Läsanvisningar till kapitel

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Läsanvisningar till kapitel"

Transkript

1 Läsnvisningr till kpitel Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt [, b] R vr ett kompkt intervll. En kurv i C är en kontinuerlig funktion : [, b] C. Anmärkning 1. Att är kontinuerlig betyder tt den är kontinuerlig på ], b[. Om är en kurv på ett intervll [, b] så säger vi tt är sluten om () = (b). Ett enkelt exempel på en sluten kurv är en cirkel. Vidre så säger vi tt en kurv är enkel om [,b[ är injektiv. Ett exempel på en enkel kurv är ll kurvor som inte skär sig själv. Kurvor som skär sig själv kn inte vr enkel, eftersom mn får problem med injektiviteten i skärningspunkten. Definition 4.2. En kurv : [, b] C klls en C 1 -kurv, C 1 ([, b]), om är en kontinuerligt deriverbr funktion. Definition 4.3. En kurv : [, b] C klls för en styckvis C 1 -kurv om det finns en ändlig prtition = 1 n = b så tt för vrje j =, 1,..., n 1 gäller tt [j, j+1 ] C 1 ([ j, j+1 ]). Anmärkning 2. Det är dett boken kllr för en kontur. Om vi definierr summn v två kurvor 1 : [, b] C och 2 : [b, c] C genom { 1 (t), t [, b] ( )(t) = 2 (t), t ]b, c] 1

2 så ser vi tt om : [, b] C är en styckvis C 1 -kurv, så är = [, 1 ] + + [n 1, n]. Kn mn lägg ihop kurvor så kn mn förstås dr ifrån kurvor, och en negtiv kurv är inget nnt än smm kurv fst åt motstt håll, dvs om : [, b] C är en kurv så definierr vi ( ): [, b] C genom ( )(t) = ( + b t) som genomlöper smm punkter fst i omvänd ordning. Något som är viktigt men väldigt enkelt och intuitivt är Jordns kurvsts som ger oss en orientering v kurvor. Jordns kurvsts säger tt en sluten, styckvis C 1 - kurv i C delr plnet i två områden, nämligen i det inre och det yttre. (Se bilden på sidn 159). Om det inre är till vänster då mn rör sig längs en kurv så säger vi tt kurvn är positivt orienterd, nnrs så är den negtivt orienterd. Slutligen så går boken igenom hur mn mäter längden v en kurv, som borde inte vr förvånnde för någon. Det är nämligen precis smm sk som ni hr lärt er under tidigre nlyskurser. Längden v en C 1 -kurv : [, b] C ges v l() = b (t) dt. En viktig egenskp hos längdfunktionen är tt den är oberoende v vl v prmetrisering v kurvn. (Längdfunktionen är lltså invrint definierd!) Låt oss vis dett. Proposition 4.4. Låt 1 : [, b] C vr en prmetrisering v en kurv, och låt ϕ: [c, d] [, b] vr en strikt växnde funktion så tt ϕ(c) = och ϕ(d) = b. Då är 2 (t) = 1 (ϕ(t)): [c, d] C en nnn prmetrisering v smm kurv som 1 och l( 1 ) = l( 2 ). Bevis. l( 2 ) = d c 2(t) dt = d c 1(ϕ(t))ϕ (t) dt enligt kedjeregeln. Eftersom ϕ är växnde så är ϕ (t) >, vilket ger tt l( 2 ) = d c 1(ϕ(t)) ϕ (t)dt. Gör nu vribelsubstitutionen s = ϕ(t), så ds = ϕ (t)dt. Då blir de ny integrtionsgränsern ϕ(c) = och ϕ(d) = b, så l( 2 ) = b 1(s) ds = l( 1 ). 2

