Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )"

Transkript

1 Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger n udd tl, jämnt tl n, n n n Ptenser med heltlsepnenter: Om h är hel tl då gäller följnde ptenslgr: Aritmetisk Rötter: n n... 1,, 0,, 0 n För udd epnenter definiers även rten ur ett negtivt tl: n n, , 1,, 0 n Ptenser med rtinell epnenter: 0, 1 0, 1 0, 0 0,, 0,

2 Intrduktinskurs i mtemtik p Om > 0, p h q hel tl, q 0 då definiers. Ptenser med reell epnenter: Ovnstående ptenslgrn gäller även för reell epnenter för psitiv ser. Uttrket är definierd för ll reell m sen > 0. Eempel: 16 1 / / / 8 Rtinell uttrk råk Uttrket är definiert m h endst m 0. Anmärkning: I nednstående eempel h frågr ntr vi tt rtinell uttrk är krrekt definierde dvs tt nämnrn 0. d,, d d, d d d d d 1 Kvdreringsreglern: Knjugtregeln:,. 1 p q q Eempel 1. Förenkl följnde uttrk Lösning v

3 Intrduktinskurs i mtemtik v 5 Eempel. Fktriser följnde uttrk z Lösning z z Eempel. Beräkn h förenkl 1 1 Lösning ÖVNINGSUPPGIFTER Beräkn h förenkl

4 Intrduktinskurs i mtemtik d. z d d z w d d d 4 4 e f d SVAR: d z 1 d d d d e 6. [ 5 ] f 4 v 5 [ ]

5 Intrduktinskurs i mtemtik d 5 v 5

6 Intrduktinskurs i mtemtik LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Två ekvtiner med två eknt vriler h. 1 d e f SUBSTITUTIONSMETODEN Vi löser ut en v de eknt ur den en ekvtinen h sätter in i den ndr. Eempel 1. Lös följnde ekvtinssstem ekt Lösning. I ndr ekvtinen är det lätt tt lös ut : Ekvtin ger 7.. I ekvtin 1 ersätter sustituerr vi därför med 7 I ekvtinen 1 ersätter vi med Divider åd leden med 11. insättes i 7, vilket ger 1 Kntrll: Svr:, 1 Eempel. Lös följnde ekvtinssstem med vseende på h 1 5 Lösning. I först ekvtinen är det lätt tt lös ut : 1. Ekvtin 1 ger. I ekvtin ersätter vi därför med Multiplier åd leden med insättes i, vilket ger d v s 1 1 v

7 Intrduktinskurs i mtemtik Svr: 1, 1 Eempel. Linjern i figuren hr ekvtinen h 1. Bestäm ekt krdintern för linjerns skärningspunkt. Lösning. Vi sk lös ekvtinssstemet 1 I ndr ekvtinen ersätter vi med vilket ger 1. 5 Vi ersätter i ekvtinen 1 h får 5 Svr:, ÖVNINGAR: Sustitutinsmetden 1-4 Lös följnde ekvtinssstem med vseende på h : Bestäm ekt krdintern för skärningspunkten melln de åd linjern h Svr: 1. 1,., 1., 1 4., 5. 1, 4 v

8 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Två ekvtiner med två eknt vriler h. 1 d e f ADDITIONSMETODEN Först multiplierr vi en eller åd ekvtinern med lämplig tl så tt keffiientern för eller lir mtstt tl. Därefter dderr vi ekvtinern led för led h eliminerr en v vrilern. Eempel 1. Lös följnde ekvtinssstem med dditinsmetden Lösning. För tt få rt -termern vid dditinen, multiplierr vi den först ekvtinen med h den ndr med Vi ledvis dderr ekvtinern h får 8 8 Divider med insättes i ekvtinen 1 1 8, vilket ger. Svr:, 1 Alterntiv lösning. För tt få rt -termern vid dditinen, multiplierr vi den först ekvtinen med Vi ledvis dderr ekvtinern h får 4 8 Divider med 4. insättes i ekvtinen 1 8, vilket ger 1. Svr:, 1

