Tillämpad Matematik I Övning 2

Transkript

1 HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning Tillämpd Mtemtik I Övning Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm, så det är viktigt tt du klrr v uppgiftern på egen hnd! Trots dett rekommenders och uppmuntrs rete i grupp smt nvändning v Mthemtic även där endst hndräkning förvänts! I lösningsförslgen hittr du oftst åde hndräkning och Mthemtic, dett för tt du sk få träning på åd! Avsknd v lösningsförslg eller "snål" sådn sk tolks positivt som en inspirtion och utmn dig till tt fll igen luckor och verifier det som är gjort. H teorikompendiern till hnds, där finns mång löst eempel. Uppgifter Tpuppgifter i först hnd. Ange D f och V f för f f 5 c f. Bestäm V f till funktionen f sin,.. I en speciell gs gäller smndet pv Bole' s lg melln trcket p och volmen V i ett slutet kärl. Ange det intervll som trcket ligger i om V 5, 5.. Bestäm störst och minst värde till f i intervllet,. 5. Sök inversen f till f. Rit f och f i smm digrm.. Låt f,. Sök V f smt inversen f och D f, V f. Rit f och f i smm digrm. 7. Bestäm de smmnstt funktionern f g, g f och f f då f, g f, g. 8. Lös ekvtionen. 9. Förenkl 9 c 5. Funktionen f är given. Är någr v följnde påståenden snn för ll reell? f f f f c f f f d f f f e f f f f f g f f h f f. Lös ekvtionen ln.. Lös ekvtionen ln ln ln.. Lös ekvtionen ln ln ln ln ln Lös ekvtionen ln ln. 5. Lös ekvtionen ln ln.. Lös ekvtionen ln ln. 7. Lös ekvtionen Lös ut R ur den "elektrisk ekvtionen" u u t RC.

2 Tillämpd Mtemtik I, Övning HH/ITE/BN 9. Lös ut Κ ur den "termodnmisk ekvtionen" T p Κ Κ. T p. Lös ekvtionen.. Lös ekvtionen log log 5 där log etder logritmen v med vseende på sen.. Mn hr f c k. ) Bestäm c och k om vet tt f och f. ) Beräkn f 5. c) Lös ekvtionen f 5.. The recommended tire pressure in Hond Civic, in Englnd, is 8 psi (pounds per sure inch). Wht is this pressure in tmosphere? Hint: tm 5 Nm, pound.8 N, foot inch, foot.8 m.. Frmer John hs recentl ought cre field nd wishes to replce the fence surrounding it. Given tht the field is sure, wht length in meters should Frmer John purchse? Hint: cre 5 sure feet, foot.8 m. 5. Verifier med dimensionsnls s gt vt v v s c mgh mv d m ΡV e P Fv f v gh g F m t h m v v t F t i E mc j V. Ljudhstigheten v i en gs eror på trcket p och densiteten Ρ. Bestäm ett dimensionsmässigt uttrck för dett smnd. 7. En oll släpps från ett torn. Ange ett dimensionsriktigt uttrck för hstigheten v som funktion v ollens mss m, fllsträckn och tngdccelertionen g. 8. Flltiden för ett torn eempelvis i Pis nts ero på tornets mss m, dess höjd h och tngdccelertionen g. Ange ett dimensionsriktigt uttrck för flltiden T. 9. Frten v för en fisk eror på dess tvärsnittsre A, vttnets densitet Ρ och den effekt P som fisken klrr v tt utveckl. Bestäm ett uttrck för v med dimensionsnls.. Mång tillvätprocesser i nturen följer den logistisk modellen L t L, kt där L, och k är positiv konstnter och tiden t. Oft etrkts ndelen P t L t. L Ange lim t L t. Ange enhetern för, k och P. c För längden v en Ginsengrot hr McGonigle funnit tt 9 och k.85. Rit P t. d Hur lång tid tr det tills Ginsengroten vuit till 5 v sin slutlig längd? e Bestäm P' t. Rit. f Vis tt infleionspunkten ligger vid t ln. k

3 HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning. Ponnkrusellen på Liseerg ger utmärkt tillfälle tt öv meknik och dimensionsnls. Krusellen roterr medurs med en rottionstid på T s per vrv. För tt inte slungs ut från krusellen måste en resenär håll emot med en krft F som nts ero på resenärens mss m, rottionstiden T och rdien r från rottionscentrum till resenärens åkplts. Sök ett dimensionsmässigt korrekt uttrck för den sk centripetlkrften F. Om hel ttrktionen vore duelt så stor, men roterde med smm rottionstid, hur skulle krften på resenärern ändrs? c Hur skulle rottionstiden ändrs för tt en resenär skulle upplev smm krft i den större ttrktionen?. Uttrck som funktion v och Θ i de rätvinklig tringlrn nedn. c d e f. Fll i tellern! cos sin tn rccos rcsin rccos rcsin rctn Lösningsförslg: Dess ör mn kunn! cos sin tn rccos rcsin 5 rccos rcsin rctn. Lös ekvtionen sin. Rit enhetscirkeln! 5. Lös ekvtionen cos. Rit enhetscirkeln!. Antg tt sin u och u. Bestäm ekt värdet v sin u. 7. Bestäm störst värdet v sin sin.

