FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
|
|
- Britta Eklund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 FFM234, Klssisk fysik och vektorfält - Föreläsningsnteckningr Christin Forssén, Institutionen för fysik, Chlmers, Göteborg, verige ep 13, Integrlstser Minnesregel för strukturen på ll integrlstser (derivt v fält) = D (fält) ( ) D 1 (1) Enkelt exempel: integrtion v funktion v en vribel: b df dx dx = [f(x)]b = f(b) f() (2) Rnden v den endimensionell volymen [, b] är de två punktern och b, så tolkningen v högerledet i det schemtisk uttrycket ovn blir en summ över dess två punkter. Guss sts Mn kn lltid beräkn integrler enligt metodern på förr föreläsningen, men i viss fll kn mn tillämp integrlstser som förenklr beräkningrn. Ett viktigt exempel på en sådn sts är Guss sts. ts: Antg tt F är ett kontinuerligt deriverbrt vektorfält definiert i en volym. = är den slutn ytn som bildr rnden till och d = ˆnd där
2 ˆn är den utåtriktde enhetsnormlen. Då gäller tt F d = F d. (3) Kvntiteten F = F x x + F y y + F z z kllr vi för divergensen v F. Om mn tänker sig tt F är hstigheten för en vätsk, så kn mn se divergensen v F i en punkt som ett mått på hur mycket vätsk som strömmr ut från den punkten. Lägg märke till tt volymen i Guss sts måste vr smmnhängnde, men tt det inte är nödvändigt tt är smmnhängnde. kn mycket väl bestå v ett ändligt ntl vr för sig gltt ytsegment, så länge som de br tillsmmns bildr en sluten yt. idre kommer vi tills vidre tt begräns oss till "hyfst snällfält. Mer om dett längre frm i kursen. En fysiklisk tolkning v Guss sts är tt högerledet representerr flödet ut genom en yt och tt vänsterledet representerr närvror v källor till dett flöde innnför ytn. Integrnden F klls också för källtäthet. (4) Exempel: Guss sts (tentmen vrint) Beräkn normlytintegrlen F d, (5) där F = F zẑ/ och är ytn x 2 + y 2 = (z 4) 2 och z 4 med normlen snett uppåt (lltså positiv z-komponent). Lösning: Bestäm utseendet på ytn och rit en tydlig figur. Undersök fältet F. ingulriteter? Beräkn F. lut ytn. Undvik singulriteter inuti den inneslutn volymen. Teckn Guss sts och beräkn integrlen. Hr normlen rätt riktning? år ytn är en kon med spetsen i z = 4 och en öppning nedåt. Den är lltså inte sluten! Fältet är utn singulriteter och divergensen är F = F /. i kn slut ytn genom tt lägg till en bottenpltt, z=, i xy-plnet. Dett blir en cirkelskiv med z = och rdie 4. Normlvektorn blir ẑ 2
3 för t pek ut från den inneslutn volymen. På den slutn ytn + z= kn vi sedn tillämp Guss sts F d = F d = F d = F 1 + z= 3 π(4)2 4. (6) i kn nu seprt beräkn z= F d =, (7) eftersom F = då z =. lutligen hr vi lltså F d = 64π 3 F 2. (8) Kontinuitetsekvtionen Tänk oss ett fll med en strömmnde fluid där vi ntr tt den totl mssn är bevrd. Densitetsfält ρ( r, t) Hstighetsfält v( r, t) Mssflödestäthet j( r, t) = ρ( r, t) v( r, t) Definier en yt d med normlriktning ˆn. Då blir j ˆn = mss/tidsenhet reenhet genom ytn. Inne i en volym finns mssn m = ρd. i kn räkn ut dm på två dt sätt: Från integrlen ovn: dm dt = ρ t d. Hur mycket mss flödr in i volymen per tidsenhet dm dt = {det som flödr ut} = j d = {Guss sts} = jd (9) mmntget så innebär det tt ( ρ t + ) j d = för ll volymer. Därför får vi kontinuitetsekvtionen (som uttrycker en storhets bevrnde) ρ t + j =. (1) 3
