2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

Transkript

1 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln x = 0 har P koordinaterna (1, 0) och då är x = 1 cos x = 1 B Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln x = 90 har P koordinaterna (0, 1) och då är y = 1 sin x = 1 Svar: A visar cos x och B visar sin x

2 2302 a Den trigonometriska funktionen är y = sin x och den andra funktionen är y = 0.8 I skärningspunketerna har funktionerna samma funktionsvärde, dvs y = y vilket ger ekvationen sin x = 0.8 Svar: Ekvationen som vi kan lösa är sin x = 0.8

3 b Grafisk lösning Vi kan uppskatta lösningarna genom att studera grafen. En ruta i x-led motsvarar 30, om vi uppskattar att den första skärningspunkten ligger på en och två tredjedels ruta från origo så blir vinkeln x 50 Då den trigonmetriska funktionen är y = sin x så fås den andra lösningen, på grund av symmetrin i enhetscirkeln, av = 130 Då sin x är periodisk med 360 så fås de andra lösningarna i intervallet av = = 490 Svar: Lösningarna i intervallet 0 x < 540 är x = 50, 130, 410, 490

4 Om vi behöver större noggrannhet så kan vi lösa ekvationen algebraiskt sin x = 0.8 Fall 1 x = sin 1 (0.8) + n 360 x n 360 markerade med Då 0 x < 540 finns fler lösningar x = 53.1 x = 413 Fall 2 x = 180 sin 1 (0.8) + n 360 x n 360 markerade med Då 0 x < 540 finns fler lösningar x = 127 x = 487 Svar: x = 53.1, 127, 413, 487

5 2303 Likheter Definitionsmängd: D = {x R } Värdemängd: V = { 1 y 1 y R } Exakt samma form Amplitud A = 1, mer om detta i nästa avsnitt Period = 360, mer om detta i nästa avsnitt Skillnader De är förskjutna 90 i förhållande till varandra Om y = sin x används som referens så är y = cos x förskjuten 90 åt vänster den ligger 90 före

6 2304 Grafisk lösning TI-räknare intersect Grafisk lösning Geogebra Algebraisk lösning sin x = 0.3 Fall 1 Fall 2 x = sin 1 (0.3) + n 360 x = 180 sin 1 (0.3) + n 360 x n 360 x n 360 markerade med markerade med Då x R finns obegränsat Då x R finns obegränsat många lösningar många lösningar exempel på lösningar är exempel på lösningar är x = 17.5 x = 163 x = 377 x = 523 x n 360 Svar: Alla lösningar { x n 360 Exempel på lösningar: x 17.5, 163, 377, 523

7 2305 Grafisk lösning TI-räknare intersect Grafisk lösning Geogebra Algebraisk lösning cos x = 0.5 x = cos 1 ( 0.5) + n 360 TI-räknare x = ±120 + n 360 Fall 1 Fall 2 x = n 360 x = n 360 markerade med markerade med Då x R finns obegränsat Då x R finns obegränsat många lösningar många lösningar exempel på lösningar är exempel på lösningar är x = 120 x = 120 x = 480 x = 240 Svar: Alla lösningar x = ±120 + n 360 Exempel på lösningar: x = 120, 120, 240, 480

8 2306 a, b, c sin x = b Vi utgår från att b är en konstant lösningarna ska vara x = n 2π = n 360 x = 0 + n 2π exempel på lösningar är x = 0, 2π, 4π, markerade med för att få dessa lösningar måste b antaga värdet noll, dvs HL i ekvationen är noll. HL representeras vid grafisk lösning av linjen y = 0 grön i figur nedan (x-axeln) Bilden visar att vi även har lösningarna x = π + n 2π markerade med Svar: b) b = 0 x = n 2π = n 360 c) Lösningarna är { x = π + n 2π = n 360 Samtliga lösningar beskrivs bättre med endast ett uttryck x = n π = n 180

9 2307 sin x = cos x Grafisk lösning TI-räknare intersect Grafisk lösning Geogebra Algebraisk lösning Lösningsalternativ 1 cos x sin x = 0 bryt ut cos x cos x (1 sin x cos x ) = 0 cos x (1 tan x) = 0 Använd nollprodukten cos x = 0 x = ±90 + n 360 Kontrollera lösningarna i den ursprungliga ekvationen med TI-räknare 0 = falskt, 1 = sant Sålunda x = ±90 + n 360 utgör inga lösningar 1 tan x = 0 tan x = 1 x = tan 1 (1) + n 180 x = 45 + n 180 Kontrollera lösningarna i den ursprungliga ekvationen med TI-räknare 0 = falskt, 1 = sant Svar: x = 45 + n 180

10 Lösningsalternativ 2 cos x = sin x Kvadrera båda led OBS! Kvadrering av ekvationer kan introducera falska rötter, kontrollera därför att lösningarna är rötter till den ursprungliga ekvationen. cos 2 x = sin 2 x Trigonometriska ettan sin 2 v + cos 2 v = 1 cos 2 v = 1 sin 2 v 1 sin 2 x = sin 2 x 2 sin 2 x = 1 sin 2 x = 1 2 sin x = ± 1 2 Negativa fallet av kvadraten sin x = 1 2 Fall 1 x = sin 1 ( 1 2 ) + n 360 x = 45 + n 360 Fall 2 x = 180 sin 1 ( 1 2 ) + n 360 x = n 360 Vi får fyra lösningar som måste testas i den ursprungliga ekvationen x = 45, 45, 135, 225 Positiva fallet av kvadraten sin x = 1 2 TI-räknare 0 = falskt, 1 = sant Fall 1 x = sin 1 ( 1 2 ) + n 360 x = 45 + n 360 Fall 2 x = 180 sin 1 ( 1 2 ) + n 360 x = n 360 x = 45 + n 360 Svar: { x = n 360 Samtliga lösningar beskrivs bättre med endast ett uttryck x = 45 + n 180

11 2308 a y' är derivatan av y och är ett mått på funktionens förändringshastighet. Vid varje punkt är derivatan y lutningen på en linje som är tangent till kurvan. y antar värdet noll, ingen förändring, vid funktionens extremvärden, dvs vid max- och minpunkter. Svar: x = π 2 + n π = 90 + n 180 b y antar sitt största positiva värde då x = 0 + n 2π = n 2π = n 360 y antar sitt största negativa värde då x = π + n 2π = n 360 EXTRA y = cos x Funktionsvärdena för cos x stämmer överens med tangentens lutning för sin x, mer om detta i avsnitt 3.2