3 4.2 Konturintegrler Integrtion definiers genom Riemnnsummor, dvs vi över- och undersummor. Dett är ni välbeknnt med, så jg sk inte plåg er med det. Däremot så sk jg dr en nnn definition v integrl. Låt f = u + iv vr en kontiunerlig funktion [, b] C, där u och v är kontinuerlig funktioner på [, b]. Vi definierr integrlen över [, b] genom b f(t)dt = b u(t)dt + i b Dett ligger i grund för definitionen v kurvintegrler: v(t)dt. Definition 4.5. Antg tt f : U C är en kontinuerlig funktion definierd på en öppen mängd U C. Låt : [, b] C vr en styckvis C 1 -kurv med ([, b]) U. Då definierr vi integrlen v f längs med genom f = n 1 f(z)dz = j= j+1 j f((t)) (t)dt där = 1 n = b är prtitionen v [, b] från definitionen v en styckvis C 1 -kurv. Anmärkning 3. Mn nvänder iblnd beteckningen för tt säg tt det är en kurvintegrl. Denn defintion visr sig vr vettig, eftersom den är oberoende v vl v prmetrisering v kurvn. Jg lämnr dett som en övningsuppgift (jämför Proposition 4.4). Exempel 1. Låt (t) = e it vr en kurv definierd på [, 2π]. Om i deriverr så får vi (t) = ie it. Då blir, enligt definition, zdz = 2π 2π e it ie it dt = i dt = 2πi. Nu till ett exempel som är väldigt viktigt, som speciellt kommer vr viktigt för oss senre. Exempel 2. Låt (t) = e it vr en kurv definierd på [, 2π]. Då är (t) = ie it, så 2π 2π z n dz = (e it ) n ie it dt = i e (n+1)it dt. 3

4 Vi får då två fll: Fll 1: (n 1) Då är [ ] e z n (n+1)it 2π dz = i = 1 ( e (n+1)i2π e ) ) =. (n + 1)i n + 1 Fll 2: (n = 1) Då är Alltså är 2π z n dz = i dt = 2πi. z n dz = {, n 1 2πi, n = 1.. Om = n är en styckvis C 1 -kurv, så definierr mn tt integrlen över tt vr smm sk som tt integrer över de olik delrn och lägg ihop delresultten, dvs f(z)dz = f(z)dz + + f(z)dz. 1 n Speciellt betyder dett tt om vi vill beräkn integrlen över en kurv som vi genomlöper n gånger, så blir f = n f, där n är kurvn som genomlöps n gånger. n Anmärkning 4. Om vi vill beräkn f så är dett smm sk som tt beräkn ( ) f. Två olikheter som är nvändbr lite då och då är fdz f dz och f(z) M för ll z så är f dz M. Vi sk nu nvänd dess olikheter för tt vis följnde välkänd sts: Sts 4.6. Låt f : U C, U C öppen, vr en kontinuerlig funktion, och låt vr en styckvis C 1 -kurv på [, b]. Antg tt det existerr en konstnt M så tt f(z) M för ll z på. Då gäller f(z)dz M l(). 4

5 Bevis. b f(z)dz = b f((t)) (t)dt f((t)) (t) dt = b f((t)) (t) dt så M b (t) dt = M l(), f(z)dz M l(). Följd 4.7. Låt f : U C vr en kontinuerlig funktion på den öppn U C, och låt vr en styckvis C 1 -kurv. Då gäller f(z)dz sup f(z) l(). z (t) Exempel 3. Låt oss vis tt e z dz z πe då är övre hlvn v enhetscirkeln. Vi sk nvänd oss v Sts 4.6. Vi börjr beräkn längden v : l() = π (t) dt = π ie it dt = π dt = π. Därefter så måste vi hitt en övre gräns för ez på. z på kn skrivs som z z = e it = cos t + i sin t, så e z z = e cos t+i sin t e it = ecos t e, 1 eftersom cos t 1. Så om vi sätter M = e så får vi tt e z z dz M l() = πe. 4.3 Oberoende v väg Dett vsnitt hr två höjdpunkter. Den först är en så gott som integrlklkylens huvudsts och den ndr säger tt vi kn integrer en funktion över vilken väg som helst, om den br hr smm strt och slutpunkt. Låt oss börj med den först. 5

