Lågpassfilter. - filtrets passbandsförstärkning - filtrets gränsfrekvens - filtrets egenfrekvens H PB. arctan. Bilaga 7.1 sida 7.1.

Transkript

1 Bilaga 7. Vi kall här tudera egenkaper ho analoga ilter ör att enare i kuren preentera metoder ör att realiera tiddikreta ilter med liknande egenkaper.. Texten är en utvidgning av den text om örekommer i Grundboken Kapitel 7 Filterbegrepp och iltertrukturer. Vi börar med att tudera enkla ilter av örta och andra grad, eterom de är ota örekommande och deutom kan ge ett likormigt behandlingätt. är tuderar vi de olika iltertyper om kan örekomma, dv ör örtagradilter lågpa, högpa- och allpailter medan vi ör andragradlänkar deutom kan dimenionera bandpa- och bandpärrilter. Vi går däreter över till att tudera ett antal analoga ilteramiler om genom ina gemenamma egenkaper har ått egna namn (Butterworth-, Tebytev-, Cauer- och Beelilter). För dea amiler kommer vi bara att tudera lågpailter men vi preenterar i Grundboken metoder ör att tranormera om dea lågpailter till högpa-, bandpa- och bandpärrilter (Kapitel Lågpa högpa, Kapitel Lågpa bandpa och Kapitel Lågpa bandpärr). Då vi har ett rekvenuttryck är det lämpligt att öröka kriva uttrycket på en ådan orm att vi med hälp av ämöreler med dea grunduttryck kan identiiera vilken iltertyp vi har. Vi ammanattar här bara ilterekvationer amt iltren beloppkurva (linärt och i decibel med logaritmik rekvenkala) och ger några kommentarer. I amtliga uttryck betecknar pb - iltret pabandörtärkning g - iltret gränrekven - iltret egenrekven Förtagradilter Förtagradlänkar karakteriera av att ha en rekvenberoende term med högta gradtal ett ( n ). Av iltergrundtyperna kan vi här bara kapa låg- och högpailter, inte bandpaoch bandpärr. Vi kan deutom kapa allpailter. I amtliga igurer är pabandörtärkningen normerad till medan gränrekvenen är normerad till g z. Lågpailter pb ( ) PB g PB g arctan g Bilaga 7. ida 7..

2 ( ) PB g PB g arctan g Förtagradilter LP g z Förtagradilter LP g z.8-5 Belopp Figur B7.. Förta graden lågpailter, belopppektra, linär kala Figur B7.. Förta graden lågpailter, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Förtagradilter LP g z Favinkel (relativt pi) Figur B7..3 Förta graden lågpailter, apektra, linär kala Bilaga 7. ida 7..

3 ögpailter ( ) PB g g PB g g arctan g ( ) PB g g PB g g arctan g Förtagradilter P g z Förtagradilter P g z.8-5 Belopp Figur B7..4 Förta graden högpailter, belopppektra, linär kala -5 - Figur B7..5 Förta graden högpailter, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..3

4 Förtagradilter P g z.5 Favinkel (relativt pi) Figur B7.. Förta graden högpailter, apektra, linär kala Allpailter Dea ilter påverkar inte ignalen belopp men de ger däremot avridning. Filtret kan anta två olika ormer. Den örta ormen ger poitiv avridning. ( ) arctan ( ) arctan Favinkel (relativt pi) Förtagradilter AP typ z Figur 7..7 Förta graden allpailter, poitiv avridning, apektra, linär kala Bilaga 7. ida 7..4

5 Medan den andra ormen ger negativ avridning. ( ) arctan ( ) arctan Favinkel (relativt pi) Förtagradilter AP typ z Figur B7..8 Förta graden allpailter, negativ avridning, apektra, linär kala Analoga ilter med allpaegenkaper brukar bara kunna realiera inom begränade rekvenområden. Andragradilter är tillkommer aktorn Q om akna i örtagradiltren. Faktorn kalla ytemet Q- värde eller godhettal. Vi känner igen aktorn rån ellära där amma aktor dök upp i amband med reonankretar. I det ammanhanget angav godhettalet i princip en pole induktan i örhållande till polen inre reitan, u mindre inre reitan u törre godhettal. Stort godhettal är en örutättning ör en karp ditinkt reonanrekven ho reonankreten. Vi kan i bilagorna på liknande ätt e hur högt Q-värde gör att övergången rån pa- till pärrband kan göra karpare, men på bekotnad av att beloppkurvan år en reonantopp (rippel) amt en allt mer olinär agång. I reglerteknikammanhang talar man i tället om tröghet ξ och vi har ambandet ξ Q I amtliga igurer är pabandörtärkningen normerad till och egenrekvenen är normerad till z. Obervera att i de leta all är inte egenrekven och gränrekven amma ak. pb Bilaga 7. ida 7..5

6 Lågpailter ( ) PB Q PB Q arctan Q ( ) PB Q PB Q arctan Q Andragradilter LP z Andragradilter LP z. Q,5 Q Belopp Q,5 Q,5 Q Q, Q,7 Q, Figur B7..9 Andra graden lågpailter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, linär kala Figur B7.. Andra graden lågpailter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..

