TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

Transkript

1 TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Tordag 3 oktober 04, kl Plat: Fyrilundgatan 80, Sal Anvarig lärare: Kjartan Halvoren, tel Tillåtna hjälpmedel: Kurboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematik formelamling. Skrivningen betår av två delar, del A och del B. För att bli godkänd på krivningen kräv att man är godkänd på del A. Del B är frivillig och ge endat vid ordinarie tentatillfällen (vid repektive kurtillfällen.) Preliminära betyggräner: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och mint 0 poäng på del B (inkl. bonupoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och mint 8 poäng på del B (inkl. bonupoäng) OBS: Svar och löningar lämna in på eparata papper. Endat en uppgift per ark. Skriv din tentakod på varje ark. Löningarna ka vara tydliga och väl motiverade (om inget annat ange). Avläningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!

2 Uppgift En aneteiläkare måte övervaka flera fyiologika variabler ho patienten under en operation. För att underlätta arbetet använd regulatorer om med återkoppling av uppmätta värden tyr doeringen av läkemedel. Antag följande förenklade modell av en blodtryck-regulator. v(t) r(t) e(t) u(t) z(t) F () e 0.5 (+) y(t) Regulatorn tyr ventilintällningen på en doeringpump om tillätter läkemedel i patienten inandningluft. Flödet av läkemedel anta vara proportionellt mot ventilen poition ż(t) = u(t). Dynamiken i hur patienten blodtryck (medelartärtryck) reagerar på läkemedlet är framtaget experimentellt och kan approximera med överföringfunktionen G p () = e 0.5 ( + ). Figuren nedanför viar Bodediagrammet för G() = G p() G 0 0 arg G ω [rad/] (a) Man anätter fört en proportionell regulator F () = K P. För vilket

3 värde på K P får man jälvvängningar? (p) (b) Hur nabbt återkopplat ytem kan man åtadkomma med proportionell återkoppling om man vill ha en famarginal på ϕ m = 60 o? Ange även approximativt T r, tigtiden för det lutna ytemet tegvar. (p) (c) Betäm en regulator av å låg ordning om möjligt om uppfyller följande pecifikationer. Famarginalen ka vara ϕ m = 60 o.. Stigtiden ka vara hälften av vad om är möjligt med enbart proportionell återkoppling och famarginal om ovan. 3. En kontant törning v(t) ka inte ge något kvartående reglerfel. (3p) Uppgift Ange för vart och ett av följande påtåenden ifall det är ant eller falkt. (a) Ett lutet ytem med kretförtärkningen G o () = b med poitiva a +a och b är alltid tabilt. (b) Maximala faen för ett lead-filter F lead () = K τ D+ beror på τ βτ D + D. (c) Om kretförtärkningen G o () har integralverkan å får känlighetfunktionen S() nolltälle i origo. (d) För känlighetfunktionen S() och komplementära känlighetfunktionen T () gäller S(iω) + T (iω) = för alla ω. (e) Alla minimala realiationer är oberverbara. Varje rätt var ger + poäng och varje felaktigt var ger - poäng (och utelämnat var ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften mint 0 poäng. Ingen motivering behöv enbart varen ant och falkt kommer att beakta. (5p)

4 Uppgift 3 Poitioneringen av telekop kräver noggrann reglering för att telekopet ka kunna ge karpa bilder vid långa exponeringtider. Betrakta nedantående förenklade modell av poitioneringen i en riktning. v(t) r(t) F () u(t) K f w(t) θ(t) n(t) Signalen r(t) är den önkade riktningen, v är en törande kraft på telekopet och n är mätbru i mätningen av telekopet riktning. Den inre återkopplingen med förtärkningen K f kommer från ett viköt dämpningytem. (a) Beräkna överföringfunktionen G t () från u(t) och v(t) till θ(t) för det öppna ytemet Θ() = G t () ( U() + V () ) = G t ()U() + G t ()V (). Ledning: Det kan underlätta att införa ignalen w(t) där Θ() = W (). (p) (b) Beräkna överföringfunktionerna från r(t), v(t) och n(t) till utignalen θ(t) för det lutna ytemet Θ() = G r ()R() + G v ()V () + G n ()N(). (c) Antag att telekopet reglera med PI-regulatorn (p) F () = K +, och att K f =. För vilka värden på K är det lutna ytemet tabilt? (p) (d) Vad blir det kvartående felet i telekopet orientering om v(t) = t är en ramp och r(t) = 0, n(t) = 0? (p) (e) För att eliminera rampfelet helt kräv ytterligare en integrering i regulatorn, och man anätter den nya regulatorn ( + ) F () = K vilket ger den karakteritika ekvationen 3 ( + ) + K( + )( + ) = 0. En rotort om viar det lutna ytemet poler med aveende på K via nedanför. Bekriv kort det lutna ytemet egenkaper med aveende på tabilitet, nabbhet, och dämpning för olika värden på K! (p) 3

5 Im 3 tartpunkter 0.5 Re ändpunkter Uppgift 4 Ett ytem är givet av blockdiagrammet nedanför. + x u y +3 x d (a) Ställ upp en tilltåndmodell för ytemet med de tilltåndvariabler om är givna i diagrammet. (p) (b) Beräkna en tilltåndåterkoppling u(t) = Lx(t) om ger ett lutet ytem med poler i 4. (p) (c) Betäm det lutna ytemet överföringfunktion från d(t) till y(t). (p) 4

6 Löningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del B (a) [Modellen av blodtryckreglering kommer från Dorf & Bihop Modern Control Sytem ] Självvängningar inträffar när Nyquitkurvan går igenom punkten -. Den proportionella återkopplingen påverkar inte fakurvan, endat beloppkurvan. Betrakta därför den frekven för vilken faen är 80 o. Avläning i Bodediagrammet ger ω pc =. rad/. För egenvängningar ka beloppkurvan kära vid amma frekven, vilket ger K P = K P G(i.) = G(i.) = (b) Betäm den frekven för vilken man har önkad famarginal. Dv ök frekven ω c, å att arg G o (iω c ) = arg K + arg G(iω c ) = arg G(iω c ) = = 0. Avläning i Bodediagrammet ger ω c = 0.35 rad/. Med approximationen att ytemet är ett andra ordningen ytem får vi från figur 5. i boken att en famarginal på ϕ m = 60 o motvarar en dämpningfaktor ζ = 0.6. Från figur 5. er vi därmed att ω c = 0.35 motvarar T r = = (c) Vi önkar alltå att ha kärfrekven om är dubbel å hög om i (b). Det ger ω c = 0.7. Vid denna frekvenen läer vi av i Bodediagrammet G(i0.7) = 0.3 arg G(i0.7) = 50 o. Börja med att avgöra om lagfiltret behöv. Överföringfunktionen från törning till utignal för det lutna ytemet är G v () = e 0.5 (+) + F lead ()F lag () e 0.5 (+) = e 0.5 ( + ) + F lead ()F lag ()e 0.5. Vi er därmed att överföringfunktionen har tatik förtärkning lika med 0 om F lead ()F lag () 0. Så lagfiltret behöv inte. Lead-deign: Har leadfiltret F () = K τ D+ βτ D. Börja med att betämma β + å att vi får tillräcklig faförbättring vid kärfrekvenen. Vi behöver arg G o (i0.7) = arg F lead (i0.7) + arg G(i0.7) = 80 o + 60 o,

