4. Laplacetransformmetoder

Transkript

1 4. Laplacetranformmetoder 4. Laplacetranformmetoder Differentialekvationer utgör grunden för en matematik bekrivning av dynamika ytem i kontinuerlig tid bekriver hur en vi variabel, utignalen, beror av en eller flera andra variabler, inignaler Efterom inignaler är oberoende av varandra kan vi för ett ytem med flera inignaler normalt betrakta en inignal i taget. Ett ytem med koncentrerade parametrar kan då allmänt bekriva med en ordinär differentialekvation av formen n n1 m m1 d y d y dy d u d u du g,,,, y,,,,, u 0 n n1 m m1 (4.1) där u = inignal, y = utignal, g() = goycklig analytik funktion. Storheten n = ordningen på högta utignalderivatan = ytemet ordningtal. Normalt är n m. Ett ådant ytem är propert; motaten är ett icke-propert ytem. Reglerteknik I Grundkur (419300) 4 1 Om funktionen g() är linjär, kan DE:n kriva på formen n n1 m m1 d y d d d d d 0 y 1 y u u u n n 1 n1 n 0 m 1 m1 m1 m (4.) a a a a y b b b b u Koefficienterna a 0, a 1,, a n, b 0,, b m är ytemparametrar om karakterierar egenkaperna ho det linjära ytemet. Parametrarna kan (om å önka) omkala med en goycklig faktor olik noll: a0 1 alltid möjligt efterom n:te ordningen DE har a0 0 an 1 möjligt om an 0 Om icke-propra ytem utelute, kan man alltid välja m n; icke-förekommande inignalderivator får då en b-koefficient = noll. I praktiken gäller ofta b0 0, vilket är ett trikt propert ytem. Om man väljer kalning å att a0 1, kan DE:n då kriva n n1 n1 y y y u u a n 1 a n 1 n1 any b1 b n 1 n1 bnu (4.3) d d d d d Ob. hur koefficienterna nedre index är förknippade med derivatorna ordningtal. 4. Laplacetranformmetoder 4 För linjära ytem gäller uperpoitionprincipen: Om funktionparen u1(), t y1() t och u(), t y() t är löningar till (4.) å är även funktionparet ut (), yt () en löning, om få genom en goycklig linjär kombination ut () au 1() t bu () t, yt () ay1() t b y() t Grundläggande matematik gör det möjligt att löa den linjära DE:n (4.) eller (4.3) om ytemparametrarna är kontanta och inignalen ut () har en någorlunda enkel form. Löningen, dv utignalen yt, () erhålle då om umman av en partikulärlöning och den allmänna löningen till motvarande autonoma ytem, om få när DE:n högerled ätter = 0 (dv ett ytem utan inignal!). Att löa linjära DE:r med denna metod är dock komplicerat: Det matematika arbetet blir bevärligt vid ytem av högre ordningtal. Metoden erbjuder inga bekväma genvägar för att behandla ammanatta ytem, uppbyggda av enklare linjära delytem. För praktik hantering av ytem baerade på linjära DE:r kommer vi att utnyttja Laplacetranformen Den har en central roll i grundläggande analy- och yntemetoder för linjära ytem. Den är peciellt lämplig för ytem med en inignal och en utignal (SISO-ytem). Metoder baerade på tilltåndbegreppet är ofta lämpligare för ytem med flera inignaler och flera utignaler (MIMO-ytem). Tilltåndmetoder behandla närmare i kuren Reglerteknik II. 4. Laplacetranformmetoder Laplacetranformmetoder 4 4

2 För att motivera användningen av Laplacetranformmetoder kall vi fört tudera ett ytem bekrivet av en enkel linjär DE med hjälp av traditionella löningmetoder. Exempel 4.1. Stegvaret för en kvickilvertermometer. Dynamiken för en kvickilvertermometer bekriv av differentialekvationen d T 1 (1) där = kvickilvret temperatur och 1 = omgivningen temperatur. Antag att termometern finn utomhu och att jämviktläge råder. Då är 1 1, där 1 betecknar den kontanta utetemperaturen. Antag nu att termometern för inomhu, där temperaturen är lika med 1 1. Hur förändra kvickilvret temperatur i termometern om funktion av tiden? Det förefaller rimligt att anta att temperaturen förändra exponentiellt från 1 till 1 1 enligt figur Vi kan kontrollera detta antagande amt betämma hur nabbt förändringen av ker genom att löa DE:n (1). 0 t Enligt vår hypote kulle förändringen ha Figur 4.1. Stegvar för Hg-termometer. formen bt () t ae c, b 0 () där villkoret b 0 förhindrar att när t. Kan differentialekvationen ge upphov till en löning av denna typ? 4. Laplacetranformmetoder Laplacetranformmetoder 4 6 Vi kontrollerar genom att derivera ovantående uttryck, vilket ger d bt abe (3) Inättning i differentialekvationen ger bt bt Tabe a e c (4) Efterom högra ledet är en kontant, måte ockå väntra ledet vara lika med amma kontant för alla t. Detta är endat möjligt om bt bt bt Tabe a e (1 Tb) a e 0 (5) dv om b 1/ T, c 1 1 (6) Inättning i () ger då / () t ae t T 1 1 (7) Ytterligare vet vi att (0) 1. Detta ger (0) 1 a1 1, dv a 1 (8) Vi får då att förändra exponentiellt enligt / () t 1e t T 1 (9) där () t () t 1. Ob. att (9) inte är en allmän modell för termometern utan en löning om gäller för en pecifik förändring av inignalen. 4. Laplacetranformmetoder Laplacetranformmetoder 4 8