7 4 Andragradilter LP z Andragradilter LP z Q,7 Q,5 Q Favinkel (relativt pi) Q,5 Q,7 Q Q,5-3 Q,5-4 - Figur 7.. Andra graden lågpailter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, detalbild, db-kala, logaritmik rekvenkala Figur 7. Andra graden lågpailter, Q,5,,7, och,5, apektra, linär kala Sambandet mellan egenrekvenen och gränrekvenen ge av g g Q Q Vi er att ör Q < blir gränrekvenen lägre än egenrekvenen, ör Q blir egen- och gränrekvenen likadana och ör Q > blir gränrekvenen högre än egenrekvenen. Egenrekvenen har egentligen ingen praktik innebörd ör lågoch högpailter utan är mer av en enkel beräkningkontant, det är den rekven om ger realdelen noll i överöringunktionen nämnare. För bandpa- och bandpärrilter ger egenrekvenen iltren mittrekvener, e nedan. ögpailter ( ) PB Q Bilaga 7. ida 7..7

8 arctan Q Q PB ( ) Q PB arctan Q Q PB Belopp Andragradilter P z Q,5 Q,7 Q Q,5 Figur B7..3 Andra graden högpailter, Q och,5, belopppektra, linär kala,7,,5, Andragradilter P z Q,5 Q,7 Q Q,5 Figur B7..4 Andra graden högpailter, Q,7,,5, och,5, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..8

9 4 Andragradilter P z Andragradilter P z Q,5 Q Q,7 Q,5 Figur B7..5 Andra graden högpailter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, detalbild, db-kala, logaritmik rekvenkala Favinkel (relativt pi) Q,5 Q,7 Q Q, Figur B7.. Andra graden högpailter, Q,5,,7, och,5, apektra, linär kala är ge ambandet mellan egenrekvenen och gränrekvenen av g Q Q Vi er att ör Q < blir gränrekvenen högre än egenrekvenen, ör Q blir egen- och gränrekvenen likadana och ör Q > blir gränrekvenen lägre än egenrekvenen. Att reultatet ör låg- och högpailter verkar bli olika kan yna märkligt men tänker man eter å är reultaten egentligen likadana. ar vi ett lågpailter med högre gränrekven än egenrekven å måte ett högpailter om beter ig likadant vara detta ilter pegelbild rekvenmäigt och då kommer högpailtret att ha en gränrekven om är lägre än egenrekvenen. ar vi ett låg- och ett högpailter med amma egenrekven å gäller g, lågpa g, högpa k k Bilaga 7. ida 7..9

10 Bandpailter ( ) PB Q Q Q ( ) PB Q Q Q PB arctan Q Andragradilter BP z Andragradilter BP z. Q,5 Belopp.8..4 Q,5 Q,5 Q,7 Q Q,7 Q Q, Figur B7..7 Andra graden bandpailter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, linär kala -5 - Figur B7..8 Andra graden bandpailter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..

11 Andragradilter BP z.5 Andragradilter BP z Q,5 Q,5 Q,7 Q Favinkel (relativt pi) Q,5 Q,5 Q,7 Q -5 Figur B7..9 Andra graden bandpailter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, detalbild, db-kala, logaritmik rekvenkala Figur B7.. Andra graden bandpailter, Q,5,,7, och,5, apektra, linär kala Lägg märke till ilterymmetrin då vi ritar beloppkurvan med logaritmik rekvenkala. är har egenrekvenen en praktik innebörd då den är lika med bandpailtret mittrekven. Den undre gränrekvenen och den övre gränrekvenen ge av gu gö g ± Q Q Om plu- eller minutecken kall använda ör undre gränrekvenen repektive ör övre gränrekvenen avgör av Q-värdet torlek, undre gränrekvenen måte u vara lägre än egenrekvenen, medan övre gränrekvenen måte vara högre än egenrekvenen. Vi har deutom ambanden gu gö B gö gu Q där B är iltret bandbredd i ertz. Bilaga 7. ida 7..

12 Bandpärrilter ( ) PB Q ( ) PB Q Q PB arctan Q Andragradilter BS z Andragradilter BS z. Q,5 Q,5-5 Q Q,7 Belopp Q Q,7 Q, Q, Figur B7.. Adra graden bandpärrilter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, linär kala -5 - Figur B7.. Andra graden bandpärrilter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..

13 Andragradilter BS z.5 Andragradilter BS z Q,5 Q Q,7 Q,5 Favinkel (relativt pi) Q,5 Q,7 Q Q, Figur B7..3 Andra graden bandpärrilter, Q,5,,7, och,5, belopppektra, detalbild, db-kala, logaritmik rekvenkala Figur B7..4 Andra graden bandpärrilter, Q,5,,7, och,5, apektra, linär kala Lägg åter märke till ymmetrin i beloppkurvan då logaritmik rekvenkala använd. är gäller amma amband om ör bandpailtret vad gäller gränrekvener, bandbredd, egenrekven och Q-värde men värdena relaterar ig då, inte om i det allet till pabandet torlek (bredd), utan nu till pärrbandet torlek (bredd). Allpailter Även här har allpailtret två olika ormer. Fört med poitiv avridning. ( ) Q Q Q arctan ( ) Q Q Favinkel (relativt pi) Andragradilter AP typ z Q,5 Q Q,7 Q, Figur B7..5 Andra graden allpailter, Q,5,,7, och,5, poitiv avridning, apektra, linär kala Bilaga 7. ida 7..3

14 arctan Q Och i det andra allet med negativ avridning. ( ) Q Q arctan Q ( ) Q Q arctan Q Favinkel (relativt pi) Andragradilter AP typ z Q,5 Q,7 Q Q,5 Figur B7.. Andra graden allpailter,,7,,5, Q och,5, negativ avridning, apektra, linär kala Filteramiler Vi övergår nu till att titta på ett antal å kallade ilteramiler, grupper av ilter om har amlat i amiler på grund av ina likartade egenkaper. Familerna har i de leta all ått namn eter peroner om har varit involverade i härledandet och trukturerandet av dea amiler även om man i allmänhet inte kan äga att dea peroner har upptäckt iltertyperna. Vi kommer bara att betrakta lågpailter rån de olika amilerna. I amtliga ilter är pabandörtärkningen normerad till pb och gränrekvenen är normerad till. g z Bilaga 7. ida 7..4

