MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Transkript

1 MA Tillämpd Mtemtik I, 7.5hp, -- Hjälpmedel: Penn, rdergummi oh rk linjl. Vrken räknedos eller formelsmling är tillåtet! Tentmen består v frågor! Endst Svrsblnketten sk lämns in! Inget tentmensomslg! Svrslterntiv i Bold Courier New sk tolks som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Betekningr enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning oh betgsgränser se kursens hemsid. Lösningsförslg nslås på kursens hemsid efter tentmen. Lk till! Bertil Del A 5 poäng med fokus på räknefärdighet för hnd, smt grundläggnde färdighet i Mthemti.. Låt w z z, där z oh z betder komplekonjugt.. Bestäm bsw. (p) Lösningsförslg: Först w z z b Konjugtregeln :. Så bswbs b. w z z.z, Absw, Argw,, Π d Rätt svrslterntiv:. Bestäm rgw. (p) Lösningsförslg: Vi hr rgwrg rtn b Π Π Π Π d 5Π rtn ΠΠΠ. Rätt svrslterntiv: e. Lös ekvtionen 5 z z, där z betder komplekonjugt. (p) Lösningsförslg: Ansätt z b. Sedn krvet på likhet melln komple tl, med n ord identifier rel- oh imginärdelr. 5 b z z 6 : Likhet Re : b b Im : b, b. Solve 5 z z z d Rätt svrslterntiv: e. Låt f os,, Π. Bestäm V f. (p) Lösningsförslg: Skiss os, os,, Π, så inser vi tt V os,, sedn en för f så hr vi äntligen V f,. PlotCos, Cos, Cos,,, Π, AesLbel,, PlotLbels Automti os os os V f, V f, V f, d V f, Rätt svrslterntiv:

2 5. Sök så tt 6 6. (p) Lösningsförslg: Potenslgr, Solve 6 6,, Rels Rätt svrslterntiv: d 6. Låt f k. Bestäm oh k om f oh f. (p) Lösningsförslg: Vi får k k. Division v () med () ger k k ln. Instt i () ger ln 9. Solve k,,, Rels Simplif 9, k log Rätt svrslterntiv: 9, k ln 9, k ln 9, k ln d, k ln 7. Beräkn os Π sin Π. (p) Lösningsförslg: Vi hr os Π sin Π os Π sin Π os Π sin Π os Π. Cos Π Sin Π Simplif Rätt svrslterntiv: b d. Bestäm f ' då f. (p) Lösningsförslg: Vi hr, f ' ln ln ln f '. D,. log Rätt svrslterntiv: e 5 d ln 9. Bestäm f ' då f tn Π. (p) Lösningsförslg: Vi får med kedjeregeln, f ' tn Π Π f ' Π Π 6. Df Tn Π,. f Π 6 os Π Π f Π 6 Π 6 Π 6 d Π Rätt svrslterntiv:

3 . Bestäm normlens ekvtion till kurvn f i punkten. (p) Lösningsförslg: Först kurvn oh sedn lite n grejer som vi behöver. f :,, ; ; f,f', f' Eftersom k T k N ges normlens ekvtion v enpunktsformeln f f ', med enligt uppgift. Solve f f', Epnd d Rätt svrslterntiv: d. Givet kurvn. Sök då, oh. (p) Lösningsförslg: Deriver impliit med vseende på tiden, sätt in numerisk värden. Lös slutligen ut t. dkdt D t t t t,t t t 6 t t t t t 6 t t Solvedkdt. t, t, 't t Rätt svrslterntiv: e 5 d. Funktionen f hr den primitiv funktionen F som är uppritd i figuren. Beräkn f. p F Lösningsförslg: Vi får direkt f F FF. d Rätt svrslterntiv:. Beräkn. (p) Lösningsförslg: Vi måste lös upp bsolutbeloppet. Abs PlotAbs,,,, PlotStle Ornge, AesLbel,