3 4. Laplacetranformmetoder 4..1 Definition 4. Laplacetranformen 4..1 Definition De ignaler om uppträder i dynamika ytem är funktioner av tiden. Betrakta en tämligen goycklig ignal f () t med den egenkapen att f () t 0för t 0, integrerbar för t 0 Laplacetranformen F() L f() t för tidfunktionen () f t definiera då av integraluttrycket L t (4.4) 0 F() f() t e f()d t t där är en komplex variabel, var realdel är (mint) å tor att integralen konvergerar. Man äger att F() är definierad i Laplaceplanet eller -planet medan f () t är definierad i tidplanet. Rekommendera att man betecknar tidfunktioner med må boktäver (gemena) och dera Laplacetranformer med motvarande tora boktäver (veraler). Reglerteknik I Grundkur (419300) 4 9 För att Laplacetranformen kall kunna utnyttja praktikt kräv att man ockå kan beräkna den tidfunktion f () t om motvarar Laplacetranformuttrycket F(). Denna operation, dv övergången från F() till f () t, kalla invertranformering. 1 Invertranformen f () t L F( ) ge av uttrycket j 1 1 t ft () L F ( ) e F ( )d j (4.5) j där j 1 är den imaginära enheten och är ett reellt tal, om bör vara å tort att F() aknar ingulariteter (dv är begränad) för alla med törre realdel än. Vid praktik räkning med Laplacetranformen klarar man ig utan ekvation (4.5) behöver man ällan använda definitionen (4.4) 4. Laplacetranformen Definition 4. Laplacetranformen I tället utnyttjar man formelamlingar (t.ex. T. Gutafon Ingenjörmatematik formelamling ) där vanligen förekommande tidfunktioner och dera Laplacetranformer finn tabellerade. Med hjälp av en ådan tabell kan man tranformera båda vägarna. Funktioner, om inte finn tabellerade, kan å gott om alltid erhålla om någon kombination av tabellerade funktioner. Efterom Laplacetranformuttrycken är algebraika uttryck, medför dylika kombinationer och motvarande uppdelningar inga törre beräkningmäiga problem. Laplacetranformen kan använda för löning av differentialekvationer. Avancerade metoder för analy av modeller uttryckta med hjälp av Laplacetranformen exiterar (tabilitetanaly, frekvenanaly). 4.. Beräkning av Laplacetranformen för några enkla funktioner Pulfunktionen En ideal pul om tartar vid t 0 karakteriera av en kontant amplitud a och en varaktighet (pullängd) T, e figur 4.. Med hjälp av f(t) Laplacetranformen definition (4.4) få a T T T t 1 t 1 e F () e aa e a 0 0 (4.6) T t Figur 4.. Pulfunktion. Deign av reglerytem med frekvenplanmetoder. 4. Laplacetranformen Laplacetranformmetoder 4 1