15 Butterworthilter Butterworthilter eller maximalt plana ilter av lågpatyp karakteriera av att då vi ökar rekvenen å kommer iltret beloppkurva i pabandet att ligga horiontellt å länge om möligt innan kurvan börar alla av. Kurvan år inte ha någon överväng, dv kurvan kall vara monotont avtagande. Vi er dea egenkaper bät i ett belopppektra med logaritmik rekvenaxel och decibelkala..9 Butterworthilter.5 Butterworthilter n n4.7.9 n3 Belopp n4 n5 n n3 Belopp n Figur 7..7 Butterworthilter, n, 3, 4 och 5, belopppektra, linär kala..5.5 Figur 7..8 Butterworthilter, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild, linär kala Butterworthilter Butterworthilter n n3 n4 n n4 n5 n3 n Figur 7..9 Butterworthilter n, 3, 4 och 5, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Figur 7..3 Butterworthilter, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild, dbkala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..5

16 Butterworthilter Favinkel (relativt pi) n n n3 n Figur 7..3 Butterworthilter, n, 3, 4 och 5, apektra, logaritmik rekvenkala Lägg märke till att alla kurvor paerar genom punkten 3 db, dv gränrekvenen. För iltertypen ligger alla nolltällen i oändligheten medan polerna ligger på en cirkel med radien i -planet och vid vinklarna g Φ k n ( k ) k,,, K, n, n Im g Im g Re Re g g Figur 7..3 Poler ör Butterworthilter, n Figur Poler ör Butterworthilter, n 3 Bilaga 7. ida 7..

17 g Im Re g Figur Poler ör Butterworthilter, n 4 Vi år ör nedantående överöringunktion då vi använder pabandörtärkningen ett () och den normerade gränvinkelrekvenen n g rad/ekund. () e e e e 4 3 co e e om ger ( ) och vi år beloppet ( ) ( ) 4 Om vi ämör med det allmänna uttrycket ör ett andra ordningen lågpailter ( ) Q PB Bilaga 7. ida 7..7

18 å er vi att ett andra ordningen Butterworthilter har Q-värdet vilket ockå innebär att ör ett Butterworthiltret är egenrekven och gränrekven amma ak. På amma ätt år vi ör gradtal 3 () ( ) ( ) e e e e ( ) ( ) ( ) 3 co 3 om ger ( ) 3 och beloppet ( ) Även här gäller att egenrekvenen är denamma om gränrekvenen vilket är en allmän egenkap ho Butterworthilter. Produkten ( ) ( ) viar att vi kan realiera iltret om en eriekoppling av en örtagradlänk och en andragradlänk och ämör vi med det allmänna uttrycket ör andragradlänken å er vi att denna andragradalänk nu kall ha Q-värdet ett (). Generellt år vi ör ett Butterworthilter av gradtal n () ( ) ( ) ( ) ( ) n udda n k ämn n n k e n k n k n k n k co co och vi år beloppet Bilaga 7. ida 7..8

19 ( ) n Om vi vill ha en dämpning på mint D db vid någon rekven i pärrbandet å pärr motvarar denna rekven vinkelrekvenen den normerade gränvinkelrekvenen radian/ekund å år vi pärr n D D pärr n g pärr g dv vi måte väla gradtalet pärr och då ovantående uttryck gäller ör n D log pärr log g Tebytevilter Vi åg ovan att Butterworthiltret gav en beloppkurva om var plan i nätan hela pabandet men börade alla av (böa av nedåt) då vi närmade o gränrekvenen, dv all pabanddämpning ligger i intervallet närmat gränrekvenen. På motvarande ätt år vi inte å kratig dämpning i pärrbandet då vi beinner o nära gränrekvenen. Vi kall nu e på två amiler av ilter där man i det örta allet (Tebytev typ I) ördelar pabanddämpningen ämnare över pabandet genom att lägga den om en vängning, ett rippel, i pabandet. Vi år alltå mindre dämpning i närheten av gränrekvenen men introducerar i tället dämpning i andra intervall inom pabandet. Vi har däremot inget rippel i pärrbandet. I den andra typen av ilter (Tebytev typ II) ördelar vi pärrbanddämpningen ämnare över pärrbandet och år kratigare dämpning nära gränrekvenen amtidigt om vi år rippel i andra delar av pärrbandet. I detta all akna rippel i pabandet. Filtren har ått namn eter den ryke matematikern Panuti L. Tebytev. Eterom namnet kommer rån rykan, om använder det kyrilika alabetet, å har den onetika överättningen i väteuropa och USA givit upphov till divere olika tavningar av namnet, t ex Tebyev, Tebyche, Chebyche etc. Vi kall enare e på en amil av ilter om kalla Cauerilter eller elliptika ilter där vi ördelar dämpningen ämnt över både pa- och pärrband vilket gör att vi år rippel i både pa- och pärrband. Tebytev typ I är utgår vi rån den mängd rippel år beräkningaktorerna D rippel (i decibel) vi kan acceptera i pabandet och Bilaga 7. ida 7..9

20 ε η D rippel arcin h n ε Im Re Om vi åter betraktar ett normerat ilter med pabandörtärkning ett () och gränvinkelrekven radian/ekund å kommer polerna att hamna på en ellip med tora radien uteter imaginära axeln och lilla radien uteter reella axeln. Stora repektive lilla radien ge av Figur Poler ör Tebytevilter typ I, n 4 R coh r inh ( η) ( η) Även här ligger alla nolltällen i oändligheten medan polerna ge av pk ak bk ak in n bk co n ( k ) inh( η) ( k ) coh( η) k,, K, n, n inh och coh är hyperbolika unktioner om bekriv i Bilaga 7.. Obervera att ovantående beräkningar deinierar gränrekvenen om den rekven där pabandörtärkningen har unkit med ripplenivån och inte enligt den vanligare deinitionen av gränrekven om den rekven där pabandörtärkningen har unkit 3 db. Genom att dividera uttrycken ör radierna R och r amt polkoordinaterna a k och b med coh ( η) å kan vi i tället utgå irån 3 db-nivån. k Bilaga 7. ida 7..