6 Sts 4.8. Antg tt U C är en öppen mängd och tt : [, b] C är en styckvis C 1 -kurv så tt ([, b]) U. Om f O(U) så gäller tt f z dz = f((b)) f(()). z Bevis. Det är tillräckligt tt vis stsen för en del v kurvn, så vi ntr tt är en C 1 -kurv. Vi börjr med tt observer tt f : [, b] C är en C 1 -funktion. Låt f = u + iv. Då ger kedjeregeln tt (f ) (t) = f ((t)) (t) = u (t) + iv (t). Dett ger tt f z = z b f ((t)) (t)dt = b u (t)dt + i b v (t)dt = = u(b) u()+i(v(b) v()) = u(b)+iv(b) (u()+i(v()) = f((b)) f(()). Låt oss koll på ett lätt exempel på denn sts. Exempel 4. Låt vr enhetscirkeln e it, t 2π. Då är (t) = ie it. Om f(z) = z 2 så är f (z) = z. Låt oss koll på höger respektive vänsterledet i stsen: V L = f (z)dz = zdz = 2π 2π e it ie it dt = i e 2it dt = 1 2 [e2it ] 2π =. HL = f((2π)) f(()) = 1 2 (e2πi ) (e ) 2 =, så zdz =, men det visste vi redn. Följd 4.9. Antg tt U är ett område i C och ntg tt f O(U) med f (z) på U. Då är f konstnt på U. Bevis. Fizer z U. För z U så finns det en C 1 -kurv : [, 1] U så tt () = z och (1) = z (Vrför?). Då ger föregående sts tt f(z ) f(z) = f(()) f((1)) = f (z)dz = dz =, så f(z ) = f(z). Men eftersom z vr godtycklig så är f konstnt. Nu till näst huvudresultt. Sts 4.1. Antg tt U C är ett område och f är kontinuerlig på U. Då är följnde ekvivlent 6

7 1. f hr en primitiv funktion i U 2. f(z)dz = för ll slutn, enkl C1 -kurvor i U f(z)dz = 2 f(z)dz där 1, 2 är styckvis C 1 -kurvor med smm strtoch ändpunkt. Om ni kommer ihåg stsen om konservtiv vektorfält från någon flervribelkurs så är den nlog med stsen ovn, den säger nämligen Sts Antg tt U R n är ett område och F är ett kontinuerligt vektorfält på U. Då är följnde ekvivlent 1. F är konservtiv på U 2. F dr = för ll slutn, enkl C1 -kurvor i U F dr = 2 F dr där 1, 2 är styckvis C 1 -kurvor med smm strtoch ändpunkt. Denn sts om konservtiv vektorfält ingår förstås inte i kursen, utn jg tyckte det vore kul tt nlogin br. En sk som mn bör observer är tt Sts 4.1 gäller för kontinuerlig funktioner, så den gäller speciellt för holomorf funktioner. 4.4 Cuchys integrlsts Vi sk i dett vsnitt jobb med något som klls ett enkelt smmnhängnde område, som är så gott som en mängd utn hål. För dess områden så gäller Cuchys integrlsts, som säger tt integrlen v holomorf funktioner över, enkl, slutn C 1 -kurvor är noll. Låt oss jobb oss frm till denn viktig sts inom komplexnlysen. Definition Låt Ω C vr ett område, och låt : [, 1] Ω och 1 : [, 1] Ω vr kurvor. Antg tt () = 1 () = p och (1) = 1 (1) = q. Vi säger tt och 1 är homotop i Ω om det finns en kontinuerlig funktion H : [, 1] [, 1] Ω så tt 1. H(, t) = (t) 2. H(1, t) = 1 (t) 3. H(s, ) = p 4. H(s, 1) = q för ll s, t [, 1]. Funktionen H klls för en homotopi v och 1. 7

8 En homotopi är helt enkelt en kontinuelig deformering v till 1, dvs kurvn deformers på ett br sätt till kurvn 1. Definition Ett område Ω C där vrje sluten kurv är homotop med en punkt klls ett enkelt smmnhängnde område. För tt ni sk få en känsl för dess ny områden så rekommenderr jg tt ni gör följnde viktig övning: Försök rit exempel på öppn mängder som är smmnhängnde men inte enkelt smmnhängnde enkelt smmnhängnde men inte smmnhängnde både enkelt smmnhängnde och smmnhängnde vrken smmnhängnde eller enkelt smmnhängnde Nu undrr ni säkert vd som är så br med homotop kurvor. Svret på denn fråg är tt integrlen över homotop kurvor blir smm sk: Sts Låt Ω C vr ett område och, 1 vr slutn, enkl C 1 -kurvor som är homotop i Ω. Om f O(Ω) så är f(z)dz = f(z)dz. 1 Bevis. Länk smmn kurvorn och 1 med en enkel C 1 -kurv. Då är kurvn = + 1 en sluten, enkel, styckvis C 1 -kurv. (Rit en bild!). Eftersom f är holomorf så hr f en primitiv funktion på Ω, så = f = f + f f f = f f, 1 1 så f = 1 f. En omedelbr konsekvens v denn sts är Sts Cuchys integrlsts Låt Ω C vr ett enkelt smmnhängnde område och ntg tt är en sluten, enkel C 1 -kurv i Ω. Då gäller f(z)dz = för ll f O(Ω). 8

