Regressionsanalys Enkel regressionsanalys Regressionslinjen
|
|
- Mikael Pettersson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 -9-6 Regreionanaly - om en mak åt en hungrande Kimmo Sorjonen Sektionen för Pykologi Karolinka Intitutet. Enkel reg.analy.. Data.. Reg.linjen.. Beta (β).. Signifikan.. Reg. om Var..6. Korr. & Förklarad var..7. SPSS.8. Rekom.. Multipel reg.analy.. Data.. Formel.. Kollinearitet.. Reg. om Var... SPSS.6. Förklarad varian.7. Semipartiell & Partiell.8. Selektionmetoder.9. Jämföra modeller.. Kurvlinjärt.. Interaktion.. Dummy-variabler. Logitik reg... Data.. Fina med Ln Odd.. SPSS.. Eempel.. Multipel, SPSS.. Enkel analy Data Värdet på en beroende variabel (kontinuerlig) predicera utifrån värdet på en oberoende variabel. Peron Pingviner (X) Livglädje (Y) Enkel analy Regreionlinjen dje Livgläd S e ( y yˆ) Pingviner.. Enkel analy Regreionlinjen, Ekvation y = a + b a =interceptet b =linjen lutning (= ökning i y när ökar med ett).. Enkel analy Regreionlinjen, Värdet på b y b Följande formel ger en lutning på linjen om minimerar reidualerna. b r y y Värdet på b påverka av mätenheten. Längd (cm) Vikt (kg), b =,9; Längd (m) Vikt (kg), b =? y
2 Enkel analy Regreionlinjen, Värdet på a.. Enkel analy Regreionlinjen, Eempelberäkning y = a + b Alltå: a = y - b Efterom linjen alltid går genom punkten M ; M y Så får vi att: a y b M =, M y =, =,8 y =, r y =,89, b,89,,8 a,,,, yˆ,,.. Enkel analy Standardierad b = β Om man tandardierar - och y-variabeln och beräknar linjen å beteckna linjen lutning β (beta). β = hur många tandardavvikeler värdet på y- variabeln ökar för en tandardavvikele ökning på -variabeln Värdet på β påverka inte av mätenhet. Därför indikerar den (till killnad från b) prediktiv förmåga. S Vad blir interceptet? b S y.. Enkel analy Signifikanprövning av b Reg.linjen ger ällan perfekta prediktioner. Den genomnittliga avvikelen mellan oberverade och predicerade värden är ett mått på hur pa bra (dåliga) prediktionerna är. Detta (ungefär) får man fram genom att beräkna tandard error of etimate. S Y X ( Y Yˆ) N SS df reidual Standard error of etimate kan i in tur använda Y X för att beräkna ett medelfel för b koefficienten (= b): X N Kan värdet på b anta vara kilt från i populationen? Detta kan teta (t-tet) genom att ätta det oberverade värdet på b i relation till den förväntade pridningen ( b = medelfel för koefficienten) : b t b.. Enkel analy Signifikanprövning av b I vårt eempel: SS reidual =, S =,8 S YX b X SSreidual df,, Y X,,8 N,8.. Enkel analy Regreioneffekten b r y y Y y i y i y j y j t b b,,,8. t krit.( df ),8 j i X
3 Enkel analy Regreion- om variananaly ädje Livglä Total varian Regreionvarian Reidualvarian Pingviner Total varian: SS Y ( Y Y ) Regreionvarian = Varian om återtår när oberverade värden erätt med predicerade värden. ˆ SS Y ˆ ( Y Y ) Reidualvarian = Varian om går förlorad när oberverade värden erätt med predicerade värden. SS e ( Y Yˆ) SS Y SS Yˆ SS e.. Regreionom variananaly Yˆ ( Y Y ),, X ( Y Yˆ) ( Yˆ Y ) Peron Ob.X Ob.Y Var.Y Pred.Y Re.Y Reg,,,76,8, 6,76,,,6,,8,69,,,96,,96,,,,6,7,9,69, 7 7,,96 6 6,, 676 6,76 Σ, 7,, 7,, 6,9 Reg.var. Reg.df 6,9 / F,79 Re.var Re.df, /. Fkrit. ( df,), Reg.df = Antalet prediktorer (p) Re.df = N-p-.6. Enkel analy Korrelation & Förklarad varian Variabler Korr. SS(tot) SS(reg) För. var. F F,7 687,6,96, F F9,79, 6,9, F9 F6 -,9,8,79, F6 F8,77,6,79, F8 F8, 767,,69, F8 F7,76 86,676 8,87,8 r = förklarad varian.7. Enkel analy SPSS-utkrift Korrelation mellan oberverade och predicerade y-värden. R i kvadrat = Hur tor andel av varianen i y om kan förklara av varianen i. Samma ak kan få fram genom att beräkna SS(reg) / SS(tot) (6,9 /, =,797).8. Regreionanaly Krav & Rekommendationer Krav: Variablerna kall vara på mint ordinal-nivå (egentligen intervall). Även dikotoma variabler funkar om prediktorer (men inte om BV). Krav: Man kall ha data från mint två peroner fler än vad man har prediktorer. Krav: Oberverade värden kall vara oberoende av varandra. Antagande: I populationen är: ) Varianen i Y-variabeln amma för alla nivåer av X; ) Y-värdena normalfördelade för alla nivåer av X. Rekommendation: N + 8 prediktorer; N + prediktorer. Rekommendation: Outlier (kanke peciellt multivariata ådana) kan ha tor effekt på koefficienterna. Sådana borde detektera (t.e. Mahalanobi ditan) och kanke tryka... Multipel Data Värdet på en beroende variabel (kontinuerlig) predicera utifrån värdet på flera oberoende variabler. Peron Pingviner Barn Livglädje
4 Multipel Formel Yˆ b b X b X... b p X p b = intercept b,b ov = koefficienter för variablerna X,X ov Värdena ta fram å att umman av de kvadrerade reidualerna minimera. S e ( y yˆ).. Multipel Kollinearitet Om en OV kan förklara utifrån andra OV å äg den ha kollinearitet. Denna OV bidrar inte mycket till förklaringen av BV och de närvaro kan innebära problem för modellen (man rikerar t.e. att dra lutaten att en OV inte har effekt på BV, trot att den har det). I SPSS kan man teta för kollinearitet genom att beräkna Tolerance och Variance Inflation Factor (VIF) Tolerance = Ett () minu förklarad varian (R ) när värdena i en OV predicera utifrån värdena i de andra OV. Bra om det är högt (tumregel: >,; Ma ) Variance Inflation Factor (VIF) = / Tolerance. Bra om det är lågt, min... Regreionom variananaly Ŷ,9,6 Ping,8 Barn ( Y Y ) ( Y Yˆ) ( Yˆ Y ).. Multipel SPSS-utkrift Peron Pingvin er Barn Livglä dje Var.y Pred.y Re.y Reg,,,,76,, 8,,,,,6,,,7,,, 96,96 9,9,,,,,,6,7,,9,, 7,,96 6,9,6 7,79 Σ, 7, 7,, 7,,67 7, R i kvadrat juterat för antalet prediktorer och N n (=förväntad genomnittlig R för tickprov med den Adj(R ) ( R ) aktuella torleken dragna ur amma population). Formel: n p Predicerar den aktuella modellen ignifikant mer än noll procent av varianen i BV? Kan någon av koefficienterna anta vara kild från noll i populationen? Reg.var. Reg.df 7,/ F,77 Re.var Re.df,67 /. Fkrit. ( df,) 9, Reg.df = Antalet prediktorer (p) Re.df = N-p-.. Beräkning av individuella koefficienter Peron Pingvin er Barn Livgläd je Prediktor=Barn Re(Pin g) Bˆ,9-,Ping Re(Liv g) Lˆ -,,Ping Prediktor=Ping Re(Bar n) Re(Liv g),,, -,6,,6,,,, -,8 -, -,9,9,,, -,8 -, -, -,,,,,8,, -,7,, 7,,6, -,, Σ, 7, 7,,,,, Re(L),9Re(P) Re(L) -,8Re(B).8. Multipel Selektionmetoder Enter: Alla valda OV ta med i modellen. Alla OV behandla om om de kulle vara it i hierarkin. Hierarkik: OV ta med i en vi (betämd) ordning. Effekten av en OV beräkna medan OV på högre nivå kontrollera. Forward: Programmet väljer ut OV om förklarar met varian, adderar edan näta OV o..v. OV ta med i modellen till den förklarade varianen inte längre ökar ignifikant. Backward: Alla OV ta med i modellen och edan eliminera (ucceivt) de OV om inte bidrar ignifikant till förklarad varian. Stepwie: Kombination av forward och backward.
5 Multipel Hierarkik, SPSS I SPSS kan man göra en hierarkik analy och be programmet räkna fram R Square Change..8. Multipel SPSS, Stepwie Ta Barn med i modellen å ökar den förklarade varianen från 79,7% till 8,7%, men den här ökningen är inte ignifikant, F(, ) =., p = Multipel Kurvlinjärt, Formel Yˆ b b X b X.. Multipel Kurvlinjärt, Data Pingviner Barn Livglädje Barn** Zbarn ZBarn**,,,, -,7,8,,,, -,7,8,,,, -,7,8,,,, -,7,8,,,,,,,, 6,,,,,, 6,,,,,, 7,,,,,,,,,7,8,,,,,7,8,,,,,7,8,,,,,7,8.. Multipel Kurvlinjärt, SPSS.. Multipel Kurvlinjärt, Korrelationer
6 Multipel Kurvlinjärt, SPSS OBS: Har man med en eponentiell term om prediktor bör alla termer av lägre grad ockå vara med. Livglädje = 6, +, Zbarn,6 Zbarn Livglädjen är om tört vid Zbarn =, vilket motvarar Barn =, Vad anger interceptet?.. Multipel Interaktion = Effekten av en OV på BV är beroende av nivån på en annan OV. Om man tetar för interaktion å utgår man oftat ifrån att effekten av en OV på BV är en linjär funktion av nivån på en (eller flera) annan OV, alltå: b = c + d b = effekten av på BV c = effekten av på BV när är noll d = förändring i effekten av på BV när ökar med ett teg Och grundformeln för (med två OV): y = b + b + b Om vi erätter b med uttrycket ovan får vi: y = b + (c + d ) + b Efter lite algebra: y = b + c + b + d Interaktionen kan alltå teta genom att ta med produkten av de två variablerna om en prediktor i analyen... Multipel Interaktion Pingviner Barn Livglädje P*B Zping Zbarn Zp*Zb,,,, -,6 -,7,76,,,, -,6 -,7,76,,,,, -,7 -,6,, 7 7,,, -,7 7 -,,,,, -,6,,,,,, -,,,,,,, -,,,,,,,,,,,, 6,, -,,7 -,6,, 6,, -,6,7 -,76,,,,,7,7,,,, 8,,,7,.. Multipel Interaktion, SPSS OBS: Har man med en interaktionterm i analyen å kall p- värdet för huvudeffekterna tolka med tor föriktighet.. Multipel Interaktion, Korrelation.. Multipel Interaktion, SPSS Glädje =,7 +, * ZPing +, * ZBarn,9 * ZPing * ZBarn Effekt av ZPing:,,9 * ZBarn (ZBarn <,7: Potiv effekt, annar negativ) Effekt av ZBarn:,,9 * ZPing (ZPing <,: Poitiv effekt, annar negativ) När antalet pingviner ökar med en SD å minkar effekten av antalet barn på livglädje med,9. När antalet barn ökar med en SD å minkar effekten av antalet pingviner på livglädje med,9. 6
7 Multipel Kategorivariabler (Dummy-variabler) Studerar Pingviner Barn Livglädje Statitik Sociologi Sociologi,,,,, Sociologi,,,,, Pykologi,,,,, Statitik,, 7,,, Pykologi,,,,, Pykologi,,,,, Pykologi,,,,, Statitik,,,,, Statitik,, 6,,, Statitik,, 6,,, Sociologi,,,,, Sociologi,,,,,.. Multipel Kategorivariabler, SPSS Om man läer tatitik å förvänta livglädjen vara, poäng högre jämfört med om man läer pykologi (kontrollerat för effekten av pingviner och barn). Om man läer ociologi å förvänta livglädjen vara, poäng lägre jämfört med om man läer pykologi (kontrollerat för effekten av pingviner och barn)... Logitik Data Använd när man kall predicera värden på en dikotom variabel. Använder ig av den naturliga logaritmen av oddkvoter (efterom dea tenderar att vara linjära även med en dikotom beroende variabel). Undviker problem med orimliga predicerade värden... Logitik Rik & Odd Rik = Antal med utfall dividerat med totalt antal (kan variera mellan och ) Odd = Antal med utfall dividerat med antal utan utfall (kan variera mellan och ) ) Kvinnor Män Rik(kvinna) Odd(kvinna) 8 8 /(+8)=, /8=, /(+)=, /= 8/(8+)=,8 8/=.. Logitik Det fina med Ln Odd Odd(man).. Logitik SPSS Vikt Ln(Odd(man)) Vikt Alltå: Ln Odd (man) =, Vikt 7, 7
8 Logitik Eempelberäkning Ln Odd (man) =, Vikt 7, Vikt = 7 Ln Odd (man) = -, Odd (man) = e -, =,989 P (man) =,989 / ( +,989) = 9,7% Vikt = 8 Ln Odd (man) =,9 Odd (man) = e,9 =,77 P (man) =,77 / ( +,77) = 7,%.6 Logitik Multipel, SPSS. Enkel reg.analy.. Data.. Reg.linjen.. Beta (β).. Signifikan.. Reg. om Var..6. Korr. & Förklarad var..7. SPSS.8. Rekom.. Multipel reg.analy.. Data.. Formel.. Kollinearitet.. Reg. om Var... SPSS.6. Förklarad varian.7. Semipartiell & Partiell.8. Selektionmetoder.9. Jämföra modeller.. Kurvlinjärt.. Interaktion.. Dummy-variabler. Logitik reg... Data.. Fina med Ln Odd.. SPSS.. Eempel.. Multipel, SPSS 8
Regressionsanalys Enkel regressionsanalys Regressionslinjen
--9 Regreionanaly - en fråga om balan Kimmo Sorjonen Sektionen för Pykologi Karolinka Intitutet. Enkel reg.analy.. Data.. Reg.linjen.. Beta (β).. Signifikan.. Reg. om Var..6. Korr. & Förklarad var..7.
Läs merRegressionsanalys. - en fråga om balans. Kimmo Sorjonen Sektionen för Psykologi Karolinska Institutet
Regressionsanalys - en fråga om balans Kimmo Sorjonen Sektionen för Psykologi Karolinska Institutet Innehåll: 1. Enkel reg.analys 1.1. Data 1.2. Reg.linjen 1.3. Beta (β) 1.4. Signifikansprövning 1.5. Reg.
Läs mer***************************************************************************
KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Provmoment: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 04-0-4 Tid: 09.00-3.00 Lokal: Viktoriagatan 30 Tillåtna hjälpmedel: Kalkylator.
Läs mer***************************************************************************
KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Provmoment: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 03--07 Tid: 09.00-3.00 Lokal: Folket hu Tillåtna hjälpmedel: Kalkylator.
Läs merGiltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.
KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Delkur: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 06--7 Plat: Viktoriagatan 30 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare amt bifogad formel-
Läs merTillåtna hjälpmedel: Kalkylator. Student som ej har svenska som modersmål får använda ordbok för översättning mellan svenska och annat språk.
KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Provmoment: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 03-0-5 Tid: 09.00-3.00 Lokal: Folket hu Tillåtna hjälpmedel: Kalkylator.
Läs merTillåtna hjälpmedel: Kalkylator. Student som ej har svenska som modersmål får använda ordbok för översättning mellan svenska och annat språk.
KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Provmoment: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 0--5 Tid: 08.00-.00 Lokal: Viktoriagatan 30 Tillåtna hjälpmedel: Kalkylator.
Läs merGiltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.
KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Delkur: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 05-0-5 Plat: Viktoriagatan 30 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare amt bifogad formel-
Läs mer***************************************************************************
KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Provmoment: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 03--08 Tid: 09.00-3.00 Lokal: Folket hu Tillåtna hjälpmedel: Kalkylator.
Läs merRegressionsanalys med SPSS Kimmo Sorjonen (2010)
1 Regressionsanalys med SPSS Kimmo Sorjonen (2010) 1. Multipel regression 1.1. Variabler I det aktuella exemplet ingår följande variabler: (1) life.sat, anger i vilket utsträckning man är nöjd med livet;
Läs merGiltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.
KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Delkur: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 05-- Plat: Folket hu Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare amt bifogad formel- och
Läs merMultipel Regressionsmodellen
Multipel Regressionsmodellen Koefficienterna i multipel regression skattas från ett stickprov enligt: Multipel Regressionsmodell med k förklarande variabler: Skattad (predicerad) Värde på y y ˆ = b + b
Läs merLinjär regressionsanalys. Wieland Wermke
+ Linjär regressionsanalys Wieland Wermke + Regressionsanalys n Analys av samband mellan variabler (x,y) n Ökad kunskap om x (oberoende variabel) leder till ökad kunskap om y (beroende variabel) n Utifrån
Läs merKorrelation kausalitet. ˆ Y =bx +a KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION
KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION Prediktion att estimera "poäng" på en variabel (Y), kriteriet, på basis av kunskap om "poäng" på en annan variabel (X), prediktorn. Prediktion heter med ett annat
Läs merInstuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8
1 Instuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8 Dessa instuderingsfrågor är främst tänkta att stämma överens med innehållet i föreläsningarna,
Läs merGiltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.
KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Delkur: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 04--0 Plat: Viktoriagatan 30 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare amt bifogad formel-
Läs merFör Godkänt krävs minst 12 poäng i kvalitativ metodik och minst 12 poäng i statistiska metoder. Tentamen består av totalt 10 huvudfrågor.
KOD: Kurkod: PM35 Kurnamn: Metoder för pykologik forkning (5 hp) Provmoment: Delkur I: Kvalitativa och tatitika metoder Anvarig lärare: Ulf Dahltrand / Petra otröm Tentamendatum: 05-- Plat: Viktoriagatan
Läs merANOVA Faktoriell (tvåvägs)
ANOVA Faktoriell (tvåvägs) Faktoriell ANOVA (tvåvägs) Två oberoende variabel ( tvåvägs ): Nominalskala eller ordinalskala. Delar in det man undersöker (personerna?) i grupper/kategorier, dvs. betingelser.
Läs merTillåtna hjälpmedel: Kalkylator. Student som ej har svenska som modersmål får använda ordbok för översättning mellan svenska och annat språk.
Förättblad KOD: Kurkod: PC309 Kurnamn: Metod i pykologi Provmoment: Regreion- och variananaly Anvarig lärare: Ulf Dahltrand Tentamendatum: 04--03 Tid: 08.00-.00 Lokal: Folket hu Tillåtna hjälpmedel: Kalkylator.
Läs merMultipel linjär regression. Geometrisk tolkning. Tolkning av β k MSG Staffan Nilsson, Chalmers 1
Multipel linjär regression l: Y= β 0 + β X + β 2 X 2 + + β p X p + ε Välj β 0,β,β 2,, β p så att de minimerar summan av residualkvadraterna (Y i -β 0 -β X i - -β p X pi ) 2 Geometrisk tolkning Med Y=β
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet
732G71 Statistik B Föreläsning 4 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 11, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 11, 2016 1 / 34 Kap. 5.1, korrelationsmatris En korrelationsmatris
Läs merInnehåll: 3.4 Parametriskt eller ej 3.5 Life Table 3.6 Kaplan Meier 4. Cox Regression 4.1 Hazard Function 4.2 Estimering (PL)
Innehåll: 1. Risk & Odds 1.1 Risk Ratio 1.2 Odds Ratio 2. Logistisk Regression 2.1 Ln Odds 2.2 SPSS Output 2.3 Estimering (ML) 2.4 Multipel 3. Survival Analys 3.1 vs. Logistisk 3.2 Censurerade data 3.3
Läs merHöftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund
Höftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund Sjö A Sjö B Förekomst av parasitdrabbad öring i olika sjöar Sjö C Jämföra medelvärden hos kopplade stickprov Tio elitlöpare springer samma sträcka i en för dem
Läs merStatistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1
Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs
Läs merFinansiell statistik. Multipel regression. 4 maj 2011
Finansiell statistik Föreläsning 4 Multipel regression Jörgen Säve-Söderbergh 4 maj 2011 Samband mellan variabler Vi människor misstänker ofta att det finns många variabler som påverkar den variabel vi
Läs merAnvändning. Fixed & Random. Centrering. Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå
Användning Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå Kimmo Sorjonen Sektionen för Psykologi Karolinska Institutet Kärt barn har många namn: (1) Random coefficient models; (2) Mixed effect models; (3)
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 1, kap Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20
732G71 Statistik B Föreläsning 1, kap. 3.1-3.7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20 Exempel, enkel linjär regressionsanalys Ett företag vill veta
Läs merSpridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts.
Spridningsdiagram (scatterplot) En scatterplot som visar par av observationer: reklamkostnader på -aeln and försäljning på -aeln ScatterplotofAdvertising Ependitures ()andsales () 4 Fler eempel Notera:
Läs mer1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet
1/31 REGRESSIONSANALYS F1 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/31 Kap 4: Introduktion till regressionsanalys. Introduktion Regressionsanalys är en statistisk teknik för att
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F4
Regressions- och Tidsserieanalys - F4 Modellbygge och residualanalys. Kap 5.1-5.4 (t.o.m. halva s 257), ej C-statistic s 23. Linda Wänström Linköpings universitet Wänström (Linköpings universitet) F4 1
Läs merFöreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad
Läs merAnvändning. Fixed & Random. Centrering. Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå
Användning Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå Kimmo Sorjonen Sektionen för Psykologi Karolinska Institutet Kärt barn har många namn: (1) Random coefficient models; () Mixed effect models; (3)
Läs merF18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT 1.1, 13.1-13.6, 13.8-13.9) Modell för multipel linjär regression Modellantaganden: 1) x-värdena är fixa. ) Varje y i (i = 1,, n) är
Läs merMultipel regression och Partiella korrelationer
Multipel regression och Partiella korrelationer Joakim Westerlund Kom ihåg bakomliggande variabelproblemet: Temperatur Jackförsäljning Oljeförbrukning Bakomliggande variabelproblemet kan, som tidigare
Läs mer2. Lära sig skatta en multipel linjär regressionsmodell samt plotta variablerna. 4. Lära sig skatta en linjär regressionsmodell med interaktionstermer
Datorövning 2 Regressions- och tidsserieanalys Syfte 1. Lära sig skapa en korrelationsmatris 2. Lära sig skatta en multipel linjär regressionsmodell samt plotta variablerna mot varandra 3. Lära sig beräkna
Läs merRisk Ratio, Odds Ratio, Logistisk Regression och Survival Analys med SPSS Kimmo Sorjonen, 2012
Risk Ratio, Odds Ratio, Logistisk Regression och Survival Analys med SPSS Kimmo Sorjonen, 2012 1. Risk Ratio & Odds Ratio Risk- och odds ratio beräknar sambandet mellan två dikotoma variabler. Inom forskning
Läs merFör Godkänt krävs minst 12 poäng i kvalitativ metodik och minst 12 poäng i statistiska metoder. Tentamen består av totalt 10 huvudfrågor.
KOD: Kurkod: PM35 Kurnamn: Metoder för pykologik forkning (5 hp) Anvarig lärare: Ulf Dahltrand / Petra otröm Tentamendatum: 05-0-7 Plat: Viktoriagatan 30 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare amt ifogad formel-
Läs merKalibrering. Dagens föreläsning. När behöver man inte kalibrera? Varför kalibrera? Ex på kalibrering. Linjär regression (komp 5)
Dagen föreläning Kalibrering Kemik mätteknik CSL Analytik kemi Inledning. Linjär regreion Olika typer av tandarder. Vilken typ av kalibrering till vilken analymetod? Något om pårbarhet. Varför kalibrera?
Läs merF16 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION (NCT , 13.9) Anpassning av linjär funktion till givna data
Stat. teori gk, ht 006, JW F16 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION (NCT 13.1-13.3, 13.9) Anpassning av linjär funktion till givna data Data med en beroende variabel (y) och K stycken (potentiellt) förklarande variabler
Läs merF7 Polynomregression och Dummyvariabler
F7 Polnomregression och Dummvariabler Antag att man börjar med enkel linjär regression. Kap Polnomregression Emellanåt upptäcker man samband som är kvadratiska, kubiska osv. Allmänt: polnom av k:te ordningen
Läs merResidualanalys. Finansiell statistik, vt-05. Normalfördelade? Normalfördelade? För modellen
Residualanalys För modellen Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F7 regressionsanalys antog vi att ε, ε,..., ε är oberoende likafördelade N(,σ Då
Läs merFör Godkänt krävs minst 12 poäng i kvalitativ metodik och minst 12 poäng i statistiska metoder. Tentamen består av totalt 10 huvudfrågor.
KOD: Kurkod: PM35 Kurnamn: Metoder för pykologik forkning (5 hp) Anvarig lärare: Ulf Dahltrand / Petra otröm Tentamendatum: 05-04- Plat: Folket Hu Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare amt ifogad formel- och
Läs merI. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik III. Statistisk inferens Parametriska Icke-parametriska
Innehåll I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik III. Statistisk inferens Hypotesprövnig Statistiska analyser Parametriska analyser Icke-parametriska analyser Univariata analyser Univariata analyser
Läs merTENTAMEN I REGRESSIONSANALYS OCH TIDSSERIEANALYS
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Marcus Berg VT2014 TENTAMEN I REGRESSIONSANALYS OCH TIDSSERIEANALYS Fredag 23 maj 2014 kl. 12-17 Skrivtid: 5 timmar Godkända hjälpmedel: Kalkylator utan
Läs merInStat Exempel 4 Korrelation och Regression
InStat Exempel 4 Korrelation och Regression Vi ska analysera ett datamaterial som innehåller information om kön, längd och vikt för 2000 personer. Materialet är jämnt fördelat mellan könen (1000 män och
Läs mer1/23 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet
1/23 REGRESSIONSANALYS F4 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/23 Multipel regressionsanalys Multipel regressionsanalys kan ses som en utvidgning av enkel linjär regressionsanalys.
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet November 4, 2013 Wänström (Linköpings universitet) F1 November 4, 2013 1 / 25 Statistik B, 8 hp
Läs merFöreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3
Föreläsning Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5, 5,3 1 Kap 3,7 och 3,8 Hur bra är modellen som vi har anpassat? Vi bedömer modellen med hjälp av ett antal kriterier: visuell bedömning, om möjligt F-test, signifikanstest
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet May 4, 2015 Wänström (Linköpings universitet) F1 May 4, 2015 1 / 25 Regressions- och tidsserieanalys,
Läs merLinjär Regressionsanalys. Centrum för allmänmedicin Henrik Källberg
Linjär Regressionsanalys Centrum för allmänmedicin Henrik Källberg Henrik.kallberg@ki.se www.henrikkallberg.com/undervisning Linear regression(dag 1) Upplägg Dag 1 Kort repetition - Deskriptiv statistik
Läs merSambandsmått. Centralmått. Det mest frekventa värdet. Det mittersta värdet i en rangordnad fördelning. Aritmetiska medelvärdet.
PM315 HT016 Emma äck Formelsamling Centralmått Typvärde T Median Md ritmetiska medelvärdet Det mest frekventa värdet Det mittersta värdet i en rangordnad fördelning = n Spridningsmått Variationsvidd (Range)
Läs merimport totalt, mkr index 85,23 100,00 107,36 103,76
1. a) F1 Kvotskala (riktiga siffror. Skillnaden mellan 3 och 5 månader är lika som skillnaden mellan 5 och 7 månader. 0 betyder att man inte haft kontakt med innovations Stockholm.) F2 Nominalskala (ingen
Läs merKapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN
Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Spridningsdiagrammen nedan representerar samma korrelationskoefficient, r = 0,8. 80 80 60 60 40 40 20 20 0 0 20 40 0 0 20 40 Det finns dock två
Läs merPrediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren Prediktera Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/28 Statistik för modellval
Läs mer2. Optimering Linjär programmering
. Optimering Linjär programmering Ett optimeringprolem etår av: En målfunktion, f(), var maimum, eller minimum ka öka. En eller flera -varialer (elutvarialer om man tr över). Normalt okå ett antal ivillkor
Läs mer10.1 Enkel linjär regression
Exempel: Hur mycket dragkraft behövs för att en halvledare skall lossna från sin sockel vid olika längder på halvledarens ben. De halvledare vi betraktar är av samma storlek (bortsett benlängden). 70 Scatterplot
Läs merSänkningen av parasitnivåerna i blodet
4.1 Oberoende (x-axeln) Kön Kön Längd Ålder Dos Dos C max Parasitnivå i blodet Beroende (y-axeln) Längd Vikt Vikt Vikt C max Sänkningen av parasitnivåerna i blodet Sänkningen av parasitnivåerna i blodet
Läs merT-test, Korrelation och Konfidensintervall med SPSS Kimmo Sorjonen
T-test, Korrelation och Konfidensintervall med SPSS Kimmo Sorjonen 1. One-Sample T-Test 1.1 När? Denna analys kan utföras om man vill ta reda på om en populations medelvärde på en viss variabel kan antas
Läs merLösningsförslag till tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp. Fredagen den 13 e mars 2015
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik Statistik Lösningsförslag till tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp Fredagen den 13 e mars 015 1 a 13 och 14
Läs merSkrivning i ekonometri lördagen den 29 mars 2008
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STAB, Ekonometri Skrivning i ekonometri lördagen den 9 mars 8.Vi vill undersöka hur variationen i antal arbetande timmar för gifta kvinnor i Michigan
Läs merFör Godkänt krävs minst 12 poäng i kvalitativ metodik och minst 12 poäng i statistiska metoder. Tentamen består av totalt 8 huvudfrågor.
KOD: Kurkod: PM35 Kurnamn: Metoder för pykologik forkning (5 hp) Anvarig lärare: Ulf Dahltrand / Petra otröm Tentamendatum: 04-0-0 Plat: Folket Hu Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare amt ifogad formel- och
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 7. Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29
732G71 Statistik B Föreläsning 7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29 Detaljhandelns försäljning (fasta priser, kalenderkorrigerat) Bertil Wegmann
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F7
Regressions- och Tidsserieanalys - F7 Tidsserieregression, kap 6.1-6.4 Linda Wänström Linköpings universitet November 25 Wänström (Linköpings universitet) F7 November 25 1 / 28 Tidsserieregressionsanalys
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 12 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 12 December 1 / 12 Explorativ Faktoranalys
Läs merExaminationsuppgifter del 2
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för Matematik och Matematisk statistisk Statistik för ingenjörer, poäng, Anders Lundquist 7-- Examinationsuppgifter del Redovisas muntligt den / (Ö-vik) samt / (Lycksele).
Läs merSkrivning i ekonometri lördagen den 25 augusti 2007
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STA10:3 Skrivning i ekonometri lördagen den 5 augusti 007 1. Vi vill undersöka hur variationen i ölförsäljningen i ett bryggeri i en stad i USA
Läs merPoissonregression. E(y x1, x2,.xn) = exp( 0 + 1x1 +.+ kxk)
Poissonregression En lämplig utgångspunkt om vi har en beroende variabel som är en count variable, en variabel som antar icke-negativa heltalsvärden med ganska liten variation E(y x1, x2,.xn) = exp( 0
Läs merForskningsmetod II Korrelation och regression
Forskningsmetod II Korrelation och regression Idag: Bivariat korrelation (Pearsons r) Enkel regression Multipel korrelation Multipel regression Leo Poom 018-471 17 leo.poom@psyk.uu.se Samband: Mest frekvent
Läs merTillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 10: Multipel linjär regression 1
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 10: Multipel linjär regression 1 Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-19 Motivering Vi motiverade enkel linjär regression som ett
Läs merBild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II
Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 3. Bertil Wegmann. November 4, IDA, Linköpings universitet
732G71 Statistik B Föreläsning 3 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 4, 2015 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 4, 2015 1 / 22 Kap. 4.8, interaktionsvariabler Ibland
Läs mer***************************************************************************
Föättblad KOD: Kukod: PC309 Kunamn: Metod i pykologi Povmoment: Fokningmetodik Anvaig läae: Ulf Dahltand Tentamendatum: 0-03-9 Tillåtna hjälpmedel: Kalkylato. Student om ej ha venka om modemål få använda
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F3
Regressions- och Tidsserieanalys - F3 Multipel regressionsanalys kap 4.8-4.10 Linda Wänström Linköpings universitet 7 maj Wänström (Linköpings universitet) F3 7 maj 1 / 26 Lite som vi inte hann med när
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 17 februari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312,
Läs merFör Godkänt krävs minst 12 poäng i kvalitativ metodik och minst 12 poäng i statistiska metoder. Tentamen består av totalt 10 huvudfrågor.
