TEKNISKA FAKULTETEN Adress: Åbo Telefon: WWW: PROCESSDYNAMIK. a v. Tore Gustafsson

Transkript

1 Åbo Akademi EKNISKA FAKULEEN Adre: 5 Åbo eleon: -5 3 WWW: PROCESSDYNAMIK a v ore Gtaon E-pot: ore.gtaon@abo.i 8

2 redje pplagan,..8 Copyright ore Gtaon 8

3 3 Innehållörtekning Förord INLEDNING FYSIKALISK-KEMISK MODELLERING Fndamentala modelleringpriniper Eempel: ett mekanikt ytem Eempel: en lltändigt omrörd behållare Normaliering oh kalning ILLSÅNDSMODELLER Sytem oh ignaler illtåndekvationer Stationärtilltånd Linjäriering Linjära parametervarianta ytem ÖVERFÖRINGSFUNKIONER Egenkaper ho överöringnktioner Poler, nolltällen, tidkontanter oh dödtider Egenkaper ho överöringnktionmodeller Bode-diagram MODELLERING AV KEMISKA REAKORER Materialbalaner Energibalaner Linjäriering av tilltåndmodellen MODELLERING MED FLERA OBEROENDE VARIABLER Modellering av en värmevälare Dikretiering av partiella dierentialekvationer Överöringnktionmodell av en värmevälare MODELLERING AV SEGPROCESSER Modellering av en detillationkolonn REDUKION AV MODELLORDNING Modellredktion Realiering Balanerad realiering oh modellredktion IDSDISKREA MODELLER Kontinerliga ignaler Sampling Z-tranorm Plöveröringnktionen Samband mellan kontinerliga oh amplade modeller Dikreta modeller i tidplanet Dikreta modeller i hatighetorm KEMISKA REAKORERS DYNAMIK Eempel: en eoterm reaktor Kemika reaktioner i dynamika modeller Stabilitetnderökning av en iotermik återblandningreaktor...

4 4 Innehållörtekning.4. Modellering av ph i yra-baytem... 4 Reerener... 3 Inde... 5

5 5 Förord Föreliggande kompendim omattar innehållet i kren Proedynamik vid Kemik-teknika aklteten vid Åbo Akademi. Kren omång är två tdievekor. Ämneområdet är dynamik modellering tgående rån grndläggande yikalika oh kemika lagar amt omvandling mellan olika typer av modeller om behöv ör reglering oh dynamik imlering. Läaren örtätt ha en god grnd i termodynamik oh tatik modellering åväl om i reglerteknik. Med termodynamiken om grnd tdera i detta kompendim dynamik modellering med hjälp av några eempel. Grndläggande begrepp rån reglertekniken, åom överöringnktion, tabilitet, egenvärden et. ane likaå vara bekanta även om dea begrepp repetera i kompendiet. Detta kompendim erätter det tidigare kompendiet "Proedynamik" av Krt Waller. Innehållet kiljer ig markant rån detta tidigare kompendim, även om teten delvi bygger på detta kompendim. Åbo 9.6. ore Gtaon I andra pplagan har avnitten om linjäriering oh dikretiering tvidgat oh ett antal trykel har korrigerat. Åbo ore Gtaon redje pplaga kall använda ör kren "Dynamik modellering", om är en något tvidgad erättare till kren "Proedynamik". Avnittet om tiddikreta modeller har tvidgat med bl.a. Lagerreoh Katzmodeller. Avnittet om modellering av ph i yra-baytem har även tökat. Åbo..8 ore Gtaon

6 6 Förord

7 7 INLEDNING Proedynamiken bekriver det tranienta beteendet ho proeer. I praktiken handlar proedynamiken om modellering av proeer med tonvikt på tranienta egenkaper, d.v.. hr proeen ppör ig eter en örändring av arbetörhållandena. En ådan modellering är normalt myket komplierad oh ger pphov till modeller om är våra att använda. Vid modellering trävar man ällan eter att erhålla en å noggrann modell om möjligt tan den bäta modellen är en kompromi mellan noggrannhet oh användbarhet. Modellen användning betämmer modellen kompleitet. För imleringändamål behöver vi kanke myket detaljerade modeller med hög noggrannhet medan modeller ör reglatordeign vanligen kan vara grova oh endat bekriva de egenkaper om är viktigate ör reglerkreten. Modeller ör proedeign kräver i örta hand noggranna tatika egenkaper medan modeller ör proereglering ota enbart behöver bekriva modellen egenkaper om variation kring ett givet ortarighettilltånd. Denna ramtällning preenterar ppbyggnad av dynamika modeller rån ndamentala priniper, om illtrera med modellering av några olika proeer: en kemik reaktor, en värmevälare oh en detillationkolonn. Modelleringeemplen är ganka hematika oh innehåller en mängd approimationer. onvikten lägg på modeller ör reglering. Olika reglatordeignmetoder kräver olika typer av modeller. Följaktligen preentera metoder ör tranormering oh örenkling av modellerna ör reglertekniken behov. Olika modellormer preentera oh dera egenkaper diktera. Vid en modelleringproe kan man tänka ig öljande kedja av modelltranormationer.. Modellering rån ndamentala priniper ger en dynamik modell betående av ett ytem av ordinära eller partiella dierentialekvationer kombinerade med algebraika ekvationer.. Sytem av partiella dierentialekvationer är ota våra att handka med, varör det i många all är praktikt att dikretiera rmdimenionerna å att de partiella dierentialekvationerna kan omvandla till ordinära dierentialekvationer. 3. Många reglatordeignmetoder kräver att proemodellen är linjär. En modell betående av ett ytem av ordinära dierentialekvationer måte då linjäriera, d.v.. approimera med ett ytem av linjära ordinära dierentialekvationer, om approimativt bekriver proeen i närheten av en given arbetpnkt. 4. Vid reglatordeign analyera proeen oh reglerkreten beteende ota med hänyn till inignalen rekven, varör vi behöver en modell om bekriver proeen egenkaper ör periodika inignaler av olika rekvener. En ådan modell är överöringnktionen om å genom laplaetranorm av den linjära modellen r pnkt Modeller om erhållit genom denna kedja rån pnkt till pnkt 4 är ota av hög ordning oh komplierade att använda ör reglatordeign. Modellen kan då redera till en modell av lägre ordning, om ortarande tillredtällande kan bekriva de proeegenkaper om är viktiga ör reglatordeignen. 6. Datorreglering tör ota å att reglerignalerna håll kontanta nder ett tidintervall, amplingtiden, om kan vara betydande jämört med proeen dynamik. I ådana all är det ändamålenligt att i tället ör att använda modeller med en kontinerlig tidvariabel, om i pnkt, itället dikretiera även tidvariabeln å att vi år en modell om gäller enbart vid dikreta tidpnkter. Denna modell betår av ett ytem av dierenekvationer, om är enklare att behandla än ytemet av dierentialekvationer. 7. Även vid datorreglering är rekvenanalyen viktig varör vi kanke även behöver en rekvenbekrivning av den amplade proeen. Frekvenbekrivningen ge av plöveröringnktionen om erhåll med hjälp av z-tranorm.