9 5 1 Eempel. Lös följnde ekvtinssstem med vseende på h Lösning. För tt få rt -termern vid dditinen, multiplierr vi den först ekvtinen med h den ndr med Vi dderr ekvtinern led för led h får Divider med 11. insättes i ekvtinen Divider med 5 0 Svr: 0, Eempel. Lös följnde ekvtinssstem med vseende på h Lösning. Den här gången är det lett tt eliminer -termern. Vi multiplierr den ndr ekvtinen med Ledvis dditin ger Divider med 1. 1 insättes i ekvtinen 1 1 Svr: 1, 1 Eempel 4. I nednstående ekvtinssstem är > 0 h > 0. Bestäm h. 1 Lösning. För tt få rt -termern vid dditinen, multiplierr vi den först ekvtinen med h den ndr med.

10 1.. Ledvis dditin ger Fktriser Divider med sm är enligt ntgnde 0. Vi insätter i ekvtinen Svr:, ÖVNINGAR: Additinsmetden Använd dditinsmetden för tt lös följnde ekvtinssstem med vseende på h : I nednstående ekvtinssstem är > 0. Bestäm h I nednstående ekvtinssstem är > 0 h > 0. Bestäm h. Svr: 1., 1., 1., 4., 5. 1, 1 6., 0

11 Intrduktinskurs i mtemtik EXPONENTIALEKVATIONER Ekvtiner sm hr eknt i en eller fler epnenter. Metd 1. Med hjälp v ptenslgr skriver vi åd leden sm ptenser med lik ser en ptens på vrje sid Därefter identifierr vi epnenter h får enklre ekvtin. Här finns ptenslgr sm vi ftst nvänder när vi löser epnentilekvtiner: Ptenser med reell epnenter: Uttrket > 0. är definierd för ll reell m sen Om >0, >0, h är reell tl då gäller följnde ptenslgr: 0 1, 1,,,, q p p q Om > 0, p h q hel tl, q 0 Eempel1. Lös ekvtinen 4 8 Lösning: 1 v 7

12 Intrduktinskurs i mtemtik Det är enkelt tt skriv 4 h 8 sm ptenser med sen, 4 h 8. Vi nvänder ptenslgr h skriver åd leden sm ptenser med sen Vi hrskrivit vänsterledet sm EN ptens med sen h högerledet sm EN ptens med SAMMA s. Därför kn vi identifier epnenter i ekv 1 1 å 1 Anm: Den här gången är det enkelt tt kntrller lösningen: 4 8, OK Svr. 1 Eempel. Lös ekvtinen Lösning: / Vi identifierr epnenter h får en enkel ekvtin v 7

13 Intrduktinskurs i mtemtik Svr: 7/6 Eempel. Lös ekvtinen 9 4 Lösning:! Nu hr vi lik ser h kn identifier epnenter 1 Svr. Eempel 4. Lös ekvtinen Lösning: Det är uppenrt tt epnent 0 h. Alterntivt men vi kn kså skriv 1 sm v 7

14 Intrduktinskurs i mtemtik 5 5 Svr: Eempel 5. Lös ekvtinen 5 Lösning: 5 Den här gången hr vi lik ser men smm epnent. Vi delr ekvtinen med 5 h får Sm vi kn skriv Oh därför 1 0 eller 1. Svr: 1 Uppgift 1. Lös följnde epnentilekvtiner / d 5 5 e 4 f Svr: 1 d / e f 1 Någr epnentilekvtiner sm innehåller ptenssummr löser vi genm tt vi först fktriserr åd leden 4 v 7

15 Intrduktinskurs i mtemtik Uppgift. Lös följnde epnentilekvtiner. Tips: Fktriser först vrje led genm tt rt ut en gemensm fktr Lösning Svr: 0 1 Uppgift. Lös följnde epnentilekvtiner med hjälp v en lämplig sustitutin Lösning Med hjälp v sustitutinen 5 * får vi en ndrgrdsekvtin 650 Sm hr två rötter 1 5 kntrller själv Nu estämmer vi mtsvrnde med hjälp v sustitutinen ger 0 h 5 5 ger 1 Svr: 0, 1 1, 5 v 7