4 tokes sts Först given på skrivningen för mith s priset i februri 1854 i Cmbridge. (Bäst student J. C. Mxwell). ts: Den slutn kurvn C är rnden till ytn. Då gäller för ett kontinuerligt deriverbrt vektorfält F på tt ( ) F d = F d r, (11) där = C är rnden till och d = ˆnd. Normlriktningen (ˆn) och rndens riktning (C) är orienterde enligt högerhndsregeln. En viktig observtion är tt mn kn välj olik ytor som ll hr smm rnd. Integrlen i vänsterledet är lltså oberoende v vilken mn väljer. Tg två ytor 1 och 2 med smm rnd. Genom tt sätt smmn dem, och vänd riktning på normlen till den en får vi en sluten yt med =. i hr lltså ( ) ( F ) d = ( F ) d =. (12) 1 Eftersom ytn är sluten kn vi nvänd Guss sts, som säger tt dett skll vr lik med ( F )d där =. Integrnden här är identiskt noll. å vänsterledets i tokes sts oberoende v vilken yt mn väljer kn vi Guss sts ses som en konsekvens v identiteten 2 ( F ) =. (13) Inifinitesiml volymer och ytor: uttryck för divergens och rottion i kn nvänd Guss och tokes stser på inifinitesiml volymer och ytor för tt finn koordintoberoende definition v divergens och rottion på ett fält. Divergens i kroklinjig koordinter. Med hjälp v ytintegrlen kn vi konstruer en koordintoberoende definition v divergensen i punkten P (u 1 u 2 u 3 ). Betrkt en volym δ runt P, som är så liten tt F kn betrkts som konstnt, och nvänd Guss sts F 1 = lim δ δ F d δ 1 = lim F d, δ δ (14) (δ ) 4
5 (δ ) är den infinitesiml volymens begränsningsyt. Dess begränsningsytor väljs som koordintytor för u 1, u 2, u 3 i skriver F = F 1 ê 1 + F 2 ê 2 + F 3 ê 3. Betrkt först integrlen över u 1 -ytorn. torleken på ytelementet blir h 2 h 3 du 2 du 3 och riktningen blir +ê 1 och ê 1 på de två sidorn. Produkten F d kommer därmed h storleken (F 1 h 2 h 3 )du 2 du 3 och vi får inte glömm tt storhetern inom prntesen kn h ett u 1 -beroende F d ( ) = (F 1 h 2 h 3 ) u1+du 1/2 (F 1 h 2 h 3 ) u1 du 1/2 du 2 du 3 u 1 ytorn = (F 1h 2 h 3 ) u 1 du 1 du 2 du 3. (15) Eftersom volymen δ = h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 blir det totlt ( F du 1 du 2 du 3 = lim (F 1 h 2 h 3 ) + (F 2 h 1 h 3 ) + ) (F 3 h 1 h 2 ) δ h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 u 1 u 2 u [ ] h1 h 2 h 3 = F i. (16) h 1 h 2 h 3 u i h i i=1 Exempel: sfärisk koordinter sklfktorer h r = 1, h θ = r, h ϕ = r sin θ Ett vektorfält F = F r ê r + F θ ê θ + F ϕ ê ϕ Divergensen blir ( F 1 ( = r 2 ) r 2 sin θf r + sin θ r = 1 ( r 2 ) 1 r 2 F r + r r sin θ θ (r sin θf θ) + ϕ (rf ϕ) θ (sin θf θ) + 1 r sin θ ) F ϕ ϕ. (17) Rottion i kroklinjig koordinter. Med hjälp v en kurvintegrl kn vi konstruer en koordintoberoende definition v rottionen. För ett infinitesimlt litet ytelement d = ˆnd hr vi ( ) ˆn F 1 = lim F δ δ d δ 1 = lim F d r, (18) δ δ (δ) där δ är ett litet ytelement med normlen ˆn och uttrycket ovn lltså ger komponenten v F längs enhetsvektorn ˆn. 5
