1 Föreläsning IX, tillämpning av integral

Transkript

1 Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek : n. Vi får en uppdelning v intervllet [, ] i n lik lång (tjock) delintervll med ändpunkter j oc j, j,,..., n. Vrje skivs re är ( j ), där j är, e.vis, mittpunkten ξ j i intervllet [ j, j ]. Limpns volym är därmed pproimtivt n V (ξ j ). j Vi går direkt över till integrl oc får ekt V ()d. Vi endlr endst fllet då () är ren v en cirkelskiv. E: Betrkt kurvn y f(),. () Vi etrktr ytn, som egränss v y f(), y där. Denn yt roterr kring eln oc genererr en rottionskropp. Beräkn kroppens volym. () πf(), så volymen är då [ V π d π ] 8π. () I denn kropp orrr mn ett (cirkulärt) ål längs symmetrieln ( eln) som ålets centrum. Cylinderålet rdie är. Beräkn den återstående volymen v rottionskroppen. Hålet kommer tt gör tt rottionskroppen lir v med den del där. Vi eräknr volymen v den del som återstår: [ ] V : π d π 5π. Från en sutrerr vi volymen v cylindern, som är V c : π Sökt volym är lltså V V c 9π. d π [] π. E: Vi eräkn volymen i föregående eempel () genom tt skl kroppen i cylinderskl. Det görs nu m..p. y eln. Vi r tt f (y) y. Ett skls volym är Totl sökt volymen är dv : πy( )dy där y oc y. V π (y y )dy π ] [y y 9π. Metodern klls skiv- respektive sklmetoden.

2 . Yts re oc kurvlängd E: Beräkn mntelytns re v kroppen i det först eemplet (). Vi eöver en infinitesiml re d. Vi kn t kurvn y,, som sedn roters kring eln. En infintesiml del v kurvn r längden ds : + f () d. Dett ger en infinitesml rems med re (där omkretsen är πy) d πyds π ( ) + d π / + d π [(/ + ) /] π 6 ( 7 ) 7.e.. E: Vi kn också eräkn längden L v kurvn y f() genom tt r integrer L ds + d. Integrlen är lite komplicerd tt eräkn men inte elt omöjlig. E: En stroid är en kurv som ges v t (cos t, sin t), >, t π. y () Beräkn längden v stroiden. L π (d ) + dt ( dy dt ) dt π cos t sin tdt Kommentr: Längden v cirkeln med rdie är π > 6. () Beräkn ren som egränss v kurvn. Med ren som är : kvdr. g()d ( cos t( sin t)) + ( sin t(cos t)) sin t dt [cos t] π/ 6 l.e.

3 där kurvn i först kvdrnt eskrivs v y g(). Vi sätter y g() sin t oc cos t. Dett är en V.S. med d cos t( sin t)dt oc t gränser α π/ oc β. lltså är cos t sin tdt cos t sin t dt, v symmetriskäl. (sin t cos t) dt. Rottion oc Trögetsmoment sin t dt 8 [t cos t]π/ π 6 E: Vilken rörelseenergi r ett klot som roterr kring sin symmetriel? Vi ntr tt densiteten är konstnt ρ, rdien är R oc tt vinkelstigeten är ω. y R,y R R y koordinten i punkten (, y) uppfyller y R. En kropp med mss dm rdien r vinkelrät mot rottionseln som symmetriel r konstnt stiget v ω r, mssn dm πr dr ρ oc lltså rörelseenergin dw k dm v, där R r. Totl W k fås genom tt integrer: W k R r Nu uttrycker vi W k med klotets mss dw k 8 5 πω R 5 ρ. m ρ V ρ π R. W k ρ π R 5 R ω 5 m R ω. }{{} Trögetsmoment Dett är lltså trögetsmomentet för ett klot med konstnt densitet oc rdie R. Kommentrer Olik kroppr r olik trögetsmoment. Som övning kn mn eräkn en rk cirkulär kons trögetsmoment med konstnt densitetet.

4 . Smmnfttning v formler Skiv- oc sklmetoden vser rotionskropp. Skivmetoden: V V f () d Sklmetoden: ()d π ( ) f () f ()d( ) π () Kurvl ngd: p + f () d L Mntelyts re: p π f () + f () d ( ) Denn formel modifiers eroende p det specifik fllet..5 Tyngdpunkt/msscentrum m.m. T Tyngdpunktens koordint T ligger melln oc. Tyngdpunkt fo r tv klot: Vi ntr tt de tv kloten r tyngdpunkt i respektive med mssor m respektive m med tyngdpunkts T. Fo r denn koordint r det lns melln v nster oc o ger krftmoment, llts M : (T )m ( T )m M T m + m. m + m n punktmssor: Tyngdpunkt fo r n punktmsssor med vrder mss mk i punkter k, < <... < n r Pn n X k k mk T d r m mk. m k kont. utredd kropp: Eller fo r kontinuerligt utredd mss l ngs eln, : R T dm. m () E: Givet en rk cirkul r kon med rdie r oc o jd. () Ber kn konens volym uttryckt i r oc. () Givet tt konen r konstnt densitet ρ, est m koordinten fo r dess tyngdpunkt. (c) Ber kn mntelytns re. Lo sning

5 y r y k V () Konens volym uttryckt i r oc : Vi låter konens symmetriel vr eln. En ekvtion för en v genertrisern är y k r k : f(). M... skivmetoden (skivformeln) får vi volymen V till V π ( r k ) d πr. () Givet tt konen r konstnt densitet ρ. y koordinten för dess tyngdpunkt är y y T, p.g.. symmetri. Vi r r formeln () oc eöver gör en V.S. från m till. Vi ser m m(), d.v.s. m som funktion v där m() ρ V (). V () är volymen v konen med öjd,. Denn kon r rdie r. ltså är ( r V () π ) ρ π ( r ) oc således m m() ρ V (). Vi differentierr: Täljren i () är dm Nämnren är Således är ( r ) dm ρ π d. ( r ) ( r ρ π d ρ π ) ρ π r. m m() ρ π r. T ρ π r ρ π r d.v.s. / v öjden från ottenplttn. (c) Beräkn mntelytns re...., πy ds där y f() r oc ds + f () d. Nu är f () r. lltså är π + (r/) r d π r + r. Kommentr: Mn kn klipp upp konen längs en genertris oc få en cirkelsektor med rdie + r oc med cirkelåge πr. En sådn cirkelsektors re är just πr + r πr + r. 5

6 Rdie +r Cirkelsektor Cirkelåge π r Cirkelsektor med rdie + r oc cirkelåge π r. 6