16 Intrduktinskurs i mtemtik Metd. Lgritmering v åd leden Den här metd nvänds ftst m vi INTE kn skriv åd leden med hjälp v en s sm t e i ekvtinen där För tt förenkl ekvtinen lgritmerr vi åd leden. Mn kn nvänd vilken sm helst lgritms men vi nvänder ftst sen e.7 eller sen 10. Alltså får vi ln ln Anmärkning: Innn mn nvänder den här metden måste mn repeter lgritmlgr speiellt nednstående där, >0: ln ln ln ln ln ln ln n ln ln1 0 Eempel1. Lös ekvtinen Lösning: 5 Vi lgritmerr åd leden vi kn t e välj lgritm med sen e, den nturlig lgritmen h får sm vi utveklr med hjälp v lgritmlgr: ln ln5, ln ln ln5 regeln: ln ln ln Vi förenklr vidre h får en enkel linjär ekvtin 6 v 7

17 Intrduktinskurs i mtemtik ln ln ln5 [ regeln ln ln ] Härv ln ln5 h Svr: Uppgift 4. Lös följnde epnentilekvtiner Svr: 7 v 7

18 Intrduktinskurs i mtemtik LOGARITMER Definitin v egreppet lgritm Betrkt ekvtinen. Om är ett psitivt tl skilt från 1 h >0 då finns det ekt en epnent sm stisfierr ekvtinen. Den känd epnent i ekvtinen klls lgritm v i sen h etekns i någr öker lg eller lg lg [ Anmärkning: Bsen i en lgritm kn inte vr 1 eftersm ekvtinen 1 hr ntingen ingen lösning eller ändligt mång lösningr] Empel 1. lg 8 eftersm 8 lg eftersm 1/8 lg 1 eftersm d lg 10 eftersm 1. Lgritmen lg är definierd m, är psitiv h 1 men nter tt resultt kn vr negtivt, 0 eller psitivt; t e lg 1 5, lg 1 0 h lg 5 Här följer en frmell definitin v lgritmen med sen. Definitin. Låt h vr psitiv tl h 1. lg n Tlet klls lgritm v i sen eller lgritm v. 1 v 8

19 Intrduktinskurs i mtemtik Med hjälp v definitinen kn mn härled nednstående lgritmlgr. RÄKNELAGAR: Vi ntr tt,, 0 h lg lg lg lg / lg lg lg lg lg, lg 1, lg 10 BASBYTE: lg där,, > 0 h dessutm sern, skild från 1 Uppgift 1. Beräkn följnde lgritmer utn hjälp v miniräknre lg 16 lg 7 lg d lg e lg f lg g lg 1 h lg 1 i lg 10, j lg 1 k lg l lg e e.7 m lg, n lg lg 10 p lg e r lg 1000 s lg t lg 5 lg u lg lg 4 v lg 4 lg Lösning för uppgift h uppgift u. lg 16 4 eftersm 16 u lg lg v 8

20 Intrduktinskurs i mtemtik Svr: 4 d 1 e f g 0 h 0 i 1 j 1 k 1 l 1 m {eftersm } n 5 7 p 11 r s t 0 u 1 v 1 Vi nvänder ftst två tper v lgritmer: 1. lgritm med sen 10, sm vi eteknr lg h. lgritm med sen.716, sm vi eteknr ln den nturlig lgritmen Alltså lg lg h ln lg. T e lg1000 lg 1000 ln 1 lg 1 1 Uppgift. Beräkn följnde lgritmer utn hjälp v miniräknre lg lg lg 10 d lg 10 e lg1 f lg 1/100 g lg 1/10 h lg0.001 i lg0.1 Svr: 4 eftersm d 8 eftersm e 0 f g 1 h i 1 v 8