8 8 Inledning Pnkt till 7 ovan bekriver i tort ett kompendiet innehåll. Där akna en viktig pnkt, nämligen parameteretimering. Modellering rån ndamentala priniper ger ällan en komplett modell, tan parametervärden oh enomenologika modeller måte betämma eperimentellt, antingen på en eiterande proe eller r laboratorieeperiment. Eperimentell parameterbetämning kan göra på alla modeller rån pnkt till pnkt 7. En viktig modelleringprinip, om inte behandla i detta kompendim, är identiieringen. Vid identiiering av modeller väljer vi mer eller mindre på måå en modelltrktr av den önkade typen, ota en amplad modell av typen 7. Däreter etimera modellen parametrar på baen av örök på den verkliga proeen. Denna modelleringprinip kräver att proeen eiterar oh är tillgänglig ör eperiment. Om detta är allet är identiieringen vanligen en enklare väg att erhålla en modell ör reglerändamål än vägen rån modellering rån ndamentala priniper. Man bör emellertid beakta att modellering rån ndamentala priniper ger grndläggande knkaper om proeen dynamik om identiieringen inte kan ge oh om kan vara värdella även vid reglatordeignen.

9 9 FYSIKALISK-KEMISK MODELLERING. Fndamentala modelleringpriniper De ndamentala modelleringpriniperna är välormlerade av Randol von Shalien i artikeln ermodynamika proemodeller, om ingår i "Utnyttjande av modellering oh imlering i energiorkning", Randol von Shalien red., Åbo Akademi, Kemik-teknika aklteten, 984. I öljande ramtällning ingår klipp rån denna artikel. Oberoende variabler Fndamentala oberoende variabler ör en modell är tid t rm, y, z. Kombinationer av dea kan ibland vara ördelaktiga. De oberoende variablerna betäm av modellen koordinatytem. Primära beroende variabler I modellering är det ota käl att tgå rån ådana baegenkaper om allmänt aeptera om aiom. En av de viktigate egenkaperna är de additiva egenkaperna. Om man betraktar en additiv egenkap B kan denna egenkap ör en betraktad del av rmmet, balanområdet, enligt aritmetiken additionregel ttryka ör en betraktad tidintervall dt vilket ger dividerat med dt d Bin dbgen db dbt.. B B & in B& d gen B& t dt där B & in oh B & t är tranporttrömmar till repektive rån balanområdet, igr.., db/dt är lagringhatigheten i balanområdet oh B & gen är det om pptår min det om örinta per tidenhet av egenkapen B. B & in db/dt B & t B & gen.. Den ovan angivna enkla relationen är den generella balanprinipen, vilken verbalt kan ttryka på öljande ätt intröm generering lagring ttröm. Fig.... Balanområde med tranporttrömmar, lagring oh generering av egenkapen B. Då den generella balanprinipen enkelt kan ttryka med hjälp av en ekvation är det ändamålenligt att öka de additiva egenkaperna i natren oh ttryka ike additiva egenkaper med torhetammantällningar om är additiva. Då balanerna bekriver händeleörlopp i tiden är de additiva egenkaperna av entral betydele ör imlering av ramtiden.

10 Fyikalik-kemik modellering Man har nnit att bl.a. öljande egenkaper är additiva i natren maa m mängd n impl I energi E entropi S. Dea kan äga vara primära modelltorheter. De primära modelltorheterna använd i balanekvationer ör att bygga pp tommen i den dynamika modellen. De tre örta torheterna, maa, energi oh impl är detom oörtörbara oh ogenererbara i modeller enligt Newton världbild. Däremot är konentration n/v mängd per volym ike generellt en additiv egenkap oh är ålnda ike en primär modelltorhet tan kan narat betrakta vara en mätegenkap. Prodkten V är återigen en additiv egenkap V n. E.... Blanda liter mol/l NaCl-löning A med liter mol/l NaCl-löning B. Ämnemängdbalanen är n C n A n B eller n C A V A B V B, d.v.. n C 3 mol. Konentrationen å r ormeln C n C /V C. Relationen mellan V C oh volymerna V A oh V B kan innehålla enomenologika egenkaper; approimativt å i alla all att C,5 mol/l. E.... Blanda liter vätka A med ph 4 med liter vätka B med ph. Vilken är blandningen ph? Mängden vätejoner i A är n A A V A 4 mol oh i B n B B V B mol. Mängden vätejoner är vierligen en additiv torhet men inte en oörtörbar torhet. I detta all kan mängderna inte direkt addera åom i öregående eempel p.g.a. att mängden vätejoner kommer att redera genom kemika reaktioner. Frågan kan inte bevara tan kännedom om vilka kemika reaktioner om ker vid blandningen oh vilka kemika ammanättningar vätkorna A oh B har. Vanligen vill vi bekriva modeller med torheter om är, åtmintone i prinip, mätbara. Energin är inte mätbar, däremot kan energin kanke betämma med hjälp av mätbara torheter.. temperatr oh tryk. Vi använder då hellre temperatr oh tryk om beroende variabler i en modell atän energin är den primära modelltorheten om ttryk i balanekvationen. Impl eller rörelemängd beräkna rån maan oh hatigheten. Maa eller ämnemängd är ota även obekväma torheter, konentration är kanke en bekvämare torhet. För att överöra de primära modelltorheterna till önkade mätbara torheter använd deinitioner eller enomenologika amband. Det är viktigt att modellen beroende variabler entydigt betämmer de primära modelltorheterna. Vanligen vill vi ha en minimal mängd av beroende variabler om ppyller detta villkor. Denna mängd deinierar ytemet tilltånd oh variablerna kalla modellen tilltåndvariabler. otalbalaner De primära modelltorheterna ger öljande totalbalaner ör balanområdet i igr... Mabalan: Grndämnebalan: Energibalan: Entropibalan: dm m & in m& t d t Aiom: m& gen..3 dg j g & j, in g& j, t dt Aiom: g& gen..4 E E & d in E& t d t Aiom: E & gen..5 S S in S& d gen S& t dt Aiom: S & gen..6

