Flervariabelanalys Antekningar till föreläsningar. V. G. Tkachev, Linköping University, Sweden address:

Transkript

1 Flervariabelanals Antekningar till föreläsningar V. G. Tkachev, Linköping Universit, Sweden address:

2

3 Innehåll Kapitel. Mängder i R n. Funktioner från R n till R p.. Euklidiska rummet R n : geometri.2. Viktiga delmängder till R n 2.3. Topologi i R n : öppna och slutna mängder 3.4. Funktioner av flera variabler 4.5. Reellvärda funktioner och dessa nivåmängder 5.6. Sammansatta functioner 6.7. Planpolära koordinater i R Rmdpolära koordinater i R 3 6 Kapitel 2. Gränsvärden Gränsvärden: inledande eempel Gränsvärde: definition och egenskaper Kontinuerliga fuinktioner Satser om kontinuerliga funktioner Kapitel 3. Pariella derivator. ifferentierbarhet Kort sammanfattning av derivatabegreppet för f : R R Partiella derivator ifferentierbarhet Partiella derivator av högre ordning 6 Kapitel 4. Kedjeregeln iverse inledande eempel en allmäna kedjeregeln och PE 9 Kapitel 5. Kurvor,tor. Gradient Kurvor och tor Riktningsderivata 24 iii

4 iv Innehåll Kapitel 6. Lokala undersökningar Lokala etrempunkter: nödvändiga villkor Talors formel Lokala etrempunkter: tillräckliga villkor 27 Kapitel 7. Implicit givna funktioner Inledande eempel Implicit givna funktioner Implicita funktionssatsen för sstem 3 Kapitel 8. Optimering Optimering på kompakta mängder Optimering på ickekompakta mängder Ytterligare läsning: Hur kan man fånga ett lejon i Saharaöknen? 36 Kapitel 9. Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Optimering med två bivillkor Optimering med godtckliga bivillkor 4 Kapitel. ubbelintegraler 43.. ubbelintegraler över rektangel Integration över godtckliga områden 45 Kapitel. Funktionalmatriser. Variabelbte i integraler 47.. Funktionalmatriser. Funktionaldeterminanter Kedjeregeln. Inversfunktion. Areaskalan Riemannsummor. Variabelbte i dubbelintegraler 49 Kapitel 2. Trippelintegraler 5 Kapitel 3. Ytterligare area- och volmberäkningar Volm- och areaberäkningar Masscentrum Multipelintegraler 57 Kapitel 4. Generaliserade dubbel- och trippelintegraler Inledande eempel Positiv integrand Integrand med välande tecken 62

5 Kapitel Mängder i R n. Funktioner från R n till R p.. Euklidiska rummet R n : geometri Som vanligt betecknar vi med R n mängden av alla reella n-tiplar = (, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,..., ) Vektorerna och är parallella,, om det finns ett reellt λ så att = λ eller = λ R n blir ett Euklidiskt rum om vi definierar en skalärprodukt: = n n. längden eller beloppet av en vektor är = Avståndet mellan två punkter och är: = ( ) ( ) = ( ) ( n n ) 2 Cauch-Schwarz olikhet: för godtckliga vektorer i R n gäller: Triangelolikheten: I R n gäller: Vinkeln mellan två vektorerna och är:. (.) + +. (.2) cos θ = Obs. att (.2) cos θ, alltså är vinkeln θ väl definierad. Vektorerna och kallas ortogonala om =

6 2. Mängder i R n. Funktioner från R n till R p.2. Viktiga delmängder till R n z En linje in R 3 genom punkten = (,, z ) med riktningsvektor v = (a, b, c) på parameterform ges av (,, z) = + vt = ( + at, + bt, z + ct), t R v Ett öppet klot i R n är mängd som kan skrivas z B(a; r) = B a (r) = { R n : a < r} Vi kallar a klotets meddelpunkt eller centrum och r klotets radie. I R resp. R 2 ger det intervallet a r < < a + r resp cirkelskivan ( a ) 2 + ( 2 a 2 ) 2 < r. En sfär in R n är mängden av punkter { R n : a = r} a En öppen kvadrat i R 2 med sidan 2b och meddelpunkten a = (, ) är mängd av punkter som uppfller ma{, } < b a. En ellips i R 2 med meddelpunkten a och halvaelläangderna a resp. b ges av ekvationen ( ) 2 a 2 + ( ) 2 b 2 = a. En hperbola i R 2 med meddelpunkten i origo ges av ekvationen 2 2 = c, c

7 .3. Topologi i R n : öppna och slutna mängder 3.3. Topologi i R n : öppna och slutna mängder Vi behöver ge uttrcken ligga i närheten och omgivningen konvergera en rigorös mening för att senare definiera begreppen gränsvärde och derivata. Idé: a är ekvivalent att säga att (avståndet, beloppet) a är litet. efinition.. Mängden U R n är en omgivning till pukten a R n om U innehåller något öppet klot med centrum i a. Eempel.. Olika omgivningar till punkten = i R i form av resp. mängdbeskivining, olikhet och bild: U =] 2, 5[ U = [, 2] U = [, [ < < 2 2 > a a a Eempel.2. Olika omgivningar till punkten a = (2, 2) i R 2 : en kvadrat en sluten cirkelskiva den första kvadranten { R 2 : < < 3, < < 3} { R 2 : ( 2) 2 + ( 2) 2 } { R 2 : >, > } a. a. a. efinition.2. Låt M vara en mängd i R n. En punkt a R n kallas inre punkt till M om det finns ett öppet klot kring a som ligger helt i M; ttre punkt till M om det finns ett öppet klot kring a som ligger i komplementet M c = R n \ M till M; randpunkt till M om varje öppet klot innehåller punkter från såväll M som M c Eempel.3. Betrakta Q = { R 2 : 2, < < 2}, se bilden. mängden randen inre punkter ttre punkter Q

8 4. Mängder i R n. Funktioner från R n till R p efinition.3. En mängd M R n kallas öppen om alla dess pukter är inre punkter. en kallas sluten om alla dess randpukter tillhör M. Mängden Q i Eempel.3 är varken oöppen eller sluten. Här kommer tterligare eempel: Slutna mängder i R 2 : Slutna mängder i R 2 : en godtcklig linje den första kvadranten { >, > } en sluten cirkelskiva (kvadrat) hela planet tomma mängden en öppen cirkelskiva (kvadrat) hela planet tomma mängden efinition.4. Mängden M R n kallas begränsad om det finns ett tal C sådant att C för alla M. {(, ) : 2 + ( 2) 2 < } Begränsad {(, ) : 2 } Obegränsad efinition.5. Mängden M R n kallas kompakt om den är både sluten och begränsad. Eempel.4. en slutna cirkelskivan ovan är kompakt, medan parabeln är inte..4. Funktioner av flera variabler Tänk på linjär algebra: en linjär avbilding är en map från R n till R p ges av p linjära sammankopplade funktioner. Viktiga speciella fall: n = 2, p = : reellvärda funktioner av tvåvariabler, t. e. f(, ) = n = 3, p = : reellvärda funktioner av tre variabler, t. e. f(,, z) = z n 2, p = : reellvärda funktioner av flera variabler, t. e. f(,..., n ) = n n =, p = 2: kurvor i R 2, t. e. f(t) = (cos t, sin t) (tänk på t som tiden) n =, p = 3: kurvor i R 3, t. e. f(t) = (cos t, sin t, t) (s, t) sin s cos t n =, p = 3: tor i R 3, t. e. (s, t) = sin s sin t z(s, t) cos s ( ) ( ) ( ) ( ) f(, ) n = 2, p = 2: avbildningar, t. e. = = g(, )