KOD: Kurkod: PM35 Kurnamn: Metoder för pykologik forkning (5 hp) Provmoment: Delkur I: Kvalitativa och tatitika metoder Anvarig lärare: Ulf Dahltrand / Petra otröm Tentamendatum: 05-0-09 Plat: Viktoriagatan
Läs merLogistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013
Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas
Läs merOptimering Linjär programmering
Optimering Linjär programmering Ett optimeringprolem etår av: En målfunktion, f(), var maimum, eller minimum ka öka. En eller flera -varialer (elutvarialer om man tr över). Eventuellt ockå ett antal ivillkor
Läs merSannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, vt 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlita till NCT Iferece Slutledig, ifere Parameter Parameter Saolikhetlära tatitik ifere Hittill har vi ylat med aolikhetlära. Problem av type:
Läs merFaktoranalys - Som en god cigarr
Innehåll Faktoranalys - Som en god cigarr Faktoranalys. Användningsområde. Krav/rekommen. 3. Olika typer av FA 4. Faktorladdningar 5. Eigenvalue 6. Rotation 7. Laddningar & Korr. 8. Jämförelse av metoder
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 7. Multipel regression. (LLL Kap 15) Multipel Regressionsmodellen
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsning 7 Multipel regression (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs mer1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel. 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell
Datorövning 1 Regressions- och tidsserieanalys Syfte 1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell 3. Lära sig beräkna en skattning
Läs merKapitel 12: TEST GÄLLANDE EN GRUPP KOEFFICIENTER - ANOVA
Kapitel 12: TEST GÄLLANDE EN GRUPP KOEFFICIENTER - ANOVA 12.1 ANOVA I EN MULTIPEL REGRESSION Exempel: Tjänar man mer som egenföretagare? Nedan visas ett utdrag ur ett dataset som innehåller information
Läs merSkrivning i ekonometri torsdagen den 8 februari 2007
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STA2:3 Skrivning i ekonometri torsdagen den 8 februari 27. Vi vill undersöka hur variationen i lön för 2 belgiska löntagare = WAGE (timlön i euro)
Läs merKapitel 15: INTERAKTIONER, STANDARDISERADE SKALOR OCH ICKE-LINJÄRA EFFEKTER
Kapitel 15: INTERAKTIONER, STANDARDISERADE SKALOR OCH ICKE-LINJÄRA EFFEKTER När vi mäter en effekt i data så vill vi ofta se om denna skiljer sig mellan olika delgrupper. Vi kanske testar effekten av ett
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 27 oktober
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 27 oktober 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merRegressionsanalys av lägenhetspriser i Spånga
Regressionsanalys av lägenhetspriser i Spånga Mahamed Saeid Ali Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2016:11 Matematisk statistik Juni 2016
Läs merInstruktioner till Inlämningsuppgiften i Statistik Kursen Statistik och Metod Psykologprogrammet (T8), Karolinska Institutet
1 Instruktioner till Inlämningsuppgiften i Statistik Kursen Statistik och Metod Psykologprogrammet (T8), Karolinska Institutet Uppdaterad: 130114 För att bli godkänd på inlämningsuppgiften krävs att man
Läs merökar arbetslösheten i alla länder, men i USA sker tilbakagången snabbare
Europeik arbetlöhet numera generellt högre än i USA. Vid lågkonjunktur ökar arbetlöheten i alla länder, men i USA ker tilbakagången nabbare än i typikt Europeikt land. Från att ha legat på en tabil, internationellt
Läs merPreliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet
Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden
Läs merEn rät linje ett enkelt samband. En rät linje + slumpbrus. Observationspar (X i,y i ) MSG Staffan Nilsson, Chalmers 1.
En rät linje ett enkelt samband Y β 1 Lutning (slope) β 0 Skärning (intercept) 1 Y= β 0 + β 1 X X En rät linje + slumpbrus Y Y= β 0 + β 1 X + brus brus ~ N(0,σ) X Observationspar (X i,y i ) Y Ökar/minskar
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;
Läs mera) Bedöm om villkoren för enkel linjär regression tycks vara uppfyllda! b) Pröva om regressionkoefficienten kan anses vara 1!
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STA1:3 Skrivning i ekonometri tisdagen den 1 juni 4 1. Vi vill undersöka hur variationen i brottsligheten i USA:s delstater år 196 = R (i antal
Läs merDel A: Schema för ifyllande av svar nns på sista sidan
Del A: Schema för ifyllande av svar nns på sista sidan 1 1 Nedladdningstiden (i sekunder) för en bestämd l registrerades 16 gånger vid var och en av tre olika tidpunkter på dygnet. ANOVA-analys av dessa
Läs merST-fredag i Biostatistik & Epidemiologi När ska jag använda vilket test?
ST-fredag i Biostatistik & Epidemiologi När ska jag använda vilket test? Mikael Eriksson Specialistläkare CIVA Karolinska Universitetssjukhuset, Solna Grund för hypotestestning 1. Definiera noll- och alternativhypotes,
Läs merFormelsamling i matematisk statistik
Formelamling i matematik tatitik Sannolikhetteori Sannolikhetaxiom : 0 P (A) :P () = 3: P (A [ B) = P (A) + P (B) om A \ B =? Additionaten Betingad annolikhet P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) P (AjB)
Läs merEnkel linjär regression. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression
Enkel linjär regression Exempel.7 i boken (sida 31). Hur mycket dragkraft behövs för att en halvledare skall lossna från sin sockel vid olika längder på halvledarens ben och höjder på sockeln. De halvledare
Läs merFöreläsning 9. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 9 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 (kap. 20) Introduktion I föregående föreläsning diskuterades enkel linjär regression, där en oberoende variabel X förklarar variationen hos en
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs mer