4 4.. Beräkning av Laplacetranformen för några enkla funktioner 4.. Beräkning av Laplacetranformen för några enkla funktioner Enhetimpulen (t) Dirac deltafunktion Vi kan definiera en impul om en pul var varaktighet T går mot noll, amplitud a går mot oändligheten pularea at har ett ändligt värde olika noll För enhetimpulen () t gäller att at 1 (uttryckt i någon lämplig enhet). Laplacetranformen för en enhetimpul vid t 0 kan erhålla genom Taylorerieutveckling och gränvärdeberäkning med a 1/ T i ekvation (4.6). Vi får T 1 1 e T ( T ) F () L () t lim lim 1 (4.7) T0 T T0 T Räknande med impuler har praktik innebörd på många områden, åom elektrika, mekanika och proceteknika områden. Alla kortvariga inignaler kan normalt behandla om impuler karakterierade enbart av pularean oberoende av pulen exakta form. Typika exempel är pänning- och trömpuler i elektrika ytem tötkrafter i mekanika ytem injicering av pårämnen i medicinka och proceteknika tillämpningar 4. Laplacetranformen 4 13 Enhetteget (t) En tegfunktion kan betrakta om en pul med oändlig varaktighet T. Laplacetranformen för enhetteget () t, om har a 1, få genom en gränvärdebetraktele: 1 e 1 F () L () t lim (4.8) T Enhetrampen (t) En ramp är en funktion var värde förändra linjärt med tiden. Enhetrampen () t är en ramp med lutningkoefficienten 1, dv () t t, t 0. Med hjälp av partiell integration få t e t e t 1 e 1 F () L () t te t 1 0 t (4.9) 4. Laplacetranformen 4 14 T Beräkning av Laplacetranformen för några enkla funktioner 4.. Beräkning av Laplacetranformen för några enkla funktioner Ett amband mellan de enkla enhetfunktionerna Figur 4.3 illutrerar uteendet ho enhetimpulen, enhetteget och enhetrampen. impulen kan betrakta om derivatan av teget teget är derivatan av rampen Omvänt gäller att teget är integralen av impulen rampen är integralen av teget Notera de tre funktionerna Laplacetranformer, dv 1, 1/ rep. 1/. () t () t () t t t t Figur 4.3. Enhetimpulen () t, enhetteget () t och enhetrampen () t. 4. Laplacetranformen 4 15 Exponentiellt avklingande funktion En exponentiellt avklingande funktion definiera f() t e at, t 0. Laplacetranformen: L at t at ( a) t 1 ( a) t 1 a a (4.10) F () e e e e e Sinu- och coinufunktioner För härledning av Laplacetranformer för inu- och coinufunktioner behöv uperpoitionaten (4.13), om ge i näta avnitt. Därutöver kan vi utnyttja (4.10) genom att låta parametern a vara imaginär. Vi utnyttjar Euler identitet för inbt, om ger jbt jbt e e inbt j där j 1 betecknar den imaginära enheten. 4. Laplacetranformen 4 16

5 4.. Beräkning av Laplacetranformen för några enkla funktioner 4. Laplacetranformen Tillämpning av ekvation (4.10) ger 1 bt 1 bt b L L L (4.11) j j bt F () in e e j j j jb jb b För cobt gäller enligt Euler identitet e cobt och analogt med härledningen av (4.11) få jbt 4. Laplacetranformen 4 17 e j j bt jbt 1 bt 1 bt L L L (4.1) F () co e e jb jb b 4..3 Räkneregler för Laplacetranformer Superpoitionaten Om F 1 () och F () är Laplacetranformerna för tidfunktionerna f 1 () t och f () t å gäller för en linjär kombination av dea där A och B är goyckliga kontanter. Bevi: L L A f1() t B f() t AF1( ) BF( ) (4.13) t A f () t B f () t e A f () t B f () t t t A e f ( t)b e f ( t)d t AF( ) BF ( ) Invertranformen uppfyller amma egenkap, dv 1 L AF1( ) BF() A f1() t B f() t (4.14) 4. Laplacetranformmetoder Räkneregler för Laplacetranformer 4..3 Räkneregler för Laplacetranformer Deriveringaten Om F() är L-tranformen för f () t å ge L-tranformen för derivatan f d f / av L f () t F() f(0 ) (4.15) där f (0 ) är tidfunktionen f () t : värde när man närmar ig t 0 från negativa idan. Bevi: Med partiell integration få t t t L f( t) e f ( t) e f( t) ( )e f( t)d t F( ) f(0 ) Ett ucceivt utnyttjande av deriveringaten ger följande uttryck för Laplacetranformen för n:te derivatan f d f / av funktionen f () t : ( n) n n ( n) n n1 n ( n) ( n1) L f F( ) f(0 ) f (0 ) f (0 ) f (0 ) (4.16) Bortett från begynnelevärdena f (0 ), f (0 ), etc., å motvara en derivering av en tidfunktion av en multiplikation med Laplacevariabeln i Laplaceplanet. Laplacevariabeln har ålede tora likheter med differentialoperatorn p dd / t. 4. Laplacetranformen 4 19 Integrationaten Om F() är L-tranformen för f () t å ge L-tranformen för tidfunktionen integral av t 1 L f ( )d F ( ) (4.17) 0 t Bevi: Vi utnyttjar beteckningen gt () f ( )d om ger gt () f() t. Tillämpning av 0 deriveringaten (4.15) på funktionen gt () ger då t F() L f() t L g () t L g() t g(0 ) L g() t L f( )d 0 där g(0 ) 0 följer av definitionen på gt. () Genom ucceiv tillämpning av (4.17) få Laplacetranformen för en n-faldig integral: t t t n 1 L f ( )d F ( ) (4.18) n Laplacetranformen 4 0

6 4..3 Räkneregler för Laplacetranformer 4..3 Räkneregler för Laplacetranformer Dämpningaten Om F() är Laplacetranformen för f () t å ge Laplacetranformen för den exponentiellt dämpade tidfunktion e at f ( t) av Bevi: L L e at f ( t ) F ( a ) (4.19) at t at a t ( ) e f ( t) e e f( t) e f( t)d t F( a) Laplacetranformen 4 1 Förkjutningaten Om F() är Laplacetranformen för f () t å ge Laplacetranformen för funktionen f ( t L), dv funktionen f () t fördröjd med L tidenheter, e figur 4.4, av L L f ( tl) e F( ) (4.0) Bevi: Med variabelubtitutionen t L amt genom att f () t 0för t 0 få L f () t f ( t L) t t Figur 4.4. Ofördröjd och fördröjd tidfunktion f () t. t ( L) L L f ( tl) e f( tl) e f( )d e e f( )d e F( ) 0 L 0 4. Laplacetranformen 4 L 4..3 Räkneregler för Laplacetranformer 4..3 Räkneregler för Laplacetranformer Gränvärdeater För en tidfunktion f () t och de Laplacetranform F() gäller att må värden på tiden t motvara av tora värden på Laplacevariabeln, och vice vera. De.k. gränvärdeaterna ger konkreta uttryck för detta amband. Begynnelevärdeaten För en tidfunktion f () t och de Laplacetranform F() gäller, under förutättning att F() är trikt proper, lim f ( t) lim F( ) (4.1) t0 Slutvärdeaten För en tidfunktion f () t och de Laplacetranform F() gäller, under förutättning att F() aknar ingulariteter (dv är begränad) för alla med icke-negativ realdel lim f ( t) lim F( ) (4.) t 0 Övning 4.1. t t Beräkna Laplacetranformen för tidfunktionen f() t 68e 5e. Kontrollera reultatet med begynnele- och lutvärdeaterna. Övning 4.. 0,8,4e Betäm den tidfunktion om har Laplacetranformen. 3,6 Övning 4.3. Härled Laplacetranformen för en fördröjd f () t ågtandpul enligt figuren t Figur 4.5. Sågtandpul. 4. Laplacetranformen Laplacetranformen 4 4

7 Laplacetranformtabell Laplacetranformtabell 4. Laplacetranformen Laplacetranformen 4 6 Laplacetranformtabell Laplacetranformtabell 4. Laplacetranformen Laplacetranformen 4 8

8 4. Laplacetranformmetoder Överföringfunktionen 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Överföringfunktionen Antag att DE:n (4.) atifiera av variabelvärdena ( n) ( n1) ( m) ( m1) y, y,, y, y, u, u,, u, u dv detta är en löning till DE:n. Om detta tilltånd är av peciell betydele kan vi kalla det för ett referentilltånd eller en arbetpunkt. Ofta är denna punkt ett tationärtilltånd, även kallat fortfarighettilltånd eller jämviktläge, där alla derivator är noll (men detta behöver inte alltid vara fallet). ( n) ( n1) ( m) ( m1) Ett tilltånd y, y,, y, y, u, u,, u, u, om atifierar DE:n, kan relatera till ett referentilltånd enligt ( n) ( n) ( n) ( n1) ( n1) ( n1) y y y, y y y,, y y y, y y y ( m) ( m) ( m) ( m1) ( m1) ( m1) u u u, u u u,, u u u, u u u där -variablerna anger avvikeler från referentilltåndet. Reglerteknik I Grundkur (419300) 4 9 Inättning av dea variabler i DE:n (4.) ger efter bortförkortning av referentilltåndet och valet a0 1 n n1 m m 1 y y y u u u n 1 n1 n1 n 0 m 1 m m1 m d d d d d d a a a y b b b b u (4.3) Laplacetranformering av (4.3) ger, med beaktande av att alla begynnelevärden för - variablerna är noll, n n1 Y() a1 Y() an1y() any() (4.4) m m1 b 0 U() b 1 U() bm1u() bmu() där Y() och U() är Laplacetranformerna av yt () rep. ut (). n En n:te derivata ger ålede vid Laplacetranformering upphov till en faktor när begynneletilltåndet är noll. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Överföringfunktionen Överföringfunktionen Ekvation (4.4) kan även kriva n n1 m m1 ( a 1 an1an) Y() ( b 0 b 1 bm1bm) U() (4.5) eller kompaktare Y() G() U() (4.6) där m m1 b 0 b 1 bm1bm B () G () (4.7) n n1 a1 an1an A() är ytemet överföringfunktion. Ibland tala även om överföringoperator, men denna benämning är miviande efterom både och G () är variabler. G (p), där p d/, är en överföringoperator. Vi er att vid beräkningar i Laplaceplanet få ytemet utignal genom multiplicering av de inignal med ytemet överföringfunktion. I ekvation (4.7) betecknar A() överföringfunktionen nämnare och B () de täljare. Ekvationen A() 0 är ytemet karakteritika ekvation; rötterna till A() 0 kalla ytemet poler; rötterna till B () 0 kalla ytemet nolltällen. Betydelen av poler och nolltällen behandla närmare i kapitlen 5 och 6. Ifall ytemet innehåller en ren tidfördröjning, även kallad döid (e kapitel 5), å att det tar en tid L innan en inignal börjar påverka ytemet, kan i ekvation (4.4) göra ubtitutionen ut () vt ( L), där v är den verkliga inignalen. Användning av -variabler amt Laplacetranformering ger L U()=e V() (4.8) där V() är Laplacetranformen av vt (). Överföringfunktionen från V() till Y() är då G ()e L. Vid Laplacetranformering av ett ytem med döid kan vi ålede fört tranformera ytemet utan döid, och därefter beakta döiden enligt (4.8). 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet 4 3

9 4.3.1 Överföringfunktionen Överföringfunktionen Exempel 4.. Härledning av överföringfunktionen för en kvickilvertermometer. Enligt exempel 4.1 kan en kvickilvertermometer bekriva med DE:n d T 1 (1) d t där 1 är omgivningen temperatur och är kvickilvret temperatur. Vi inför -variabler, om avvikeler från ett jämviktläge 1 1 och, dv 1 1 1, () där 1 och anger avvikelerna torlek. Inättning i ekvation (1) ger d( ) T 1 1 (3) Efterom 1 och d / 0, då är en kontant, få d ( t) T () t 1() t (4) där vi för tydlighet kull infört tidargumentet t. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet 4 33 Laplacetranformering av denna modell ger T() (0) () 1() (5) där 1 () () 1 () () Efterom vi använder -variabler, om anger avvikeler från begynneletilltåndet, är (0 ) 0. Vi får då T() () 1() (6) eller () G () 1() (7) där 1 G () T 1 (8) är ytemet överföringfunktion. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Överföringfunktionen 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Övning 4.4. Ett ytem bekriv av differentialekvationen d y dy 5 6y u där u och y anger avvikeler från ett jämviktläge. Betäm ytemet överföringfunktion. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Några konventioner rörande in- och utignaler Såom tidigare kontaterat få vid beräkningar i Laplaceplanet ytemet utignal genom multiplicering av de inignal med ytemet överföringfunktion inga andra termer kan ingå i uttrycket (om man har en inignal). Vid Laplacetranformering erhålle ett ådant linjärt uttryck endat om ignalerna begynnelevärden, dv dera värden vid t 0, är noll. Detta villkor uppfyll automatikt när man använder -variabler, vilka anger avvikeler från ett referentilltånd om gäller vid tidpunkten t 0, dv när man närmar ig noll från negativa idan. 0 har betydele ifall funktionen är dikontinuerlig vid t 0. Efterom det är ett ofrånkomligt krav vid beräkningar med överföringfunktioner att ignalerna har ovannämnda egenkap, ane det vara underförtått att å är fallet även om det inte kulle omnämna. Därmed kan man, om i övning 4.4, utelämna ymbolen för att förenkla beteckningarna. Om -variabler med ymbolen använd, är det ofta för att betona ignalerna fyikalika anknytning. I ådana fall är ymbolen utan ofta upptagen för att beteckna verkliga fyikalika variabler, t.ex. mätvärden i proceen. 4. Laplacetranformmetoder 4 36

10 4.3. Några konventioner rörande inoch utignaler 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Det rekommendera att man betecknar tidfunktioner med må boktäver (gemena) och dera Laplacetranformer med motvarande tora boktäver (veraler). I brit på lediga ymboler är det dock inte ovanligt att man larvar med detta och använder amma ymbol både för tidfunktionen och de Laplacetranform. Detta är möjligt för att det vanligtvi är klart av ammanhanget vilken funktiontyp det är frågan om. Till exempel vid beräkningar med överföringfunktioner är det klart att ignalerna Laplacetranformer använd. Om rik för miförtånd föreligger, kan man inkludera argumentet t eller för att ange funktiontypen. När man t.ex. gör en Laplacetranformering kan denna ditinktion behöva om man använder amma ymbol för tidfunktionen och de Laplacetranform. Det bör även obervera att både ignalerna tidfunktioner och dera Laplacetranformer i allmänhet har en enhet. Operationer både i tid- och Laplaceplanet bör därmed vara dimenionriktiga. Speciellt bör obervera att förtärkningen för ett ytem inte är dimenionlö om in- och utignalen har olika enheter. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Blockcheman Vi har redan kommit i kontakt med reglerteknika blockcheman i kapitel. I detta avnitt ge en utförligare behandling av typika blockchemakomponenter och - konfigurationer amt vilka räkneoperationer de motvarar i Laplaceplanet. Ett linjärt dynamikt ytem med inignalen ut, () utignalen yt () och överföringfunktionen G () kan repreentera grafikt med hjälp av ett blockchema enligt figur 4.6. Figur 4.6. Blockcheman för dynamikt ytem. Om man namnger ignalerna i blockchemat kan man använda ignalerna tidplanymboler, åom till vänter i figuren, eller ymboler för ignalerna Laplacetranformer, åom till höger i figuren. Oberoende av vilken form om använd, gäller ambandet Y() G() U() (4.9) dv överföringfunktionen opererar på ignalerna Laplacetranformer, inte på dera tidfunktioner (åom överföringoperatorn G (p)). 4. Laplacetranformmetoder Blockcheman Blockcheman Man kan med ett blockchema åkådligt via hur ett dynamikt ytem bygg upp av mindre delytem. Viktiga element i ådana blockcheman är kontruktioner om bekriver ummation, jämförele och förgrening av ignaler. Såom framgår innebär Figur 4.7. Tre olika ätt att beteckna ummation. en jämförele en ubtraktion. Ob. att en förgrening endat flerfaldigar en ignal, den förändrar Figur 4.8. Tre olika ätt att beteckna jämförele. inte ignalen. I figurerna använd ignalerna tidfunktioner, men amma räkneregler gäller för ignalerna Laplacetranformer. Kontruktionerna kan givetvi generaliera å att fler än två ignaler beakta. Figur 4.9. Förgrening. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet 4 39 Seriekoppling Ett ofta förekommande arrangemang av delytem är eriekoppling eller kakadkoppling, om illutrera i figur Av ekvation (4.9) följer Y() G() X() G() G1() U() dv G () G() G1() (4.30) om är överföringfunktionen för det ammanatta ytemet inom den treckade konturen i figur Figur Seriekoppling. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet 4 40