6 i får (exempelvis) u 1 -komponenten v F genom tt låt δ vr en u 1 -yt. Rnden (δ) utgörs då v koordintlinjern för u 2 och u 3. Lägg ihop de fyr bidrgen och del med δ = h 2 h 3 du 2 du 3. Upprep dett för u 2 och u 3 komponentern. lutresulttet blir F 1 h 1 ê 1 h 2 ê 2 h 3 ê 3 == h 1 h 2 h 3 u 1 u 2 u 3 h 1 F 1 h 2 F 2 h 3 F 3. (19) Lplceopertorn i kroklinjig koordinter. lutligen kn kn mn nvänd uttrycken för grdient och divergens för tt få Lplceopertorn på en sklär i kroklinjig koordinter: φ = ( φ) 1 = h 1 h 2 h 3 3 ( ) h1 h 2 h 3 φ. (2) u i u i i=1 h 2 i Exempel (Guss sts): Tentmen Beräkn integrlen där är ytn och fältet F ges v och F är konstnter. Lösning: i konstterr först tt ytn F d, (21) x 2 + y 2 + z 2 = 2, z >, (22) F = F 2 ( x, y, x 2 + y 2). (23) x 2 + y 2 + z 2 = 2, z > (24) är en hlvsfär med rdien. Fältet F är reguljärt överllt, och det hr divergensen F = F ( 2 x (x) + y (y) + ( x 2 + y 2)) = F z 2 ( + ) = 2F. (25) 6
7 Allt vi behöver gör för tt kunn tillämp Guss sts är därför tt slut ytn genom tt lägg till en bottenyt 1 med normlen ẑ, smtidigt som vi sätter normlen till till ê r. Guss sts ger oss nu tt F d = + 1 = 2 F F d + F d = 1 2π 3 3 F d = 2 F d = 4πF 2. (26) 3 i övergår nu till tt beräkn integrlen över 1 : F d = F ( ẑ) d = F ( x y 2) d. (27) Det är nu prktiskt tt skriv om integrlen på cylinderkoordinter F d F 2π = 1 2 ρ 2 ρdϕdρ = 2π F [ ] ρ 4 2 = πf 2. (28) i kn nu få frm ett värde på vår sökt integrl F d = F d F d 4πF = πf = 11πF 2. (29) 6 Exempel (tokes sts): Tentmen Beräkn integrlen där kurvn C ges v skärningen melln ytorn och C F d r, (3) r 2 sin 2 θ ( 4 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = 4 2, (31) z =. (32) Kurvn omsluts i moturs riktning sett ovnifrån (dvs högerorienterd reltivt z-xeln). idre ges fältet F v [( F = F r + r ) ( 2 sin2 θ sin 2ϕ ˆr + r cot θ + r ) 4 sin 2θ sin 2ϕ ê θ r ] sin θ sin2 ϕê ϕ. (33) F och är konstnter. 7
8 Lösning: trtegi: Bestäm kurvn C och rit en tydlig figur Undersök fältet F, singulriteter? Räkn ut F, singulriteter? lut kurvn C och bestäm ytn (oft fler möjligheter). Undvik singulriteter på ytn. Teckn tokes sts och beräkn de integrler som uppträder Kontroller en gång till tt delkurvorn och ytn hr konsistent riktningr. i följer lösningsstrtegin Bestäm kurvn C och rit en tydlig figur Formen på denn kurv tolks knske enklst i krtesisk koordinter x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ (34) z = r cos θ i börjr lltså med tt skriv om i krtesisk koordinter r 2 sin 2 θ ( 4 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = 4 2 (35) 4x 2 + y 2 = 4 2, (36) vilket är mntelytn till en elliptisk cylinder med hlvxlrn och 2. kärningen med z = plnet blir då en ellips i xy-plnet med mittpunkt i origo och med hlvxlrn och 2. Undersök fältet F, singulriteter? Räkn ut F, singulriteter? i skriver om fältet genom tt grupper termern enligt gemensm prefktor. edn noterr vi tt de två termern blir väldigt enkl om de uttrycks i vrsitt koordintsystem [( F = F r + r ) ( 2 sin2 θ sin 2ϕ ê r + r cot θ + r ) 4 sin 2θ sin 2ϕ ê θ r ] sin θ sin2 ϕê ϕ [ = F r sin θ (sin θê r + cos θê θ ) + r ] sin θ sin ϕ (sin θ cos ϕê r + cos θ cos ϕê θ sin ϕê ϕ ) ( = F ρ êρ + y ) ˆx. (37) Där vi lltså hr nvänt tt projektionen i xy-plnet är ρ = r sin θ och tt ê ρ = sin θê r + cos θê θ och ˆx = cos ϕê ρ sin ϕê ϕ. 8
