Övningar till kapitel 1

Transkript

1 Övningar till kapitel. Skissera för hand och/eller med Maple de delmängder av R som beskrivs av följande ekvationer och olikheter. a) > 0, >0 b) = +, 0, 0 c) = d) e) = f) >3 g) <, < h) + i) ma(, ) = j) ma(, ) > k) min(, ) l) min(, ).. De två räta linjerna med ekvationer 3+ = 0 och + 5 = 0 delar in planet i fra delar, som inte innehåller några punkter som ligger på linjerna. Skissera områdena och beskriv dem analtiskt..3 En triangels hörn ligger i punkterna (0, 0), (, ) och (3, ). Bestäm ekvationer för triangelns sidor. Utnttja ekvationerna för att analtiskt beskriva området innanför triangeln och på triangelns sidor..4 Skissera för hand och/eller med Maple de andragradskurvor som beskrivs av följande ekvationer. Vilken tp av kurva ger var och en av ekvationerna? a) + = 5 b) = c) 9 4 = d) 9 4 = e) (+) +( 3) = 5 f) 4( ) +9(+) = 36 (+) g) 9 (+) 4 = h) (+) 3 4 = 5 i) 3+( ) ( 3) =0 j) 4 =5..5 Skissera för hand och/eller med Maple de andragradskurvor eller andra delmängder av R som beskrivs av följande ekvationer. a) 4+ +=4 b) =0 c) 6=0 d) 4 6 = 9 e) =0 f) =0 g) =650 h) =63..6 Bestäm centrum och asmptoter för hperbeln = 4. Skissera hperbeln och asmptoterna..7 Ange den geometriska betdelsen av de delmängder av R som beskrivs av följande olikheter. Skissera mängderna. a) + b) +4 4 c) +9<4 +6 d) 4< 6 e) f) Ange den geometriska betdelsen av de delmängder av R 3 som beskrivs av följande ekvationer och olikheter. Skissera mängderna.

2 a) >0, >0, z>0 b) >0 c) = d) e) + + z f) >3 g) <, <4, z < h) + + z i) ma(,, z )= j) ma(,, z )< k) 0< <, = z l) =, z =..9 Ange den geometriska betdelsen av de andragradstor i R 3 som beskrivs av följande ekvationer. Skissera torna med hjälp av Maple och kontrollera tpen. a) + +4z = 6 b) +4 4z = 0 c) = + z d) 3 3z = 3 e) 3= + z f) 4 = 5 +3z g) z = 5 h) 4 +9z = 36 i) = j) +5z = 4.0 Ange den naturliga definitionsmängden och värdemängden för funktionen f : R R i de olika fallen nedan. Skissera några nivåkurvor för hand och ange motsvarande funktionsvärde. Låt Maple rita funktionstan. a) f (, )= + b) f (, )= e + c) f (, )= d) f (, )= e) f (, )=cos((+ )) f) f (, )=. Vilken är värdemängden till följande vektorvärda funktioner? Skissera värdemängden. a) r(t)=( t,+ t) t R b) r(t)=(t, t ) 5 t 5 c) r(t)=0.5(cos t,sint ) 0 t π. Beskriv följande vektorfält geometriskt. a) v(, )=(, ) b) v(, )=(, ) c) v(, )=(, ). d) + +

3 3.3 Nedan visas i figurer ett antal funktionstor i R 3 och tillhörande nivåkurvor i R. Nivåkurvorna svarar mot ekvidistanta funktionsvärden. Varje ta och motsvarande nivåkurvor visas för samma mängd i -planet. Para ihop varje funktionsta med rätt uppsättning nivåkurvor. a) b) c) d) e) f) g) h)

4 4 ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 4 K4 K 0 4 K K4

5 A Svar. a) b) >0, >0 = +, 0, 0 c) d) = e) = f) > 3 3 > 3 5

6 6 BILAGA A. SVAR g) h) <, < + > i) j) k) ma(, )= l) ma(, )> min(, )> min(, ). Linjernas skärningspunkt är (, 3). De fra områdena enligt figuren beskrivs av I: 3+>0 och + 5>0, II: 3+<0 och + 5>0, III: 3+<0 och + 5<0 och IV: 3+>0 och + 5<0. III II IV Linjen 3+= 0 I Linjen + 5= 0.3 De tre ekvationerna är =, = 3 och = + 5. Området innanför

7 7 triangeln kan beskrivas av olikheterna, 3 och a) En cirkel med centrum i origo och radie 5. b) En ellips med centrum i origo och halvalarna 3 i -riktningen och i -riktningen. c) En hperbel med centrum i origo som skär -aeln i (3,0) och ( 3,0). d) En hperbel med centrum i origo som skär -aeln i (0,) och (0, ), e) En cirkel med centrum i (,3) och radie 5. f) En ellips med centrum i (, ) och halvalarna 3 i -riktningen och i -riktningen. g) En hperbel med centrum i (, ) som skär linjen = i (,0) och (, 4). h) En hperbel med centrum i (, 0) som skär linjen = i (, 5) och (, 5). i) En nedåtvänd parabel med verte i (,0). j) En parabel vänd åt höger med verte i ( 5,3).5 a) En cirkel med centrum i (,) och radien 3. b) Punkten (,). c) En hperbel med centrum i (, 3) som skär linjen = -aeln i (, 3+ 8) och (,3 8). d) En uppåtvänd parabel med verte i (, 5 ). e) En cirkel med centrum i (0,0) och radien 5. f) En cirkel med centrum i ( 50,30) och radien. g) En ellips med centrum i (,5) och halvalarna 3 i -riktningen och 3 i -riktningen. h) Tomma mängden. Inga punkter uppfller ekvationen..6 Centrum är ( 5, ). Ekvationen för asmptoterna är = 0 och +3=0.9 a) En ellipsoid b) En enmantlad hperboloid c) En kon d) En tvåmantald hperboloid e) En elliptisk paraboloid f) En hpebolisk paraboloid g) En elliptisk paraboloid h) En clinder med elliptiskt tvärsnitt i) Två plan som skär varandra längs z-aeln j) En clinder med paraboliskt tvärsnitt. a) Den räta linjen =

8 8 BILAGA A. SVAR b) Kurvan = c) Cirkeln med radien 0.5 och medelpunkten (0, ).3 a) 5 b) 3 c) 6 d) 7 e) f) 8 g) 4 h)