Läsanvisningar till kapitel

Transkript

1 Läsnvisningr till kpitel Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt [, b] R vr ett kompkt intervll. En kurv i C är en kontinuerlig funktion : [, b] C. Anmärkning 1. Att är kontinuerlig betyder tt den är kontinuerlig på ], b[. Om är en kurv på ett intervll [, b] så säger vi tt är sluten om () = (b). Ett enkelt exempel på en sluten kurv är en cirkel. Vidre så säger vi tt en kurv är enkel om [,b[ är injektiv. Ett exempel på en enkel kurv är ll kurvor som inte skär sig själv. Kurvor som skär sig själv kn inte vr enkel, eftersom mn får problem med injektiviteten i skärningspunkten. Definition 4.2. En kurv : [, b] C klls en C 1 -kurv, C 1 ([, b]), om är en kontinuerligt deriverbr funktion. Definition 4.3. En kurv : [, b] C klls för en styckvis C 1 -kurv om det finns en ändlig prtition = 1 n = b så tt för vrje j =, 1,..., n 1 gäller tt [j, j+1 ] C 1 ([ j, j+1 ]). Anmärkning 2. Det är dett boken kllr för en kontur. Om vi definierr summn v två kurvor 1 : [, b] C och 2 : [b, c] C genom { 1 (t), t [, b] ( )(t) = 2 (t), t ]b, c] 1

2 så ser vi tt om : [, b] C är en styckvis C 1 -kurv, så är = [, 1 ] + + [n 1, n]. Kn mn lägg ihop kurvor så kn mn förstås dr ifrån kurvor, och en negtiv kurv är inget nnt än smm kurv fst åt motstt håll, dvs om : [, b] C är en kurv så definierr vi ( ): [, b] C genom ( )(t) = ( + b t) som genomlöper smm punkter fst i omvänd ordning. Något som är viktigt men väldigt enkelt och intuitivt är Jordns kurvsts som ger oss en orientering v kurvor. Jordns kurvsts säger tt en sluten, styckvis C 1 - kurv i C delr plnet i två områden, nämligen i det inre och det yttre. (Se bilden på sidn 159). Om det inre är till vänster då mn rör sig längs en kurv så säger vi tt kurvn är positivt orienterd, nnrs så är den negtivt orienterd. Slutligen så går boken igenom hur mn mäter längden v en kurv, som borde inte vr förvånnde för någon. Det är nämligen precis smm sk som ni hr lärt er under tidigre nlyskurser. Längden v en C 1 -kurv : [, b] C ges v l() = b (t) dt. En viktig egenskp hos längdfunktionen är tt den är oberoende v vl v prmetrisering v kurvn. (Längdfunktionen är lltså invrint definierd!) Låt oss vis dett. Proposition 4.4. Låt 1 : [, b] C vr en prmetrisering v en kurv, och låt ϕ: [c, d] [, b] vr en strikt växnde funktion så tt ϕ(c) = och ϕ(d) = b. Då är 2 (t) = 1 (ϕ(t)): [c, d] C en nnn prmetrisering v smm kurv som 1 och l( 1 ) = l( 2 ). Bevis. l( 2 ) = d c 2(t) dt = d c 1(ϕ(t))ϕ (t) dt enligt kedjeregeln. Eftersom ϕ är växnde så är ϕ (t) >, vilket ger tt l( 2 ) = d c 1(ϕ(t)) ϕ (t)dt. Gör nu vribelsubstitutionen s = ϕ(t), så ds = ϕ (t)dt. Då blir de ny integrtionsgränsern ϕ(c) = och ϕ(d) = b, så l( 2 ) = b 1(s) ds = l( 1 ). 2