21 Intrduktinskurs i mtemtik Uppgift. Beräkn utn hjälp v miniräknre ln ln ln d ln1/ e ln Svr: 8 eftersm 6 1 d 1 e Lgritmlgr gäller vsett vilken s väljer vi. Vi kn t e nge räknelgr lgr för sen 10. RÄKNELAGAR för 10 lgritmer: Vi ntr tt, 0 lg lglg lg/ lglg lg lg lg10 10 lg10 1, lg1 0 BASBYTE från sen till 10: lg där, > 0 h dessutm sen skild från 1 Uppgift. Använd lgritmlgr h utvekl följnde uttrk i en linjär mintin v lg, lg, lg lg lg d lg e lg Lösning för uppgift e lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 4lg 8lg 5 lg 7lg 5 lg 4 v 8

22 Intrduktinskurs i mtemtik Svr: lg lg lg lg 4lg 8lg lg lg lg lg lg lg d lg 5 lg 15 lg 17 lg e lg 4lg 8lg 5 lg 7lg lg RÄKNELAGAR för den nturlig lgritmen: Vi ntr tt, 0 ln lnln ln/ lnln ln ln ln ln 1, ln1 0 BASBYTE från sen till e: lg där, > 0 h dessutm sen skild från 1 Uppgift 5. Använd lgritmlgr h utvekl följnde uttrk i en linjär mintin v ln, ln, ln ln ln d ln Svr: 1 ln 4 ln 6 ln ln ln ln ln ln ln ln ln9ln5ln17ln d ln14ln8ln5ln ln I någr mtemtisk tillämpningr v lgritmer t e lgritmekvtiner måste vi gör mvänt d v s mvndl en linjär kmintin v lgritmer till en lgritm. Uppgift 5. Skriv följnde uttrk sm en lgritm ln ln ln ln ln ln lnln4ln5ln6ln7ln 5 v 8

23 Intrduktinskurs i mtemtik lg 5 lg 11 lg 7 lg d lg 5 lg 15 lg 17 lg Lösning d lg 5 lg 15 lg 17 lg lg lg lg lg lg Svr: ln ln lg d lg Uppgift 7. Använd frmeln för ste för tt eräkn pprimtivt nednstående lgritmer, med miniräknre. lg 8, med hjälp v miniräknre lg 4, med hjälp v miniräknre lg 8 ekt, utn miniräknre d lg 5 ekt Lösning : På en vnerd miniräknre kn vi eräkn 10 lgritmen h den nturlig lgritmen med sen e. Vi nvänder frmeln för ste lg h ter t e till nturlig lgritmer e i vnstående frmel. Därför lg 8ste. miniräknre lg 4 lg d 1/ ste / / 9/4 6 v 8

24 Intrduktinskurs i mtemtik VIKTIGT: Enligt lgritmens definitin är uttrket lg definiert sm ett reellt tl endst m >0, >0 h dessutm sen 1. Eempel: Följnde uttrk, t e, är INTE definierde lg10, ln8, lg 5, lg 0, ln0, lg 4, lg 4 Uppgift 8. Avgör m följnde utrk är krrekt definierde: lg 5 lg lg 8 d lg 9 e lg 5 f ln g ln 4 h lg.4 i lg j lg0 k ln0 Svr: j j nej d nej e nej f j g nej h j i nej j nej k nej Uppgift 9. För vilk är nednstående uttrk definierde lg 5 ln lg d 5lg 8lg5 e 5ln ln 7 Lösning för uppgift e Följnde två villkr måste vr smtidigt uppflld Villkr 1 > 0 > Villkr : Båd villkr är uppflld m 7 Svr: 5 d 5 e 7 Uppgift 10. Beräkn värden i tellen 1/100 1/ lg * * * * * h skiss grfen till funktinen lg. 7 v 8