9 Noter tt vi hr skrivit F = F 1 + F 2 där vi uttryckt de två termern i olik koordintsystem. Den först termen är uttryckt i ett cylindriskt koordintsystem och den ndr i ett krtesiskt. i konstterr nu tt F är singulär för ρ = (genom F 1 -termen). edn beräknr vi rottionen. Det är inget problem tt vi hr skrivit vektorn som summn v två termer eftersom ( F 1 + F 2 ) = F 1 + F 2. Kom br ihåg tt nvänd rätt uttryck för rottionsopertorn fär de olik koordintsystemen. F = (F ρ ê ρ + F xˆx) = + F xˆx = y ( F y ) ẑ = F ẑ. (38) i noterr tt denn ej beror på ρ och ej är singulär. Fktum är tt det vr gnsk uppenbrt tt den först termen skulle h noll rottion (skiss gärn fältlinjern). lut kurvn C och bestäm ytn (oft fler möjligheter). Undvik singulriteter på ytn. Kurvn C omsluter redn en yt, men singulriteten gör det svårt tt pplicer tokes sts. Noter tt det fktum tt singulriteten sitter längs hel z-xeln (en sk linjesingulritet) gör det omöjligt tt konstruer en yt utn singulritet med br C som rnd. Istället inför vi en inre rnd för tt kunn nvänd tokes sts. Omge z-xeln med en liten cirkel, C ɛ med rdien ɛ. Lägg märke till tt medn vi följer C i moturs riktning, så måste vi följ C ɛ i medurs riktning. Kommentr 1: Högerhndsregeln. tå på ytn med tummen upp i normlens riktning och titt på rnden. Fingrrn ger riktningen. Teckn tokes sts och beräkn de integrler som uppträder tokes sts ger oss tt F d r + F d r = C C ɛ F d, ɛ (39) där ɛ är en yt som hr C och C ɛ till rnd. Denn yt hr normlvektorn ẑ. I gränsen ɛ kommer ɛ. Ytintegrlen, i gränsen ɛ, blir då lim ɛ F d F = ɛ d = F π()(2) = 2πF. (4) För tt räkn ut integrlen över C ɛ prmetriserr vi kurvn med vinkeln ϕ. Eftersom vi skll gå moturs längs en cirkel med rdien ɛ inser vi tt 9
10 d r = ɛê ϕ dϕ så tt integrlen blir C ɛ F d r = Alltså följer det tt 2π = F 2π C F ( ρ êρ + y ˆx ) ( ê ϕ ) ɛdϕ ɛ sin ϕ sin ϕdϕ då ɛ. (41) F d r = F d r = 2πF. (42) C+C ɛ Kontroller en gång till tt delkurvorn och ytn hr konsistent riktningr. Det är även en god idé tt kontroller enheten som skll vr enheten på F gånger längd (eftersom vi utfört en kurvintegrl). Ytterligre räkneproblem Exempel: Ytintegrl med öppning Beräkn integrlen F d, (43) där F = F / (xˆx + yŷ) och är ytn 2 x 2 y 2 = z och z 2 med normlen snett uppåt (lltså positiv z-komponent). i kn då börj med tt beräkn F = 2F /. Eftersom divergensen hr ett så enkelt uttryck är det locknde tt nvänd Guss sts, men ytn är en kon med spetsen i z = 2 och öppningen nedåt; den är lltså inte en sluten yt. i kn dock slut den genom tt lägg till en cirkelskiv, ɛ i xy-plnet med rdien 2 och normlvektorn ẑ. På den slutn ytn + ɛ kn vi sedn tillämp Guss sts F d = + ɛ F d = 2F d. (44) olymen v konen är d = 1 3 π (2)2 2 = 8π3 3, (45) 1