9 Bevis. Eftersom är homotop med en punkt {p} så gäller tt f = f =. {p} Exempel 5. Låt oss betrkt integrlen z =1 zn dz igen, fst den är gången med hjälp v Cuchys integrlsts. Vi vet tt {, n 1 z n dz = 2πi, n = 1 z =1 Låt oss koll på tre fll: Fll 1: (n ) Då är z n holomorf på C som är enkelt smmnhängnde, så z =1 zn dz =. Fll 2: (n = 1) Då är z n = 1 holomorf på C \ {} men hr ingen primitiv funktion på C \ {}, z så z =1 zn dz = 2πi. Fll 3: (n < 1) Då är z n holomorf på C \ {} och hr en primitiv funktion på C \ {}, så z =1 zn dz =. Exempel 6. Låt oss beräkn dz där är en cirkel med positiv orientering. Om z 1 ligger utnför så är holomorf i, så Cuchys integrlsts ger tt z dz z =. Antg nu tt ligger innnför. Deformer nu till en cirkel runt med rdie 1, dvs z = 1. Då får vi enligt homotopistsen tt dz z = dz z = 1 dζ = 2πi ζ z =1 ζ =1 enligt föregående exempel. Alltså är { dz, om Ext() z = 2πi, om Int(), där Int() är det inre v och Ext() är det yttre v. Det är speciellt viktigt med dett exempel för tt beräkn viss kurvintegrler. Exempel 7. Låt oss beräkn z =4 dz. Eftersom (z 2)(z 1) 1 (z 2)(z 1) = 1 z z 2 9

10 så blir z =4 dz (z 2)(z 1) = z =4 enligt exemplet ovn. dz (z 1) + z =4 dz (z 2) = 2πi + 2πi = 4πi, 4.5 Cuchys integrlformel och dess konsekvenser Cuchys integrlformel är knske den mest viktig stsen inom denn kurs. Den säger tt vi kn uttryck en holomorf funktion som en integrl v sig själv. Ett sådnt resultt finns inte inom den reell nlysen, som knske gör komplexnlysen så speciell. Här kommer en formulering och ett bevis. Sts Cuchys integrlformel Antg tt U C är öppen och tt f O(U). Låt z U och r > vr sådn tt B(z, r) U. Då gäller för vrje z B(z, r) tt f(z) = 1 2πi z z =r f(ζ) ζ z dζ. Anmärkning 5. Blnd inte ihop Cuchys integrlsts och Cuchys integrlformel. Bevis. Vi gör ett gmmlt trick inom mtemtiken: f(ζ) ζ z dζ = f(ζ) f(z) + f(z) dζ = ζ z z z =r = z z =r z z =r z z =r f(z) ζ z dζ + z z =r f(ζ) f(z) dζ. ζ z Eftersom z B(z, r) och eftersom f(z) inte är en funktion v ζ, så får vi tt f(z) 1 dζ = f(z) dζ = f(z)2πi. ζ z ζ z Alltså får vi tt z z =r z z =r f(ζ) dζ = f(z)2πi + ζ z z z =r f(ζ) f(z) dζ. ζ z Om vi visr tt f(ζ) f(z) z z dζ = så är vi klr. Deformer nu z z =r ζ z = r till en cirkel z z = ε. Kll den ny cirkeln för ε. Vi vill nu vis tt f(ζ) f(z) lim dζ =. ε + ε ζ z 1

