5.1.1 z-transform av impuls δ[n] Låt oss se på z-transformen för en impuls [ n]

Transkript

1 5 Sigaler och em i -lae Vi har hiill e å igaler och em i idoch revelae och de egeaer vi har ommi ram ill viar aleraiva ä a beriva och aalera igaler och em. Dea meoder har doc ie via ig eciell avädbara ör a ge våra em öade egeaer, ör a dimeioera em. De eda vi har e å iom dea område är hur vi via ouriererie och iver DFT a eiera igaler. Vi ommer u a övergå ill a udera igaler och em i -lae. Äve dea la är mce avädbar ör a aalera igaler och em me vi all i dea la äve hia ä a realiera em med öade egeaer. Vi ommer då vi er å emrealierig a e å ela digiala iler me meodera är ie begräade ill dea ua vi a ju ha adra äl ä ilrerig ill a vilja aa em med eciicerade egeaer i idoch revela. Vi ileder med a deiiera -raorme och de iver, dv raorme rå id- ill - la och illbaa ige, vi uderar raorme egeaer ör a eda övergå ill a e å vile a vi a ha av de. 5. -raorm Vi all u deiiera de om alla -raorme. Dea deiiio a äa oruerad och ö me vi har rihe a deiiera vad vi vill. Om de är avädbar ill ågo är e aa råga. Vi all doc eare e a vår deiiio har lara oligar ill våra idigare idoch revela och vi all deuom e a vi a ha or a av -raorme. om Vi deiierar -raorme av e iddire eve [ ] [ ] Fuioe är bilaeral, dv de ummerar över alla amel, < <. De i ocå e uilaeral deiiio av -raorme där vi ummerar amle i iervalle < <. I raie elar de oa ige roll vile deiiio vi väljer eerom vi ormal har igaler om är oll ör egaiva ider, i alla all iar vi oa bara å igale rå och med ide oll ( ) och deiierar då igale om om de började vid dea idu. Ser vi i älle å iddirea em å räver aualiee a imulvare är oll () ör egaiva ider. Lägg märe ill a i -raorme är e oiuerlig variabel varör vi aväder valiga areeer ör argumee ill. är deuom i de lea all e omle variabel. Vad iebär u dea raorm? ur all vi ola de och äu viigare vad a vi aväda de ill? Lå o e å ågra eemel raorm av imul δ[] Lå o e å -raorme ör e imul [ ] δ [ ] δ. Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.

2 -raorme blir allå e reell oa raorm av eg ördröjd imul δ[- ] Vad häder då om vi ördröjer imule eg, dv ör δ [ ]? δ [ ] dv ördröjig av imule eg i idlae movara av muliliaio av imule -raorm med i -lae. Dea är om vi oaerar eda e allmä egea om gäller ör alla igaler raorm av eheeg u[] Lå o e å -raorme ör e eheeg u [ ] imuler u [] δ [] δ [ ] δ [ ] δ [ 3] L δ [ ]. Vi a beriva ege om e erie av -raorme a vi å via ueroiio av -raorme ör var och e av imulera, dv U 3 L ( ) { Geomeri erie} raorme egeaer -raorme har amma egeaer om vi idigare har e ho ouriererie och ourierraorm am DFT. Lijarie [ ] B [ ] A B A Tidi [ ] Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.

3 dv idi eg medör i -lae muliliaio med aor Falig [] h h[] [] [] [][] h[] dv alig i idlae erä av muliliaio i - lae, Figur 5., vile är e mce viig egea om vi ommer a ha or a av. odulaio [] [] () () Y()() () Figur 5. I- och uigal i idoch -la dv muliliaio i idlae movara av alig i -lae raorm av e igal Vi åg idigare a ördröjig i idlae a beriva med muliliaio med aor i -lae, dv [ ] [ ] Vi åg ocå a vi har lijarie å a vi a aväda ueroiio. ar vi allå e igal om e beriv av urce [ ] δ [ ],3δ [ ],7δ [ 5] å a vi å igale -raorm geom a behadla de eilda alade imulera var ör ig och ummera reulae, dv [] δ, 3δ, 7δ och vi år [ ] [ 5], 3, 7 5 5,3,7 Eemel Bilaga 5. Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.3

4 5..6 -raorm av e imulvar E igal och e imulvar a beriva å reci amma ä i idlae. Ovaåede igalurc ulle allå lia gära ua vara e em imulvar h [ ] δ [ ],3δ [ ],7δ [ 5] vile då ger eme överöriguio i -lae 5,3,7 Vi all eare e a vi ommer a uja överöriguioe oler och ollälle ör a aalera och dimeioera em, vi åerommer ill vad vi mear med oler och ollälle. För a uja överöriguioe oler och ollälle å bör vi riva urce å e orm om uderläar beämmade av dea oler och ollälle och dea orm år vi om vi river urce å gemeam brårec och er ill a de bara iehåller reella ermer och ermer iehållade oiiva eoeer av. Dea ulle i ovaåede urc ge 5 4,3,7,3, 7 5,3,7 5 5 är vi vill övergå rå urc i -lae ill urc i idlae, dv övergå ill diereevaio eller imulvar å är de doc i de lea all läa a bara ha reella ermer och ermer med egaiva oeer av varör vi bör ua haera båda riväe. ar vi u e reuriv imulvar e h [ ] δ [ ],7δ [ ],4h [ ] å år vi -raorme,7,4 om ger överöriguioe i -lae δ[] h[] h[] () () Figur 5. Imulvar i idoch -la,7,4,7,4 (,7),4 Eemel Bilaga E diereevaio -raorm ar vi diereevaioe ör e em, e Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.4

5 [ ] [ ],8 [ ],3 [ ] å år vi ör dea em elig amma reoemag -lae Y, 8, 3 [, 8, 3 ] om då ger överöriguioe i -lae Y,8,8,3, 3 Är diereevaioe reuriv [ ] [ ],7 [ ],4 [ ] å år vi å amma ä i -lae överöriguioe Y,7,7,4, 4 Vi er a e em imulvar och diereevaio båda ger eme överöriguio i -lae, dv amma a, doc ger de oädliga imulvare ör e reuriv em i de lea all ige lue oma överöriguio vile vi däremo år rå diereevaioe. Eemel Bilaga 5.3 De öra oe av om igår i urce bruar alla eme gradal, om iblad age om. Ovaåede överöriguio har allå gradale e, Falig via -raorm Vi ämde idigare a alig i idlae movara av muliliaio i -lae, Figur 5.3. Dea iebär a vi a beämma e em uigal ör e give iigal aige geom a ala iigale [ ] med eme imulvar h [] i idlae eller ocå a vi överäa iigal och imulvar eller diereevaio ill - lae. Imulvare eller dierevaioe ger då överöriguioe i -lae. Vi mulilicerar eda iho iigale i -lae med eme överöriguio ör a å uigale i -lae Y Figur 5.3 Falig i idla och via -la Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.5

6 Vi överäer eda uigale Y illbaa ill idlae. ur går vi då illbaa ill idlae? Vi år e å meoder ör a aa dea ivera -raorm. Eemel Bilaga Iver -raorm Vi har allå e urc i -lae om vi öar åeröra ill idlae. 5.. Dire åerraorm av -urce Är urce av orme Y, dv om vi a urca de om e erie av reella ermer och eoeer av (i de auala alle måe eoeera vara egaiva) å a vi väda å de meod om vi aväde ör a ola imulvare och ola reella ermer i -lae om ice-ördröjda, alade imuler och -ermer om idiade och alade imuler. Vi år allå här [ ],8δ [ ].5δ [ ].86δ [ ] Eemel Bilaga Åerraorm via abell Ela urc i -lae a ola med hjäl av Tabell 5. i i dea aiel. I måga all hiar vi i abelle ie urc om ämmer ea me de a då oa ola om vi iör e alaor eller e ördröjig (idi) i urce. Iblad a vi ocå via arialbråudelig å e umma av ela urc om vi a ola med hjäl av abelle. Eemel Bilaga Åerraorm via diviio ar vi e urc i -lae i orm av e brå, å a vi å idurce via diviio öljd av dire olig. ar vi e e överöriguio,7,4 å ileder vi med a dela äljare med ämare och år,7,4 3 4,7 :,4,,44,76,74 K Dea urc a vi eda åeröra ill idlae via amma direa olig om ova. Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.6

