MA002X Bastermin - matematik VT16

Transkript

1 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06

2 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ) d (, ) 4 = (4, 6) 6 = Pythgors sts: d = (4 ) + (6 ) d>0 = (4 ) + (6 ) = + 4 = = 5 = 5 Avståndsformeln Avståndet d melln punktern (x, y ) och (x, y ) ges v d = (x x ) + (y y ) Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri /

3 Cirkelns ekvtion (, b) r (x, y) En cirkel består v ll punkter (x, y) som befinner sig på vståndet r från en medelpunkt (, b). Punkten (x, y) ligger på cirkeln om: r = (x ) + (y b) Cirkelns ekvtion Ekvtionen för en cirkel med medelpunkt (, b) och rdie r ges v (x ) + (y b) = r Exempel Bestäm ekvtionen för en cirkel med medelpunkt i (, ) som hr rdien. Cirkelns ekvtion: (x ) + (y ) = Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri /

4 Cirkelns ekvtion Exempel Ligger punktern (, 0) och (, ) på cirkeln (x ) + (y 4) = 0? Insättning i cirkelns ekvtion: x =, y = 0 ( ) + (0 4) = + 4 = = 0 OK! x =, y = 7 ( ) + (7 4) = + = + 9 = 0 0 (, 0) ligger på cirkeln men det gör inte (, 7). Exempel 4 Bestäm en ekvtion för en cirkel som innehåller punkten (5, ) och hr medelpunkt i (, ). (5, ) ligger på cirkeln: r = Cirkelns ekvtion: (x ) + (y + ) = 5 (5 ) + ( ( )) = + 4 = 5 = 5 Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 4 /

5 Cirkelns ekvtion Exempel 5 Beskriver ekvtionen x + y + y = 0 en cirkel? Bestäm i så fll dess medelpunkt och rdie. x + y + y = x + (y + ) = (x 0) + (y + ) = 0 (x 0) + (y ( )) = En cirkel med medelpunkt i (0, ) och rdie. Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 5 /

6 Enhetscirkeln Definition (Vinkelmåttet rdiner) rdin l.e. Den vinkel som motsvrr en båge med längden l.e. i enhetscirkeln är rdin Vridning moturs motsvrr positiv vinkel Omkretsen v en cirkel är πr : vrv i e.c. (60 ) motsv π rdiner Omvndling melln grder och rdiner: = 60 π = π 80 rdiner rdin = = 57. π π Anm: Normlt nges ingen enhet då vinkeln nges i rdiner. Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 6 /

7 Enhetscirkeln Exempel 6 Grder rdiner: 0 π = 0 80 = π 6 45 π = = π 4 60 π = = π 90 π = = π Exempel 7 Rdiner grder: π = π 80 = 70 π π 4 = π 4 80 = 5 π π = π 80 π = 540 (.5 vrv i e.c.) Definition (Trigonometrisk funktioner) y v x P = (x, y) I enhetscirkeln: sin v = y cos v = x tn v = sin v cos v, v π + nπ Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 7 /

8 Rätvinklig tringlr v x c y b De båd tringlrn är likformig: b c = y = sin v c = x = cos v b = y x = sin v cos v = tn v Trigonometrisk smbnd i rätvinklig tringlr motstående ktet sin v = hypotenusn närliggnde ktet cos v = hypotenusn motstående ktet tn v = närliggnde ktet Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 8 /

9 Viktig vinklr Exempel 8 Bestäm sin v, cos v och tn v då v = π respektive v = π. 6 sin π = y = ( ) = cos π = x = π π 6 y x = sin π 6 = x = cos π 6 = y = tn π = sin π cos π tn π 6 = sin π 6 cos π 6 = = Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 9 /

10 Viktig vinklr Exempel 9 Bestäm sin v, cos v och tn v då v = π 4. π 4 x x Pythgors sts: x +x = x = sin π 4 = x = cos π 4 = x = tn π 4 = sin π 4 cos π 4 = Viktig vinklr! v sin v cos v tn v π 6 45 π 4 60 π 90 π 0 Ej def Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 0 /