9 .5. Reellvärda funktioner och dessa nivåmängder 5.5. Reellvärda funktioner och dessa nivåmängder För en reellvärd funktion z = f(, ), (, ), av två variabler och definierar vi grafen av f = {(,, z) R 3 : z = f(, ), (, ) } Grafen av en funktion av två variabler kan betraktas som en ta i R 3 som ges parametriskt av = = (, ) z = f(, ) En nivåkurva för en funktion av två variabler f(, ) är mängden i -planet f(, ) = c, där c är ett godtckligt reellt tal. Likadant, en nivåta för en funktion av tre variabler f(,, z) är mängden i z-rummet f(,, z) = c. En viktig praktisk fråga: hur funktionstan kan tänkas se ut dels med ledning av nivåkurvorna? Eempel.5. Observera att grafen av funktion av en variabel f() = 2 är samtidigt -nivåmängd av funktion g(, ) = 2 av två variabler. Alternativt, den är också -nivåmängd av funktionen h(, ) = 2. Eempel.6. Bertakta f(, ) = Grafen till f är en (ellitpisk) paraboloid. Nivåkurvor är cirklar: = c av radien r = c med centrum i origo: c = c = Eempel.7. Bertakta f(,, z) = 2 2 z. Nivåtor f = c är familjen av parallella (hperboliska) paraboloider som ges i R 3 av en graf av funktionen z = 2 2 c, c R. Se nivåtan f = :

10 6. Mängder i R n. Funktioner från R n till R p.6. Sammansatta functioner Eempel.8. Kan f(, ) skrivas med hjälp av en function g = g(t) av en variable enligt nedan? a) f(, ) = = g( ). Svar: ja, = + = t + t, där t =, alltså g(t) = t + t. b) f(, ) = + = g( ). Svar: nej, t t.e. (, ) = (, ) och (2, 2) ger samma t = men olika f ( resp. 2 )..7. Planpolära koordinater i R 2 (, ) ρ = ρ sin ϕ α = ρ cos ϕ Variabelbtre { = ρ cos ϕ = ρ cos ϕ definierar en bijektiv avbildning av området { ρ > ϕ 2π på området (, ) (, ) i -planet R 2 Obs! = ρ Rmdpolära koordinater i R 3 z θ P Variabelbtre = r cos ϕ sin θ = r sin ϕ sin θ z = r cos θ φ definierar en bijektiv avbildning av området r > ϕ 2π < θ < π på området (,, z) utan z-aeln i z-rummet R 3 Obs! z 2 = r 2.

11 Kapitel 2 Gränsvärden 2.. Gränsvärden: inledande eempel Eempel 2.. Tänk på att du behöver skissa utseendet för t.e. funktionen f(, ) =. efinitionsmängden av f är f = R 2 \. Eftersom funktionen f saknar värde i origo, behöver vi studera vad som händer med funktionsvärdet då punkten = (, ) går mot. För att skissa grafen till f i omgivning av origo studerar vi olika linjer som går genom origo: = k f(, ) = f(, k) = k k 2 2 = k + k 2, k R. k = k = k = 2 k = etta vissar bland annat att linjerna = k,, är nivåkurvor till f! Om man närmar sig origo längs linjerna = k närmar sig funktionens värden k, vilket vissar att (funktionens) gränsvärde är olika för olika +k 2 värde på k. Med andra ord saknar funktionen f gränsvärde äi origo. Eempel 2.2. Undersök funktionen f(, ) = sin( ). å f = R 2 \ {linjen = }. Grafen till f är Eempel 2.3. Undersök funktionen f(, ) = 2 ( 2 +) 2. 7

12 8 2. Gränsvärden 2.2. Gränsvärde: definition och egenskaper efinition 2.. Låt f vara en funktion från R n till R p med definitionsmängden R n och antag att a är en inre punkt eller en randpunkt till. Vi säger då att f har gränsvärdet b R p i punkten a om det till varje tal ɛ > finns det ett tal δ > sådant att < a < δ och medför att f() b < ɛ Vi skriver detta som alternmativt lim f() = b a f b då a Eempel 2.4. Betrakta R 2 och f(, ) =. Visa att lim (,) (2,3) f(, ) = 3. Tips: testa med δ = ɛ/. efinition 2.2. Låt R n och f : R p. Antag att B(R) c för alla R > (med andra ord att avlängsar sig långt bort från origo). Vi säger att om det till varje tal ɛ > finns det R > sådant att lim f() = b > R och medför att f() b < ɛ Obs! att lim a f() inte är definierat om a är en isolerad punkt i f Reellvärda funktioner av två variabler: särslilda beteckningar lim f(, ) (,) (a,b) och gränsvärde i oändligheten: lim f(, ) Vektorvärda reellvärda funktioner. et räcker med att studera komponenter: om f = (f,..., f p ) och b = (b,..., b p ) så gäller det att lim f() = b lim f j() = b j, j =, 2..., p. a a Sammansättningsregel. Antag att R n, E R p, och f : E, g : E R q. å ges den sammansatta funktionen g f av (g f)() = g(f()),. Om f b då a och g c då b så gäller sammansättningsregel: g f c då a. Eempel 2.5. Undersök lim (,),) e tan. Summa. Antag att f och g ähar samma definitionsmängd R n och f R p, g R p. å gäller att lim(f() + g()) = lim f() + lim g() a a a

13 2.3. Kontinuerliga fuinktioner 9 Produkt och kvot. Antag att f och g är reellvärda funktioner med samma definitionsmängd R n. å gäller att lim f()g() = lim f() lim g(). a a a Om lim a g() dågäller att f() lim a g() = lim a f() lim a g(). Instängningsregeln. Antag att reellvärda funktioner f och h har samma gränsvärde i punkten a och att det också gäller att f() g() h() i. å eisterar gränsvärdet lim a g() och är lika med det gemensamma gränsvärdet av f och h. Instängningsregeln för absolutbeloppet. Om f() g() i och lim a g() = då eisterar gränsvärdet lim a f() och lim a f() =. Bevis. Tänk så här: om vi blir tilldelade ett litet ɛ > då eisterar δ > så att vilket medför att f() < g() = g() < ɛ, V.S.B. g() < ɛ om < a < δ Negativt test. För att visa att ett gränsvärde i en punkt a inte eisterar så räcker det med att det finns två vägar som gör att gränsvärdet får olika värden. Eempel 2.6. Betrakta funktionen f(, ) = Gränsvärde i origo: (beteckning) lim f(, ) = lim f(, ), där (,) (,) ρ Eempel 2.7. Undersök lim (,) (,) och a = (, ). ρ = är den polära radien. Lösning. I polära kordinater: f(, ) = = ρ 2 cos 2 ϕ ρ 2 sin 2 ϕ ρ 2 ρ2 = ρ 2 då ρ. et kallar vi en ϕ-oberoende uppskattning. Med hjälp av instängningsregeln för absolutbeloppet (med g(, ) = ρ 2 = ) följer att 2 2 lim (,) (,) = Kontinuerliga fuinktioner et bästa fallet är när värde sammanfaller med gränsvärde. efinition 2.3. Låt f vara en funktion från R n till R p med definitionsmängden R n. Vi säger att f är kontinuerlig i punkten a om gränsvärde lim a f() eiterar och lim f() = f(a). a Om f är definierad i en punkt a f med ej kontinuerlig i a då sägs den ha en diskontinuitet i a. Om en funktion är kontinuerlig i varje punkt i dess definitionsmängd så sägs den vara kontinuerlig. Alla polnom i flera variabler, t. e. 2 2z z 3 är kontinuerliga funktioner (varför?)