11 och lltså blir integrlen F d 2F = + ɛ 8π 3 3 = 16πF 2. (46) 3 i kn nu seprt beräkn ɛ F d, (47) men här lägger vi märke till tt F sknr en z-komponent, så F ẑ =, och integrlen över ɛ blir också noll. lutligen hr vi lltså F d = 16πF 2. (48) 3 Exempel: kurvintegrl längs komplicerd ellips Kommentr 2: PLK Kp. 2.5 Uppg. 3: Beräkn integrlen F d r, (49) där Γ F = [ x 2 (y + z) ] ˆx + ( y 2 z ) ŷ + [ z 2 (x + y) ] ẑ, (5) och Γ är den kurv som utgör skärningen melln cylindern och sfären (x ) 2 + y 2 = 2, z, (51) x 2 + y 2 + z 2 = R 2, R > 2, (52) där är en konstnt med dimensionen längd. Lösning: i kn först konstter tt skärningen melln cylinder och sfär är en ellips vrs exkt form är något komplicerd tt fstställ. Eftersom kurvn Γ är en sluten kurv är det locknde tt nvänd tokes sts, så vi beräknr rottionen F ˆx ŷ ẑ = x y z x 2 (y + z) y 2 z z 2 (x + y) = ( + ) ˆx + ( + ) ŷ + ẑ = ẑ. (53) 11
12 Alltså är rottionen v F en rent vertikl vektor. i kn nu nvänd tokes sts F d r = F d. (54) Γ Lägg märke till tt ytn skll orienters så tt den följer högerhndsregeln. Dett betyder tt om vi följer kurvn Γ moturs så skll normlen ˆn till pek uppåt. F d = ẑ ˆnd = ẑ ˆnd. (55) klärprodukten i den sist integrlen betyder tt vi projicerr ner ren på ett pln vinkelrät mot ẑ, det vill säg på xy-plnet. I dett plnet är skärningen cylinderns tvärsnittsyt, en cirkel med rdien, och integrlen blir cirkelren π 2. Alltså blir integrlen till slut F d r = π 2 = π 3. (56) Γ Exempel: kurvintegrl för ett krftfält Kommentr 3: PLK Kp. 2.5, Uppg. 2: En prtikel påverks v krftfältet [( πy πz ) F = F + sin ˆx + x ŷ + πx πz ] cos ẑ. (57) ilket rbete uträttr fältet då prtikeln rör sig i positiv riktning kring den cirkel som ges v skärningen melln x 2 + y 2 + z 2 = 2 (58) och Lösning: x = z? (59) För tt få ut rbetet behöver vi beräkn integrlen F d. (6) C i börjr med tt bestämm skärningskurvn C. x 2 + y 2 + z 2 = 2 är en sfär med rdien och centrum i origo, medn x = z är ett pln med normlvektorn ˆn = 1 ( 1,, 1). (61) 2 12
13 kärningen melln de båd ytorn blir en cirkel med rdien. Den motsvrnde cirkelskivn hr också normlvektorn ˆn. Med det vl som vi hr gjort v normlvektorn, så gäller tokes sts om prtikeln rör sig moturs längs cirkeln. i beräknr nu rottionen ˆx ŷ ẑ F = F πy x = ˆx + F ( π + sin πz y x cos πz π tokes sts ger oss sedn F d r = F d = C vilket är svret. = 1 π 2 π 2 F = πx z cos πz cos πz ) ŷ + F ( 1 π ) 1 π ẑ = F ẑ. (62) 1 π 1 F ẑ ( 1,, 1) d = 1 π F 2 2 π (1 π) 2 F, (63) d Exempel: Ytintegrl hlvcylinder Kommentr 4: PLK Kp. 2.4, Uppg. 7: Låt vr ytn y 2 + z 2 = 1, 1 x 1, z med normlvektor riktd uppåt. Beräkn F d, (64) där F = ( x, x 2 yz 2, x 2 y 2 z ). Lösning: Ytn är en den övre hlvn v en cylinder med x-xeln som symmetrixel. För tt tillämp Guss sts behöver vi slut denn yt, vilket vi kn gör genom tt lägg till två hlvcirklr, 1 och 3 vid x = 1 och x = 1, smt en bottenyt, 2. Normlvektorn till dess ytor skll väljs som en kontinuerlig fortsättning v normlvektorn på. Dett innebär tt 1 och 3 får normlvektorern ˆx och ˆx, smt tt normlvektorn till 2 blir ẑ. i ser nu tt normlvektorn överllt pekr ut från den volym som innesluts v, 1, 2 och 3, vilket är vd som krävs för tt vi skll kunn nvänd Guss sts. 13
