring (, till ordning med felterm på ordoform. f(, = e + ( f( + h, + k = f(, + f (, h + f (, k + + f (, h + f (, hk + f (, k + O( (h, k 3. Insatt i ( : f(, = e +. f(, = e 3, f = e +, f (, = e 3, f = e +, f (, = e 3, f = e +, f (, = e 3, f = e +, f (, = e 3, f = 4e +, f (, = 4e 3. f( + h, + k = e 3 + e 3 h + e 3 k + e3 h + e 3 hk + e 3 k + O( (h, k 3, alternativt om vi föredrar att svara med, : f(, = e 3 + e 3 ( + e 3 ( + + e3 ( + e 3 ( ( + e 3 ( + O( (, 3. Rekommenderade uppgifter:.65 Eempel 6.4. Avgör teckenkaraktären till (a Q(h, k = h + 4hk + k, (b Q(h, k, l = h + hk + k + hl + 3l. 3

24 Lösning (a, alternativ : h + 4hk + k = (h + k 4k + k = (h + k 3k. Q(h, k är indenit, d.v.s tar både positiva och negativa värden. Lösning (a, alternativ : ( ( h + 4hk + k h = (h k. k λ λ = ( λ 4 = Ger värdena λ = 3 och λ =. Så Q(h, k är indenit, d.v.s tar både positiva och negativa värden. Lösning (b: h + hk + k + hl + 3l = = (h + k + l k kl l + k + 3l = (h + k + l + k kl + l = (h + k + l + (k l l + l = (h + k + l + (k l + l. Så Q(h, k, l är positivt denit, eftersom Q(h, k, l > om (h, k, l (,,. Rekommenderade uppgifter:.66 Eempel 6.5. Avgör om har ett lokalt maimum eller minimum i (,,. f(,, z = + z + + z z f(,, z = + z + + z z. f(,, =. f = (f, f, f z = ( + z z,, + 4z, f(,, = (,,. Alltså är (,, en kritisk punkt (annars hade svaret på frågan direkt varit att det inte kan vara lokalt ma/min. Vi undersöker nu teckenkaraktären på andragradstermerna i Maclaurinutvecklingen: f = z, f (,, =, f =, f =, f z =, f z(,, =, f z =, f zz = 4. Andragradstermerna i Maclaurinutvecklingen ges av (med = (,, f ( + f ( + f z( z + f ( + f z( z + f zz( = + + z + z = ( + z + + z. Eftersom denna alltså är positivt denit har vi ett lokalt minimum i (,,. (OBS! I detta fall kunde vi, då vi ska Maclaurinutveckla ett polnom, läst av utvecklingen direkt genom att kasta bort högre ordnings termer..v.s. vi har + z + + z z = + z + + z + O( (,, z 3, så + z + + z är andra ordningens Maclaurinpolnom till f. z 4

25 Rekommenderade uppgifter:.68ac,.69 Eempel 6.6. Bestäm alla lokala maimi- och minimipunkter till f(, = f(, = f = (6 6, 6 6. { { 6 6 f = (, = = 6 6 = =. Vi har alltså de två kritiska punkterna (, och (,. (, : f (, =... =, f (, =... = 6, f (, =... = 6. Eftersom f(, = får vi (eftersom förstaderivatorna är noll f(h, k = f (, h + f (, hk + f (, k + O( (h, k 3 = 6hk 3k + O( (h, k 3 = 3(h k + 3h + O( (h, k 3. Eftersom andragradsformen i detta uttrck är indenit är detta ingen etrempunkt. (, : f (, =... =, f (, =... = 6, f (, =... = 6. Eftersom f(, = får vi (eftersom förstaderivatorna är noll f( + h, + k = f(, + f (, h + f (, hk + f (, +O( (h, k 3 = 6h + 6hk 3k + O( (h, k 3 = 3(h k 3h + O( (h, k 3. Eftersom andragradsformen i detta uttrck är negativt denit är detta ett lokalt ma. k SVAR: f har ett lokalt ma i (,, f saknar lokala min. Eempel 6.7. Avgör var f(, = e 3 har lokala etrempunkter, samt avgör om det (eventuellt rör sig om ett maimum eller minimum. 5