3 4.2 Konturintegrler Integrtion definiers genom Riemnnsummor, dvs vi över- och undersummor. Dett är ni välbeknnt med, så jg sk inte plåg er med det. Däremot så sk jg dr en nnn definition v integrl. Låt f = u + iv vr en kontiunerlig funktion [, b] C, där u och v är kontinuerlig funktioner på [, b]. Vi definierr integrlen över [, b] genom b f(t)dt = b u(t)dt + i b Dett ligger i grund för definitionen v kurvintegrler: v(t)dt. Definition 4.5. Antg tt f : U C är en kontinuerlig funktion definierd på en öppen mängd U C. Låt : [, b] C vr en styckvis C 1 -kurv med ([, b]) U. Då definierr vi integrlen v f längs med genom f = n 1 f(z)dz = j= j+1 j f((t)) (t)dt där = 1 n = b är prtitionen v [, b] från definitionen v en styckvis C 1 -kurv. Anmärkning 3. Mn nvänder iblnd beteckningen för tt säg tt det är en kurvintegrl. Denn defintion visr sig vr vettig, eftersom den är oberoende v vl v prmetrisering v kurvn. Jg lämnr dett som en övningsuppgift (jämför Proposition 4.4). Exempel 1. Låt (t) = e it vr en kurv definierd på [, 2π]. Om i deriverr så får vi (t) = ie it. Då blir, enligt definition, zdz = 2π 2π e it ie it dt = i dt = 2πi. Nu till ett exempel som är väldigt viktigt, som speciellt kommer vr viktigt för oss senre. Exempel 2. Låt (t) = e it vr en kurv definierd på [, 2π]. Då är (t) = ie it, så 2π 2π z n dz = (e it ) n ie it dt = i e (n+1)it dt. 3

4 Vi får då två fll: Fll 1: (n 1) Då är [ ] e z n (n+1)it 2π dz = i = 1 ( e (n+1)i2π e ) ) =. (n + 1)i n + 1 Fll 2: (n = 1) Då är Alltså är 2π z n dz = i dt = 2πi. z n dz = {, n 1 2πi, n = 1.. Om = n är en styckvis C 1 -kurv, så definierr mn tt integrlen över tt vr smm sk som tt integrer över de olik delrn och lägg ihop delresultten, dvs f(z)dz = f(z)dz + + f(z)dz. 1 n Speciellt betyder dett tt om vi vill beräkn integrlen över en kurv som vi genomlöper n gånger, så blir f = n f, där n är kurvn som genomlöps n gånger. n Anmärkning 4. Om vi vill beräkn f så är dett smm sk som tt beräkn ( ) f. Två olikheter som är nvändbr lite då och då är fdz f dz och f(z) M för ll z så är f dz M. Vi sk nu nvänd dess olikheter för tt vis följnde välkänd sts: Sts 4.6. Låt f : U C, U C öppen, vr en kontinuerlig funktion, och låt vr en styckvis C 1 -kurv på [, b]. Antg tt det existerr en konstnt M så tt f(z) M för ll z på. Då gäller f(z)dz M l(). 4

5 Bevis. b f(z)dz = b f((t)) (t)dt f((t)) (t) dt = b f((t)) (t) dt så M b (t) dt = M l(), f(z)dz M l(). Följd 4.7. Låt f : U C vr en kontinuerlig funktion på den öppn U C, och låt vr en styckvis C 1 -kurv. Då gäller f(z)dz sup f(z) l(). z (t) Exempel 3. Låt oss vis tt e z dz z πe då är övre hlvn v enhetscirkeln. Vi sk nvänd oss v Sts 4.6. Vi börjr beräkn längden v : l() = π (t) dt = π ie it dt = π dt = π. Därefter så måste vi hitt en övre gräns för ez på. z på kn skrivs som z z = e it = cos t + i sin t, så e z z = e cos t+i sin t e it = ecos t e, 1 eftersom cos t 1. Så om vi sätter M = e så får vi tt e z z dz M l() = πe. 4.3 Oberoende v väg Dett vsnitt hr två höjdpunkter. Den först är en så gott som integrlklkylens huvudsts och den ndr säger tt vi kn integrer en funktion över vilken väg som helst, om den br hr smm strt och slutpunkt. Låt oss börj med den först. 5