25 Intrduktinskurs i mtemtik Svr: 1/100 1/ lg lg Uppgift 11. Beräkn värden i tellen 1/8 1/4 1/ lg * * * * * * * h skiss grfen till funktinen lg. Svr: 1/8 1/4 1/ lg lg 8 v 8

26 Intrduktinskurs i mtemtik LOGARITMEKVATIONER Vi sk vis först hur mn löser två ft förekmmnde grundekvtiner Tp 1. lg h Tp. lg lg När vi löser lgritmekvtiner måste vi tänk på tt rgument till lgritmer måste vr psitiv. i vnstående ekvtiner 0 h 0. Det är est tt örj lösningspress med ekvtinens definitinsmängd. Blnd vår frmell lösningr epterr vi endst de sm ligger i ekvtinens definitinsmängd. Tp1 ekvtiner löser vi enligt lgritmens definitin lg Tp ekvtiner löser vi genm tt identifier rgument lg lg dessutm måste ll rgument vr psitiv d v s 0 h 0. Eempel 1. Tp1 Lös ekvtinen Lösning: Ekvtinen är definierd m 0 d v s m villkr V1: / är uppflld lg. 1 v 6

27 Intrduktinskurs i mtemtik Vi hr lg Eftersm 14 stisfierr villkr V1, epterr vi lösningen. Svr: 14. Eempel. Tp Lös ekvtinen Lösning: lg lg 7 Först estämmer vi ekvtinens definitinsmängd: Ekvtinen är definierd m följnde två villkr är uppflld: V1: 0 dvs h V: 70 dvs Båd villkr är uppflld m < <7 Nu hr vi lg lg 7 tp ; vi identifierr rgument Eftersm 5 stisfierr åd villkr, V1 h V, epterr vi lösningen. Svr: 5 Om vi hr mer kmplierde ekvtiner nvänder vi lgritmlgr h förenklr ekvtiner till Tp1 eller Tp. Oftst nvänder vi följnde tre lgr: lg lg lg lg lg lg / lg lg Vi upprepr tt lg lg h ln lg där e.7 v 6

28 Intrduktinskurs i mtemtik Eempel. Lös ekvtinen lg lg 1 Lösning: Först estämmer vi ekvtinens definitinsmängd: Villkr V1: 0 dvs Villkr V: Anmärkning: Vrje lösning måste uppfll åd villkr. I vårteempel, m > är åd villkr uppflld. Vi löser ekvtinen genm tt skriv vänsterledet sm en lgritm: lg lg 1 lg Endst lösningen uppfller åd villkr V1 h V. Svr : En lösning Eempel 4. Lös ekvtinen lg lg4lg1 lg Lösning: Först estämmer vi ekvtinens definitinsmängd: V1: 0 dvs V: 10 dvs 1 Anmärkning 1. Om 1 är åd villkr smtidigt uppflld. v 6

29 Intrduktinskurs i mtemtik Anmärkning. Argument i lg 4 h lg, d v s knstnter 4 h, är psitiv. Vi skriver vrje sid sm EN lgritm: lg lg4lg 1 lg lg 4 lg 1 vi identifierr rgument Eftersm INTE uppfller krv V1, V, kn vi INTE epter sm en lösning. Svr: Ekvtinen hr INGEN lösning. Eempel 5. Lös ekvtinen ln ln5ln Lösning: Först estämmer vi ekvtinens definitinsmängd: V1: 0 dvs. Med hjälp v lgritmlgr skriver vi vrje sid sm EN lgritm: ln ln5ln vi nvänder regeln ln ln ln ln5 ln vi nvänder regeln ln ln ln ln8 vi identifierr rgument Eftersm 198 stisfierr villkr V1 är det en lösning. Svr: v 6