7 [ ], δ [ ],44δ [ ],76δ [ 3],74δ [ ] K h[ ] δ 4 I de lea all går diviioe ie jäm u och reulae ommer a orgå i i oädlighee, dv vi har e oädlig imulvar. I de här ela alle ulle vi i älle ha ua aväda Tabell 5. ör a å idurce, dv imulvare om blir h [],4 u[],7,4 u[ ] Iäig av olia värde å viar a vi om väa år amma a med de vå meodera. Eemel Bilaga Åerraorm via lijeiegral Om vi har e bevärligare -urc a vi göra åerraorm rå - ill idlae geom a aväda urce π j [ ] d e lijeiegral var löig ligger uaör måle ör dea ur. 5.3 Kolade em Eerom vi a haera överöriguioer i -lae om vila adra evaioer om hel å a vi i -lae beämma de oala överöriguioe ör olade em, dv em beåede av arallell- och erieolade delem och eda via åerraorm ill idlae beämma de oala diereevaioe. Deleme överöriguioer a vi ha å med ågo av ovaåede meoder. Lå o e å vå em med diereevaioera [] [], [ ],3 [ ] [] [],7 [ ],4 [ ] dv med överöriguioera,,3,7,4 Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.7

8 5.3. Serieolade em Vi har i idlae e a vi a beämma de oala imulvare ör vå erieolade em geom a ala iho de vå eme imulvar. Vi ve ocå a imulvar i idlae movara av överöriguioer i -lae am a alig i idlae movara av muliliaio i - δ[] lae. Sluae blir a vi a å de oala eme överöriguio geom a mulilicera iho de vå erieolade deleme överöriguioer och eda gå illbaa ill idlae med de oala överöriguioe ör a å de oala diereevaioe, Figur 5.5. Vi år om vi erieolar ovaåede vå em,,3,7,4 [] h [] (,) (,7) (,3) (,4) [] Figur 5.4 Serieolade em h [] h [] h [] h [] o [] h o []h [] h [] () o () () () () () Figur 5.5 Serieolade em i idoch -lae,5,4,5,7,,7,4, om ger de oala diereevaioe Y [ ] [ ],5 [ ],4 [ ],7 [ ], [ ] Dea ä a aa e oal diereevaio är viig och vi har ie lara dea med idigare meoder. Eemel Bilaga Parallellolade em Lägg märe ill a de vå diereevaioera iehåller ermera [ ] reeive [ ]. [ ] och [ ] är ie amma a och ige av dea ermer är heller liada om de ördröjda oala uigale [ ] och vi a därör ie å e eel ä aa e eda urc. är a vi då ie å ågo amla oal urc ua vi år uigale via e evaioem iehållade de vå eme diereevaioer [] h [] h [] [] [] o [] Figur 5.6 Parallellolade em Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.8

9 [ ] [ ], [ ],3 [ ] [ ] [ ],7 [ ],4 [ ] [ ] [ ] [ ] Eemel Bilaga ur olar vi -lae? ur all vi då ola -lae och vile iormaio a vi å u ur -raorme? Variabel är e omle al, vile iebär a -lae är e omle alla, dv de har e reell ael och e imagiär ael. Lå o e å vad om häder med -raorme om vi håller o å ehecirel i -lae, dv å e cirel med radie e () ru origo i -lae där vi a variera viel Ω, Figur 5.7. Vi ubiuerar allå e j Ω j Im() dv ( Ω) [ ] e j Ω om vi jämör dea med ourierraorme ( Ω) [ ] e j Ω - -j Figur 5.7 Ehecirel i -lae Re() å er vi a de är amma urc, dv amma a. Fourierraorme är allå e ecialall av -raorme där iräer ig ill a beia ig å e cirel med radie e () ru origo i -lae. Vi a jämöra med hur vielrevee ω ligger ueer de imagiära ael i -lae (Lalace). ur olar vi då dea? Jo, vår ormala lijära reveala omorma (raormera, maa) ill ehecirel i -lae och eerom våra iddirea egeaer urea då vi har å revee, amligrevee, å gäller a e varv ru ehecirel (mool, väade viel) movarar a vi öar revee med, dv π ~ / π/ ~ /4 Im() 3 π/ ~ 3 /4 Re() π ~ Figur 5.8 Vilar och relaiva reveer i -lae Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.9

10 Ω π och vår relaiva reve (relaiv ) der åer ige u, Figur 5.8. Då vår igalreve ädra å ommer vi allå a röra o ueer ehecirel Poler och ollälle i -lae E ollälle är e u i -lae där eme överöriguio blir oll (), dv e u där överöriguioe äljare blir oll (), meda e ol är e u i -lae där eme överöriguio blir oädlig ( ), dv e u där överöriguioe ämare blir oll (). Re geerell gäller r m m m K ( ) P I urce beder rodue mella ermera, å amma ä om beder umma av ermera. Vi har allå omorma urce å a beriver urce ollälle meda är urce oler. E ollälle är allå e u i -lae där urce blir oll () meda e ol är e u i - lae där urce blir oädlig ( ), dv där ämare blir oll (). Lägg märe ill a överöriguioe a iehålla e alaor K om ie då vi bara er å oler och ollälle. Poler och ollälle a vara omlea me måe då uräda i omleojugerade ar, dv a ± j b Ae, ör ± j B a ge reella oeicieer i diereevaioe, vile vi i alla reella ammahag måe ha. E öljd av dea är a e ol- eller ollälleurc av udda gradal måe iehålla mi e reell ol reeive e reell ollälle. Vi beriver överöriguioe med hjäl av e ol/ollällediagram i -lae, där vi marerar ollälle med rigar (o) och oler med r (), Figur Vi mi ocå a ecialalle ourierraorm ör reella igaler iebar a vi bea o å ehecirel i -lae. Vi a allå omleojuga ar av ollälle Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5. ollälle Im() ol Figur 5.9 Reella oler och ollälle i -lae Im() Re() omleojuga ar av oler Re() Figur 5. Komlea oler och ollälle i -lae

11 göra e ourierraorm ör reella igaler och em via -lae om vi gör olige a reveael raoera (överöre, maa) ill ehecirel i - j Ω lae och vi har e där Ω π π ~ / π/ ~ /4 Im() Re() π ~ Pue (;) i -lae ( Ω ) movarar då liäig eller mer geerell revee meda ue (-;) ( Ω π ) movarar revee eller mer gee- 3 π/ ~ 3 /4 Figur 5. Vilar och relaiva reveer i -lae rell ov, Figur Överöriguioe oler och ollälle Traverella diereevaioer, dv urc om bara iehåller ördröjda variaer av iigale har orme [ ] [ ] [ ] [ ( )] [ ] K och ger i -lae överöriguioe Y K K K K ( ) ( ) ( ) dv urce alla oler ligger i origo meda ollällea a vara ilda rå oll och vara reella eller omlea. Lägg doc åer märe ill a omlea ollälle måe vara omleojugaa ör a ge reella ermer i diereevaioe. Reuriva diereevaioer, dv evaioer med ördröjda variaer av både i- och uigale Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.

12 Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] r r K K [ ] [ ] r ger i -lae överöriguioe { } Om r r r Y K K K r r K K dv vi a å både oler och ollälle ilda rå origo och både oler och ollälle a vara omlea me måe då åer uräda i omleojugerade ar ör a ge reella ermer i diereevaioe. Lägg märe ill a härledige ger erme i ämare, dv e aal oler i origo. ade vi i älle ha å hade vi å e aal ollälle i origo. ade vi gå å adra hålle och ugå rå olera och ollällea lacerig och rå dea beäm diereevaioe å hade dea erm ie behöv i urce. Vi all doc eare e hur vi bör välja aale oler i örhållade ill aale ollälle. Eemel Bilaga A ola oler och ollälle ur all vi u ola olera och ollällea lacerig i -lae. Vi all e å hur vi ur lacerigara a å iormaio om eme abilie och hur vi a ola eme reveegeaer Sabilie Selar de ur abilieu ågo roll var överöriguioe oler och ollälle ligger? Vi mi a raverella läar allid är abila. Vi åg ova a raverella urc har alla oler i origo meda ollällea ie behöver hama i origo och de a vara både reella och omlea. Vi har allå ie a ågra gräer å ollällea lacerig. Sluae måe bli a De elar ur abilieu ige roll var i -lae ollällea är lacerade

13 Vi åg a e reuriv em a ha både oler och ollälle ilda rå origo och de a vara reella eller omlea. Vi har reda e a ollällea ie iverar å abiliee. ur är de med olera? Lå o e å e eel reuriv lä [ ] [ ] r [ ] om i -lae har överöriguioe r r dv vi har e ollälle i origo och e ol i r. Vi mi rå idigare a villore ör abilie var a r < (Kaiel Sabilie), dv de reella ole måe ligga iaör ehecirel. I de här ela alle, med e eda ol, å måe dea vara reell, dv ligga å reella ael ör a ge e reell oa i diereevaioe. Vi a egelige ie dra ågo geerell lua ur dea me åår ädå a E em är abil om alla oler, reella om omlea, ligger iaör ehecirel i -lae, dv om olera har belo midre ä e () De är väl aurlig a ju ärmare ehecirel olera lägger ju ärmare iabilie ligger vi och vi a å vägigar (rigigar) i imulvare Freveera ur e em oler och ollälle Lå o e å e eel reuriv em med e ol och e ollälle [ ],5 [ ],4 [ ],5 [ ] Vi år överöriguioe i -lae,5,4,5,8,5,5,5,8,5 Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.3

14 dv vi har e ollälle i, 8 och e ol i,5, Figur 5.. Im() Re() Vi er å verliga, reella igaler, dv vi rör o å ehecirel och gör därör ubiuioe Ω e j Figur 5. Överöriguioe ol/ollällediagram j Ω e,5 j Ω e,8,5,8 co,5,5 co ( Ω) j i( Ω) ( Ω) j i( Ω),5 [,8 co( Ω) ] i ( Ω) [,5 co( Ω) ] i ( Ω) i arca,8 co ( Ω) ( Ω) i arca,5 ( Ω) co( Ω) Lå o beraa äljare ör ör a e om vi a omma ram ill e grai rereeaio av belo och aviel. För illälle borer vi rå alaor,5. Vi börjar med beloe där vi a göra olige elig Figur 5.3 då vi uderar örhålladea vid e lummäig vald reve om movarar viel Ω. Om vi aväder geomeria begre (Phagora) å er vi a beloe äljare [,8co(Ω)] i (Ω) Ω i(ω),8co(ω) Figur 5.3 Tolig av äljare ollälle om belo [,8 co( Ω) ] i ( Ω) [co(ω)-,5] i (Ω) är avåde rå ollälle ill de u å ehecirel om movarar revee ( π ). På amma ä a vi elig Figur 5.4 ola ämare belo om Ω i(ω) co(ω)-,5 [,5 co( Ω) ] i ( Ω) Figur 5.4 Tolig av ämare ol om belo Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.4

15 ämare belo är allå lia med avåde rå ole ill de u å ehecirel om movarar revee. Vi år allå de oala beloe,5 [,8 co( Ω) ] i ( Ω) [,5 co( Ω) ] i ( Ω) om roorioell mo avåde rå ollälle ill de auella ue å ehecirel dela med avåde rå ole ill de auella ue å ehecirel. A beloe är roorioell mo dea vo och ie lia med de beror å a vi i dea reoemag i ol/ollälledia-gramme ie har ua a med urce alaor,5. I realiee är allå beloe i dea all häle å or om de reula vi år ur ol/ollälledia-gramme. Lå o e å äljare a. Vi er ur Figur 5.5 a äljare aviel i arca,8 co ( Ω) ( Ω) blir viel mella lije mella ollälle och de auella ue å ehecirel och reella ael. På amma ä år vi ör ämare Figur 5.6. ämare aviel i arca,5 ( Ω) co( Ω) blir viel mella lije mella ole och de auella ue å ehecirel och reella ael. Vi år allå de oala ae i arca,8 co ( Ω) ( Ω) i arca,5 ( Ω) co( Ω) arca i(ω),8co(ω) om ollälle aviel miu ole aviel. Lägg märe ill a här gäller lihe, vi har ige aligoa. Om vi u låer revee gå rå oll () ill amligrevee å a vi beämma och ria u belo- och aera ör alla reveer i iervalle. De är ie å vår a äa ig i i hur beloe örädra då vi låer revee väa. De är åerige vär a åea a ol/ollällediagramme bara ger e belo om ie ödvädigvi är lia med de verliga beloe ua de är roorioell mo dea. Ω i(ω),8co(ω) Figur 5.5 Tolig av äljare ollälle om aviel i(ω) arca co(ω)-,5 Ω i(ω) co(ω)-,5 Figur 5.6 Tolig av ämare ol om aviel Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.5

16 Vi a oa å e grov uaig av era geom a beräa ågra iuer och i ae ola vad om häder mella dea reveer. Fra ela iuer är,, 3 och där vi grai ör beloe a å 4 ~ 4 3,8,5 4 ~ ~ 3,6,8,5 ~,8,5,8,5,33,45,45 Vid reveer däremella å ommer de, i dea all med e eel urc, ie a bli ågra löliga ho i belourva ua vi år e urva om har i maimum vid revee oll och eda avar med revee, dv vi har e lågailer. I Figur 5.7 har vi ria u era i iervalle ill. Vi har då äve agi med örärigaor,5 ör a å de verliga belourva. Vi er a då vi går över revee å urear ig beloe (egelvä) å grud av eglig och vi behöver egelige bara beräa era i iervalle ill. Vi a göra movarade reoemag ör ae. Belo Belo Freve (relaiv ) Figur 5.7 Beloera, Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.6

17 arca arca o arca 8 arca 66,4,37π radiaer 4,8,5 arca arca 3 36 arca 36 8 arca 4,8,5 o 66,4,37π radiaer Fa (relaiv Pi) Vi er a de är lie bevärlig a hålla ordig å aviel. Vi er ur beräigara a vi år de örväade eglige ovaör (med omb ece å ae) och de i ige aledig a göra beräige ör örre iervall ä och vi riar ocå ormal bara u reveiervalle i våra belo- och adia- gram. Vi år oal ör ae Figur 5.8. Vi a aväda amma reoemag om vi har omlea oler och ollälle, dv ådaa om ie ligger å reella ael och vi a uvidga reoemage ill a gälla överöriguioer om har lera oler och ollälle. Beräigara ör a via dea blir doc omlicerade och vi uelämar dea. Vi a ammaaa reulae Faviel Freve (relaiv ) Figur 5.8 Faera, Avåde ill ollälle Avåde ill ol L L L L Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.7

18 och vi a göra gaa ela (me örelade) oligar geom a udera revegåge då Ω går rå illπ, dv å revee går rå ill. Vi åg a aviel var lie bevärlig a haera å de är i öra had överöriguioe belo vi olar å dea ä. Vill vi udera vad om häder lie ärmare å bör vi ocerera o å reveområde där vi har oler och/eller ollälle ära ehecirel eerom dea åverar överöriguioe me. Obervera a vår överöriguio i de lea all ie äger ågo om eme abilie och äve iabila em (med oler uaör ehecirel) oa ger ill e veiga urvor över överöriguioe belo och a. De eda all då vi år reula om viar å iabilie är då vi har oler å ehecirel eerom dea ger e ol i överöriguioe ämare och därmed e oädlig belo. Eemel Bilaga Dimeioerig via lacerig av oler och ollälle Eemel Bilaga Ur bilagora eemel er vi a e eeiv lågailer bör ha oiiv reell ol och egaiv reell ollälle och vär om ör e högailer om de gäller öragradem. Är gradale högre å år vi ler rihegrader och ambade mella urvorm och ol/ollällelacerig a bli mer omlicera och vi a å örre och braare variaioer i urvorme. Vi er ocå a oler är eeivare ä ollälle ör a ra revegåge, varör reuriva iler är eeivare och a göra arare ä raveraliler av amma gradal. Vi all doc eare e a reuriva iler har adra acdelar, i öra had i orm av olijär agåg. Vi åerommer ill lijär och olijär a i Kaiel 7.4 Lijär agåg. För raig dämig bör vi lacera ollälle å eller ära ehecirel vid de viel om movarar de reve om vi vill däma (glöm ie omleojuga ör aa ä reella ollälle, dv ollälle vid och ). På amma ä ger e ol ära ehecirel e örärigo (glöm ie a ole måe ligga iaör ehecirel ör abilie och a vi äve här måe ha omleojuga ör omlea oler). Vi åg ocå a e ol å ehecirel ger iabilie och oler måe ligga iaör ehecirel meda ollälle a ligga var om hel. Kom doc ihåg a vi ie er a eme är iabil geom a udera överöriguioe era, de er vi bara i ol/ollällediagramme (och i imulvare). Som vi äm e ar gåger å måe oler och ollälle ilda rå de reella ael ( och ) vara omleojugerade ar ör a ge reella ermer i diereevaioe, dv vi måe ha mi vå oler reeive vå ollälle då vi vill ha ivera vid adra reveer ä och och överöriguioe måe då ha e gradal örre ä e ( > ). Vi er a abadörärige i -laurce ua alaor allid är örre ä e ( b > ), dv vi år iöra dämig om vi vill ha abadörärige e (). I raie är de viig a äa å var i eme dämige iör ör a vi ie all boa eme i ågo del amidig om vi all uja aale biar i våra daaord å e- Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.8

19 eiv om möjlig. Kom ocå ihåg a dea oa eller eveuell aa alaor i överöriguioe, om i med om vi vill orrigera eme örärig, ie i olera och ollällea lacerig i ol/oll-ällediagramme. Vi a allå göra ela iler geom a göra lämliga lacerigar av oler och ollälle. Vi år doc med dea meod oa gaa dålig oroll över ileregeaera och all eare e a vi a aväda eeivare meoder. De i bara re er av väl ugerade, eeiva iler om vi a oruera geom eel ol/ollällelacerig och de är mala bada- och badärriler, de eare alla ocå ochiler, am amiler. Kamiler öreommer både i raverell och i reuriv orm varör de beriv i Kaiel 8 Traverella iler reeive Kaiel 9 Reuriva iler meda mala badailer och ochiler är reuriva varör vi ommer a behadla dom i Kaiel 9 Reuriva iler Selar aale oler i örhållade ill aale ollälle ågo roll? Vi har e a överöriguioer a bgga u av urc iehållade oler och ollälle. ur måga oler reeive olälle bör vi u ha, ärmare beäm: gör de ågo om vi har ler ollälle ä oler eller vär om? Fler ollälle ä oler Lå o e vad om häder om vi har ler ollälle ä oler. Vi ar e eel urc Y ( )( ) ( ) För a å e re [] -erm i diereevaioe å måe vi ha e ea och e aal -ermer i ämare, -ermer om ger ramida uigaler a vi rimlige ie ha med. Vi brer därör u ur urce och år ( ) om ger diereevaioe [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] dv urce iehåller erme [ ], e ramida iamel, och eme är ie aual. Sluae å här låg blir då a aale ollälle ie år vara örre ä aale oler ör a å e aual em. Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.9

20 Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida Fler oler ä ollälle Vad häder då om aale oler är örre ä aale ollälle. Vi väder u och er å amma ela urc Y ör a å e re [] -erm i diereevaioe brer vi de här gåge u [ ] om ger diereevaioe [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Vi har allå e era ol i origo om ger e eg ördröjig av iigale. Dea ol ommer ie a åvera revegåge belourva, me däremo aurva, eerom de ligger i origo. För a bli av med dea era, ormal e, oödiga ördröjig å omleerar vi med e ollälle i origo och år om ger [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Vi a allå här dra luae a vi ie bör ha ler oler ä ollälle ör a ie å oödig ördröjig i eme. De oala luae blir allå Vi bör välja lia måga ollälle och oler i överöriguioer. Sulle vi ie ha dea å omleerar vi med aa aal oler eller ollälle i origo

21 Tabell 5. -raorme egeaer Egea eller oeraio Sigal -raorm Traorm [ ] [ ] Iver raorm π j [ ] d Lijarie [ ] a [ ] a a a Tidi [ ] u[ ] Diereierig [ ] [ ] ( ) Tidiegraio [ ] Falig [ ] [ ] Sluvärdeeorem Limi { [ ] } Limi Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.

22 Tabell 5. -raormar Vågorm Sigal [ ] Serum ollälle och oler i -lae δ [ ] Im() Imul δ[] ehecirel Re() u [ ] Im() Eheeg u[] Re() Ram r[] r [ ] ( ) Im() dubbelol Re() a u[ ] a Im() Eoeialuio Re() Eoeialuio ( a ) u[ ] ( a) ( a) ( ) Im() Re() Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.

23 Tabell 5. oräig -raormar Vågorm Sigal [ ] Serum Coiu co ( Ω ) u[ ] [ co( Ω ) ] co( Ω ) ollälle och oler i -lae Im() Re() Siu i ( Ω ) u[ ] i ( Ω ) co( Ω ) Im() Re() Dämad iu i ( Ω ) u[ ] a i ( Ω ) a co ( Ω ) a a Im() Re() Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.3

24 Kaiel 5 Sigaler och em i -lae ida 5.4