6 Sts 4.8. Antg tt U C är en öppen mängd och tt : [, b] C är en styckvis C 1 -kurv så tt ([, b]) U. Om f O(U) så gäller tt f z dz = f((b)) f(()). z Bevis. Det är tillräckligt tt vis stsen för en del v kurvn, så vi ntr tt är en C 1 -kurv. Vi börjr med tt observer tt f : [, b] C är en C 1 -funktion. Låt f = u + iv. Då ger kedjeregeln tt (f ) (t) = f ((t)) (t) = u (t) + iv (t). Dett ger tt f z = z b f ((t)) (t)dt = b u (t)dt + i b v (t)dt = = u(b) u()+i(v(b) v()) = u(b)+iv(b) (u()+i(v()) = f((b)) f(()). Låt oss koll på ett lätt exempel på denn sts. Exempel 4. Låt vr enhetscirkeln e it, t 2π. Då är (t) = ie it. Om f(z) = z 2 så är f (z) = z. Låt oss koll på höger respektive vänsterledet i stsen: V L = f (z)dz = zdz = 2π 2π e it ie it dt = i e 2it dt = 1 2 [e2it ] 2π =. HL = f((2π)) f(()) = 1 2 (e2πi ) (e ) 2 =, så zdz =, men det visste vi redn. Följd 4.9. Antg tt U är ett område i C och ntg tt f O(U) med f (z) på U. Då är f konstnt på U. Bevis. Fizer z U. För z U så finns det en C 1 -kurv : [, 1] U så tt () = z och (1) = z (Vrför?). Då ger föregående sts tt f(z ) f(z) = f(()) f((1)) = f (z)dz = dz =, så f(z ) = f(z). Men eftersom z vr godtycklig så är f konstnt. Nu till näst huvudresultt. Sts 4.1. Antg tt U C är ett område och f är kontinuerlig på U. Då är följnde ekvivlent 6

7 1. f hr en primitiv funktion i U 2. f(z)dz = för ll slutn, enkl C1 -kurvor i U f(z)dz = 2 f(z)dz där 1, 2 är styckvis C 1 -kurvor med smm strtoch ändpunkt. Om ni kommer ihåg stsen om konservtiv vektorfält från någon flervribelkurs så är den nlog med stsen ovn, den säger nämligen Sts Antg tt U R n är ett område och F är ett kontinuerligt vektorfält på U. Då är följnde ekvivlent 1. F är konservtiv på U 2. F dr = för ll slutn, enkl C1 -kurvor i U F dr = 2 F dr där 1, 2 är styckvis C 1 -kurvor med smm strtoch ändpunkt. Denn sts om konservtiv vektorfält ingår förstås inte i kursen, utn jg tyckte det vore kul tt nlogin br. En sk som mn bör observer är tt Sts 4.1 gäller för kontinuerlig funktioner, så den gäller speciellt för holomorf funktioner. 4.4 Cuchys integrlsts Vi sk i dett vsnitt jobb med något som klls ett enkelt smmnhängnde område, som är så gott som en mängd utn hål. För dess områden så gäller Cuchys integrlsts, som säger tt integrlen v holomorf funktioner över, enkl, slutn C 1 -kurvor är noll. Låt oss jobb oss frm till denn viktig sts inom komplexnlysen. Definition Låt Ω C vr ett område, och låt : [, 1] Ω och 1 : [, 1] Ω vr kurvor. Antg tt () = 1 () = p och (1) = 1 (1) = q. Vi säger tt och 1 är homotop i Ω om det finns en kontinuerlig funktion H : [, 1] [, 1] Ω så tt 1. H(, t) = (t) 2. H(1, t) = 1 (t) 3. H(s, ) = p 4. H(s, 1) = q för ll s, t [, 1]. Funktionen H klls för en homotopi v och 1. 7