14 i kn nu beräkn divergensen F = x x + ( x 2 yz 2) + ( x 2 y 2 z ) = 1+x 2 z 2 +x 2 y 2 = 1+x 2 ρ 2, (65) y z där vi hr infört ρ 2 = y 2 + z 2. i inför lltså en form v cylindrisk koordinter som utgår från x-xeln istället för som vnligt från z-xeln. i kn nu beräkn volymsintegrlen F d = 1 d π x 2 ρ 2 dϕρdρdx. (66) Tänk här på tt vi br integrerr över en hlvcylinder, så tt integrtionsintervllet för ϕ går från till π. Den först integrlen är br hlvcylindersn volym, så nu får vi F d = 1 2 2π + π [ x 3 3 ] 1 1 [ ρ 4 4 ] 1 ( 1 = π + π ) = 7π 6. (67) i får nu t hnd om de enskild begränsningsytorn. F d = xd = d = π , (68) eftersom x = 1 på 1. På smm sätt får vi på 3 F d = xd = π 3 3 2, (69) då x = 1 på 3. lutligen så finner vi tt på 2 så är F d = 2 x 2 y 2 zd =, 2 (7) ty z = på 2. Om vi ställer smmn dess uträkningr hr vi F d + F d + F d + F d = F d, (71) och om vi här löser ut integrlen över smt sätter in värden för de enskild integrlern får vi F d = 7π 6 π 2 π 2 = π 6. (72) 14
15 Kommentr: För tt ytintegrlen skll vr definierd måste en yt vr orienterbr, det vill säg de skll gå tt kontinuerligt trnsporter normlvektorn från en del v ytn till en nnn. Det finns exempel på ytor som inte är orienterbr, till exempel Möbius-bnd, och för sådn ytor kn mn inte definier en ytintegrl. Exempel: Ytintegrl med koordintbyte Beräkn ytintegrlen ( 2ˆx + yŷ + z 2 ẑ ) d (73) över den slutn ytn : x 2 + y 2 + z 2 = 2z. Lösning: i börjr med tt studer ytn. Den kn skrivs om som Efter kvdrtkomplettering hr vi x 2 + y 2 + z 2 2z =. (74) x 2 + y 2 + (z ) 2 = 2. (75) Dett är en sfär med rdien och centrum i (,, ). Lägg märke till tt eftersom ytn redn är sluten, så råder det inte någon tvekn om hur normlvektorn är riktd. Konventionen säger oss tt normlvektorn för en sluten yt lltid pekr ut från den inneslutn volymen. I och med tt vi redn hr en sluten yt, så är det locknde tt nvänd Guss sts, och därför beräknr vi divergensen ( 2ˆx + yŷ + z 2 ẑ ) = + 2z. (76) Innn vi tr itu med volymsintegrlen byter vi z-koordinten till z = z, så tt sfären i de ny koordintern får sitt centrum i origo. I dess koordinter blir divergensen 3 + 2z. Enligt Guss sts blir vår ytintegrl nu ( 2ˆx + yŷ + z 2 ẑ ) d = (3 + 2z ) d. (77) i byter nu till sfärisk koordinter 2π π (3 + 2r cos θ) r 2 sin θdrdθdϕ = 2π = 2π [ 3r 2 cos θ + r 3 sin 2 θ ] π dr 6r 2 dr = 2π [ 2r 3] = 4π4, (78) 15
16 vilket är värdet på vår ursprunglig ytintegrl. 16
Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs merStokes sats och Integralberäkning Mats Persson
Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentmen Vektorfält och klssisk fysik (FFM34 och FFM3) Tid och plts: Måndgen den 3 oktober 07 klockn 4.00-8.00 i Mskinslrn. Lösningsskiss: Christin Forssén Dett är enbrt en skiss v den
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merLösningar till repetitionstentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till repetitionstentmen i EF för π3 oh F3 Lösning problem Från Poyntingvektorn (r, t = E(r, t H(r, t = A ẑ η 0 konstterr vi tt vågens utbredningsriktning ê är vilket leder till tt dess vågvektor
Läs merLösningar till tentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr
Läs mer1.1 Sfäriska koordinater
Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..
Läs merTentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 29 augusti, 2008, kl
Tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 9 ugusti, 8, kl. 14. 19., lokl: MA9A Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson, tel. 45 6 & Anders Krlsson tel.