11 Sätt M = sup t [,1] f( ε (t)) f(z). Då gäller tt f(ζ) f(z) dζ ε ζ z f(ζ) f(z) dζ M ε ζ z ε l( ε) = M2πiε ε Eftersom f O(U), så är den speciellt kontiunerlig, så lim M = och lim f(ζ) f(z) ε + ε dζ + ε ζ z =. Dett ger tt så stsen följer. f(ζ) f(z) lim dζ =, ε + ε ζ z = M2π. Dett gör det möjligt tt beräkn vis integrler ännu lättre, som följnde exempel visr. Exempel 8. Låt oss beräkn z 2 där är kurvn z + 1 = 2. Vi börjr med 4 z 2 tt skriv om integrnden: Funktionen f(z) = z2 2 z så z 2 4 z = 2 z 2 4 z 2 = z 2 (2 z)(2 + z). är holomorf innnför, så Cuchys integrlformel ger tt f( 2) = 1 f(z) 2πi z + 2 dz, f(z) dz = f( 2)2πi = ( 2)2 z + 2 2πi = 2πi. 2 ( 2) Utifrån dett exempel så ser vi vilken krft denn sts hr. Men kn även beräkn derivtor med hjälp v integrler. Dett brukr klls för Cuchys integrlformler för derivtor och hr utseendet: f (n) (z) = n! 2πi z z =r f(ζ) dζ. (ζ z) n+1 En slgs omvändning till Cuchys integrlsts är den så kllde Morers sts: Sts (Morers sts) Om f är kontinuerlig på ett område Ω C och om fdz = för ll slutn, enkl, styckvis C 1 -kurvor i Ω, då är f O(Ω). Bevis. Att f hr en primitiv funktion F vet vi enligt Sts 4.1. F är holomorf, så det följder tt F = f är holomorf, eftersom ll derivtorn v en holomorf funktion är holomorf. 11

12 4.6 Begänsningr för holomorf funktioner Dett vsnitt innehåller mång stser med nmn; Cuchyuppskttningr, Liouvilles sts, och mximumprincipen. (Avsnittet innehåller lgebrns fundmentlsts också, men den känner ni redn till). Sts (Cuchyuppskttningr) Låt f : U C vr holomorf på en öppen mängd U C. Låt p U och ntg tt B(p, r) U, r >. Sätt M = sup z B(p,r) f(z). Då gäller för k = 1, 2, 3,.... f (k) (p) Mk! r k Beviset är lätt och bygger br på Cuchys integrlformel för derivtor och uppskttningen för kurvintegrler med längden v kurvn och M. Låt oss gör ett exempel. Exempel 9. Låt f O(C) uppfyll tt f(z) e z 2 för ll z C. Vi sk vis tt f (4) () < 7. Cuchyuppskttningen ger tt f (4) () 4!M r 4, där M = sup z B(,r) f(z). Vi behöver br h ett r > så låt oss t r = 1. Dett ger tt f (4) () 4!e = 24e < 7. Liouvilles sts säger tt en begränsd hel funktion är konstnt, dvs det finns ing icke-konstnt holomorf funktioner på C som är begränsde. Sts (Liouvilles sts) En begränsd hel funktion är konstnt. Bevis. Antg tt f O(C) så tt f(z) C, för något C. Fixer ett p C, och låt r >. Använd Cuchyuppskttningen med k = 1: f (p) C1! r 1 = C r. Eftersom denn olikhet gäller för ll r > så måste f (p) =. Men eftersom p vr godtyckligt, så är f på C. Men då vet vi tt f måste vr konstnt. 12