8 En homotopi är helt enkelt en kontinuelig deformering v till 1, dvs kurvn deformers på ett br sätt till kurvn 1. Definition Ett område Ω C där vrje sluten kurv är homotop med en punkt klls ett enkelt smmnhängnde område. För tt ni sk få en känsl för dess ny områden så rekommenderr jg tt ni gör följnde viktig övning: Försök rit exempel på öppn mängder som är smmnhängnde men inte enkelt smmnhängnde enkelt smmnhängnde men inte smmnhängnde både enkelt smmnhängnde och smmnhängnde vrken smmnhängnde eller enkelt smmnhängnde Nu undrr ni säkert vd som är så br med homotop kurvor. Svret på denn fråg är tt integrlen över homotop kurvor blir smm sk: Sts Låt Ω C vr ett område och, 1 vr slutn, enkl C 1 -kurvor som är homotop i Ω. Om f O(Ω) så är f(z)dz = f(z)dz. 1 Bevis. Länk smmn kurvorn och 1 med en enkel C 1 -kurv. Då är kurvn = + 1 en sluten, enkel, styckvis C 1 -kurv. (Rit en bild!). Eftersom f är holomorf så hr f en primitiv funktion på Ω, så = f = f + f f f = f f, 1 1 så f = 1 f. En omedelbr konsekvens v denn sts är Sts Cuchys integrlsts Låt Ω C vr ett enkelt smmnhängnde område och ntg tt är en sluten, enkel C 1 -kurv i Ω. Då gäller f(z)dz = för ll f O(Ω). 8

9 Bevis. Eftersom är homotop med en punkt {p} så gäller tt f = f =. {p} Exempel 5. Låt oss betrkt integrlen z =1 zn dz igen, fst den är gången med hjälp v Cuchys integrlsts. Vi vet tt {, n 1 z n dz = 2πi, n = 1 z =1 Låt oss koll på tre fll: Fll 1: (n ) Då är z n holomorf på C som är enkelt smmnhängnde, så z =1 zn dz =. Fll 2: (n = 1) Då är z n = 1 holomorf på C \ {} men hr ingen primitiv funktion på C \ {}, z så z =1 zn dz = 2πi. Fll 3: (n < 1) Då är z n holomorf på C \ {} och hr en primitiv funktion på C \ {}, så z =1 zn dz =. Exempel 6. Låt oss beräkn dz där är en cirkel med positiv orientering. Om z 1 ligger utnför så är holomorf i, så Cuchys integrlsts ger tt z dz z =. Antg nu tt ligger innnför. Deformer nu till en cirkel runt med rdie 1, dvs z = 1. Då får vi enligt homotopistsen tt dz z = dz z = 1 dζ = 2πi ζ z =1 ζ =1 enligt föregående exempel. Alltså är { dz, om Ext() z = 2πi, om Int(), där Int() är det inre v och Ext() är det yttre v. Det är speciellt viktigt med dett exempel för tt beräkn viss kurvintegrler. Exempel 7. Låt oss beräkn z =4 dz. Eftersom (z 2)(z 1) 1 (z 2)(z 1) = 1 z z 2 9

10 så blir z =4 dz (z 2)(z 1) = z =4 enligt exemplet ovn. dz (z 1) + z =4 dz (z 2) = 2πi + 2πi = 4πi, 4.5 Cuchys integrlformel och dess konsekvenser Cuchys integrlformel är knske den mest viktig stsen inom denn kurs. Den säger tt vi kn uttryck en holomorf funktion som en integrl v sig själv. Ett sådnt resultt finns inte inom den reell nlysen, som knske gör komplexnlysen så speciell. Här kommer en formulering och ett bevis. Sts Cuchys integrlformel Antg tt U C är öppen och tt f O(U). Låt z U och r > vr sådn tt B(z, r) U. Då gäller för vrje z B(z, r) tt f(z) = 1 2πi z z =r f(ζ) ζ z dζ. Anmärkning 5. Blnd inte ihop Cuchys integrlsts och Cuchys integrlformel. Bevis. Vi gör ett gmmlt trick inom mtemtiken: f(ζ) ζ z dζ = f(ζ) f(z) + f(z) dζ = ζ z z z =r = z z =r z z =r z z =r f(z) ζ z dζ + z z =r f(ζ) f(z) dζ. ζ z Eftersom z B(z, r) och eftersom f(z) inte är en funktion v ζ, så får vi tt f(z) 1 dζ = f(z) dζ = f(z)2πi. ζ z ζ z Alltså får vi tt z z =r z z =r f(ζ) dζ = f(z)2πi + ζ z z z =r f(ζ) f(z) dζ. ζ z Om vi visr tt f(ζ) f(z) z z dζ = så är vi klr. Deformer nu z z =r ζ z = r till en cirkel z z = ε. Kll den ny cirkeln för ε. Vi vill nu vis tt f(ζ) f(z) lim dζ =. ε + ε ζ z 1