Läs merLösningar till tentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till tentmen i EF för π och F Tid och plts: 7 jnuri, 4, kl. 8.., lokl: MA9, EF. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem Den totlt upplgrde elektrosttisk energin ges v W = i,j= i
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs mer1 Föreläsning IX, tillämpning av integral
Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF1) och F3 (ETE55) Tid och plts: 7 jnuri, 215, kl. 8. 13., lokl: MA9, E F. Kursnsvrig lärre: Anders Krlsson, tel. 222 4 89. Tillåtn hjälpmedel:
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merFFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - eckans tal Tobias Wenger och Christian Forssén, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 Uppgift 6.6 (Cederwalls kompendium) Beräkna normalytintegralen av a F 2 [
Läs merOm stationära flöden och Gauss sats i planet
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merLösningar till uppgifter i magnetostatik
Lösningr till uppgifter i mgnetosttik 16-1-14 Uppgift 1 Metodvl: Biot-Svrts lg ing symmetrier som kn nvänds. Biot-Svrts lg evluerd i origo r = är B = µ 4π dr r r = µ dr r 4π r Linjeelementet dr bestäms
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merTavelpresentation grupp 5E
Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri 2017 1 Multipelintegrler Frmställningen för definitionen
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merVektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merFEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler
MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merTyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
15825 93FY51 1 93FY51/ STN1 Elektromgnetism Tent 15825: svr och nvisningr Uppgift 1 Från Couloms lg och E F/q hr vi uttrycket: E 1 4πε ρl dl r Vi väljer cylindrisk koordinter och sätter r zẑ ˆR och dl
Läs merTATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning 1 Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 15 november 18 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer,
Läs merDagens ämnen. Repetition: kvadratiska former och andragradskurvor Andragradsytor System av differentialekvationer
Dgens ämnen Repetition: kvdrtisk former oh ndrgrdskurvor Andrgrdsytor System v differentilekvtioner Rng, signtur oh tekenkrktär Sts 9.1.11. Låt Q: E R, dim E = n vr en kvdrtisk form. Då gäller λ min u
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs mer16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga
Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merVektorer. Avsnitt 1. Ange lägesvektorerna för de två väteatomerna på formen: r = x ˆx + y ˆx
Avsnitt 1 Vektorer 1.1 Skissen nedn visr molekylgeometrin för H 2 O, där syretomen befinner sig i origo och vätetomern lägger symmetriskt kring x-xeln. Bindningslängden är = 96 pm och bindningsvinkeln
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merTenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:
Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten
Läs merLösningsförslag till fråga 5
Lösningsförslg till fråg 5 Smmnfttning Följnde lceringr för unktern, som frmgår v Tbell, är de bäst vi hr funnit. Utförligre beskrivningr v ders lägen följer i texten: Fråg ), n unkter i en kvdrt n Plcering
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merEn skarp version av Iliev-Sendovs hypotes
School of Mthemtics nd Systems Engineering Reports from MSI - Rpporter från MSI En skrp version v Iliev-Sendovs hypotes Elin Berggren Feb 009 MSI Report 09005 Växjö University ISSN 650-647 SE-35 95 VÄXJÖ
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merTentamen för FYSIK (TFYA68), samt ELEKTROMAGNETISM (TFYA48, 9FY321)
Tentmen för FYK (TFYA68), smt LKTROMAGNTM (TFYA48, 9FY31) 013-05-8 kl. 08.00-13.00 Tillåtn hjälpmedel: Physics Hndbook (Nordling, Östermn) - egn bokmärken ok, dock ej formler, nteckningr miniräknre - grfräknre
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs merByt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 3/6 2017
Tentmen i ETE115 Ellär och elektronik, 3/6 17 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. 1 8 V
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merLösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp
Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM34, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct, 08 Repetition: Singulära fält Punktkälla i origo. Fältet i punkten
Läs merÖvning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140
Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015
Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten
Läs merKroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs merTentamen i Mekanik D, TKYY , kl 14:00-19:00
Tenten i Meknik D, TKYY06 003-1-18, kl 14:00-19:00 Tenten är på 5 tir och består v 6 uppgifter v teoretisk och prktisk ntur. Vrje helt korrekt löst uppgift vrder 4 poäng, betyg ges endligt skl: 10-14 poäng
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merHF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER
DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Den trigonometrisk enhetscirkeln är en cirkel med rdie = och mittpunkt i origo B(0,) C(,0) O D(0,) I en rätvinklig tringel definierr vi
Läs merUPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION
OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055) Ti och plts: 3 jnuri, 017, kl. 14.00 19.00, lokl: Sprt B för F och E3139 för Pi. Kursnsvrig lärre: Aners Krlsson, tel. 40 89.
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs mer