4 Rätt svrslterntiv: d 5 d. Beräkn. (p) ln Lösningsförslg: Vribelsubstitution. Sätt u ln, så hr vi u, med gränsern u u u ln oh ö u ö ln ln. Så u u u. Log Rätt svrslterntiv: b d ln 5. Bestäm i punkten, ln om där. (p) ln Lösningsförslg: Vi hr ln. 5 KR Åen gång till ln d ln ln Del B 5 poäng med fokus på modellering oh Mthemti. 6. En melon väger kg oh hr vtteninnehållet 97. Efter någr dgr i poolen hr det ökt till 99. Antg tt melonen består v m vf kg vtten oh m mö kg övrigt melonkött, kärnor, skl osv. före bdet. Låt m ve kg vr vikten v vttnet i melonen efter bdet. Sök melonens vikt m me kg efter bdet. p SD ;. Så först oh sist led ger till slut Rätt svrslterntiv: b Lösningsförslg: Vi får direkt tt den lgt på sig ordentligt ;-) Solvem mö.97, m ve m ve m mö.99, m me m ve m mö m me 6., m mö.6, m ve 5.9 Solvem mö.97, m ve m ve m mö Solvem ve.97, Solvem mö.97, d Solvem mö.99,.99, m me m ve m mö m mö m me m vf m ve m ve m mö m vf m vf m mö.97, m me m ve m mö.99, m me m ve m mö.97, m me m vf m mö Rätt svrslterntiv: 7. I figuren är en kvt med sidn b inskriven i en större med sidn. Inför, oh sök sidn, uttrkt i oh b, på kvten som är inskriven melln de två n. p b

5 Lösningsförslg: Ptgors sts oh likformig tringlr gör jobbet! Solve, b, b, b, b Solve, b, Solve b,, Solve, b, d Solve b,,,,, First Rätt svrslterntiv: e,,, First,,, First. I en rk irkulär kon enligt figur rinner vtten med flödet 5 m min ut genom en öppning i spetsen. Sök r då rdien r m.ledning: V kon Πr h.,,, First,,, First. Formuler nödvändig geometrismbnd så det går tt lös ut Vt som funktion v rt. (p) Lösningsförslg: Konens volm oh likformig tringlr. geo Vt Π rt ht, rt ht 6 Vt Π ht rt, rt ht geo Vt Π rt ht, rt ht 6 geo Vt Π rt ht, rt ht 6 geo Vt Π rt ht, rt 6ht 6 d geo Vt Π rt ht, rt ht Rätt svrslterntiv: e 9. Lös ut Vt oh ht som en funktion v rt. (p) Lösningsförslg: Tpisk Solve. VÅh Solvegeo, Vt, ht Vt Π rt, ht rt VÅh Solvegeo, rt VÅh Solvegeo, Vt, ht VÅh Solvegeo, Vt, ht d VÅh Solvegeo, Vt, ht Rätt svrslterntiv: b. Bestäm r' t då rt. (p) Lösningsförslg: De é br tt gör dé! SolveV't 5. DVÅh, t.rt 5

6 r t 5 6 Π Rätt svrslterntiv: SolveV't 5. DVÅh, t.rt SolveV't.DVÅh, t, r't 5. rt SolveV't 5, r't. DVÅh, t.rt d SolveDVt 5. VÅh, t, r't. rt. När vnnde fiskr som ål, öring oh l simmr uppströms i ett vtteng npssr de sin frt u så tt energiåtgången per meter minimers. Om vttnet rinner med frten v u beskrivs energiåtgången v funktionen Pu ku, där k är en konstnt som bestäms v fiskens utseende. uv. Definier Pu som en funktion i Mthemti. (p) Lösningsförslg: Vi får direkt Pu : ku u v Rätt svrslterntiv: Pu ku uv Pu ku uv Pu : ku uv d Pu ku uv. Rit Pu, u 5, 7, i rött då v, k. Pnt lrn! (p) Lösningsförslg: Efter en stund fundernde får vi PlotPu. v, k, u, 5, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P" 5 5 P u Rätt svrslterntiv: b PlotPu. v. k, u, 5, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P" PlotPu. v, k, u, 5, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P" PlotPu. v, k, u, 5, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P" d PlotPu. v, k, u, 5, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P". Använd Solve för tt sök nollställe till P' u. (p) Lösningsförslg: Preis! u SolveP'u, u u, u, u v Rätt svrslterntiv: d u SolveP'u, u u SolveP'u u SolveP'u d u SolveP'u, u. Bestäm etremvärdet. Välj den sist v tre lösningr i u. (p) Lösningsförslg: Optiml energiåtgång! Pu. u Lst 7 kv Rätt svrslterntiv: d 6