11 4.3.3 Blockcheman Blockcheman Parallellkoppling En annan ytemtruktur är parallellkoppling, om illutrera i figur Denna innehåller både en förgrening och en ummation. Elementär algebra ger Y() Y1() Y() G1() U() G() U() G1() G() U() dv G () G1() G() (4.31) om är överföringfunktionen för en parallellkoppling. Figur Parallellkoppling. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet 4 41 Återkoppling Den met fundamentala ytemtrukturen inom en är (negativ) återkoppling, om illutrera i figur 4.1. När överföringfunktionen i framriktningen beteckna G () och överföringfunktionen i återkopplingen beteckna H() få G () Y () GE () () G () R () HY () () R () 1 GH ( ) ( ) dv G () G () (4.3) 1 GH ( ) ( ) om är det lutna ytemet överföringfunktion. Produkten GH () () kalla ytemet kretöverföring. Ekvationen 1 GH ( ) ( ) 0 är ytemet karakteritika ekvation. Figur 4.1. Återkoppling. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Blockcheman 4. Laplacetranformmetoder Övning 4.5. Härled överföringfunktionen från u till y i nedantående blockchema. Figur Blockchema för ammanatt ytem. 4.3 Bekrivning av dynamika ytem i Laplaceplanet Löning av differentialekvationer Ett behändigt ätt att löa linjära ordinära differentialekvationer är att använda Laplacetranformmetoder. När differentialekvationen Laplacetranformerat term för term, med beaktande av initialtilltånd, kan Laplacetranformen för den beroende variabeln, dv utignalen, enkelt löa ut med rent algebraika metoder. Om differentialekvationen bekriver ett dynamikt ytem, har den en inignal om ockå tranformera. Tidfunktionen för den beroende variabeln kan edan erhålla genom invertranformering av de Laplacetranform. Figur Arbetgång vid löning av differentialekvationer via Laplacetranformering. INITIALPROBLEM (i tidplanet) LÖSNING (i tidplanet) Laplacetranformering Inver Laplacetranformering Algebraika operationer i Laplaceplanet TRANSFORMERAT PROBLEM (i Laplaceplanet) LÖSNING (i Laplaceplanet) Reglerteknik I Grundkur (419300) 4 44

12 4.4 Löning av differentialekvationer 4.4 Löning av differentialekvationer Tabeller över Laplacetranformer och motvarande tidfunktioner kan utnyttja åväl vid jälva Laplacetranformeringen om vid invertranformeringen. Ifall tabellen inte upptar Laplacetranformen ifråga, kan man genom partialbråkuppdelning vanligtvi kriva den om en umma av enklare tranformer var tidfunktioner finn i tabellen. Enligt uperpoitionaten (e avnitt 4..3) få den ökta tidfunktionen då om umman av de enklare Laplacetranformerna tidfunktioner Begynnelevärdeproblem Efterom Laplacetranformen av en tidfunktion innehåller tidfunktionen begynnelevärde, är Laplacetranformen peciellt lämpad för löning av begynnelevärdeproblem (initialvärdeproblem). Exempel 4.3. Löning av linjär differentialekvation med begynnelevillkor. Lö differentialekvationen y5y 6y 1med begynnelevillkoren y(0 ) 0, y (0 ) 1. Laplacetranformering ger med uttnyttjande av deriveringaterna (4.15) och (4.16) Y ( ) y(0 ) y (0 ) 5 Y ( ) y(0 ) 6 Y ( ) 1 (1) Inättning av begynnelevillkoren ger efter hyfning 1 1 Y() () ( 56) ( )( 3) 4. Laplacetranformmetoder Laplacetranformmetoder Begynnelevärdeproblem 4.4 Löning av differentialekvationer Detta uttryck finn inte i kompendiet Laplacetranformtabell, men vi kan eparera täljaren termer och efter hyfning kriva 1 1 Y() (3) ( )( 3) ( )( 3) Dea termer finn om punkt 17 och 18 i tabellen med a och b 3. I enlighet med uperpoitionaten kan vi invertranformera termerna var för ig och ummera reultatet för att få tidfunktionen yt. () Reultatet blir 1 t 3t 1 1 t 1 3t 1 t 3t 1 yt () e e e e e e 3 3 ( 3) 3( 3) (4) 3 6 Kontroll genom derivering och inättning i differentialekvationen och begynnelevillkoren viar att löningen är korrekt. 4.4 Löning av differentialekvationer Tidvaret för ett dynamikt ytem Tidvaret för ett dynamikt ytem kan betämma genom invertranformering när ytemet överföringfunktion och inignalen Laplacetranform är kända. Exempel 4.4. Stegvaret för ett förta ordningen ytem. Ett linjärt förta ordningen ytem med inignalen u och utignalen y kan bekriva med differentialekvationen dy T y Ku (1) där K är ytemet (tatika) förtärkning och T de tidkontant. Om u 0 å är y 0 en löning till DE:n. Vi kan anta att detta tilltånd råder vid t 0. Laplacetranformering ger då Y() G() U() () K där G () (3) T1 är ytemet överföringfunktion. 4. Laplacetranformmetoder 4 48

13 4.4. Tidvaret för ett dynamikt ytem 4.4. Tidvaret för ett dynamikt ytem Om inignalen förändra tegformigt från 0 till uteg vid t 0, dv om ut () 0, t 0; ut () uteg, t 0 (4) å är detta teg u teg gånger å tort om ett enhetteg och har enligt avnitt 4.. (eller punkt 1 i kompendiet Laplacetranformtabell) Laplacetranformen uteg U() (5) Inättning av G () och U() i ekvation () ger Kuteg Kuteg () / T Y (6) ( T1) ( 1/ T) Enligt punkt 9 eller 6 i Laplacetranformtabellen är motvarande tidfunktion / yt () Kuteg 1 e t T (7) Det härledda tegvaret har givetvi amma form om tegvaret för kvickilvertermometern om härledde genom direkt löning av differentialekvationen i exempel Löning av differentialekvationer 4 49 Övning 4.6. Betäm enhettegvaret (dv varet när inignalen är en tegförändring av torleken 1) för ytemet i övning Löning av differentialekvationer 4 50 Reglerteknik I/ KEH 4.4 Löning av differentialekvationer Partialbråkuppdelning Partialbråkuppdelning Laplacetranformen för en tidfunktion f () t, t.ex. den beroende variabeln i en differentialekvation med given inignal och givna begynnelevärden, kan vanligtvi kriva i formen m m1 b 0 b 1 bm1bm B () F () (4.33) n n1 a1 an1an A() För en Laplacetranform Y() innehållande en döid L, å att Y() F()e L, kan man fört betämma f () t från F() och därefter yt () f( t L) enligt förkjutningaten. Den mot Laplacetranformen F() varande tidfunktionen f () t kan man ofta finna direkt i tabellverk eller, om i exempel 4.3, efter en enkel eparering av täljaren termer i enlighet med uperpoitionprincipen. Om detta inte hjälper, kan man göra en partialbråkuppdelning. Vid partialbråkuppdelning av ekvation (4.33) gör man på följande ätt: Fört underök om täljaren graal m är mindre än nämnaren graal n. I praktiken gäller å gott om alltid att m n, dv att ytemet är trikt propert. Skulle å inte vara fallet dividera täljarpolynomet med nämnarpolynomet å att ett nytt täljarpolynom erhålle med lägre graal än nämnaren. Genom en ådan polynomdiviion kan Laplacetranformen kriva B0 () F () F0 () (4.34) A() där A() är amma nämnarpolynom om i ekvation (4.33) och B 0 () är ett polynom med lägre graal än A(). I fortättningen anta därför m0 n. Enligt uperpoitionaten kan polynomet F 0 () invertranformera kilt för ig och den reulterande tidfunktionen f 0 () t addera till reten av löningen. Efterom F 0 () aknar nämnare, kommer f 0 () t att betå av en eller flera termer motvarande en impul och tidderivator av impuler. Speciellt det enare är ovanligt i praktiken. 4. Laplacetranformmetoder Löning av differentialekvationer 4 5

14 4.4.3 Partialbråkuppdelning Partialbråkuppdelning Exempel 4.5. Polynomdiviion. Betraka den rationella funktionen 3 4 F (). 3 (1) Den kan med hjälp av polynomdiviion kriva på formen (4.34). Om vi använder den klaika diviionupptällningen (andra upptällningar är liggande tolen och trappan ) er proceduren ut på följande ätt. 3 B () 43 A () F0 ( ) B ( ) 4.4 Löning av differentialekvationer Reultatet är ålede 5 F () 3 () 3 Ekvationerna (4.15) och (4.16) amt punkterna 6 och 8 i Laplacetranformtabellen ger tidfunktionen d ( t) d ( t) 3t f() t 3 () t 5e (3) där () t är enhetimpulen. 4.4 Löning av differentialekvationer Partialbråkuppdelning Partialbråkuppdelning Faktoriering Näta teg är att faktoriera polynomet A() enligt A() ( p1)( p) ( p n ) (4.35) där p k, k 1,,, n, är de n tycken reella och komplexa rötterna till den karakteritika ekvationen A() 0. Om rötterna p k är ditinkta (alla rötter är olika tora) och reella kan F() kriva om n Ck F () F0 () (4.36) k 1 pk där C k, k 1,,, n, är kontanter om bör betämma. Ifall karakteritika ekvationen har multipla (lika tora) reella rötter kan F() kriva r n Ck Ck F () F0 () k k1 ( pr ) kr1 p (4.37) k där pr pk, k 1,,, r, är r tycken lika tora rötter. I praktiken förekommer dock ällan multipla rötter. 4.4 Löning av differentialekvationer 4 55 Ifall komplexa rötter förekommer uppträder dea om komplexkonjugerade rotpar p j, där j 1 är den imaginära enheten. Vid faktorieringen av A() kan ett ådant rotpar ammanlå till faktorn ( ). En term C 1 C ( ) bör då inkludera i partialbråkuppdelningen av F(). Ifall pn 1 och p n är ett komplexkonjugerat rotpar och rötterna p k, k 1,, r, är multipla och reella ( pr ) amt reten av rötterna är ditinkta och reella, få r n Ck Ck Cn1 Cn F () F0 () k k1 ( pr ) kr1 pk ( ) Multipla komplexa rötter kan även hantera, men kommer inte att behandla. Alla termer i partialbråkuppdelningen (4.38) är ådana att dera invertranformer enkelt hitta i kuren Laplacetranformtabell. Enligt uperpoitionaten är den ökta funktionen f () t umman av de enkilda invertranformerna. (4.38) 4.4 Löning av differentialekvationer 4 56

15 4.4.3 Partialbråkuppdelning Partialbråkuppdelning Betämning av kontanterna C k Kontanterna C k kan betämma på flera olika ätt. Efterom partialbråkuppdelningen bör gälla för goyckliga värden på variabeln, kan man ubtituera n tycken lämpligt valda olika värden på i partialbråkuppdelningen och betämma C k, k 1,,, n, ur de n ekvationer om upptår. En annan mera allmän metod är att förlänga partialbråkuppdelningen (dv multiplicera båda leden) med A() och därefter förkorta bort nämnaruttrycken. Det å erhållna uttrycket kall vara lika med B 0 (). Kontanterna C k kan då betämma ur de n ekvationer om upptår när man kräver att partialbråkuppdelningen kall gälla kilt för varje poten av. Ifall rötterna är ditinkta och reella betäm C k enklat enligt B0 lim ( ) () Ck pk (4.39) pk A() Obervera att faktorn ( p k ) kan förkorta bort mot motvarande faktor i A(). Exempel 4.6. Rampvaret för ett förta ordningen ytem. Vi kall betämma det å kallade rampvaret för ett förta ordningen ytem. Inignalen u är en ramp, vilket innebär att den förändra linjärt med tiden enligt ambandet ut () bt, där b är en kontant. Enligt exempel 4.4 har ett förta ordningen ytem överföringfunktionen K G () (1) T 1 För en ramp med lutningkoefficienten b gäller i enlighet med ekvation (4.9) att den har Laplacetranformen b U() () Utignalen ge då av Kb Y() G() U() ( T 1) (3) 4.4 Löning av differentialekvationer Löning av differentialekvationer Partialbråkuppdelning Partialbråkuppdelning Denna Laplacetranform finn i kuren Laplacetranformtabell, men vi kall här illutrera hur vi kan finna löningen genom partialbråkuppdelning och invertranformering av redan kända Laplacetranformer. Nämnaren i ekvation (3) är färdigt faktorierad; vi har en enkel rot 1/ T och en dubbelrot 0. I enlighet med ekvation (4.37) gör vi då partialbråkuppdelningen Kb C1 C C3 (4) ( T 1) T 1 Förlängning med ( T 1) ger Kb C1( T 1) C( T 1) C3 (5) Detta uttryck måte gälla kilt för varje poten av, vilket ger 0 : Kb C C Kb 1 : 0C1CT C1 KbT 0 : CT 1 C3 C3 KbT (6) Inättning i ekvation (4) och vidare inättning i ekvation (3) ger KbT Kb KbT Y() (7) T 1 Men hjälp av punkterna 1, och 5 i Laplacetranformtabellen få då t/ T t/ T y() t KbT Kbt KbTe Kb( t T Te ) (8) Efter att initialeffekterna dött ut, närmar ig utignalen en ramp med lutningkoefficienten Kb. Direkt tillämpning av punkt 7 i Laplacetranformtabellen ger givetvi amma var. Övning 4.7. Invertranformera följande funktioner med hjälp av partialbråkuppdelning: a) Fa (), b) F b (). ( 4) ( 65) 4.4 Löning av differentialekvationer Löning av differentialekvationer 4 60