11 Fyikalik-kemik modellering Partialbalaner Om endat en del av den irågavarande totalegenkapen betrakta kan partialbalaner ör varje delegenkap pptälla. Uppdelning av den totala torheten i delkomponenter med partialbalaner kan göra ritt. Hvdaken är att delkomponenterna kan ge ett viktigt bidrag till proemodellen. Delkomponenterna kan deiniera vara materietrömmar, t.e. gaatröm, vätkeatröm oh atatröm, eller olika kemika ämnen. Speiellt ör den ita ppdelningen år vi den viktiga ämnemängdbalanen ör ämnet i: Ämnemängdbalan: dn n & i i, in n& i, gen n& i, t..7 dt Fenomenologi Egenkaper om innehåller knkap om hr nabbt oh på vilket ätt en balanorm övergår till en annan orm benämne enomenologika egenkaper. Dylika egenkaper är t.e. tranportenomen kinetik dynamik tokatik lmp kemik mikrotrktr. Dea egenkaper modellera med modeller av varierande kompleitet. Dylika modeller är t.e. välbekanta modeller om idealgalagen, Fik lag, Forier lag, Hook lag o..v. rot namnen är dea inga "natrlagar", om kan jämöra med additiviteten oh oörtörbarheten ho de primära modelltorheterna, tan modeller av varierande kompleitet oh noggrannhet.. Eempel: ett mekanikt ytem Betrakta ett mekanikt ytem betående av en kropp med maan m om är ät i ett ndament via två parallella kopplingar enligt igr.. Denn 986. Den ena kopplingen betår av en jäder, den andra av en dämpningylinder. En yttre krat F e t verkar på maan m. Kraten F e t är tidberoende oh innehåller gravitationen om en komponent. Vi antar att kroppen rör ig endat vertikalt oh beteknar avtåndet rån origo vilotilltåndet med. Vi önkar modellera poitionen t om en nktion av tiden ör en godtyklig tidberoende krat F e t. Den primära modelltorheten vi betraktar är impleller rörelemängd. Newton andra lag, F ma.. bekriver implbalanen ör ytemet. Rörelemängden är mv, där hatigheten är v d/dt, eller med Newton betekningar, v & oh aelerationen är a v& &. Kroppen påverka örtom den yttre kraten F e t även av jäderkraten F t oh dämpningkraten F d t. Modellen om bekriver kroppen poition om nktion av tiden baera ålede på Newton andra lag i ormen m & t Fe t F t Fd t... Vi behöver ytterligare modeller ör att bekriva jäderkraten oh dämpningkraten. Dea är enomenologika egenkaper om kan modellera om nktiok µ m F e t Figre... Ett mekanikt ytem.

12 Fyikalik-kemik modellering ner av. Vanligen använda enkla nktioner är Hook lag ör jäderkraten, F t k t..3 oh modellering av dämpningkraten åom proportionell mot hatigheten, där µ är den viköa dämpningkoeiienten. Detta ger o modellen F d t µ & t..4 m & t µ & t k t F e t...5 Denna :a graden dierentialekvation har entydiga löningar ör givna initialvärden oh &. Sytemet tilltånd bekriv av två variabler: t oh & t vt. Dea är modellen tilltåndvariabler. Ota kriv modeller i orm av tilltåndekvationmodeller, dv om ett ytem av örta ordningen dierentialekvationer med :a ordningen derivator av tilltåndvariablerna i väntra membra. I detta all kan ekv...5 kriva om om en tilltåndekvation med t oh vt om tilltåndvariabler, & t v t v& t e m F t µ v t k t..6.3 Eempel: en lltändigt omrörd behållare Betrakta en väl omrörd behållare enligt igr.3.. En behållare tillör en tröm F in innehållande en komponent med konentrationen in. Behållaren volym V är inte nödvändigtvi kontant. Innehållet i den väl omrörda behållaren ane vara lltändigt omblandat, dv komponenten konentration är överallt i behållaren denamma. Från behållaren bortör en tröm F t, om då behållaren är lltändigt omrörd kommer att ha amma konentration om i behållaren, F in t. En total mabalan ör det balanområde om in tgör av behållaren ger d ρv ρinfin ρft dt Om deniteten ρ anta vara kontant, dv ρ in ρ, å dv dt.3. F in F t..3. En partiell mabalan ör den betraktade komponenten ger eller om derivatan i väntra membrm tvekla, d V Fin in Ft dt d dv V dt d t.3.3 Fin in Ft..3.4 Kombination med ekv..3. oh hyning ger den ltliga modellen ör konentrationen i behållaren, V F t t Figr.3.. En väl omrörd behållare.

13 Fyikalik-kemik modellering 3 d V Fin in dt dv Fin Ft dt..3.5 Om vi rämt intreerar o ör konentrationen oh aner volymen V vara en parameter, kan vi deiniera en ppehålltid i behållaren om V / Fin oh kriva modellen om & in.3.6 där är tidvariant. Obervera att ppehålltiden deiniera tgående rån intrömmen till behållaren. I eemplet ovan har vi betraktat endat en komponent var konentration är. Innehåller ytemet lera komponenter kan vi använda amma modell bara vi byter t den kalära konentrationen mot en vektor, var element motvarar de olika komponenterna konentrationer, [ L ] n..3.7 Modellen.3.6 kan direkt kriva i vektororm, motvarande ett ytem av n dierentialekvationer, & in Normaliering oh kalning Problem ormlera oh löningar ge med yikalika torheter oh SI-enheter. Vid normaliering oh kalning inör nya variabler vanligen dimenionlöa, om alla har amma torlekordning. Om möjligt kan man välja att alla variabler antar värden i intervallet [, ]. Fördelar med normaliering är t.e. - modellen blir överkådligare, olika termer relativa betydele kan enklare ppkatta oh man er lättare hr modellen kan örenkla. - nmerika problem kan lättare ndvika. - generella löningar kan eventellt tnyttja t.e. vi partiella dierentialekvationer. Följande nakdelar kan eventellt obervera: - mera arbete, ev. törre annolikhet ör el i modellen. - reltatet måte tranormera tillbaka till den rprngliga yikalika torheten.

14 4 Fyikalik-kemik modellering

15 5 3 ILLSÅNDSMODELLER 3. Sytem oh ignaler Ljng oh Glad 99 deinierar begreppet ytem om "ett objekt eller en amling objekt var egenkaper vi vill tdera". I detta kompendim kall vi med begreppet ytem örtå en proe, karakterierad av inignaler, tilltånd oh tignaler betående av inormation eller inormationlöden. I ett ytem kan vi ha öljande variabler: - inignalen till ett ytem är en eller lera variabler var tidörlopp vi kan välja. - tignalen bildar de variabler om vi primärt är intreerade av - törignaler är eterna variabler om påverkar ytemet men om vi inte kan påverka - parametrar är kontanter om betämmer ytemet egenkaper. Sytem kan illtrera med blokdiagram om viar hr ignaler omvandla..e. det mekanika eemplet i avnitt. kan illtrera med blokhemat i igr 3... Variabeln är den variabel vi primärt är intreerade av oh välj om tignal. Sytemet inignal är den eterna kraten F e. Utignalen tidberoende, t, t > t kommer del att vara beroende av ytemet tilltånd vid tiden t, dv av t oh & t, del av inignalen. i avnitt. har vi inte beaktat törningar i vår modell. Följaktligen akna törignaler i ytemet i igr 3... Den omrörda behållaren i avnitt.3 kan illtrera med blokhemat i igr 3... Konentrationen är variabeln av primärt intree oh välj om tignal medan inignalerna F in, in oh F t inte närmare har peiierat varken om valbara inignaler tyrignaler eller om törignaler. Man har i igr 3.. valt att hålla variabeln V om en intern variabel, om inte är av direkt intree. Obervera att trömmarna i ett proehema, igr.3., oh ignalerna i ett blokhema, igr 3.., vanligen inte ammanaller. Kaala ytem Kaalitet innebär att tignalen reagerar endat på variationer i inignaler om inträat tidigare eller amtidigt. Matematika ytem behöver inte vara kaala, men alla vettiga bekrivningar av reella proeer är kaala. Kaalitet innebär att den matematika behandlingen kan örenkla jämört med behandlingen av matematika ytem om inte behöver vara kaala. F e F in F t in Figr 3... Blokhema ör det mekanika ytemet i avnitt.. Figr 3... Blokhema ör ytemet i avnitt.3 en lltändigt omrörd behållare.

