KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
|
|
- Roland Henriksson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM Magus Bodesso Isiuioe för Daaveeskap , (red), (red) Allmä om kurvapproximaio med polyom Dea papper ersäer framsällige i HB: , FvD: , Agel: eller Hill: för de som så öskar de. HB gör mycke bara yers lokal. FvD är mer omfaade och har adra idex (umrerig) ä jag. Agel är rikig bra. Möller ar bara upp Bezier-maerial. Framför all B-splies preseerar jag på e förhoppigsvis apiligare sä. Give e aal ordade puker P i = (x i,y i ),,,2,..., i xy-plae eller P i = (x i,y i,z i ) i 3D, vill ma iblad sammabida dem med e mjuk kurva. Me de fis också fall då ma öjer sig med a de resulerade kurva bara går i ärhee av pukera. I CAD-sammahag där kurvora modelleras fram är de vikig a e flyig av e puk bara påverkar kurva lokal, dvs i ärhee av puke som flyas. Tillämpigsområde iom daorgrafik är modellerig och aimerig. De eklase vore a bara sammabida pukera med räa lijer, me ofas vill ma a kurva skall ha högre regularie ä så. Ma efersrävar åmisoe koiuerlig luig och hels äve koiuerlig krökig, vilke säller krav på koiuerliga försa och adra derivaor. 2 Global ierpolaio med polyom Ma vill aväda ekla fukioer för a beskriva kurvora. Ige är eklare ä polyom, vilka också aväds geomgåede. Äve om de orde vara välbeka för alla, påmier jag om a global ierpolaio med polyom ie är så bra. De resulerade kurva uppvisar ofa mycke krafiga oscillaioer. I de falle beskrivs kurva med e polyom (för resp koordia) med hög gradal. Ma ka skriva P( ) = L i ( )P i där basfukioe eller bladigsfukioe (eg bledig fucio) L i () är e polyom av gradale och alar om hur sor iflyade puke P i har för parameervärde. Vi iför parameervärde i mosvarade pukera P i, dvs P( i ) = P i. Dessa ka ex väljas som i figure eda. De behöver ie vara ekvidisa beläga Figur. Speciella parameervärde. L i kosrueras så a P i har full iflyade för parameervärde i mosvarade P i, me ie ågo för övriga giva puker, dvs, = i L i ( ) = 0, = j, j i Neda har vi ria upp e av dessa basfukioer. Vi ser a de har iflyade över hela iervalle. De resulerade kurva kommer a beskrivas på parameerform P=P(), 0 (eller e lägre al i vissa fall) oberoede av om vi befier oss i 2D eller 3D. Försa puke på kurva mosvarar P(0) och sisa P(). Vi avbildar såluda e iervall på e kurva, se följade figur. z = x Exempelvis ka e rä lije mella vå puker P 0 och P skrivas på forme P=P()=P 0 +S, 0, där rikigsvekor S = P -P 0. E och samma kurva ka beskrivas med måga olika parameerframsälligar. Frå re geomerisk sypuk är de äsa (jfr avsi om G-koiuie i FvD) likgilig vilke vi väljer. Om ågo skall röra sig lägs kurva är de lämplig a parameer är proporioell mo de illryggalagda kurvlägde. Parameer ka då fysikalisk olkas som ide eller kurvlägde. De är ju däremo läare sag ä gjor är ma bara ugår frå e aal puker. =0 P=P() y Figur 2. Basfukioe L 2 () för e fall med 8 puker. Vi ser a fukioe ie ödvädigvis har maximalvärde. (MB: SPLINEPAK.c). Formel för basfukioera är L i ( ) = j i j = 0, j i j 2 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
2 3 Lokal ierpolaio med polyom I sälle skall vi aväda syckevis polyomapproximaio, dvs de resulerade kurva kommer a beså av e aal hopfogade polyomkurvor. Vi gör dea geom a för varje eskil parameeriervall [ i, i+ ] approximera med e polyom, ex i 2D och med redjegradspolyom P i ( ) där a j är vekorer med vå kompoeer och dessuom är olika frå polyom ill polyom (dvs beror på iervallumre, vilke vi dock ej säer u). Lämplige ser ma på x och y var för sig. Alla kurvor av dea yp, dvs hopsaa av polyomkurvor, kallas för splies. Vi kommer här huvudsaklige a se på falle a de lokala kurvora är redjegradskurvor (i de meige a deras parameerframsälligar är av gradale 3). För jämförelses skull as iblad äve gradale och 2 upp. Vissa böcker ger e beydlig allmäare framsällig. E aal meoder beskrivs i följade avsi. Vi går frå de eklase ill de som idag är "sae-ofhe-ar" i CAD-program, ämlige NURBS-kurvor. Ige av sege på väge är borkasa. Vi går däremo ie alls i på daaapassigsmeoder, som ex misa-kvadra-meode. 4 Hermieierpolaio x i ( ) = = y i ( ) a 0 + a + a a 3 3 De här meode har ige direk prakisk iresse me är ekel och ugör grud för e seare. De lokala redjegradskurvora skall ha de giva pukera som ädpuker, dvs P i ( i ) = P i ( ) P i ( i + ) = P i + för i=0,,...,-. Dea ger 2 av de 4 villkor som behövs för a besämma a 0,a,a 2 och a 3. Ma arbear härvid med fördel i e lokal parameer u, varvid u=0 mosvarar i och u= mosvarar i+. I Hermies meod förusäes äve a derivaora med avseede på är käda i de olika pukera och är (om 2D) P i = (x i ( i ),y i ( i )). Noera emellerid a äve om vi aser oss käa luige hos kurva i de giva pukera så är dy y' ( ) dessa derivaor ie käda. I 2D gäller ju för kurvluige a = , vilke iebär a x' i och y' dx x' ( ) i bara ka besämmas på e kosa fakor är. Vi ar u illäggsvillkore (åerige gära urycka i de lokala parameer u) P' i ( i ) = P' i ( 2) P' i ( i + ) = P' i + som illsammas med () ger fyra villkor ur vilka a j ka besämmas, och ma visar lä a (m a p de lokala parameer u) I prakike aväder vi dea koefficiemaris för a förs besämma x-kompoeera av a 0 o m a 3 och därefer y-kompoeera. Dea får upprepas för de olika iervalle. De approximerade jäma kurva ploas seda geom a ma för varje deliervall riar lijer elig ex (om i+ = i +) P i ( i )->P i ( i +0.)->P i ( i +0.2)->...->P i ( i +.0) Nackdelar med meode: Derivaora är i prakike ej käda. Kurva får koiuerlig luig me ie koiuerlig krökig (adra derivaora ar sku). P P 2 ( 3) Figur 3. Till väser visas ågra Hermie-kurvor med samma luig i ädpukera. Till höger kubiska Bezier-kurvor med e skarv. De giva pukera markerade med fyrkaer. 5 Bezierapproximaio a 3 a 2 a a 0 P P 0 0 P 3 = P P 2 I avsik a få re lokal påverka ger vi upp krave a samliga puker skall ierpoleras. För gradale 3 besäms Bezierkurva geom a ma ser på fyra kosekuiva puker i söe. Samliga puker kallas syrpuker (eg corol poi). De försa och sisa av dessa skall ierpoleras och kallas iblad (framför all i ypografisk lieraur) därför äve akarpuker. Beraka högra figure ova. Tredjegradskurva mella P 0 och P 3 kommer ebar a påverkas av dessa vå puker och av de vå mellaliggade P och P 2. Novise skulle råda oss a besämma redjegradskurva som de som ierpolerar samliga fyra puker (de skulle ju ge de fyra ödvädiga villkore för besämig av koefficieera), me då skulle vi ie säker få koiuerlig luig och ie heller ågo sä a uppå de. P i P i + P' i P' i + P 6 P 3 P 4 P 5 I sälle bildar vi med hjälp av syrpukera approximaioer ill P' 0 och P' 3 elig P' 0 = 3(P - P 0 ), P' 3 = 3(P 3 - P 2 ) KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM 3 4 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
3 Varför fakor 3 och ie som på ågo sä verkar aurligare? Jo, om vi låer parameer löpa mella 0 och frå P 0 ill P 3, så är de i bris på ågo bäre rimlig a låa P mosvara värde =/ 3 och P 2 mosvara =2/3. E approximaio av derivaa i P 0 ges därmed av (P - P 0 )/(/3), som är jus högerlede ova. Dessa approximaioer soppar ma seda i i (3) i Hermie-avsie och erhåller på så sä e redjegradspolyom. På mosvarade sä förfares för övriga grupper P 3k,..., P 3k+3 om fyra puker. Mosvarade polyom kommer ydlige a ha lije mella P i och P i+ som högerage i P i om i är e mulipel av 3. Likade för väseragee. Ma ka därmed lä ierakiv syra de approximerade kurvas form. Geom a för varje idex i som är e mulipel av 3 välja P i-, P i och P i+ så a de ligger på e lije, ka ma ge de approximerade sammasaa kurva koiuerlig luig. De polygo som bildas av de fyra syrpukera brukar kallas syrpolygoe. Vi ka aurligvis uifrå de giva beskrivige räka fram e uryck för de lokala polyome uryck i de giva pukera. Vi avsår frå de öje och skriver i sälle bara upp de uryck som i lieraure valige aväds som defiiio av Bezierapproximaio. Vi aar a parameeravsåde mella akarpukera är. På försa kurvsegmee (mella P 0 och P 3 ) gäller 3 P( ) = B i ( )P i där Övig: Visa de. ( 4) B i ( ) 3 i ( ) 3 i i 0 = 0 aars Dessa fukioer, som ju är redjegradspolyom, fis säker uppriade i kursböckera. Allmä ka vi skriva P( ) = B i ( )P i där för i>3 B i () erhålles ur de fyra försa geom e ekel koordiarasformaio. Ma ka göra Bezierapproximaio med godycklig gradal k (mis ). Aale puker liksom aale basfukioer per segme är då k+. De försa basfukioera (med idex = 0,..., k) får ma geom a i (4) bya de vå 3-ora mo gradale k. Basfukioera, som för övrig kallas Bersei polyom (efer e approximaioseoreiker som aväde dem låg ia bilmae Pierre Bezier), är av de giva grade. Bezierapproximaio med gradale mosvaras av valig lijär ierpolaio. Bezierapproximaio med gradale 2 aväds i vissa riprogram, varvid de mella vå akarpuker fis e eda syrpuk. Vi ser a basfukioera är icke-egaiva och a, efersom de är ermera i biomialuvecklige av = ( + (-)) k, summa av dem för varje -värde är. Dessa vå egeskaper är som vi srax skall se av sor beydelse. Vi ka aväda dem för a visa a Bezierapproximaio, ill skillad mo global polyomierpolaio, ie leder ill krafiga oscillaioer. Uppriig av e Bezierpolyom ka aurligvis göras geom a ma beräkar polyomes värde i e aal puker och drar räa lijer. De fis e aa sä som bara kräver helalsarimeik och som aväds i laserskrivare med PosScrip och äve i e del riprogram med ujämigsverkyg. Meode kallas Caseljaus, me vi går ie i på de här. 6 Kovexa hölje Om ma iar på e aal Bezierapproximaioer uppäcker ma a de eskilda kurvsegmee allid ligger iom e måghörig som bildas av fyra eller i vissa fall re av mosvarade syrpuker. De kovexa hölje ill e mägd av puker Q,..., Q M är de misa kovexa mägd som iehåller pukera. Iuiiv fås de i 2D geom a ma späer e gummibad ru pukera. I 3D ar ma i sälle e gummiduk. Maemaisk ugörs de av alla lijärkombiaioer av pukera som har icke-egaiva koefficieer vars summa är, dvs av alla puker Q med M M ( 5) Q = a k Q k, a k = och a k 0 k = k = Vid Bezierapproximaio gäller elig ova för alla puker på kurvsegmee mella P 3k och P 3(k+) a de är sådaa lijärkombiaioer. Följaklige ligger kurva i de kovexa hölje ill P 3k,..., P 3(k+) (om gradale är k i sälle för 3, by de fyra 3-ora i dea sycke mo k). 7 Likformiga B-splies Som idigare är + puker P 0, P,..., P giva. Vi vill approximera med e kurva som ierpolerar sarpuke P 0 och slupuke P och syrs av övriga puker. Kurva skall vara syckevis sammasa av redjegradskurvor. För =3 (4 puker) ka vi klara de med e eda kurvsegme P (), 0. Vi skulle ju ex kua aväda Bezierapproximaio, vilke vår meod i sluäde fakisk iebär. För =4 (5 puker) behöver vi vå kurvsegme P (), 0, och P 2 (), 2. De försa besäms av P 0, P, P 2, P 3 och de adra av P, P 2, P 3 och P 4. Allmä behövs -2 kurvsegme P i (), i- i, i=,..., -2. Vi beeckar med i de parameervärde där P i- () och P i () går ihop. Speciell säer vi =0 (försa segmees sar) och - =-2 (sisa segmees slu). Ma kallar i för skarvvärde eller skarvar (eg kos) och P i ( i ) för skarvpuker Vi har allså i =i-, i=,...,- och aale skarvar är -. KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM 5 6 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
4 Vi beeckar de oala kurva med P(), 0= - =-2, dvs på iervalle [ i, i +] är P()=P i (). Jag påmier om a P() är e vekor, dvs P()=[x(), y()] i 2D och med yerligare e kompoe i 3D. P 6 P P 7 () P 8 Tesfråga: Varför modellerar ma ie såda här syckvisa polyom med de lokala polyomes koefficieer? De resulerade kurva, som ka skrivas ( 7) P( ) = B i ( )P i där högs fyra ermer ger ågo bidrag för give, får då koiuerlig luig och krökig. Figure eda visar basfukioera. P 5 P 4 8 P 9 4 P 3 () 3 P 3 P 0 P 2 () P () 2 P P 2 Figur 5. Basfukioera. Till väser för falle 4 puker (4 basfukioer) och ill höger för 8 puker (8 basfukioer). Figur 4. Approximaio med B-splies med =0 giva puker. (GL_SPLINEPAK.c exkl ex). I de allmäa falle äker vi oss u a P i () bara skall påverkas av de fyra pukera P i-, P i, P i+ och P i+2. Iflyade skall aurligvis variera med. Särka av framgågara med Bezierapproximaioe gör vi därför e asas av forme ( 6) P i ( ) = B i ( )P i + B i ( )P i + B i + ( )P i + + B i + 2 ( )P i + 2 De åersår a besämma bladigs/bas-fukioera B i () för i=0,, 2,...,. Efersom vi vill ha lokal påverka, måse vi se ill a B i () bara är skild frå oll ära = i. Därför ka B i () omöjlige vara e redjegradspolyom. Me vi ka låa de vara hopskarvad av redjegradspolyom. Vi försöker åsadkomma dea geom a välja B i () som e redjegradspolyom på var och e av iervalle och såda a B i () är 0 uaför iervalle [ i-2, i+2 ]. De visar sig vara möjlig a göra dea så a B i () global har koiuerliga derivaor upp ill ordig 2. De uppmärksamme läsare ser a bl a P () skapar e problem. Då behövs B 0 (), som skall vara 0 uaför iervalle [ -2, 2 ]. Me ågra skarvar -2, -, och -0 har vi ju ie. Vi åerkommer ill dea om e lie sud. Vi uppår lokal påverka och samidig koiuerlig krökig. De pris vi får beala är samliga puker ie ierpoleras. De beyder dock ie så mycke i e modellerigssysem (som ex CADprogram), där ma främs efersrävar ierakiv arbee med geomerisk gripbara paramerar. De är basfukioera som heer B-splies. Beämige beyder Base Splies med iebörde a de ugör e bas för all syckevis approximaio med polyom. Vi ser av figurera a deras useede varierar ågo beroede av aale puker. Dea visar sig dock bara gälla de yre. De ire som ex B 3 och B 4 i högra figure har e ehelig form och ka beskrivas med B i () = B(- i ) (om ma som vi aar a skillade mella successiva skarvar är ). Våra krav uppfylles om B() är oll uaför [-2,2] och har de regularie som vi öskar oss av B i (). Av figure framgår a basfukioera är icke-egaiva. Vi kommer äve a se ill a deras summa för varje är. Dea beyder a kurvsegmee P i () precis som är de gällde Bezierapproximaio ligger i de kovexa hölje ill de fyra pukera P i-, P i, P i+ och P i+2. Speciell kommer approximaioe a bli e rä lije geom pukera om dessa frå börja ligger på e såda. Lå oss u räka på de kubiska basfukioera. De ormerade basfukioe B() skall vara 0 uaför iervalle <2 och skall vara koiuerlig med koiuerliga derivaor upp ill ordig 2. B() illås vara sammasa av fyra polyom med gradale 3. Vi har därför 6 sorheer - koefficieera - för vars besämig de behövs 6 villkor. Probleme a besämma B() ka således ses som e ekvaiossysem med 6 obekaa. Med e aig klurighe ka vi dock komma billigare uda. Förs och främs reducerar symmeri krig =0 de hela ill 8 sorheer. Vi har villkore KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM 7 8 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
5 B(2) = 0, B'(2) = 0, B"(2) = 0 p g a regularieskrave B'(0) = 0 p g a symmeri B - () = B + (), B' - () = B' + (), B" - () = B" + () p g a regularieskrave B(0) + 2B() = efersom summa av basfukioera skall vara Dea ger 8 villkor för de 8 paramerar som hör ihop med de väselige vå redjegradspolyom som skall besämmas. Med e lie rick ka vi komma uda eklare. De olika krave gör a på iervalle [,2] måse B() ha forme C(2-) 3. Vi har därmed bara 5 paramerar kvar a besämma. På mosvarade sä är de lämplig a asäa e redjegradspolyom i - på iervalle [0,]. Ma visar ämlige lä och ruimässig a ( 8) B( ) -- ( 2 ) = -- [ + 3( ) + 3( ) 2 3( ) 3 ] Vi ka u med hjälp av formel (8) aalyisk överyga oss om a skarvpuke P i ( i ) i allmähe ie sammafaller med de giva puke P i. (8) ger ämlige 4 P i ( i ) = B( )P i + B( 0)P i + B( )P i + + B( 2)P i + 2 = --P 6 i + --P 6 i + --P 6 i + som bara udaagsvis sammafaller med P i. Vi ser emellerid härav a P i ( i ) ligger i de kovexa hölje ill de re pukera P i-, P i och P i+. Om vi ugår frå figurera ova är de på mosvarade lä a beräka de avvikade basfukioera, ex B 0, B och B 2 i högra dele av figure. Efersom vi vill ha ierpolaio i sarpuke P 0, dvs P (0) = P 0, måse med de gjorda asase B 0 (0)= och B (0)=B 2 (0)=0. Om som i figure B 0 () bara är skild frå 0 på [0,] och har vå koiuerliga derivaor måse därför B 0 ()=(-) 3. De båda adra bjuder e aig mera mosåd. De fis e illalade och ehelig sä a beskriva samliga basfukioer. E ire basfukio B i () ka sägas vara besämd av skarvföljde (skarvvekor, eg. ko vecor) [ i-2, i-, i, i+, i+2 ] eller med våra förusäigar [i-3,i-2,i-,i,i+]. De är "cererad" krig i som i vår fall är i-. De ire basfukioera har besäms så a de är 0 uaför iervalle [ i-2, i+2 ]. Vi ka aväda samma formulerig om övriga geom a iföra 3 exra skarvar -2 = - = -0 = 0 före de adra och 3 exra = + = +2 =-2 i slue. B 0 () besäms då av [0,0,0,0,], meda B () besäms av [0,0,0,,2] (om aale puker är mis 5, aars [0,0,0,,]) och B 2 () besäms av [0,0,0,,2] (om aale puker mis 5, aars [0,0,,,]). På mosvarade sä i de adra äde. De ursprugliga skarvföljde om - värde [, 2,..., - ] uökas på dea vis med 6 skarvar, dvs omfaar oal (+)+4 skarvar eller 4 mer ä aale puker. För ierpolaio i ädpukera skall de fyra försa och de fyra sisa i de ya följde vara sisemella lika. Vi har u förklarige ill förfarade i OpeGL. Exempel: För sex puker har vi de ursprugliga skarvföljde [0,,2,3] och de uökade [0,0,0,0,,2,3,3,3,3]. Basfukioe B 0 () ges av de fem försa värdea, äsa av de därpå följade fem, o s v. De fis e rekursiv formel för beräkig av godycklig basfukio B i () give e skarvföljd med fem puker, varav vissa eveuell lika. Dea formel är ugågspuke för resoemage om B- splies i såväl HB (sid 335) som FvD. Vi ar upp de lägre fram. Forfarade har vi ie beräka B () och B 2 (). Me vi lägger ie ed mauell möda på de, efersom de låer sig göras smärfri med ex maemaikprogramme Maple (saras med kommado xmaple). De går ill så här. Förs får ma läsa i e biblioek med > readlib(bsplie); Ma aropar seda e fukio bsplie med re paramerar. De försa ager gradale. De adra öska parameeram och de sisa skarvföljde. T ex får vi med > b0:=bsplie(3,,[0,0,0,0,]); fukioe B 0 () (efer kopierig frå Maple ill FrameMaker och lie redigerig) b0 := PIECEWISE([0, < 0],[- 3 +3* 2-3*+, < ],[0, <= ]) Geom a skriva > facor(b0); får vi e syggare form PIECEWISE([0, < 0],[-(-) 3, < ],[0, <= ]) På likade sä ka vi beräka de öskade B () och B 2 (): > b:=facor(bsplie(3,,[0,0,0,,2])); b := PIECEWISE([0, < 0],[/4**(7* 2-8*+2), < ], [-/4*(-2) 3, < 2],[0, 2 <= ]) > b2:=facor(bsplie(3,,[0,0,,2,3])); b2 := PIECEWISE([0, < 0],[-/2* 2 *(*-8), < ], [-3/2+9/2*-3* 2 +7/2* 3, < 2],[-/6*(-3) 3, < 3],[0, 3 <= ]) Om vi äve beräkar B 3 () som b3, ka vi - efersom Maple arbear symbolisk - förvissa oss om a summa B 0 ()+B ()+B 2 ()+B 3 () blir på iervalle [0,] (om vi u liar på Maple): > simplify(b0+b+b2+b3); PIECEWISE([0, < 0],[, <= ],... [7/6-/2*-/6* 3 +/2* 2, <= 2],[-7/6+/2*+/3* 3-5/2* 2, <= 3], [-8*+32/3-/6* 3 +2* 2, <= 4],[0, 4 < ]) Ma ka koverera urycke så a de läare ka plockas i i valig programkod. T ex > s:=cover(b,procedure); s := proc () piecewise( < 0,0, <,/4**(7* 2-8*+2), < 2,-/4*(-2) 3,2 <=,0) ed Naurligvis går de a ria upp basfukioera om vi vill i Maple. Me u får de vara og. 8 Olikformiga B-splies Ige hidrar a skarvvärdea i ie är ekvidisaa. De eda probleme är a de blir värre a besämma de olika basfukioera. Med olikformiga B-splies avses siuaioer då skarvpukera ie är ekvidisaa. Vi uppehåller oss ie vid de allmäa falle ua går i på e fall som är av sor prakisk iresse och som vi reda mö ämlige a e aal skarvar är lika. Vi aväde dea i ädpukera för a få ierpolaio. Samma sak ka göras i ire puker och bl a leder de ill a Bezierapproximaio ka uppfaas som e specialfall av B-spliesapproximaio. Vad häder om vi låer ågra skarvpuker sammafalla, me bibehåller krave a e basfukio B i () skall vara oll uaför [ i-2, i+2 ]? Vi får då färre sambad och ka ie uppfylla de villkor som vi öskar, dvs vi måse reducera regularieskrave. Avsåde mella skarvara blir u 0 eller. E KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM 9 0 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
6 såda siuaio visas i följade figur med re skarvvärde som sammafaller för = i. Basfukioe B i () sräcker sig u över bara vå rikiga deliervall. Efersom B i- () skall vara 0 för i+ = i, måse B i- ( i ) = 0. Samma gäller för B i+ och B i+2. Följaklige måse (summakrave) B i ( i ) =. B i 9 Adra gradal Ma ka aväda godycklig gradal k vid B-spliesapproximaio. Basfukioera skall vara sådaa a de har koiuerliga derivaor ill och med ordige k-. För udda gradal k=2m- gäller a B i () är skild frå oll bara på iervalle [ i -m, i +m] och för jäma gradal k=2m på iervalle [ i -m-, i +m]. B i-3 B i-2 B i B i+ B i+2 B i+3 I falle k = skall vi ha e syckevis lijär fukio som är oll om. Vi får villkore för de ormerade basfukioe B() = 0, B(0) = (elig summaformel ova) dvs med uyjade av symmeri B() = - för och 0 aars I följade figur har vi ria upp ågra ormerade basfukioer B() för olika gradal med hjälp av Maple: s:=bsplie(,,[-,0,]); s2:=bsplie(2,,[-,0,,2]); s3:=bsplie(3,,[-2,-,0,,2]); s4:=bsplie(4,,[-2,-,0,,2,3]); plo({s,s2,s3,s4},=-3..3, color=black); -2 - i-3 i-2 i-, i, i+ i+2 i+3 2 k= Figur 6. Trippelskarv. Beräkad och riad med Maple. 0.8 k=2 Vi vill a fram e aalyisk uryck för basfukioe B i () för falle i figure. Lå oss för ekelhes skull aa a avsåde mella kosekuiva icke-överlappade skarvar är. Vi ka då ormalisera och aa a de fem iressaa skarvpukera är [-,0,0,0,]. B i () skall vara e redjegradspolyom på [-,0] och e aa på [0,]. Rimlige har vi symmeri, varför de räcker a se på [0,]. Vi har då a (vi slopar idexe) B() = a(-) + b(-) 2 + c(-) 3 Krave koiuerlig adraderivaa i ger a a = b = 0. Och B(0) = ger a B() = (-) 3 I i (=0) får vi u koiuie ebar hos fukioe, ie hos derivaora. Allmä gäller a varje ökig av e skarvs muliplicie säker regularie hos basfukioera som berör puke e seg. Och de jus i de puke. Mosvarade säkig drabbar aurligvis - uom i udaagsfall - vår approximerade kurva Figur 7. Några B() kurvor för gradale k=,2, 3 och 4. k=3 k=4 2 3 De är ie svår a visa a rippelskarvar gör a ma får ierpolaio i mosvarade syrpuk. De är ie heller svår a visa a iilliggade rippelskarvar gör a mosvarade kurvsegme är e Bezier-approximaio. Me vi avsår frå dessa överläggigar och kosaerar bara a Bezierapproximaio därmed ka ses som e specialfall av B-spliesapproximaio. När mulipliciee är 2 har vi koiuerlig derivaa. När de är 3 har vi koiuerlig fukio (och äve koiuerlig derivaa vid lämplig placerig av pukera). Hur går de om de är 4? Jo, då blir de resulerade kurva ie es koiuerlig. Således ka vi med e B-splieapproximaio haera äve söderbrua kurvor. För ärmare uredig av dea och belysade figur se FvD. 0 NURBS Alla de approximaiosmeoder vi har ia på hiills ger affi ivariaa kurvor. Med dea meas a de spelar ige roll om ma förs rasformerar de giva pukera och seda beräkar approximaioe eller rasformerar kurva i si helhe. De seare vore e beräkigsmässig förödade ieffekiv meod. E affi rasformaio är e icke-sigulär lijär rasformaio. Lå oss här beecka de med M. Lå P() vara e puk på vår kurva. Då är ( 9) P( ) = C i ( )P i KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM 2 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
7 där C i () är vissa koefficieer. Dea gäller äve vid kubisk splieierpolaio, me då är de flesa skilda koefficieera skilda frå 0. Efersom rasformaioe M är lijär får vi ( 0) MP( ) = C i ( )MP i som visar de påsådda. Vi ka såluda skala, roera och raslaera våra kurvor geom a göra mosvarade operaioer på de giva pukera och seda göra ex e y Bezierapproximaio. Ige av meodera ger däremo kurvor som är ivariaa uder e perspekivrasformaio, dvs klarar övergåge frå 3D ill 2D. Vi ger ie ågo exempel ua öjer oss med påsåede. Så kallade NURBS (No Uiform Raioal B-Splies) som är e obeydlig geeraliserig av valiga icke-likformiga B-splies ger däremo de. De har också förmåga a represeera valiga kägelsiskurvor (ellipser, parabler och hyperbler) exak, vilke ie heller de idigare meodera klarar. Vidare ger NURBS yerligare modellerigsparamerar. Vi skall här ie bevisa eller es moivera de vå försa egeskapera ua ager bara forme och ser på exempel. B-spliesapproximaio (kallas i ex FvD o-raioal, vilke käs ug) har hiills ieburi ( 6) P i ( ) = B i ( )P i + B i ( )P i + B i + ( )P i + + B i + 2 ( )P i + 2 Mosvarade NURBS-approximaio är ( ) P i ( ) där ale w j är vikvärde som ormal är icke-egaiva (aars ka de bl a bli problem i ämare). Om alla w j = har vi de valiga falle. Beräkigsmässig iebär NURBS iga komplikaioer. Vi ersäer bara i kalkylera B j () med w j B j ( ) w s B s ( ) s Effeke av a ha w j aorluda ä är a P i ( i ) dras ärmre P i är w i är sörre ä och växer. Beräkigsaspeker för B-spliesapproximaio På iervalle [ i, i+ ] ges B-spliesapproximaio P i () av formel (6). Uppriige av de kurvsegmee görs geom a vi beräkar och sammabider elig ex P i ( i ) -> P i ( i +0.) -> P i ( i +0.2) ->... -> P i ( i +) i + 2 w j B j ( )P j j = i i + 2 w j B j ( ) j = i Beräkig av P i () för e viss -värde kräver beräkig av B i- (), B i (), B i+ () och B i+2 (). = Lå oss förs se på likformiga falle och ua a a häsy ill ädpuksprobleme. Efersom alla basfukioera då ka uryckas i e gemesam, B i () = B(- i ), där B() =0 för >2, räcker de a beräka B() i e lie aal puker som lagras i e vekor. Beräkige av P i () för de förusedda - värdea blir därmed äsa ögoblicklig. Om vi har mulipla skarvar (som ju klarar ädpukera) me för övrig likformighe, beyder de bara a ma måse iföra yerligare ågra vekorer med värde för modifierade basfukioer. Samma gäller om ma har e lie aal olika iervall-lägder. Vi ämde a ma ka iföra basfukioer äve för adra gradal k ä 3. Lå oss aväda beeckige B k,i () för dessa. Basfukioera skall vara uppbyggda av k-egradspolyom och vara sådaa a de har koiuerliga derivaor ill och med ordige k- (i fråvaro av muliplicie, aars lägre). De är skilda frå oll på e iervall med k+2 skarvpuker. För udda gradal k=2m- gäller a B i () är skild frå oll bara på iervalle [ i -m, i +m] och för jäma gradal k=2m på iervalle [ i -m-, i +m] (i figur 7 olyckligvis lie aorluda). Am. Vissa förfaare aväder adra umrerigar av basfukioera, ex a B k,i () hör ill [ i, i+k+ ]. Åer adra avsår frå all umrerig och skriver B k,[uppräkig av skarvpukera] (). De ka också ämas a somliga låer k så för gradale+. De fis e ie oiressa rekursiv sambad mella basfukioera av olika ordigar k. Vi skall ie bevisa de ua bara oera de med e par kommearer. Formel urycker B k,i () i B k-,i () och B k-,i+ () om k är udda (aars by de vå sisa i mo i-). I följade figur är [ v, h ] de iervall på vilke B k,i () är skild frå oll. B k,i () v v+ i h- h h-k v+k v+k+ B k-,r () B k-,r+ () Figur 8. Figur som belyser rekursiosformel. I figure är r=i om k udda och r=i- om k jäm. Vidare är h=i+m och v=i-m (om k udda) resp v=i-m- (om k jäm), där k=2m (om k jäm) och k=2m- (om k udda). Med beeckigara i figure gäller v h ( 2) B k, i ( ) = B v + k k, r ( ) B v h k, r + ( ) h k De är klar a gradale höjs med och a söde (de iervall där e fukio är skild frå oll) uvidgas. På grud av fakor (- v ) ökas regulariee också med i väsra ädpuke. De åersår egelige bara a visa a mosvarade gäller i övriga skarvar me de avsår vi ifrå. Give B 0,i () = för i- < i och 0 för övrig, ka ma därför beräka basfukiosvärde för godycklig gradal och för likformiga likaväl som olikformiga skarvföljder. Sabb går de däremo ie. Maple aväder sig av dea formel, är de ar fram formler för B-splies. Krave B ( 0, i ) = i gör a B 0,i () bara ka vara i edera i- (vilke vi val) eller i. KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM 3 4 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
8 De fis e komplikaio. Säg a vi vill beräka B 3,i () är i är e rippelskarv, ex för skarvföljde [-,0,0= i,0,]. Då behövs B 2 för bl a [-,0,0,0], som i si ur behöver B för [-,0,0] och för [0,0,0]. För de seare är emellerid ämare 0! De ekla uväge är a srua i de ermer där ämare är 0. 2 Yor 2. Allmä I avsi beskrev vi e olkig av parameerframsällige P=P(), 0 för e kurvsycke. På mosvarade sä ka parameerframsällige P=P(u,v), 0 u,v, för e ysegme (eg. pach) ses som avbildige av e kvadra. Se följade figur. v Figur 9. Ysegme 0 Exempel: Pla ya. Give e puk P 00 och vå icke-parallella vekorer S och T späer P = P(u,v) = P 00 + us + vt, 0 u,v, e pla ysegme med fyra hör. Vi ka aleraiv sara med re giva puker P 00, P 0, P 0, varefer S= P 0 -P 00 och T=P 0 -P Segmevis approximaio u Vi ger oss u i på mosvarighee ill syckevis approximaio för kurvor. Vi äker oss a de lokala approximaioe skall göras på e segme mosvarade 0 u,v (precis som vi i kurvfalle såg på e segme 0 ). E rikig käsla för arbee med yor får ma ie grais. Mosvarighee ill lijär ierpolaio skulle då vara a vi besämde e pla som gick geom de fyra pukera P(u,v), u=0,,v=0,. Me vi har då e villkor för mycke (jfr exemple i slue av 4.). Vill vi approximera lokal med pla måse vi sälle ha riaglar som bassegme. I sälle blir de aurliga approximaioe e bilijär (beyder a de är lijär i varje parameer för sig) ya P( u, v) = a i, j u i v j, 0 u, v 0 i, j Vi har här fyra fria paramerar, vilka går a besämma ur de fyra geomeriska villkore. x Me precis som är de gäller kurvor vill ma ha bäre (läs mjukare) approximaioer. Näsa seg är bikubiska yor u=0 v=0 z v= u= y Vi har u hela 6 fria paramerar, vilka går a besämma om vi förusäer a P, P u, P v och P uv är giva i de fyra höre. Dea yp av approximaio kallas Fergusoapproximaio och är allså mosvarighee ill Hermieapproximaio. Me de är ydlige ä värre a arbea med. Vi övergår därför ill våra favorier Bezier och B-splies frå kurvfalle. E varia är a kosruera e bi-bezierya (valige uelämas bi-), dvs (vi är bara iresserade av de kubiska falle) P( u, v) = B i ( u)b ( j v )P i,, 0 u, v j 0 i, j 3 där P ij är syr- och akarpukera. Ma har fyra sådaa puker i varje koordiarikig, dvs oal 6 s. Ya går geom ebar fyra av dessa ämlige P 00, P 03, P 30 och P 33. Se figurer i böckera. E aa är a kosruera e bi-b-splieya (valige uelämas bi-), dvs (vi är bara iresserade av de kubiska falle) P( u, v) = B i ( u)b ( j v )P i,, 0 u, v 2 j 0 i, j där P ij, 0 i,j, är syrpukera. Vi har här aagi a aale puker är lika i de båda "rikigara", me de ka aurligvis vara olika. Se åerige figurer i böckera. 3 Lie som ide ie räcke ill P( u, v) = a i, j u i v j, 0 u, v 0 i, j 3 Vi har äm a vale av parameriserig har viss beydelse. De skulle ma kua säga mera om. Vi har också sag ågo i sil med a "koiuerlig krökig" är ekvivale med koiuerlig adraderivaa. De är u ie rikig sa. Ma ka ha koiuerlig luig och krökig ua a ha koiuerlig derivaa resp adra derivaa. För dea fis e begrepp som kallas G-koiuie (s k geomerisk koiuie). Dea ka avädas för a få yerligare e parameer som påverkar kurvforme. De iresserade hävisas ill FvD. HB sid är däremo alldeles för korfaad. Vidare garaerar ie koiuerlig derivaa (eller koiuerlig adraderivaa) a ma har koiuerlig luig (resp koiuerlig krökig). Problem med luige ka uppsår i puker där både x'() och y'() är 0. Äve u hävisas de iresserade ill FvD. Till slu e par refereser. Fari: Curves ad Surfaces for Compuer Aided Geomeric Desig: A Pracical Guide, Academic Press 990. Tros si iel e halv-eoreisk bok, som jag själv haf viss öje av. Delvis läläs, me iehåller också svårgeomräglig maerial. Iehåller sidor där Bezier beskriver bakgrude ill sia kurvor. IEEE-idskrife Compuer Graphics ad Applicaios iehåller ofa läsvär och välpreseera maerial. E exempel. Les Piegl: O NURBS: A Survey, Jauary 99 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM 5 6 KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
2009-11-20. Prognoser
29--2 Progoser Progoser i idsserier: Gissa e framida värde i idsserie killad geemo progoser i regressio: De framida värde illhör ie daaområde. fe med e progosmodell är a göra progos, ie a förklara de hisoriska
Läs merEkvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.
Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi berakar följade PDE u x u x k (, ) (, ), < x (ekv), där k> är e kosa Ekvaioe (ekv) ka bl aa beskriva värmeledige i e u sav
Läs merModellering och prediktion av tidsserier gällande sjukförmåner inom socialförsäkringen
Maemaisk saisik Sockholms uiversie Modellerig och predikio av idsserier gällade sukförmåer iom socialförsäkrige Per Johasso Examesarbee 6:8 Posal address: Maemaisk saisik Dep. of Mahemaics Sockholms uiversie
Läs merPingsteld över Maramba, Zambia
Nyhesbrev Nr 10 2014 Jesus är desamme i går och idag och i evighe. (Hebr. 13:8) Pigseld över Maramba, Zambia Maramba är e kåksad srax uaför sade Livigsoe i Zambia. I dea yhesbrev vill jag rapporera frå
Läs mer2 Laboration 2. Positionsmätning
2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs merOm antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation
1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara
Läs merSammanfattning formler och begrepp, första delen av två
Ekoomsk sask, del kurs 6 ael agwall;, vårerme 5 ockholm chool of Ecoomcs ammafag formler och begre, försa dele av vå amle sckrov objek,,,...,, av oulaoes N. Om Varje objek har lka sor saolkhe a väljas
Läs merKompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs merProgrammering Emme-makro rvinst_ic.mac version 2
Uppdragsr: 10109320 2008-08-27 Seh Svalgård PM Programmerig Emme-makro rvis_ic.mac versio 2 Iehållsföreckig Förusäigar...2 Beräkigsuryck...2 Daabaser...4 Marisplaser...4 Aropsparamerar...6 Udaa...6 L:\705x\_SAMSAM\3_Dokume\36_PM\PM
Läs mer6 Strukturer hos tidsdiskreta system
6 Sukue hos idsdiske ssem 6. Gudsuku Vi h se e idsdiske ssem i de fles fll k eskivs v diffeesekvioe [ ] [ ] [ ] De k uligvis häd de ol sseme eså v fle seie- elle pllellkopplde delssem, me de föäd ie esoemge.
Läs merIngen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning
Hans Andersson (FP), ordförande i Tiohundra nämnden varanna år och Karin Thalén, förvalningschef TioHundra bakom solarna som symboliserar a ingen ska falla mellan solar inom TioHundra. Ingen åervändo TioHundra
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merFunktionsteori Datorlaboration 1
Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa
Läs merKvinnors arbetsmiljö. Rapport 2012:11. Tillsynsaktivitet 2012 inom regeringsuppdraget om kvinnors arbetsmiljö. Delrapport
Kviors arbesmiljö Tillsysakivie 12 iom regerigsuppdrage om kviors arbesmiljö Delrappor Rappor 12:11 12-5-9 1 (9) Ehee för mäiska och omgivig Chrisia Josso, 8-73 94 18 arbesmiljoverke@av.se Delrappor Tillsysakivie
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs merBilaga 6.1 Låt oss studera ett generellt andra ordningens tidsdiskreta system
Bilaga 6. Lå oss sudea e geeell ada odiges idsdiskea sysem [] [] [ ] [ ] [ ] [ ] y y x x x y Vi besämme öveföigsfukioe i -plae Figu B6.. Tidsdiske sysem på gudfom,, blockschema [ ] [ ] Lå oss fomulea om
Läs merMultiplikationsprincipen
Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret
Läs merESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com
ESBILAC mjölkersättig för hudvalpar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd valp är självklart att dia tike och få i sig mammas mjölk. Modersmjölke iehåller allt som de små behöver i form av ärigsäme,
Läs merSveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?
SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller
Läs merEnkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...
Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................
Läs mer(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?
Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt
Läs merFÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén
FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av
Läs merKonsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor
Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merMarkanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25
TJÄNSTSKRIVLS Hadläggare atum Äredebeteckig Johaa Kidqvist -05- KS /05 50 Kommufullmäktige Markavisigsavtal för och försäljig av fastighete Gesälle 5 Förslag till beslut Kommufullmäktige godkäer förslag
Läs merExempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL!
Exempelena 3 Anvisningar 1. Du måse lämna in skrivningsomslage innan du går (även om de ine innehåller några lösningsförslag). 2. Ange på skrivningsomslage hur många sidor du lämnar in. Om skrivningen
Läs merVi betygsätter årets skatteprogram
Vi beygsäer åres skaeprogram Tycker du a de är svår a deklarera? Då ka du få hjälp. Här graskar och beygsäer Privaa Affärer markades samliga skaeprogram. För de flesa sveskar är deklaraioe umera e lä mach.
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23
1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merArbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet 12/3/2014. Bedömningskriterier. Grund rekvisiten
Föreläsning 2 Ingående Innehåll Upphörande LAS Kollekivaval Ansällningsaval Arbesgivare Arbesagare Arbesagarbegreppe Arbesagarbegreppe Grund rekvisien 1. Aval (frivillighe) 2. Fysisk person 3. Ena paren
Läs merEgna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions)
- 1 - Vad är si? si är amet på e av måga ibyggda fuktioer i Ada (och de återfis i paketet Ada.Numerics.Elemetary_Fuctios) si är deklarerad att ta emot e parameter (eller ett argumet) av typ Float (mätt
Läs merStrategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet
1 File = SweTrans_RuMarch09Lohmander_090316 ETT ORD KORRIGERAT 090316_2035 (7 sidor inklusive figur) Sraegiska möjligheer för skogssekorn i Ryssland med fokus på ekonomisk opimering, energi och uhållighe
Läs merUtvärdering av tidigarelagd start av prismätningar i nya radio- och TV-butiker
(5) PM till Nämde för KPI [205-05-8] PCA/MFO Kristia tradber Aders Norber Utvärderi av tidiarelad start av prismätiar i ya radio- och TV-butier För iformatio Prisehete har atait e stevis asats av implemeteri
Läs mera utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation
I levade varelser bryts stora och sammasatta molekyler ed till små och ekla molekyler. Vad kallas dea process? S02_01 a utsödrig b upptagig c matspjälkig d cirkulatio S042009 Kalle hade ifluesa. Ha spelade
Läs merLösningsförslag 081106
Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:
Läs merBegreppet rörelsemängd (eng. momentum)
Begreppe rörelsemägd (eg. momeum) Två fra parklar med massora m och m och hasgheera v och v påverkar varadra de skuggade område. Efer a ha påverka varadra har de hasgheera v och v. Hasghesförädrge Dv och
Läs merMulti-Diag. Ledare NEWS. I fokus. Nyheter. Temaartikel. April 2010. Sätt fart på däckverksamheten sida 4
Muli-Diag NEWS April 2010 Vehicle Elecroics & Diagosics Ledare Temaarikel Bäsa kuder, 2010 arar sig ill a bli e excepioell år med måga yheer och uppdaerigar av er Muli-Diag. Vekyge kommer a uökas med e
Läs merInklusion och exklusion Dennie G 2003
Ilusio - Exlusio Ilusio och exlusio Deie G 23 Proble: Tio ä lägger ifrå sig sia hattar vid ett besö på e restaurag. På hur åga sätt a alla äe läa restaurage ed fel hatt. Detta proble a lösas ed ägdläras
Läs merFör de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen
Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan
Läs merApplikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.
Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.
Läs merÖversikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåne under tiden 1985-07-01 och framåt i tiden.
Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåe uder tide 1985-07-01 och framåt i tide. OBSERVERA att översikte grudar sig på e iveterig, som ite är klar! Atalet ärede och urval av ärede ka komma att
Läs merKOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET?
KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? En undersökning av hur väl kolpulver framkallar åldrade fingeravryck avsaa på en ickeporös ya. E specialarbee uför under kriminaleknisk grundubildning vid
Läs merUppgift 1 (max 5p) Uppgift 2 (max 5p) Exempeltenta nr 6
ppgf (max 5p) Exempelena nr 6 ppgfen går u på a förklara några cenrala begrepp nom kursen. Svara korfaa men kärnfull och ange en förklarng på e fåal menngar som ydlg beskrver var och e av de fem begreppen.
Läs merBETONGRÖR - EN PRISVÄRD OCH LÅNGSIKTIG LÖSNING
LAGT RÖR LIGGER S: Eriks rörsysem är en både prisvärd och ångsikig ösning och rörsysem i beong är dessuom överägse bäs ur mijösynpunk. Beong besår nämigen huvudsakigen av väkända naurmaeria som kaksen,
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merKMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com
KMR mjölkersättig för kattugar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd kattuge är självklart att dia mammas mjölk. För e yfödd kattuge är det framför allt viktigt att få i sig mammas mjölk de två första
Läs merFöreläsning F3 Patrik Eriksson 2000
Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive
Läs merFOURIERSERIER. Definition 1. (Trigonometrisk serie) Ett utryck av följande form. är en trigonometrisk serie.
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiiio. rigoomerisk serie E uryck v öljde orm [ cos x b si x ] är e rigoomerisk serie. Amärkig: Förs erme skriver vi som v prkisk skäl som vi örklrr ed. Deiiio.
Läs merInnehållsförteckning Tabeller och polynom
Iehållsförteckig Tabeller och polyom -Utsigal och seebeckkoefficieter för termoelemet B, E, J, K, N, R, S, T eligt IEC 60584 (1995). 10:2 -Utsigal för termoelemet W3Re/W25Re och W5Re/W26Re eligt ASTM 988
Läs merProgramvara. Dimmer KNX: 1, 3 och 4 utgångar Elektriska/mekaniska egenskaper: se produktens användarhandbok. TP-anordning Radioanordning
Programvara Dimmer KNX: 1, 3 och 4 ugångar Elekriska/mekaniska egenskaper: se produkens användarhandbok Produkreferens Produkbeskrivning Programvarans ref TP-anordning Radioanordning TXA661A TXA661B Dimakor
Läs merTentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3
Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska
Läs merFöreläsning 19: Fria svängningar I
1 KOMIHÅG 18: --------------------------------- Ellipsbanans soraxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 19: Fria svängningar I Fjäderkrafen
Läs merJobbflöden i svensk industri 1972-1996
Jobbflöden i svensk induri 1972-1996 av Fredrik Andersson 1999-10-12 Bilaga ill Projeke arbeslöshesförsäkring vid Näringsdeparemene Sammanfaning Denna udie dokumenerar heerogenieen i induriella arbesällens
Läs merLöneläget tsk o ortassar landet runt
Löeäge sk o orassar de ru Väsmds äs Igågs ö 16 5 Väsmd ca 2 ö 17 5 s 22 986 Or ass ägs 21 76 högs 24 35 mede 23 262.. öeuppgifer för dvårde 29 i Jököpigs äs dsig. eö Löesp Löespridig Tdsköerska 21179 2118
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merBASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator
Tryckoberoende elekronisk flödesregulaor Beskrivning är en komple produk som besår av e ryckoberoende A-spjäll med mäenhe som är ansluen ill en elekronisk flödesregulaor innehållande en dynamisk differensryckgivare.
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Insiuionen för REGLERTEKNIK, FRT Tenamen 5 mars 27 kl 8 3 Poängberäkning och beygssäning Lösningar och svar ill alla uppgifer skall vara klar moiverade. Tenamen omfaar oal 25 poäng. Poängberäkningen finns
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merLösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =
Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom
Läs merÖstersjön är ett unikt men hotat hav. Efter den här lektionen kommer du att veta:
Östersjöambassadör Östersjö är ett uikt me hotat hav. Efter de här lektioe kommer du att veta: vilke betydelse Östersjö har som ekosystem varför Östersjö är ett hotat hav vad du ka göra för att rädda Östersjö
Läs merTexten " alt antagna leverantörer" i Adminstrativa föreskrifter, kap 1 punkt 9 utgår.
I Anal: 4 Bilaga Avalsmall Ubilning (si. 6) Föryligane önskas om vilken sors ubilning som avses i skrivningen Ubilning skall illhanahållas kosnasfri 0 :40:04 Se a sycke. "Vi leverans ubilar leveranören
Läs merAllmänna avtalsvillkor för konsument
Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras
Läs merTentamen i matematisk statistik
Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merTenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2
Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
Läs mer1 av 10. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekviosssem med oek m m m m ss) och m ekvioer: E lföljd -ippel) s s s är e lösig ill
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merSkol-SM för unga maskinförare...
Skol-SM för ung mskinförre... -Klixelever åke ner ill Alves för ävl om mäsrieln i mskinkörning! Skol-SM för ung mskinförre nordns årligen run om i Sverige för kor skicklig förre i hjullsre, grävmskin och
Läs merFAQ. frequently asked questions
FAQ frequenly asked quesions På de följande sidorna har jag samla ihop några av de frågor jag under årens lopp få av sudener när diverse olika problem uppså i arbee med SPSS. De saisiska problemen har
Läs merDesign mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator
Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()
Läs mermed en differentialekvation. Det förmodligen mest typiska processexemplet på ett (oberoende variabler). Se avsnitt 2.3. Laboratoriet för reglerteknik
5. Ekla dyamiska sysem 5. Ekla dyamiska sysem I kapiel 3 härleddes modeller för e aal dyamiska sysem frå olika ekikområde. Gemesam för syseme var a de kude beskrivas med ordiära differeialekvaioer av låg
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer
Läs merTruckar och trafik farligt för förare
De händer en del i rafiken. För några år sedan körde en av Peer Swärdhs arbeskamraer av vägen. Pressade ider, ruckar och unga fordon. På åkerie finns många risker. Arbesgivaren är ansvarig för arbesmiljön,
Läs merSKÄRDATAREKOMMENDATIONER UDDEHOLM NIMAX
SKÄRATAREKOMMENATIONER UEHOLM NIMAX Lämpliga bearbetigsdata beror alltid på de aktuella operatioe, verktygsmaskie och vilket verktyg som aväds. e data som ages i det här bladet är geerella riktlijer som
Läs merHåkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14
1 Drifsredovisning inom skadeförsäkring - föreläsningsaneckningar ill kursavsnie Drifsredovisning i kursen Försäkringsredovi s- ning, hösen 2004 (Preliminär version) Håkan Pramsen, Länsförsäkringar 2003-09-14
Läs mer12. Rekreation. Nationella mål Kapitlet om rekreation berör de nationella folhälsomålens nionde målområde om fysisk aktivitet.
12. Naionella mål Kapile om rekreaion berör de naionella folhälomålen nionde målområde om fyik akivie. Kommunen övergripande mål Kommunen ka ge goda föruäningar för e variera ubud av friid- och kulurliv.
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merLektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2
Lekion 3 Projekplanering (PP) as posiion Projekplanering Rev. 834 MR Nivå 1 Uppgif PP1.1 Lieraur: Olhager () del II, kap. 5. Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. e är indelade i fyra nivåer
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i
Läs merKorrelationens betydelse vid GUM-analyser
Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska
Läs merhelst. poäng. (betyg Fx). Vem som Komplettering sker c:a Uppgift Uppgift Uppgift veta hur vänd! Var god
Teme i TEN, HF, Memisk sisik Dum -8-7 Kurskod HF Skrivid: 5-75 Lärre: Armi Hlilovi Hjälmedel: Bifog formelhäfe (" Formler oh beller i sisik ") oh miiräkre v vilke y som hels De är INTE TILLÅTET väd miilo,
Läs merKURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))
Kurvor på parameerform KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3 P=xyz T=x y z r=xyz En kurva i R 3 anges ofas på parameerform med re skalära ekvaioner: x = f 1, y = f, z = f 3, D R * För varje får vi en
Läs merE I T. Efficient & Integrated Transport. EIT - Efficient & Integrated Transport Processes. Projektkonferens
EIT - Efficie & Iegraed Trapor FFI Traporeffekivie i Projekkofere 2011-0-1 Se Lidgre, Odee Swede 1 Måläig och bakgrud EIT-projeke hadlar om hur rapor/logiikföreag kommuicerar med ia kuder (B2B-relaioer).
Läs merTunga lyft och lite skäll för den som fixar felen
Tunga lyf och lie skäll för den som fixar felen De fixar soppe i avloppe, de rasiga gångjärne, den läckande vämaskinen. De blir uskällda, igenkända, välkomnade. A jobba hemma hos människor har sina särskilda
Läs merSkillnaden mellan KPI och KPIX
Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merDiskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?
Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-
Läs merLeica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers
Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter
Läs merOrdinära differentialekvationer,
Ordinära dierenialekvaioner ODE:er sean@i.uu.se I is a ruism ha nohing is permanen excep change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver örändring oa i iden Modellen är beskriven i orm av
Läs merSKÄRDATAREKOMMENDATIONER RAMAX HH
SKÄRATAREKOMMENATIONER Lämpliga bearbetigsdata beror alltid på de aktuella operatioe, verktygsmaskie och vilket verktyg som aväds. e data som ages i det här bladet är geerella riktlijer som måste apassas
Läs merÅteranvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition
Iheritace Återavädig Två mekaismer Nedärvig av egeskaper (iheritace) Objekt kompositio A A +a +b B B Iheritace Återavädig geom att skapa subklasser kallas ofta white box reuse Ekelt att aväda Relatioe
Läs mer1 Elektromagnetisk induktion
1 Elekromagneisk indukion Elfäl accelererar laddningar och magneiska fäl ändrar laddningars rörelserikning. en elekrisk kres är de baerie som gör arbee på elekronerna som ger upphov ill en sröm i kresen.
Läs merTillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik
Pla rörelse Kiematik vid rotatio av stela kroppar Iledade kiematik för stela kroppar. För de två lijera, 1 och, i figure bredvid gäller att deras vikelpositioer, θ 1 och θ, kopplas ihop av ekvatioe Θ =
Läs merIntroduktion till Reglertekniken. Styr och Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde
Syr och Reglereknik FR: Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Vad är Reglereknik? Behov av syrning Vad är Reglereknik? Läran om Åerkopplade Sysem Blockschema Syr-
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs mer5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER
5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv
Läs mer