11 Sätt M = sup t [,1] f( ε (t)) f(z). Då gäller tt f(ζ) f(z) dζ ε ζ z f(ζ) f(z) dζ M ε ζ z ε l( ε) = M2πiε ε Eftersom f O(U), så är den speciellt kontiunerlig, så lim M = och lim f(ζ) f(z) ε + ε dζ + ε ζ z =. Dett ger tt så stsen följer. f(ζ) f(z) lim dζ =, ε + ε ζ z = M2π. Dett gör det möjligt tt beräkn vis integrler ännu lättre, som följnde exempel visr. Exempel 8. Låt oss beräkn z 2 där är kurvn z + 1 = 2. Vi börjr med 4 z 2 tt skriv om integrnden: Funktionen f(z) = z2 2 z så z 2 4 z = 2 z 2 4 z 2 = z 2 (2 z)(2 + z). är holomorf innnför, så Cuchys integrlformel ger tt f( 2) = 1 f(z) 2πi z + 2 dz, f(z) dz = f( 2)2πi = ( 2)2 z + 2 2πi = 2πi. 2 ( 2) Utifrån dett exempel så ser vi vilken krft denn sts hr. Men kn även beräkn derivtor med hjälp v integrler. Dett brukr klls för Cuchys integrlformler för derivtor och hr utseendet: f (n) (z) = n! 2πi z z =r f(ζ) dζ. (ζ z) n+1 En slgs omvändning till Cuchys integrlsts är den så kllde Morers sts: Sts (Morers sts) Om f är kontinuerlig på ett område Ω C och om fdz = för ll slutn, enkl, styckvis C 1 -kurvor i Ω, då är f O(Ω). Bevis. Att f hr en primitiv funktion F vet vi enligt Sts 4.1. F är holomorf, så det följder tt F = f är holomorf, eftersom ll derivtorn v en holomorf funktion är holomorf. 11

12 4.6 Begänsningr för holomorf funktioner Dett vsnitt innehåller mång stser med nmn; Cuchyuppskttningr, Liouvilles sts, och mximumprincipen. (Avsnittet innehåller lgebrns fundmentlsts också, men den känner ni redn till). Sts (Cuchyuppskttningr) Låt f : U C vr holomorf på en öppen mängd U C. Låt p U och ntg tt B(p, r) U, r >. Sätt M = sup z B(p,r) f(z). Då gäller för k = 1, 2, 3,.... f (k) (p) Mk! r k Beviset är lätt och bygger br på Cuchys integrlformel för derivtor och uppskttningen för kurvintegrler med längden v kurvn och M. Låt oss gör ett exempel. Exempel 9. Låt f O(C) uppfyll tt f(z) e z 2 för ll z C. Vi sk vis tt f (4) () < 7. Cuchyuppskttningen ger tt f (4) () 4!M r 4, där M = sup z B(,r) f(z). Vi behöver br h ett r > så låt oss t r = 1. Dett ger tt f (4) () 4!e = 24e < 7. Liouvilles sts säger tt en begränsd hel funktion är konstnt, dvs det finns ing icke-konstnt holomorf funktioner på C som är begränsde. Sts (Liouvilles sts) En begränsd hel funktion är konstnt. Bevis. Antg tt f O(C) så tt f(z) C, för något C. Fixer ett p C, och låt r >. Använd Cuchyuppskttningen med k = 1: f (p) C1! r 1 = C r. Eftersom denn olikhet gäller för ll r > så måste f (p) =. Men eftersom p vr godtyckligt, så är f på C. Men då vet vi tt f måste vr konstnt. 12