30 Intrduktinskurs i mtemtik Uppgift 1. Lös nednstående ekvtiner. lg lg 1 lg 6 d ln1 4 e lg 1 lg 1 Lösning Definitinsmängd: 0 lg 6lg Eftersm vi epterr lösningen eftersm 98 uppfller krvet. Svr: 18 d 1 / 98 e 1/9 Uppgift. Lös nednstående ekvtiner. Tipps: Glöm inte ekvtinens definitinsmängd. lg lg 5 lg lg lg lg5 lg 4 lg6 lg lg 1 lg Svr: Ingen lösning 9 nter tt definitinsmängden är > 1 Uppgift. Lös nednstående ekvtiner med hjälp v lämplig sustitutiner. lg 5lg60 ln ln0 Lösning ekvtinen är definierd m 0 Sustitutinen ger 560 h,. Från får vi lg lg v 6

31 Intrduktinskurs i mtemtik Båd lösningr ligger i definitinsmängden. Svr: 10, 10 e, Uppgift. Lös nednstående ekvtiner Tips. Lgritmer åd leden. Lösning Definitinsmängd: >0 4lg lg10 lg lg 4 lg 4lg 10, 10 Svr: 10, 10, 1/10, 10, 6 v 6

32 TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER I RÄTVINKLIGA TRIANGLAR mtstående ktet m sin v hptenusn närlignde ktet n s v hptenusn mtstående ktet m tn v närlignde ktet n B v n u A m C närlignde ktet t v mtstående ktet n m u u v v 90 Ptgrs sts: m n Ekt värden v trignmetrisk funktiner för vinklrn 0, 45 h 60 grder. vinkelmått i grder vinkelmått i rdiner π π π 6 4 sin v 1 s v 1 tn v 1 1 t v 1 1

33 Eempel 1.Härled följnde frmler: sin 45, s 45, tn 45 1, t Lösning. Vi sk estämm funktinerns värden med hjälp v en hlvkvdrt se ilden. Först eräknr vi kvdrtens dignl med hjälp v Ptgrs sts d. Enligt definitinen v trignmetrisk funktiner gäller då: 1 sin 45 d 1 s 45 d tn 45 1, h t 45 1,, Eempel. Figuren visr en rätvinklig tringel. Bestäm h. Svr ekt. A 4 60 B C Lösning. sin 60 4 sin s60 4 s Svr:,

34 Eempel. Bestäm h i nednstående figur. Svr ekt. A 0 B C Lösning. tn 0 tn 0 s0 s0 s0 Svr: Eempel 4. Bestäm F h F i nednstående figur m F40 kn. Svr ekt. Lösning. Eftersm v 0 hr vi F 1 sin v F F sin 0 F 40 F 0 F F s v F F s0 F 40 F 0 F Svr: F 0 kn, F 0 kn

35 ÖVNINGAR 1. Beräkn ekt sin 0 s60 tn 45 sin 60 4s 45 e sin 0 s60 tn 45 d 401π 1 tn 4 sin 45 s 45 π 17π f sin tn 4 4. Bestäm i nednstående figur. Svr ekt. A B 10 C. Ange sm en funktin v sidn s h vinkeln v. 4. Bestäm kmpnenter F h F m F 10 N. Svr ekt.

36 r r r 5. I nednstående figur gäller F F 1 F. Bestäm kmpnenter F h F m F 1 N h F N. 6. Hur str är ren v nednstående rektngel? 0 10m 7. I nednstående figur är u h v givn vinklr h AB 4m. Ange ett ekvtinssstem ekvtiner med eknt h. Bestäm h. Utrk h sm funktiner v u h v D u v A 4m B C

37 Svr: 1. 1 d 4 e 4 f s t v s sin v 4. F 5 N F 5 N 5. F 1 N F N A m 7. Ekvtin 1: tn v Ekvtin : 4 tn u Ekvtinssstem: tn v tn u 4 tn u 4 tn u, tn v tn u 4 tn u tn v tn v tn u

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

============================================================

============================================================ H0009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi LINJÄRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER Någr eemel me linjär ekvtioner oh ekvtioner som kn förenkls till linjär ekvtioner. Mn kn förenkl en ekvtion me hjäl v följne

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS

KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOORDINATVEKTORER ASYTESMATRIS yemri Koordiner för en vekor i en given Om (vv vv vv nn ) är en för vekorrumme ( eller underrumme) V då gäller följnde: Vrje vekor i rumme

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen =. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015. FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Där a mol av ämnet A reagerar med b mol av B och bildar c mol av C och d mol av D.