14 2. Gränsvärden 2.4. Satser om kontinuerliga funktioner Sats (Satsen om största och minsta värde). Om f är en reellvärd kontinuerlig funktion med kompakt definitionsmängd så har f såväll ett största som ett minsta värde på. En mängd R n sägs vara bågvis sammanhängande om det till varje par a, b av punkter i finns en kontinuerlig kurva t (t), α t β sådan att (t) för alla t och (α) = a och (β) = b. a b Sats 2 (Satsen om mellanliggande värden). Låt f vara en reellvärd kontinuerlig funktion med bågvis sammanhängande definitionsmängd. Om f i antar två värden f(a) och f(b) så antar f också alla värden mellan f(a) och f(b). Eempel 2.8. a) Funktionen f(, ) = är inte kontinuerlig i origo eftersom den saknar värde i (, ). b) Funktionen f(, ) = { om (, ) (, ) om (, ) = (, ) är inte kontinuerlig i origo eftersom den saknar gränsvärde i (, ). c) Funktionen f(, ) = är kontinuerlig i origo enligt Eempel 2.7. { om (, ) (, ) om (, ) = (, ) Eempel 2.9. Undersök f(, ) = då (, ) (, ). Lösning. Med hjälp av ϕ-oberoende uppskattning: f(, ) = ρ 2 + ρ 4 cos 2 ϕ sin 2 ϕ ρ 2 = ρ 2 cos 2 ϕ sin 2 ϕ ρ 2 då r. så att lim (,) (,) f(, ) =. Gör så här: om du har nämnare som a 2 + b 2 resp. a 2 + b 2 + cz 2 då hjälper ofta generaliserade (eller modifierade) polära (resp. rmmdpolära) koordinater: { = a ρ cos ϕ = a r cos ϕ sin θ = resp = b ρ cos ϕ b r cos ϕ sin θ z = c r cos θ

15 2.4. Satser om kontinuerliga funktioner Eempel 2.. Bestäm om möjligt f(, ) så att f(, ) = blir kontinuerlig i (, ) Lösning. Vanliga polära koordinater ger ingen effekt eftrsom = ρ 2 cos 2 ϕ + 4ρ 2 sin 2 ϕ ρ 2. Istället anpassar vi variabelbte (de så kallade generaliserade polära koordinater) { = ρ cos ϕ så följer det att alltså = 4 ρ cos ϕ = ρ 2 cos 2 ϕ ρ2 sin 2 ϕ = ρ 2, = ρ 3 (cos 3 ϕ 2 sin ϕ cos2 ϕ) ρ 2 = ρ(cos 3 ϕ sin ϕ cos 2 ϕ) ρ 2 då ρ. Eempel 2.. Kan man definiera f(, ) = Lösning. Undantagspunkt nämnare = ger = 2 + ( + ) 2 =, i undantagspunkten så att f blir kontinuerlig där? alltså (, ) = (, ). Med hjälp av polära koordinater (med punkten (, ) som polen), { = + ρ cos ϕ = + ρ cos ϕ så får vi ( + ) 2 = ρ 3 ( + ρ sin ϕ) ρ 2 ρ( + ρ) då ρ. d.v.s. lim (,) (, ) f(, ) =. Alltså blir den utvidgade funktionen { 3 om (, ) (, ) f(, ) = om (, ) = (, ) kontinuerlig.

16

17 Kapitel 3 Pariella derivator. ifferentierbarhet 3.. Kort sammanfattning av derivatabegreppet för f : R R Huvudidén är att imitera definition av derivata i envariabelfallet. En funktion = f() av en variabel är kallas deriverbar om f är definierad i någon omgivning av a och gränsvärdet f() f(a) f(a + h) f(a) lim = lim =: f (a) = df (a) = f(a). (3.) a a h h d eiterar. Gränsvärdet kallas då derivatan av f i a och betecknas f (a). Geometrisk tolkning: Eistensen av lim a f() f(a) a = A betder att f() f(a) = A( a) + ω() ( a) där ω() då a, vilket även innebär att linjen f(a) = f (a)( a) tangerar grafen = f() i punkten (a, f(a)). = f() 3 2 tangenten Partiella derivator efinition 3.. Antag att f(, ) är definierad i en omgivning av punkten (a, b). Om gränsvärdet f(a + h, b) f(a, b) lim h h eisterar så säger vi att f är partiellt deriverbar med avseende på i (a, b). Gränsvärdet kallas den partiella derivatan av f med avseende på i punkten (a, b) och betecknas f (a, b) = f (a, f(a + h, b) f(a, b) b) = f(a, b) := lim. h h 3

18 4 3. Pariella derivator. ifferentierbarhet På motsvarande sätt definierar vi f (a, b) := lim h f(a, b + h) f(a, b). h I den allmänna fallet med en funktion f(,..., n ) av n variabler: f i (a) = f f(a + he i ) f(a) f(a,..., a i + h,..., a n ) f(a,..., a n ) (a) := lim = lim. i h h h h där e i = (,...,,..., ) är vektorn med på plats i. Om alla partiella derivatorna f i (a) eisterar för i =,..., n säges f vara partiellt deriverbar i punkten a. Viktigt! Man får använda betekningen utan inde för en funktion av en variabel, t.e. f (). äremot partiella derivator är altid med inde, d.v.s. att skriva f (, ) är ett fel. Eempel 3.. Om f(,, z) = 2 ln + z då f f = tänk att och z är konstanter = 2 ln. Likadant, = 2 + z och f z = För f(, ) = g() (obs. att g = g(t) är funktion av en variabel t, d.v.s. f är en sammansatt funktion): f = g (), f = g () vilket betder att f(, ) = g() är en lösning till differentialekvationen f f =. Eempel 3.2. Om f = f(, ) och f = så behöver f(, ) inte vara en konstant. T.e. (2 ) =, eller (e sin ) =. Allmänt, om f = R 2 och f = för alla (, ) så är f(, ) en konstant funktion av för varje, d.v.s. f = f(, ) = g() för en godtcklig direverbar funktion g av en variabel. Eempel 3.3. Samma gäller för tre variabler: f(,, z) = f(,, z) = g(, z). Eempel 3.4. Lös sstemet för u = u(,, z) u = z 2, u = z z, u z = 2z + + 2e 2z Lösning. Vi integrerar den första ekvationen (m.a.p. ): u(,, z) = z 2 d = z 2 + g(, z),

19 3.3. ifferentierbarhet 5 där g(, z) är en godtcklig ( direverbar ) som inte beror av. Insättning i den andra ekvationen ger u = z 2 + g (, z) = z z g (, z) = 2 + z g(, z) = 2 + z + h(z), alltså u = z z + h(z). Insättning i den tredje ekvationen ger att u z = (z z + h(z)) z = 2z + + 2e 2z h (z) = 2e 2z h(z) = e 2z + C, C R, alltså u = z z + h(z) = z z + e 2z + C. Eempel 3.5. Låt f(, ) = { om (, ) (, ) om (, ) = (, ) Vi vet att f inte är kontinuerlig i origo. äremot, f (, f(h,) f(,) ) = lim h h gäller för f (, ) =. = lim h h = och samma Med detta eemepel ser vi att att vara partiellt deriverbar att vara continuerlig! 3.3. ifferentierbarhet efinition 3.2. Låt (a, b) vara en inre punkt i definitionsmängd till en funktion f(, ). Vi säger att f är differentierbar i punkten (a, b) om det finns konstanter A och A 2 och en funktion ω(h, k) sådana att n f(a + h, b + k) f(a, b) = A h + A 2 k + h 2 + k 2 ω(h, k), med lim ω(h, k) =. (3.2) (h,k) (,) z = f(, ) Planet med ekvationen z = f(a, b) + f (a, b)( a) + f (a, b)( b) kallas för tangentplan till funktionstan z = f(, ) i punkten (a, b, f(a, b)). Uttrcket kallas för differential av f i punkten (a, b). df(a, b) = f (a, b)h + f (a, b)k, där h = d, k = d Eempel 3.6 (ifferentierbarhet). För f(, ) = och (a, b) = (, 2) gäller att A A 2 ω(h, k) f( + h, 2 + k) f(, 2) = ( + h)(2 + k) 2 = h + 2k + hk = h + 2 k + h 2 + k 2 hk h 2 +k 2

20 6 3. Pariella derivator. ifferentierbarhet där ω(h, k) = hk h 2 +k 2 då h 2 + k 2 (testa gärna med polära koordinater!) Eempel 3.7 (Felanals). Uppskatta f(2, ;, 95) då f(, ) = / 2, via differentialen. Lösning. Partiella derivatorna är f = 2 och f = 2 3, alltså f (2, ) = och f (2, ) = 4, altså f(2, ;, 95) f(2; ) df(2, ) = f (2, ) (2, 2) + f (2, ) (, 95 ) = I det allmäna fallet har vi följande definition. =, + 4, 5 =, 3 f(2, ;, 95) 2 +, 3 = 2, 3. efinition 3.3. Låt a vara en inre punkt i definitionsmängd R n till en funktion f(). Vi säger att f är differentierbar i punkten (a om det finns konstanter A i, i =,..., n och en funktion ω(h) sådana att f(a + h) f(a) = A h A n h n + h ω(h), med lim ω(h) =. (3.3) h Om f är differentierbar i varje punkt a säger vi att f är differentierbar i. Sats 3. En differentierbar funktion är kontinuerlig. Bevis. För två variabler följer detta direkt från (3.3) då h. Sats 4. En differentierbar funktion f är partiellt direverbar med där A,..., A n är talen i (3.2). f j (a) = A j Bevis. Om vi väljer h = te k får vi då f(a + te k ) f(a) t = A k + te k f(a + te k ) f(a) ω(te k ) lim = A k. t t t Eempel 3.8 (Tangentplan). Bestäm ekvationer för tangentplanen till tan z = i M(, 2, ). Lösning. Partiella derivatorna är f = 2 och f =, alltså f (, 2) = och f (, 2) = och tangentplanevation är z = + ( ) + ( ) ( 2) = 3. efinition 3.4. Låt f vara definierad i en öppen mängd R n vi säger att f är av klass C, eller f C () om f är partiellt deriverbar och om alla de partiella derivatorna f,..., f n är kontinuerliga i. Vi säger att f är av klass C k om alla derivator till och med ordning k eisterar och är kontinuerliga. Sats 5. Varje funktion f av klassen C är differentierbar Partiella derivator av högre ordning T.e. andra ordningens derivator j ( f k ) = 2 f j k = f k j = f kj. Sats 6. För varje funktion f() = f(,..., n ) av klass C 2 gäller att f k j = f j k.

21 Kapitel 4 Kedjeregeln 4.. iverse inledande eempel Eempel 4.. Låt f(t) = sin t och g(, ) = / så att F (, ) := f g(, ) = sin. å får vi för partiella derivator F = cos, ) F ( = cos. 2 Allmänt,om den sammansatta funktionen F (, ) := f(g(, )) är väl definierad så F (, ) = f (g(, )) g (, ), F (, ) = f (g(, )) g (, ) Eempel 4.2. Antag att f(, ) = 2 2 : R 2 R och g(t) = (cos t, sin t) : R R 2. Låt S vara kurvan given genom ekvationen på parameterform (, ) = g(t) : [, 2π] R 2, alltså enhetscirkeln: z clindern S S en sammansatta funktionen f g(t) kan då tolkas som restriktion av f till enhetcirkel S = { = } (restriktionen är det samma funktion f men vi minskar definitionsmängden till S.) etta problem förekommer ofta t.e i optimeringen. å får vi för derivata av f g(t): f(g(t)) = cos 2 t sin 2 t = cos 2t d f(g(t)) = 2 sin 2t. dt Alternativt kan vi beräkna derivatan med hjälp av kedjeregeln: d dt f(g(t)) = d dt (2 2 ) = 2 t 2 t = 2 cos t sin t 2 sin t cos t = 4 sin t cos t = 2 sin 2t. 7

22 8 4. Kedjeregeln Sats 7. Antag att f(, ), g (t) och g 2 (t) är differentierbara funktioner och den sammansatta funktionen f(g (t), g 2 (t)) är definierad. å är f(g (t), g 2 (t)) deriverbar och kedjeregeln gäller df(g (t), g 2 (t)) dt = f (g (t), g 2 (t)) g (t) + f (g (t), g 2 (t)) g 2(t) Bevis (grund idé). Eftersom g (t) och g 2 (t) är differentierbara funktioner i t får vi g (t + h) = g (t ) + g (t ) h + hω (h) = a + a h + hω (h), g 2 (t + h) = g 2 (t ) + g 2(t ) h + hω 2 (h) = b + b h + hω 2 (h), där lim h ω (h) = lim h ω 2 (h) = och g (t ) = a, g 2 (t ) = b, g (t ) = a, g 2 (t ) = b. Enligt differentierbarhet av f i punkten (a, b): f(a + k, b + l) f(a, b) = A k + A 2 l + ω(k, l) k 2 + l 2, lim ω(k, l) =, (k,l) (,) där A = f (a, b), A 2 = f (a, b). Så får vi för den sammansatta funktionen F (t) = f(g (t), g 2 (t)): F (t + h) F (t ) = f(a + k, b + l) f(a, b) = = f(a + a h + hω (h), b + b h + hω 2 (h)) f(a, b) = = A (a h + hω (h)) + A 2 (b h + hω 2 (h)) + hω(h) = A a h + A 2 b h + hω (h) där lim h Ω (h) = (varför?). Allstå: df dt (t ) = f (g (t ), g 2 (t ))g (t ) + f (g (t ), g 2 (t ))g 2(t ). Eempel 4.3. Bestäm f(t) så att u(, ) = f( ) uppfller Lösning. Låt ρ = ρ(, ) = 2 + 2, då u + u = 2u, u(, 2) = 5. u = f (ρ) ρ = f (ρ) = f (ρ) ρ, och likadant u = f (ρ), alltså ρ 2f(ρ) = u + u = f (ρ) ( ) = f (ρ)ρ ρ f (ρ) f(ρ) = 2 ln f(ρ) = 2 ln ρ + C. ρ Alltså är f = Cρ 2. Återgång till och ger följaktligen att u(, ) = C( ). Eftersom u(, 2) = C ( ) = 5C = 5 får vi C =. Problemet har alltså den entdiga lösningen u(, ) =

23 4.2. en allmäna kedjeregeln och PE en allmäna kedjeregeln och PE Låt {f k (t,..., t q ) : k =,..., n} och u(,..., n ) vara funktioner av klass C så är den sammansatta funktionen u(f (t,..., t q ),..., f n (t,..., t q )) av klass C och u t j = u f t j u n f n t j, j =, 2..., q. Alternativt kan detta skrivas som följande minnesregel u = u u i = t j t j i t j Eempel 4.4. Antag att z(, ) C (R 2 ) och lös m.h.a. variablebte u = 2 +, v =. Lösning. Vi får för partiella derivatorna n i= u i i t j z 2z = + med villkoret z(, ) = z = z u u + z v v = 2 z u + z v, z = z u u + z v v = z u, alltså transformeras den ursprungliga ekvationen till z 2z = 2 z u + z v 2 z u = z = enligt antagande = + = efter variabelbte = u v v z = v = u v = z = (u v)dv = uv 2 v2 + g(u) Återgång till och ger följaktligen att den allmäna lösningen är där g = g(t) fås ut genom insättning i vilkoret: vilket ger Problemet har alltså den entdiga lösningen z = (2 + ) g(2 + ) = g(2 + ), z(, ) = g(2 + ) = g(2) = g(2) = = g(t) = 3 2 (t/2)2 = 3 8 t2. z(, ) = (2 + )2 = Kontroll: z(, ) = och z 2z = 2 2 ( 2 3 ) = +, 4 Eempel 4.5. Transformera och lös 2 z + 2z + 2 z = (4.) med hjälp av u =, v = / ( > ) och bivillkoren z(, ) =, z (, ) = 2. Lösning. Vi får för partiella derivatorna av första ordningen: z = z u u + z v v = z u 2 z v, z = z u u + z v v = z v,

24 2 4. Kedjeregeln Samma användning av kedjeregeln upprepas nu på varje term i uttrcken för z och z. Vi ska ta hänsn till att såväl z u som z v beror av både u och v, vilka i sin tur beror av och. Vi får till att börja med att z = ( z ) = (z u 2 z v) = (z u) z v 2 (z v). e två andra ordningens derivatorna i HL fås med hjälp av kedjeregeln som: alltså Och vidare med hjälp av (4.3) (z u) = u (z u) u + v (z u) v = z uu + z vu ( ) = z 2 uu z uv, (4.2) 2 (z v) = u (z v) u + v (z v) v = z uv z vv, (4.3) 2 z = z uu 2 2 z uv z vv z v. z = z = ( z ) = ( z v) = z 2 v + z = ( z ) = ( z v) = (z v) = z 2 v + (z uv z vv). 2 (z v) = (z v) v = z 2 Vi får alltså från (4.) att 2 z uu = z vv =. Successiv integration ger z u = g(v) z = ug(v) + h(v) z = g(/) + h(/). Villkoret z(, ) = ger g() + h() = alltså h() = g(), vilket ger Nu koncentrerar vi oss på z (, ) = 2. Vi får alltså z(, ) = ( )g(/). z = g( ) ( )g ( ) 2, z (, ) = g() = 2 z(, ) = ( )g(/) = ( ) 2 2. en sökta lösningen är alltså z(, ) = ( ) 2 2. vv

25 Kapitel 5 Kurvor,tor. Gradient 5.. Kurvor och tor En parameterkurva i R n ges av = (,..., n ) = (t), α t β. Två kuvor = (t), t [a, b] och = (τ), τ [α, β] är ekvivalenta om de kan identifieras genom ett parameterbte, d.v.s. om det finns en bijektion t = g(τ) : [α, β] [a, b] sådan att (g(τ)) = (τ). Vektorn (t) kallas för tangentvektorn till = (t) i punkten (t). Linjen = (t ) + (t )s, s R kallas för tangentlinjen till = (t) i punkten (t). Eempel 5.. Här kommer några eempel på parametriserade kurvor: z En linje in R 3 genom punkten = (,, z ) med riktningsvektor v = (a, b, c) på parameterform ges av: (,, z) = + vt = ( + at, + bt, z + ct), t R (a, b) en cirkel i planet av radien r med medelpunkt i (a, b): (, ) = (a + r cos t, b + r sin t), t [, 2π[ en heli i R 3 (,, z) = (2 cos t, 2 sin t,.5t), Tangentlinjen för t = π/4 t R 2

26 22 5. Kurvor,tor. Gradient Geometrisk tolkning av tangentvektorn som hastighet: Längden av en parameterkurva γ : = (t), t [α, β] längden av γ = β α (t) dt. En (parametriserad) ta ges av = (s, t), (s, t) R 2. tan n Normalvektor i punkten (s, t) ges av n = s t Normallinjen genom punkten (s, t) ges av = (s, t) + n(s, t) r, r R Andra sätt att beskriva en ta i R 3 : som en graf (parameterfri): z = f(, ) som en nivåmängd: f(,, z) = C. efinition 5.. För en differentierbar funktion f(), R n, definierar vi gradienten av f i punkten som vektorn: grad f() = f() = ( f,..., f n ). Eempel 5.2. Bestäm normallinjen respektive tangentplanet till tan 2 z = 2 i punkten (,, 2). Låt γ : = ((t), (t)), t [α, β] vara en parameterkurva och f(, ) en differentierbar funktion sådan att den sammansatta funktionen f γ (t) = f((t)) är definierad. å kan vi skriva kedjeregeln som skalärprodukten df γ dt = f (t) + f (t) = f((t)) (t) (5.)

27 5.. Kurvor och tor 23 Observera att derivatan dfγ dt är hastighet hos funktionen f γ (t) = f((t)), d.v.s. hastigheten av f längs kurvan γ i repsektive punkt. Om f = konst längs kurvan γ då gäller det att df γ dt = f((t)) (t) = f((t)) (t) Gradientens geometriska betdelse: gradienten av f i en punkt (, ) är ortogonal till nivåkurvan f(, ) = f(, ): Allmänt gäller det att gradienten av f(), R n i en punkt är ortogonal till nivåmängd f() = f( ). Eempel 5.3. Bestäm tangentplan till tan z 2 = i punkten (2, 2, 3). Lösning. Låt F () = z å tan är nivåmängden F (,, z) =. Vi har för gradienten: F = (F, F, F z) = ( 2, 2, 2z), F (2, 2, 3) = ( 4, 4, 6), alltså är n = (2, 2, 3) en normal till tangentplanet i (2, 2, 3). et ger normalekvation z = C, där C fås ut ur villkoret att punkten (2, 2, 3) liger i tanhentplanet, d.v.s = C =. Eempel 5.4. Bestäm det tangentplan till tan z = som är parallellt med planet z = 5. Lösning. (I) Planets normalvektor är n = (2, 3, 4). Tangentplanets ekvation i punkten (a, b, a 2 + b 2 ) ges av z (a 2 + b 2 ) = z (a, b)( a) + z (a, b)( a) = 2a( a) + 2b( b) 2a + 2b z = a 2 + b 2. Alltså: 2a 2 = 2b 3 = a = /4, b = 3/8 4 vilket ger tangentplanets ekvation (på normalform) z = 3. (II) Alternativ lösning m.h.a. gradient. Grafen z = är -nivåmängd av en n funktion F (,, z) = z. å normalen n = (2, 3, 4) till z = 5 ska vara parallell med gradienten F (a, b, c) samt F (a, b, c) = vilket ger 6a + 4b = F (a, b, c) = (2a, 2b, ) n (2a, 2b, ) n = 8a + 2 = a = /4, b = 3/8 8b 3 =

28 24 5. Kurvor,tor. Gradient 5.2. Riktningsderivata Observera att (5.) visar att derivatan dfγ dt beror enbart på gradienten av f och tangentvektorn till γ i resp. punkten. efinition 5.2. Med derivatan av f() i punkten a med avseende på riktningen v, v =, menas gränsvärdet f v(a) f(a + tv) f(a) = lim = d (f(a + tv)) t t dt Kedjeregeln ger d f (f(a + tv)) = d dt dt f d n n dt Observera att om v = då se bilden: v f(a) för t = = f v f n v n f v(a) = f(a) v. f v(a) = f(a) v = f(a) cos α, a f v(a) Sats 8. Gradienten f(a) pekar i den riktning i vilken funktionen f väer snabbast i punkten a, och mätetalet på den maimala tillväthastigheten är f(a). Analogt, f(a) pekar i den riktning i vilken funktionen f avtar snabbast i punkten a. Lång gradent f ger täta nivåkurvor, kort ger glesa. Eempel 5.5. En bergsbestigare på berget z = 2 ( ) befinner sig i (2,, 2) och går alltid i den riktning dår berget år brantast. Beskriv vägen till toppen. Lösning: z = ( 4 3, 8 3 ), alltså z(2, ) = ( 32, 8) ( parallell med ) ( 4, ), alltså ska han gå i denna ritning.

29 Kapitel 6 Lokala undersökningar 6.. Lokala etrempunkter: nödvändiga villkor efinition 6.. Låt f = f() vara en funktion med definitionsmängd R n. f sägs att ha ett lokalt maimum i en punkt a om det finns δ > sådant att f() f(a) för alla och a < δ. Punkten a kallas en lokal maimipumkt för f och funktionsvärde f(a) kallas ett lokalt maimivärde. Om dessutom f() < f(a) då a talar vi om en sträng lokal maimipunkt och ett strängt lokalt maimivärde. På motsvarande sätt definieras n (sträng) lokal minimipunkt och ett (strängt) lokalt minimivärde. Lokala maimi- och minimipunkter kallas för lokala etrempunkter. Eempel 6.. Undersök följande funktioner kring (, ): a) f(, ) = , b) g(, ) = 2 + (2 ) 2. Lösning. a) Observera att f inte är differentierbar i origo (p.g.a. absolutbelopet). Vi kan studera hur f beter sig längs varje koordinatael: f(, ) = + = f(, ), för alla f(, ) = + 2 ( 2 ) = f(, ) för sådana att <. Vi gissar att (, ) är en minimipunkt. et stämmer eftersom för alla punkter (, ) nära origo gäller att f(, ) f(, ) = f(, ) = + 2 ( 2 ) > för (, ) (, ) och ma{, } < d.v.s. (, ) är sträng lokal minimipunkt. b) Om vi undersöker den andra funktioner med samma metod så får vi f(, ) = > 2 = f(, ), för alla f(, ) = > 2 = f(, ) för alla däremot f(, 2) = < 2 för alla et betder att (, ) är ingen etrempunkt (en saddelpunkt) 25

30 26 6. Lokala undersökningar En viktig observation: det räcker inte med att gå längs enstaka kurvor för att bevisa eistens av lokala ma/min, däremot det kan räcka fär att MOTbevisa. Sats 9. Om funktionen f() har lokalt etremvärde i en inre punkt a i definitionsmängden och om f är partiellt derivarbar i a så är f i (a) = för alla i. Med andra ord, a är en etrempunkt f(a) =. Bevis. Låt n = 2 och låt (a, b) vara ett lokalt etrempunkt, säg ett lokalt maimum. Betrakta funktionen av en variabel g : f(, b). Så gäller det att g() har ett lokalt maimum i a, alltså g (a) =. Således f (a, b) = g (a) =. Alltså f (a, b) = f (a, b) =. efinition 6.2. En punkt f i vilken gradient f() = kallas en stationär punkt. a är en etrempunkt a är en stationär punkt. Eempel 6.2. Låt f(, ) = e stationära punkterna fås ur { f = = f = = { 2( + ) = = e stationära punkterna är således (, ) eller (, ). (, ) eller (, ) 6.2. Talors formel Om f(, ) är differentierbar i (a, b) så gäller det att f(a + h, b + k) = f(a, b) + f (a, b)h + f (a, b)k + h 2 + k 2 ω(h, k) = f(a) h + h ω(h) med lim ω(h) =, h (,) Sats (Talorsutveckling). Låt f(, ) C 3 () i en öppen mängd R 2, a = (a, b). å är f(a + h) = f(a) + f(a) h + 2 ht Hess f(a)h + O( h 3 ), där ( ) f Hess f(a) = (a) f (a) f (a) f (a) är Hessianen av f i a f(a + h) = f(a) + f (a)h + f (a)k }{{} approimationen av :a ordningen där B(h, k) är en begränsad funktion i en omgivning av origo. + 2 (f (a)h 2 + 2f (a)hk + f (a)k 2 ) + (h 2 + k 2 ) 3 2 B(h, k), }{{}}{{} approimationen av andra ordningen=q a(h) restterm Bevis. Idé: betrakta funktionen F (t) = f(a + th, b + tk) av en variabel t, t så att F C 3 och således Maclaurins formel ger för t = : F (t) = F () + F () + F () 2! 2 + F (θ) 3! 3

31 6.3. Lokala etrempunkter: tillräckliga villkor 27 där θ ], [. Vi får F () = f(a, b) och och med hjälp av kedjeregeln: F () = f (a, b)h + f (a, b)k F () = f (a, b)h 2 + 2f (a, b)hk + f (a, b)k 2 F (θ) = summa av termer 3! i!(3 i)! f i 3 i h i k 3 i som kan uppsakatas med B (h 2 + k 2 ) 3/2 Eempel 6.2 (forts.) Vi utvecklar f = kring (, ). Partiella derivatorna i origo: alltså Hess f(a) = f = f (, ) = f = 4 4 f (, ) = f = 4 2 f (, ) = 2 f = 4 f (, ) = 4 f = 4 f (, ) = 4, ( ) Således f(h, k) = 2h 2 + 8hk 4 2 +O( h }{{} 3 ) 2 Qa(h) Q (,) (h) = 2h 2 + 8hk 4 2 Eempel 6.3. Använd kända Maclaurinutvecklingar från envariabelanalsen för att bestämma Maclaurinutvecklingar av ordning 2 med rest i ordoform till f(, ) = sin( + ) ln( + ). Tips: använd polära koordinater för att uppskatta restermer. T.e. ( + ) 3 = ρ 3 (cos θ + sin θ) 3 = O(ρ 3 ), }{{} begränsad sin( + ) = + + O(( + ) 3 ) = + + O(ρ 3 ), ln( + ) = ( ) + 2 ( )2 + O(( ) 3 ) = O(ρ 3 ) f(, ) = ( + + O(ρ 3 )) ( O(ρ 3 )) = O(ρ 3 ). Observera att alla tredje ordningens stermer sådana som 3, 2 etc har formen O(ρ 3 ). T.e. 2 = ρ 3 cos } 2 {{ θ sin θ} = O(ρ 3 ) begränsad 6.3. Lokala etrempunkter: tillräckliga villkor Antag att (a, b) är en stationär punkt, d.v.s. f (a, b) = f (a, b) = första ordningens termer i Talorsutveckling kring en stationär punkt försvinner: f(a + h, b + k) f(a, b) = 2 Q (a,b)(h, k) + (h 2 + k 2 ) 3 2 B(h, k) (f 2 (a, b)h 2 + 2f (a, b)hk + f (a, b)k 2 ) Sats. Låt f vara av klass C 3 och (a, b) en stationär punkt till f. Så gäller det fra följande alternativ:

32 28 6. Lokala undersökningar () Q(h, k) är positivt definit, d.v.s. Q(h, k) > för alla (h, k) (, ) ett strängt lokalt minimum i (a, b). (2) Q(h, k) är negativt definit, d.v.s. Q(h, k) < för alla (h, k) (, ) ett strängt lokalt maimum i (a, b). (3) Q(h, k) är indefinit, d.v.s. Q(h, k) > antar såväl positive som negativa värden. å är (a, b) ingen etrempunkt. Man talar i stället om en sadelpunkt i (a, b). (4) Q(h, k) är positivt (eller negativt) semidefinit, d.v.s. Q(h, k) (resp. Q(h, k) ) och Q(h, k) = för något (h, k) (, ). I detta undantagsfall kan man inte använda Q för att dra slutsatser om karaktären av den stationära punkten (a, b). För n 3 gäller motsvarande alternativen. Eempel 6.2 (forts.) Vi undersöker f = (, ). Vi har sett att Q (,) (h, k) = 2h 2 + 8hk 4 2 = 2(h 2k) 2 + 4k 2, alltså är Q (,) (h, k) en indefinit quadratisk form. Alternativt kan Q (,) (h, k) undersökas m.h.a. spektralteorin: ( ) { 2 λ 4 det = λ 2 λ = 3 7 < + 6λ λ λ = > Eempel 6.4. Bestäm alla lokala maimi- och minimipunkter för f(,, z) = 6 + 6z z 2 3 Lösning. För att hitta stationära punkter sätter vi gradienten av f till noll: f = z = = f = 6 6 = z = f z = 6 6z = 2 = 4 Alltså har vi tvåstationära punkter: A = (,, ) och B = (4, 4, 4). Andraderivatorna är f = 6, f = f zz = 6, f z = och f = f z = 6 vilket ger de kvadratiska formerna 6 Q A(h, k, l) = k 2 l 2 + 2hk + 2hl = (k 2 2hk + l 2 2hl) = ((k h) 2 h 2 + l 2 + 2hl) = (k h) 2 (l h) 2 + 2h 2 (indefinit t positiv för (h, k, l) = (,, ) och negativ för (h, k, l) = (,, ), så origo är en sadelpunkt), och 6 Q B(h, k, l) = 4h 2 k 2 l 2 + 2hk + 2hl = ((k h) 2 + 3h 2 + l 2 2hl) = ((k h) 2 + (l h) 2 + 2h 2 ) = (k h) 2 (l h) 2 2h 2 (negativt definit, så f(4, 4, 4) = 28 är ett lokalt maimum). Se även Hans Lundmark diskussion på TATA69 här:

33 Kapitel 7 Implicit givna funktioner 7.. Inledande eempel Betrakta ekvationer med en och flera variabler: =, en ekvation som kan lösas algebraiskt; lösningarna är = och 2 = =, det finns fem komplea rötter men det finns ingen formel som genom successiva rotutdragningar (radikaler) ger lösningen till ekvationen (Abels sats, Nils Henrik Abel 824). = 2 2e, en ekvation som definierar som en eplicit funktion = 2, funktionen ges implicit. Funktionen i detta fall kan även ges eplicit: = 2/. Eempel 7.. Ekvationen = definierar som en implicit funktion. Här kan även lösas ut lokalt, se bilden: = 2, funktionen är lokalt definierad är ej definierad (punkten (, ) är eceptionell) = 2, funktionen är lokalt definierad Eempel 7.2 (escartes folium). F (, ) = =. Med hjälp av substitutionen = t kan ekvationen skrivas om som en parameterkurva: t t = = 3t +t 3 { = 3t +t 3 = 3t2 +t 3 29

34 3 7. Implicit givna funktioner 7.2. Implicit givna funktioner Allmänt kommer vi undersöka implicit givna funktioner av två eller flera variabler. Istället för att studera frågan huruvida en kurva kan ses som en funktionsgraf eller ej, så kommer vi att studera frågan: är det så att det, givet en punkt på kurvan, finns en omgivning av denna punkt i vilken kurvan kan ses som grafen till en funktion? Vi studerar därför en kurva i planet given av ekvationen F (, ) = C. Noterar att vi kan tolka en sådan kurva som en nivåkurva. efinition 7.. Vi säger att ekvationen F (, ) = C implicit definierar en funktion = (). Eempel 7. visar att vi kan hitta sådana omgivningar för varje punkt (a, b) på enhetcirkeln = förutom två eceptionella punkter där tangentkurvor är lodrätta, med andra ord gradient i punkt (a, b) pekar horisontellt F (a, b) = punkten (a, b) är eceptionell se bilden eceptionella punkter För att kunna se kurvan som en graf = f() så behöver vi alltså bara undvika eceptionella punkter vilket motiverar Sats 2 (Implicita funktionssatsen). Låt F (, ) vara en C -funktion och låt F (a, b) = C, d.v.s. punkten (a, b) hör nivåkurvan F (, ) = C. Om F (a, b) så finns en öppen omgivning U av (a, b) sådan att restriktionen av nivåkurvan till U implicit definierar en C -funktion = f(). För derivatan av denna funktion gäller f () = F (, ) F (, ) Observera att sambandet (7.2) kan fås via kedjeregeln genom att derivera F (, f()) = C: d d F (, f()) = F (, f()) + F (, f()) f () = f () = F (, f()) F (, f()) enna metod kallas implicitderivering. (7.)

35 7.3. Implicita funktionssatsen för sstem 3 Eempel 7.3. Visa att ekvationen 5 = 4 + lokalt kring (, ) definierar en C -funktion (), och beräkna () uttrckt i och (); ange speciellt () och (). Lösning. Vi definierar F (, ) = V.L. H.L. = 5 4, alltså F (, ) = och () =. Implicitderivering ger = d d (5 4 ) = = () = = 4 5 Alternativt, med hjälp av (7.2): () = F (, ) F (, ) = et går att generalisera Implicita funktionssatsen till att hantera nivåtor F (,, z) = C i rummet. Om F (a, b, c) = C och F z(a, b, c) så finns en öppen omgivning U av (a, b, c) i rummet sådan att restriktionen av nivåtan till U implicit definierar en C -funktion z = f(, ) och f (, ) = F (,, z) F z(,, z), f (, ) = F (,, z) F z(,, z). (7.2) Eempel 7.4. Betrakta ekvationen 2 + ep( 2 ) sin = z. Låt F (,, z) = 2 + ep( 2 ) sin z. (i) Eftersom cos, får vi F = 2 + ep( 2 ) cos 2 ep( 2 ) 2 = >. alltså F (,, z) för alla (,, z) R 3, vilket ger m.h.a. implicita funktionssatsen att = (, z) eiterar lokalt kring varje punkt (, z) R 2 som löser ekvationen F (,, z) =. (ii) Antag att (, z) = (a, b) är en godtcklig punkt i planet. Vi undersöker ekvationen g() := 2 + ep( a 2 ) sin ab = med avseende på. Eftersom g () = F (, a, b) >, funktionen g() är strängt väande. Å andra sidan, lim ± = ±, alltså satsen om mellanliggande värden (från envariabelanals) medför att det eisterar sådant att g() = och ett sådant är entdigt bestämt. etta resonemang visar att F = definierar en funktion (, z) i hela z-planet och (m.h.a. implicita funktionssatsen) också att denna funktion faktiskt är C Implicita funktionssatsen för sstem Betrakta ett linjärt sstem { f := a + b + c z = d g := a 2 + b 2 + c 2 z = d 2

36 32 7. Implicit givna funktioner Geometriskt är lösningsmängd skärningen mellan två plan f = d och g = d 2. Skärningen är en linje. Om man vill parametrisera linjen med hjälp av t.e. z = t så är det ekvivalent till att sstemet a + b + c z = d a 2 + b 2 + c 2 z = d 2 z = t är lösbart för varje t, vilket i sin tur är ekvivalent till att a b c a b a 2 b 2 c 2 = a 2 b 2 Vi ska studera huruvida detta kan generaliseras för ickelinjära avbildningar. Sats 3 (Implicita funktionssatsen för sstem). Låt F (,, z) och G(,, z) är C -funktioner och (a, b, c) är en lösning till sstemet { F (,, z) = C (7.3) G(,, z) = Antag att determinanten d(f, G) d(, ) = F F G G i en punkt (a, b, c) på skärningen (7.3). å finns en omgivning av denna punkt i vilken (7.3) bestämmer två C -funktioner { = f(z) = g(z) Eempel 7.5. Visa att ekvationsstem { F = sin e + z 2 = G = 2 + z + = kring (,, ) definierar C -funktioner (z) och (z), och beräkna (), (), och ange hur man får (), (). Lösning. d(f, G) d(, ) = F F G G Implicitderivering m.a.p. : { d dz (sin e + z 2 ) = d dz (2 + z + ) = I punkten (,, ): () = () = och ( ) () = () = cos e 2 cos + 2e { cos e + 2z = 2 + = d(f, G) (,, ) = d(, ) = ( ) ( ) ( ) cos e 2z = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e 2z 2 = = 2 cos i (,,)

37 Kapitel 8 Optimering 8.. Optimering på kompakta mängder Eempel 8.. För att bestämma största och minsta värde av f() = 3 3 på [, 2] delar vi upp uppgiften i två delar: (i) lokala etrempunkter i öppet intervalet < < 2 med hjälp av f = och (ii) ändpunkterna: = och =2. Enligt Satsen, kap. 2.4, vet vi att en kontinuerlig funktion på ett kompakt (= begränsat och slutet) område alltid antar ett största och ett minsta värde. För att bestämma dessa är det tillräckligt att ta fram alla punkter ( kandidater ) där största och minsta värde kan finnas och sedan jämföra funktionsvärdena i dessa. stationära inre punkter: f(, ) = randpunkter området randen γ Sammanfattningsvis, samtliga punkter där största och minsta värde kan förekomma: A) stationära inre punkter. Anals: lös f() = och sortera bort alla punkter som inte ligger i ; B) randpukter till området. Anals: representera randen som unionen av kurvor och parametrisera dessa; optimera restriktionen av f (envariabelfunktion) på varje kurva. C) inre punkter där gradienten f ej eisterar. Eempel 8.2. Bestäm största och minsta värde av f(, ) = på den slutna mängd som begränsas av kurvorna = och =

38 34 8. Optimering Lösning. A) Inre stationära punkter: f(, ) = vilket ej är en inre punkt till vårt område. 3 2 γ γ 2-2 = 2 2 = { f = 4 = f = 2 = { = = 2 (, 2 ) B) Vi undersöker nu f på randen. el γ (se figuren) kan parametriseras enligt (, ) = (t, t), t [, 2]. etta ger: f(t, t) = 2t 2 + t 2 t = 3t 2 t = g (t). Vi skall alltså optimera g på det kompakta intervalet [, 2]: stationära punkter fås genom g (t) = 6t =, t = 6 [, 2], ligger inom intervallet. Funktionsvärde: Ändpunkterna: g ( 6 ) = 2. g ( ) = 4, g (2) =. el γ 2 (parabelns segment) kan parametriseras enligt (, ) = (t, t 2 2), t [, 2]. etta ger: Vi får Funktionsvärde: f(t, t) = 2t 2 + (t 2 2) 2 t = t 4 3t = g 2 (t). g 2 = 4t 3 6t = t = [, 2] eller t 2 = g 2 () = 6, g 2 ( 3 2 ) = [, 2] 2 Nu beräknas värde i ändpunkterna (observera att dessa sammanfaller med resp. värde ovan!): g 2 ( ) = 4, g 2 (2) =. C) et finns inga punkter i vilka f ej är differentierbar, så va har nu fått fram alla intressanta punkter: ma f(, ) = ma{ (,) 2, 4,, 6, 5 4 } = min f(, ) = min{ (,) 2, 4,, 6, 5 4 } = Optimering på ickekompakta mängder Om mängden inte längre är kompakt kan man inte konstatera a priori att ma eller min eisterar. Ett enkelt eempel ges av en linjär funktion f(, ) = + på en öppen skiva {(, ) R 2 : < }. Man ska studera både funktionen och (icke-kompakta) området i varje enkilt fall och bestämma vilken metod är lämpligt att använda. Huvudidé här är att ersätta den givna definitionsmängden med ett lämpligt kompakt område på vilket metoden av föregående avsnitt kan appliceras.