26 f(, = e 3. f = (e 3, ( 6 e 3. { { = = f = (, 6 = = ±/ 6. Vi har alltså de två kritiska punkterna (, / 6 och (, / 6. (, / 6 : f (, / 6 =... = e /, 6 f (, / 6 =... =, f (, / 6 =... = 6e /. Eftersom f(, / 6 = 6 e / får vi (eftersom förstaderivatorna är noll f(h, / 6 + k = f(, / 6 + f (, / 6 h + f (, / 6hk + f (, / 6 +O( (h, k 3 = 6 e / + e / 6 h 6k + O( (h, k 3. k Eftersom andragradsformen i detta uttrck är indenit är detta en sadelpunkt. (, / 6 : f (, / 6 =... = 6 e /, f (, / 6 =... =, f (, / 6 =... = 6e /. Eftersom f(, / 6 = 6 e / får vi (eftersom förstaderivatorna är noll f(h, / 6 + k = f(, / 6 + f (, / 6 h + f (, / 6hk + f (, / 6 +O( (h, k 3 = 6 e / e / 6 h + 6k + O( (h, k 3. k Eftersom andragradsformen i detta uttrck är indenit är detta en sadelpunkt. 6

27 SVAR: f saknar lokala etrempunkter. Rekommenderade uppgifter:.7abcdgh Etrauppgifter:.6hi,.63,.67,.7ej,.7,.73,.74 7 Kurvor. Ytor. Funktionaldeterminanter. Inversa Funktioner Eempel 7.. Beskriv kurvan { = t + 3, = t + 7t t 3. Ange även en tangentvektor till kurvan i (, = (3,. { = t + 3, = t + 7t t 3. t = 3, ( 3 = t 7( 3 + 7t = + = Eftersom t + 3 är väande betder detta att kurvan är grafen till ovanstående funktion, med start i (, 6 och slut i (9, 3. Punkten (3, svarar mot t =. Så r(t = (t + 3, t + 7t, r (t = (, t + 7. r ( = (, 7 är en tangentvektor i (3,. Notera att det bara är i enkla fall vi kan göra om en kurva till en graf för en funktion av en av variablerna. 7

28 Notera dock att beräkningen av tangentvektorn inte kräver detta. Om vi vill skissa kurvan kan vi helt enkelt räkna ut ((t, (t för tillräckligt många värden på t, sätta ut dessa punkter i -planet och skarva mellan dem. T.e. om vi bara tar heltalspunkterna t =,,,, 3 i detta fall får vi att ligger på kurvan. ((, ( = (, 6, (((, ( = (3,, (((, ( = (5, 8, ((, ( = (7, 8, ((3, (3 = (9, 3 Rekommenderade uppgifter: 3.ac, 3.ac Eempel 7.. En ta i R 3 parametriseras av = s + t, = st, z = s t. Bestäm tangentplanet genom den punkt som svarar mot (s, t = (,. = s + t, = st, z = s t. f (s, t s + t f(s, t = f (s, t = st. f 3 (s, t s t f (s, t = f s f s f 3 s f t f t f 3 t = s t s t s. t 8

29 Plan på parameterform: f( + h, + k = f(, + f ( h (s, t (, + k ψ(h, k (h, k, där ψ(h, k (, då (h, k (,. Plan på normalform = z f(, =. f (, =. (s, t + ( h = k + h + k (,, (,, = ( 4, 8, = 4(,,. (,, ((,, z (,, = =.. Rekommenderade uppgifter: 3.4 Eempel 7.3. Låt { = t e ψ = tψ. (, d(, Bestäm funktionalmatrisen och funktionaldeterminanten (t, ψ d(t, ψ. Visa även att (t, ψ (, har en C -invers i någon omgivning till (t, ψ = (,. { = t e ψ (, (t, ψ = Eftersom funktionerna är av klass C och ( t t = tψ. ( ψ te ψ t = e ψ ψ t ψ. d(, = det (, d(t, ψ (t, ψ = t e ψ t ψe ψ. d(, d(t, ψ (, = e e = e e = e ger inversa funktionssatsen att avbildningen är lokalt inverterbar. Rekommenderade uppgifter: 3.6 Eempel 7.4. Låt u = + v = sin z w = z. (u, v, w d(u, v, w Bestäm funktionalmatrisen och funktionaldeterminanten (,, z d(,, z. Visa även att (,, z (u, v, w har en C -invers i någon omgivning till (,, z = (,, π. 9

30 (u, v, w (,, z = d(u, v, w d(,, z Eftersom funktionerna är av klass C och u v w u = + v = sin z w = z. u v w u z v z w z = cos z. z z = det (u, v, w (,, z = cos z( z z. d(u, v, w (,, π = π d(,, z ger inversa funktionssatsen att avbildningen är lokalt inverterbar med C invers. Rekommenderade uppgifter: 3.7, 3.8, 3.9ab, 3., 3. Etrauppgifter: 3.9c 8 Implicita funktionssatsen Eempel 8.. Visa att ekvationen = 3 lokalt i någon omgivning till (, = (, bestämmer unikt som funktion av (d.v.s. lokalt är kurvan en graf = (. Beräkna även ( och ( för denna funktion. f(, = =. f(, = f = , OK. f (, = 8. Implicita funktionssatsen ger nu att = ( lokalt på kurvan kring (,. d d f((, = d d ((4 + 3( 3 = 4( 3 ( + 6( ( + 6( =. ( Att (, ligger på kurvan betder att ( =. Insatt ovan får vi: 4( 3 ( + 6( ( + 6( = 4 ( + 4 ( + =. ( = /8 = 3/7. 3

31 För att räkna ut ( deriverar vi ekvationen ( ovan en gång till: etta ger d d (4(3 ( + 6( ( + 6( =. 4( 3 ( + ( ( + 6( ( + 6 ( + ( ( + 6( =. Om vi då sätter in =, = och ( = 3/7 får vi ekvationen 4 ( + ( ( ( ( =. 7 etta ger nu ( = 57/686. Rekommenderade uppgifter: 3., 3.3 Eempel 8.. Visa att ekvationen z = e z lokalt i någon omgivning till (,, z = (,, bestämmer z unikt som funktion av (, (d.v.s. lokalt är tan en graf z = z(,. Beräkna även z och z för denna funktion. f(,, z = z e z + =. f z = ez, f(,, = OK. f (,, =. z Implicita funktionssatsen ger nu att z = z(, lokalt på tan kring (,,. f(,, z = z e z + =. f f(,, z(, = + f z z =, 3

32 z = z = f/ = z f/ z e z. f f(,, z(, = + f z z =, z = z = f/ f/ z = e z. Rekommenderade uppgifter: 3.5 Eempel 8.3. Visa att ekvationssstemet { + + 3z = 6 z = lokalt i någon omgivning till (,, z = (,, bestämmer C funktioner ( och z( unikt (d.v.s. lokalt är kurvan given av ((,, z(. Beräkna även ( och z ( för dessa funktioner. { f (,, z = + + 3z 6 = f (,, z = z = { f (,, = OK. f (,, = f f f z f z = 3 z = 3z. I (,, får vi värdet 3 = på determinanten, så implicita funktionssatsen ger eistens av de efterfrågade funktionerna. = ( och z = z( insatt i ekvationssstemet ger { ( + + 3z( = 6 (z( = { ( + + 3z ( = (z( + (z( + (z ( = Att (,, ligger på kurvan betder att ( = och z( = : { ( + + 3z ( = ( + + z ( = etta ger ( = / och z ( = /. Rekommenderade uppgifter: 3.9, 3. Etrauppgifter: 3.4, 3.6, 3.7, 3.8 3

33 9 ubbelintegraler Eempel 9.. Visa att där = {(, :, }. dd Låt f(, = 6+3. Eftersom f(, /(6 =, gäller på får vi dd dd = etta är dock inte bra nog för den övre uppskattningen... dd = 4. 3 = 3. Eftersom i :a bara skär varandra på en mängd med area noll gäller: dd = Låt f(, = 6+3. dd dd dd På gäller, eftersom och här, f(, /(6 + 3 = /4. På gäller, eftersom och här, f(, /(6 + 3 = /. På 3 gäller, eftersom och här, f(, /(6 + 3 = /5. Alltså får vi att I = f(, dd + f(, dd + f(, dd 3 I 4 m( + m( + 5 m( = 3. 33

34 Rekommenderade uppgifter: 6. Eempel 9.. Beräkna 3 dd där = {(, R :, }. 3 dd = [ 3 ] = d = ( ( d = [ ] = 4. ( 3 d d = Alternativt: 3 dd = [ 3 ] d = = ( (6 d = [ 3] = 4. 3 d d = Rekommenderade uppgifter: 6. Eempel 9.3. Beräkna (6 + dd där = {(, R : 3 6}. = {(, R : 3 6}. 6 34

35 6 6 = {(, : 6, 3 }. (6 + dd = 6 [ 3 + ] =/3 d = ( Alternativt: = {(, R : 3 6}. ( (6 + d d = /3 ] 6 d = [ = = {(, :, 3}. (6 + dd = [ 3 + ] 3 = d = ( 3 ( [ ] 54 5 d = (6 + d d = = Rekommenderade uppgifter: 6.3, 6.4 Eempel 9.4. Beräkna där = {(, R : 4 3 }. 5 4 dd = {(, R : 4 3 }. = 3 = 4 = {(, :, 4 3 }. 35

36 5 4 dd = ( d ( 5 [ 7 d = 7 d = ] = [ 5 ] 3 = 4 d = Rekommenderade uppgifter: 6.5 Eempel 9.5. Beräkna dd där = {(, R :, }. = {(, R :, }. = = {(, :, } {(, :, }. På gäller = och på gäller =. dd = dd + dd = ( dd + dd = ( ( ( d d + d d = [ ] [ ] = d + d = = = d + d =... =. Rekommenderade uppgifter: 6.6 Eempel 9.6. Beräkna ( + 3 d d. 36

37 {(, :, } = {(, :, }. ( + 3 d d = [ + 3 ] / t = 3 = dt = 3 d, [ ] ( + t3/ 9 d = / = = 4. 9 ( + 3 d d = + 3 d = + tdt = 3 Rekommenderade uppgifter: 6.8 Eempel 9.7. Beräkna där dd (a är triangeln med hörn i (,, (, och (4, 7. (b = {(, : +, + 4 }. Lösning (a: (4, 7 = (5 6/ = 7/4 = (, (, 37

38 = där = {(, :, 7/4}, = {(, : 4, (5 6/ 7/4}. dd = dd + dd = ( 7/4 ( 4 7/4 d d + d =... = 9. d (5 6/ Lösning (b: = {(, : +, + 4 } = = / = / = där = = = { (, :, }, { (, :, }. dd = dd + dd = ( ( / d d + d d =... =. / Etrauppgifter:

39 Variabelbten i dubbelintegraler. Eempel.. Beräkna där = {(, : + 4,, }. dd + = {(, : + 4,, }. I polära koordinater = ρ cos ϕ, = ρ sin ϕ ges av att ρ och ϕ π/. dd = ρdρdϕ. π/ + dd = π/ ( cos ϕdϕ = [sin ϕ] π/ =. ρ cos ϕ ρ ρdρ dϕ = Rekommenderade uppgifter: 6.9 Eempel.. Beräkna dd där är triangeln med hörn i (,, (, och (4, 7. 39

40 (4, 7 (, Vi använder (,, (4, 7 som n bas..v.s. vi inför na koordinater (u, v sådana att ( = Om vi inverterar detta samband får vi ( 4 7 ( u v { u = v = 3. Punkterna med koordinater (,, (, och (4, 7 i -planet avbildas via denna transformation på punkterna (,, (, respektive (, i uv-planet. Alltså transformeras till triangeln Ω i uv-planet med hörn i dessa punkter:. Ω = {(u, v : u, v u}. (4, 7 (, v (, u + v = Ω u (, dd = d(, d(u, v dudv = 4 7 dudv = 6dudv. 4

41 6 6 dd = (u + 7v6dudv = ( u Ω (u( u + (u + 7vdv du = 6 7( u du =... = 9. ] u [uv + 7v du = v= Lösning, alternativ : Om man inte vill tänka i termer av vektorer kan vi istället se på följande gur: 7 4 = = etta motiverar variabelbtet { u = 7 4 v =, eftersom u respektive v då är noll på varsin sida av triangeln. När (, = (, blir (u, v = (6, och när (, = (4, 7 blir (u, v = (, 3 (och när (, = (, är (u, v = (,. Vi får alltså bilden 7 4 = v = Ω u v = 6 (6, u (, 3 4

42 Skalfaktorn: dd = d(u, v d(, dudv = 7 4 dudv = 3 dudv. u 7v = (7 4 7( = 3 = u 7v. 3 u 7v dd = Ω 3 3 dudv = ( 6 (u 7vdv du =... = 9. 9 (u 6/ Eempel.3. Beräkna (4 + sin( + dd där (a = {(, R : +, 4 + }. (b är parallellogrammen med hörn i (,, (/,, (, och ( /,. Lösning (a: 4 + = + = 4 + = + = = {(, R : +, 4 + }. Låt u = +, v = 4 +. å ges området av att u och v. d(u, v u u d(, = v v = 4 = 4 =. dd = d(, d(u, v dudv = d(u, v d(, dudv = dudv. Med Ω = {(u, v : u, v } gäller: (4 + sin( + dd = (v sin u dudv = ( v sin u du dv = v( cos dv = cos. 4 4 Ω [ v cos u] u= dv =

43 Lösning (b: ( /, (, (/, Vi vill använda ( /,, (/, som bas..v.s. vi vill införa na koordinater (u, v sådana att ( ( ( / / u =. v Om vi inverterar detta samband får vi { u = + v = 4 +. Punkterna med koordinater (,, (/,, (, och ( /, i -planet avbildas via denna transformation på punkterna (,, (,, (, respektive (, i uv-planet. Alltså transformeras till parallellogrammet i uv-planet med hörn i dessa punkter, vilket helt enkelt är området som ges av u, v. Efter detta kan vi fortsätta som i (a-uppgiften för att beräkna integralen (som ju alltså är samma som i denna. Lösning (b, alternativ : Om man inte vill använda vektorer kan man istället bestämma linjerna som i nedanstående gur utifrån punkterna som de går igenom: 4 + = + = 4 + = + = Sedan fortsätter man som i (a-uppgiften. 43

44 Rekommenderade uppgifter: 6. Eempel.4. Beräkna dd där = {(, R : }. Lösning, Alternativ Vi gör ett linjärt variabelbte först följt av införande av polära koordinater. = 3u, = 4v ger att området ges av = (3u + (4v = u + v. 9 6 d(, d(u, v = 3 4 =. Med Ω = {(u, v : u + v } får vi: dd = 9u d(, Ω d(u, v dudv = 9u dudv = Ω π ( /u = ρ cos ϕ, v = ρ sin ϕ/ = 8ρ cos ϕρdρ dϕ = 8 π... = 8π 4. cos ϕdϕ ρ 3 dρ = / cos ϕ = Lösning, Alternativ : Man kan även direkt införa variablerna { = 3ρ cos ϕ = 4ρ sin ϕ och får då i dessa att området ges av I detta fall gäller / cos ϕ + = = 9ρ cos ϕ + 6ρ sin ϕ = ρ. 9 6 d(, d(ρ, ϕ = 3 cos ϕ 3ρ sin ϕ 4 sin ϕ 4ρ cos ϕ = ρ. Gränserna blir nu ρ och ϕ π, vilket direkt ger oss integralen π ( 9ρ cos ϕρdρ dϕ =... = 8π 4. Rekommenderade uppgifter: 6. Eempel.5. Beräkna dd där är cirkelskivan med centrum i (, och radie. 44

45 Lösning, alternativ : I -koordinater ges av olikheten I polära koordinater ges området av + (. etta är samma sak som att ρ cos ϕ + (ρ sin ϕ = ρ cos ϕ + ρ sin ϕ ρ sin ϕ +. ρ ρ sin ϕ ρ sin ϕ, ϕ π. π π dd = [ ρ 3 3 sin ϕ π ] sin ϕ ρ= ( sin ϕ ρ sin ϕρdρ dϕ = dϕ = 8 sin 4 ϕ dϕ =... = π. 3 Lösning, alternativ : Vi kan även istället bta koordinater till { = ρ cos ϕ, = + ρ sin ϕ, vilket motsvarar att vi ttar origo till punkten (, och sedan inför polära koordinater. å ges av ρ och ϕ π. dd = π ( ( + ρ sin ϕρ dρ dϕ =... = π. Rekommenderade uppgifter: 6. Eempel.6. Beräkna dd där = {(, R :, 3}. = {(, R :, 3} 45

46 { { u = = v v = = u/v d(, d(u, v = /v u/v = v. Området ges nu av olikheterna u, v 3. 3 Rekommenderade uppgifter: 6.3 dd = v dv 3 ( u v du dv = u du =... = 7 ln(3/. 3 Trippelintegraler Eempel.. Visa att /3 dddz 64 där är det aellparallella rätblocket med hörn i (,, och (, 8, ges av olikheterna, 8 och z. Så har volm 8 = 6. Eftersom /3 8 /3 = 4 på får vi: = dddz /3 dddz 4dddz = 4 6 = 64. Rekommenderade uppgifter: 6.6 Eempel.. Beräkna ze + dddz där = {(,, z R 3 : +, z }. 46

47 = {(,, z R 3 : +, z }. Projektion av på -planet är Ω = {(, : + }, z. 3 Ω π ze + dddz = e + dd ( ρe ρ dρ Ω ( ze + dz dd = zdz = / Polära koordinater/ = dϕ =... = 3π e. Rekommenderade uppgifter: 6.7 Eempel.3. Låt vara den mängd i R 3 som begränsas av paraboloiderna z = + och z =. Skriv integralen I = f(,, zdddz dels med hjälp av stavar: dels med hjälp av skivor: I = b a ( B(, f(,, zdz dd, A(, ( f(,, zdd dz. z Beräkna sedan på valfritt sätt I då f(,, z = +. Bild av : 47

48 + = + =. = {(, : + }. A(, = +, B(, =. z. { z = + z z + z z. I = + ( + ( + f(,, zdz f(,, zdd dz = z ( f(,, zdd dz + + z ( f(,, zdd + z dd = dz. Beräkning av I för f(,, z = + : Vi använder metoden med stavar. ( + dddz = + + π ( + ( + ( + (( ( + dd = ( + dz dd = (( + ( + dd = /Polära koordinater/ = (ρ ρ 4 ρdρ [ ] ρ 4 dθ = 4π 4 ρ6 =... = π

49 Rekommenderade uppgifter: 6.8 Eempel.4. Låt Beräkna = {(,, z : + + z 3,,, z }. dddz. Bild av : (,, / (,, (,, (,, Tvärsnitt med koordinatplan: = {(,, z : (,, z (3 /}, där = {(, : + 3,, } = {(, :, 3 }..v.s. = {(,, z :, 3, z (3 /}. 49

50 ( 3 dddz = ( 3... = ( ( 3 (3 / dz d d = [z] (3 / z= d d = (3 d d = [(3 ] 3 d = = ( + 3 d =... = Rekommenderade uppgifter: 6.9 Eempel.5. Beräkna dddz där = {(,, z R 3 : z 4 }. Bild av : Lösning, Alt : = {(,, z R 3 : z 4 }. Tvärsnittet av för ett t (projicerat på z-planet: = {(, z : z 4 } = {(, z : z, z }. z 5

51 .v.s. eftersom 4 : = {(,, z :, (, z }. dddz = ( ( z ( z dz d = [ z 3 3 ( ddz d = d dz d = ] = z= 8 3 d = 4 7 Lösning, Alt : = {(,, z R 3 : z 4 }. Projektionen Ω av på z-planet ges av z 4 z,. z För varje (, z Ω ska uppflla z för att ligga i. dddz = ( ( z ( [ z 3 z dz 3 d Ω d = ] = z= ( z dz d d = 8 3 d = 4 7 ddz = Rekommenderade uppgifter: 6., 6., 6.4 Eempel.6. Beräkna zdddz där är den del av enhetsklotet som ligger i,, z. Bild av : 5

52 z ger θ π/., ger π ϕ 3π/. dddz = r sin θdrdϕdθ = r cos ϕ sin θ = r sin ϕ sin θ z = r cos θ. π/ 3π/ π zdddz = ( 3π/ ( π cos ϕdϕ π/ r cos ϕ sin θ r cos θ r sin θdr dϕ dθ = sin θ cos θdθ r 4 dr =... = 5. Rekommenderade uppgifter: 6.5, 6.6 Eempel.7. Beräkna sin( + + zdddz där är den parallellepiped som ges av olikheterna + + z π/, + + z och + + 3z. + + z π, + + z och + + 3z. u = + + z v = + + z w = + + 3z 5

53 I uvw-koordinaterna ges området av olikheterna u π/, v och w. u u u d(u, v, w z d(,, z = v v v z = w w 3 =... =. Eempel.8. Beräkna w dddz = d(,, z d(u, v, w dudvdw = d(u, v, w d(,, z z sin( + + zdddz = ( ( π/ sin u du dv dw = dw dv π/ ( dddz dudvdw = dudvdw. sin udu =... =. där är tetraedern som har hörn i (,,, (,,, (,, samt (,, Vi använder (,,, (,,, (,, som n bas. u = v. z w Tetraedern avbildas nu på tetraedern Ω med hörn i (,,, (,,, (,, och (,, i uvwrummet..v.s. Ω = {(u, v, w : u, v u, w u v}. 53

54 Skalfaktor vid variabelbtet: dddz = d(,, z d(u, v, w dudvdw = dudvdw = dudvdw. ( dddz = ( u ( u v ( u ( u v ( u v3 [ 6 ( u 3 du = [ 6 Ω wdudvdw = wdw dv du = ] u v= dv du = du = ( u4 4 ] = 4 Rekommenderade uppgifter: 6.7 Etrauppgifter: 6., 6.3 Integraltillämpningar. Generaliserade integraler Eempel.. Beräkna arean av det begränsade området i första kvadranten mellan kurvorna =, =, = och = +. Bild av begränsningskurvorna: 54

55 { u = v = Ω = {(u, v : u, v }. d(u, v d(, = = + =... = v + 4u. Ω dd = d(, Ω d(u, v dudv = d(u, v Ω d(, dudv = ( v + 4u dudv = v + 4u du dv = [ v + 4u] dv = ( v u= + 8 v + 4dv =... [ v v ln v + ] v + 8 [ v v ln v + ] v + 4 = ( ln Rekommenderade uppgifter: 6.9 Eempel.. Beräkna volmen av området = {(,, z R 3 : z 4 }. Bild av : 55

56 = {(,, z R 3 : z 4 }. Tvärsnittet av för ett t (projicerat på z-planet: = {(, z : z 4 } = {(, z : z, z }. z.v.s. eftersom 4 : = {(,, z :, (, z }. dddz = ( ( z ( [ z 3 3 z dz ] d ( ddz d = d = z= d = dz d = 6 3 d = 4 Rekommenderade uppgifter: 6.3 Eempel.3. Beräkna volmen av tetraedern som avgränsas av planen + + z =, + + z =, + + 3z = samt z =. + + z =, + + z =, + + 3z =, z =. 56

57 får vi Med u = + + z v = + + z w = + + 3z z = u + v + w. Så i uvw-koordinaterna ges planen av u =,v =, w = samt u + v + w =. et område som dessa begränsar ges av u, v u, w u v. Bild av området i uvw-rummet: dddz = d(,, z d(u, v, w dudvdw = 3 dudvdw = dudvdw. dddz = ( u (( u ( u ( u v ( u vdv du = ( u du =... = 6 dw dv du = ] u [v( u v du = Rekommenderade uppgifter: 6.3, 6.3, 6.36, 6.38 Eempel.4. Bestäm massan och tngdpunkten till den platta som utgörs av den del av enhetscirkeln som ligger i första kvadranten och har densitet given av ϱ(, = +. I polära koordinater ges området av ρ, ϕ π/. Massan ges av ϱ(, dd = π/ ( + dd = ρ ρdρ dϕ = π 6. 57

58 Tngdpunkten ( t, t ges av ϱ(, dd t = ϱ(, dd, ϱ(, dd t =. ϱ(, dd Av smmetriskäl ser vi att t = t. Så ϱ(, dd = π/ ( t = t = /4 π/6 = 3 π. ρ cos ϕ ρ ρdρ dϕ =... = 4. Rekommenderade uppgifter: 6.39, 6.4, 6.4, 6.4 När vi behandlar generaliserade integraler har vi i princip två alternativ. Antingen jobbar vi med denitionen och uttömmande följder, eller så arbetar vi direkt med Fubinis sats (och eventuellt variabelbte. Vi har nedan presenterat lösningar med båda alternativen. Ni får välja själva vilken metod ni föredrar. Eempel.5. Beräkna (om den är konvergent ( + dd, där = {(, R : +,, }. Lösning (med uttömmande följd: = {(, R : +,, }. Integranden är positiv. Vi tömmer ut med följden n : n n = {(, : + n,, }. π/ n n ( + dd = n ( n ρ 4 ρdρ dϕ = π [ ρ ] n π = n ( n = π 4. n ( + dd = Lösning (med Fubinis sats/variabelbte: Integranden är positiv. Området ges i polära koordinater av ρ <, ϕ π/. Vi vill alltså avgöra om ( + dd = π/ ( ρ 4 ρ dρ dϕ <. 58

59 Eftersom π/ ( ρ 4 ρ dρ dϕ = π så är integralen konvergent med värdet π/4. Eempel.6. Beräkna där = {(, R : + }. π dρ = ρ3 n + dd, [ ] n π ρ = n ( n = π 4 < Lösning (med uttömmande följd: = {(, R : + }. Per denition gäller + dd = + dd. \{(,} Integranden är positiv. Vi tömmer ut \ {(, } med följden n : n = {(, R : /n + } + ( π n dd = n ρ ρdρ dϕ = /n π( n n = π. + dd = n Lösning (med Fubinis sats/variabelbte: Integranden är positiv. Området ges i polära koordinater av ρ, ϕ π. π ( + dd = ρ ρdρ dϕ =... = π. SVAR: Integralen är konvergent med värdet π. Eempel.7. Beräkna där = {(, R : + }. + dd, Lösning (med uttömmande följd: = {(, R : + }. Per denition gäller + dd = + dd. \{(,} Integranden är positiv. Vi tömmer ut med följden n : n = {(, R : /n + } 59

60 dd = + n ( ρ ρdρ dϕ = π n /n π(ln ln(/n =. n n + dd = Så integralen är divergent. Lösning (med Fubinis sats/variabelbte: Integranden är positiv. I polära koordinater ges området av ρ, ϕ π. Så integralen är divergent. + dd = π ( ρ ρdρ dϕ = π dρ =. ρ Eempel.8. Beräkna där = {(, R :, }. e + dd, Lösning (med uttömmande följd: = {(, R :, }. Integranden är positiv. Vi tömmer ut med följden n : n = {(, R : n, n } e + dd = n ( n n n n n n n n e + d n e + dd = d = [ e + ] n = d = (e + e n+ d = [ e + e n+] = n = n (e e n e n + e n n = e. Lösning (med Fubinis sats: Integranden är positiv. Området ges av <, <. 6

61 Alltså får vi enligt Fubinis sats: = e + dd = ( e + d d [ e + ] = d = e + d = [ e +] = e. (Observera att t.e. [ e + ] = = t [ e + ] t = per denition här. SVAR: e. Rekommenderade uppgifter: 6.43, 6.44 Eempel.9. Beräkna där = {(, R : < }. dd ( /4, Lösning (med uttömmande följd: = {(, R : < }. Integranden är positiv. Vi tömmer ut med följden n : n = {(, R : /n, /n } n /n n /n n /n n n dd = ( /4 n ( /n ( [ ] / [ 8 5/4 /4 ( / /4 n /4 d d = =/n (/n/ /4 8(/n/ 3/4 3 dd ( = /4 d = d = ] 5 =/n ( 8 5 8(/n/ 8(/n5/4 + 8(/n/ (/n 3/ = = 8 5. Lösning (med Fubinis sats: Integranden är positiv. Området ges av,. 6

62 Enligt Fubinis sats har vi = dd ( = /4 [ ] / /4 d = = ( d d ( /4 [ 8 /4 5/4 d = 5 ] = 8 5. Rekommenderade uppgifter: 6.45, 6.46, 6.48 Eempel.. Beräkna R 3 \{(,,} + + z ( z dddz. Lösning (med uttömmande följd: Integranden är positiv. Vi tömmer ut R 3 \ {(,, } med n = {(,, z R 3 : /n + + z n }. + + z ( z dddz = R 3 \{(,,} n π n + + z ( z dddz = n ( ( π n π π sin θdθ n [ 4π n ( + r π n /n n /n ] n r( + r r sin θdr dϕ dθ = r=/n r ( + r dr = = ( ( + n + ( + (/n = π. Lösning (med Fubinis sats/variabelbte: Integranden är positiv. Området ges i sfäriska/rmdpolära koordinater av < r <, ϕ π, θ π. Alltså gäller + + z ( z dddz = = R 3 \{(,,} π π ( π ( dϕ π r( + r r sin θdr sin θdθ dθ dϕ r ( + r dr = = π. Rekommenderade uppgifter: 6.5 Eempel.. Beräkna där = {(,, z R 3 : < z < }. z + dddz, Lösning (med uttömmande följd: Integranden är positiv. Vi tömmer ut med n = {(,, z R 3 : /n z <, /n + /n}. 6

63 Om vi inför polära koordinater i -planet ges området av /n z < ρ, ϕ < π, /n ρ /n. n dddz = z + n ( ( /n ρ π π n 4π n 4π /n ( /n [ z ρ /n /n /n ρ dρ = 4π π/ /n ] ρ z ρ dz ρdρ ρdρ z=/n n z + dddz = ( ρ /ndρ = dϕ = dϕ = sin t cos tdt =... = π. Lösning (med Fubinis sats/variabelbte: Integranden är positiv. Om vi inför polära koordinater i -planet ges området av < z < ρ, ρ <, ϕ π. Alltså gäller z + dddz = π = 4π ( ( ρ ρdz dρ dϕ = π zρ ρ dρ = 4π π/ [ z ] ρ z= dρ sin t cos tdt =... = π. Rekommenderade uppgifter: 6.5 Eempel.. Beräkna där = {(, R :, }. dd, Felaktig metod (eftersom integranden inte är positiv på området och felaktigt svar får vi om vi tömmer ut med n = {(, R :, n}. Eftersom n dd = för varje n skulle man då dra den felatkiga slutatsen att den generaliserade integralen är konvergent. Korrekt är att först införa + = {(, : > }, = {(, : < }. Att integralen är konvergent skulle betda att båda integralerna + dd och dd är konvergenta. Men i detta fall är det lätt att se att bägge dessa är divergenta, så integralen är divergent. Etrauppgifter: 6.33, 6.34, 6.35, 6.37, 6.5,