Där a mol av ämnet A reagerar med b mol av B och bildar c mol av C och d mol av D. 1 Kemisk jämvikt oh termoynmik Vi en kemisk rektion omvnls en eller fler molekyler från en form till en nnn. Mång olik typer v kemisk rektioner hr ren reovists uner kursen. För tt eskriv v som häner vi

Läs mer

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten Bilg 1. Beskrivning v uppgiftern oh provresultten 1997-00 I det följnde redoviss lydelsen på de olik uppgifter som ingår i testet oh resulttet för de fyr år som testet hittills hr nvänts. Härigenom kn

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5 Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009 Innehåll Sommrmtte del Mtemtisk Vetenskper 8 pril 009 5 Ekvtioner och olikheter 5. Komple tl............ 5.. Algebrisk definition, imginär rötter....... 5.. Geometrisk representtion, polär koordinter...

Läs mer

Räkneövning 1 atomstruktur

Räkneövning 1 atomstruktur Räkneövning 1 tomstruktur 1. Atomerns lägen i grfen (ett mteril som består v endst ett end tomlger v koltomer och vrs upptäckt gv Nobelpriset i fysik, 010) ligger i de gitterpunkter som viss i figuren

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Tor 25 sep 2014, kl 13:15-17:15

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Tor 25 sep 2014, kl 13:15-17:15 Tentmen i Mtemtik, HF93 To sep 4, kl 3:-7: Exminto: Amin Hlilovi Undevisnde läe: Håkn Stömeg, Jons Stenholm, Elis Sid Fö godkänt etyg kävs v mx 4 poäng Betygsgänse: Fö etyg A, B, C, D, E kävs, 9, 6, 3

Läs mer

Programmeringsguide ipfg 1.6

Programmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion

Läs mer

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrum.se Formelsmlingen.se Mtteoken.se Pluggkuten.se 4 Innehåll: Pluggtips Formelsmling Ntionell prov från tidigre

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 4a

Facit - Tänk och Räkna 4a Vår tl Fit Tänk oh Räkn 9 9 69 996, 997, 998 998, 999, 000 6 6699, 6700, 670, 670, 670, 670 67 m, 67 m, 67 m 800 m, 900 m, 000 m 900 m, 90 m, 90 m NAF 06 7 9 d 6 8 e 7 76 f 8 8 d 6 e 0 f 8 9 7 8 88 d 80

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Grundläggande hyperbolisk geometri

Grundläggande hyperbolisk geometri Fkulteten för teknik- oh nturvetenskp Ann Persson Grunläggne hperolisk geometri Elements of Hperoli Geometr Mtemtik D-uppsts p Dtum: 6-5- Hnlere: Ilie Br Exmintor: Alexner Bolev Grunläggne hperolisk geometri

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Tentamen ellära 92FY21 och 27

Tentamen ellära 92FY21 och 27 Tentmen ellär 92FY21 och 27 201-08-22 kl. 8 13 Svren nges på seprt ppper. Fullständig lösningr med ll steg motiverde och eteckningr utstt sk redoviss för tt få full poäng. Poängen för en helt korrekt löst

Läs mer

uppdrag: matte Gunnar Kryger Andreas Hernvald Hans Persson Lena Zetterqvist Mattespanarna

uppdrag: matte Gunnar Kryger Andreas Hernvald Hans Persson Lena Zetterqvist Mattespanarna uppdrg: mtte Gunnr Kryger ndres Hernvld Hns Perssn Len Zetterqvist Mttespnrn ISN 978-9-7-0- ndres Hernvld, Gunnr Kryger, Hns Perssn, Len Zetterqvist ch Liber re d k t i n Mirvi Unge Thrsén, Mri Österlund

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer