förekommer i uttrycket. och vidstående blockschema, Figur 8.1. Vi kan direkt säga att filtrets impulssvar blir

Transkript

1 8 Traverella ilter Vi har tidigare delat upp tiddireta ytem i två huvudgrupper traverella och reuriva ytem och amma uppdelig är aturligtvi giltig är vi börjar tala om tiddireta ilter eterom de är e typ av tiddireta ytem. Vi börjar med att tudera traverella ilter. Traverella ilter går ocå uder ame ice-reuriva ilter och FIR-ilter (Fiite Impule Repoe Filter). De arateriera av att diereevatioe bara iehåller e umma av alade och tiditade iigaler dv iga utigaler örutom reultatet y [ ] öreommer i uttrycet. 8. Traverella ilter allmäa egeaper Eterom de traverella iltre realiera bara med hjälp av alade och tiditade iigaler å ommer dera ipulvar att vara ädliga (ta lut ågo gåg) därav amet Fiite Impule Repoe Filter (FIR ädligt impulvar lä ädligt i tid). Filteroeicietera t ge diret av iltret impulvar dv vet vi öat impulvar ho ytemet å vet vi ocå vila ilteroeicieter vi all välja. Tar impulvaret låg tid på ig att bli oll å ommer vi vi doc att å ilter med måga ilteroeicieter. Ett aualt traveralilter ge av de geerella evatioe y N = [ ] = t x[ ] och vidtåede blocchema Figur 8.. Vi a diret äga att iltret impulvar blir N = [] = t [ ] h δ Freveegeapera beriv av ouriertraorme N j Ω ( Ω) = h[ ] e = = och vi har z-traorm t = e j Ω x[] τ τ τ Figur 8. Ett traveralilter grudtrutur t t t t 3 y[] N ( z) = h[ ] z = t z = = = Traverella ilter ida 8.

2 N N ( N ) ( z ) N ( N ) ( N ) = = = z t z = = N N = z z t z Vi er att ytemet har N tyce olltälle och N tyce poler. Alla poler ligger i origo meda evatioe ite ger ågra begräigar vad gäller olltällea placerig. Vi mi rå tidigare att ett ytem är tabilt om alla poler ligger iaör ehetcirel meda olltällea placerig ite påverar ytemet tabilitet. Då alla poler ligger i origo å betyder detta att ett traverellt ytem alltid är tabilt och vi har ull rihet att placera olltällea var vi vill ör att realiera öad ilterurva. Kom doc ihåg att vi måte aväda omplexojugerade olltälle om de ite ligger på reella axel i z-plaet ör att å reella ilterotater. I pratie ommer vi i de leta all att placera olltällea iaör eller på ehetcirel. 8.. egeaper Vi mi ocå att poler har törre ivera på ett ytem revegåg ä vad olltälle har. Då vi här ite aväder polera ör att tyra revegåge å a vi ite realiera reveurvor med ratiga variatioer i beloppurva. Vi ommer ocå att ia att vi ommer att behöva ilter med måga termer (tort N ) ör att realiera ilter om liar de ideala ilterurvora. Det är ite ovaligt med traverella ilter med - termer och detta ger ördröjig i ytemet eterom det tar tid ör igalera att vadra igeom alla ilterläar. Vi år ett lågamt ytem. Fördröjige alla på egela latecy (e blad aat Kapitel Tidördröjig latecy och eda). 8.. Faegeaper Det är möjligt att realiera traverella ilter med lijär agåg e egeap om vi tidigare har viat att de är övärd. Låt o börja med att e på e ice-aual variat av ett traverellt ilter. Atag att vi har ett ilter med ymmetria termer t N N N N = t = + L Vi ier att berivige örutätter udda atal termer vi återommer till jämt gradtal och att vi i mitte har e igulär term t vid = om ite matcha av ågo ymmetri term. Vi iör betecige M = N Vi har diereevatioe y M [ ] = t x[ ] = M Traverella ilter ida 8.

3 om ger revepetrat M j Ω j Ω j Ω ( Ω) = t e = t e + t + t e = = M M = = M M = M j Ω j Ω ( e + e ) = [ Euler ormler] = t + t ( Ω) = t + t co Vi er att petrat är ret reellt dv det aar avridig. Låt o göra ytemet aualt dv vi ördröjer alla termer M teg och har åter diereevatioe y N = [ ] = t x[ ] där vi då har t = t N L = N N Vi mi rå tidigare att ördröjig teg gjorde att vårt ytem hade amma beloppurva om det ice-ördröjda ytemet me ördröjige gav e avridig Ω dv vi år här avridige M Ω. Detta betyder att vårt auala ytem ommer att ha revepetrat ( Ω) = t + t co( Ω) M Ω = t + t co( Ω) Ω M Traverella ilter ida 8.3 N = N = = Vi har alltå lijär agåg. Dimeioerar vi vårt traverella ilter med ymmetria termer om vi eda ördröjer ör aualitet å ommer vi alltå att å ett ilter med lijär agåg e mycet vitig egeap ho traverella ilter om ite går att uppå ho reuriva ilter. Detta är e av örlarigara till att traverella ilter är valiga trot att de räver måga iltertermer. De adra örlarige är att dea ilter alltid är tabila. Vi åg att reoemaget örutatte udda atal iltertermer. Vi all eare i exempel e hur vi a realiera traverella ilter med jämt atal termer och ädå å lijär agåg. Vi år äve i detta all e ördröjig M = N me detta blir då ite ett heltal (ett helt atal ampel) uta ett tal med decimaldele 5. Fördröjige M är ocå de ördröjig om ommer att drabba e igal om paerar geom ytemet. 8. Traverella amilter De traverella amiltre har gaa peciella reveegeaper och har ae ite å tor prati avädig me dom har egeaper om är lätta att tola och det a därör vara lämpligt att aväda dom om iledade exampel på traverella ilter.

4 De elate orme av traverellt ilter år vi om vi ummerar uvarade ampel med ett ördröjt ampel dv vi apar ett eelt eo. 8.. y[]=x[]+x[- ] Låt o börja med diereevatioe y [ ] = x[ ] + x[ ] om ger revepetrat j Ω ( Ω) = + e = [ + co( Ω )] Figur 8. i arcta + co ( Ω ) ( Ω ) Eo x[]+x[-5] och z-traorme Normerad reve (relativt ) Figur 8. Eo = 5 poitivt tece revepetra belopp lijär ala ( z) = j z e z = + + z = = z z π ( + ) dv vi har olltälle jämt ördelade rut ehetcirel vid vilara Fem poler π ( + ) = L Figur 8.3 Figur 8.3 Eo = 5 poitivt tece pol/olltällediagram Traverella ilter ida 8.4

5 Vi er att vårt ela eo amtidigt är ett ilter hur vi tolar det beror på om vi er på egeapera i tid- eller reveplaet. Vi er att vi år utläcig vid ett atal reveer och vi ommer äve att påvera reveurva mella olltällea gaa mycet. Vi år utläcig vid reveera = ( + ) = utläcig L Ett ilter om på detta ätt ger utläcig vid jämt ördelade reveer bruar alla ör ett amilter. Vi er att de reveer om iltrera bort är e grudreve ( = ) och udda övertoer av dea (dv etc gåger grudrevee). Detta gör att vi a aväda detta ilter ör att iltrera bort törigar om har dea reveördelig vilet t ex är de övertoördelig vi har ho e yratvåg. I ljudammahag då vi mera är ute eter eoeete ä örädrige av reveegeapera är det ite ovaligt med eotider på millieuder eller mer. Låt o e hur måga ampel ördröjig detta iebär. Frå CD äer vi ige ampligrevee 44 z dv vi har 44. ampel uder e eud och millieuder ger 4.4 ördröjigteg. För att i pratie apa ovatåede ela diereevatio ör ett millieuder eo måte vi vid 44 z: ampligreve alltå ha ett mie med 4.4 mieceller. Vårt ilter ommer ocå att ha 4.4 olltälle dv det häder e hel del med revepetrat. Atalet mieceller och atalet olltälle juer aturligtvi om vi aväder e lägre ampligreve. Exempel Bilaga 8. Låt o variera eot lite. 8.. y[]=x[]-x[- ] Vi ubtraherar u i tället det ördröjda amplet rå uvarade ampel. Vi har diereevatioe y [ ] = x[ ] x[ ] och revepetrat j Ω ( Ω) = e = [ co( Ω )] i arcta co ( Ω ) ( Ω ) amt z-traorme Traverella ilter ida 8.5

6 z z z e z = ( z) = z = = π j Figur 8.4 dv vi har äve här olltälle jämt ördelade rut ehetcirel me u vid vilara Eo x[]-x[-5] π Figur 8.5 = L Normerad reve (relativt ) Figur 8.4 Eo = 5 egativt tece belopppetra lijär ala Vi er att petrat år amma orm om vid ummatioe me olltällereveera utläci g = Fem poler örjut å att vi u år utläcigar vid de reveer där vi tidigare hade toppar i petrat och tvärt om. Är vi ute eter att apa ett eo å är ite illade mella dea variat och de örra märbar me om ilter är ju egeapera u aorluda. Vi er att vi u har utläcig vid lipäig och vid alla heltalmultiplar av grudrevee dv vi a aväda iltret ör att elimiera törigaler med dea övertoördelig (alla övertoer). Tyvärr drabba vi ocå av utläcig vid lipäig. Exempel Bilaga y[]=x[]+t x[- ] Låt o e vad om häder om de två ummerade igalera ite är lia tora dv om vi iör e alator ör de ördröjda igale. I de leta all låter vi eot vara vagare ä diretigale dv t <. Vi har y [ ] = x[ ] + t x[ ] Figur 8.5 Eo = 5 egativt tece pol/olltällediagram j Ω ( Ω ) = + t e = + t + t co( Ω ) t i arcta + t co ( Ω ) ( Ω ) Figur 8.6 Traverella ilter ida 8.6

7 Eo x[]+.5 x[-5] Normerad reve (relativt ) Figur 8.6 Eo t = 5 = 5 poitivt tece belopppetra lijär ala ( z) = z t z t = + + t z = = z z e π ( + ) j dv om tidigare olltälle vid vilara π ( + ) = L Nolltällea ligger u ite på ehetcirel uta på e cirel med radie t Figur 8.7. Vi er att vi år olltälle vid amma reveer om tidigare me då olltällea u ite ligger på ehetcirel å år vi ite total utläcig vid de atuella reveera. Exempel Bilaga 8.3 Fem poler Figur 8.7 Eo t = 5 = 5 poitivt tece pol/olltällediagram 8..4 y[]=x[]-t x[- ] Motvarade reoemag ger ör evatioe y [ ] = x[ ] t x[ ] olltälle vid vilara π = L Traverella ilter ida 8.7

8 på e cirel med radie t. Vi år alltå ite heller här total utläcig vid olltällereveera Figur Eo x[]-.5 x[-5] Fem poler Figur 8.8 Eo t = 5 = 5 egativt tece pol/olltällediagram Normerad reve (relativt ) Figur 8.9 Eo t = 5 = 5 egativt tece belopppetra lijär ala 8.3 Medelvärdebildade ilter Ett aat eelt traverellt ilter är det medelvärdebildade iltret där vi ummerar ett atal ampel och delar med detta atal ör att beräa ample medelvärde. Filteramet örorta iblad till MV-ilter. I matematie bruar ma väl räa medelvärdet i e put geom att ummera putera ärmat öre och eter dea put och dela med atalet ummerade puter N dv y N M [ ] = x[ ] = M där N = M + lägg märe till att N är udda. Vi er att detta ytem ite är aualt och ör att å ett aualt ytem å år vi i tället ummera de N eate ample och dela med N. y N N = [ ] = x[ ] Att på detta ätt allt eterom beräa ett ytt medelvärde ör varje y tidput bruar alla ör löpade medelvärde (på egela ruig average). Då ma beräar medelvärde täer ma ae ite på ytemet om ett ilter ma är bara ute eter att via medelvärdet ia treder ho e igal me om ma täer eter lite å ier ma att ett medelvärde bara ommer att ta häy till örädrige över N ampel dv abbare örädrigar rå ampel till ampel ommer ite med. Vi har alltå ågo orm av lågpailter om dämpar abba örädrigar och det är väl uppebart att med öade atal ampel N i medelvärdet å ommer allt lägre reveer (låga periodtider) att iltrera bort dv grärevee juer med öade N. Traverella ilter ida 8.8

9 Vi ier att vi här har ett traverellt ilter där alla otater t är och vi a utgåede N rå tidigare reoemag dra lutate att det ymmetria ice-auala medelvärdebildade iltret aar avridig meda det auala iltret har lijär avridig ( M Ω där M = N ). Vårt medelvärdebildade ilter år med udda atal termer revepetrat N N ( Ω) = + co( Ω) Ω N = Exempel Bilaga 8.4 Vi viar i Bilaga 8.4 att vi med jämt atal termer år petrat N N ( Ω) = co[ ( 5) Ω] Ω N = Exempel Bilaga 8.5 I båda alle år petrat amma orm Figur 8. och Figur 8. repetive Figur 8. och Figur 8.3 lägg doc märe till att udda atal termer ger pabad vid revee meda jämt atal termer ger utläcig. Vi er att vi i båda alle har lijär avridig Figur 8.4 repetive Figur 8.5. petra medelvärdebildade ilter N=5 petra medelvärdebildade ilter N= Normerad reve (relativt ) Figur 8. Medelvärdebildade ilter N = 5 belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8. Medelvärdebildade ilter N = belopppetra lijär ala Traverella ilter ida 8.9

10 petra aualt medelvärdebildade ilter N=5 petra aualt medelvärdebildade ilter N= - - db relativt max db relativt max Normerad reve (relativt ) Figur 8. Medelvärdebildade ilter N = 5 belopppetra db-ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.3 Medelvärdebildade ilter N = belopppetra db- ala Faviel relativt pi Fapetra aualt medelvärdebildade ilter N= Faviel relativt pi Fapetra aualt medelvärdebildade ilter N= Normerad reve (relativt ) Figur 8.4 Medelvärdebildade ilter N = 5 apetra Normerad reve (relativt ) Figur 8.5 Medelvärdebildade ilter N = apetra Vi er att iltret ite är ett ret lågpailter. Vi har e å allad huvudloob cetrerad rut z om läpper igeom igale bät meda vi har ett atal å allade idoloober vid högre reve där igale ocå lipper igeom me ite lia bra om i huvudloobe. De olia loobera är eparerade av utläcigar där igale ite all lipper igeom. urva är iget aat ä de ic( x) -urva vi äer ige rå det retagulära ötret om vi aväde i ambad med DFT- och FFT-beräigar och det är ju ite å otigt det retagulära ötret och det medelvärdebildade iltret beriv ju av amma diereevatio om vi borter rå alator ho det medelvärdebildade iltret. N I z-plaet år iltre N poler i origo och lia måga olltälle på ehetcirel vid vilara Traverella ilter ida 8.

11 π N N N N N = ( z) = z = N = N z e z π j N dv olltällea ligger jämt ördelade rut ehetcirel bortett rå att det aa ett olltälle i z = dv = Figur Fyra poler Nio poler Figur 8.6 Medelvärdebildade ilter N = 5 pol/olltällediagram Figur 8.7 Medelvärdebildade ilter N = pol/olltällediagram Låt o e på två igurer Figur 8.9 repetive Figur 8. om viar löpade medelvärde ör e igal Figur 8.8 där vi medelvärdebildar över 5 repetive 5 termer. Amplitud Iigal Figur 8.8 Slumpmäig iigal tidörlopp Traverella ilter ida 8.

12 Medelvärde N=5 Medelvärde N= Amplitud. -. Amplitud Figur 8.9 Löpade medelvärde N = 5 tidörlopp Figur 8. Löpade medelvärde 5 N = tidörlopp Vi er att allt mer av de abba variatioera örvier då vi öar N dv grärevee juer ho vårt lågpailter. Samtidigt öar medelvärdet ördröjig i örhållade till iigale och allmät gäller ör ett traveralilter att det ger e ördröjig på amp- N ligperioder dv örädrigar ho iigale viar ig i utigale ört eter dea ördröjig. Vi har alltå ett att de medelvärdebildade iltre ger e orm av lågpailter me vi har gaa dålig otroll över ilterurva det eda vi a göra är att variera huvudloobe bred geom att variera atalet termer. Fler termer ger malare huvudloob. 8.4 Filterdimeioerig via iver ouriertraorm Vi ommer u ör örta gåge i på metoder där vi har bättre möjligheter att otrollera iltret reveurva och där vi deutom a välja reveurva gaa ritt. Vi all doc bara e på de yra grudläggade iltertypera lågpa- badpa- högpa och badpärrilter. Adra ilterormer a apa med amma metoder me det a bli ågot mer omplicerat. Vi ileder med traveralilterdimeioerig via iver ouriertraorm. Vi mi rå tidigare att om vi äer ett ytem reveegeaper överörigutio- Ω å a vi via iver ouriertraorm beräa ytemet impulvar. Vi har e ( ) h [ ] = ( ) π π Ω e j Ω dω Traverella ilter ida 8.

13 I de leta all atar vi vid vår dimeioerig att överörigutioe aar avridig Ω = Ω och vi öjer o med att peciicera ytemet beloppurva. dv ( ) ( ) De ivera ouriertraorme ger ytemet impulvar h [ ] och ör traverella ytem ge diereevatioe otater t av impulvaret eligt [ ] = t [ ] y[ ] = t x[ ] h δ = = dv beräige av impulvaret ger o våra ilterotater. Det i doc ett problem. Vi er att impulvaret har oädligt måga termer och ör att de ivera oruriertraorme all ua beriva överörigutioe ulltädigt å måte vi ha med alla termer i impulvaret dv h [ ] ör. Det är aturligtvi omöjligt att realiera motvarade diereevatio med oädligt atal termer. Vi a bara ta med ett begräat atal termer låt o ta med N tyce termer. Vi all e att om vi tar med tillräcligt måga termer och deutom väljer rätt termer ur de oädliga impulvarerie å ommer vi rätt ära de öade urvorme och ju ler termer vi tar med ju ärmare peciiatioe ommer vi. Låt o börja med lågpailter Lågpailter Vi atar att vårt ilter all aa avridig och att det all ha e ideal beloppurva dv ( Ω) = ( Ω) = g < g g Figur 8. Figur 8. Idealt lågpailter gräreve g pabadörtärig belopppetra Som tidigare å öjer vi o med att age rave ör reveer uder halva ampligrevee då reella oeicieter ommer att ge e peglad ilterurva i itervallet <. Beräigitervallet ör itegrale måte doc vara π dv vi måte ha med hela itervallet oll () till eller itervallet till. Iättig i uttrycet ör de ivera ouriertraorme ger via härledig Bilaga 8.6 ambade Traverella ilter ida 8.3

14 g Ω g = π t = h π Ω t = h[] = π [ ] = i( Ω ) = i c( Ω ) g g π g Obervera att t måte beräa eparat eterom uttrycet ör t år e olla i ämare ör =. Som vi agt tidigare å är det omöjligt att ta med oädligt måga termer i diereevatioe vi måte alltå begräa o till N tyce termer. ur all vi u välja dea termer? Låt o e vad om häder om vi öröer dimeioera ett lågpailter med pabadörtärig och gräreve. Lägg märe till att vi ite dimeioerar ör e 4 pecii gräreve i ertz uta dimeioerar ör e relativ reve g e reve relativt ampligrevee. Detta betyder att ädrar vi amligrevee å ommer vårt ilter ortarade att ha de relativa grärevee meda grärevee uttryct i ertz ommer att ädra i amma grad om ampligrevee äd- 4 ra. Detta är e allmä egeap ho all tiddiret dimeioerige och det är mycet vitigt att ie att vi haterar relativa reveer och ite verliga reveer. För att ua realiera iltret å måte vi välja ett ädligt atal ilterotater och därmed göra beräige över ett ädligt atal ampel. De örta tae är väl att ta med de N örta poitiva termera t t N å att vi år ett aualt ytem. Detta val ger vid N = repetive N = öljade igurer Figur 8. repetive Figur 8.3. Oymmetrit iv ourierlpg=/4 = N= Oymmetrit iv ourierlpg=/4 = N= Normerad reve (relativt ) Figur 8. FIR-ilter lågpa N = oymmetria termer belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.3 FIR-ilter lågpa N = oymmetria termer belopppetra lijär ala Traverella ilter ida 8.4

15 Vi er att reveurva ite är de öade och att öa atalet termer örbättrar ite ituatioe. Valet av termer är alltå ite bra. Låt o i tället ta med ymmetria termer dv = M M + L M M där N = M +. Lägg återige märe till att reoemaget räver udda atal termer. Figur Symmetrit iv ourierlpg=/4 = N= Symmetrit iv ourierlpg=/4 = N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.4 FIR-ilter lågpa N = ymmetria termer belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.5 FIR-ilter lågpa N = ymmetria termer belopppetra db-ala Symmetrit iv ourierlpg=/4 = N= Symmetrit iv ourierlpg=/4 = N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.6 FIR-ilter lågpa N = ymmetria termer belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.7 FIR-ilter lågpa N = ymmetria termer belopppetra db-ala Vi er att u har vi ommit rätt och om vätat ger öat atal termer e reveurva om ommer ärmare idealet. Filtret realiera alltå av diereevatioe Traverella ilter ida 8.5

16 y M [ ] = t x[ ] = M Det ilter vi u har dimeioerat har doc e allvarlig begräig det är ite aualt me om vi mi rå tidigare å ommer vi att å amma beloppurva om vi ördröjer ytemet å att det blir aualt dv vi ördröjer M ampligteg. Vi ommer då deutom att å e avridig M Ω me dea är lijär vilet vi tidigare har ett ite ditorerar igale däremot ördröj utigale M teg i örhållade till iigale. Vårt ilter år alltå till lut diereevatioe y N M = [ ] = t x[ ] Exempel Bilaga 8.7 Vi all via exempel e hur vi a hatera ilter med jämt atal termer på motvarade ätt. Dea beräig blir doc ågot mer omplicerad varör de ite reommedera. Exempel Bilaga 8.8 Som ye år beloppurva e tydlig avviele rå idealet trot ett högt gradtal. Vi år ett gaa ratigt rippel (vägig) i pabadet peciellt ära grärevee: Oberoede av gradtal å år vi e lia tor vägig där de törta toppe om ligger ärmat grärevee har e höjd av c:a 9 % av pabadörtärige. Feomeet alla Gibb eome och vi all eare e hur vi a aväda öterutioer ör att omma till rätta med detta. Vi er ocå ett rippel i pärrbadet och vi all e att äve dea dämpa av öterutioer. Övergåge mella pabad och pärrbad blir ite oädligt brat om de är ho det ideala iltret brathete öar doc med iltret gradtal. Ett ilter ompletterat med e öterutio ommer att ha midre brat övergåg mella paoch pärrbad ä ett ilter uta öter (retagulärt öter) vid amma gradtal. E mal badbredd (relativt ampligrevee) ho iltret örvårar dimeioerige det räv ler iltertermer ör att omma ära idealet i det allet. Är badbredde allt ör mal å ommer vi ite att ua dimeioera ett lämpligt ilter med dea metod. Vi all eare e att mal badbredd räver reuriva ilter. Exempel Bilaga 8.9 Vi a på motvarade ätt dimeioera adra typer av ilter. Äve i dea all örutätter ambade udda atal termer. Vi tuderar jämt atal termer i exempel i bilagora ögpailter För ett ilter med pabadörtärig och gräreve g Figur 8.8 har vi eligt härledig Bilaga 8. g Figur 8.8 Idealt högpailter gräreve g pabadörtärig belopppetra Traverella ilter ida 8.6

17 Ω h h g = π [] = i ( Ω ) π M [] = [ π Ω ] π Exempel Bilaga 8. g g u M Badpailter För ett ilter med pabadörtärig udre gräreve u och övre gräreve ö Figur 8.9 har vi eligt härledig Bilaga 8. Ω Ω h h u ö = π = π [] = [ i ( Ω ) i ( Ω ) ] π M [] = [ Ω Ω ] π u ö ö ö u u M u ö Figur 8.9 Idealt badpailter udre gräreve u övre gräreve ö pabadörtärig belopppetra Exempel Bilaga 8.3 Vi a ocå åtadomma ett badpailter geom att erieoppla ett lågpailter med gräreve ö med ett högpailter med gräreve u Bilaga Badpärrilter För ett ilter med pabadörtärig ett udre pabad med gräreve u och ett övre pabad med gräreve ö Figur 8.3 har vi eligt härledig Bilaga 8.5 Traverella ilter ida 8.7

18 Ω Ω h h u ö = π = π [] = [ i ( Ω ) i ( Ω ) ] π u ö M M [] = [ π Ω + Ω ] π u ö u ö u ö Figur 8.3 Idealt badpärrilter udre gräreve u övre gräreve ö pabadörtärig belopppetra Exempel Bilaga 8.6 Vi a ocå åtadomma ett badpärrilter geom att parallelloppla ett lågpailter med gräreve u och ett högpailter med gräreve ö vilet är preci vad ovatåede uttryc beriver Bilaga Filter via revetrapoerig av lågpailter De ova viade metodera att via diretitegrerig realiera högpa- badpa- och badpärrilter är ite de eda metoder vi a aväda. Vi a ocå utgåede rå lågpailter örlytta dea i reve revetrapoera iltre å att de ger öad ilterutio. Vi a erira o rå trigoometri att om vi multiplicerar två iuormade igaler med reveera repetive med varadra å år vi om vi väljer att ata att igalera har e aviel om ger coiuuttryc x x x () t = Aco( ω t) () t = Bco( ω t) AB () t x () t = Aco( ω t) Bco( ω t) = co ( ω ω ) Traverella ilter ida 8.8 AB [ t] + co[ ( ω + ω ) t] Multipliatioe alla ocå modulatio. Vi er att multipliatioe ger två coiuormade igaler om båda har ått amplitude och reveera AB repetive +. Våra urprugliga reveer i alltå ite lägre med uta vi har ått e umma- och e illadreve. Vi hade uat göra amma reoemag med adra iuormade utioer ä coiu me uttryce örvirra då av tece och avilar me

19 de blir i grude liadaa om vi ett ova dv de ger e umma- och e illadreve. I våra ilteruttryc har vi u ite e eda reveompoet uta ett bad av reveer om deiierar vårt pabad. Vi a alltå betrata de igaler om lipper igeom vårt pabad om oädligt måga reveompoeter var och e vid i reve och vi ulle ua multiplicera var och e av dea med e igal co( ω t) ör att revetrapoera igalera å att de paar vårt lågpailter och eda återtäller vi igalera via e y revetrapoerig. Metode är ite å bra då de örutätter att vi i e realtidtillämpig revetrapoerar igale allt eterom de ommer och detta räver beräigapacitet. Vi a i tället ör att revetrapoera igalera revetrapoera iltret geom att multiplicera jälva ilterutioe med co( ω t) Reultatet blir att hela pabadet lytta revetrapoera till ett aat revebad och vi a utgå rå ett lågpailter om vi revetrapoerar till högpa- badpa eller badpärrilter. är gör vi revetrapoerige vid dimeioerige och de behöver ite e då vi gör jälva iltrerige och de revetrapoerade iltre räver ite ber beräigapacitet ä vad lågpailtret gör. I våra härledigar utgår vi återige rå udda atal termer ho iltret ögpailter är revetrapoerar vi lågpailtret å att det cetrera rut ärledig Bilaga 8.8 Figur 8.3. PB - / - g g / PB - - / /- - / g + g /- g / /+ g Figur 8.3 Trapoerig av lågpailter till högpailter Traverella ilter ida 8.9

20 h h g LP [ ] = i( Ω ) co( π ) = ( ) i( Ω ) [] = π = π Ω g P g g Ω g g = π LP π g = M M + L M M Exempel Bilaga Badpailter Lågpailtret trapoera å att det hamar rut mittrevee Figur 8.3. ärledig Bilaga 8.8 PB - / - g g / PB / - / - ö - - u u ö / Figur 8.3 Trapoerig av lågpailter till badpailter Traverella ilter ida 8.

21 LP = ö u g = ö + u = h h LP [ ] = i( Ω ) co( Ω ) [] = π LP π BP Ω g Ω Ω g g = π = π g = M M + L M M Exempel Bilaga Badpärrilter Vi bygger upp iltret om e parallellopplig av ett lågpailter om ite räver ågo revetrapoerig och ett högpailter om vi dimeioerar via revetrapoerig av ett lågpailter på amma ätt om ova Figur ärledig Bilaga 8.8 PB - / - u u / PB - / - /+ ö - ö ö / + ö PB PB - / - u u - /+ ö - ö ö / + ö Figur 8.33 Badpärrilter rå parallellopplade lågpa- och högpailter Exempel Bilaga 8. Traverella ilter ida 8.

22 8.4.6 Föterutioer Vi åg tidigare att våra traveralilter dimeioerade via iver ouriertraorm har ett gaa tort rippel i både pa- och pärrbad om ite blir midre då vi öar gradtalet. Det eda om häder med ripplet då vi öar gradtalet är att det ryper ärmare övergåge mella pa- och pärrbad. För att dämpa detta rippel a vi aväda amma typ av öterutioer om vi aväde i ambad med DFT- och FFT-beräigar. Eterom vi reda har berivit dea utioer i detta ammahag (Kapitel 4.4. Föterutioer amt Bilaga 4. 4) å öjer vi o här med att via hur öterutioera iverar på ilterutioera. Vi mi att dea öterutioer var ymmetria på amma ätt om våra dimeioeriguttryc ör iver ouriertraorm är ymmetria (öre aualitetördröjig). Detta gör att vi aväder amma idex då vi beräar öterompoetera om då vi beräade ilteroeicietera dv vi beräar öterutioe [] = M M + L L M M w och multiplicerar ihop ilterotatera h [ ] med öterutioe [ ] w ator ör ator dv vi tar [] w[] = M M + L L M M h och år vårt ötrade ice-auala ilter y w M [ ] = t x[ ] w[ ] = M om vi ördröjer till det auala iltret y w N M = [ ] = t x[ ] w[ ] Det är vitigt att omma ihåg att para (multiplicera) ihop ilterotater och öterutiootater öre aualitetördröjige. Lägg märe till att vi i reoemaget har avät udda iltregradtal. Vi viar eare i exempel (Bilaga 8.3) hur vi aväder öter vid jämt iltergradtal. Eterom öterutioera är ymmetria å aar de avridig och då vi ördröjer det ompletta uttrycet ör aualitet å ommer det ötrade iltret att ha amma lijära avridig om det oötrade iltret. Figurera eda viar exempel på ötrade ilterutioer med olia iltergradtal och olia öterutioer. De trecade urva i diagramme viar ett ilter av amma gradtal me med retagulärt öter. Figur Traverella ilter ida 8.

23 FIR med triagulärt öter N= FIR med triagulärt öter N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.34 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och triagulärt öter belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.35 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och triagulärt öter belopppetra db-ala FIR med triagulärt öter N= FIR med triagulärt öter N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.36 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och triagulärt öter belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.37 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och triagulärt öter belopppetra db-ala Traverella ilter ida 8.3

24 FIR med Bartlettöter N= FIR med Bartlettöter N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.38 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och Bartlettöter belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.39 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och Bartlettöter belopppetra db-ala FIR med aigöter N= FIR med aigöter N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.4 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och aigöter belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.4 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och aigöter belopppetra db-ala Traverella ilter ida 8.4

25 FIR med ammigöter N= FIR med ammigöter N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.4 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och ammigöter belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.43 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och ammigöter belopppetra db-ala FIR med Blacmaöter N= FIR med Blacmaöter N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.44 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och Blacmaöter belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.45 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och Blacmaöter belopppetra db-ala Traverella ilter ida 8.5

26 FIR med Kaieröter beta=4 N= FIR med Kaieröter beta=4 N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.46 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och Kaieröter β = 4 belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.47 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och Kaieröter β = 4 belopppetra db-ala FIR med Kaieröter beta=8 N= FIR med Kaieröter beta=8 N= (db) Normerad reve (relativt ) Figur 8.48 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och Kaieröter β = 8 belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.49 FIR-ilter lågpa N = retagulärt och Kaieröter β = 8 belopppetra db-ala De trecade urva i diagramme om alltå viar iltret av amma gradtal med retagulärt öter (uta öter) gör att vi a tudera ötre ivera. Vi er att ötret ger ett gaa dåligt reultat då vi har bara termer. I allmähet bör ma aväda öter ört vid högre gradtal och vi er att vid termer blir reultatet rätt bra. Traverella ilter ida 8.6

27 Om vi jämör de ötrade ilterutioera ibörde å ger de lite olia utjämig av reveurva i olia delar av revepetrat och appliatioe år avgöra vile öterutio om är lämplig. Jämör vi det ötrade iltret med iltret uta öter å jämar alla öter ut urva (miar ripplet) me de gör amtidigt att övergåge mella pabad och pärrbad blir midre brat (lacare) och grärevee blir ite ritigt de öade. Iget ötrat ilter har amma brata övergåg mella pa- och pärrbad om det oötrade iltret med amma gradtal. Vill vi ha det ötrade iltret utjämig av ilterurva me å amma brathet om det oötrade iltret har i övergåge mella pa- och pärrbad å måte vi aväda ett högre gradtal ör det ötrade iltret. Då vi utgår rå ett lågpailter och revetrapoerar detta å pelar det ige roll om vi utör ötrige öre eller eter revetrapoerige bara vi gör de öre aualitetördröjige.. Exempel ötrat lågpailter udda gradtal Bilaga 8. Exempel ötrat lågpailter jämt gradtal Bilaga 8.3 Exempel högpailter med ammigöter udda gradtal Bilaga 8.4 Exempel badpailter med aigöter udda gradtal Bilaga 8.5 Exempel badpärrilter med Blacmaöter udda gradtal Bilaga Traverella reveamplade ilter Vi åg y hur vi a aväda iver ouriertraorm ör att dimeioera traveralilter dv vi utgår rå de otiuerliga reveurva och traormerar dea till öat atal ilterotater (impulvarvärde) i tidplaet via iver ouriertraorm. Detta ugerar bra då vi öar realiera ela ilterutioer t ex ideala lågpailter där dimeioerige ger itegratio av produte mella e otat (beloppet) och e. Vill vi realiera jω mer allmäa reveurvor är metode vårare att aväda eterom vi då a å reveberoede beloppurvor om ger e vårberäad itegral i de ivera ouriertraorme. Vi mi rå Kapitel Sigalyte via iver DFT eller iver FFT att vi ude aväda iver DFT eller iver FFT ör att ytetiera igaler. Vi a på liade ätt aväda dea metoder ör att ytetiera traverella ilter. Vi a då i tället ör att peciicera de otiuerliga reveurva age öade värde (örtärig och a) vid N tyce jämt ördelade reveer dv vi amplar reveurva och beräar eda motvarade tidutio dv impulvar och därmed ilterotater via iver DFT IDFT. Detta örutätter att de jämt ördelade reveer där vi agivit reveurva värde ammaaller med DFT: revetaplar dv = = N N N L De ivera DFT: ger lia måga termer i impulvaret (och därmed atal ilteroeicieter) om det atal reveompoeter N om vi har avät då vi agav öad amplad reveurva. Kom ihåg att de N reveompoetera ördelar ig över hela itervallet oll () till. Traverella ilter ida 8.7

28 Det är väl ite å vårt att ie att ju ler ompoeter vi tar med ju bättre blir iltret me amtidigt blir iltret lägre (ler termer) vilet ger mer omattade beräigar vid iltrerige. Vi år alltå våra ilterotater ur de ivera DFT: tidutio h []. Vi a ie att detta blir e gaa omattade beräig ugeär N omplexa multipliatioer och lia måga additioer och det är ige beräig vi gör ör had uta vi överlämar beräigarbetet åt e dator. Beräige behöver doc bara e vid dimeioerige å de belatar ite jälva iltrerige. I de leta all är det beloppurva vi ager i reveplaet meda vi ite vill ha ågo avridig eller ocå all de i alla all vara lijär. Vi mi rå ilterdimeioerige via iver ouriertraorm att de eda möjlighete att å e reveutio om aar avridig är att ha e tidutio om ligger ymmetrit rut tidpute = och om deutom all ha ymmetria termer dv h[ ] = h[ ]. Detta betydde att vi i beräige av reveutioe ite apade tiderie [] = N N h L uta i tället aväde tiderie h [] N N N N = + L L Vi er att e örutättig ör reoemaget är att N är udda det går att aväda ett jämt atal ampel me reoemaget blir ågot mer omplicerat varör vi utelämar detta. N För att å ett aualt ilter ördröjde vi eda dea erie teg dv N t = h = L N N och ic då amma beloppurva me e lijär avridig N ( ) = Ω Φ Ω ho vårt ilter. När vi u vill dimeioera ilter via IDFT å blir reoemaget arlit. Vi a aväda o av två olia agreppmetoder om ger amma reultat. I det ea allet år vi orret ilterotatöljd geom att omplettera petrat beloppurva med e aurva och i det adra allet aväder vi bara beloppurva me ige aurva och år då i tället tuva om de reulterade ample (ilterotatera). Vi utgår rå e amplad verio av vår öade beloppurva om vi då tolar om om det ulle vara DFT-petrat belopp ör vårt ilter. Doc bygger e åda petralberäige på e amplad tiderie [] = N N h L Traverella ilter ida 8.8

29 dv e erie om börjar vid tide = och ite e erie om är ymmetri rut dea tid. Det betyder att revepetrat (DFT:) på amma ätt om vid ilterdimeioerige via iver ouriertraorm måte ha e lijär avridig N ( ) = Ω Φ Ω och ör att ua aväda dea i ilterberäige å år vi ampla de dv aväda Φ [] N = π N Vi a ie att dea autio blir liada oberoede av hur de öade beloppurva N er ut de bygger ju bara på atalet ördröjigteg ( ) och ite på urva uteede. I vår IDFT-beräig utgår vi alltå rå petralompoeter med belopp [] och aviel Φ [ ] dv j Φ[ ] [] = [] e = [] co( Φ[] ) + j [ ] i( Φ[ ] ) = L N N = å ommer IDFT- Utelämar vi dea avridig och bara aväder o av [ ] [ ] beräige att ge amma värde om i ampelerie [ ] detta all oöad ordig. Vad beror då detta på? IFFT-beräige ger om vi agt e erie [] = N N h L h me värdea ommer i e aa i Vi mi rå ramtagadet av DFT-utioe i Kapitel 4 Sigaler och ytem i reveplaet att vi ude tola de om å att vi tog N tyce ampel ur e aperiodi utio och låtade om om dea N ampel berev e period ho e periodi igal. När vi u går baväge rå petrat till tidutioe å ommer vi att på amma ätt ha e periodi tidutio och utioe h [] beriver då e period ho dea igal (i detta all iltret impulvar). Vi mi återige rå ilterdimeioerige via iver ouriertraorm att vi ville aväda o av ymmetria termer rut tide = och eda ördröja utioe tide N ör att å lijär agåg. Vi vill göra amma a här. Periodicitete ho vår tiderie h [] gör att vi a ie att termera i itervallet = N till = N lia gära a tola om om de ligger i itervallet = N till = och vi år orret ampelerie om vi tuvar om erie å att vi tar ymmetria termer rut =. Detta iebär att vi ört tar ilterotatera i itervallet = N till = N och eda ilterotatera i iterval- Traverella ilter ida 8.9

30 let = till = N. Detta blir då givetvi preci amma erie om vi ic ova då vi j Φ[ ] aväde o av [ ] = [ ] e me ite tuvade om ample. I pratie ger de eare metode att ite aväda aviel och eda tuva om ample elare beräigar eterom vi då lipper aväda omplexa petraltermer [] i vår IDFT-beräig. Låt o jämöra e ilterdimeioerig via iver ouriertraorm och e ilterdimeioerig via iver DFT. Vi diuterar båda ätte att göra IDFT-beräige. Låt o e på ett eelt lågpailter med gräreve och pabadörtärig ett 4 (). Låt o ocå t ex välja gradtalet N = 49. Kom ihåg att de N amplade petralompoetera ligger jämt ördelade över hela itervallet och ite bara över itervallet dv vid = = N N N L och vår IDFT-beräig måte bygga på belopputioe [ ] i hela detta itervall dv äve de peglade belopputioe i itervallet.aväder vi o av de örta metode ör ilterdimeioerig via IDFT-beräig å måte vi deutom omplettera med de ova agiva amplade lijära autioe Φ [ ] dv de amplade reveerie vi aväder om idata till IDFT-beräige är [] = [] Φ[] = N N L Vi har edatåede igurer Figur Öad otiuerlig beloppurva Öad otiuerlig aurva Fa (relativt *pi) Normerad reve (relativt ) Figur 8.5 Öad beloppurva ör ilter dimeioerat via iver ouriertraorm Normerad reve (relativt ) Figur 8.5 Öad aurva ör ilter dimeioerat via iver ouriertraorm Traverella ilter ida 8.3

31 Öad amplad beloppurva Öad amplad aurva Fa (relativt *pi) Normerad reve (relativt ) Figur 8.5 Öad beloppurva ör ilter dimeioerat via iver DFT Normerad reve (relativt ) Figur 8.53 Öad aurva ör ilter dimeioerat via iver DFT.5 Filterotater beräade med a.5 Filterotater beräade uta a.4.4 Filterotater.3.. Filterotater Normerad reve (relativt ) Figur 8.54 Filterotater rå IDFTberäig med a Normerad reve (relativt ) Figur 8.55 Filterotater rå IDFTberäig uta a Traverella ilter ida 8.3

32 Omtuvade ilterotater beräade uta a.5.4 Filterotater Normerad reve (relativt ) Figur 8.56 Omtuvade ördröjda ilterotater rå IDFT-beräig uta a Vi er ur Figur 8.54 och Figur 8.56 att de två metodera om vätat ger amma reultat. Vi jämör u beloppurva ör detta ilter med motvarade urva ör ett ilter dimeioerat via iver ouriertraorm Figur Filter via iv ourier och IDFT N=49 Filter via iv ourier och IDFT N= IDFT Iv ourier (db) IDFT Iv ourier Normerad reve (relativt ) Figur 8.57 Realierad reveurva belopp ör ilter dimeioerat via iver ouriertraorm repetive via iver DFT lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.58 Realierad reveurva belopp ör ilter dimeioerat via iver ouriertraorm repetive via iver DFT db-ala Exempel Bilaga 8.7 Vi er att vi år arlia me ite ammaallade urvor. Vi har alltå i båda alle gaa mycet rippel både i pa-och pärrbad. Det om ger ripplet är i båda alle vårt rav på e abb (brat) övergåg mella pa- och pärrbad. Vid dimeioerige via iver ouriertraorm a vi ite på ågot eelt ätt lätta på detta rav eterom det ulle ge upphov till ett itervall i beloppurva där vi ite beier o på e otat ivå uta på e lutade lije. Detta ulle leda till att de ivera ouriertra- Traverella ilter ida 8.3

33 orme itegral i två itervall (ett uder och ett över ) ulle iehålla e reveberoede beloppterm i tället ör e otat och itegrale ulle bli vårlöt. Vid dimeioerig via iver DFT har vi ite detta problem eterom beräige blir liada oberoede av vila beloppvärde vi ager. Vi ädrar rave i öregåede dimeioerig å att vi lägger det örta (lägta) revevärdet i pärrbadet på beloppivå 5 i tället ör på ivå Figur Öad otiuerlig beloppurva Öad amplad beloppurva Normerad reve (relativt ) Figur 8.59 urva med midre brat övergåg mella pa- och pärrbad Normerad reve (relativt ) Figur 8.6 diagram med midre brat övergåg mella pa- och pärrbad Vilet ger vidtåede reveurva ör det realierade iltret Figur 8.6. Vi er att ripplet miar. Samtidigt har vi höjt grärevee ågot geom vår åtgärd att lägga ett ampel i pärrbadet på ivå 5 å ilterpeciiatioe a behöva orrigera. Vi år amtidigt e ågot lacare övergåg mella pa- och pärrbad Filter via iv ourier och IDFT N=49 IDFT Iv ourier Normerad reve (relativt ) Figur 8.6 Realierad reveurva belopp ör ilter med midre brat övergåg mella pa- och pärrbad dimeioerat via iver DFT lijär ala Traverella ilter ida 8.33

34 Om ma tuderar ambadet mella höjde på belopptapel i övergåge mella paoch pärrbad och ripplet torle å viar det ig att ripplet i detta all blir mit då tapel har höjde 66 Figur 8.6. Bäta höjd ligger i dea regio me varierar ågot med ilterpeciiatioe. Rippel Rippeltorle relativt otattorle Kotat Figur 8.6 Sambad mella höjd på tapel vid övergåg mella pa- och pärrbad och rippeltorle Vi år med tapelhöjde 66 vidtåede belopppetra Figur Exempel Bilaga 8.8 Filter via iv ourier och IDFT N= IDFT Iv ourier Normerad reve (relativt ) Figur 8.63 Realierad reveurva belopp ör ilter med midre brat övergåg mella pa- och pärrbad dimeioerat via iver DFT. Mellaliggade revetapel med höjde 66 lijär ala Vi a mia ripplet ytterligare geom att iöra ler teg i övergåge mella pa- och pärrbad dv ler revetaplar med avtagade amplitud. Dea ucceiva övergåg mella pa- och pärrbad ger doc aturligtvi e midre brat la ho övergåge. Metode paar ocå ör mer omplicerade reveurvor. Exempel Bilaga 8.9 Traverella ilter ida 8.34

35 8.6 Equirippelilter (Par-McClella) Vi åg ova hur traveralilter dimeioerade via iver ouriertraorm och via iver DFT gav rippel i pa- och pärrbad ett rippel om var tört ärmat övergåge mella pa- och pärrbad och var torle ite örädrade av iltret gradtal me ripplet örjöt ärmare övergåge mella pa- och pärrbad då gradtalet öade. Det a ya uppebart att vi ulle ua ua uppylla atta ilterrav med ett ilter av lägre gradtal om vi ude ördela ripplet jämt göra det lia tort över hela pa- repetive pärrbadet å att vi ite har e högta topp där vi måte uppylla rave meda vi larar rave med margial vid adra reveer. Vi deiierar vårt ilter geom att age ett atal öade egeaper ämlige gradtal N rippel i pabadet δ pa rippel i pärrbadet δ pärr pabadet gräreve pa pärrbadet gräreve pärr Figur 8.64 Vi er att rave till illad mot rave ör ilter dimeioerade via iver ouriertraorm om bara iehöll e grärve iehåller både e pabadreve pa och e pärrbadreve pärr och dea år ite ammaalla vi a ju ite apa ett ilter med oädligt abb övergåg mella pa- och pärrbad. Lägg märe till att pabadet gräreve age om de högta reve (ör ett lågpailter) där vi har juit er till pabadripplet udre ivå dv ite till de valiga 3 db-ivå meda pärrbadet gräreve är de lägta reve om ligger uder pärrbadrippelivå. Ager vi ör hårda rav litet rippel i pa- och pärrbad amtidigt om vi öar malt övergågbad mella pa- och pärrbad å a vi aturligtvi ite uppylla dea rav uta år lätta på ågot av rave. Egeapera är om agt beroede av varadra och vi a ite välja dom ritt. Det har doc utveclat metoder där vi håller ågra av parametrara ixa meda adra variera. O.errma och.w.schueler amt E.otetter har utveclat metoder där gradtalet N amt ripplet i pa- och pärrbad δ pa repetive δ pärr håll otat meda pa- och pärrbadet gräreveer pa repetive pärr variera. T.W.Par och J..McClella amt L.R.Rabier har utveclat metoder där gradtalet och pa- och pärrbadet gräreveer håll otat meda ripplet i pa- och pärrbad variera. Beräigmetodera bygger på gaa bevärliga optimerigalgoritmer om räver att ma upprepade (iterativt) beräar ya ilterotater och öröer miimera ilterurva avviele rå de ideala urva dv miimera elet. Dea iterativa metoder räver datorbehadlig och vi ommer ite att gå ärmare i på dem Traverella ilter ida δ δ Par-McClella-peciiatio pa pärr Normerad reve (relativt ) Figur 8.64 Kravpeciiatio ör equirippelilter beloppurva lijär ala δ

36 Filtertype alla equirippelilter och de met äda beräigmetode är Par-McClella metod och dea bygger i i tur på e beräigalgoritm (utbytealgoritm) ramtage av E.Y.Remez. Metode i att tillgå i de leta ilterdimeioerigprogram. Figur J.F.Kaier har agivit e ugeärlig metod ör att beräa ödvädigt gradtal ho ett equirippelilter pärr pa = log p N 46 ( δ δ ) 3 + E ågot mera oggra beräig har givit av O.errma x = log x = log g N ( δ ) ( δ ) ( δ δ ) = [ 539 x + 74 x 476] [ 66 x x + 478] ( δ δ ) = + 544( x x ) ( δ δ ) g( δ δ ) ( ) x är år ma omma ihåg att ripplet p δ i pabadet och ripplet δ i pärrbadet all vara agivet i gåger ite i db. Vi år deutom omma ihåg att pabadripplet är vägige rut ivå ör pabadörtärige om i beräige bör vara ett (). Vill vi ha e aa pabadörtärig a vi alltid ala ilteroeicietera med dea ator eter dimeioerige. Traverella ilter ida 8.36

37 Par-McClellaN=5delta=.3 Par-McClellaN=5delta= Normerad reve (relativt ) Figur 8.65 Par-McClellailter lågpa = b = 3 N = 5 belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.66 Par-McClellailter lågpa = b = 3 N = 5 belopppetra db-ala Par-McClellaN=delta=.3 Par-McClellaN=delta= Normerad reve (relativt ) Figur 8.67 Par-McClellailter lågpa = b = 3 N = belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.68 Par-McClellailter lågpa = b = 3 N = belopppetra db-ala Traverella ilter ida 8.37

38 Par-McClellaN=delta=. Par-McClellaN=delta= Normerad reve (relativt ) Figur 8.69 Förhöjt pabadrippel Par- McClellailter LP = b = N = belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.7 Förhöjt pabadrippel Par- McClellailter LP = b = N = belopppetra db-ala Equirippelilter med olia gradtal Bilaga 8.3 Equirippelilter med olia breda övergågbad mella pa- och pärrbad Bilaga 8.3 Exempel Bilaga Dieretiatorer E dieretiator är de tiddireta motvarighete till e deriverade ret och beräar hatighetörädrige ho e igal dv tidurva lutig mella ample. Futiotype aller väl egetlige ite i uder gruppe traveralilter i traditioell meig me då de realiera om e traverell lä å tar vi upp de här Reell dieretiator De elate variate beräar illade mella två eteröljade ampel dv y [ ] = x[ ] x[ ] vilet är ett eelt örta ordige högpailter med petrat j Ω ( Ω) = e = co( Ω) + j i ( Ω) om har beloppet Ω ( Ω) = [ co( Ω) ] + i ( Ω) = co( Ω) + = [ co( Ω) ] = i Traverella ilter ida 8.38

39 Dieretiator har reella termer Figur Reell dieetiator Normerad reve (relativt ) Figur 8.7 Ideal dieretiator belopppetra lijär ala 8.7. Ideal dieretiator E ideal dieretiator all ha ett belopp om är proportioellt mot Ω eterom vi a derivera ram lutigoeiciete om d d [ i ( Ω) ] = Ωco( Ω) Figur Ideal dieretiator Normerad reve (relativt ) Figur 8.7 Reell dieretiator belopppetra lijär ala För må Ω (låg reve relativt ) å har vi Ω Ω ( Ω) = i = Ω dv de ela reella dieretiator uppyller öemåle me då blir reultatet ämre och ( Ω). Ω π dv då Traverella ilter ida 8.39

40 Traverella ilter ida Imagiär dieretiator Vi a alltid dela upp ett petra i real- och imagiärdel ( ) ( ) ( ) Ω + Ω = Ω I j R där realdele repreeterar coiuterme i [ ] h dv de är jäm meda imagiärdele repreeterar iuterme i [] h dv de är udda vilet är vad e ideal dieretiator all vara då de är proportioell mot Ω. Vi bör alltå ör öad dieretiatorurva aväda dimeioerige ( ) ( ) π π < < Ω Ω = Ω = Ω j I j Vi år via iver ouriertraorm impulvaret [ ] ( ) = ± ± = ± ± ± = ± Ω = Ω Ω = Ω = Ω Ω d e j d e h j j K K π π π π π dv vi år diereevatioe [ ] [ ] [ ] = = + = M M x x y om eter aualitetördröjig ger [ ] ( ) [ ] [ ] + = = + = M M M M M x M x M y Truerig till M termer ger rippel i revepetrat Figur Vi a äve här mia ripplet i revepetrat med hjälp av öterutioer t ex ett aigöter Figur 8.74.

41 4 Imagiär dieretiatorn=5 4 Imagiär dieretiatoraign= Normerad reve (relativt ) Figur 8.73 Imagiär dieretiator N = 5 belopppetra lijär ala Normerad reve (relativt ) Figur 8.74 Imagiär dieretiator med ammigöter N = 5 belopppetra lijär ala Bilaga 8.33 Figur 8.75 ammaattar de yra diuterade typera av dieretiator Sammaattig dieretiatorern=5 Imagiär Imagiär med öter.5.5 Ideal Reell Normerad reve (relativt ) Figur 8.75 Jämörele mella ideal reell dieretiator imagiär dieretiator ( N = 5 ) amt imagiär dieretiator med ammigöter ( N = 5 ) belopppetra lijär ala 8.8 Slutommetarer om traveralilter egeaper Vi har i det öregåede tuderat traveralilter och ett att dom har ett atal poitiva egeaper varav de vitigate är + lijär agåg (om vi dimeioerar dom rätt) om gör att alla igalompoeter om paerar ett ådat ilter ommer att ha amma ördröjig oberoede av reve (om Traverella ilter ida 8.4

42 igalrevee är uder örtå) och ördröjigara ommer ite att påvera urvorme + ilterurva tyr bara av ytemet olltälle alla poler ligger i origo vilet gör att traverella ilter alltid är tabila Vi har ocå ett ett atal acdelar ör att å öad reveurva å måte vi ha ett lågt ilter (måga iltertermer) vilet täller rav på mieutrymme både ör ilterotater och ampel iltret ommer att ha e ördröjig på appt halva ilterlägde ( M = N ) gåger ampligperiode T vilet blir e rätt låg tid om ilterlägde är tor. Det dröjer alltå ia iltret utigal reagerar på iltret iigal. Vill vi ha ett ytem om reagerar abbt a detta vara occeptabelt de låga ilterlägde gör att vi måte hia med måga beräigar uder e ampligperiod om vi vill jobba i realtid och beräa e y utigal ia äta ampel ommer. Detta gör att vi atige måte ha e abb proceor eller ocå måte vi hålla er ampligrevee eller aväda ilter av lägre gradtal om ger ämre reveegeaper Traverella ilter ida 8.4