v p ORTOGONALT KOMPLEMENT TILL ETT UNDERRUM

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "v p ORTOGONALT KOMPLEMENT TILL ETT UNDERRUM"

Ulf Sundqvist
för 5 år sedan
Visningar:

1 OROGONL KOMPLEMEN ILL E UNDERRUM Definiion 7 Lå ara e underrum i R n De orogonala omlemene ill är mängden a de eorer i R n om är orogonala mo alla eorer i : n { R : för alla i } n Sa : Om an å är en eor R orogonal mo alla eorer i om och enda om är orogonal mo alla n Bei: na a R är orogonal mo alla d och Då är c c c och därmed c c c Koneenen: De orogonala omlemene ill underrumme an an i beämma genom a löa eme nmärning För a mina beräning an i a bor beroende eorer bland d urca an u u u där u u u är linjär oberoende och därmed en ba ill Ugif a Beäm om an b Beäm en ba ill De är uenbar a en ba ill beår a u och u allå är Sida a 7

2 an Lå Vi löer eme u u d en fri ariabel / / Därmed är / } / { an R och därmed är / en ba ill Sar a / an b En ba ill är / Ugif a Beäm om an 6 b Beäm en ba ill Vi öer eorer om är inelräa mo : baeorer och 6 Sida a 7

3 Vi a beämma alla om är orogonala mo : baeorer och 6 Vi löer eme å ledande ariabler: och llå är } { an R Därmed bildar eorerna om är uenbar oberoende en ba i Sar: a an b En ba ill är Ugif Lå Sida a 7

4 Beäm a Im b Im och c Ker a Med elemenära radoeraioner får i ~ ~ om imlicerar a den redje olonnen beror a de föra å Därmed Im an b Vi löer eme b en fri ariabel Därmed Im an c För För a beämma Ker löer i eme d eialen med oanående b Hära och därmed Ker an Im Sar: a Im an Sida a 7

5 b Im an c Ker an Im nmärning: De är uenbar a för arje mari gäller Ker Im EGENSKPER: a De orogonala omlemene är e underrum ill R n b Enda nolleorn ligger i både och d { } c dim dim n d Ugif Beia oanående egenaer a d Löning Vi beiar a och d a ligger i eferom för alla i Om u och ligger i då ligger ocå dera umma u i eferom u u för arje i Om u ligger i då ligger ocå λ u i eferom λ u λ u för arje i och iar a är e underrum ill R n b Lå ara en eor om ligger i både och orogonal mo alla eorer i Därför är orogonal mo ig jäl llå d om är eialen med VSB c na a dim och a bildar en ba ill Då är lia med löningmängden ill eme eller där beecnar marirodu mellan och Varje eor om ligger i är Seme an ria å formen där Sida a 7

6 Eferom rader i är lin oberoende eorer de bildar baen i å är rang dim Enlig dimenionaen är rang dimkern Eferom Ker har i dim dim n VSB d En godclig eor i är orogonal mo alla eorer i enlig definiionen a och därför ligger eorn i Därmed är e underrum ill eller lia med Enlig egenaen c gäller följande: dim dim n dim n- dim * Om i illämar c å har i dim dim n dim n- dim ** * och ** ger dim dim *** om illamman a e underrum ill eller lia med iar a är fai lia med VSB Ugif Viig Lå ara en m n mari Beia a Im Ker Lå n beecnar olonner i Noera a Im an n Den orogonala omlemene beämmer i genom a löa eme där n n Vi an ba beecning i arje eaion från alärroduen ill mariroduen i och ange eme å mariform d ar löningar bildar Ker n llå är Im Ker VSB Eemel Vi an illurera oanående åående med e eemel Sida 6 a 7

7 Lå Beäm Im Lå beecnar olonner i Noera a Im an Den orogonala omlemene beämmer i genom a löa där d * Vi er a olonner i ger radeaioner i eme å a eme an ria om d om i iade oan Med andra ord er i i dea eemel a Im Ker Om i löer eme * eemeli med Gaumeoden får i Im an Ker Sida 7 a 7

Relevanta dokument

UNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1.

UNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjär hölje Definiion. (LINJÄR KOMBINATION Lå V ara e ekorrm. En ekor w är linjär kombinaion a,,, nn om de finn kalärer (al,,, nn å a ww nn nn Eempel.