16 6 illtåndmodeller 3. illtåndekvationer Dynamika modeller bekriver tilltåndet ho ett ytem om nktion av tiden. Den matematika modellen betår av en dierentialekvation eller ett ytem av dierentialekvationer med tiden om oberoende variabel. De beroende variablerna bör entydigt deiniera ytemet tilltånd. Mängden av beroende variabler bildar modellen tilltåndvariabler. En ådan modell äg vara en tilltåndmodell oh dierentialekvationen kalla en tilltåndekvation. I ortättningen håller vi iär begreppen termodynamikt tilltånd, ytemet tilltånd oh modellen tilltånd. Modellen tilltånd vid en given tidpnkt t är den inormation om behöv ör att tillamman med knkap om inignalerna oh törignalerna entydigt knna betämma ytemet ppörande i ramtiden. De variabler om bekriver modellen tilltånd kan amla i en vektor om kalla modellen tilltåndvektor. En tilltåndmodell eller en tilltåndekvation är då ett ytem av örta ordningen dierentialekvationer med tilltåndvektorn om obekant variabel..e. en modell med vektorn t med inignaler, vektorn t om tilltåndvektor oh vektorn yt med tignaler kan kriva i orm av en tilltåndekvation & t y t h t, t t, t. 3.. Ekvationen har normalt en entydig löning ör t > t om t ör t > t oh initialvärdet t är kända. Här oh i ortättningen är inignaler oh törignaler inte ärkilt peiierade, tan klmpa ihop i en allmän inignalvektor. Eempel 3... I eemplet i avnitt. bekriv modellen ör det mekanika ytemet med en andra ordningen dierentialekvation. Modellen tilltånd betår av torheterna läge, oh hatighet, v. Ekvation..5 är redan kriven om en tilltåndekvation. Vi kriver om ekvation..5 med vektorelementbetekningar,, v, oh kompletterar modellen med ett ttryk ör tignalen y, ör att å en tilltåndekvation av tandardormen 3.., & t t & t Fe t µ t k t m y t t Linjära modeller Linjära dierentialekvationer är ördelaktiga om dynamika modeller p.g.a. att vi har bättre möjligheter att löa oh analyera dea dierentialekvationer jämört med olinjära dierentialekvationer. Den linjära tilltåndmodellen kriv vanligen i ormen Matrien D är vanligen i proeteknika modeller. & t A t B t. 3.. y t C t D t Eempel 3... Vi er att modellen ör det mekanika ytemet i eemplet i avnitt. är linjär. illtåndekvationen i eempel 3.. ovan kan då kriva i normalormen ör linjära tilltåndekvationer, & k / m µ / m / m y [ ] dv i normalormen 3.. med A, k / m µ / m / m B, C [ ], D, t F e t.

17 illtåndmodeller 7 Om matrierna A, B, C oh D är kontanta, oberoende av tiden äg modellen 3.. var tidinvariant. Modellen betekna då ota om en LI-modell, rån ttryket "Linear ime Invariant". Ibland kriv även olinjära ytem i ormen 3... Vi år då matrier A, B, C oh D om inte är kontanta tan nktioner av tiden. Om t.e. matrien A: element endat långamt varierar med tiden kan den linjära modellen goda egenkaper tnyttja approimativt med en ådan modell. idvariationen i ytemmatrien kan bekriva med en parameter åt vilken vi ger olika värden vid olika tidpnkter. Modellen.3.6 ör eemplet i avnitt. är en ådan tidvariant modell bekriven i ormen 3... Uppehålltiden är tidvariant oh detta bör beakta vid analyen. 3.3 Stationärtilltånd För ett givet initialtilltånd t oh en given nktion t har tilltåndekvationen 3.. en entydig löning t ör t > t. Om inignalen är kontant t kan vi vanligen vänta o att ytemet har något tationärtilltånd eller jämvikttilltånd, om även är kontant. Modellen 3.. tationärtilltånd erhåll genom att ätta & t oh löa den reterande algebraika ekvationen, Alla löningar till ekvation 3.3. löer även dierentialekvationen 3.. med initialtilltåndet. Ekvation 3.3. kan ha en, lera eller ingen löning. Ekvationen ger modellen amtliga tationära värden ör den givna inignalvektorn. Men varje ytem behöver inte ha ett tationärt tilltånd. Eempel En kropp med maan m rör ig i en dimenion på ett plant nderlag eiterad av en krat Ft. Modellen är m & F µ &, där den ita termen bekriver riktionen. I tilltåndekvationorm är modellen Ekvationen,, eller & & m, m F µ F µ, har ingen löning ör F. Sytemet kan ha ett tationärtilltånd endat om F oh initialvärdet ör hatigheten, v. Stationärtilltåndet är då lika med initialtilltåndet.. Stabilitet Om atiierar den algebraika ekvationen, kommer löningen till dierentialekvationen & t t, med initialtilltåndet t att bli kontant t. Vilken blir löningen med ett annat initialtilltånd t? Då t kommer t att antingen gå mot någon tationär löning, eller å kommer en eller lera element av t att gå mot eller oändligt. I det örra allet äger vi att är en tabil löning till modellen.

18 8 illtåndmodeller Vi äger att modellen 3.. är aymptotikt tabil i en omgivning av om löningar med initialtilltånd i närheten av konvergerar till. Modellen är globalt aymptotikt tabil om vilket initialtilltånd om helt ger en löning om konvergerar mot ett tationärtilltånd. Om löningen är en tabil löning anger ekvationen 3.3. det tatika ambandet mellan modellen inignal oh tilltånd. I kombination med ttryket ör tignalen å det tatika ambandet mellan modellen tignaler oh inignaler om y, h, 3.3. En linjär modell är antingen intabil eller å har den ett entydigt tabilt tationärtilltånd. Om den linjära modellen är tabil konvergerar vilket om helt initialtilltånd till detta entydiga tationärtilltånd. Om matrien A är inverterbar kan det tatika ambandet mellan tignal oh inignal ör modellen 3.. betämma om y D CA B Linjäriering Då linjära modeller är ördelaktiga ör analy oh reglatorynte vill vi ota erätta olinjära modeller med approimativa linjära modeller, om är användbara approimationer av det verkliga ytemet i närheten av något givet tationärtilltånd. Betrakta ört en kalär olinjär modell &, y h 3.4. Vi vill approimera modellen 3.4. med en linjär modell i en omgivning kring ett tationärtilltånd,, y y. Vi beteknar avvikeler rån tationärtilltåndet med, y y y 3.4. oh inör, oh y om nya variabler i modellen. Derivatan & å genom att derivera deinitionen ovan om d d & & dt dt Obervera att ttryket beteknar en variabel. kall inte e om en operator. De två örta termerna i taylorerietveklingen av nktionen, kring, blir,, L 3.4.4,, där, enligt deinitionen på tationärtilltånd. Inör vi n oh i modellen 3.4. oh approimerar de olinjära nktionerna, oh h med de två örta termerna i taylorerietveklingarna år vi en linjär approimation av modellen 3.4., om gäller kring tationärtilltåndet,,

19 illtåndmodeller 9 &,, h y,, y Vi äger att vi har linjärierat modellen 3.4. kring tationärtilltåndet, Eempel Betrakta en vattentank med ritt tlöde, igr illlödet, t, är ytemet inignal medan vätkehöjden ht välj om tignal. Utlödet vt är en nktion av vätkehöjden. Om trömningen i tlödet ane vara laminär är tlödet proportionellt mot kvadratroten t av vätkehöjden. Vi modellerar tlödet med v t a h t. Vätkehöjden kan då modellera om dh A a dt h. Med ett kontant tilllöde t å tationärtilltåndet genom att ätta dh/dt i dierentialekvationen ovan. Stationärtilltåndet blir a h, eller h /a. ht vt Figr Vattentank med ritt tlöde. Önkar vi reglera vätkehöjden vid detta tationärtilltånd behöver vi kanke en linjärierad modell ör att betämma reglatorintällningar. Modellen kriv i normal tilltåndekvationorm h& a A vareter linjäriering av modellen kring tationärtilltåndet enligt ekvation ger den linjära modellen h a h & h A h A. Linjäriering av lerdimenionella ytem Linjäriering av en lerdimenionell modell, &, y h kring ett tationärtilltånd, är helt analog med det kalära allet. Vi deinierar nya variabler om avvikeler rån tationärtilltåndet, y y y tveklar de olinjära nktionerna, oh h i taylorerier oh erhåller motvarande linjärierade modell r de linjära termerna r tayloreriena,

20 illtåndmodeller h y,,, y & där partiella derivatorna beteknar vektornktionerna jaobimatrier, t.e. n n n n n n L M O M L Nmerik linjäriering Linjärieringen kan ota göra analytikt, ett eempel ge i avnitt 5.3, men om partiella derivatorna blir ör inveklade kan linjärieringen göra nmerikt. Partiella derivatorna i jaobimatrierna approimera då med dierenkvoter, j i j i 3.4. där j är en avvikele rån tationärtilltåndet, oh i är motvarande beräknade avvikele rån tationärtilltåndet i j då övriga -värden håll vid tationärtilltåndet. För att örhindra nmerik onoggrannhet måte j välja tillräkligt tort, men inte å tort att approimationen inte kan ane gälla vid det valda tationärtilltåndet. 3.5 Linjära parametervarianta ytem Linjäriering genom taylorerietvekling kring ett tationärtilltånd enligt avnitt 3.4 är aeptabel ör ytem om alltid arbetar nära ett givet tationärtilltånd eller om endat är obetydligt olinjära. Om vi vill använda linjär reglerteori på olinjära ytem, var tilltånd kan avvika betydligt rån något givet tationärtilltånd, är det ändamålenligt att knna linjäriera vid godtykliga tilltånd. En dylik modell kan bekriva om en linjär parametervariant modell LPV, t t t B t t C y A θ θ θ & 3.5. där den "linjära" modellen koeiienter inte är kontanta, tan är nktioner av någon eller några parametrar θ, om kan betå av tilltånd, tignal eller eterna ignaler. En dylik modell är natrligtvi inte linjär, men den kan lokalt använda om en linjär modell med tykvi kontanta parametrar. Ekvation 3.5. ammanaller med ekvation 3.. då linjärieringen har kett vid ett tationärtilltånd, y i enlighet med avnitt 3.4. Om vi öröker linjäriera vid ett tilltånd om inte är ett tationärtilltånd erhåller vi inte trktren I ett ådant all kommer den kontanta termen, y, motvarande, y i ekvation 3.4.4, inte att vara noll. Detta relterar i att trktren 3.5. borde töka med en kontant term, vilket medör problem vid ortatt analy oh reglatordeign.

21 illtåndmodeller Problemet kan löa genom att kriva ytemet i hatighetorm Kaminer et al., 995, Nytröm et al.,, d.v.. i deriverad orm. Linjäriering i hatighetorm Vi betraktar ett olinjärt ytem &, y h 3.5. där inde endat beteknar att detta är våra rprngliga deinitioner tilltåndet kall enare deiniera om. Vi deriverar ytemet: && d, dt y& d h dt Derivatorna i högerledet omkriv med hjälp av kedjeregeln om && & h y& & & Vi oberverar att ekvation är identikt amma om ekvation Jämör med modellen om är en approimation av ytemet 3.4., ty termer av högre ordning har lämnat bort r taylorerietvekligen Om vi deinierar & oh y y& er vi att modellen är en LPV-modell av typen 3.5. med oh om parametrar. Vanligen använd inte eakta värden ör partiella derivatorna i 3.5.4, tan approimerande nktioner av en eller några å parametrar θ om i tora drag karakterierar olinjäriteten i ytemet Den deriverade modellen aknar ppgiter om ytemet tationärtilltånd. Detta behöver inte vara ett problem. Redan linjär återkoppling rån ytemet ger pphov till en reglator med integrerande verkan, vilken atomatikt kompenerar ör okända tationärtilltånd. Den deriverande modellen är därör i många all en bättre tgångpnkt ör reglatordeign än modellen även om inte kraven på ett tort arbetområde är avgörande. Eempel 3.5. r Nytröm et al.. Betrakta det olinjära ytemet Derivering ger bekrivningen eller i LPV-ormen & 3 y & 3 & & y& & & Aθ & B& y& C & där θ, A 3, B oh C.

22 illtåndmodeller

23 3 4 ÖVERFÖRINGSFUNKIONER Överöringnktionen bekriver ambandet mellan tignalen oh inignalen rekvenegenkaper ör linjära modeller. En dierentialekvationmodell bekriver ett ytem egenkaper i tidplanet medan laplaetranormationen av dierentialekvationen ger motvarande bekrivning i rekvenplanet. Laplaetranormation av dierentialekvationer ger algebraika ekvationer om reltat, men endat linjära dierentialekvationer ger vid laplaetranorm linjära ekvationer r vilka ett epliit tignalinignalörhållande kan härleda. Betrakta en kalär linjär modell med inignalen oh tignalen, Laplaetranormation av ekvationen ger & t a t b t. 4. t a b, 4. där är oberoende variabeln i laplaeplanet med dimenionen rekven. Löer vi ekvationen med aveende på tignalen år vi t b. 4.3 a Väljer vi tilltåndvariabeln tignalen genom normaliering å att t kan löningen 4.3 kriva i orm av en överöringnktion, G, om bekriver tignal-inignalkvoten i laplaeplanet eller b 4.4 a G. 4.5 Överöringnktionen ör en tilltåndmodell erhåll ålede genom att. linjäriera dierentialekvationen kring ett tationärtilltånd, eller. normaliera tilltåndvariabeln ör en linjär modell å att t, amt 3. laplaetranormera oh löa den algebraika ekvationen. Eempel 4.. Betäm en överöringnktion ör ambandet mellan konentrationen i tloppet oh konentrationen in i tilllödet i eemplet med den lltändigt omrörda behållaren i avnitt.3. Vi betraktar modellen.3.5, d V Fin dt in där V är tidberoende. Vi linjärierar kring tationärtilltåndet, in,, V, in, F oh inör nya variabler oh in in in,. Vi betraktar endat variationer i de två variabler om deinierat om tignal oh inignal. Linjärieringen blir

24 4 Överöringnktioner d V Fin, dt varirån vi kan btrahera tationärtilltåndet in, d V Fin, dt Vi inör ppehålltiden V / Fin,, d dt in in in Laplaetranorm ger ambandet mellan variationer i tloppkonentrationen oh variationer i inlödekonentrationen eller i överöringnktionorm t in 443 in..., Överöringnktionen om inignal-tignalmodell Betrakta en tilltåndmodell om bekriv av en kalär inignal, en kalär tignal oh en tilltåndvektor med dimenionen n, & t A t B t y t C t 4.6 Under det edvanliga antagandet att ger laplaetranormation A B y C 4.7 oh om ytemmatrien A är inverterbar kan den kalära överöringnktionen mellan y oh löa r ekvationen om y C I A B. 4.8 Eempel 4.. Betäm en överöringnktion ör ambandet mellan läget oh den eterna kraten ör kroppen i eemplet i avnitt.. illtåndekvationen ör eemplet ge i eempel 3.. med kroppen läge beteknad med y oh den eterna kraten beteknad med, & / / / k m µ m m A B y [ ] C Vi kan betrakta, oh y om avvikeler rån något givet tationärtilltånd. Överöringnktionen ge av ekvation 4.8,

25 Överöringnktioner 5 [ ] m m m k y / / / µ B A I C [ ] [ ] m m m k m m m k m m k m / / / / / / / µ µ µ µ k m m m k m µ µ. Inveren A I i ekvation 4.8 kan vara krånglig att betämma. I praktiken är det ota bättre att laplaetranormera de enkilda dierentialekvationerna oh edan tnyttja modellen trktr ör att epliit å ram överöringnktionen. Detta gäller peiellt vid eriekopplade proeer om i öljande eempel. Eempel 4.3. Betäm överöringnktionen rån in till i proeen med eriekopplade lltändigt omrörda behållare i igr 4. till höger. V oh F ane vara kontanta. Konentrationen modellera i vardera behållaren enligt ekvation.3.6, med kontant ppehålltid, F V /, in & & I linjär tilltåndekvationorm blir modellen med deinitionen [ ], in / / / / &. Vi inör avvikeler rån ett tationärtilltånd om nya variabler oh laplaetranormerar de två dierentialekvationerna. Detta ger in oh genom kombination av ekvationerna år vi överöringnktionen rån in till, G in. Överöringnktionmatrier ör lerdimenionella ytem illtåndmodeller med lera inignaler oh lera tignaler kan överöra till överöringnktionorm analogt med behandlingen ovan. Betrakta en linjär normalierad tilltåndekvation med dim n, dim n oh dimy n y, F, in V V Figr 4.. vå lltändigt omrörda behållare i erie.

26 6 Överöringnktioner & t A t B t. 4.9 y t C t Överöringnktionen rån till y bildar n en n y n -matri med överöringnktioner om element, y G 4. med G C I A B 4. nder örtättningen att A är inverterbar. Obervera att varje element i överöringnktionmatrien bekriver ambandet i rekvenplanet mellan en inignal oh en tignal om om övriga inignaler vore kontanta. Det här ger ett alternativ till ekvation 4. vid betämning av överöringnktioner rån tilltåndmodeller. Genom att nolltälla en inignal i gången kan vi betrakta n ytem med n y tignaler oh en inignal itället ör ett ytem med n y tignaler oh n inignal åom i ekvation 4.. Detta örenklar inte änn inverteringen av n n -matrien I A, men om man kan tnyttja ytemet trktr åom i eempel 4.3 kan eventellt hela överöringnktionmatrien betämma tan matriinvertering. Eempel 4.4. En botten i en detillationkolonn via i igr 4.. Vi antar att ämnemängden H är kontant, att vi har ekvimolära överlöden ör en mol ånga om kondenerar å örånga en mol vätka amt jämvikt mellan ga- oh vätkeaen. L L V oh V beteknar molära vätke- repektive ånglöden, medan oh y beteknar konentration av en y nykelkomponent i orm av molbråk i vätke- repektive gaaen. H Modellen om bekriver bottnen är d H L Vy L Vy dt 3 y a a a a3 Betäm överöringnktioner ör ambanden mellan tignalerna oh y amt inignalerna oh y i en överöringnktionmatri. L V y Figr 4.. En örenklad botten i en detillationkolonn. Vi beteknar tationärtilltåndet med,,, oh y, oh inör nya variabler om anger avvikele rån tationärtilltåndet enligt,. Då vi har två inignaler oh två tignaler kall vi betämma yra överöringnktioner: G G y y y G G y Med betekningen l H / L oh v H / V år vi eter linjäriering & y l v l v y a a, 3a 3, y

27 Överöringnktioner 7 där ttryket ör y bör inätta i örta ekvationen. Vi inör detom betekningen, 3, 3 a a a. Laplaetranormering ger y y v l v l Genom att nolltälla den ena inignalen, y, kan vi löa t överöringnktionerna G l v l v l v v oh y G l v l v l v v. Genom att nolltälla den andra inignalen, kan vi löa t överöringnktionerna y G l v l v l v l oh y y G l v l v l v l. Om vi inör betekningarna l v l v, l v v v K oh l v l l K kan vi kriva hela MIMO-modellen "mlti-inpt-mlti-otpt" med hjälp av en överöringnktionmatri om y K K K K y l v l v. 4. Egenkaper ho överöringnktioner Stationärtilltånd Överöringnktionen ger direkt den örändring i tignalen vid tationärtilltånd om motvarar en örändring i inignalen. Detta gäller nder örtättningen att modellen är aymptotik tabil ör den aktella inignalen. Annar eiterar inte överhvdtaget något tationärtilltånd. Utignal-inignalörhållandet å r överöringnktionen genom att i denamma ätta. Matematik motivera detta med laplaetranormen ltvärdeteorem inal vale theorem, om lyder: [ ] lim lim y t y t Seborg et. al, 989. Heritikt motivera detta med att beteknar en rekven. Vid är inignal oh tignal kontanta oh G anger örhållandet mellan amplitden av två kontanta ignaler. Sålede, ör ett tabilt ytem y G gäller ör en kontant inignal lim G t t y t 4.. Detta värde kalla modellen örtärkning. En örändring av torleken ett i inignalen ger en örändring av torleken G i tignalen.

28 8 Överöringnktioner K Eempel 4... En modell, y, har örtärkningen K ty G K, dv vid tationärtilltånd gäller att y K. b Eempel 4... En modell b b y har örtärkningen G. a a a a Obervera att denna örtärkning gäller ör den linjärierade modellen. För en given inignal måte man tänka eter om den aktella linjärieringen kan vara en tillräkligt god approimation ör en tignalörändring av den torlekordning om överöringnktionmodellen viar. Additivitet Överöringnktionerna additiva egenkaper är en direkt öljd av laplaetranormen linjäritet oh har redan använt i eempel 4.4. Om vi ör ett ytem modellerar ambandet mellan tignalen y oh en inignal med y G oh ambandet mellan tignalen y oh en inignal med y G, kan vi kriva tignalen om en nktion av bägge inignalerna om Egenkapen illtrera i blokhemat i igr 4... y G G 4.. G y G Figr 4... Blokhema ör en additiv överöringoperatormodell. Mltiplikativa egenkaper Överöringnktionen mltiplikativa egenkaper härledde egentligen redan i eempel 4.3. Om tignalen y rån ett ytem, y G, är inignal till ett annat ytem, y G y, kan det totala ytemet inignal-tignalberoende bekriva om y G G G y G y G G y Figr 4... Ekvivalenta inignal-tignalberoenden ör ett eriekopplat ytem. 4. Poler, nolltällen, tidkontanter oh dödtider Överöringnktioner brkar preentera i någon tandardorm. Vanliga tandardormer är de tre ormerna nedan.

29 Överöringnktioner 9 En överöringnktion bekriven med täljar- oh nämnarpolynom i, kan allmänt kriva om m b b b L bm G. 4.. n a a a L an Obervera att ormen 4.. innehåller onödigt många parametrar. Man kan t.e. välja a tan att begräna modellen allmängiltighet. Väljer man a ge modellen örtärkning direkt av b. Alternativt kan 4.. kriva i en mer generell orm där B beteknar täljarpolynomet oh A beteknar nämnarpolynomet. B G. 4.. A äljarpolynomen oh nämnarpolynomen nolltällen ger pplyning om modellen egenkaper. äljarpolynomet nolltällen kalla överöringnktionen nolltällen ty G då är ett nolltälle till täljarpolynomet. Nämnarpolynomet nolltällen kalla överöringnktionen poler. Överöringnktionen värde gå mot oändligheten då går mot polen, dv täljarpolynomet nolltälle. Om överöringnktionen 4.. har nolltällena z, z,..., z m, oh polerna p, p,..., p n, kan överöringnktionen kriva i ormen b m z z L z G m an p p L pn Ota vill vi karakteriera modellen egenkaper med hjälp av de örtärkning oh tidkontanter. Dea ge direkt i modellen om den kriv i ormen G K a b L L n Sambanden mellan tidkontanterna oh polerna repektive nolltällena å om p /, p /, K 4..5 z / a, z / b, K idkontanter ange endat om reella tal. Komplea poler repektive nolltällen örekommer endat om komplekonjgerade par. I dylika all mltiplierar man parvi aktorer med komplea parametrar oh år en överöringnktion av typ Överöringnktionen 4..7 har om eempel ett täljarpolynom av :e graden oh ett nämnarpolynom av 4:e graden, med en pol vid, en reell pol vid /, oh två komplea poler, där ς <. K G, 4..7 ς Dödtider En dödtid beteknar en ren tidörkjtning av en ignal. Ekvation 4..8 deinierar inverkan av en dödtid på en ignal. y t t L 4..8 Dödtider örekommer i proemodeller om approimationer av dierentialekvationer av hög ordning. För modellering av trömning i långa rör eller tranporter i mekanika ytem innehållande tranportband o.d. är dödtiden en bra modell.

30 3 Överöringnktioner I tilltåndmodeller är dödtider vanligen problematika. Dierentialekvationen känner inte till tidörkjtningar, varör dödtider i tilltåndmodeller ota approimera med ytem av dierentialekvationer. I överöringnktionmodeller är dödtiden praktik. Oraken är att laplaetranormen av en tidörkjtning är enkel oh väldeinierad. Laplaetranormen av ekvation 4..8 är vilket ger överöringnktionen ör en dödtid L om L y e, 4..9 L G e. 4.. Överöringnktionmodellerna komplettera ota med en dödtid, t.e. L Ke G. 4.. ς 4.3 Egenkaper ho överöringnktionmodeller Egenkapen ho en överöringnktionmodell karakteriera rämt av överöringnktionen nämnarpolynom, om okå kalla det karakteritika polynomet. Följande betraktele är ritt hämtad r Seborg et al Betrakta t.e. en överöringnktion K G, 4.3. ς där ς <. Sytemet var, yt, på en inignal t å r prodkten y G. Partialbråkppdelning av prodkten G oh inver laplaetranorm av termerna ger tidvaret yt. Proedren är praktikt törbar endat ör enkla inignaler. Generellt karakterierar överöringnktionen nämnare varet yt ör varje inignal på öljande ätt. - Faktorn innebär att yt innehåller en integral av inignalen. t / - Faktorn ger en term innehållande eponentialnktionen e i tignalen. - Faktorn ς ger i tignalen två termer innehållande de periodika nktionerna ς t / ς in t oh e ς t / ς o t. e Dea karakteritika egenkaper ho tignalen betäm enbart av ytemet, inte av inignalen. Varje egenkap ovan betäm av ytemet poler, p p / p3,4 ς ± i ς 4.3.

31 Överöringnktioner 3 Sytemet poler illtrera ota i diagram i komplea talplanet. Figr 4.3. viar ett diagram över polerna i överöringnktionen Här har polerna, tmärkta med, ritat å att anta vara törre än /ζ, vilket gör att polen p ligger närmare origo än p 3 oh p 4. Poler på negativa reella aeln karakterierar var om eponentiellt närmar ig ett tationärtilltånd. Komplea poler i väntra halvplanet repreenterar vängande, eponentiellt avtagande var. J närmare imaginära aeln polen är, deto långammare avtar motvarande ytemvar. Poler i origo beteknar rena integratorer. Poler i högra halvplanet karakterierar ytemvar om innehåller en eponentiellt väande nktion / e t. Sådana ytem är intabila. ς imaginära aeln ς reella aeln ς Figre Rötter till överöringoperatorn 4.3. nämnare i det komplea -planet. Överöringnktionen täljarpolynom kan tolka om en inignaldynamik..e. ett vanligt örta ordningen ytem där inignalen derivata ta in om en ytterligare inignal kan bekriva med dierentialekvationen Överöringnktionen ör detta dynamika element är dy d y K a dt d t Om vi i tället inör integralen av inignalen om en ytterligare inignal, år vi motvarande överöringnktion K G a t dy y K ϑ dϑ, dt a K G a a Närvaron av nolltällen i överöringnktionen har ingen eekt på antalet oh läget av polerna oh dera motvarande bidrag till tignalen karaktär. Ett ndantag är om något nolltälle ligger vid amma värde om en pol. I det allet kan poler oh nolltällen örkorta oh dera verkan tar alltå t varandra. Nolltällena kommer emellertid att påverka koeiienterna ör bidragen till tignalen rån de olika polerna. Eempel Beräkna tegvaret ör överöringnktionen ör en tegörändring av torleken i inignalen. Inignalen laplaetranorm är / oh tignalen är då y G, eller Partialbråkppdelning ger K y a.

32 3 Överöringnktioner,5 a 8 y t K,5 -, Figr Stegvar ör ett örta ordningen ytem ekvation med 4 ör några olika värden på a. t y K a om eter inver laplaetranorm ger varet i tidplanet t / y t K a e. Figr 4.3. viar tegvar ör ytemet med 4 oh ör några olika värden på a. Vid a 4 ligger polen oh nolltället vid amma värde oh vi har en kanellation, dv örkortning av överöringnktionen. Med 4 oh a 4 kan överöringnktionen örkorta till G K oh tegvaret är en kontant vid yt/k. Obervera att alla tegvar karakteriera av t / eponentialnktionen e, om ge av överöringnktionen pol. Olika värden på nolltället ger olika koeiienter ör eponentialnktionen i varen. Obervera att alla tegvar i igr 4.3. tgår rån origo. Stegvaren ppviar en tegvi örändring i yt vid t, vilket öroraka av överöringnktionen nolltälle, om enligt ekvation motvara av en deriverad inignal. Dylika tegvia örändringar i tignalen är möjliga endat om täljar- oh nämnarpolynomen är av amma ordning. De leta proemodeller har nämnarpolynom av högre ordning än täljarpolynomen. Detta medör att ytemet ppviar en tröghet vilket medör att tegvia örändringar i tignalen är omöjliga, e näta eempel. Eempel Betäm tegvaret ör en överdämpad andra ordningen överöringnktion K G a. Sytemet är överdämpat om oh bägge är reella, dv varen karakteriera av två eponentialnktioner. Utignalen ör en tegnktion om inignal ge av K y a.

33 Överöringnktioner 33 Partialbråkppdelning oh inver laplaetranorm av termerna ger tegvaret i tidplanet, / / e e t a t a K t y. Stegvar ör 4 oh ör några olika värden på a via i igr Vi er att tationärtilltåndet alltid blir y. Svaren karakteriera av de två eponentialnktionerna om härrör rån överöringnktionen två poler. Samverkan mellan dea kan emellertid leda till överlängar om a >, eller invervar om a <. Obervera att inget av varen är oillerande. Invervar oh överlängar kan vänta i proeer där lera parallella delproeer eller kemik-yikalika eekter påverkar tignalen i olika riktningar oh med olika tidkalor. Överlängen är annar vanlig i återkopplade reglerade ytem. Figr viar en proe modellerad med två parallella örta ordningen överöringnktioner. Överöringnktionen ör hela proeen blir K K K K K K K K y eller med betekningarna K K K oh K K K K a, K y a Förtättningen ör att ett invervar kall eitera är att a <, dv < K K K K vilket kan omkriva i ormen 5 5 -,5,5,5,5 3 t K t y 4 a Figr Stegvar ör ett nderdämpat andra ordningen ytem med 4 oh ör några olika värden på a.

34 34 Överöringnktioner K y K Figr Blokhema ör en överöringoperatormodell med två parallella örta ordningen ytem. K K > Villkoret kan ppylla endat om K oh K har olika teken, om vi antar att bägge tidkontanterna är poitiva. Vidare bör det långammare delytemet, med törre tidkontant, ha törre abolt örtärkning än det nabbare ytemet. Stegvaret karakteriera då i början av det nabbare delytemet, men enare blir det långammare delytemet med törre abolt örtärkning dominerande. Figr viar tegvaren del ör delytemen, del ör mman ör ytemet i igr med K, K,5, 4 oh. y t yt,5 yt y t y t 5 5 t,5 y t Figr Stegvar y t oh y t ör delytemen amt dera mma yt ör ytemet i igr med K, K,5, 4 oh. 4.4 Bode-diagram Betrakta ett LI-ytem linjärt tidinvariant i Laplaeplanet y G 4.4. eller i tidplanet

35 Överöringnktioner 35 y t h ϑ t ϑdϑ h t t Antag att inignalen bekriv av en inignal, t in ωt, där ω är rekvenen i rad/tidenhet. Utignalen är då y t Giω in ωt ϕ ω där Giω Giω im ϕ ω argg iω artan re - Storheten G iω anger ignalen amplitden örtärkning i ytemet G vid rekvenen ω. - Storheten ϕ ω anger ignalen aörkjtning i ytemet G vid rekvenen ω. Giω Bodediagrammet betår av två diagram om viar graerna av G iω repektive ϕ ω om nktion av rekvenen ω i rad/tidenhet. Diagrammet över G iω rita hellogaritmikt medan ϕ - grader ω rad/ - Figr Bodediagram ör överöringoperatorn G /4 i eempel diagrammet över ϕ ω rita halvlogaritmikt. Det är ota brkligt att ange ϕ ω i enheten grader itället ör att använda den matematikt korrekta dimenionlöa torheten om ange i radianer. Fnktionen Giω kalla ytemet rekvenvar. Bodediagrammet avbildar det komplea rekvenvaret i två reella nktioner. Figr 4.4. viar om eempel bodediagrammet ör överöringnktionen G a / i eempel 4.3. med a oh 4. Bodediagrammet poplaritet beror på att ytemet rekvenberoende egenkaper lätt kan tnyttja ör reglatordeign oh omvänt kan de ytemet egenkaper om är viktiga ör regleringen lätt tläa r bodediagrammet. Följaktligen använd bodediagrammet, dv örtärkningen oh aörkjtningen rekvenberoende, ota om kriterim ör approimation av överöringnktioner t.e. vid redktion av modellen ordning. Överöringnktioner rekvenvar Enkla proemodeller kan karakteriera med några å typer av rekvenvar. Figr illtrerar rekvenvar ör några andra ordningen ytem, men de karakteritika dragen kan generaliera även ör ytem av högre ordning. De heldragna krvorna i igr 4.4. viar ett ytem med poler oh nolltällen olika noll. Förtärkningen går vid låga rekvener mot ett kontant värde. Fakrvan böj av vid 8, vilket viar att ytemet bekriv av en andra ordningen överöringnktion. En vanlig variant är den trekade krvan i igr om viar rekvenvaret ör amma ytem med en dödtid tillatt. Fakrvan går inte här

36 36 Överöringnktioner mot något kontant värde, tan blir allt brantare j högre rekvenen är. Seborg et. al 989 kallar dea ytem typ. Ett ytem av typ karakteriera av en eller lera rena integratorer, dv en eller lera poler i origo. Sytemen rekvenvar karakteriera av att örtärkningen ökar kontinerligt då rekvenen går mot noll. Dea ytem har inget tationärtilltånd tan örtärkningen går mot oändligheten då rekvenen går mot noll. ypika eempel är mekanika ytem med liten riktion. I proeindtrin är en ren integrator typikt en behållare, var tlopptröm är oberoende av vätkehöjden. Faörkjtningen ör ytem med en enda ren integrator börjar vid -9. Giω,,,,,, ω rad/ ϕ - - grader -3 Figr Bodediagram ör överöringoperatorn G /4 heldragen oh G /4 trekad linje. Ett ytem av typ 3 dominera av ett nolltälle i origo, vilket innebär att örtärkningen minkar då rekvenen jnker i bodediagrammet. Ett eempel via om de heldragna krvorna i igr Ett nolltälle i origo innebär i tidplanet att ytemet innehåller en ren derivata. Detta yn i adiagrammet å att aörkjtningen tartar vid 9. Sytem av typ 3 har den intreanta egenkapen att då ytemet betrakta endat vid tationärtilltånd tyk det inte inna något amband mellan ytemet tignal oh de inignal. Sytemet kan ändå kanke inte ignorera, ör i tranienta tilltånd kan ambandet vara betydande. Figr viar ett tegvar ör ett dylikt ytem. Ett teg av torleken i inignalen ger en örändring av tignalen nder ett kort tranient tilltånd vareter tignalen värde återgår till noll., Giω,,,,, ω rad/ ϕ - - grader -3 Figr Bodediagram ör överöringoperatorn G /4 heldragen oh G e /4 trekad linje.