7 P. u Lst u.pu Pu d Pu. u Lst 5. Bestäm ren v en irkel med rdien R. p Lösningsförslg: Cirkelren som fr kvrtsirklr, vrv den i först kvnten med sml rektnglr. R Simplif Π R R, R Rätt svrslterntiv: e R R R Π r r RΠ r R R r R R R d R R 6. En rätvinklig tringel är uppriggd enligt figur. Sök dess vikt m om densiteten ΡΡ kgm. p b Lösningsförslg: Klipp upp tringeln i sml rektngulär strimlor, där ges v likformig tringlr b tt lägg smmn ll små mssor m ΡA Ρ Ρ b m m m bρ Ρ b m m Ρ b m m Ρ b m m Ρ d m m Ρ b. Nu är det br Rätt svrslterntiv: 7. En pppskiv i form v en "sinusbubbl" sin,, Π med konstnt tdensitet Ρ, är uppriggd enligt figur. Bestäm tngdpunktens läge G i riktningen, om vi vet tt denn bestäms v ekvtionen m G m. p Π Π Lösningsförslg: Del upp bubbln i tunn strimlor. Höjden för en sådn vid ges v sin oh med konstnt tdensitet Ρ ligger dess tngdpunkt i,. Vie är m ΡA Ρ oh slutligen det efterlängtde Π Solve G Ρ. Sin, G G Π Solve GΡ. Sin, G Solve G Ρ. Sin, G Π Solve GΡ. Sin, G d Π Solve G Ρ. Sin, G Rätt svrslterntiv: e 7

8 . Ett blodkärl med irkulärt tvärsnitt hr rdien R m oh hstighetsprofilen vrkr r ms, där rdien r, R är vståndet från entrum v blodkärlet oh k en konstnt. Sök blodflödet Q. p Lösningsförslg: Betrkt tvärsnittet som en smling tunnväggig rör. Flödet genom ett sådnt är Q vra vrπrr. Sedn är det br tt lägg smmn ll bigen Q R Q k R r Π r r Q Π kr Q R Q k R r Π r r Q R Q Rk R r Πr r Q R Q k R r Πr r d Q R Q Rk R r Π r r Rätt svrslterntiv: 9. Imorgon är det trettondgsfton oh det kn vr lämpligt tt bjud på en hokldprlin formd som en stmpd irkulär kon med rdien R vid bsen, R vid toppen smt höjden R. Sök dess volm. p Lösningsförslg: Betrkt volmen som tunn linr på vrn i -led. Volmen för en sådn är V Πr. Det end bekmret vi hr innn vi kn lägg smmn ll opprn är tt bestämm rdien r, som uppenbrligen är linjär. Efter lite fundernde får vi rr R R R. V V RΠR Π R V Rätt svrslterntiv: V R V ΠR R R V R V ΠR R V R V ΠR d V R V ΠR. Sök msströghetsmomentet J m r m för en tunn irkulär skiv med rdien R oh tdensiteten Ρ med vseende på en rottionsel genom origo vinkelrät mot skivn. p R Lösningsförslg: Lökringen vid rdien r hr, efter ett klipp oh utrullning till en sml rektngel, ren A Πrr oh mssn m ΡA, se figur. Så till slut får vi msströghetsmomentet genom tt lägg smmn ll de små bigen J r m. r r J R da Π r ; dm ΡdA; J r dm r J Π Ρ R

9 Vi ser tt dimensionen är ok, t J ΠR Ρ ΠR ΡR mr. da Πr J R ; dm ΡdA; J r dm da Πr J R, dm ΡdA, J Rr dm J R da Π r ; dm ΡdA; J r dm d J R da Π r, dm ΡdA, J Rr dm Rätt svrslterntiv: 9