39 8.2. Optimering på ickekompakta mängder 35 Eempel 8.3. Vi vill undersöka om funktionen f(, ) = (+) ep( 2 2 ) antar något största eller minsta värde i övre halvplanet := {(, ) R 2 : }. Först obsrevera att i polära koordinater R f(, ) = + ep( 2 2 ) = ρe ρ2 cos φ + sin φ 2ρe ρ2 då ρ. R R et betder att till varje positiva ε > eisterar R > sådant att f(, ) < ε, (8.) för alla punkter (, ) som ligger utanför halvcirkelskivan R := {(, ) : och R 2 }. Observera också att funktionen antar både positiva och negativa värde i (funktionen är lika med noll längs linjen =,, 2 se den streckade blåa linjen). Alltså verkar det rimpligt att man kan välja ε > så att både största och minsta värdena ska ligga innanför området R. Nu studerar vi detta på ett mer strikt sätt. För att hitta stationära punkter löser vi sstemet { f = ( 2( + ))e 2 2 = f = ( 2( + ))e 2 2 = { = 2( + ) = 2( + ) { = = 4 2 vilket ger ( 2, 2 ) eller ( 2, ). en andra punkten ligger inte i. Vi får alltså 2 f( 2, 2 ) = e 2 = e. Vi undersöker nu funktionen på randen = : Eftersom g (t) = ( 2t 2 )e t2 t 2 2 g (t) + g(t) lok.min. lok.ma. g(t) = f(t, ) = te t2, t R. har vi teckenvälingsschemat etta ger två intressanta punkter till: f( 2, ) = 2e, f( 2, ) = 2e, Låt ε väljs godtckligt sådant att ε < 2e. Låt R > vara sådant att (8.) håller för detta ε. Betrakta det kompakta området R. å finns det både största och minsta värde på halvcirkelskivan R och enligt ovan: ma f(, ) =, min f(, ) =. R e R 2e Eftersom f(, ) < ε < 2e för alla (, ) \ R så är e resp. 2e därmed största resp. minsta värde i hela.

40 36 8. Optimering 8.3. Ytterligare läsning: Hur kan man fånga ett lejon i Saharaöknen? Mathematical methods. 3. The Method Of Projective Geometr. Without loss of generalit, we ma regard the Sahara esert as a plane. Project the plane into a line, and then project the line into an interior point of the cage. The lion is projected into the same point. Methods from Mathematical Phsics 4. The Bolzano-Weierstrass Method. Bisect the desert b a line running North South. The lion is either in the E (East) portion or in the W (West) portion; let us suppose him to be in the W portion. Bisect this portion b a line running E W. The lion is either in the N portion or in the S portion; let us suppose him to be in the N portion. We continue this process.indefinitel, constructing a sufficientl strong fence about the chosen portion at each step. The diameter of the chosen portions approaches zero, so that the lion is ultimatel surrounded b a fence of arbitraril small perimeter. The Schrödinger Method. At an given moment there is a positive probabilit that there is a lion in the cage. Sit down and wait. 5. The Atom-Splitting Method. We irradiate the desert with slow neutrons. The lion becomes radioactive, and a process of disintegration sets in. When the deca has proceeded sufficientl far, he will become incapable of showing fight. Referenser. A Contribution to the Mathematical Theor of Big Game Hunting b H. Pétard, The American Mathematical Monthl, Vol. 45, No. 7, pp

41 Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.. Optimering med bivillkor Låt f() vara en funktion av R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g() = C (eller bivllkoren g () = C,..., g k () = C k ). Även olikheter h () A,..., h m () A m kan förekomma Terminologi: f kallas en målfunktion; ekvationen g k () = C k kallas ett bivillkor. et påminner randundersökningen i optimering på kompakta mängder men vi vill studera hur man kan lösa problem utan att parametrisera randen. Eempel 9.. Bestäm de punkter på ellipsen = 4 som ligger på den strsta avståndet från origo. Lösning. Här f(, ) = avståndet mellan (, ) och origo = och bivillkoret ges av g(, ) := = 4. Eftersom mängden γ = {(, ) R 2 : g(, ) = } är kompakt (varför?), konstaterar vi att den kontinuerliga funktionen f antar sitt största värde på γ. funktionen f(, ) väer Olika nivåkurvor f(, ) = c (blåa cirklar) P en av de sökta punkterna P : g f γ Bivillkoret g(, ) = C (ellipsen) 37

42 38 9. Optimering med bivillkor Alltså: f g vilket är ekvivalent till att determinanten f f g g = = (2 ) (2 ) = ( )( + ) = 2 2 Alltså ska intressanta punkter på uppflla = ± tillsammans med bivillkoret = 4 vilket ger { = 2 = 4 eller { = 3 2 = 4 et första sstemet ger två punkter (2, 2) och ( 2, 2) med resp. funktionsvärdena f(2, 2) = f( 2, 2) = 2 2, och det andra sstemet ger ( 2 3, 2 3 ) och ( 2 2 3, 3 ) med resp. funktionsvärdena f( 2 3, ± 2 3 ) = *) Ett undantagsfall: g(, ) = ger 2 = 2 =, alltså (, ) = (, ) som inte ligger på γ. Sammanfattningsvis är 2 2 det strsta avståndet. Allmänt gäller följande satsen. Vi anatar att både f och g är av klass C. Sats 4. Antag att punkten (a, b) är en lokal etrempunkt till funktionen f(, ) under bivillkoret g(, ) = C. Antag vidare att (a, b) är en inre punkt till definitionsmängder f och g. å gäller det att f(a, b) g(a, b). Allmänt, antag att a R n är en lokal etrempunkt till funktionen f() under bivillkoren g () = C,..., g k () = C k och antag att a är en inre punkt till f g... gk. å gäller det att f(a), g (a),..., g k (a) är linjärt beroende. Bevis för n = 2 och k =. Fallet g(a, b) = är triviallt. Antag att g(a, b). Enligt implicita funktionenssatsen kan vi parametrisera γ = {(, ) R 2 : g(, ) = C} i en omgivning av (a, b): (t) = ((t), (t)) så att () = (a, b) och g((t)) = C. en na funktionen av en variabel h(t) = f((t)) har ett (lokalt) etremvärde i t =, så det gäller att h () =. Enligt kedjeregeln: = h () = f (a, b) d dt () + f d (a, b) () f(a, b) ẋ() = f(a, b) ẋ(), dt d.v.s. f(a, b) och tangentvektorn till nivåkurvan γ är ortogonala. et betder att f(a, b) är en normalvektor till γ, alltså den är parallell med gradienten g(a, b), v.s.b. Algoritmen: (i) Visa att ett optimalt värde eisterar (ofta ad hoc) (ii) Bestäm kandidater genom att lösa sambandet f g tillsammans med bivillkoret g(, ) = C. (iii) Optimera: beräkna funktionesvrdena i kandidaterna och bestäm det etremala värdet. Anmärkning. I (ii) kan man bestämma intressanta punkter genom at skriva f g f = λ g, λ R. (iia) λ kallas för Lagranges multiplikatorn. Alternativt kan man använda determinanten f f = g g Alternativet (iib) förefaller ofta enklare än det första (Lagranges) alternativet (iia), men (iib) fungerar bara för två variabler. (iib)