11 Symmetriegenskper och smbnd Symmetriegenskper y sin(π v) = sin v x π v v v y x cos(π v) = cos v sin( v) = sin v (udd funktion) cos( v) = cos v (jämn funktion) sin( π ± v) = cos v cos( π ± v) = sin v v x y Pythgors sts x + y = Trigonometrisk ettn cos v + sin v = Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri /

12 Arestsen Aren A v en tringel ges v c β h Enligt figuren är: A = bh h = sin α h = c sin α c α b γ Arestsen A = bc sin α = c sin β = b sin γ Exempel 0 I en tringel är en sidn är cm, en nnn sid är 4 cm och den mellnliggnde vinkeln är π. Bestäm tringelns re. 4 Arestsen: A = 4 sin π 4 = 4 = = 4.4.e. Anm: Arestsen gäller även om vinkeln är trubbig. Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri /

13 Sinusstsen c α Exempel β h b γ Enligt Arestsen hr vi bc sin α = c sin β = b sin γ Dividerr vi med bc får vi Sinusstsen sin α = sin β b = sin γ c En tringel hr en vinkel som är π och den motstående sidn är 5 cm. En nnn 6 vinkel i tringeln är π. Hur stor är den motstående sidn till denn vinkeln? Kllr vi den okänd sidn för x hr vi enligt Sinusstsen: sin π 6 5 = sin π x x = 5 sin π sin π 6 = 5 = cm Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri /

14 Sinusstsen Anm: Eftersom sin v = sin(π v) får mn två olik fll om mn br känner sidorn och c smt vinkeln α motstående till. Utn ytterligre informtion kn mn inte bestämm motstående vinkel till sidn c och därmed inte heller den återstående sidn b. c α sin α π γ b = sin γ c = γ sin(π γ) c Är det γ eller π γ som är motstående vinkel till sidn c? Om γ = π smmnfller de båd fllen och vi får en rätvinklig tringel. γ Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 4 /

15 Cosinusstsen Pythgors sts pplicerd på tringeln i figuren: c b cos α c b b cos α α = (c b cos α) + b (b cos α) = c bc cos α + (b cos α) + b (b cos α) Cosinusstsen = b + c bc cos α Exempel I en tringel är två v sidorns längder 4 cm respektive 5 cm. Ders mellnliggnde vinkel är π. Beräkn längden v den tredje sidn i tringeln. = b + c bc cos α = cos π Den tredje sidn är 4.58 cm. = = Anm: Cosinusstsen gäller även om den mellnliggnde vinkeln är trubbig. Pythgors sts är ett specilfll v Cosinusstsen då tringeln är rätvinklig dvs då cos α = cos π = 0. Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 5 /

16 Tillämpning v tringelstsern Exempel En tringel hr sidorn, 7 respektive 8 cm. Bestäm tringelns re. Svr: Aren är e. Exempel 4 I en tringel är en v sidorn cm längre än en v de ndr och den mellnliggnde vinkeln är 5π. Tringelns re är 6 cm. Bestäm smtlig sidors längder. Svr: Sidorn är 6, 8 och cm. Exempel 5 I tringeln ABC är vinkeln vid A π 6, sidn AB = cm och sidn BC = cm. Bestäm längden v sidn AC smt övrig vinklr i tringeln. Svr: Vi får två fll: =, b = 4, c =, α = π, β = π, γ = π (Rätvinklig tringel) 6 =, b =, c =, α = π, β = π, γ = π (Likbent tringel) 6 6 Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 6 /

17 Additions och subtrktionsstsern Sts För ll vinklr u och v gäller: sin(u + v) = sin u cos v + sin v cos u sin(u v) = sin u cos v sin v cos u cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v 4 cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v Exempel 6 cos π = cos( π π 4 ) = cos π (.4) cos π 4 +sin π sin π 4 = + u = v i () och () ger: Sts (Formler för dubbl vinkeln) sin v = sin v cos v cos v = cos v sin v = cos v = sin v = + Akdemin för Informtionsteknologi - ITE MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri 7 /