4 Tillämpd Mtemtik I, Övning HH/ITE/BN 8. Solver tringeln, det vill säg estäm smtlig sidor och vinklr och, 5, c,, Α, Β, c, 5, Γ, d, Β 5, Γ 7, e, 5, Α Α c Β Γ 9. Sök längdern v och 5. Sök längden v sträckn längs digonlens mittpunktsnorml. Bestäm ekvtionen för den rät linje som går igenom punktern, och,.. En cirkelsektor med medelpunktsvinkeln Θ och rdien r är given. Sök som funktion v Θ och r åglängden, längden v kordn l, ren v den inskrivn tringeln A t, ren v cirkelsegmentet A s smt slutligen cirkelsektorns re. r la t A s. Mängden, i grm, v ett rdioktivt ämne eskrivs v m t t, där t är tiden i sekunder. Hur mcket är kvr efter s? Bestäm hlveringstiden, det vill säg den tid det tr tt reducer mssn till hälften. Rit. Gmle Eker cklr från Nvstd till Däckrund längs Ålderstigen. Hns medelfrt är 8 km h. Med vilken frt måste hn ckl tillk för tt medelfrten under hel resn sk li km h? 5. En rektngel med sen är inskriven i en cirkel med rdien. Sök rektngelns re och omkrets som funktion v. Ange definitionsmängder

5 HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 5. En öppen låd med kvdrtisk otten hr en totl mntelre v 5 m. Sök lådns volm som funktion v sidn på den kvdrtisk ottnen. Ange definitionsmängd 7. Från ett rektngulärt pppersrk skär mn ort en kvdrt med sidn från vrje hörn. Resten v pppersrket viks till en öppen låd. Sök lådns volm som funktion v. 8. Från ett rektngulärt pppersrk skär mn ort kvdrtisk itr med sidn enligt figur. Resten v pppersrket viks till en sluten låd med dul ppper på kortsidorn. Sök lådns volm som funktion v. 9. Av ett snöre med längden L forms en rektngel som sedn får svep runt längs sin en sid så tt en clinder ilds. Sök clinderns volm som funktion v dess rdie r. 5. I en hlvcirkel med rdien är en prllelltrpets inskriven enligt figur. Sök prllelltrpetsens re som funktion v Θ. Ange definitionsmängd 5. En cirkelsektor med medelpunktsvinkeln Θ, rdien r och åglängden hr omkretsen L. Sök ren A Θ, A r och A. Ange definitionsmängd i de tre fllen r 5. I tringeln ABC är sidorn BA och BC lik lång. Punkten D ligger mitt på AC och punkten E mitt på BC. Avståndet melln D och E är lltid konstnt L. Ange tringelns re som funktion v sen, det vill säg längden v sträckn AC. B L E A D C 5. I en rektngel är vståndet från mittpunkten på sen till ett motstående hörn konstnt L. Sök rektngelns re som funktion v sen. L

6 Tillämpd Mtemtik I, Övning HH/ITE/BN 5. Sök vståndet L från punkten, till kurvn som funktion v...8. L Två cirklr med rdiern r och R är plcerde på centrumvståndet. De elses med en lmp plcerd på smmnindningslinjen utnför de två cirklrn. Bestäm den smmnlgd längden v de två ågrn som är elst om funktion v lmpns positionen i förhållnde till cirkeln med rdien r. 5. I en cirkel med rdien r är tre rdier och en kord drgn. Sök ren v den färglgd tringeln som funktion v Α, Α. 57. I en kvdrt med sidn är ett kors inskrivet enligt figur. Sök ren v dett som funktion v. 58. I en cirkel med rdien r är en cirkelsektor inskriven enligt figur. Sök ren som funktion v Α. Etruppgifter i ndr hnd i mån v tid 59. Ange störst definitionsmängd och tillhörnde värdemängd för f och g.. Låt f och D f,. Sök värdemängden.. Lös olikheten.. Lös ekvtionen ln ln 8.. Lös ut k ur "vsvlningsekvtionen" T T t k.. Lös ut ur ekvtionen ln. 5. Antg tt cos u och u. Bestäm ekt värdet v cos u. 8. Bestäm störst värdet v sin cos. 7. Sök inversen till f, D f,.

7 HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 7 8. Bestäm tn 8 ekt. 9. Lös ekvtionen log log där log etder logritmen v med vseende på sen. Fördjupningsuppgifter i tredje hnd eller inte lls 7. Ange definitionsmängd och värdemängd till f t t t g s s s. Är funktionern kontinuerlig? 7. Bestäm den n:te iterernde funktionen f n till f om f f och f n f n f då f f c f. 7. Lös ekvtionen log log log. 7. Vis tt f cos sin kn skrivs på formen f Asin Δ där A klls mplituden och Δ fsförskjutningen. Bestäm dess. 7. Utveckl sin Θ och cos Θ i termer v sin Θ och cos Θ. 75. Sök ren v figurens rektngel om vrje färglgd tringel hr ren A.