21 Tebytev typ I.5 Tebytev typ I Belopp Belopp.95.9,5 db.3.,5 db,5 db.85,5 db Figur 7..3 Tebytevilter typ I, n 4,,5 repektive,5 db: rippel, belopppektra, linär kala Figur Tebytevilter typ I, n 4,,5 repektive,5 db: rippel, belopppektra, detalbild, linär kala Tebytev typ I Tebytev typ I ,5 db ,5 db,5 db ,5 db Figur Tebytevilter typ I, n 4,,5 repektive,5 db: rippel, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Figur Tebytevilter typ I, n 4,,5 repektive,5 db: rippel, belopppektra, detalbild, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..

22 Tebytev typ I Favinkel (relativt pi) ,5 db,5 db - - Figur 7..4 Tebytevilter typ I, n 4,,5 repektive,5 db: rippel, apektra, logaritmik rekvenkala Belopp n5 Tebytev typ I n3 n4 n Figur 7..4 Tebytevilter typ I, n, 3, 4 och 5,,5 db: rippel, belopppektra, linär kala Belopp n5 Tebytev typ I n n3 n Figur 7..4 ör Tebytevilter typ I, n, 3, 4 och 5,,5 db: rippel, belopppektra, detalbild, linär kala Bilaga 7. ida 7..

23 - Tebytev typ I Tebytev typ I n n5 - - n n3 n4 Figur Tebytevilter typ I, n, 3, 4 och 5,,5 db: rippel, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala n5 n3 n4 - Figur ör Tebytevilter typ I, n, 3, 4 och 5,,5 db: rippel, belopppektra, detalbild, db-kala, logaritmik rekvenkala Tebytev typ I Favinkel (relativt pi) n n3 n4 n Figur Tebytevilter typ I, n, 3, 4 och 5,,5 db: rippel, apektra, logaritmik rekvenkala Lägg märke till att vi nu har ammanallande rippelgränrekven i de olika kurvorna. Filtret beloppkurva ge av där ( ) ε C n ( ) Bilaga 7. ida 7..3

24 [ narcco( ) ] co rad / ekund C n ( ) coh[ narccoh( ) ] rad / ekund n ( ) C kan ockå beräkna enligt C C C n C C n n Vi år gradtalet genom att utgå rån dämpningen D (i decibel, D är negativ) vid i pärrbandet. Ligger denna rekven en bit ovanör gränrekven- någon rekven en å har vi n ε C och vi har ( ) >> pärr pärr pärr D pärr ( ) pärr ε C n ( ) ε Cn ( ) ε coh[ narccoh( )] narcco h ( ) arccoh ε n arccoh arcco h ε D pärr ( ) D pärr Tebytev typ II är tillåter vi inget rippel i pabandet men accepterar i tället rippel i pärrbandet. Vi år då ett ilter med både poler och nolltällen kilda rån oändligheten. Nolltällena ge av II pärr nk k,, K, n, n ( k ) in n Bilaga 7. ida 7..4

25 dv de ligger på imaginäraxeln. Polerna ge av ( ) ( ) ( ) ( ) n n k b a b b b a a a b a p I k I k I k pärr II k I k I k I k pärr II k II k II k II k,,,, K Där är polerna ör motvarande Tebytevilter av typ I. I k I k I k b a p Im Re Figur 7..4 Poler och nolltällen ör Tebytevilter typ II, 4 n Filtret belopp ge av ( ) ( ) ε n n C C där ( ) n C ge av amma uttryck om ör Tebytevilter av typ I. Bilaga 7. ida 7..5

26 .9 Tebytev typ II.5 Tebytev typ II Belopp db db Belopp db db Figur Tebytevilter typ II, n 4, repektive 4 db: rippel, belopppektra, linär kala..5.5 Figur Tebytevilter typ II, n 4, repektive 4 db: rippel, belopppektra, detalbild i paband, linär kala Tebytev typ II.,5 db Belopp.5,5 db.5.5 Figur Tebytevilter typ II, n 4, repektive 4 db: rippel, belopppektra, detalbild i pärrband, linär kala Bilaga 7. ida 7..

27 Tebytev typ II Tebytev typ II db 4 db db db - - Figur 7..5 Tebytevilter typ II, n 4, repektive 4 db: rippel, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala -5 - Figur 7..5 Tebytevilter typ II, n 4, repektive 4 db: rippel, belopppektra, detalbild i paband, db-kala, logaritmik rekvenkala -5 - Tebytev typ II db.8 Tebytev typ II db Favinkel (relativt pi) db db Figur 7..5 Tebytevilter typ II, n 4, repektive 4 db: rippel, belopppektra, detalbild i pärrband, dbkala, logaritmik rekvenkala Figur Tebytevilter typ II, n 4, repektive 4 db: rippel, apektra, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..7

28 .9.8 Tebytev typ II.5.95 Tebytev typ II n5.7.9 n4 Belopp n5 n4 n3 n Figur Tebytevilter typ II, 4 db: rippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, linär kala Belopp n n Figur Tebytevilter typ II, 4 db: rippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i paband, linär kala.3 Tebytev typ II.5. Belopp.5. n5 n4 n3.5 n.5.5 Figur 7..5 Tebytevilter typ II, 4 db: rippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i pärrband, linär kala Bilaga 7. ida 7..8

29 Tebytev typ II Tebytev typ II n n4 n3 n n n3 n4 n Figur Tebytevilter typ II, 4 db: rippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala -5 - Figur Tebytevilter typ II, 4 db: rippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i paband, db-kala, logaritmik rekvenkala -3 Tebytev typ II Tebytev typ II n5 n4 n3 n Figur Tebytevilter typ II, 4 db: rippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i pärrband, db-kala, logaritmik rekvenkala Favinkel (relativt pi) n4 n3 n n5 - - Figur 7.. Tebytevilter typ II, 4 db: rippel, n, 3, 4 och 5, apektra, logaritmik rekvenkala Lägg märke till att alla kurvor har amma pärrbandrippelnivå. är ge gradtalet av Bilaga 7. ida 7..9

30 arccoh δ n arccoh D pärr δ ( ) pärr Elliptika ilter, Cauerilter Vi åg hur vi med hälp av Tebytevilter kunde kapa ilter om har brantare övergång mellan pa- och pärrband än vad Butterworthilter har antingen genom att tillåta rippel i pabandet eller i pärrbandet. Genom att tillåta rippel i både pa- och pärrband kan brantheten öka ytterligare. Detta kommer dock att ge en än mer olinär agång. Även i detta all har iltren både poler och nolltällen kilda rån oändligheten. Filteramilen kalla elliptika ilter eller Cauerilter. Filtren belopp ge av där ( ) ε R n ( ) ε D rippel åter ger ripplet i pabandet. Funktionen R n ( ) är elliptik och kalla ibland ör en rationell Tebytevunktion. Den ge av.9.8 Elliptikt ilter Pabandrippel N ri Rn ( ) k n i zi N ri Rn ( ) k i zi ri zi ämn n udda Belopp Spärrbandrippel Pabandrekven Spärrbandrekven Figur 7.. Speciikation ör elliptikt lågpailter Bilaga 7. ida 7..3

31 Funktionen är normerad å att gränrekvenen (där beloppet har unkit med rippelnivån ε ) är radian/ekund. är den örta rekvenen där pabanddämpningen har nått önkad nivå. zi är de rekvener i pärrbandet där vi har nolltällen, dv där vi har total utdämpning, medan ri är de rekvener i pabandet där vi har rippeltoppar (pabandörtärkning ett). Lägg märke till ambandet mellan vinkelrekvenerna..9 Elliptikt Rp.5,R.5 Elliptikt Rp.5,R n n Belopp n5 n3 n4 n Figur 7.. Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, linär kala Belopp n5 n Figur 7..3 Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i paband, linär kala. Elliptikt Rp.5,R.8. n Belopp n4 n5 n3.5.5 Figur 7..4 Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i pärrband, linär kala Bilaga 7. ida 7..3

32 Elliptikt Rp.5,R n5 n n3 n Elliptikt Rp.5,R n4 n n5 n Figur 7..5 Elliptikt lågpailter,,5 db: pabandrippel, db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala -5 - Figur 7.. Elliptikt lågpailter,,5 db: pabandrippel, db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i paband, db-kala, logaritmik rekvenkala -5 Elliptikt Rp.5,R Elliptikt Rp.5,R n5 n3 n4 n Figur 7..7 Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i pärrband, db- kala, logaritmik rekvenkala Favinkel (relativt pi).8. n3.4 n n4 -.8 n Figur 7..8 Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, apektra, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..3

33 .9 Elliptikt Rp.5,R4.5 Elliptikt Rp.5,R4 n4 n n5 n3 Belopp n5 n4 n3 n Belopp Figur 7..9 Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, 4 db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, linär kala..5.5 Figur 7..7 Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, 4 db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i paband, linär kala.45 Elliptikt Rp.5,R4.4 n.35.3 Belopp n5 n4 n Figur 7..7 Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, 4 db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i pärrband, linär kala Bilaga 7. ida 7..33

34 Elliptikt Rp.5,R4 Elliptikt Rp.5,R n5 n3 n4 n n3 n4 n n Figur 7..7 Elliptikt lågpailter,,5 db: pabandrippel, 4 db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala -5 - Figur Elliptikt lågpailter,,5 db: pabandrippel, 4 db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i paband, db-kala, logaritmik rekvenkala -5 Elliptikt Rp.5,R4 Elliptikt Rp.5,R n5 n4 n3 n Favinkel (relativt pi) n4 n5 n n Figur Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, 4 db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild i pärrband, db-kala, logaritmik rekvenkala Figur Elliptikt lågpailter,,5 db. pabandrippel, 4 db: pärrbandrippel, n, 3, 4 och 5, apektra, logaritmik rekvenkala Beelilter Vi har hittill ett på ilteramiler om eterträvar att på olika ätt optimera beloppkurvan. De ger dock alla en mer eller mindre olinär agång. Beelilter öröker i tället optimera akurvan och göra den å linär om möligt och vi kall enare (Bilaga 7.8) e att Bilaga 7. ida 7..34

35 linär agång ota är en eterträvanvärd egenkap. Beeliltret kommer att vara monotont men böa av tidigare än ett Butterworthilter av amma gradtal. Beeliltret ger ämre dämpning än båda Butterworth- och Tebytevilter i pärrbandet. Överöringunktion ör ett Beelilter av gradtal n ge av uttrycket ( ) B B n n ( ) ( ) där Beelpolynomet ( ) B B B n B ge av ( ) ( n ) B ( ) B ( ) ( ) ( ) n n n.9 Beel.5 Beel Belopp n5 n3 n4 n Belopp n4 n5 n n Figur 7..7 Beelilter, n, 3, 4 5, belopppektra, linär kala och Figur Beelilter, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild, linär kala Bilaga 7. ida 7..35

36 Beel Beel n5 n3 n4 n n n3 n4 n Figur Beelilter, n, 3, 4 och 5, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala -5 - Figur Beelilter, n, 3, 4 och 5, belopppektra, detalbild, db-kala, logaritmik rekvenkala Beel Favinkel (relativt pi) n n3 n4 n Figur 7..8 Beelilter, n, 3, 4 och 5, apektra, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..3

37 Bilaga 7. Man kan via att ör en unktion om är deinierad i ett intervall runt origo å kan denna unktion dela upp i en ämn och en udda unktion enligt ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ämn del udda del kriver vi unktionen x e på detta ätt å år vi e x x x e e ämn del x x e e udda del x De ämna och udda delarna av e kalla hyperbolik coinu repektive hyperbolik inu eller coinu hyperbolicu repektive inu hyperbolicu. Funktionerna har viat ig vara användbara i ett antal teknika tillämpningar. De kan till exempel använda ör att bekriva vågröreler i elatika kroppar, kurvormen ho hängande elektrika ledningar och temperaturördelningen i kyllänar av metall. De ex olika hyperbolika unktionerna deiniera av yperbolik coinu av x coh( x) yperbolik inu av x inh( x) e e x x e e x x yperbolik tangen av x tanh ( x) yperbolik cotangen av x coth ( x) inh coh coh inh x x ( x) e e x x ( x) e e x x ( x) e e x x ( x) e e yperbolik ekant av x ec h( x) coh x x ( x) e e yperbolik coekant av x coh ( x) inh x x ( x) e e Lägg märke till att det imaginära om inn i Euler ormler akna här. Bilaga 7. ida 7..

38 Bilaga 7.3 Exempel: Ett analogt ilter bekriv av uttrycket ( ) 3 Betäm ilterdata och korrigera iltret å att det år pabandörtärkningen db. Löning: Vi er att vi har ett örtagradilter och imaginära termer i både tälare och nämnare viar att det är ett högpailter. Vi kiar beloppkurvan Figur B :a gradilter P Ett högpailter av gradtal ett har tandardormen ( ) pb g g Figur B7.3. Urprunglig beloppkurva, db-kala, logaritmik rekvenkala Låt o omorma vårt ilteruttryck å att det liknar detta tandarduttryck ( ) Identiikation ger att vi har ett högpailter med gränrekven g 3 g 477 z och pabandörtärkning pb. Vi vill ha pabandörtärkningen db och år då göra denna korrektion tran pb, ny pb, gammal,58 Bilaga 7.3 ida 7.3.

39 och vi korrigerar örtärkningen genom att multiplicera vårt urprunguttryck med denna aktor ny ( ) ( ) tran gammal 3,, :a gradilter P Nytt ilter Urprungilter Figur B7.3. Korrigerad beloppkurva, dbkala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7.3 ida 7.3.

40 Bilaga 7.4 Exempel: Ett analogt ilter har överöringunktionen 9 99 ( ) 49 Ändra iltret gränrekven å att den blir z utan att i övrigt örändra iltret egenkaper. Löning: Ett andragraduttryck med en reell tälare viar att vi har ett andra ordningen lågpailter. Skiar vi beloppkurvan å år vi Figur B7.4.. Standardmodellen ör ett andra ordningen lågpailter ge av ( ) pb Q :a gradilter LP Figur B7.4. Urprunglig beloppkurva, db-kala, logaritmik rekvenkala Låt o kriva om vårt ilter på denna orm ( ) 49,59,777 Identiikation ger , pb,59 7 Q,77 4 z Bilaga 7.4 ida 7.4.

41 Att Q innebär att vi har ett Butterworthilter där egenrekven och gränrekven är amma ak. Vi ändrar gränrekvenen genom att överallt i vårt uttryck göra tranormeringen g,gammal g,ny 4 och vi år , 4 :a gradilter LP Nytt ilter Urprungilter Figur B7.4. Korrigerad beloppkurva, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7.4 ida 7.4.

42 Bilaga 7.5 Exempel: Gör om iltret i Bilaga 7.4 till ett högpailter med gränrekven 8 z och i övrigt oörändrade egenkaper. Löning: Filtret i Bilaga 7.4 hade överöringunktionen 9 99 ( ) 49 och vi viade där att iltret har gränrekvenen 7 g, 4 z LP :a gradilter LP/P Figur B7.5. Urprunglig beloppkurva, db-kala, logaritmik rekvenkala Vi gör om iltret till ett högpailter via tranormeringen ( ) g, LP g, P K Vi år LP ( ) ( ) P 9 K 99 K ( ) 49 9 K K K K K Bilaga 7.5 ida 7.5.

43 49 [( ) 48] 9 [( ) 48] ( ) , ,958,84 4 :a gradilter LP/P Nytt ilter Urprungilter Figur B7.5. Korrigerad beloppkurva, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7.5 ida 7.5.

44 Bilaga 7. Exempel: Utgå rån ett normerat örta ordningen lågpailter, dv ett lågpailter med gränvinkelrekven radian/ekund och pabandörtärkning ett, och dimenionera ett bandpailter med pabandörtärkning, amt undre gränrekven 5 z och övre gränrekven kz. Löning: Det normerade lågpailtret har överöringunktionen ( ) :a gradilter LP/BP Figur B7.. Urprunglig beloppkurva, db-kala, logaritmik rekvenkala vi omormar detta till ett bandpailter med önkade egenkaper genom tranormeringen ( ) LP g u ö ö u, ( ) 5 5 ( ) B A 5 och vi år ( ) ( ) A B B B A BP LP ( ) ( ) ( ) 5 5 A B A A B B A B ( ) 3 3 3,5,5 Lägg märke till att iltergradtalet ördubbla av tranormeringen. Bilaga 7. ida 7.. Låt o identiiera med tandardormen ör ett andra ordningen bandpailter

45 ( ) PB Vi år Q Q 3 z Q Q,5 3 3,5 3 Stämmer då detta med bandpailter egenkaper. Vi har ör dea u ö 5 z Q B ö u dv det tämmer. Vi har nu glömt att korrigera pabandörtärkningen eter önkemål och då urprungiltret har pabandörtärkningen ett å räcker det att multiplicera överöringunktionen med den önkade pabandörtärkningen. Vi år P ( ),,5 3 ( ) 3, :a gradilter LP/BP Nytt ilter Urprungilter -4-4 Figur B7.. Korrigerad beloppkurva, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7. ida 7..

46 Bilaga 7.7 Exempel: Dimenionera ett andra ordningen bandpärrilter med pabandörtärkning,8 amt undre gränrekven, kz och övre gränrekven, kz. Löning: Omtranormering av ett lågpailter till ett bandpärrilter leder till att bandpärrilt-ret år dubbelt å högt gradtal om lågpailtret har. Låt o därör om i Bilaga 7. utgå rån ett normerat örta ordningen lågpailtret, dv vi har överöringunktionen ( ) :a gradilter LP/BS och omorma detta till ett bandpärrilter genom tranormeringen ( ) ö u g, u ö LP Figur B7.7. Urprunglig beloppkurva, db-kala, logaritmik rekvenkala ( ) ( ) 4 A 4 ( ) 35 B Vi år om vi på en gång tar med den nya pabandörtärkningen,8,8,8 ( ) ( ) ( B),8 ( B) LP BS A B B A B A,8 B A B B, ( ) 4 4 ( ) 35 ( ) 35 Bilaga 7.7 ida 7.7.

47 ( ),8 35 ( ) ,8 7,9 9 ( 7,9 ) 9,89 5 Låt o åter identiiera mot tandardormen ör ett andra ordningen bandpärrilter ( ) PB Vi er att Q ( ) z Q Q ,9 Vi ämör med deinitionerna på mittrekven och Q-värde u ö 87 z Q B ö u ,9 4 dv om väntat amma ak. Bilaga 7.7 ida 7.7.

48 :a gradilter LP/BS :a gradilter LP/BS Nytt ilter Urprungilter Figur B7.7. Korrigerad beloppkurva, db-kala, logaritmik rekvenkala Figur B7.7.3 Korrigerad beloppkurva, detalbild, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7.7 ida 7.7.3

49 Bilaga 7.8 Låt o tudera hur avridningen ho ett ytem inverkar på en ignal om paerar ytemet. Vi gör detta genom att e hur låg- och högpailter med ingen avridning, linär avridning och olinär avridning påverkar en ignal med lera deltoner. Vi tuderar en analog yrkantvåg med rekvenen z och amplituden ett (). Signalen har en poitiv lank vid t. Signalen kan dela upp i ina ourierkomponenter enligt x 4 () t in( ( k ) ) k k Signalen betår alltå av en grundton med amma rekven om yrkantvågen och udda övertoner till grundton, där tonerna amplitud avtar med övertonerna rekven. Värt att notera är 4 att grundtonen har törre amplitud (, 73 ) är vad den totala yrkantvågen har. Vi tuderar ignalen deltoner, där vi, ör att inte å å grötig igur, väler att bara tudera grundtonen med rekven z och de två örta övertonerna med rekvenerna 3 och 5 (3 repektive 5 z). Vi tuderar ockå den hopummerade ignalen där vi använder grundtonen med rekvenen z och de yra örta övertonerna med rekvener 3, 5, 7 och 9. Vi använder ler deltoner här än då vi viar de uppdelade inutonerna, detta ör att å en total ignal om mer liknar den önkade yrkantvågen. Fyrkantvågen örta tre toner er ut enligt Tre toner ur yrkantvåg.5 Figur B7.8.. Lägg märke till de ammanallande nollgenomgångarna vid vare halvperiod ho grundtonen..5 Amplitud Tid () Figur B7.8. En yrkantvåg deltoner, tre deltoner Bilaga 7.8 ida 7.8.

50 Adderar vi ihop de em örta av ignalen deltoner å år vi vidtående igur, Figur B7.8.. Lägg märke till ymmetrin ho både poitiv och negativ halvperiod och även ymmetrin mellan poitiv och negativ halvperiod (bortett rån amplituden tecken). Amplitud Fyrkantvåg av em toner Tid () Figur B7.8. Fyrkantvåg ammanatt av em deltoner Vi iltrerar yrkantvågen med ett örta ordningen lågpailter med gränrekven z. Ett analogt ilter med dea egenkaper bekriv av överöringunktionen ( ) g g arctan g Förtagradilter LP z Förtagradilter LP z.8-5 Belopp Figur B7.8.3 Lågpailter, n, g z, belopppektra, linär kala -5 - Figur B7.8.4 Lågpailter, n, g z, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7.8 ida 7.8.

51 Filtret ger alltå både örändring av ignalamplituden och avridning, där avridningen är olinär. -. Förtagradilter LP z Favinkel (relativt pi) Figur B7.8.5 Lågpailter, n, g z, apektra, linär kala Om vi ört antar att vi har en variant av iltret om inte ger avridning utan bara påverkar beloppet ho vår ignal (yrkantvågen) å år vi Figur B7.8. och Figur B Tre toner ur yrkantvåg,ingen avridning LP g.5 Fyrkantvåg av em toner, ingen avridning LP g Amplitud Amplitud Tid () Figur B7.8. Lågpailterade deltoner, ingen avridning Tid () Figur B7.8.7 Lågpailtrerad yrkantvåg, ingen avridning Ju högre rekven tonen har u mer dämpa den alltå. Lägg åter märke till de ammanallande nollgenomgångarna ho deltonerna och ymmetrin ho den totala ignalen även om den örändrade torleken ho deltonerna har örändrat den totala kurvormen. Vi kan ockå tänka o ett ilter med linär agång Φ k, även om detta inte kan realiera analogt. I de leta all är k negativt vilket innebär en tidördröning. Med k,3 år vi till exempel akurvan i Figur B Bilaga 7.8 ida 7.8.3

52 Linär a -,3 w Favinkel (relativt pi) Figur B7.8.8 Linär avridning,3 Vi väler att använda en negativ avridning eterom detta motvarar en ördröning av ignalen och det är ut detta vi enare kommer att ha i amband med dimenionering av tiddikreta tranveralilter. Vår ignal iltrera enligt nedan, Figur B7.8.9 och Figur B Tre toner ur yrkantvåg,alinärt LP g.5 Fyrkantvåg av em toner, alinärt LP g.5.5 Amplitud Amplitud Tid () Figur B7.8.9 Lågpailterade deltoner, linär avridning Tid () Figur B7.8. Lågpailtrerad yrkantvåg, linär avridning Lägg märke till att alla deltoner blir ördröda men att dera nollgenomgångar ortarande ammanaller. Detta innebär att alla deltoner ördrö lika lång tid (,3 ekunder) och därör behåller ockå den totala ignalen in orm, men även den är då lika mycket ördröd om deltonerna är ördröda. Fördröningen ge av dφ τ d Bilaga 7.8 ida 7.8.4

53 om här ger d τ d (, 3 ), 3 ekunder.5.5 Fyrkantvåg av em toner, LP g ingen avridning Amplitud linär avridning Tid () Figur B7.8. Lågpailtrerad yrkantvåg, ingen repektive linär avridning Tar vi nu och tittar på det verkliga analoga örtagrad lågpailtret med olinär agång å år vi iltreringen enligt Figur B7.8. och Figur B Tre toner ur yrkantvåg,lp g.5 Fyrkantvåg av em toner, LP g.5.5 Amplitud Amplitud Tid () Figur B7.8. Lågpailterade deltoner, olinär avridning Tid () Figur B7.8.3 Lågpailtrerad yrkantvåg, olinär avridning Vi er på deltonerna att nollgenomgångarna inte längre ammanaller vilket betyder att deltonerna har ördröt olika långa tider och den totala ignalen örändrar då in orm, Figur B Bilaga 7.8 ida 7.8.5

54 .5 Fyrkantvåg av em toner, LP g.5 ingen avridning olinär avridning Amplitud Tid () Figur B7.8.4 Lågpailtrerad yrkantvåg, ingen repektive olinär avridning Vi er på motvarande iltervarianter om vi inör ett analogt högpailter med gränrekven 5 z, dv ett ilter om kommer att påverka grundtonen och den örta övertonen met. ( ) g g g g g g arctan g Även här ger iltret både örändring av ignalamplituden och avridning av ignalen. Förtagradilter P 5 z Förtagradilter P 5 z.8-5 Belopp Figur B7.8.5 ögpailter, n, g 5 z, belopppektra, linär kala -5 - Figur B7.8. ögpailter, n, g 5 z, belopppektra, db-kala, logaritmik rekvenkala Bilaga 7.8 ida 7.8.

55 är har vi en poitiv avridning av ignalen om dock är olinär..5 Förtagradilter P 5 z Favinkel (relativt pi) Figur B7.8.7 ögpailter, n, g 5 z, apektra, linär kala Vi år då om vi ört antar att iltret aknar avridning iltreringen enligt Figur B7.8.8 och Figur B Tre toner ur yrkantvåg,ingen avridning P g5.5 Fyrkantvåg av em toner, ingen avridning P g Amplitud Amplitud Tid () Figur B7.8.8 ögpailterade deltoner, ingen avridning Tid () Figur B7.8.9 ögpailtrerad yrkantvåg, ingen avridning Som väntat avtar dämpningen med rekvenen, dv tonerna med lägre rekven dämpa met. Lägg märke till de ammanallande nollgenomgångarna ho deltonerna och den totala ignalen ymmetri. Med linär avridning Φ k där k, 3 å har vi agången i Figur B7.8.. Bilaga 7.8 ida 7.8.7

56 Vi väler att även här använda en negativ avridning (ördröning) trot att det analoga iltret har poitiv avridning eterom vi om agt kommer att använda ördröning i amband med dimenionering av tranveralilter, Figur B7.8.. Favinkel (relativt pi) Linär a -,3 w Figur B7.8. Linär avridning Vi år iltreringen enligt Figur B7.8. och Figur B Tre toner ur yrkantvåg,alinärt P g5.5 Fyrkantvåg av em toner, alinärt P g5.5.5 Amplitud Amplitud Tid () Figur B7.8. ögpailterade deltoner, linär avridning Tid () Figur B7.8. ögpailtrerad yrkantvåg, linär avridning Även här ördrö deltonerna men nollgenomgångarna ammanaller ortarande, dv deltonerna örkut (ördrö) lika lång tid och den totala ignalen behåller in orm men blir tidördröd, Figur B Bilaga 7.8 ida 7.8.8

57 .5 Fyrkantvåg av em toner, P g5 ingen avridning linär avridning.5 Amplitud Tid () Figur B7.8.3 ögpailtrerad yrkantvåg, ingen repektive linär avridning Med det verkliga analoga örtagradiltret av högpatyp med olinär agång å år vi Figur B7.8.4 och Figur B Tre toner ur yrkantvåg,p g5.5 Fyrkantvåg av em toner, P g5.5.5 Amplitud Amplitud Tid () Figur B7.8.4 ögpailterade deltoner, olinär avridning Tid () Figur B7.8.5 ögpailtrerad yrkantvåg, olinär avridning Deltonerna nollgenomgångar ammanaller inte längre, dv deltonerna har olika lång tidörkutning och den totala ignalen kurvorm har ändrat. Lägg märke till att detta ilter ger en poitiv aörkutning, dv en ramlyttning i tid, Figur B7.8.. Bilaga 7.8 ida 7.8.9

58 .5 Fyrkantvåg av em toner, P g5 ingen avridning.5 Amplitud olinär avridning Tid () Figur B7.8. ögpailtrerad yrkantvåg, ingen repektive olinär avridning Vår lutat blir alltå att om en komplex ignal, betående av lera deltoner, kall behålla in grundorm, även om olika deltoner dämpa olika mycket av iltret beloppunktion, då ignalen paerar ett ytem å måte ytemet ha linär avridning, där ingen avridning är ett pecialall av linär avridning. Bilaga 7.8 ida 7.8.