7 vilket ger arg F lead (i0.7) = 0 o + 50 o = 30 o. Avläning i figur 5.3 i Glad & Ljung ger β = Betäm tidkontanten å att max faavancering få vid ω c = 0.7: τ D = ω c β = Betäm lutligen förtärkningen K å att kärfrekvenen blir om önkad G o (i0.7) = K β G(i0.7) =, vilket ger K = =.95.. (a) Falkt. Med G o = b +a G c = G o + G o = få det lutna ytemet b + a + b = b + a b, vilket har en pol i = b a om ej ligger i VHP om b a.. (b) Falkt. Maxfaen beror endat på parametern β.. (c) Sant. Med G o = H(), där H(0) 0 får man känlighetfunktionen S() = + G o = + H(), vilken har nolltälle i origo.. (d) Falkt. Vi har likheten S(iω)+T (iω) =. Men enligt triangelolikheten gäller S(iω) + T (iω) S(iω) + T (iω) =. Likhet gäller endat för frekvener ω där S(iω) och T (iω) har amma argument (ligger på en linje inkluderande origo i det komplexa talplanet).. (e) Sant. Oberverbarhet är ett av kriterierna för en minimal realiation. Den andra är tyrbarhet. 3. (a) Signalen w(t) är en vinkelhatighet, om integrerad ger telekopet vinkel θ(t). Överföringfunktionen från u och v till w blir W () = U + V K f W W () = + K f ( U + V ).

8 Från u och v till θ får vi därmed G t () = 3. (b) Vi får kretförtärkningen ( + K f ). G o () = F ()G t (), och alla lutna överföringfunktioner har amma nämnare + G o () = + F ()G t (). Täljaren i överföringfunktionen ge av det öppna ytemet från repektive ignal till utignalen θ. Därför får vi G r () = G v () = G n () = F ()G t() + F ()G t () = F () ( + K f ) + F () G t () + F ()G t () = ( + K f ) + F () F ()G t() + F ()G t () = F () ( + K f ) + F () 3. (c) Karakteritika ekvationen för det lutna ytemet blir ( + ) + K + = 0 ( + ) + K( + ) = K + K = 0. Med Routh algoritm får vi K 0 K 0 3K 0 0 K 0 0 Alltå inga teckenväxlingar i förta kolumnen om K > (d) Då vi har r(t) = 0, å blir reglerfelet e(t) = r(t) y(t) = y(t). Störningen v är en ramp med Laplace-tranformen V () =. Vi har redan räknat ut överföringfunktionen från törningen v till utignalen i deluppgift (b). Vi får därmed från lutvärdeteoremet lim e(t) = lim t t = lim 0 y(t) = lim Y () = lim 0 ( + ) + K + = lim 0 0 G v()v () ( + ) + K( + ) = K. 3. (e) Slutna ytemet beteende för olika värden på K: För låga värden på K har vi två poler i HHP och därmed intabilt ytem. När K växer något blir ytemet tabilt, men relativt långamt och ocillativt. Med ökande K 3

9 blir ytemet nabbare och mer och mer ocillativt. Snabbheten begräna dock av ändpunkterna i (a) Det övre blocket ger eller Det nedre blocket ger eller ( + )X () = U(), ẋ + x = u ẋ = x + 0x + u. ( + 3)X () = U() + D() + X (), ẋ + 3x = u + d + x ẋ = x 3x + u + d. Vi kan nu tälla upp tilltåndmodellen: [ ] 0 ẋ = x + 3 y = [ ] x. [ ] u + [ ] 0 d 4. (b) Med tilltåndåterkopplingen u = Lx får vi det lutna ytemet där ẋ = Ax BLx + B d d = (A BL)x + B d d, [ ] [ ] [l ] l l BL = l =, l l [ ] l l A BL =. l 3 l Det lutna ytemet poler ge av egenvärdena till matrien A BL. Det karaktertika polynomet för matrien är [ ] + + l l det(i (A BL)) = det = ( + + l + l l )( l ) l (l ) = + (l + + l + 3) + ( + l )(3 + l ) l l + l = + (l + l + 4) + 3l + l + 3. Jämför med koefficienterna i det önkade polynomet vilket ger ( + 4) = , l + l + 4 = 8 3l + l + 3 = 6 4

10 med löningen l = 5 l =. 4. (c) Från uttrycket för det lutna ytemet i (b), och y = Cx får vi Y () = C ( I (A BL)) B d D() [ ] + 6 = C B 4 + d D() [ ] [ ] [ ] + 0 = D() ( + 4) = + 7 ( + 4) D(). 5