13 Vd sk nu dett vr br för? Jo, mn t.ex. vis t om f är en hel ickekonstnt funktion så finns det för vrje z C en punkt z 1 C så tt f(z 1 ) > f(z ). (Försök tt vis dett).observer vidre tt mn nvänder Liouvilles sts för tt vis lgebrns fundmentlsts. Näst viktig resultt är mximumprincipen, i två olik versioner. För beviset v stsen så behöver vi tt holomorf funktioner hr en medelvärdesegenskrp: Om f O(Ω) och B(z, r) Ω så är f(z ) = 1 2π f(z + re iθ )dθ. 2π Sts 4.2. (Mximumprincipen (version 1)) Om Ω är ett område, f O(Ω) och f hr ett loklt mximum i Ω så måste f vr konstnt i Ω. Anmärkning 6. Ett loklt mximum betyder tt för ll p Ω så gäller tt f(p) f(z) för ll z Ω. Bevis. Låt oss först bevis resulttet i fllet v boll B(z, R). Antg tt B(z, R) är sådn tt f(z) = sup w B(z,R) f(w). Tg ett < r < R. Medelvärdesegenskpen för holomorf funktioner ger tt f(z) = 1 2π 2π f(z + re iθ )dθ 1 2π 2π = f(z) 2π 2π. Alltså hr vi likhet hel vägen, så speciellt hr vi tt så f(z + re iθ ) dθ 1 2π f(z) dθ = 2π 1 2π f(z + re iθ ) dθ = 1 2π f(z) dθ, 2π 2π = 2π ( f(z) f(z + re iθ ) )dθ. Eftersom f(z) f(z + re iθ ), så ger det tt f(z) f(z + re iθ ) = för ll θ. På grund v tt dett är snt för ll r < R så betyder det tt f är konstnt på B(z, R) och eftersom f är holomorf så betyder det tt f är konstnt. Låt oss nu vis stsen i fllet v ett område. Antg tt f ntr sitt mximum i z Ω, och ntg för en motsägelse tt f inte är konstnt på Ω. Då finns det en punkt w Ω så tt f(w) < f(z) (se ovn). Låt vr ett polygontåg melln z och w; () = z och (1) = w. Låt T = inf{t [, 1] : f((t)) < f(z) }. 13

14 Dett betyder tt f((t)) = f(z) om t [, T ], men det finns punkter t > T (godtyckligt när T ) där vi hr olikhet. Tg nu en boll B((T ), r) Ω. Föregående rgument ger tt f är konstnt på B((T ), r), vilket motsäger definitionen v T, så f måste vr konstnt, så f måste vr konstnt, eftersom f är holomorf. Sts (Mximumprincipen (version 2)) Om Ω är ett begränst område, f O(Ω) och f är kontinuerlig på Ω, så ntr f sitt mximum på Ω. Anmärkning 7. Det är denn sts som mn brukr nvänd, så kom ihåg denn. Exempel 1. Låt oss beräkn mximum för e z2 på enhetsdisken. Eftersom enhetsdisken är ett begränsd område och e z2 är holomorf på enhetsdisken, smt e z2 är kontinuerlig på B(, 1). Nu ger mximumprincipen tt e z2 ntr sitt mximum på z = 1. Sätt därefter z = e it. Då är e (eit ) 2 = e e2it = e cos 2t+i sin 2t = e cos 2t e, eftersom cos 2t 1. Dett mximum ntr den för z = ±1. 14