13 Vd sk nu dett vr br för? Jo, mn t.ex. vis t om f är en hel ickekonstnt funktion så finns det för vrje z C en punkt z 1 C så tt f(z 1 ) > f(z ). (Försök tt vis dett).observer vidre tt mn nvänder Liouvilles sts för tt vis lgebrns fundmentlsts. Näst viktig resultt är mximumprincipen, i två olik versioner. För beviset v stsen så behöver vi tt holomorf funktioner hr en medelvärdesegenskrp: Om f O(Ω) och B(z, r) Ω så är f(z ) = 1 2π f(z + re iθ )dθ. 2π Sts 4.2. (Mximumprincipen (version 1)) Om Ω är ett område, f O(Ω) och f hr ett loklt mximum i Ω så måste f vr konstnt i Ω. Anmärkning 6. Ett loklt mximum betyder tt för ll p Ω så gäller tt f(p) f(z) för ll z Ω. Bevis. Låt oss först bevis resulttet i fllet v boll B(z, R). Antg tt B(z, R) är sådn tt f(z) = sup w B(z,R) f(w). Tg ett < r < R. Medelvärdesegenskpen för holomorf funktioner ger tt f(z) = 1 2π 2π f(z + re iθ )dθ 1 2π 2π = f(z) 2π 2π. Alltså hr vi likhet hel vägen, så speciellt hr vi tt så f(z + re iθ ) dθ 1 2π f(z) dθ = 2π 1 2π f(z + re iθ ) dθ = 1 2π f(z) dθ, 2π 2π = 2π ( f(z) f(z + re iθ ) )dθ. Eftersom f(z) f(z + re iθ ), så ger det tt f(z) f(z + re iθ ) = för ll θ. På grund v tt dett är snt för ll r < R så betyder det tt f är konstnt på B(z, R) och eftersom f är holomorf så betyder det tt f är konstnt. Låt oss nu vis stsen i fllet v ett område. Antg tt f ntr sitt mximum i z Ω, och ntg för en motsägelse tt f inte är konstnt på Ω. Då finns det en punkt w Ω så tt f(w) < f(z) (se ovn). Låt vr ett polygontåg melln z och w; () = z och (1) = w. Låt T = inf{t [, 1] : f((t)) < f(z) }. 13

14 Dett betyder tt f((t)) = f(z) om t [, T ], men det finns punkter t > T (godtyckligt när T ) där vi hr olikhet. Tg nu en boll B((T ), r) Ω. Föregående rgument ger tt f är konstnt på B((T ), r), vilket motsäger definitionen v T, så f måste vr konstnt, så f måste vr konstnt, eftersom f är holomorf. Sts (Mximumprincipen (version 2)) Om Ω är ett begränst område, f O(Ω) och f är kontinuerlig på Ω, så ntr f sitt mximum på Ω. Anmärkning 7. Det är denn sts som mn brukr nvänd, så kom ihåg denn. Exempel 1. Låt oss beräkn mximum för e z2 på enhetsdisken. Eftersom enhetsdisken är ett begränsd område och e z2 är holomorf på enhetsdisken, smt e z2 är kontinuerlig på B(, 1). Nu ger mximumprincipen tt e z2 ntr sitt mximum på z = 1. Sätt därefter z = e it. Då är e (eit ) 2 = e e2it = e cos 2t+i sin 2t = e cos 2t e, eftersom cos 2t 1. Dett mximum ntr den för z = ±1. 14

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 7.1 7.4 7.1 Invarians av Laplaceekvationen Om f O(Ω), Ω C ett område, är bijektiv med holomorf invers så säger vi att f är biholomorf. Detta avsnitt handlar om att harmoniska

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer

Föreläsning 8: Extrempunkter

Föreläsning 8: Extrempunkter Krlstds universitet Mtemtik Nicls Bernhoff Repetition: Bestämd integrl: Räkneregler: Föreläsning 8: Extrempunkter f(x)dx = [F(x)] b =F(b) F(), där F (x) = f(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. f(x)dx=0 f(x)dx= kf(x)dx=k

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr

Läs mer

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015. FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Laboration i matematik Envariabelanalys 2

Laboration i matematik Envariabelanalys 2 Lbortion i mtemtik Envribelnlys Per-Anders Boo Institutionen för mtemtik och mtemtisk sttistik Umeå universitet Jnuri Regler och llmän informtion om lbortionen I denn lbortion finns uppgifter som skll

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING. Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

f(x 1, x 2 ) = ( b 1 e x1+t1x2) 2

f(x 1, x 2 ) = ( b 1 e x1+t1x2) 2 9 Numerisk optimering Först lite terminologi: Optimering hndlr om tt hitt minst (eller störst värde v en funktion v en eller fler vribler. e rutiner som finns minimerr normlt en funktion, f(. Vill mn hitt

Läs mer

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys Mtemticentrum Mtemti NF ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Mtemtis Anlys en vribel Toms Clesson och Per-Anders Ivert Generliserde integrler och summor. Generliserde integrler över obegränsde intervll

Läs mer

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s. Dg. Remsummor och tegrler Rekommederde uppgfter 5.. Del upp tervllet [, 3] lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området uder = +, över =, smt mell = och = 3. V

Läs mer

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5 Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer